等边三角形与直角三角形(学生版)讲义例题配套习题,精校版

学科教师辅导讲义学生姓名： 年 级：八年级 课时数：3 辅导科目：数学 辅导教师： 辅导内容：等边三角形和直角三角形 辅导日期： 教学目标：1、等边三角形的性质、判定和综合运用 2、直角三角形斜边中线定理3、等边三角形与直角三角形结合综合运用【同步知识讲解】知识点1：直角三角形 知识梳理：操作：取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠：小结直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

应用格式：在△ABC 中，∵∠ACB ＝90o，CD 是AB 边的中线， ∴CD ＝21AB 或CD ＝AD ＝BD （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 例1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 是斜边AB 的中线，且CD=4 cm ，则AB=_______．例2：如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，连接GF ，求证： GF ⊥DE ．知识二：等边三角形知识梳理：（1）等边三角形的性质：┌⑴└┌⑵└┐┌⑶└┐┌⑷FDEBC AQ CPAB等边三角形的三条边 ，三个角都是 ，每条边上都有三线合一，有 条对称轴 补充：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半 （2）等边三角形的3个判定方法：三条边都 的三角形是等边三角形 三个角都 的三角形是等边三角形有一个角是 的 三角形是等边三角形例1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC=_______．例2：如图，在等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE=____．例3：如图，正方形ABCD ，△EAD 为等边三角形，则∠EBC ＝_______．例4：如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PAPB PC ，，，以BP 为边作60PBQ ∠=，且BQ BP =，连结CQ ．观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．【精题精练精讲】专题一：等边三角形1．等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为( )A．120°B．130°C．150°D．160°2．如图，等边△ABC的边长为1，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为( )A．2 B．4 C．3 D．2．53．如图，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直；④四边形ABCD是轴对称图形．其中正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC边上的高是2，则DE+DF的值为( )A．2 B．4 C．3 D．2．55．如图，在等边三角形ABC中，中线AD，BE相交于点O，图中的等腰三角形有( ) A．3个B．4个C．5个D．6个6．点P为∠AOB内一点，∠AOB=30°，P关于OA，OB的对称点分别为M，N，则△MON定是( ) A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，则∠ADB= °，∠BAD= °．8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．9．如图，等边△ABC的边长P为BC上一点，若△APD=60°，则图中相等的角(60°的角除外)是．10．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= ．11．若∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，OP1，OP2，则△OP1P2是三角形．12．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长为．13．已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D，E在BC上，A D⊥AB，AE⊥AC．求证：△AED是等边三角形．14．如图，△ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=DC，BD=FC．(1) 求证：DE=DF；(2) 当∠A的度数为多少时，△DEF是等边三角形，并说明理由．15．如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC_上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P．(1) 求证：CE=BF；(2) 求∠BPC的度数．16．如图，等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．(1) 试判定△ODE的形状，并说明你的理由．(2) 线段BD，DE，EC三者有什么关系? 写出你的判断过程．17．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．18．如图，O 是等边三角形ABC 内一点，∠AOB =110°，∠BOC =α，D 是△ABC 外一点，且△ADC ≌△BOC ，连接OD ．(1) 求证：ACOD 是等边三角形；(2) 当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由； (3) 当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形?专题二：直角三角形1、如图，ABC ∆是等边三角形，BC AD ⊥，AB DE ⊥，若8=AB cm ，则BD 的长为 cm ，BE 的长为 cm2、线段AB=4cm ，M 是AB 垂直平分线上的一点，MA=4cm ，则∠MAB= 。

第04讲等边三角形课程标准学习目标①等边三角形的概念与性质②等边三角形的判定③含30°角的直角三角形 1.掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。

2.掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形。

3.掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。

知识点01等边三角形的概念与性质1.等边三角形的概念：三条边都的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的。

2.等边三角形的性质：如图①等边三角形的三条边都，三个角也，且三个角都等于°。

②等边三角形三条边都存在。

③等边三角形是一个图形，它有条对称轴，对称轴的交点叫做中心。

题型考点：①等边三角形的性质求角度与线段。

【即学即练1】1．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【即学即练2】2．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A．45°B．55°C．60°D．75°【即学即练3】3．如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为．【即学即练4】4．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为．知识点02含30°角的直角三角形1.30°角所对的直角边与斜边的关系：30°角所对的直角边等于斜边的。

证明如下：1如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。

证明BD＝AB2∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝。

∵AD⊥BC∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝BD＝CD＝BC∴BD＝AB。

题型考点：含30°角的直角三角形的性质。

等边三角形【导入】如图，在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC 于点D ，DE ∥AB 交AC 于点E ，△ADE 是等腰三角形吗？为什么？1. 的三角形叫做等边三角形。

2.等边三角形的三个角是什么关系？试证明。

如图：△ABC 是等边三角形 求证：∠A=∠B=∠C总结：等边三角形的三条边 。

等边三角形的三个角 ，每个角等于 。

练习： 1.如图，在正△ABC 中，D 为BC 中点，则∠BAD 的度数为 。

2.如图，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB=10cm ，则线段DC 的长为 cm ．3.如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= 度．4.如图，△ABC 是等边三角形，BC ⊥CD ，且AC=CD ，则∠BAD 的度数为（ ）三．例题.如图，已知△ABC 与△ADE 都是正三角形． 问：（1）EB 与DC 相等吗？为什么？（2）∠BDC 与图中哪个角相等？为什么？AC已知：如图等边三角形ABC 中，D 是AC 中点，过C 作CE ∥AB ，且AE ⊥CE ，求证：BD=AE ．四．如图:△ABC 是等边三角形,作线段AD ⊥BC 垂足为D 。

则有：1. △ABD 是 三角形，∠BAD= °。

2.BD 与CD 有怎样的数量关系？与BC 呢？3.BD 与AB 有怎样的数量关系？总结：在 三角形中，30°角所对的 边是 边的 。

练习：1.在Rt △ABC 中， ∠A :∠B: ∠C =1:2:3 ,若AB=10cm ，则BC 的长 。

2.如图所示，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，BD=3， 则∠1的度数为 ，AB= ．3.如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 中点，DE ⊥AC 于E ，若CE=1， 则AB= 。

