。2020年五省优创名校第二次联考数学考试卷(理科)

第5题2020学年浙江省第二次五校联考数学（理科）试题卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{|31}M x y x ==-,22{|log (2)}N x y x x ==-,则()R C M N ⋂=（ ）A. 11(,)32B. 11(,)[,)32-∞⋃+∞C. 1[0,]2D. 1(,0][,)2-∞⋃+∞ （2）复数226(12)a a a a i --++-为纯虚数的充要条件是（ ）A ．3a =或2a =-B ．3a =或4a =-C ．3a =D ．2a =- （3）若函数cos(2)(0)y x ωϕω=+>的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则ω为（ ） A ．21B ．1C ．2D ．4 （4）已知A 、B 是两个不同的点，n m 、是两条不重合的直线，βα、是两个不重合的平面，则①α⊂m ，α∈⇒∈A m A ；②A n m =I ，α∈A ，α∈⇒∈B m B ；③α⊂m ，β⊂n ，βα////⇒n m ；④⊂m α，βαβ⊥⇒⊥m ．其中真命题为（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ （5）若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是（ ）（6）已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的离心率等于（ ）A. 3B.2C.3D.4第9题（7）已知ABC ∆中，4,43AB AC BC ===，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r满足（ ）A.最大值为16B.为定值8C.最小值为4D.与P 的位置有关（8）实数,,,a b c d 满足,,,0a b c d a b c d ab cd <<+<+=<，则,,,a b c d 四个数的大小关系为（ ）A. c d a b <<<B. a b c d <<<C. c a d b <<<D. a c b d <<< （9）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端 的数均为1n（2n ≥），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…， 则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）A ．1360 B ．1504 C ．1840D ．11260（10）,P Q 是两个定点，点M 为平面内的动点，且MP MQλ=（0λ>且1λ≠），点M 的轨迹围成的平面区域的面积为S ，设()S f λ=（0λ>且1λ≠）则以下判断正确的是（ ）A ．)(λf 在)1,0(上是增函数，在），（∞+1上是减函数B ．)(λf 在)1,0(上是减函数，在），（∞+1上是减函数C ．)(λf 在)1,0(上是增函数，在），（∞+1上是增函数D ．)(λf 在)1,0(上是减函数，在），（∞+1上是增函数第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.（11）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60]元的同学有30人，则n 的值为 ．（12）如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图．阅读右边的流程图，并回答下面问题：若01,,,mm m m a m b m c m <<===，则输出的数是 ．元频率 组距20 30 40 50 600.010.036 0.024 第11题第12题（13）已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则b ca + ．（14）已知四棱锥P-ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD 的体积为________．（15）有,,,A B C D 四个城市，它们各有一个著名的旅游点依此记为,,,a b c d ．把,,,A B C D 和,,,a b c d 分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，如果某个旅游点是与该旅游点所在的城市相连的（比如A 与a 相连）就得2分，否则就得0分；则该爱好者得分的数学期望为 ．（16）已知向量,,a b c r r r 满足2,1a b c ===r r r ，()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则a b -r r的取值范围为 ．（17）已知函数931()931x x x xk f x +⋅+=++，若对任意的实数123,,x x x ，均存在以123(),(),()f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题, 共72分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （18）（本小题满分14分）已知函数2π()2sin 3cos 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围（19）（本小题满分14分）已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -+=∈的两实根，且1 1.a =（Ⅰ）求证：数列1{2}3nn a -⨯是等比数列； （Ⅱ）n S 是数列{}n a 的前n 项的和．问是否存在常数λ，使得n n b S λ>对*n N ∀∈都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．第14题（20）（本小题满分15分）如图，已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º，2==BC RB ． 点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置， 使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --（21）（本小题满分15分）已知点(,1)P a -（a R ∈）,过点P 作抛物线2:C y x =的切线，切点分别为11(,)A x y 、22(,)B x y （其中12x x <）．（Ⅰ）求1x 与2x 的值（用a 表示）；（Ⅱ）若以点P 为圆心的圆E 与直线AB 相切，求圆E 面积的最小值．（22）（本小题满分14分）已知函数32,1,()ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩（Ⅰ）求()f x 在[1,]e -（e 为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅱ）对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上2020学年浙江省第二次五校联考数学（理科）答案第Ⅰ卷（共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目第Ⅱ卷（共100分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.（11）100．（12）c .（13）3-.（14）23. （15）2分.（16）1]+.（17）142k -≤≤.三．解答题：本大题共5小题, 共72分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. （18）解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． ……3分又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3,()2f x f x ==∴．……7分（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，……9分max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．……14分（19）解：（Ⅰ）证明：1,n n a a +Q 是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -⋅+=∈的两实根，112nn n n n n a a b a a ++⎧+=⎪∴⎨=⋅⎪⎩ ……2分111111222(2)333 1.111222333n n n n n n n n n nn n n a a a a a a +++-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯Q 故数列1{2}3n n a -⨯是首项为12133a -=，公比为-1的等比数列．……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1112(1)33n n n a --⨯=⨯-，即1[2(1)]3n n n a =--2321211(2222)[(1)(1)(1)]33n n n n S a a a ∴=+++=++++--+-++-L L L11(1)1[22].32n n +--=-- ……8分 因此，1121111[2(1)][2(1)][2(2)1]99n n n n n n n n n b a a ++++=⋅=--⨯--=---要使n n b S λ>，对*n N ∀∈都成立，即211*1(1)1[2(2)1][22]0,()932n n nn n N λ++-------->∈（*） ……10分①当n 为正奇数时，由（*）式得：2111[221](21)093n n n λ+++--->即111(21)(21)(21)093n n n λ++-+-->， 11210,(21)3n n λ+->∴<+Q 对任意正奇数n 都成立，因为1(21)(3n n +为奇数）的最小值为1．所以 1.λ<……12分②当n 为正偶数时，由（*）式得：2111(221)(22)093n n n λ++---->， 即112(21)(21)(21)093n n nλ++--->11210,(21)6n n λ+->∴<+Q 对任意正偶数n 都成立，因为11(21)(6n n ++为偶数）的最小值为3.23.2λ∴< 所以，存在常数λ，使得n n b S λ>对*n N ∀∈都成立时λ的取值范围为(,1)-∞． ……14分BC . （20）解：（Ⅰ）∵点A 、D 分别是RB 、∴∠RBC RAD PAD ∠=∠==90º.∴AD PA ⊥.∴ BC PA ⊥, ……3分∵A AB PA AB BC =⊥I ,,∴BC ⊥平面PAB ∵⊂PB 平面PAB ,∴PB BC ⊥. ……7分（Ⅱ）取RD 的中点F ，连结AF 、PF ． ∵1==AD RA ,∴RC AF ⊥ ∵AD AP AR AP ⊥⊥,, ∴⊥AP 平面RBC .∵⊂RC 平面RBC ,∴AP RC ⊥. ∵,A AP AF =I ∴⊥RC 平面PAF . ∵⊂PF 平面PAF , ∴PF RC ⊥.∴∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ……12分 在Rt△RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt△PAF 中, 2622=+=AF PA PF ，cos 3AF AFP PF ∠==.∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33． ……15分 （21）解：（Ⅰ）由2y x =可得，2y x '=． ……1分 ∵直线PA 与曲线C 相切，且过点(,1)P a -，∴211112x x x a+=-，即211210x ax --=， ……3分∴1x a ==1x a = ……4分同理可得：2x a =2x a =……5分 ∵12x x <，∴1x a =2x a =+ ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，122x x a +=，121x x ⋅=-， ……7分则直线AB 的斜率221212121212y y x x k x x x x x x --===+--， ……8分∴直线AB 的方程为：1121()()y y x x x x -=+-，又211y x =， ∴22112112()y x x x x x x x -=+--，即210ax y -+=．∵点P 到直线AB 的距离即为圆E的半径，即2r =， (10)∴22222222222222131913()()()4(1)(1)424164411141444a a a a a r a a a a ++++++++====++++221933()3142216()4a a =+++≥=+，当且仅当22191416()4a a +=+，即21344a +=，2a =±时取等号． 故圆E 面积的最小值23S r ππ==．……15分（22）解：（Ⅰ）因为32,1,()ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩①当11x -≤≤时，()(32)f x x x '=--，解()0f x '>得到203x <<；解()0f x '<得到 10x -<<或213x <<．所以()f x 在(1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2(0,)3上单调递增，从而()f x 在23x =处取得极大值24()327f =．……3分，又(1)2,(1)0f f -==，所以()f x 在[1,1)-上的最大值为2．……4分②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，当0a ≤时，()0f x ≤；当0a >时，()f x 在[1,]e 上单调递增，所以()f x 在[1,]e 上的最大值为a ．所以当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ；当2a <时，()f x 在[1,]e -上的最大值为2. ……8分（Ⅱ）假设曲线()y f x =上存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，则,P Q 只能在y 轴的两侧，不妨设(,())(0)P t f t t >，则32(,)Q t t t -+，且1t ≠． ……9分因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，即：232()()0t f t t t -+⋅+=（1）……10分 是否存在点,P Q 等价于方程（1）是否有解． 若01t <<，则32()f t t t =-+，代入方程（1）得：4210t t -+=，此方程无实数解． ……11分若1t >，则()ln f t a t =，代入方程（1）得到：1(1)ln t t a=+，……12分 设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，则1()ln 0h x x x'=+>在[1,)+∞上恒成立．所以()h x 在[1,)+∞上单调递增，从而()(1)0h x h ≥=，所以当0a >时，方程1(1)ln t t a=+有解，即方程（1）有解．……14分 所以，对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……15分。

2020届湖南省五市十校高三第二次联考数 学 试 题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题的四个选项中只有一个选项是正确的.）1. 已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）A.{|20}x x -<<B.{|20}x x -≤≤C.{|20}x x x <->或D.{|20}x x x ≤-≥或2.设复数z 满足(1)i z i +=（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A.12B. 2C.1D.3.某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）A. B. C. D.4.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，2()log (1),f x x =-则(7)f =( ) A. 3- B. 2log 6 C. 3 D. 2log 6-5.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）A.B.C. D.6.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37101145,7,a a a a a +-=-=则13S =( )A. 152B. 154C. 156D. 1587.在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为( )A. 4B. 3C. 4D. 58.已知函数()32cos f x x x =+,若a f =(2),b f =2(log 7),c f =则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. c a b <<C.b a c <<D. b c a <<9.执行右面所示的程序框图,则输出的n 值是（ ） A. 5 B. 7 C.9 D. 1110.如右下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为 棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三 点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的 部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111A B C D所成角为α，则sin α的最大值为（ ）A.2 B. 5C.5 D. 611.函数()tan()f x x ωϕ=+(0||,0)2πϕω<<>某相邻两支 图象与坐标轴分别交于点2(,0),(,0),63A B ππ则方程 ()cos(2),[0,]3f x x x ππ=-∈所有解的和为（ ）A.56πB. 2πC. 512πD.4π12.过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.若实数,x y 满足210,220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为 .14.将多项式656510a x a x a x a ++++分解因式得5(2)(),x x m -+m 为常数，若57a =-，则0a = .15. 如右图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆222x y +=及x 轴围成的封闭图形.在圆内随机取一点，则此点取自则阴影部分的概率为 . 16. 设锐角ABC ∆三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、,若cos cos )2sin ,1,a B b A c C b +==则c 的取值范围为 ．三.解答题(本大题共5小题,共70分.) 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112,420(2,)n n a S S n n N -=--=≥∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，n T 为{}n b 的前n 项和，求证：112nk kT =<∑.18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，,AD BC λ=//,90,AD BC BCD ∠=M 为线段PB 上一点.(1)若13λ=，则在线段PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ?若存在，请确定M 点的位置；若不存在，请说明理由(2)己知2,1PA AD ==，若异面直线PA 与CD 成90角，二面角B PC D --的余弦值为10-，求CD 的长.19．(本小题满分12分)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全 文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习 惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市 建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X (单 位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图． (1) 求这200名学生每周阅读时间的样本平均 数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该 组区间的中间值代表)；(2) 由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X 服从正态分布()2Nμσ，，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．(i) 一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若()()()2~,,~0,1X a X N Y Y N P X a P Y μμμσσσ--⎛⎫=≤=≤ ⎪⎝⎭令，则，且．利用直方图得到的正态分布，求()10P X ≤.(ii)从该高校的学生中随机抽取20名，记Z 表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求()2PZ ≥(结果精确到0.0001)以及Z 的数学期望．参考数据：()()1940,0.77340.0076.