第四讲 等腰三角形和直角三角形(学生版本

第四讲等腰三角形和直角三角形(学生版本)

第四讲等腰三角形和直角三角形

?知识要点

◆等腰三角形

1.定义：有两边的三角形叫做等腰三角

形，其中的三角形叫做等边三角形

2.等腰三角形的性质：

⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为

⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为

⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是

3.等腰三角形的判定：

⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形

⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称

4.等边三角形的性质：

⑴等边三角形的每个内角都都等于

⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴

为a、b斜边为c则a、b、c满足

逆定理：若一个三角形的三边a、b、c 满足则这个三角形是直角三角形

2、勾股数，列举常见的勾股数三组、、

3、直角三角形的性质：

⑴直角三角形两锐角

（2）在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它的对边是边的一半

4、直角三角形的判定：

勾股定理的逆定理外

定义法：⑴有一个角是的三角形是直角三角形

⑵有两个角是的三角形是直角三角形

基础过关

1、2012?肇庆）等腰三角形两边长分别为4和

8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．16或20 2、（2012?江西）等腰三角形的顶角为80°，

则它的底角是（）

A．20°B．50°C．60°D．80°

3、 直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边

上的高为

（ ）

（A ） 6 （B ） 8 （C ） 1380

（D ） 1360 典例剖析

考点一：等腰三角形性质的运用

例1 （2012?襄阳）在等腰△ABC 中，∠A=30°，AB=8，则AB 边上的高CD 的长是 ．

对应训练

1．（2012?广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于

BC，则△ABC底角的度数为（）点D，且AD=1

2

A．45°B．75°C．45°或75°

D．60°

考点二：线段垂直平分线

例2 （2012?毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E 是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A．23 B．2 C．43 D．4

考点三：等边三角形的判定与性质

对应训练

3．（2012?湘潭）如图，△ABC

是边长为3的等边三角形，将

△ABC沿直线BC向右平移，使

B点与C点重合，得到△DCE，

连接BD，交AC于F．

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；

（2）求线段BD的长．

考点四：角的平分线

例4 （2012?梅州）如图，

∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，

EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．

对应训练

等腰三角形和直角三角形专项练习题

等腰三角形和直角三角形专项练习题 一、选择题 1.等腰三角形一底角为30°,底边上的高为9cm,则腰长为（ ）cm ． D.39 2.已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ） 3.如图，△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，BD ⊥AE 于D ，DM ⊥AC 于M ，连接CD ．下列结论：①AC+CE=AB ；②CD ＝21AE ；③∠CDA=45°；④AM AB AC =定值．其中正确的有（ ） 个 个 个 个 4.等腰三角形的一个角等于20°,则它的另外两个角等于:（ ） °、140°°、140°或80°、80°°、80°°、80° 5.如图，BE 和AD 是△ABC 的高，F 是AB 的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6.下列命题正确的是（ ） A.等腰三角形只有一条对称轴 B.直线不是轴对称图形 C.直角三角形都不是轴对称图形 D.任何一角都是轴对称图形 7.等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米,则它的第三边长为( ) 或22cm 8.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（) A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等 C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等 9.等腰三角形中,AB 长是BC 长2倍,三角形的周长是40,则AB 的长为( ) 或16 10.如图已知:AB ＝AC ＝BD,那么∠1与∠2之间的关系满足( ) A.∠1＝2∠2∠1＋∠2＝180° C.∠1＋3∠2＝180° ∠1－∠2＝180° 二、填空题 1. 等腰三角形的腰长是底边的4 3，底边等于12cm ，则三角形的周长为______cm. 2. 等腰三角形的底角是65°,顶角为________. 3. 等腰三角形的一个内角为100°,则它的其余各角的度数分别为_______. 4. 等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时,则顶角为_________度． 5. 已知如图，A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD,∠C ＝40°,则∠ABD ＝_______ 6. 如图,∠P ＝25°,又PA ＝AB ＝BC ＝CD,则∠DCM ＝_______度. 第7题