4.如图，已知：等边三角形ABC ，点D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FE ⊥BC ，垂足为E ，若三角形ABC 的边长为4． 求：（1）线段AF 的长度；（2）线段BE 的长度．A C5.如图，已知在△ABC中，120，，的垂直平分线EF交AC于点E，交BC=∠=︒AB AC BAC AC于点F，试说明2=．BF CF6.如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2= 。

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）专题03 等边三角形【题型1】等边三角形的性质1．（2022·全国·八年级课时练习）下列条件中，不能判断ABC V 是等边三角形的是（ ）．A ．AB AC =，60B Ð=oB ．AB AC =，B A Ð=ÐC ．60A B Ð=Ð=oD ．2A B CÐ+Ð=Ð【答案】D【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．【详解】解：A 选项：∵AB =AC ．∠B =60°．∴△ABC 是等边三角形，故A 选项不符合题意；B 选项：∵∠B =∠A ，∴AC =BC ，∵AB =AC ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故B 选项不符合题意；C 选项：∵∠A =∠B =60°，∠C =180°−∠A −∠B =60°，∴∠A =∠B =∠C ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故C 选项不符合题意；D 选项：∵∠A +∠B =2∠C ，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠C =60°，不能判断△ABC 是等边三角形，故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．【变式1-1】2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC 是等边三角形，且BD ＝CE ，∠1＝15°，则∠2的度数为____°．【答案】60【分析】根据等边三角形的性质可得AB BC =，A ABC CB =Ð∠，证明△ABD ≌△BCE （SAS ），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠CBE ，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠1+∠ABE ，继而根据等量代换可得∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ，即可求解．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB BC =，A ABC CB =Ð∠，在△ABD 和△BCE 中，AB BC ABC ACB BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠1＝∠CBE ，∵∠2＝∠1+∠ABE ，∴∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ＝60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．【题型2】等边三角形的判定1．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，已知P 、Q 是△ABC 的BC 边上的两点，BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小为（ ）A ．120°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP =∠CAQ =30°，从而求解．【详解】解：∵PQ =AP =AQ ，∴△APQ 是等边三角形，∴∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，∵BP ＝AP ， QC ＝AQ∴∠B =∠BAP ，∠C =∠CAQ ．又∵∠BAP +∠ABP =∠APQ =60°，∠C +∠CAQ =∠AQP =60°，∴∠BAP =∠CAQ =30°．∴120BAC BAP PAQ CAQ Ð=Ð+Ð+Ð=°．故∠BAC 的度数是120°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了运用等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．【变式2-1】2．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD上，且2ED＝BC，则∠ACE＝_______【题型3】等边三角形的判定和性质1．（2022·山东·济南市济阳区垛石街道办事处中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________．【答案】2cm【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【详解】连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=∠B=∠CAN=∠C=30°∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∵BC=6cm，∴MN=2cm．故答案为：2cm．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式3-1】2．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ＝CD ，∠A ＝60°，延长DE 交于AB 于F ，若EF ＝2，则DF ＝_________．【答案】6【分析】由AB AC =，60A Ð=°得到△ABC 是等边三角形，由等边三角形的性质和AE EC CD ==，推出BE =4，再由∠DBE =∠CDE =30°，推出ED =BE =4，从而求出DF 的长度．【详解】解：∵AB AC =，60A Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，又∵AE EC =，∴∠AEB =90°，∠ABE =∠DBE =30°，∵∠ACB =60°，EC CD =，∴∠CED =∠CDE =30°，∴∠AEF=30°，∴∠FEB =60°，∴∠BFE =90°，∵2EF =，∴BE =4，∵∠DBE=∠CDE =30°，∴ED=BE =4，∴DF = ED+EF =6．故答案为6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是根据已知条件推出△BEF 是直角三角形．【题型4】含30度角的直角三角形1．（2020·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）如图，∠B =∠D =90°，AB =AD ，∠2=60°，BC =5，则AC =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2.5【答案】B 【分析】利用HL 证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ，推出∠1=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵∠B =∠D =90°，AB =AD ，AC =AC ，∴Rt △ACB ≌Rt △ACD （HL ），∴∠ACB =∠ACD =60°，∴∠1=30°，∵BC =5，∴AC =2BC =10，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ．【变式4-1】2．（2022·湖南·澧县教育局张公庙镇中学八年级期末）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，BE 平分ABC Ð，ED 垂直平分AB 于D ．若9AC =，则AE 的值是______．【答案】6【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得,AE BE ABE CBE A =Ð=Ð=Ð，再根据三角形的内角和定理可得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE x =-，在Rt BCE V 中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．【详解】解：BE Q 平分ABC Ð，ABE CBE \Ð=Ð，ED Q 垂直平分AB ，AE BE \=，ABE A \Ð=Ð，ABE CBE A \Ð=Ð=Ð，又90C Ð=°Q ，90ABE CBE A \Ð+Ð+Ð=°，解得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE AC AE x =-=-，Q 在Rt BCE V 中，90C Ð=°，30CBE Ð=°，2BE CE \=，即()29x x =-，解得6x =，即6AE =，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．一．选择题1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若12AB cm =，则阴影部分的面积是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．362．（2022·广东清远·八年级期中）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，1BC =，则AB =（ ）A ．2B C D ．1.5【答案】A 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC ，代入求出即可．【详解】解：Q 在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，2AB BC \=，1BC =Q ，2AB \=，故选：A ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质定理，能根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC 是解此题的关键．3．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在等边△ABC 中，AB ＝4cm ，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且30E Ð=o ，则CE 的长是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若BC ＝6，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2021·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）如图，D 是等边ABC V 的边AC 上的一点，E 是等边ABC V外一点，若BD CE =，12Ð=Ð，则对ADE V 的形状最准确的是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【答案】C 【分析】先根据已知利用SAS 判定△ABD ≌△ACE 得出AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，从而推出△ADE 是等边三角形．【详解】解：∵三角形ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∵BD ＝CE ，∠1＝∠2，在△ABD 和△ACE 中，12AB AC BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定是本题的关键，做题时要对这些知识点灵活运用．