~0,10.750.77343Y N P Y ≈≈≤=若，则20. (本小题满分12分)已知(2,0),(2,0),A B -点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-． (1)求动点C 的轨迹方程；(2)设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点,Q 且(1,0),F 求证：90.PFQ ∠=21. (本小题满分12分)已知函数2()8ln ().f x x x a x a R =-+∈（1）当1x =时，()f x 取得极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）当函数()f x 有两个极值点1212,(),x x x x <且11x ≠时，总有21111ln (43)1a x t x x x >+--成立，求t 的取值范围．请考生在22～23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的方程为22312sin ρθ=+，点)4πR . （1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标； （2）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值及此时P 点的直角坐标.23. (本小题满分10分)已知2()=|24|.f x x x a +-+ （1）当=3a -时，求不等式2()||f x x x >+的解集；（2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围.理数答案一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分. 在每小题的四个选项中只有一个选项是正确的.） CBBAB ，CCDCB ，AA二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.1 14.2 15. 11812π- 16.三.解答题(本大题共5小题,共70分.)17. 【解析】（1）当3n ≥时，可得()()11242420n n n n S S S S --------=-----------2分即得14n n a a -=又因为12a =，代入1420n n S S ---=可得28a =满足上式，所以数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列 ----------5分 故121242n n n a --=⋅=. ----------6分 （2）证明：2122log 221,13(21)n n n b n T n n -==-=+++-=----------8分222111111111121223(1)nk kT n n n ==+++≤++++⨯⨯-⨯∑ 111111111(1)()()()2 2.223341n n n=+-+-+-++-=-<- ----------12分18. 【解析】(1) 存在，M 为PB 上的一个三等分点，且靠近点P --------1分 证明如下：在PC 上取靠近点P 的三等分点N ，连接,MN .DN则//BC MN 且13MN BC =------------2分 由已知，AD//BC 且13AD BC =所以，//,MN AD MN AD =所以，四边形MNDA 是平行四边形--------3分 所以，//AM ND又ND PCD ⊂平面所以，//AM 平面PCD --------5分B（2）∵,,PA AD PA CD ADCD D ⊥⊥=则,PA ABCD ⊥平面以点A 为坐标原点，以AD AP 、所在的直线分别为y 轴、z 轴，过点A 与平面PAD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系， ………………6分 则(0,0,2),P (0,1,0),D C(,1,0),t 1B(,1,0),t λ-则1BC (0,2,0),λ=-PC (,1,2),t =-CD (,0,0),t =- 设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为1111(,,),n x y z =2222(,,).n x y z =.由1,n BC ⊥，1,n PC ⊥得110,0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11111(2)0,20y tx y z λ⎧⋅-=⎪⎨⎪+-=⎩ 令1=1,x 则1=,2t z 故1(1,0,),2t n = ………………8分同理可求得2(0,2,1).n = ………………10分 于是1212cos =,||||n n n nθ⋅⋅||t =解之得=2t ±（负值舍去），故=2.t ∴ 2.CD = ………………12分19.【解析】（1）60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …2分 22222(69)0.03(79)0.1(89)0.2(99)0.35s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ 222(109)0.19(119)0.09(129)0.04 1.78+-⨯+-⨯+-⨯= …………4分（2）(i)由题知9μ=，2 1.78σ=，∴(9,1.78)XN .4103σ==≈. ……………………5分109(10)()(0.75)0.773443P X P Y P Y -≤=≤=≤=. ……………………7分 （ⅱ）由(i)知(10)1(10)0.2266P X P X >=-≤=， ……………………8分可得(20,0.2266)ZB ,(2)1(0)(1)P Z P Z P Z ≥=-=-=201192010.77340.22660.77341(0.7734200.2266)0.0076C =--⨯=-+⨯⨯0.9597≈ ……………………10分Z 的数学期望200.2266 4.532EZ =⨯=. (12)分20. 【解析】（1）设，则依题意得，又，，所以有，整理得，即为所求轨迹方程.…………4分 （2）设直线：，与联立得，即， ………………5分 依题意，即， ………………6分∴，得1224,34km x x k-⋅=+ ………………7分∴， ………………8分而，得， ………………9分又， ………………10分又，则. ………………11分知，即. ………………12分21. 【解析】 (1) 228()(0)x x a f x x x-+'=>，(1)0f '=， 6.a =则 ……………2分 213)()(0)x x f x x x-⋅-'=>（）（从而，(0,1)x ∈所以时，()0f x '>，()f x 为增函数， (1,3)x ∈时，()0f x '<，()=1f x x 为减函数，所以为极大值点.………………4分 （2）函数()f x 的定义域为(0+)∞，，有两个极值点1212,x x x x <（）， 则2()280t x x x a =-+=在(0+)∞，有两个不等的正实根，所以08.a << ……5分 从而问题转化为在102x <<且11x ≠时21111ln (43)1a x t x x x >+--成立.即证11112ln (+1)1x x t x x ⋅>- 即证11112ln (+1)0.1x x t x x ⋅->-亦即证 211111(1)[2ln ]0.1x t x x x x -+>- ① ………………8分 令2(1)()2ln 02).t x h x x x x -=+<<（则22+2()02).tx x t h x x x+'=<<（……………9分 1) 当0t ≥时，()0,h x '>则()h x 在0,2)（上为增函数且(1)0,h =①式在1,2)（上 不成立. ………………10分 2)当0t <时，2=44,t ∆-若0,∆≤即1t ≤-时，()0,h x '≤，所以()h x 在0,2)（上为减函数且(1)0,h = 211111(1)2ln 1x t x x x x -+-、在区间0,1)（及,2)（1上同号，故①式成立. ………………11分 若0,∆>即10t -<<时，2+2y tx x t =+的对称轴11x t =->， 令1min{,2},a t=-则1x a <<时，()0,h x >不合题意. 综上可知：1t ≤-满足题意. ………………12分22. 【解析】（1）cos ,sin x ρθy ρθ==Q ，∴曲线C 的直角坐标方程为221,3x y += ………………2分点R 的直角坐标为(2,2)R . ………………4分（2）设,sin )P θθ，根据题意可得||2PQ θ=-,||2sin QR θ=-,||||42sin(60PQ QR θ∴+=-+. ………………6分 当30θ=o 时，||||PQ QR +取的最小值2，故矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为31(,)22. ………………10分23. 【解析】（1）当3a =-时，2()=|24| 3.f x x x +-- ∴2()>|||24|||30f x x x x x +⇔--->，010x x ≤⎧⇔⎨-+>⎩或02310x x <≤⎧⇔⎨-+>⎩或270x x >⎧⇔⎨->⎩ 0x ⇔≤或103x <<或7x > ………………4分∴当3a =-时，不等式2()>||f x x x +的解集为1(0,)(7,).3+∞ ………………5分（2）∵()0f x ≥的解集为实数集R ⇔2|24|a x x ≥---对x R ∈恒成立.又2222224,2(1)3,2()|24|,24,2(1)5,2x x x x x g x x x x x x x x ⎧⎧-+-≤---≤⎪⎪=---==⎨⎨--+>-++>⎪⎪⎩⎩ ∴max ()(1)3g x g ==- ………………9分 ∴3a ≥-，故a 的取值范围是[3,)-+∞. ………………10分。

浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1]C．[0，1）D．[0，2）2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2]C．D．[﹣4，5]4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2]C．（0，1]D．（1，2）6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣38．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是；函数f（x）的最大值是．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15=；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016=．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是；x2+y2的最小值是．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1]C．[0，1）D．[0，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴∁R B=（﹣∞，1]，则A∩∁R B=[0，1]．故选：B．2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，由“a2+b2＜c2”，利用余弦定理可得：C为钝角，因此“△ABC为钝角三角形”，反之不成立．【解答】解：在△ABC中，“a2+b2＜c2”⇔cosC=＜0⇒C为钝角⇒“△ABC为钝角三角形”，反之不一定成立，可能是A或B为钝角．∴△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2]C．D．[﹣4，5]【考点】基本不等式．【分析】对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，可得+=（sin2θ+cos2θ）=5++，利用基本不等式的性质可得其最小值M．由不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得M≥|2x﹣1|，解出即可得出．【解答】解：∵对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，∴+=（sin2θ+cos2θ）=5++≥5+2×2=9，当且仅当时取等号．∵不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴9≥|2x﹣1|，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5，则实数x的取值范围是[﹣4，5]．故选：D．4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明即可．B．研究四面体的底面积和高的变化进行判断即可．C．所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C的长度，求出球半径进行计算即可．D．根据正方体内切球和三角形外接圆的关系进行判断即可．【解答】解：A．∵AB1∥DC1，AC∥A1C1，且AC∩AB1=A，∴平面ACB1∥平面A1C1D，长方体的体对角线BD1=，设B到平面ACB1的距离为h，则=×1=h，即h=，则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=﹣2h==，故A正确，B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=，则2R=，R=，则球的体积V==×π×（）3=π，故C正确，D．设与正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球为O′，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，∵点M在与正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球相切的球的半径，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴线段MN长度的最小值是﹣．故D错误，故选：D．5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2]C．（0，1]D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数f（x）的图象，问题转化为f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．【解答】解：画出函数f（x）在[0，2π]的图象，如图示：，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，0＜m＜1，故选：A．6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理，化简可得|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，再由三角形的等积法，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①由直径所对的圆周角为直角，可得PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2，即有|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，由三角形的面积公式可得， |PF1|•|PF2|=|PH|•|F1F2|，即有2c2﹣2a2=2ac，由e=可得，e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故选：C．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知式子可得sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，保持整体展开变形可得tan（α+β）=2tanα，再由3tan+=1和二倍角的正切公式可得tanα的值，代入计算可得．【解答】解：∵sinβ=3sin（2α+β），∴sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，∴sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，∴tan（α+β）===2tanα，又∵3tan+=1，∴3tan=1﹣，∴tanα==，∴tan（α+β）=2tanα=，故选：A．8．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE=30°，由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．【解答】解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE=30°由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，C1O=，OE=OA=2﹣x，∴C1E=+2﹣x，令y=+2﹣x，则y′=﹣=0，可得x=，∴x=，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是8π；几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，由三视图求出几何元素的长度，利用柱体、球体的体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，球和底面圆的半径是1，圆柱的母线长是2，∴几何体的表面积S=4π×12+2π×1×2=8π，几何体的体积是V==，故答案为：．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是π；函数f（x）的最大值是．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），由已知求出θ得到a值，则函数的周期及最值可求．【解答】解：∵f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），又x=是函数的一条对称轴，∴，即．则f（x）=．T=；由a=tanθ=tan（）=tan=，得．∴函数f（x）的最大值是．故答案为：．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15=3；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016=﹣2100．【考点】数列的求和．【分析】利用递推式计算前5项即可发现{a n}为周期为4的数列，同理{b n}也是周期为4的数列，将每4项看做一个整体得出答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=，∴a2==﹣3，a3==﹣，a4==，a5==2．∴a4n+1=2，a4n+2=﹣3，a4n+3=﹣，a4n=．∴a4n+1•a4n+2•a4n+3•a4n=2×=1．∴a1a2a3…a15=a13a14a15=a1a2a3=2×（﹣3）×（﹣）=3．∵b n=（﹣1）n a n，∴b4n+1=﹣2，b4n+2=﹣3，b4n+3=，b4n=．∴b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=﹣2﹣3++=﹣．∴S2016=﹣×=﹣2100．故答案为：3，﹣2100．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是24；x2+y2的最小值是8．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．第二问，转化为点到原点的距离的平方，求出B的坐标代入求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得，A（8，8）z最大等于2×8+8=24．x2+y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B（2，2）．可得22+22=8．故答案为：24；8．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．由于向量与﹣夹角为，可得：∠AOB=θ∈.∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，化简整理可得：=2+﹣=+2，即可得出．【解答】解：不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．∵向量与﹣夹角为，∴∠AOB=θ∈．∴∈，∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，∴=，=sinθ=，∴=2+﹣=+2=+2=+2∈．∴的取值范围是．故答案为：．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是f（x）=4•（）（x∈N*）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f（x）＞0恒成立，可对等式两边取2为底的对数，整理为log2f（x+1）﹣2=（log2f （x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}为首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，整理即可得到f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）＞0恒成立，由f（x+1）=2，可得：log2f（x+1）=1+log2，即为log2f（x+1）=1+log2f（x），可得log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}是首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，可得log2f（x）﹣2=（log210﹣2）•（）x﹣1，即为log2f（x）=2+log2•（）x﹣1，即有f（x）=22•2=4•（）．故答案为：f（x）=4•（）（x∈N*）．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，写出直线AB的方程为（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0，由直线AB与圆相切可得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0，同理：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y A，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，因为S=|y C﹣y B|x0，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．