等边三角形 直角三角形 讲义

等边三角形 【导入】如图，在△ABC 中， AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ∥AB 交AC 于点E ，△ADE 是等腰三角形吗？为什么？ 1. 的三角形叫做等边三角形。 2.等边三角形的三个角是什么关系？试证明。 如图：△ABC 是等边三角形 求证：∠A=∠B=∠C 总结： 等边三角形的三条边 。 等边三角形的三个角 ，每个角等于 。 练习： 1.如图，在正△ABC 中，D 为BC 中点，则∠BAD 的度数为 。 2.如图，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB=10cm ，则线段DC 的长为 cm ． 3.如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= 度． 4.如图，△ABC 是等边三角形，BC ⊥CD ，且AC=CD ，则∠BAD 的度数为（ ） 三．例题.如图，已知△ABC 与△ADE 都是正三角形． 问：（1）EB 与DC 相等吗？为什么？ （2）∠BDC 与图中哪个角相等？为什么？ A C

已知：如图等边三角形ABC 中，D 是AC 中点，过C 作CE ∥AB ，且AE ⊥CE ，求证：BD=AE ． 四．如图:△ABC 是等边三角形,作线段AD ⊥BC 垂足为D 。 则有：1. △ABD 是 三角形，∠BAD= °。 2.BD 与CD 有怎样的数量关系？与BC 呢？ 3.BD 与AB 有怎样的数量关系？ 总结：在 三角形中，30°角所对的 边是 边的 。 练习： 1.在Rt △ABC 中， ∠A :∠B: ∠C =1:2:3 ,若AB=10cm ，则BC 的长 。 2.如图所示，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，BD=3， 则∠1的度数为 ，AB= ． 3.如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 中点，DE ⊥AC 于E ，若CE=1， 则AB= 。 4.如图，已知：等边三角形ABC ，点D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FE ⊥BC ，垂足为E ，若三角形ABC 的边长为4． 求：（1）线段AF 的长度；（2）线段BE 的长度． A C

小学数学几何形体周长 面积 体积计算公式

小学数学几何形体周长面积体积计算公式 1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 3、长方形的面积=长×宽S=ab 4、正方形的面积=边长×边长S=a.a= a 5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 6、平行四边形的面积=底×高S=ah 7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 10、圆的面积=圆周率×半径×半径 常见的初中数学公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行

11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

完整九年级数学锐角三角函数学生讲义.docx

锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 . 题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题 . 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在 Rt △ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A 所对的边的邻边，∠ B 所对的边 AC记为 b，叫做∠ B 的对边，也是∠叫做斜边．BC记为 a，叫做∠ A 的对边，也叫做∠B A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c， B c a A b C 锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA ，即sin A A的对边 a ； 斜边c 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA，即cos A A的邻边 b ； 斜边c 锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tanA ，即tan A A的对边 a . A的邻边b 同理 sin B B的对边b ； cos B B的邻边 a ； tan B B的对边 b ． 斜边c斜边c B的邻边a 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条

，， ，不能理解成sin 与∠ A，cos 与∠ A， tan 与∠ A 的乘积．书写时习惯上省略∠ A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角( 如∠ AEF)，其正切应写成“ tan ∠ AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、

等腰三角形、直角三角形

北京四中 编稿：史卫红审稿：谷丹责编：赵云洁 等腰三角形、直角三角形 一、知识讲解： 1.等腰三角形是一种特殊的三角形,等边三角形又是特殊的等腰三角形.它们除其有一般三角形的边、内角、外角的性质之外,还有许多特殊性. 2.等腰三角形和等边三角形的性质和判定。 二、例题精讲：

说明:等腰三角形具有两条腰相等以及两个底角相等的性质,这些性质不仅可以用于证明,而且也常常用于计算线段或角的大小. 例1.等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245°,求它的顶角的度数. 分析: 这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算. 解: (一)设这个等腰三角形的顶角为x°,根据"同一三角形中等边对等角",则它的一个底角为 ，这个顶角的外角为，底角的外角为[180-. 由题意可得: (180-x)+[180-(180-x)]=245 ∴180-x+180-90+x=245 ∴-x=245-270 ∴x=50 答:这个三角形顶角为50°. 解: (二)设顶角为x°,底角为y°,顶角外角为(180-x)°,底角外角为(180-y)°. 由三角形内角和定理可得:x+2y=180 由题意可得: (180-x)+(180-y)=245,∴x+y=115, ∴解方程组得 答:这个三角形顶角为50°. 例2.等腰三角形中的一个内角为50°,求另外两个角的度数. 分析:等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角,等腰三角形的底角必为锐角.因此这个50°的角既可以是顶角又可以是底角,所以要分类进行讨论. 解:若顶角为50°时, 由等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可得一底角为:=65°.