6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB ＝20米，AC ＝30米，∠A ＝150°，草皮的售价为a 元/米2，则购买草皮至少需要（ ）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元【答案】C 【详解】如图，过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴S△ABC=AB×CD÷2=×20×15÷2=150m2，∵草皮的售价为a元/米2，∴购买这种草皮的价格：150a元．故选C．二、填空题7．（2022·广东·平洲一中八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝_____cm．8．（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且Ð=_____．Ð=120°，那么BDC=，AOBOD OA【答案】60°【分析】由AOB Ð的度数利用邻补角互补可得出60AOD Ð=°，结合OD OA =可得出AOD D 为等边三角形，而根据旋转全等模型由SAS 易证出BAO CAD D @D ，根据全等三角形的性质可得出120ADC AOB Ð=Ð=°，再根据BDC ADC ADO Ð=Ð-Ð即可求出BDC ∠的度数．【详解】解：ABC D Q 为等边三角形，AB AC \=，60BAC Ð=°．120AOB Ð=°Q ，180AOD AOB Ð+Ð=°，60AOD \=°∠．又OD OA =Q ，AOD \D 为等边三角形，AO AD \=，60OAD Ð=°，60ADO Ð=°．60BAO OAC OAC CAD Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，BAO CAD \Ð=Ð．在BAO D 和CAD D 中，AB AC BAO CAD AO AD =ìïÐ=Ðíï=î，()BAO CAD SAS \D @D ，120ADC AOB \Ð=Ð=°，60BDC ADC ADO \Ð=Ð-Ð=°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明BAO CAD D @D ，找出120ADC AOB Ð=Ð=°是解题的关键．9．（2022·山东临沂·八年级期末）已知等腰ABC V 的一底角∠B =15°，且斜边AB ＝6cm ，则ABC V 的面积为__10．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且//a b，142Ð=°，则2Ð的度数为________．【答案】102°【分析】根据题意可求出BACÐ的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．【详解】Q三角形ABC为等边三角形\Ð=°BAC60//Qa b\Ð=Ð+Ð=°+°=°BAC214260102故答案为：102°．【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11．（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区秋实学校八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE = ，则BC =________．12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB AC =，点D 在BC 上，AD DE =，如果20BAD Ð=o ，∠AED ＝60o ，那么∠EDC 的度数为___度．【答案】10【分析】先证明△ADE 是等边三角形，从而得到∠ADE =∠AED =60°，再根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质得到∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，据此求解即可．【详解】解：∵AD =DE ，∠AED =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠AED =∠C +∠EDC ，∴∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，∴2∠EDC =60°-∠C +∠B -40°，∴∠EDC =10°，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ADE 是等边三角形是解题的关键．三、解答题13．（2021·辽宁营口·九年级期中）ABC V 与CDE △都是等边三角形，连接AD 、BE ．（1）如图①，当点B 、C 、D 在同一条直线上时，则BCE Ð=______度；（2）将图①中的CDE △绕着点C 逆时针旋转到如图②的位置，求证：AD BE =．【答案】（1）120；（2）证明见解析．【分析】（1）根据CDE △是等边三角形及点B 、C 、D 在同一条直线上即可求解；（2）证明BCE ACD D D ≌即可求解．【详解】解：（1）∵CDE △是等边三角形，∴60DCE Ð=°，∵点B 、C 、D 在同一条直线上，∴180BCE DCE ÐÐ+=°，∴180120BCE DCE ÐÐ=°-=°（2）∵ABC V 与CDE △都是等边三角形，∴BC =AC ，CE =CD ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在BCE V 与ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BCE ACD SAS D D ≌，∴BE =AD ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．14．（2021·江苏·南通田家炳中学一模）如图，已知点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE Ð的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90o．【分析】（1）作AF BC ^于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE V 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ^于F ．Q AB AC =，AD AE =，\BF CF =，DF EF =，15．（2021·江西·信丰县第七中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC与点D，交AC于点E．求证：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；（2）根据直角三角形中，30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．【详解】（1）证明：连接BE，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠C=30°．∵DE垂直平分BC，16．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点C 为线段AB 上一点，ACM V ，CBN V 是等边三角形，直线AN MC 、交于点E ，直线BM CN 、交于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：EC FC =；（3）求证：//AB EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）只需要证明△CAN ≌△CMB 即可得到答案；（2）根据△CAN ≌△CMB 得到∠EAC =∠FNC ，再由AC =MC ，∠ACE =∠MCF =60°，即可证明△AEC ≌△MFC ，得到CE =CF ；（3）根据CE =CF ，∠ECF =60°，推出△ECF 是等边三角形，则∠CEF =∠ACE =60°，即可得证．【详解】解：（1）∵△ACM 和△CBN 都是等边三角形，∴AC =MC ，CN =CB ，∠ACM =∠BCN =60°，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠BCN =60°，∴∠CAN =∠ACM +∠MCN =∠MCN +∠BCN =∠BCM =120°，∴△CAN ≌△CMB （SAS ），∴AN =BM ；（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠EAC=∠FNC，∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，∴△AEC≌△MFC（ASA），∴CE=CF；（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形，∴∠CEF=∠ACE=60°，∴EF∥AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．【答案】等边 6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明△ACE≌△CBG（S A S），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证△CEF≌△GBF（AA S），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∵BC＝2BD，∴BD＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．∴△ACD≌△ACE，∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∵BG＝CD，∴CE＝BG，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠ACD＝∠GBC＝120°，∴∠ACE＝∠GBC＝120°，∴△ACE≌△CBG（S A S），∴AE＝CG，∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∴∠BCE+∠BGC＝180°，∴BG∥CE，∴∠G＝∠FCE，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△CEF≌△GBF（AA S），∴CF＝GF，18．（2021·河北唐山·八年级期末）在三角形纸片ABC 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，4AC =，点E 在AC 上，3AE =．将三角形纸片ABC 按图中方式折叠，使点A 的对应点A ¢落在AB 的延长线上，折痕为ED ，A E ¢交BC 于点F ．（1）求CFE Ð的度数；（2）求BF 的长度．【答案】（1）60°；（2）1．【分析】（1）先根据折叠的性质可得30A A ¢Ð=Ð=°，再根据邻补角的定义可得90A BF =¢Ð°，然后根据直角三角形的性质可得60A FB ¢Ð=°，最后根据对顶角相等即可得；（2）先根据线段的和差可得1CE =，再根据等边三角形的判定与性质可得1EF CE ==，然后根据折叠的性质可得3A E AE ¢==，从而可得2A F ¢=，最后利用直角三角形的性质即可得．【详解】（1）由折叠的性质得：30A A ¢Ð=Ð=°，90ABC Ð=°Q ，点A ¢落在AB 的延长线上，18090ABC A BF ¢Ð=°Ð=-\°，9060A FB A ¢¢\Ð=°-Ð=°，由对顶角相等得：60CFE A FB ¢Ð=Ð=°；（2）4,3C E A A ==Q ，1CE AC AE \=-=，Q 在ABC V 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，9060C A \Ð=°-Ð=°，由（1）知，60CFE Ð=°，。