【解答】解：设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，所以直线AB的方程，化简得（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0同理可得：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y C，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，所以y C+y B=，y C y B=，所以S=|y C﹣y B|x0==（x0﹣2）++4≥8，所以当且仅当x0=4时，S取到最小值8，所以△ABC的面积的最小值为8．故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCB，利用余弦定理可求BD，进而求得AC，AB，利用三角形面积公式即可得解．（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，由已知及基本不等式可求BD的最小值，进而可求AC的最小值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）∵∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB，可得A，B，C，D四点共圆，∴∠DCB=120°，∴BD2=BC2+CD2﹣2CD•CB•cos120°=1+4+2=7，即BD=，∴，∴，∴．…（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，则：x+y=3，BD2=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy，∴，当时取到．…17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的余弦值．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，由AB⊥CF，得GB⊥CF，由此能求出cosθ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥EC，∴AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角设，，，∴，∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，如果AB⊥CF，则根据三垂线定理有GB⊥CF，∵△BCF为正三角形，∴，则，∵，∴，∴cosθ的值为．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．【考点】二次函数的性质；绝对值三角不等式．【分析】（1）由|f（x）|≤得|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，代入解析式即可得出a，b，c的关系，使用放缩法求出|f（2）|的最值；（2）由（1）得出|g（±1）|，故g（x）单调时结论成立，当g（x）不单调时，g（x）=a，利用不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，∴|c|≤，|a+b+c|≤，|a﹣b+c|≤；∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a﹣b+c）﹣3c|≤|3（a+b+c）|+|（a﹣b+c）|+|﹣3c|≤=．∴|f（2）|的最大值为．（2）∵﹣≤a+b+c≤，﹣≤a﹣b+c≤，﹣≤c≤，∴﹣1≤a+b≤1，﹣1≤a﹣b≤1，∴﹣1≤a≤1，若c|x|+bx=0，则|g（x）|=|a|，∴|g（x）|≤1，若c|x|+bx≠0，则g（x）为单调函数，|g（﹣1）|=|a﹣b+c|≤，|g（1）|=|a+b+c|≤，∴|g（x）|．综上，|g（x）|≤1．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c 2=1，a 2=4，b 2=3 ∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则△＞0，，若存在定点N （m ，0）满足条件，则有=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+y 1y 2 =如果要上式为定值，则必须有验证当直线l 斜率不存在时，也符合． 故存在点满足20．已知正项数列{a n }满足：S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *），其中S n 为数列{a n }的前n 项的和． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）通过S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *）与S n ﹣12=a 13+a 23+…+a n ﹣13（n ≥2，n ∈N *）作差、计算可知S n +S n ﹣1=，并与S n ﹣1﹣S n ﹣2=作差、整理即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知，一方面利用不等式的性质、累加可知（）+（）+（）+…+（）＞，另一方面通过放缩、利用裂项相消法计算可知++…+＜2，进而整理即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *）， ∴S n ﹣12=a 13+a 23+…+a n ﹣13（n ≥2，n ∈N *），两式相减得：﹣=，∴a n（S n+S n﹣1）=，∵数列{a n}中每一项均为正数，∴S n+S n﹣1=，又∵S n﹣1﹣S n﹣2=，两式相减得：a n﹣a n﹣1=1，又∵a1=1，∴a n=n；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，∴，即，令k=1，2，3，…，n，累加后再加得：（）+（）+（）+...+（）＞2+2+ (2)=（2n+1）=，又∵+++…+＜3等价于++…+＜2，而=＜=（﹣）=（﹣）＜（﹣）=2（﹣），令k=2，3，4，…，2n+1，累加得：++…+＜2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）＜2，∴．。

2020届全国名师联盟高三第二次联考数学（理科）试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合M ={1,2,3}，N ={x |1log 2>x ），则N M ⋂=( ) A ．{3} B ．{2,3} C ．{1,3} D ．{1,2,3}2、设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）A 、()()f x f x -是奇函数；B 、()()f x f x -是奇函数；C 、()()f x f x +-是偶函数；D 、()()f x f x --是偶函数 3、下列各式错误．．的是（ ）. A. 0.80.733> B. 0..50..5log 0.4log 0.6> C. 0.10.10.750.75-< D. lg1.6lg1.4>4、设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是（ ）A ．]2,(-∞B ．),1[+∞-C ．),1(+∞-D ．[－1，2]5、 若)(x f 是奇函数，且0x 是函数x e x f y -=)(的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点( )A ．1)(--=xe xf y +1 B ．1)(+=-xex f y C ．1)(+=x e x f y D ．1)(-=x e x f y6、 函数2651()()3xx f x -+=的单调递减区间为（ ）.A. (,)-∞+∞B. [3,3]-C. (,3]-∞D. [3,)+∞7、 如图的曲线是幂函数n x y =在第一象限内的图象. 已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为（ ）.A ．112,,,222-- B. 112,,2,22-- C. 11,2,2,22-- D. 112,,,222--8、函数2ln 4)(x x x f -=的大致图象是( )9、 下列有关命题的说法中错误的是．．．．（ ） （A ）若“p q 或”为假命题，则p 、q 均为假命题 （B ）“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件（C ）“12sin x =”的必要不充分条件是“6x π=”（D ）若命题p ：“∃实数x 使20x ≥”，则命题p ⌝为“对于x R ∀∈都有20x <”10、函数f (x )＝1＋log 2x 和g (x )＝21＋x 在同一直角坐标系下的图象大致是( )425c 4c 3c 2c 1第1页 共4页11、函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3a ， x <0a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范是( )A ．(0,1)B ．[13，1)C ．(0，13]D ．(0，23]12、定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则 f (－3)等于 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13、函数3log y x =的定义域为 . （用区间表示）14、已知幂函数()y f x =的图像过点12,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()22log f 的值为 . 15、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________．16、我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x 年后我国人口数为y 亿，则y 与x 的关系式为____________________.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本题满分12分）已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间[]2,1a a +上是单调函数，求实数a 的取值范围． 18、（本题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （1）若a b =，求cos ;B（2）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积. 19、（本题满分12分）已知{a n }是公差d≠0的等差数列，a 2，a 6，a 22成等比数列，a 4+a 6=26；数列{b n }是公比q 为正数的等比数列，且b 3=a 2，b 5=a 6． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ． 20、（本题满分12分）有编号为1210,,,D D D L 的10个零件，测量其直径（单位：mm ），得到下面数据： 其中直径在区间（148，152]内的零件为一等品． 编号 1D 2D3D4D5D6D7D8D9D10D直径 151148 149 151 149 152 147 146 153 148（1）从上述10个零件中，随机抽取2个，求这2个零件均为一等品的概率； （2）从一等品零件中，随机抽取2个. 用ξ表示这2个零件直径之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 21、（本题满分12分）已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的斜率为1，问： m 在什么范围取值时，对于任意的]2,1[∈t ，函数)](2[)(23x f mx x x g '++=在区间)3,(t 上总存在极值？ 22、（本题满分10分）第3页 共4页在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．（Ⅰ）直线l的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（其中ρ≥0，0≤θ≤2π）．数学(理科) 答案一、选择题（每小题5分） ACCBC DABCD BC12.[答案] C [解析] ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy ，对任意x 、y ∈R 成立，∴x ＝y ＝0时，有f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0，又f (1)＝2，∴y ＝1时，有f (x ＋1)－f (x )＝f (1)＋2x ＝2x ＋2，∴f (0)－f (－1)＝0，f (－1)－f (－2)＝－2，f (－2)－f (－3)＝－4， 三式相加得：f (0)－f (－3)＝－6，∴f (－3)＝6. 二、填空题（每小题5分）13、[1,)+∞； 14、12； 15、12； 16、*13 1.01,x y x N =⨯∈。

理科答案一、选择题1--5CBADC 6--10ACDAB 11—12DA二、填空题13、14、2815、3416、第一空2n （2分）第二空{}2（3分）17.解：（1）由①2633()b ac c a b -+=+及余弦定理得，2223)a c b +-=-（所以362cos 222-=-+=ac b c a B ................3分②由cos 2cos C c b A a a +=及正弦定理，得cos sin cos sin 2sin cos sin sin C A A C B A A C +=，即sin(2sin cosAsinA sin A C B A+=）,0A C A π+∈ （，）sin sin 0A CB ∴+=≠（）1cos 2A ∴=0A π∈ （，），3A π∴=……………………6分因为32),,0(,2136cos ππ>∈-<-=B B B 所以且.,矛盾所以π>+B A 不能同时满足所以ABC ∆①②.............................8分（2）有（1）知，满足故ABC ∆①③④或②③④............................9分若ABC ∆满足①③④因为B ac c a b cos 2222--=024,36626822=-+⨯⨯⨯++=c c c c 即所以26-=c 解得.............................11分23sin 21-==∆∴B ac S ABC 的面积.............................12分另：若ABC ∆满足②③④.............................9分1sin ,sin 22236,sin sin ===B B B b A a 解得即2c ∴=...................................11分3sin 21==∆∴A bc S ABC 的面积.........................12分18.解：（1）过P 做AB PO ⊥与O ，连ODOC ,由题可知，3==CD AB ，222AB PB PA =+∴,3,32,2,1,2=====∴OC OD OA OB PO ，所以CD OC ⊥..........................................2分平面⊥PAB 底面ABCD ,交线为AB ，⊥∴PO 底面ABCD ，所以CD PO ⊥，又⊂=PO OC O PO OC ,, 平面POC ，故⊥CD 平面POC ，所以CD PC ⊥；.................................................6分（2）由（1）知OD AB ⊥，以O 为坐标原点，OP OB OD ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标如图所示..7分则)0,23,23(),0,0,32(),2,0,0(C D P ......................................8分所以)0,23,233(),2,0,32(-=-=CD PD 设平面平面PCD 的法向量),,(z y x m =故⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0232330232y x z x 令1=x ，可得)6,3,1(=m 平面PAB 的法向量取)0,0,1(=n ，..............10分所以1010101||||,cos ==>=<n m nm n m 故平面PCD 与PAB 夹角的余弦值为1010...............12分19.解：（1）设)(),,(1,100y x P y x M ，则),(00y x N --由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11221221220220b y a x b y a x 得0))(())((2101021010=-++-+b y y y y a x x x x 即2210101010))(())((ab x x x x y y y y -=-+-+222b a =∴，又122=-b a ，1,222==∴b a ，故椭圆C 的标准方程为：1222=+y x ...............4分（2）设直线PQ 的方程为：1+=ty x ，则直线MN 的方程为代入tyx =由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x ty x 得012)2(22=-++ty y t ，设)(2,2y x Q 则0)1(8)2(44222>+=++=∆t t t ，22122121,22ty y t t y y +-=+-=+.......7分所以222122)1(22||1||t t y y t PQ ++=-+=…..........................................9分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1222y x ty x 得22022t y +=，......................................10分=∴||MN 2220220202)1(22)1(22t t y t y x ++=+=+...............................11分故22||||2=PQ MN 为常数.得证....…......................................12分20．【解析】（1）120.04140.12160.28180.36200.10220.06240.0417.40x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=千元，故估计50位农民的年平均收入x 为17．40千元．…………………………………...3分（2）由题意知()17.40,6.92X N ~，①()10.68270.841422P x μσ>-=+≈，所以17.40 2.6314.77μσ-=-=时，满足题意，即最低年收入大约为14．77千元．…………………………………………6分②由()()0.954512.1420.50.97732P x P x μσ≥=≥-=+≈，每个农民的年收入不少于12．14千元的事件的概率为0．9773…………….……………………..….8分记1000个农民的年收入不少于12．14千元的人数为ξ，则()1000,B P ξ ，其中0.9773P =……………………………..………………………………….…9分于是恰好有k 个农民的年收入不少于12．14千元的事件概率为()()331010C1k k k p P k p ξ-=-=，从而由()()()()1001111P k k p P k k p ξξ=-⨯=>=-⨯-，得1001k p <……………………………………….…10分而1001978.2773p =，所以，当0978k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=-<=；当9791000k ≤≤时，()()1P k P k ξξ=->=，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12．14千元的人数最有可能是978人．…………………………………………………………………………….….12分21.（1）1令 x t +=由题意知()(1)f x a x ≤+等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立…………1分令()2ln h t a at t =-+，则'22()at h t a t t-=-=………………………………………………2分当0a ≤时，'()0h t >，故()h t 在()0,+∞上单调递增，由于(1)0h =，不合题意…………………3分当0a >时，'2()()a t a h t t --=，故当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭'()0h t >()h t 单调递增当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭'()0h t <()h t 单调递减，故max 2()(22ln 22ln h t h a a a ==-+-……………………………………………………………4分所以要使()0h t ≤在0t >时恒成立，则只需max ()0h t ≤即22ln 22ln 0a a -+-≤()22ln 22ln a a a ϕ=-+-，则'22()1a a a aϕ-=-=，所以()0,2时x ∈'()0a ϕ<，()a ϕ单调递减()2,时x ∈+∞'()0a ϕ>，()a ϕ单调递增，又因为(2)0ϕ=所以满足条件的a 只有2，即2a =………………………………………………………………6分也可以分离参数或者数形结合，同样给分（2）由（1）知，1令 x t +=(1)()()1x f x g x x a +=+-变形成22ln ()(2)2t t t t t t θ+=>-，所以/22(2ln 4)()(2)t t t t θ--=-……………………………………………………………………7分令()2ln 4s t t t =--，则/22()1t s t t t -=-=由于2t >，所以/()0s t >。