易错题之等腰三角形

等腰三角形 易易漏漏易易错错 等腰三角形 知识概要： 1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。相等的两条边叫等腰三角形的__， 第三条边叫等腰三角形的 ____ 2、等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等。（简称“__________”） （2）等腰三角形的顶角平分线__________，并且__________。 （3）等腰三角形的_________________________互相重合。简称“三线合一” （4）等腰三角形中的重要线段相等 （5）轴对称性 3、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。简称 “_____________” 4、等边三角形： （1）三条边均相等的三角形是等边三角形。 （2）等边三角形的每个角都相等，并且每个角都等于60°。 （3）有一个角等于60°的______三角形是等边三角形。 等腰三角形中常见的结论： **等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的________； **三条线段能构成等腰三角形的条件是：为腰的两条线段（相等的两条线段）的和大于第三条线 段。 等腰三角形ABC 的周长为10cm ，底边BC 长为ycm ，腰AB 长为xcm. （1）用含x 的代数式表示y （2）求x 的取值范围；（3）求y 的取值范围. **过角的平分线上的点作一条边的平行线能构成等腰三角形。 第第一一类类：：关关于于边边的的易易漏漏易易错错 一一、、当当腰腰或或底底边边不不明明确确时时，，必必须须进进行行分分类类讨讨论论；；最最后后务务必必检检验验每每种种情情况况是是否否满满足足三三角角形形的的三三边 边关关系系。。 No1、已知等腰三角形的两边长分别为5cm 和6cm ，则此三角形的周长为_____。 No2、已知等腰三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的周长为_____。 No3、若一个等腰三角形的三边长均能满足方程y 2-6y+8=0，则此三角形的周长为_____。 （2015?四川）一个等腰三角形的两条边长分别．． 是方程x 2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）

等腰三角形与直角三角形

等腰三角形与直角三角形 考向一 等腰三角形的性质 1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°． 3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则 2 b

C．AB=2BD D．AD平分∠BAC 【答案】C 【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得， A．AD⊥BC，故A选项正确； B．∠B=∠C，故B选项正确； C．无法得到AB=2BD，故C选项错误； D．AD平分∠BAC，故D选项正确． 故选C． 【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质. 1．（2020·自贡市田家炳中学初二期中）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm. 考向二等腰三角形的判定 1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据． 2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形． 典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形． 【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD． 又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD， ∴∠FEA=∠F， ∴△AEF是等腰三角形． 2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．

解直角三角形讲义

龙文教育学科教师辅导讲义 课题九（下）第一章、解直角三角形 教学目标 1、掌握解直角三角形，并能根据题意把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角 三角形中加以解决。会把实际问题转化为含有直角三角形的数学问题，并能给予解决。 2、通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，培养分析、归纳、总结知识的能力。 3、体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习 品质。 重点、难点 重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。 难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题 考点及考试要求 教学内容 1.1~1.2锐角三角函数及其计算 边角之间的关系（锐角三角函数）: sin,cos,tan a b a A A A c c b === ★22 sin sin cos(90)cos,tan,sin cos1 cos A A A B A A B A =-==+= o ★三角函数的单调性：090sin sin1 A B A B ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 090cos cos1 A B B A ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 04590tan1tan A B A B ≤<<≤≤<<≤+∞ o o o 当时，0 0180tan A A A <<< o o 当时，sin 如下图，⊙O是一个单位圆，假设其半径为1，则对于α ∠，b ∠ =,sin CD EF CD b EF OC OE α=== Q sin CD EF < Q,sin sin a b < Q =,tan CD AB CD AB OC OB αα === Q sin,CD AB < Q tan αα ∴< sin 其它均可用上图来证明。 30°，45°，60°的三角函数值（见右表） 例（1）计算： sin60°·tan30°+cos 2 45°= （2）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，那么锐角A、A’的余弦值的关系为