等边三角形（基础）【学习目标】1. 掌握等边三角形的性质和判定.2. 掌握含30°角的直角三角形的一个主要性质．3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等边三角形等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．要点二、等边三角形的性质等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.要点三、等边三角形的判定等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．要点四、含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、等边三角形例1、如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．举一反三：1.等边△ABC ，P 为BC 上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，使三角板绕P 点旋转．如图，当P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状.2.已知：如图，B 、C 、E 三点共线，ABC ∆，DCE ∆都是等边三角形，连结AE 、BD 分别交CD 、AC 于N 、M ，连接MN.求证：AE ＝BD ，MN ∥BE.3.如图，△ABD，△ACE都是正三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=度．例2、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，AD＝CE，求∠BPD的度数.举一反三：1.△ABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，∠AQN等于多少度？2、如图，△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，使AE ＝BD ，连接CE 、DE. 求证：CE ＝DE.ED BA3.如图所示，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．试探究线段CN 、BM 、MN 之间的关系，并加以证明．例3、（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；（2）如图，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．【变式】如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，求∠AFB 的度数.类型二、含30°的直角三角形例4、如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．1.如图, △ABC中, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝60°, AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E, 已知DE＝2.则 AC的长为_________.2.如图所示，∠A＝60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD与CE相交于点H，HD＝1，HE＝2，试求BD和CE的长．3.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，∠BAC＝120°．求证：12DE DF BC+=．4.如图所示，在等边△ABC中，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，求证：BP＝2PQ．。

等边三角形直角三角形讲义关键信息项1、协议目的：明确等边三角形和直角三角形的相关知识和教学要点。

2、适用范围：适用于数学教学、学术研究等领域。

3、协议有效期：自签订之日起X年内有效。

4、知识要点涵盖：等边三角形和直角三角形的定义、性质、判定方法等。

5、教学方法与资源：包括讲解示例、练习题目、多媒体资料等。

6、考核与评估方式：如考试、作业、课堂表现等。

7、版权与使用权限：明确讲义的版权归属和使用限制。

8、协议变更与终止条件：规定在何种情况下可以变更或终止协议。

11 等边三角形的定义等边三角形是指三条边长度相等的三角形。

111 等边三角形的性质1、等边三角形的三个内角相等，均为 60°。

2、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。

3、等边三角形的中线、高线和角平分线三线合一。

112 等边三角形的判定方法1、三条边都相等的三角形是等边三角形。

2、三个角都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

12 直角三角形的定义直角三角形是指其中一个角为 90°的三角形。

121 直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余。

2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3、直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