2020届江西省名校联盟高三第二次联考理科数学试卷★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2{|560},{|5},A x x x B x x =--≤=<则A B =（ ）A. [1,5)-B. ∞（－,6]C.[1,6]－D.∞（－,5) 2．已知复数312a ii-+在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围为（ ） A.6a < B.32a >- C.32a <- D.6a >3．已知函数31221,1()3log ,1xx f x x x -⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，则((4))f f =（ ）A.3B.4C.5D.144．已知二项式51()ax x-的展开式中含x 的项的系数为270，则实数a =（ ）A.3B.－3C.2D.－25．某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”,推进了人才引入落户政策，随着人口增多,对住房要求也随之而来,而选择购买商品房时,住户对商品房的户型结构越来越重视,因此某商品房调查机构随机抽取n 名市民,针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户,所占比例为13,二居室住户占16，如图2是用分层抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中,抽取10%的调查结果绘制成的统计图,则下列说法正确的是（ ） A. 样本容量为70B. 样本中三居室住户共抽取了25户C. 根据样本可估计对四居室满意的住户有70户D. 样本中对三居室满意的有15户6．函数()3sin 2cos 2(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法不正确的是（ ）A.函数()12y f x π=+是奇函数 B.函数()f x 的图象关于直线56x π=对称 C.在原点左侧，函数()f x 的图象离原点最近的一个对称中心为5(,0)12π- D.函数()f x 在[,]62ππ-上单调递增 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.213π+ B.123π+C.213π+D.21π+8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”，该问题可用如图所示的程序框图来求解，则输入的x 的值为（ ）A.34 B.78 C.1516D.4 9．已知5sin 26cos()0,(0,),2παπαα+-=∈则2cos ()24απ+=（ ） A.45 B.15－ C. 35D.1510．已知离心率为2的双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左、右焦点分别为12F F ，，直线:l y kx =与C 交于,A B 两点，若123||||2AB F F =， 则k =（ ）A.1B. －1C.±1D.311．如图，正方体1111ABCD A B C D －的棱长为4，线段1DD 上有两动点E ，F ，且=2EF .点M N 、分别在棱1111C D B C 、上运动，且2MN =，若线段MN 的中点为P ，则四面体B EFP —的体积最大值为（ ）A. 5B. 4C.43D. 53212．若存在斜率为3(0)a a >的直线l 与曲线21()222f x x ax b =+-与2()3ln g x a x =都相切，则实数b 的取值范围为（ ）A.233)4e ∞（-, B.234(,]3e -∞ C.343[,)2e +∞ D.342[,)3e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.设351i z i i=++，则z =（ ）A. 2B.12C.22D.102【★答案★】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则求得1122z i =-+，根据模长的定义求得结果. 【详解】()351111222i i i z i i i i --=+=+=-++ 112442z ∴=+= 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题. 2.已知集合{}2670A x x x =--<，{}B x x x ==-，则A B =（ ）A. (]1,0-B. (]7,0-C. [)0,7D. [)0,1【★答案★】A 【解析】 【分析】分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果. 【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}(],0B x x x ==-=-∞(]1,0A B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4.已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A.22B.23C.24D.25【★答案★】C 【解析】 分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=， 所以12cos ,422⋅<>===a b a b a b. 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.5.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线l 与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切，则(p = )A. 6B. 8C. 3D. 4【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意，求出圆的圆心为()1,2和半径为4，以及抛物线的准线方程:2pl y =-，利用直线与圆相切的性质得出242p+=，即可求出p 的值． 【详解】解：由题可知，圆22:(1)(2)16M x y -+-=的圆心为()1,2，半径为4，抛物线2:2(0)C x py p =>的准线:2p l y =-与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切， 则有242p+=，解得：4p =． 故选：D .【点睛】本题考查圆的标准方程和抛物线的简单性质，以及直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A. 8B. 7C. 6D. 4【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，得到13123322123132221111a a a a a S a a a a a a a a +++++=+==，结合题中数据，即可得出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1231112a a a ++=，22a =， 则13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===,则38S =. 故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型. 7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：32.09460.8269≈）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【★答案★】A 【解析】 【分析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为22333320.82692rr ππ==，则33 3.141920.8269π=≈⨯.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 8.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【★答案★】B 【解析】 【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.9.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A. m p n >> B. p n m >>C. p m n >>D. n p m >>【★答案★】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈， 所以0.1421log 25log 73->>， 因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A. x 2212y -=1B. 22134x y -= C. 221169x y -= D. 221916x y -=【★答案★】D 【解析】 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝， 可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A.305 B.2305C. 275D.475【★答案★】B【解析】 【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DNDQ D =，1BMA M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22212512CP ⨯==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2xh x x=的最大值为3x ，则（ ） A. 123x x x >> B. 213x x x >>C. 312x x x >>D. 321x x x >>【★答案★】A 【解析】 【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】()1x f x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= 函数()2xg x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->=⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是________.【★答案★】0 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14.某公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为_____【★答案★】0.954y x =+ 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于b 与a 的方程组，求解即可得到y 关于x 的线性回归方程.【详解】解：由已知表格中的数据可得，12342.54x +++==，56 6.5825.544y +++==，∴25.52.54b a =+，① 又11.68b a =+，②联立①②解得：0.95b =，4a =.∴y 关于x 的线性回归方程为0.954y x =+.故★答案★为：0.954y x =+.【点睛】本题考查线性回归方程，直接利用公司计算即可，属于基础题15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【★答案★】8π. 【解析】 【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +===， 所以球的表面积为()2428S ππ==.故★答案★8π【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【★答案★】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A 的大小； （2）若2a =，π3B =，求ABC ∆的面积.【★答案★】(1) 4A π=.(2) 334ABC S ∆+=【解析】 【分析】（1）先由正弦定理，将2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即2222b c a bc +-=，再由余弦定理可得2cos 2bc A bc =，即2cos 2A =, 所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()62sin sin 4C A B +=+=， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得3b =. 133sin 24ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，A 1D 与AD 1交于点E ，AA 1＝AD ＝2AB ＝4.（1）证明：AE ⊥平面ECD.（2）求直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）69【解析】 【分析】（1）证明AA 1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA 1D 1D ，得到CD⊥AE.证明AE⊥ED.即可证明AE⊥平面ECD ；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是直四棱柱， 所以AA 1⊥平面ABCD ，则AA 1⊥CD.又CD ⊥AD ，AA 1∩AD ＝A ，1,AA AD ⊂平面AA 1D 1D ， 所以CD ⊥平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥AE.因为AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.又CD∩ED＝D，,CD ED⊂平面ECD.所以AE⊥平面ECD.（2）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以1AA所在直线为z轴，建立如图所示的坐标系，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），所以E（0，2，2），(0,2,2)AE=，(2,4,0)AC=，1AC=（2，4，﹣4），设平面EAC的法向量为n=（x，y ，z），可得n ACn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240220x yy z+=⎧⎨+=⎩，不妨n=（﹣2，1，-1），所以直线A1C与平面EAC 所成角的正弦值为11||444|46966|636nA CA Cn⋅-++===⋅.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【★答案★】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；（2）分别设两种方案的日收费为X ，Y ，由题中条形图，得到X ，Y 的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为X190 200 210 220 230 P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为Y200 220 240 P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，焦距为23.（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3POQ '∠>. 【★答案★】（1）2214x y +=； （2）①见解析；②见解析.【解析】 【分析】（1）根据离心率、焦距和222b a c =-可解出,,a b c ，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12y y ；整理可知：2121214Q Q O O P P y y k k k x x ===，从而证得结论；②Q '与Q 关于x 轴对称可知xOQ xOQ'∠=∠，由①知1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，则()tan tan POQ xOQ xOP ''∠=∠+∠，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可得：32223c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且122xx m +=，()21221x x m =-()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2212212112421OP OQPQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP'∠+∠''∴∠=∠+∠='-∠⋅∠()44tan tan 2tan tan 3343xOQ xOP xOQ xOP ''=∠+∠⨯⋅∠=≥∠ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan 3POQ '∴∠>【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.21.已知函数()xf x e ax b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=．（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x -．（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，且线段AB 的中点为0(P x ，0)y ，证明：0()f x g <（1）0y <.【★答案★】（1）()2xf x e =-；证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意，对()f x 求导得()x f x a e '=+，利用导数的几何意义和切线方程求出a 和b ，即可求出()f x 的解析式，令()()11x h x f x x e x =-+=--，利用导数研究函数得单调性和最值得出()0h x ≥，即可证明不等式；（2）结合分析法，把所要证明的问题转化为证明212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，设210t x x =->，进而转化为只需证：22tte e t -->，构造函数22()ttF t e e t -=--，利用导数研究函数的单调性，从而可证明出0()f x g <（1）0y <.【详解】解：（1）由题可知，()xf x e ax b =++，则()x f x a e '=+，由于()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=， 所以f （1）2e a b e =++=-，即2a b +=-， 即f '（1）e a e =+=，则0a =，解得：2b =-， 则()2xf x e =-．令()()11x h x f x x e x =-+=--，()1xh x e '=-，令()0h x '=，即10x e -=，解得：0x =，则0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减；0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴=，则()1f x x -．（2）由题可知，()2g x kx =-，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，则1202()22x x x f x e e+=-=-，12120422x x y y e e y ++-==， 要证0()f x g <（1）0y <成立， 只需证：121224222x x x x e e ek ++--<-<，即证：121222x x x x e k e e++<<，即证：1122122212xx x x x x e e e x e e x +-+<<-， 只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-， 不妨设210t x x =->，即证：2112tt t e e e t -+<<， 要证21t t e e t-<，只需证：22t t e e t -->，令22()t t F t e et -=--，则221()()102t tF t e e -'=+->，()F t ∴在(0,)+∞上为增函数，()(0)0F t F ∴>=，即21t t e e t-<成立； 要证112t t e e t -+<，只需证：112t t e t e -<+，令1()12t t e tG t e -=-+，则22222214(1)(1)()0(1)22(1)2(1)t t t t t t t e e e e G t e e e -+--'=-==<+++， ()G t ∴在(0,)+∞上为减函数，()(0)0G t G ∴<=，即112t te e t -+<成立． ∴2112tt t e e e t -+<<，0t >成立， 0()f x g ∴<（1）0y <成立．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用和利用导数证明不等式，还涉及利用导数研究函数的单调性和最值，属于导数知识的综合应用，考查转化思想和运算能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为54，求a . 【★答案★】（1）l :cos sin0a ，C ：()2224sin cos 4ρθθ+=；（2）12a =±. 【解析】 【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得； （2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()22224sincos 4cos sin aθθθθ++=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则125tan tan 4O O B A k k θθ==，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 0a .在曲线C 的参数方程中，消去α，可得2214x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2214x y +=的方程中，所以曲线C 的极坐标方程为()2224sincos 4ρθθ+=.（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组()222cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组得()()22224sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即()22244tan 8tan 40a a θθ--+-=， 设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245tan tan 444O OB A a k k a θθ-===-，解得12a =±. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【★答案★】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