数学图形计算公式

数学图形计算公式 1、正方形：C周长S面积a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体：V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形 C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体 V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形 s面积a底h高面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形：s面积a底h高面积=底×高s=ah 7、梯形：s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8 圆形：S面积C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9、圆柱体：v体积h:高s底面积r底面半径c底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 (4)体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体：v体积h高s底面积r底面半径体积=底面积×高÷3 植树问题 1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1

等腰三角形直角三角形

等腰三角形、直角三角形 重点：1、等腰三角形的性质和判定方法。 2、直角三角形的性质与判定，锐角三角函数及解直角三角形。 难点：数学思想的渗透及知识的综合运用能力的提升。 考点一：等腰三角形 1．性质 （1）?? ?→? ??? 两腰相等两底角相等（等边对等角）等腰三角形三线合一轴对称图形 （2）等边三角形 → 三边相等，三角相等，有三条对称轴 2.判定 ???? 两边相等的三角形等腰三角形两角相等的三角形 ? ?????? 三边相等的三角形三角相等的三角形等边三角形有一个角是60的等腰三角形 例1：如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且AD=CE ，AE 与BD 相交于点P ，BF ⊥AE 于点F.求证:BP=2PF 【随堂练习】 1.若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．20° 2.等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A ．25 B ．25或32 C ．32 D ．19 3.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 4.如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上， 且BD=AE ，AD 与CE 交于点F ，则∠DFC 的度数为（ ） A ．60° B ．45° C ．40° D ．30° P F E D C A 第4题

5.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边 形，则图中∠α+∠β的度数是（ ） A ．180° B ．220° C ．240° D ．300 6.等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角是（ ） A 、70° B 、55°或70° C 、40°或70° D 、40° 7.等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为 __ ___. 8. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________． 9.如图，△ABC 是等边三角形，AD 是△ABC 的角平分线，延长AC 到E ，使得CE=CD ． 求证：AD=ED ． 10. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O.给出下列三个条件： ①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD. ⑴上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形） ⑵选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC 是等腰三角形 A E B C O D 第5题

直角三角形的边角关系教案讲义

第一章直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起 课时安排 2 课时 从容说课直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之 —. 锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用. 如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题. 本节首光从梯子的倾斜程度谈起。引入了第—个锐角三角函数——正切. 因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的. 所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角：三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA 、cosA、tanA 表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算. 本节的重点就是理解tanA、sinA 、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA 的数学含义. 所以在教学中要

注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念， 使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表 达和思考，特别关注他 们对概念的理解. 第一课时 课题 § 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起（一） 教学目标 （一）教学知识点 1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联系. 2. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. （二）能力训练要求 1. 经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点. 2. 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题. 提高解决实际问题的能力. 3. 体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. （三）情感与价值观要求 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲. 2. 形成实事求是的态度以及独立思考的习惯. 教学重点

等腰三角形基础练习题解析

等腰三角形基础练习题 一、填空题 1.一个等腰三角形可以是________三角形，________三角形，_________三角形. 2.一个等腰三角形底边上的_____、________和顶角的_________互相重合. 3.如图，已知AB=AC，∠1=∠2，BD=5cm.那么BC________. 4.如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，∠C=30°，BD=3cm，那么 BC=________. 5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________________. 6.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是_____________. 7.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为_________. 8.已知等腰三角形一个角为75°，那么，其余两个角的度数是_________. 9.一个等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍.那么腰长是，底边长是 _______. 10.如图，已知AB=AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，那么图中的等腰三角形有____个，它们是_________.

11.如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，那么______AB，如果D 是AB的中点，那么____是等腰三角形，_______是等边三角形. 12.如图，已知△ABC的边AB、BC的垂直平分线DE、MN交于O点，那么有OA=___=______，如果OH⊥AC，H为垂足，那么直线OH是AC的________. 13.如图，已知AB=BC=CD=CE，∠CAE=25°，那么∠CEN=_______，∠MCE=_____. 14.已知等腰三角形顶角是底角的10倍，腰长为10cm，那么这个三角形腰上的高为______. .15.在线段、角、等腰三角形、直角三角形中，轴对称图形是________. 二、选择题 1、如图1-4-21，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（）.