4、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

122 直角三角形的判定方法1、有一个角为 90°的三角形是直角三角形。

2、若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。

13 等边三角形与直角三角形的关系1、等边三角形不可能是直角三角形，因为等边三角形的三个角均为 60°。

2、直角三角形中，如果一个锐角为 60°，另一个锐角为 30°，则三条边的长度关系满足特定比例。

14 教学方法141 理论讲解通过课堂讲解，让学生理解等边三角形和直角三角形的定义、性质和判定方法。

第02讲等边三角形的性质与判定(4类热点题型讲练)1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力；2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力.知识点01等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60 ；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.知识点02等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60 的等腰三角形是等边三角形.题型01等边三角形的性质【答案】15 /15度【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理；根据等边三角形的180均为等边三角形，点【答案】88是【分析】本题考查了等边三角形的性质，利用三角形全等的判定和性质解答即可．（1）根据等边三角形的性质，结合三角形内角和定理计算即可．(2)根据(1)的结论，结合等边三角形的性质，运用三角形全等的判定可以证明故答案为：是．题型02等边三角形的判定【例题】（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在ABC 中，40A ，点E 在边AC 上，连接,BE C CBE ．若20ABE ，求证：BCE 是等边三角形．【答案】详见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定，根据有一角是60 的等腰三角形是等边三角形即可求证．【详解】证明：C CBE ∵，BCE △为等腰三角形，又40,20A ABE ∵，402060BEC A ABE ，BCE △是等边三角形．【变式训练】1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点E 在ABC 的外部，点D 在边BC 上，DE 交AC 于点F ，若12 ，AE AC ，B ADE ．(1)求证：AB AD ；(2)若160 ，判断ABD △的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析2．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，ABC 中，D 为AC 边上一点，ED 的延长线交BC 的延长线于F ，且EF AB ，CD CF ．(1)求证：ABC 是等腰三角形；(2)当F 等于多少度时，ABC 是等边三角形？请证明你的结论．【答案】(1)证明见解析(2)当30F 时，ABC 是等边三角形，证明见解析【分析】（1）先根据等边对等角和三角形外角的性质证明2ACB CDF ∠∠，再由对顶角相等得到2ACB ADE ，由垂线的定义和三角形内角和定理推出2180A ACB ，再由180B A ACB ，得到A B ，推出AC BC ，由此即可证明ABC 是等腰三角形；（2）根据（1）所求，只需要满足60ACB 即可，再由三角形外角的性质即可得到F 的度数，据此可得答案．【详解】（1）证明：∵CD CF ，∴CDF F ，∵ACB CDF F ，∴2ACB CDF ∠∠，∵CD F A D E ，∴2ACB ADE ，∵EF AB ，∴90A ADE ，∴22180A ADE ，∴2180A ACB ，又∵180B A ACB ，∴A B ，∴AC BC ，∴ABC 是等腰三角形；（2）解：当30F 时，ABC 是等边三角形，证明如下：∵CDF F ，ACB CDF F ，∴60ACB CDF F ∠∠∠，∵AC BC ，∴ABC 是等边三角形．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明AC BC 是解题的关键．题型03等边三角形的判定和性质【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考期中）如图，已知ABC 和CDE 均是等边三角形，点B ，C ，D 在同一条直线上，BE 与AD 交于点O ．(1)求证：AD BE ；(2)若AD 与CE 交于点N ，AC 与BE 交于点M ，连接MN ，求证：CMN 为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质：（1）根据已知条件证明≌ACD BCE V V 即可得证；（2）证明60ACE ，再证明 ASA CAN CBM ≌可得CM CN ，进而证明CMN 为等边三角形；【详解】（1）证明：∵ABC 和CDE 均是等边三角形，AC BC ，CD CE ，60ACB ECD ，ACB ACE ECD ACE ，即BCE ACD ，在ACD 和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE， SAS ACD BCE △≌△，AD BE ；（2）证明：由（1）得60ACB ECD ，18060ACN ACB ECD ，由（1）得≌ACD BCE V V ，CAD CBE ，即CAN CBM ，在CAN △和CBM 中，CAN CBM CA CB ACN BCM， ASA CAN CBM ≌，CM CN ，又∵60MCN ，CMN 为等边三角形．【变式训练】1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，在等边ABC 中，点O 在ABC 内，OB OC ，且OD AB ∥，OE AC ∥．的形状，并说明理由；(1)试判定ODE(2)判断线段BD，CE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)ODE是等边三角形，理由见解析；，理由见解析．(2)BD CE【分析】本题考查的是等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：是等边三角形；（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到ODE（2）证明OBD OCE≌，即可．是等边三角形．【详解】（1）解：ODE∵ 是等边三角形，理由：ABC．ABC ACB60∥，又OD AB∵∥，OE AC，60ODE OED，60DOE是等边三角形．ODE．（2）解：BD CE是等边三角形，理由：由（1）知ODE，ODC OED60．ODB OEC120∵，OB OC．OBD OCE在OBD△中，和OCE的度数；(1)求ADC的形状并加以证明；(2)判断ABE(3)连接DE，若DE BD【答案】(1)150【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．题型04含30°角的直角三角形三边的数量关系是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，【例题】（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，ABC．使CE CD；(1)求证：DB DE(2)过点D作DF垂直于BE【答案】(1)证明见解析36(1)如图1：求证：AD CE ；(2)如图2，取BD 的中点F ，连接AE AF 、，求证：CAE BAF ；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F 作FH AE 于点H ，求证：3EH AH ．【答案】(1)证明过程见详解∴CF CD BC AC，∵AC BC ，∴CF CD ，∴G DAF ，CBG∴120ABG ABC CBG ACE ，∵点F 是BD 的中点，∴BF DF ，在BFG ，DFA 中，G DAF BFG DFA BF DF，∴ BFG DFA AAS ≌，∴BG AD ，由（1）可知，AD CE ，∴BG CE ，在ABG ，ACE 中，AB AC ABG ACE BG CE，∴ ABG CAE SAS ≌，∴CAE BAF ；（3）证明：由（2）可知，BAF CAE ，∴60FAE FAC CAE FAC BAF BAC ，∵FH AE ，∴90AHF ，∴9030AFH FAE ，在Rt AFH 中，2AF AH ，∵BFG DFA ≌，∴2GF AF AH ，∵ABG ACE ≌，∴24AE AG AF AH ，∴43EH AE AH AH AH AH ，即3EH AH ．一、单选题A ．4cmB ．5【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系．先根据等边三角形的性质得出130,CBD ABC BDA．1B 【答案】CA．50【答案】B【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的性质得出60C ，根据直角三角形的性质求出90600CDF 3，再根据平角定义求解即可．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60C ，∵DF AC 于F ，DE BC 交AB 于点E ，∴90BDE CFD ，∴90600CDF 3，∴180903060EDF ，故选：B ．4．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图，60AOB ，点C 是射线OA 上一点，且6OC ，点D ，E 在射线OB 上，且CD CE ，4DE ．则OD 的长为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，过点C 作CF DE ，垂足为F ，根据题意得出9030OCF AOB ，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：过点C 作CF DE ，垂足为F ，90CFO ，60AOB ∵，A．3B【答案】A【分析】根据等边三角形的性质可得等，根据全等三角形对应边相等可得二、填空题（1）D；（2）若3CD AE，CF 【答案】30 /30DE AB ∵⊥，60A ，30AGE CGD 30D ∵，【答案】23【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，首先根据等边三角形的性质得60BAC DAE ，AB AC ，AD AE ACE △全等，从而得出6BD CE ，4BC ，然后过点∵ABC 是等边三角形，∴12BH CH BC 在Rt AHC 中，AC 【答案】110cm 44cm【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先判定ACD 与EDF 是两个全等的等边三角形，从而求出≌由题意可知：AC C D D E E F ∵90C D E ，E H AB ，∵222C G D G C D ，即， 2224355x x ，解得：11x ，∴44cm D H C G ，33cm D G ，∴266cm 288cm AD D G D F D H ，，∴154cm AF AD D F ，∴相比第一次，门拉伸的长度为：154cm 110cm 44cm AF AF ，故答案为：110cm ；44cm ．三、解答题(1)若6AD ，求CD 的长；(2)判断BCE 的形状，并说明理由．【答案】(1)3CD(1)证明：GF FC；(2)求CG的长．【答案】(1)见解析∵2FG ，30C∴1FH ，∴3MG ，(1)求证:ABE CAD △△≌;(2)求BPQ 的度数;(3)求BE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)60(3)21【分析】本题考查全等三角形判定及性质,等边三角形性质,含30°角的直角三角形三边关系．（1）根据SAS 证明ABE CAD △△≌即可,（2）根据全等三角形性质得出ABE CAD ,继而得到本题答案,（3）根据含30 角的直角三角形三边关系即可得到本题答案．【详解】（1）解:证明:∵ABC 为等边三角形,∴AB AC ,60BAC C ,在ABE 和CAD 中,AB AC BAC C AE CD,∴ SAS ABE CAD ≌,（2）解:由（1）知ABE CAD △△≌,∴ABE CAD ,AD BE ,∴60BPQ BAD ABE BAD CAD ,故答案为:60 ．（3）解:∵BQ AD ,60BPQ ,∴30PBQ ,∴218BP PQ ,∴18321BE BP PE ．14．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，ABC 为等边三角形，D E 、分别是BC AC 、上的点，连接AD 和BE 相交于点F ．(1)如图1，若D E 、分别为BC AC 、的中点，求证：2AF FD(2)如图2，若BD CE ，求证：60AFE ；(3)如图3，在（2）的条件下，连接FC ，若,2FC AD BD ，求CD 的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)4．【分析】本题考查了三角形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到AF BF ，再根据30 角对的直角边是斜边的一半即可证明；（2）根据等边三角形的性质得到AB AC BC ，60ABD BCE ，证明 SAS ABD BCE ≌V V ，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理即可证明；（3）连接DE ，由ABE CAD ≌，可得F 、E 、D 、C 四点共圆，即有90CPD DEC ，再用30度角所对的边等于斜边的一半求解即可．【详解】（1）证明：∵ABC 为等边三角形，D E 、分别为BC AC 、的中点，ABC∵ 是等边三角形， ，ABC AB AC BC(1)求证：ABD CDE ；(2)如图2，若60BAC ，求证：AD CE ；(3)如图3，在（2）的条件下，点F 是ABC 外一点，连接FC ，AF ，BF ，且FC 平分AFB ，若CF【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4BF 【分析】（1）根据AB AC ，得到A ABC CB ∠，由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论；（2）过点D 作DH BC ∥，交AB 于点H ，根据已知证明ADH 为等边三角形，再证明 AAS BDH DEC ≌ ，即可得出结论；（3）过点C 作CN BF 于点N ，过点C 作CH FA 的延长线于点H ，先证明 AAS CNF CHF ≌ ，再证明 Rt Rt HL BCN ACH ≌ ，推出180AFB ACB ，设AF m ，则2BF m ，建立关于m 的一元一次方程，求出m 即可．【详解】（1）证明：∵AB AC ，∴A ABC CB ∠，∵DB DE ，∴DBC DEC ，∵ABC ABD DBC ，ACB CDE DEB ，∴ABD CDE ；（2）证明：过点D 作DH BC ∥，交AB 于点H ，∵AB AC ，60BAC ，ABC 为等边三角形；60ABC ACB ，60AHD ADC ABC ACB ,AHD 为等边三角形；AH AD HD ，由（1）知ABD CDE ，∵18060,180120BHD AHD DCE ACB ，BHD DCE ，在BDH △与DEC 中，ADB DCE ABD CDE BD CE， AAS ADH DEC ≌ ；DH CE ，AD CE ；（3）解：过点C 作CN BF 于点N ，过点C 作CH FA 的延长线于点H ，∵FC 平分AFB ，CFN CFA ，∵CN BF ，CH FA ，90CNF CHF ，AAS CNF CHF ≌ ；CN CH ，NF HF ，由（2）知ABC 为等边三角形，BC AC ，Rt Rt HL BCN ACH ≌ ；BN AH ，BCN ACH ，∵180CFH FCA ACH CFN FCN ，180CFH FCA BCN CFN FCN ，180AFB ACB ，60ACB ∵，120AFB ，60AFC ，6CF Q ，3FH NF ；设AF m ，则2BF m ，∵FH FN ，∴323m m ，∴2m ，∴4BF ．【点睛】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键．16．（2023上·湖北鄂州·八年级统考期中）【问题原型】如图1、图2，已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC CB ，为边在线段AB 同侧作ACD 和BCE ，且AC DC ，BC EC ，ACD BCE ，直线AE 与BD 交于点F ．，ACE DCB ∵ ≌，AE BD ，ACE △△D CB S =S ，12ACE S AE CM ∵，12DCB S BD CN。