五省优创名校2020届高三联考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 无穷个【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得集合M，然后结合韦恩图求解阴影部分所示的集合的元素个数即可.【详解】求解二次不等式可得，集合表示所有的偶数组成的集合，由韦恩图可知，题中的阴影部分表示集合，由于区间中含有的偶数为，故，即阴影部分所示的集合的元素共有3个.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，韦恩图与集合的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.（）A. B. 4 C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由复数的运算法则可得：.本题选择D选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．3.如图1为某省2018年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（）A. 2018年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1~4月的业务量同比增长率均超过50%，在3月底最高C. 从两图来看，2018年1~4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1~4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长【答案】D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为，接近2000万件，所以A是正确的；对于选项B： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为，均超过，在3月最高，所以B是正确的；对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C是正确的；对于选项D，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D错误.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.设，满足约束条件，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解其取值范围即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数，其中表示可行域内的点与点连线的斜率，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点和点处取得临界值，在点处，目标函数，在点处，目标函数，即的取值范围是.本题选择A选项.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．6.有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A. i＜6B. i＜7C. i＜8D. i＜9【答案】B【解析】【分析】运行流程图，结合选项确定空白的判断框内可以填入的的内容即可.【详解】程序运行过程如下：首先初始化数据：，此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值不大于，应执行：，；此时的值大于，应跳出循环，即时程序不跳出循环，时程序跳出循环，结合选项可知空白的判断框内可以填入的是.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查流程图的运行过程，补全流程图的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.在直角坐标系中，是椭圆：的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率。

浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2] C．（0，1] D．（1，2）6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣38．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是；函数f（x）的最大值是．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15= ；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016= ．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是；x2+y2的最小值是．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴∁R B=（﹣∞，1]，则A∩∁R B=[0，1]．故选：B．2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，由“a2+b2＜c2”，利用余弦定理可得：C为钝角，因此“△ABC为钝角三角形”，反之不成立．【解答】解：在△ABC中，“a2+b2＜c2”⇔cosC=＜0⇒C为钝角⇒“△ABC为钝角三角形”，反之不一定成立，可能是A或B为钝角．∴△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2] C．D．[﹣4，5]【考点】基本不等式．【分析】对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，可得+=（sin2θ+cos2θ）=5++，利用基本不等式的性质可得其最小值M．由不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得M≥|2x﹣1|，解出即可得出．【解答】解：∵对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，∴+=（sin2θ+cos2θ）=5++≥5+2×2=9，当且仅当时取等号．∵不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴9≥|2x﹣1|，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5，则实数x的取值范围是[﹣4，5]．故选：D．4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明即可．B．研究四面体的底面积和高的变化进行判断即可．C．所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C的长度，求出球半径进行计算即可．D．根据正方体内切球和三角形外接圆的关系进行判断即可．【解答】解：A．∵AB1∥DC1，AC∥A1C1，且AC∩AB1=A，∴平面ACB1∥平面A1C1D，长方体的体对角线BD1=，设B到平面ACB1的距离为h，则=×1=h，即h=，则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=﹣2h==，故A正确，B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=，则2R=，R=，则球的体积V==×π×（）3=π，故C正确，D．设与正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球为O′，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，∵点M在与正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球相切的球的半径，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴线段MN长度的最小值是﹣．故D错误，故选：D．5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2] C．（0，1] D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数f（x）的图象，问题转化为f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．【解答】解：画出函数f（x）在[0，2π]的图象，如图示：，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，0＜m＜1，故选：A．6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理，化简可得|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，再由三角形的等积法，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①由直径所对的圆周角为直角，可得PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2，即有|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，由三角形的面积公式可得，|PF1|•|PF2|=|PH|•|F1F2|，即有2c2﹣2a2=2ac，由e=可得，e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故选：C．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知式子可得sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，保持整体展开变形可得tan（α+β）=2tanα，再由3tan+=1和二倍角的正切公式可得tanα的值，代入计算可得．【解答】解：∵sinβ=3sin（2α+β），∴sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，∴sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，∴tan（α+β）===2tanα，又∵3tan+=1，∴3tan=1﹣，∴tanα==，∴tan（α+β）=2tanα=，故选：A．8．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE=30°，由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．【解答】解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE=30°由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，C1O=，OE=OA=2﹣x，∴C1E=+2﹣x，令y=+2﹣x，则y′=﹣=0，可得x=，∴x=，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是8π；几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，由三视图求出几何元素的长度，利用柱体、球体的体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，球和底面圆的半径是1，圆柱的母线长是2，∴几何体的表面积S=4π×12+2π×1×2=8π，几何体的体积是V==，故答案为：．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是π；函数f（x）的最大值是．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），由已知求出θ得到a值，则函数的周期及最值可求．【解答】解：∵f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），又x=是函数的一条对称轴，∴，即．则f（x）=．T=；由a=tanθ=tan（）=tan=，得．∴函数f（x）的最大值是．故答案为：．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15= 3 ；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n 项的和为S n，则S2016= ﹣2100 ．【考点】数列的求和．【分析】利用递推式计算前5项即可发现{a n}为周期为4的数列，同理{b n}也是周期为4的数列，将每4项看做一个整体得出答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=，∴a2==﹣3，a3==﹣，a4==，a5==2．∴a4n+1=2，a4n+2=﹣3，a4n+3=﹣，a4n=．∴a4n+1•a4n+2•a4n+3•a4n=2×=1．∴a1a2a3…a15=a13a14a15=a1a2a3=2×（﹣3）×（﹣）=3．∵b n=（﹣1）n a n，∴b4n+1=﹣2，b4n+2=﹣3，b4n+3=，b4n=．∴b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=﹣2﹣3++=﹣．∴S2016=﹣×=﹣2100．故答案为：3，﹣2100．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是24 ；x2+y2的最小值是8 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．第二问，转化为点到原点的距离的平方，求出B的坐标代入求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得，A（8，8）z最大等于2×8+8=24．x2+y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B（2，2）．可得22+22=8．故答案为：24；8．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．由于向量与﹣夹角为，可得：∠AOB=θ∈.∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，化简整理可得：=2+﹣=+2，即可得出．【解答】解：不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．∵向量与﹣夹角为，∴∠AOB=θ∈．∴∈，∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，∴=，=sinθ=，∴=2+﹣=+2=+2=+2∈．∴的取值范围是．故答案为：．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是f（x）=4•（）（x∈N*）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f（x）＞0恒成立，可对等式两边取2为底的对数，整理为log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}为首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，整理即可得到f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）＞0恒成立，由f（x+1）=2，可得：log2f（x+1）=1+log2，即为log2f（x+1）=1+log2f（x），可得log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}是首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，可得log2f（x）﹣2=（log210﹣2）•（）x﹣1，即为log2f（x）=2+log2•（）x﹣1，即有f（x）=22•2=4•（）．故答案为：f（x）=4•（）（x∈N*）．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是8 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，写出直线AB的方程为（y0﹣y B）x ﹣x0y+x0y B=0，由直线AB与圆相切可得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0，同理：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y A，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，因为S=|y C﹣y B|x0，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．【解答】解：设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，所以直线AB的方程，化简得（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0同理可得：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y C，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，所以y C+y B=，y C y B=，所以S=|y C﹣y B|x0==（x0﹣2）++4≥8，所以当且仅当x0=4时，S取到最小值8，所以△ABC的面积的最小值为8．故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCB，利用余弦定理可求BD，进而求得AC，AB，利用三角形面积公式即可得解．（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，由已知及基本不等式可求BD的最小值，进而可求AC的最小值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）∵∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB，可得A，B，C，D四点共圆，∴∠DCB=120°，∴BD2=BC2+CD2﹣2CD•CB•cos120°=1+4+2=7，即BD=，∴，∴，∴．…（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，则：x+y=3，BD2=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy，∴，当时取到．…17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE 为二面角A﹣BF﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的余弦值．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，由AB⊥CF，得GB⊥CF，由此能求出cosθ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥EC，∴AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角设，，，∴，∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，如果AB⊥CF，则根据三垂线定理有GB⊥CF，∵△BCF为正三角形，∴，则，∵，∴，∴cosθ的值为．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．【考点】二次函数的性质；绝对值三角不等式．【分析】（1）由|f（x）|≤得|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，代入解析式即可得出a，b，c的关系，使用放缩法求出|f（2）|的最值；（2）由（1）得出|g（±1）|，故g（x）单调时结论成立，当g（x）不单调时，g（x）=a，利用不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，∴|c|≤，|a+b+c|≤，|a﹣b+c|≤；∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a﹣b+c）﹣3c|≤|3（a+b+c）|+|（a﹣b+c）|+|﹣3c|≤=．∴|f（2）|的最大值为．（2）∵﹣≤a+b+c≤，﹣≤a﹣b+c≤，﹣≤c≤，∴﹣1≤a+b≤1，﹣1≤a﹣b≤1，∴﹣1≤a≤1，若c|x|+bx=0，则|g（x）|=|a|，∴|g（x）|≤1，若c|x|+bx≠0，则g（x）为单调函数，|g（﹣1）|=|a﹣b+c|≤，|g（1）|=|a+b+c|≤，∴|g（x）|．综上，|g（x）|≤1．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c2=1，a2=4，b2=3∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=如果要上式为定值，则必须有验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点满足20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（Ⅰ）通过S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*）与S n﹣12=a13+a23+…+a n﹣13（n≥2，n∈N*）作差、计算可知S n+S n﹣1=，并与S n﹣1﹣S n﹣2=作差、整理即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知，一方面利用不等式的性质、累加可知（）+（）+（）+…+（）＞，另一方面通过放缩、利用裂项相消法计算可知++…+＜2，进而整理即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），∴S n﹣12=a13+a23+…+a n﹣13（n≥2，n∈N*），两式相减得：﹣=，∴a n（S n+S n﹣1）=，∵数列{a n}中每一项均为正数，∴S n+S n﹣1=，又∵S n﹣1﹣S n﹣2=，两式相减得：a n﹣a n﹣1=1，又∵a1=1，∴a n=n；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，∴，即，令k=1，2，3，…，n，累加后再加得：（）+（）+（）+…+（）＞2+2+…+2+=（2n+1）=，又∵+++…+＜3等价于++…+＜2，而=＜=（﹣）=（﹣）＜（﹣）=2（﹣），令k=2，3，4，…，2n+1，累加得：++…+＜2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）＜2，∴．。

浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1]C．[0，1）D．[0，2）2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2]C．D．[﹣4，5]4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2]C．（0，1]D．（1，2）6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣38．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是；几何体的体积是．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是；函数f（x）的最大值是．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15=；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016=．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是；x2+y2的最小值是．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．20．已知正项数列{a n}满足：S n2=a13+a23+…+a n3（n∈N*），其中S n为数列{a n}的前n项的和．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．浙江省五校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．定义集合A={x|f（x）=}，B={y|y=log2（2x+2）}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1]C．[0，1）D．[0，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中f（x）=，得到2x﹣1≥0，即2x≥1=20，解得：x≥0，即A=[0，+∞），由2x+2＞2，得到y=log2（2x+2）＞1，即B=（1，+∞），∵全集为R，∴∁R B=（﹣∞，1]，则A∩∁R B=[0，1]．故选：B．2．△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，由“a2+b2＜c2”，利用余弦定理可得：C为钝角，因此“△ABC为钝角三角形”，反之不成立．【解答】解：在△ABC中，“a2+b2＜c2”⇔cosC=＜0⇒C为钝角⇒“△ABC为钝角三角形”，反之不一定成立，可能是A或B为钝角．∴△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“a2+b2＜c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选：A．3．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是（）A．[﹣3，4] B．[0，2]C．D．[﹣4，5]【考点】基本不等式．【分析】对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，可得+=（sin2θ+cos2θ）=5++，利用基本不等式的性质可得其最小值M．由不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得M≥|2x﹣1|，解出即可得出．【解答】解：∵对任意的θ∈（0，），sin2θ+cos2θ=1，∴+=（sin2θ+cos2θ）=5++≥5+2×2=9，当且仅当时取等号．∵不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴9≥|2x﹣1|，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5，则实数x的取值范围是[﹣4，5]．故选：D．4．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列命题不正确的是（）A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为πD．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明即可．B．研究四面体的底面积和高的变化进行判断即可．C．所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C的长度，求出球半径进行计算即可．D．根据正方体内切球和三角形外接圆的关系进行判断即可．【解答】解：A．∵AB1∥DC1，AC∥A1C1，且AC∩AB1=A，∴平面ACB1∥平面A1C1D，长方体的体对角线BD1=，设B到平面ACB1的距离为h，则=×1=h，即h=，则平面ACB1与平面A1C1D的距离d=﹣2h==，故A正确，B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C=，则2R=，R=，则球的体积V==×π×（）3=π，故C正确，D．设与正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球为O′，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，∵点M在与正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球相切的球的半径，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，∴线段MN长度的最小值是﹣．故D错误，故选：D．5．设函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，1）B．[1，2]C．（0，1]D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】画出函数f（x）的图象，问题转化为f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象读出即可．【解答】解：画出函数f（x）在[0，2π]的图象，如图示：，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即f（x）和y=m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，0＜m＜1，故选：A．6．已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理，化简可得|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，再由三角形的等积法，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，①由直径所对的圆周角为直角，可得PF1⊥PF2，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，②②﹣①2，可得2|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2，即有|PF1|•|PF2|=2c2﹣2a2，由三角形的面积公式可得， |PF1|•|PF2|=|PH|•|F1F2|，即有2c2﹣2a2=2ac，由e=可得，e2﹣e﹣1=0，解得e=（负的舍去）．故选：C．7．已知3tan+=1，sinβ=3sin（2α+β），则tan（α+β）=（）A．B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知式子可得sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，保持整体展开变形可得tan（α+β）=2tanα，再由3tan+=1和二倍角的正切公式可得tanα的值，代入计算可得．【解答】解：∵sinβ=3sin（2α+β），∴sin[（α+β）﹣α]=3sin[（α+β）+α]，∴sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα+3cos（α+β）sinα，∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，∴tan（α+β）===2tanα，又∵3tan+=1，∴3tan=1﹣，∴tanα==，∴tan（α+β）=2tanα=，故选：A．8．如图，棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点A在平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为30°，则顶点C1到平面α的距离的最大值是（）A．2（2+）B．2（+）C．2（+1）D．2（+1）【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，O在AC上，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠OAE=30°，由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，由此可得顶点C1到平面α的距离的最大值．【解答】解：如图所示，AC的中点为O，C1O⊥α，垂足为E，则C1E为所求，∠AOE=30°由题意，设CO=x，则AO=4﹣x，C1O=，OE=OA=2﹣x，∴C1E=+2﹣x，令y=+2﹣x，则y′=﹣=0，可得x=，∴x=，顶点C1到平面α的距离的最大值是2（+）．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分）9．已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是8π；几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，由三视图求出几何元素的长度，利用柱体、球体的体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：中间是圆柱上下是半球，球和底面圆的半径是1，圆柱的母线长是2，∴几何体的表面积S=4π×12+2π×1×2=8π，几何体的体积是V==，故答案为：．10．若x=是函数f（x）=sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f（x）的最小正周期是π；函数f（x）的最大值是．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），由已知求出θ得到a值，则函数的周期及最值可求．【解答】解：∵f（x）=sin2x+acos2x=（tanθ=a），又x=是函数的一条对称轴，∴，即．则f（x）=．T=；由a=tanθ=tan（）=tan=，得．∴函数f（x）的最大值是．故答案为：．11．已知数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a1a2a3…a15=3；设b n=（﹣1）n a n，数列{b n}前n项的和为S n，则S2016=﹣2100．【考点】数列的求和．【分析】利用递推式计算前5项即可发现{a n}为周期为4的数列，同理{b n}也是周期为4的数列，将每4项看做一个整体得出答案．【解答】解：∵a1=2，a n+1=，∴a2==﹣3，a3==﹣，a4==，a5==2．∴a4n+1=2，a4n+2=﹣3，a4n+3=﹣，a4n=．∴a4n+1•a4n+2•a4n+3•a4n=2×=1．∴a1a2a3…a15=a13a14a15=a1a2a3=2×（﹣3）×（﹣）=3．∵b n=（﹣1）n a n，∴b4n+1=﹣2，b4n+2=﹣3，b4n+3=，b4n=．∴b4n+1+b4n+2+b4n+3+b4n=﹣2﹣3++=﹣．∴S2016=﹣×=﹣2100．故答案为：3，﹣2100．12．已知整数x，y满足不等式，则2x+y的最大值是24；x2+y2的最小值是8．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，代入最优解的坐标得答案．第二问，转化为点到原点的距离的平方，求出B的坐标代入求解即可．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，由可得，A（8，8）z最大等于2×8+8=24．x2+y2的最小值是可行域的B到原点距离的平方，由可得B（2，2）．可得22+22=8．故答案为：24；8．13．已知向量，满足：||=2，向量与﹣夹角为，则的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．由于向量与﹣夹角为，可得：∠AOB=θ∈.∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，化简整理可得：=2+﹣=+2，即可得出．【解答】解：不妨设=（x，0）（x≥0），=θ，=，=，=．∵向量与﹣夹角为，∴∠AOB=θ∈．∴∈，∈[﹣1，1]．在△OAB中，由正弦定理可得：==，∴=，=sinθ=，∴=2+﹣=+2=+2=+2∈．∴的取值范围是．故答案为：．14．若f（x+1）=2，其中x∈N*，且f（1）=10，则f（x）的表达式是f（x）=4•（）（x∈N*）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f（x）＞0恒成立，可对等式两边取2为底的对数，整理为log2f（x+1）﹣2=（log2f （x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}为首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，整理即可得到f（x）的解析式．【解答】解：由题意可得f（x）＞0恒成立，由f（x+1）=2，可得：log2f（x+1）=1+log2，即为log2f（x+1）=1+log2f（x），可得log2f（x+1）﹣2=（log2f（x）﹣2），由x∈N*，可得数列{log2f（x）﹣2）}是首项为log2f（1）﹣2=log210﹣2，公比为的等比数列，可得log2f（x）﹣2=（log210﹣2）•（）x﹣1，即为log2f（x）=2+log2•（）x﹣1，即有f（x）=22•2=4•（）．故答案为：f（x）=4•（）（x∈N*）．15．从抛物线y2=2x上的点A（x0，y0）（x0＞2）向圆（x﹣1）2+y2=1引两条切线分别与y轴交B，C两点，则△ABC的面积的最小值是8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，写出直线AB的方程为（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0，由直线AB与圆相切可得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0，同理：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y A，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，因为S=|y C﹣y B|x0，再结合韦达定理即可求出三角形的最小值．【解答】解：设B（0，y B），C（0，y C），A（x0，y0），其中x0＞2，所以直线AB的方程，化简得（y0﹣y B）x﹣x0y+x0y B=0直线AB与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，两边平方化简得（x0﹣2）y B2+2y0y B﹣x0=0同理可得：（x0﹣2）y A2+2y0y A﹣x0=0，故y C，y B是方程（x0﹣2）y2+2y0y﹣x0=0的两个不同的实根，所以y C+y B=，y C y B=，所以S=|y C﹣y B|x0==（x0﹣2）++4≥8，所以当且仅当x0=4时，S取到最小值8，所以△ABC的面积的最小值为8．故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图，四边形ABCD，∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB．（Ⅰ）若2|CB|=|CD|=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）若|CB|+|CD|=3，求|AC|的最小值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DCB，利用余弦定理可求BD，进而求得AC，AB，利用三角形面积公式即可得解．（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，由已知及基本不等式可求BD的最小值，进而可求AC的最小值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）∵∠DAB=60°，CD⊥AD，CB⊥AB，可得A，B，C，D四点共圆，∴∠DCB=120°，∴BD2=BC2+CD2﹣2CD•CB•cos120°=1+4+2=7，即BD=，∴，∴，∴．…（Ⅱ）设|BC|=x＞0，|CD|=y＞0，则：x+y=3，BD2=x2+y2+xy=（x+y）2﹣xy，∴，当时取到．…17．如图（1）E，F分别是AC，AB的中点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，沿着EF将△AEF折起，记二面角A﹣EF﹣C的度数为θ．（Ⅰ）当θ=90°时，即得到图（2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值；（Ⅱ）如图（3）中，若AB⊥CF，求cosθ的值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的余弦值．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，由AB⊥CF，得GB⊥CF，由此能求出cosθ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面AEF⊥平面CEFB，且EF⊥EC，∴AE⊥平面CEFB，过点E向BF作垂线交BF延长线于H，连接AH，则∠AHE为二面角A﹣BF﹣C的平面角设，，，∴，∴二面角A﹣BF﹣C的余弦值为．（Ⅱ）过点A向CE作垂线，垂足为G，如果AB⊥CF，则根据三垂线定理有GB⊥CF，∵△BCF为正三角形，∴，则，∵，∴，∴cosθ的值为．18．设函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=c|x|+bx+a，对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．（1）求|f（2）|的最大值；（2）求证：对任意的x∈[﹣1，1]，都有|g（x）|≤1．【考点】二次函数的性质；绝对值三角不等式．【分析】（1）由|f（x）|≤得|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，代入解析式即可得出a，b，c的关系，使用放缩法求出|f（2）|的最值；（2）由（1）得出|g（±1）|，故g（x）单调时结论成立，当g（x）不单调时，g（x）=a，利用不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵对任意的x∈[﹣1，1]都有|f（x）|≤．|f（0）|≤，|f（1）|≤，|f（﹣1）|≤，∴|c|≤，|a+b+c|≤，|a﹣b+c|≤；∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a﹣b+c）﹣3c|≤|3（a+b+c）|+|（a﹣b+c）|+|﹣3c|≤=．∴|f（2）|的最大值为．（2）∵﹣≤a+b+c≤，﹣≤a﹣b+c≤，﹣≤c≤，∴﹣1≤a+b≤1，﹣1≤a﹣b≤1，∴﹣1≤a≤1，若c|x|+bx=0，则|g（x）|=|a|，∴|g（x）|≤1，若c|x|+bx≠0，则g（x）为单调函数，|g（﹣1）|=|a﹣b+c|≤，|g（1）|=|a+b+c|≤，∴|g（x）|．综上，|g（x）|≤1．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得•为定值？如果有，求出点N的坐标及定值；如果没有，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆立，利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能求出存在点满足．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦点与短轴的两顶点的连线与圆x2+y2=相切，∴，解得c 2=1，a 2=4，b 2=3 ∴椭圆方程为（Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y=k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则△＞0，，若存在定点N （m ，0）满足条件，则有=（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+y 1y 2 =如果要上式为定值，则必须有验证当直线l 斜率不存在时，也符合． 故存在点满足20．已知正项数列{a n }满足：S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *），其中S n 为数列{a n }的前n 项的和． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求证：＜（）+（）+（）+…+（）＜3．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）通过S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *）与S n ﹣12=a 13+a 23+…+a n ﹣13（n ≥2，n ∈N *）作差、计算可知S n +S n ﹣1=，并与S n ﹣1﹣S n ﹣2=作差、整理即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知，一方面利用不等式的性质、累加可知（）+（）+（）+…+（）＞，另一方面通过放缩、利用裂项相消法计算可知++…+＜2，进而整理即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵S n 2=a 13+a 23+…+a n 3（n ∈N *）， ∴S n ﹣12=a 13+a 23+…+a n ﹣13（n ≥2，n ∈N *），两式相减得：﹣=，∴a n（S n+S n﹣1）=，∵数列{a n}中每一项均为正数，∴S n+S n﹣1=，又∵S n﹣1﹣S n﹣2=，两式相减得：a n﹣a n﹣1=1，又∵a1=1，∴a n=n；证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵，∴，即，令k=1，2，3，…，n，累加后再加得：（）+（）+（）+...+（）＞2+2+ (2)=（2n+1）=，又∵+++…+＜3等价于++…+＜2，而=＜=（﹣）=（﹣）＜（﹣）=2（﹣），令k=2，3，4，…，2n+1，累加得：++…+＜2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（1﹣）＜2，∴．。