北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系 讲义和习题

1 直角三角形的边角关系（讲义） ? 课前预习 1. 根据两个特殊的直角三角形的相关知识填空： 1 3 2 30° A B C a c =_______， b c =_______，a b =_______，b a =_______． 1 1 2 C A 45° b a c =_______， b c =_______，a b =_______，b a =_______． 2. 我们一般将特殊角度（30°，45°，60°）放到__________中处理，同时不能破坏特殊角． 如图，在△ABC 中，∠A =45°，∠B =30°，AB =1，则△ABC 的面积为___________． A B C 3. 小明在操场上放风筝，已知风筝线长为250 m ，拉直的线 与地面所成的锐角为α，小明从点A 移动到点A 3的过程中，风筝也从点B 移动到点B 3，小明研究了α的大小与其所在的直角三角形两直角边比值的关系特征，根据小明提供的数据填空． O B 3 A 3 B 2 A 2 B 1A 1 B A

1 在点A 时，α=∠BAO ，BO =240，AO =70， BO AO =________； 在点A 1时，α=∠B 1A 1O ，B 1O =200，A 1O =150， 11B O A O =_____； 在点A 2时，α=∠B 2A 2O ，B 2O =150，A 2O =200， 22B O A O =____； 在点A 3时，α=∠B 3A 3O ，B 3O =70，A 3O =240， 33B O A O =_____； 小明发现，在α逐渐减小的过程中， BO AO 的值逐渐_______， 进一步探索发现，在α逐渐减小的过程中， BO BA 的值逐渐____，AO BA 的值逐渐__________． ? 知识点睛 1. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =________，cos A =________， tan A =________． 2. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 越大，正弦sin A ______， 余弦cos A ______，正切tan A ______． 3. 特殊角的三角函数值： 60° 45°30°α正切 tan α 余弦 cos α正弦 sin α 4. 计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________ 中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理． ? 精讲精练 1. 下列说法正确的是（ ） A ．在△ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tan A 3 5 = B C A

《周长固定三角形面积的最大值》

《周长固定三角形面积的最大值》——数学建模一例谈到，周长固定围成面积的问题， 许多人会想到正方形和二次函数。好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L 的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行 的四边形，叫做平行四边形。其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。好了，现在我们对矩形也有一个印象了。简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。而且我 们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。可知它的周长公式：L=2*(a + b)。有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。现在，把b=L/2-a 代入s=a*b 就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s 有最大值。微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令 s`=0有：2a= L/2 所以a= L/4。所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形) 也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab， 所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去―=‖，s有最大值因为： a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有 一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。和一个内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。还有个推论：三角形两边之差小于第三边。不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x 。根据三边关系定理有：x2c。可以，以2c=x 的中点建立坐标系，则：a^2= (L-x/2)^2 ，b^2= (L-x/2)^2-(x/2)^2=L(L-2x)/ 。 三角形与椭圆 所以椭圆方程为：X^2/(L-x/2)^2 +Y^2/ L(L+2x)/4=1 函数图像的直观反映 ，三角形的面积为：s=(1/2)*( 2c)*Y ，因为，x=2c是固定的，所以s取决于Y，当Y取max时，即Y=b 时，s有最大值。即：S=s(x)max （且此时，该三角形为等要三角形）=c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2 =(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0

2017等腰三角形,直角三角形存在性

等腰三角形、直角三角形的存在性 专题攻略：如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况． 1、几何法一般分三步：分类、画图、计算． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 2、代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 例1：如图1，抛物线y=ax 2+x+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．其中B 点坐标为（4，0），对称轴为直线x=1． （1）求抛物线的解析式；4212++-=∴x x y （2）T 是抛物线对称轴上的一点，且△ATC 是等腰三角形，求点T 的坐标； （3）T 是抛物线对称轴上的一点，且△ATC 是直角三角形，求点T 的坐标； 2如图所示，在平面直角坐标中，M 是x 轴正半轴上一点，⊙M 与x 轴的正半轴交于A 、B 两点，A 在B 的左 侧，且OA 、OB 的长是方程2650x x -+=的两根，ON 是⊙M 的切线，N 为切点，N 在第四象限. （1）求⊙M 的直径； （2）求直线ON 的解析式； （3）在x 轴上存在点T ，使△OTN 是等腰三角形， 请直接写出T 的坐标.