中考数学复习----《等边三角形》知识点总结与练习题（含答案解） 知识点总结1. 等边三角形的概念：三条边都相等的三角形是等边三角形。

2. 等边三角形的性质：①等边三角形的三条边都相等，三个角也相等，且三个角都等于60°。

②等边三角形三条边都存在“三线合一”③等腰三角形是一个轴对称图形，有三条对称轴。

④等腰三角形的面积等于243a （a 为等腰三角形的边长）。

3. 等腰三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等（两个角是60°）的三角形是等腰三角形。

③底和腰相等的等腰三角形是等边三角形。

④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

练习题1、（2022•鞍山）如图，直线a ∥b ，等边三角形ABC 的顶点C 在直线b 上，∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．60°D ．50°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A ＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝60°，∵∠A +∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．2、（2022•绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（）A．是轴对称图形B．对称轴的交点是其重心C．是中心对称图形D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合【分析】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，故A选项不符合题意；三条高线的交点为等边三角形的重心，∴对称轴的交点是其重心，故B选项不符合题意；等边三角形不是中心对称图形，故C选项符合题意；等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，故D选项不符合题意，故选：C．3、（2022•海南）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．80°B．100°C．120°D．140°【分析】先根据等边三角形的性质可得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由三角形外角的性质可得∠AEF的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°．对于△AEF，∵∠1＝∠A+∠AEF＝140°，∴∠AEF＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵m∥n，∴∠2+∠DEB＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：B．4、（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝3，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A ．43B ．23C ．433D ．3【分析】将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°得△CDB ，连接OD ，可得△BOD 是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得∠COD ＝90°，从而解决问题．【解答】解：将△AOB 绕点B 顺时针旋转60°得△CDB ，连接OD ，∴OB ＝BD ，∠OBD ＝60°，CD ＝OA ＝2，∴△BOD 是等边三角形，∴OD ＝OB ＝1，∵OD 2+OC 2＝12+（）2＝4，CD 2＝22＝4，∴OD 2+OC 2＝CD 2，∴∠DOC ＝90°，∴△AOB 与△BOC 的面积之和为S △BOC +S △BCD ＝S △BOD +S △COD ＝×12+＝， 故选：C ．。