2020～2020年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．1个B．2个C．3个D．无穷个2．34i34i 12i12i +--= -+A．－4B．4C．－4iD．4i3．如图1为某省2020年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2020年1～4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是A．2020年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2020年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高C．从两图来看，2020年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1～4月来看，该省在2020年快递业务收入同比增长率逐月增长4．设x，y满足约束条件60330x yxx y-+⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≥，则11x yzx++=+的取值范围是A．（－∞，－8]∪[1，＋∞）B．（－∞，－10]∪[－1，＋∞）C．[－8，1]D．[－10，－1]5．某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A．4643π-B．64－4πC．64－6πD．64－8π6．有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜97．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ 于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为A．2 2B．1 2C．1 3D．1 48．已知f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）＝f（x）－x，且当x∈（－∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（2x－1）－f（x＋2）≥x－3的解集为A．（3，＋∞）B．[3，＋∞）C．（－∞，3]D．（－∞，3）9．函数f（x）＝ln|x|＋x2－x的图象大致为A．B．C．D．10．用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为A ．532 B ．516C ．1132D ．111611．已知函数f （x ）＝3sin （ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π），()03f π-=，对任意x ∈R 恒有()|()|3f x f π≤，且在区间（15π，5π）上有且只有一个x 1使f （x 1）＝3，则ω的最大值为A ．574 B ．1114C ．1054D ．117412．设函数f （x ）在定义域（0，＋∞）上是单调函数，且(0,)x ∀∈+∞，f[f （x ）－e x＋x]＝e ．若不等式f （x ）＋f′（x ）≥ax 对x ∈（0，＋∞）恒成立，则a 的取值范围是 A ．（－∞，e －2] B ．（－∞，e －1] C ．（－∞，2e －3] D ．（－∞，2e －1]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题．将答案填在答题卡中的横线上． 13．已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则|2|________|3|+=-a b a b ．14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的高为6，AB ＝4，点D 为棱BB 1的中点，则四棱锥C —A 1ABD的表面积是________．15．在（x2－2x－3）4的展开式中，含x6的项的系数是________．16．已知双曲线C：22221 x yab-=（a＞0，b＞0），圆M：222()4bx a y-+=．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当22224149aaa b-+取得最大值时，C的实轴长为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题．17．设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，且S n＝na n＋1－n2－n．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足22121(1)nnnbn a++=-，求{b n}的前n项和T n．18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知22()23sina cb ab C+=+．（1）求B的大小；（2）若b＝8，a＞c，且△ABC的面积为33，求a．19．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，且CE CSλ=u u u r u u u r．（1）若23λ=，证明：BE⊥CD；（2）若13λ=，求直线BE与平面SBD所成角的正弦值．20．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，且圆P与直线x＝－1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（－2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x＋ax2，g（x）＝x＋blnx．若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线相交于点（0，1）．（1）求a，b的值；（2）求函数g（x）的最小值；（3）证明：当x＞0时，f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为,2x my⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|＋|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数f（x）＝|x＋2|－|ax－2|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥2x＋1的解集；（2）若不等式f（x）＞x－2对x∈（0，2）恒成立，求a的取值范围．2020～2020年度高三全国Ⅰ卷五省优创名校联考数学参考答案（理科）1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 11．C 12．D 13．114．36 15．121617．解：（1）由条件知S n ＝na n ＋1－n 2－n ，① 当n ＝1时，a 2－a 1＝2；当n≥2时，S n －1＝（n －1）a n －（n －1）2－（n －1），② ①－②得a n ＝na n ＋1－（n －1）a n －2n ， 整理得a n ＋1－a n ＝2．综上可知，数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，从而得a n ＝2n ＋1． （2）由（1）得222221111[](22)4(1)n n b n n n n +==-++， 所以22222221111111111[(1)()()][1]4223(1)4(1)44(1)n T n n n n =-+-++-=-=-+++L ．18．解：（1）由22()sin a c b C +=+得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即2(cos 1)sin ac B C +=，所以有sin (cos 1)sin C B B C +=，因为C ∈（0，π），所以sinC ＞0，所以cos 1B B +=，cos 2sin()16B B B π-=-=，所以1sin()62B π-=．又0＜B ＜π，所以666B ππ5π-<-<，所以66B ππ-=，即3B π=．（2）因为11sin 222ac B ac =⋅=ac ＝12． 又b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝（a ＋c ）2－3ac ＝（a ＋c ）2－36＝64， 所以a ＋c ＝10，把c ＝10－a 代入到ac ＝12（a ＞c ）中，得5a =． 19．（1）证明：因为23λ=，所以23CE CS =，在线段CD 上取一点F 使23CF CD =，连接EF ，BF ，则EF ∥SD 且DF ＝1． 因为AB ＝1，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°， 所以四边形ABFD 为矩形，所以CD ⊥BF ． 又SA ⊥平面ABCD ，∠ADC ＝90°， 所以SA ⊥CD ，AD ⊥CD ．因为AD∩SA＝A ，所以CD ⊥平面SAD ． 所以CD ⊥SD ，从而CD ⊥EF ．因为BF∩EF＝F ，所以CD ⊥平面BEF ． 又BE ⊂平面BEF ，所以CD ⊥BE ．（2）解：以A 为原点，AD u u u r的正方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz ，则A （0，0，0），B （0，1，0），D （2，0，0），S （0，0，2），C （2，3，0），所以142(,1,)333BE BC CE BC CS =+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，(0,1,2)SB =-u u r ，(2,0,2)SD =-u u u r ．设n ＝（x ，y ，z ）为平面SBD 的法向量，则0SB SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u rn n ， 所以20y z x z -=⎧⎨-=⎩，令z ＝1，得n ＝（1，2，1）．设直线BE 与平面SBD 所成的角为θ，则||2174sin |cos ,|||||BE BE BE θ⋅===u u u ru u u r u u u r n n n ．20．解：（1）设P （x ，y ），圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆Q ：（x －2）2＋y 2＝1外切，1r =+，①又动圆P 与直线x ＝－1相切，所以r ＝x ＋1，②由①②消去r 得y 2＝8x ，所以曲线C 的轨迹方程为y 2＝8x ．（2）假设存在曲线C 上的点M 满足题设条件，不妨设M （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2008y x =，2118y x =，2228y x =， 1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+， 所以120210*********(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，③ 显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty －2，联立方程组282y x x ty ⎧=⎨=-⎩，消去x 得y 2－8ty ＋16＝0，由Δ＞0得t ＞1或t ＜－1，所以y 1＋y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2， 代入③式得02008(82)816MA MB t y k k y ty ++=++，令02008(82)816t y m y ty +=++（m 为常数）， 整理得2000(864)(1616)0my t my y m -+-+=，④因为④式对任意t ∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，所以0200864016160my my y m -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 所以024m y =⎧⎨=⎩或024m y =-⎧⎨=-⎩，即M （2，4）或M （2，－4）， 即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，－4）满足题意．21．（1）解：因为f′（x ）＝e x＋2ax ，所以f′（1）＝e ＋2a ，切点为（1，e ＋a ），所以切线方程为y ＝（e ＋2a ）（x －1）＋（e ＋a ），因为该切线过点（0，1），所以a＝－1．又()1bg xx'=+，g′（1）＝1＋b，切点为（1，1），所以切线方程为y＝（1＋b）（x－1）＋1，同理可得b＝－1．（2）解：由（1）知，g（x）＝x－lnx，11 ()1xg xx x-'=-=，所以当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，所以当x＝1时，g（x）取极小值，同时也是最小值，即g（x）min＝g（1）＝1．（3）证明：由（1）知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（e－2）x ＋1．下面证明：当x＞0时，f（x）≥（e－2）x＋1．设h（x）＝f（x）－（e－2）x－1，则h′（x）＝e x－2x－（e－2），再设k（x）＝h′（x），则k′（x）＝e x－2，所以h′（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，＋∞）上单调递增．又因为h′（0）＝3－e，h′（1）＝0，0＜＜ln2＜1，所以h′（ln2）＜0，所以存在x0∈（0，1），使得h′（x0）＝0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，＋∞）时，h′（x）＞0；当x∈（x0，1）时，h′（x）＜0．故h（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．又因为h（0）＝h（1）＝0，所以h（x）＝f（x）－（e－2）x－1≥0，当且仅当x＝1时取等号，所以e x－（e－2）x－1≥x2．由于x＞0，所以e(e2)1x xxx---≥．又由（2）知，x－lnx≥1，当且仅当x＝1时取等号，所以，e(e2)11lnx xx xx---+≥≥，所以e x－（e－2）x－1≥x（1＋lnx），即e x－x2＋x（x－lnx）≥（e－1）x＋1，即f（x）＋xg（x）≥（e－1）x＋1．22．解：（1）将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝48，得x2＋3y2＝48，即221 4816x y+=，因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12||||||FA FB t t +=-=== （2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sinθ）（02θπ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当4θπ=时，面积S取得最大值 23．解：（1）当a ＝2时，4,2()|2||22|3,214,1x x f x x x x x x x --⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-+⎩≤≥，当x≤－2时，由x －4≥2x＋1，解得x≤－5；当－2＜x ＜1时，由3x≥2x＋1，解得x ∈∅；当x≥1时，由－x ＋4≥2x＋1，解得x ＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．（2）因为x ∈（0，2），所以f （x ）＞x －2等价于|ax －2|＜4， 即等价于26a x x-<<， 所以由题设得26a x x-<<在x ∈（0，2）上恒成立， 又由x ∈（0，2），可知21x -<-，63x >， 所以－1≤a≤3，即a 的取值范围为[－1，3]．。

江西省课改创新联盟2020届第二次联合考试数学(理科)试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题 60 分）和第Ⅱ卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分， 考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项） 1．已知集合{}220A x x x =∈-++≥N ，则满足条件A B A ⋃=的集合B 的个数为( ) A ．3B ．4C ．7D ．82．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12ii a bi i+-=+-，则a bi -=（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．2155i - D ．21i 55+3．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B．C ．16D ．204．已知实数,x y 满足不等式组4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则23z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．3-C ．1D ．135．已知数列{}n a 满足211nn n a a a -+=（2n ≥），2484sin 2a a xdx π⋅=⎰，且40a >，则6tan 3a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭( )A．BC．D6．将函数()2sin 1f x x π=-的图象向左平移ϕ（102ϕ<<）个单位长度后得到函数()g x 的图象，若使()()4f a g b -=成立的a 、b 有min 34a b -=，则下列直线中可以是函数()y g x =图象的对称轴的是( )A ．14x =-B ．12x =C ．34x = D ．54x =7．已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=u u u v u u u v u u u v v，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自,,GAB GAC GBC ∆∆∆的概率分别记为123,,P P P ，则（ ） A ．123P P P ==B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为(),0F c ，点A 、B 分别在直线2a x c=-和双曲线C 的右支上，若四边形OABF （其中O 为坐标原点）为菱形且其面积为，则a =( ) ABC ．2D9．已知正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形1BFD E 一定是平行四边形； ③平面α与平面1DBB 不可能垂直； ④四边形1BFD E 的面积有最大值. 其中所有正确结论的序号为（ ） A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①②③④10．已知函数() 01ln 0x x e x f x xe x x x -⎧-≤=⎨--->⎩，，，则函数()()()()F x f f x ef x =-的零点个数为（ ）（e 是自然对数的底数） A ．6B ．5C ．4D ．