3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值． 4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； 5、如图，已知△ABC是等边三角形，点O为是AC的中点，OB=12，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M， N在直线OB上，取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图所示的矩形ODEF，点E在线段AB上． （1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值； （2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）； （3）设等边△PMN和矩形ODE F重叠部分的面积为S，请求你直接写出当0≤t≤2秒时S与t 的函数关系式，并写出对应的自变量t的取值范围； （4）点P在运动过程中，是否存在点M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

直角三角形的边角关系讲义

直角三角形的边角关系讲义 第1节 从梯子的倾斜程度谈起 本节内容： 正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点） 1、正切的定义 在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。 即tanA=b a A =∠∠的邻边的对边A 例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。 2、坡度的定义及表示（难点 D C B A

例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD?的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1：2变成i′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．?求加高后的坝底HD的长为多少？ 例4 在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。 4、三角函数的定义（重点）

例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ，CD=6cm 斜立在墙上，其中BE=6cm ，DE=2cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。 本节作业： 1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC= 5 3 ，求CD 的长。 2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。

3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD= 3 1 ，求tanA 的值。 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA= 12 5 ，周长为30，求△ABC 的面积。 5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？ 第2节 30°，45°，60°角的三角函数值

(完整版)初二数学等腰三角形练习题

G F E C A 等腰三角形练习 一、填空题 1、已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为。 2、已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为。 3、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 4、在等腰三角形中，设底角为0x，顶角为0y，用含x的代数式表示y，得 y= ；用含y的代数式表示x，则x= 。 5、有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形． 6、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠GEF= 7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢 8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为 9、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的三边长为 10、如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若∠CFE=60o，且DE=1，则边BC的长为． 二、选择题 11、判定两个等腰三角形全等的条件可以是……………………（）。 A、有一腰和一角对应相等 B、有两边对应相等 C、有顶角和一个底角对应相等 D、有两角对应相等 12、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（） A、顶角 B、底角 C、顶角的一半 D、底角的一半 13、在等腰三角形ABC中，∠A与∠B度数之比为5∶2，则∠A的度数是（） A、100° B、75° C、150° D、75°或100° 14、在△ABC中，AB=AC，下列推理中错误的是……………………（）。 A、如果AD是中线，那么AD⊥BC，∠BAD=∠DAC B、如果BD是高，那么BD是角平分线 C、如果AD是高，那么∠BAD=∠DAC、BD=DC D、如果AD是角平分线，那么AD也是BC边的垂直平分线 1

三角形讲义--角

第二讲三角形的角 一、教学内容 1.理解三角形内角、外角的概念； 2.探索并证明三角形的内角和定理； 3.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形； 4.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 5.能够运用三角形内角和定理解决简单问题. 二、思维导图 三、知识重难点 考点：三角形内角、外角的概念. 重难点：能够运用三角形内角和、外角和定理解决简单问题. 易错点： 三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，但每个顶点处只算一次，因此三角形共有三个外角．

模块一三角形的内角 一、教学内容 1、三角形的内角 三角形的内角： 2、三角形的内角和 三角形内角和定理． 直角三角形中，． 二、例题精讲 【例1-1】如图，△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C 等于（）A．100°B．80° C．60°D．40° 【例1-2】△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 满足∠A：∠B：∠C=2：3：7，则这个三角形是（） A.锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形 【例1-3】在△ABC 中，∠A=2∠B=80°，则∠C 等于（） A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 练1-1．下列图形中的x＝． 练1-2．在△ABC 中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C 等于（） A．45°B．60°C．75°D．90° 练1-3. 在△ABC 中，∠A+∠B=130°，∠A－∠B=30°，则△ABC 中最大角等于（）A.50° B. 60° C.70° D. 80°

练1-4. 如图，AC⊥BD，∠1＝∠2，∠D＝40°，则∠BAD 的度数是（）A．85°B．90° C．95°D．100° 【例2】如图，△ABC 为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2 等于（） A．90°B．135° C．150°D．270° 练2-1. 如图，将直角三角形沿虚线截去顶角后，则∠1+∠2 的度数为（）A．225°B．235° C．270°D．300° 练2-2. 如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=( ) A.360° B.250° C.180° D.140° 【例3-1】如图，在△ABC 中，∠B、∠C 的角平分线BE，CD 相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，求∠BFC 的度数