1.2等边三角形等边三角形的定义和性质定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°，三边都相等，也具有“三线合一”的性质． 注意：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝. （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.题型1：等边三角形与角度计算1.如图，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上，∠DBC ＝40°，则∠ADB 的度数为（ ）A ．25°B ．60°C ．90°D ．100°【变式1-1】如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）A ．90°B ．120°C ．180°D ．无法确定【变式1-2】如图，在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在△ABC 外，AD ＝AE ．若∠BAD ＝20°，∠DAE ＝70°，求∠CAE 和∠CDE 的度数．1802A︒-∠题型2：等边三角形与长度、周长计算2.如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，求BE的长度．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝150°，△ABD是等边三角形，AB＝8，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长．【变式2-2】如图，在等边三角形ABC中，D为AB的中点，DE⊥AC于E，EF∥AB，若AE＝1，求：△EFC 的周长．题型3：等边三角形与证明3.如图，△ABC是正三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD，CD的垂直平分线分别交BC于E，F．求证：BE＝CF．【变式3-1】如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．【变式3-2】已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．题型4：等边三角形与规律性问题4.如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（）A．16B．32C．64D．128【变式4-1】如图，△ABC是边长为2的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2012＝．【变式4-2】如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为．题型5：等边三角形与动点问题5.如图，等边三角形ABC的周长为30cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，点P以6cm/s的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14cm/s的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇的时间为t1，第二次在三角形ABC顶点处相遇的时间为t2，则t2＝．【变式5-1】已知：如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的四分之三？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由．【变式5-2】如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，D是边BC的中点．点P从点A出发，沿AB﹣BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．同时点Q从点C出发，沿CA﹣AC以每秒1个单位长度的速度运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）求线段PB的长（用含t的代数式）．（2）当△PQD是等边三角形时，求出t的值．等边三角形的判定判定1：三个角相等的三角形是等边三角形.判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.题型6：等边三角形的判定6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．【变式6-1】如图，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC，延长BC至E，恰好使得CE＝CD，BD＝DE．（1）求：∠E的度数；（2）求证：△ABC为等边三角形．【变式6-2】已知，如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形．含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.题型7：含有30°角的直角三角形7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，DE＝3，∠B＝30°，则BC＝（）A．7B．8C．9D．10【变式7-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若AB＝8cm，则BD＝cm．【变式7-2】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．题型8：等边三角形的判定与性质的综合应用8.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【变式8-1】在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．【变式8-2】学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC ＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.注意：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成立；（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.题型9：反证法9.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．求证：∠1+∠2＝180°．证明：假设∠1+∠2180°．【变式9-1】用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．求证：∠1＝∠A+∠B．【变式9-2】利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．。

等边三角形直角三角形讲义一、三角形的基本概念在几何学中，三角形是由三条线段首尾相连所组成的封闭图形。

三角形具有稳定性，这使得它在建筑、工程和日常生活中有着广泛的应用。

三角形的内角和为 180 度，根据三角形内角的大小和边的长度关系，可以将三角形分为不同的类型，其中等边三角形和直角三角形是两种非常特殊且重要的三角形。

二、等边三角形（一）定义等边三角形，也被称为正三角形，是指三条边长度相等的三角形。

由于三条边相等，所以三个角也相等，每个角都是 60 度。

（二）性质1、等边三角形的三条边相等，即 AB ＝ BC ＝ AC 。

2、三个内角相等，都为 60 度，∠A ＝∠B ＝∠C ＝ 60°。

3、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条边的高所在的直线。

4、等边三角形的内心、外心、重心、垂心四心合一，称为中心。

（三）判定1、三条边都相等的三角形是等边三角形。

2、三个角都相等的三角形是等边三角形。

3、有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形。

（四）面积和周长1、周长：等边三角形的周长等于三条边的长度之和，即C ＝3a ，其中 a 为边长。

2、面积：可以使用公式 S ＝√3/4 × a² 来计算等边三角形的面积，其中 a 为边长。

（五）实际应用等边三角形在生活中有着不少的应用。

例如，一些道路标志、装饰图案等会采用等边三角形的形状。

在建筑设计中，等边三角形的结构稳定性也可能被利用。

三、直角三角形（一）定义直角三角形是指其中一个角为 90 度的三角形。

这个 90 度的角被称为直角，直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。

（二）性质1、直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是著名的勾股定理，即 a²＋ b²＝ c²，其中 a、b 为直角边，c 为斜边。

2、直角三角形的两个锐角互余，即∠A ＋∠B ＝ 90°。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

等边三角形【导入】如图，在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC 于点D ，DE ∥AB 交AC 于点E ，△ADE 是等腰三角形吗？为什么？1. 的三角形叫做等边三角形。

2.等边三角形的三个角是什么关系？试证明。

如图：△ABC 是等边三角形 求证：∠A=∠B=∠C总结：等边三角形的三条边 。

等边三角形的三个角 ，每个角等于 。

练习： 1.如图，在正△ABC 中，D 为BC 中点，则∠BAD 的度数为 。

2.如图，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AB=10cm ，则线段DC 的长为 cm ．3.如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= 度．4.如图，△ABC 是等边三角形，BC ⊥CD ，且AC=CD ，则∠BAD 的度数为（ ）三．例题.如图，已知△ABC 与△ADE 都是正三角形． 问：（1）EB 与DC 相等吗？为什么？（2）∠BDC 与图中哪个角相等？为什么？AC已知：如图等边三角形ABC 中，D 是AC 中点，过C 作CE ∥AB ，且AE ⊥CE ，求证：BD=AE ．四．如图:△ABC 是等边三角形,作线段AD ⊥BC 垂足为D 。

则有：1. △ABD 是 三角形，∠BAD= °。

2.BD 与CD 有怎样的数量关系？与BC 呢？3.BD 与AB 有怎样的数量关系？总结：在 三角形中，30°角所对的 边是 边的 。

练习：1.在Rt △ABC 中， ∠A :∠B: ∠C =1:2:3 ,若AB=10cm ，则BC 的长 。

2.如图所示，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，BD=3， 则∠1的度数为 ，AB= ．3.如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 中点，DE ⊥AC 于E ，若CE=1， 则AB= 。

4.如图，已知：等边三角形ABC ，点D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FE ⊥BC ，垂足为E ，若三角形ABC 的边长为4． 求：（1）线段AF 的长度；（2）线段BE 的长度．A C5.如图，已知在△ABC中，120，，的垂直平分线EF交AC于点E，交BC=∠=︒AB AC BAC AC于点F，试说明2=．BF CF6.如图，△ABC是等边三角形，则∠1+∠2= 。

等边三角形重难点易错点解析例1.题面：如图，△ABC 为等边三角形，∠BAD =∠CBE =∠ACF ．(1)求∠EDF 的度数；(2)求证：△DEF 为等边三角形． E DFB C A等边三角形的定义：三边相等的三角形是等边三角形等边三角形的性质：三边相等，3个60°等边三角形的判定：3边相等，2个60°，含有1个60°的等腰三角形例2.题面：已知，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，请证明：AB =2BC .ABC30°的直角三角形：30°所对的直角边是斜边的一半金题精讲题一题面：已知△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点.(1)若AD =BE =CF ．试证明△DEF 是等边三角形．D B C AEF题二题面：如图，等边△ABC 与等边△DEC 共顶点于C 点．求证：AE =BD ． BC DAE题三题面：如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线与BC 交于点D ，交AB 于E ，DB =8，求AC 的长． D EBAC题四题面：如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB =105°，∠BOC =α．以OC 为边作等边△OCD ，连接AD ．(1)请证明：OB =AD ．B思维拓展题面：等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是 .讲义参考答案重难点易错点解析例1.答案：(1)60° (2)略两个60°例2.答案：略金题精讲题一答案：(1)略 (2)是，证明略题二答案：略题三答案：4题四答案：(1)略 (2)不能，理由略思维拓展答案：1。

1
的度数为．
重合），点在点的左侧，点关于直线的对称点为
运动的过程中，小明通过观察、实验，提出以下两个猜想：
）始终有．
（填序号），请证明你的结论．
2
学年北京朝阳区八十中学初二上学期期中第18题3分
的等边三角形，将等边三角形拼成梯形．
之间的一个等式．
的一个符合上述规律的图形（网格的每一个小三角形的边长
示意图
3
已知
1
的度数为．
重合），点在点的左侧，点关于直线的对称点为
运动的过程中，小明通过观察、实验，提出以下两个猜想：
）始终有．
（填序号），请证明你的结论．
连接，过作交于，∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，，∴≌，
∴，
∵与关于对称，
∴，，∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在与中，
，
∴≌，
2
3
已知。

等边三角形与直角三角形一．选择题（共3小题）1．（2019•天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（1，√3）C．（√3，1）D．（√3，√3）2．（2019•朝阳）把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，若∠B＝25°，∠D＝58°，则∠BCE的度数是（）A．83°B．57°C．54°D．33°3．（2019•黄石）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（）A．125°B．145°C．175°D．190°二．填空题（共8小题）4．（2019•锦州）如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n﹣1BA n，记△OO1A的面积为S1，△O1O2A1的面积为S2，△O2O3A2的面积为S3，…，△O n﹣1O n A n﹣1的面积为S n，则S n＝．（n≥2，且n为整数）5．（2019•大连）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD．若AB＝2，则AD的长为．6．（2019•镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝°．7．（2019•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD 边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC 的长为．8．（2019•丹东）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE＝1，则BC的长是．9．（2019•齐齐哈尔）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD=12AC，则等腰△ABC底角的度数为．10．（2019•聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF=12BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为．11．（2019•上海）如图，已知直线11∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝度．等边三角形与直角三角形参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．【解答】解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，∴OH＝1，BH=√3．∴点B的坐标为（1，√3）．故选：B．2．【解答】解：过点C作CF∥AB，∴∠BCF＝∠B＝25°．又AB∥DE，∴CF∥DE．∴∠FCE＝∠E＝90°﹣∠D＝90°﹣58°＝32°．∴∠BCE＝∠BCF+∠FCE＝25°+32°＝57°．故选：B．3．【解答】解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，∴DF=12AC＝CF，又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF，∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠B ＝50°，∴∠BCD +∠BDC ＝130°，∵∠BCD 和∠BDC 的角平分线相交于点E ，∴∠DCE +∠CDE ＝65°，∴∠CED ＝115°，∴∠ACD +∠CED ＝60°+115°＝175°，故选：C ．二．填空题（共8小题）4．【解答】解：由题意：△OO 1A ∽△O 1O 2A 1∽△O 2O 3A 2，…，∽△O n ﹣1O n A n ﹣1，相似比：O 1A 1OA =OO 1OA =sin60°=√32， ∵S 1=S △AOO 1=12×1×√3=√32，S 2S 1=34， ∴S 2=34S 1，S 3＝（34）2•S 1，…，S n ＝（34）n ﹣1•S 1＝（34）n ﹣1•√32， 故答案为：（34）n ﹣1•√32． 5．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∵CD ＝AC ，∴∠CAD ＝∠D ，∵∠ACB ＝∠CAD +∠D ＝60°，∴∠CAD ＝∠D ＝30°，∴∠BAD ＝90°，∴AD =AB tan30°=2√33=2√3． 故答案为2√3．6．【解答】解：∵△BCD 是等边三角形，∴∠BDC ＝60°， ∵a ∥b ，∴∠2＝∠BDC＝60°，由三角形的外角性质可知，∠1＝∠2﹣∠A＝40°，故答案为：40．7．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2∴OC=√CF2−OF2=2√3∴BC=√BO2+OC2=2√78．【解答】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝1，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠B＝∠DAB，∵∠DAB＝∠CAD，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，∵∠C＝90°，∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，∴BC＝BD+CD＝1+2＝3，故答案为：3．9．【解答】解：①如图1，当点B是顶角顶点时，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AD＝CD，∵BD=12AC，∴BD＝AD＝CD，在Rt△ABD中，∠A＝∠ABD=12×（180°﹣90°）＝45°；②如图2，当点B是底角顶点，且BD在△ABC外部时，∵BD=12AC，AC＝BC，∴BD=12BC，∴∠BCD＝30°，∴∠ABC＝∠BAC=12×30°＝15°；③如图3，当点B是底角顶点，且BD在△ABC内部时，∵BD=12AC，AC＝BC，∴BD=12BC，∴∠C ＝30°，∴∠ABC ＝∠BAC =12（180°﹣30°）＝75°；故答案为：15°或45°或75°．10．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，∴∠A ＝30°，∴AB ＝2a ，AC =√3a ．∵DE 是中位线，∴CE =√32a ．在Rt △FEC 中，利用勾股定理求出FE ＝a ，∴∠FEC ＝30°．∴∠A ＝∠AEM ＝30°，∴EM ＝AM ．△FMB 周长＝BF +FE +EM +BM ＝BF +FE +AM +MB ＝BF +FE +AB =92a ． 故答案为92a ． 11．【解答】解：∵D 是斜边AB 的中点，∴DA ＝DC ，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠2＝∠DCA+∠DAC＝60°，∵11∥l2，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣60°＝120°．故答案为120．。