311．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 、2l 与抛物线C分别交于M 、N 和M 、P 两点，其中直线2l 过点F ，MR RN =u u u v u u u v，(),R R R x y .若2R py MN =-，则当MFN ∠取到最大值时，MP =（ ） A ．14B ．16C ．18D ．2012．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220D ．110第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题后对应横线上）13．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______. 14．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X~N （100，100），且110120X <<的产品数量为5436件，请估计该批次检测的产品数量是________件. 参考数据，若()2~,X Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.15．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，点,M N 在双曲线E 的一条渐近线上，FM FN ==且2FM FN a ⋅=u u u u r u u u r，则双曲线E 的离心率是______. 16．在四面体ABCD 中，60ACB ∠=︒，90DCA ∠=︒，2DC CB CA ===，二面角D -AC -B 的大小为120°，则此四面体的外接球的表面积是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，其中必答题共5小题，每题12分，22与23小题为选做题，请在其中任选1题作答，要求写出必要的解答步骤及文字说明） 17．在ABC ∆中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2a =，cos cos cos 0a C c A B +=.（1）求B ；（2）若BC 边的中线AM ABC ∆的面积.18．在直角梯形ABCD （如图1），90ABC ︒∠=，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，M 为线段AD 中点.将ABC V 沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD -（如图2）.（1）求证：CD ⊥平面ABC ；（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值.19．“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率（假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）：（1）若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；（2）设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.20．设椭圆:C 22221x y a b +=（0a b >>）的左右顶点为12A A ，，上下顶点为12B B ，，菱形1122A B A B 的内切圆C '，椭圆的离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设M N ，是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P 满足PM PN =，试判断直线PM PN ，与圆C '的位置关系，并证明你的结论.21．已知函数2()()af x x ax a R x=+-∈. （1）当1a =且1x >-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当21e a e ≥+时，若函数2()()ln g x f x x x =--的两个极值点分别为1x 、2x ，证明12240()()1g x g x e <-<+.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为31x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为4cos 6sin ρθθ=+. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点M N ，，点A 的坐标为（3，1），求AM AN +.23．已知函数()2f x x m x =--+（m R ∈），不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，. （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，3c >，且22a b c m ++=，求()()()113a b c ++-的最大值.江西省课改创新联盟2020届第二次联合考试数学(理科)参考答案与评分细则一、选择题二、填空题16.三、解答题17．（1）34B π=（2）1解：（1）在ABC ∆中，sin sin sin a b cA B C==，且cos cos cos 0a C c A B +=，∴sin cos sin cos cos 0A C C A B B +=，（2分）∴()sin()cos sin cos sin 10A C B B B B B B B +==⋅=，（4分）又∴sin 0B ≠，∴cos B =（5分） ∴B 是三角形的内角，∴34B π=. （6分）（2）在ABM ∆中，314BM AM B AB c π====，，， 由余弦定理得()2222cos AM c BM c BM B =+-⋅⋅，（8分）∴2512()2c c =+-⨯-．即240c -=，(0c c +=,（9分）∴0c >，∴c =（10分）在ABC ∆中，2a =，c =34B π=，（11分）∴ABC ∆的面积113sin 21224S ac B π==⨯=.（12分）18．（1）证明见解析；（2解：（1）由题设可知AC =CD =，8AD = ∴222AD CD AC =+∴CD AC ⊥ （1分）又∴平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC I 平面ACD AC =（3分） ∴CD ⊥面ABC .（4分） （2）法一、等体积法取AC 的中点O 连接OB ，由题设可知ABC V 为等腰直角三角形，所以OB ⊥面ACM∴B ACM A BCM V V --=且133B ACM ACM V S BO -=⋅=（7分）而BCM S ∆=8分）∴A 到面BCM 的距离h =10分）所以sin 3h AB θ==.（12分）法二、向量法取AC 的中点O 连接OB ，由题设可知ABC V 为等腰直角三角形，所以OB ⊥面ACM ，连接OM ，因为M O 、分别为AB 和AC 的中点，所以//OMCD ，由（1）可知OM AC ⊥，故以OM OC OB 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.则(0,A -，B ，(0,C ，M∴(0,CB =-u u u r CM =-u u u u r (0,BA =--u u u r（每个1分）∴面BCM 的一个法向量(1,1,1)n =r（9分）∴||sin 3||||BA n BA n θ⋅==u u u r r u u u r r （12分）19．（1）18125 （2）分布列见解析，65EX = 解：（1）依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15， ∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：2222332112185555125P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （4分） （2）X 可能取值为0，1，2，3.则()3332705125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3332835125P XC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为（上面结果计算每个1分，分布列2分，不写计算过程给2分） ∴2754368601231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 20．（1）22163x y += （2）直线PM 、PN 与圆C '相切，证明见解析解：（1）设椭圆的半焦距为c .b c a =，.（1分）设圆C '的半径为r ，则r ab =，（2分）2，解得b =∴a =3分）∴椭圆C 的方程为22163x y += （4分）（2）∴M N ，关于原点对称，PM PN =，∴OP MN ⊥.（5分） 设()11M x y ，，()22P x y ，.当直线PM 的斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+.由直线和椭圆方程联立得()2226x kx m ++=，即()222124260k x kmx m +++-=，∴12221224212621km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.（7分） ∴()11OM x y =u u u u v ，，()22OP x y =u u u v，，∴()()12121212OM OP x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u v u u u v()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()222322021m k k --==+，（8分） ∴22220m k --=，2222m k =+， ∴圆C '的圆心O 到直线PMr ==，∴直线PM 与圆C '相切.（不考虑斜率不存在情况给9分）当直线PM 的斜率不存在时，依题意得()11,N x y --，()11,P x y -. 由PM PN=得1122x y =，∴2211x y =，结合2211163x y +=得212x =，∴直线PM 到原点O， ∴直线PM 与圆C '也相切.同理可得，直线PN 与圆C '也相切. ∴直线PM 、PN 与圆C '相切 （12分）21．（1）()f x 的单调递增区间为()(1,0),0,-+∞，；无单调递减区间；（2）证明见解析.解：(1)当1a =时，21()f x x x x =+-，3222121()21x x f x x x x'++∴=++=，（1分） ①当0x>时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； ②当10x -<<时，记32()21x x x ϕ=++，则21()6263x x x x x ϕ'⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以当1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，∴()x ϕ单调递减，且()(0)1x ϕϕ>=；当11,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，且(1)0ϕ-=，所以当(1,0)x ∈-时，()0x ϕ>，函数()f x 单调递增.综上所述，函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞；无单调递减区间. （3分） (2)由2()()ln ln (R,0)ag x f x x x ax x a x x=--=--∈>， 2221()a ax x ag x a x x x '-+∴=+-=，（4分） 12,x x Q 是函数()g x '的两个零点，12,x x ∴是方程20ax x a -+=的两个实数解，由0>∆，且21e a e >+，得2112e a e <<+，则有121x x =，（5分）不妨设12x x <，1201x x ∴<<< 又121x x a +=Q ，即得1111x x a +=，（6分） 2112e a e <<+Q ，21112e e a e e+∴<<=+，（7分） 即得1211112x x x e x e <+=+<+，从而得到11ex <<，12x x <Q ，且201ea e >>+， ∴由二次函数的图象及性质知函数()g x 在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值.（8分）()()()()1212g x g x g x g x ∴-=-112212ln ln a aax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111ln ln a a ax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫=----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112ln aax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， （*）（9分）又1x Q 为方程20ax x a -+=的根，1211x a x ∴=+，（10分）代人(*)式得()()2221112112221111112ln 2ln 1112x x g x g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=--=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 令21x t =，则211t e <<，11()2ln 12t g t t t -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，（11分） 设11()2ln 12x h x x x -⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，211x e<<，22(1)()0(1)x h x x x '--∴=<+，()h x ∴单调递减， 从而有22140(1)()1h h x h e e ⎛⎫=<<= ⎪+⎝⎭，240()1g t e ∴<<+. ()()122401g x g x e ∴<-<+，即()()122401g x g x e <-<+得证.（12分） 22．（1）()()222313x y -+-=（2）解：()1因为曲线C 的方程4cos 6sin ρθθ=+，∴24cos 6sin ρρθρθ=+，（2分）222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==Q∴2246x y x y +=+，（3分）化简得,曲线C 的直角坐标方程为：()()222313x y -+-=.（4分） （2）把直线3:1x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入曲线C得22121322t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，280t --=.（6分）∴(2320∆=-+>，所以方程280t --=有两个不等实根， 设12t t ，为方程的两个实数根，由韦达定理可得,12t t +=，128t t =-，∴12t t ，为异号，（8分）又∴点A （3，1）在直线l 上，由参数方程中参数的几何意义可得,1212AM AN t t t t +=+=-==.（10分）所以AM AN +=.23．（1）6m =（2）32（1）∴()2f x x m x =--+，()2222f x x m x ∴-=----+，（1分）所以不等式()20f x -≥的解集为(] 4-∞，, 即为不等式20x m x ---≥的解集为(] 4-∞，， ∴2x m x --≥的解集为(] 4-∞，,（2分） 即不等式()222x m x --≥的解集为(] 4-∞，， 化简可得,不等式()()2220m m x ++-≥的解集为(] 4-∞，，（3分） 所以242m +=,即6m =.（4分） （2）∴6m =，∴212a b c ++=.（5分）又∴0a >，0b >，3c >，∴()()()()()()12231132a b c a b c ++-++-=（6分） ()()()333122311211232232323a b c a b c ++++-⎡⎤++⎛⎫⎛⎫≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，（8分） 当且仅当1223a b c +=+=-,212a b c ++=等号成立,即3a =，1b =，7c =时，等号成立，（不写成立条件给8分） ∴()()()113a b c ++-的最大值为32.（10分）。

答 案选择题1-6：ADDDCA 7-12:BBCDBD 填空题13.512 14．1915. 16．①②解答题17. （原创题）（Ⅰ）2321711+ 5分（Ⅱ）n n b n a 3,2n == 12分18. 18．（Ⅰ）0.0125；（Ⅱ）分布列见解析，()1E X =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用直方图中矩形面积的和为1，直接求解x 即可； （Ⅱ）依题意得14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:，随机变量ξ的所有可能取值为0、1、2、3、4，由此能求出ξ的分布列及其数学期望． 【详解】（Ⅰ）由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，可得()200.0250.00650.00321x ⨯+++⨯=，解得0.0125x =； 4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，全体高一学生中，自主安排学习时间少于20分钟的学生的频率为1200.01254⨯=， X 的可能取值为0、1、2、3、4，且14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，()()441304,44kkk P X k C k k N -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅≤≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为()1414E X =⨯=． 12分 【点睛】本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19．（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得1C B ⊥平面ABC .（2）以B 为原点，分别以BC uuu r ，1u u u u r BC 和BA u u u r的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面1AB E 和平面11A B E 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； 【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，∴1BC =又∴22211BC BC CC +=，∴1BC BC ⊥，∵AB ⊥侧面11BB C C ，∴1AB BC ⊥. 又∵AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ∴直线1C B ⊥平面ABC . 5分（2）以B 为原点，分别以BC uuu r ，1u u u u r BC 和BA u u u r的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,2A ，()1B -，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1A -， 设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =r()12AB =--u u u r，122AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ∵10n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，∴111111201202x z x y z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =11x =，∴()n =r 设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =u r ，()110,0,2A B =-u u u u r，13,22A E ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ， ∵11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u v v ，∴203202z x y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令y =1x =，∴()m =u r ， 2m =u r，n =r 4m n ⋅=u r r，∴cos ,m n m n m n ⋅===u r ru r r u r r 设二面角11A EB A --为α，则cos cos ,m n α==u r r∴设二面角11A EB A --. 12分 【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 20．（1）见解析 （2）()24e ,00,e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦U 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到()()2x a x a f x x⎛⎫--⎪⎝⎭'=，即解不等式可求出结果；（2）先构造函数()()()2e2ln a F x f x g x ax x x+=-=--，分别讨论0a <，0a >两种情况，用导数的方法研究函数单调性，即可根据题意求出参数范围. 【详解】(1)())()()(是减函数，是增函数，在，和，在21210∞+x f 5分（2）构造函数()()()2e2ln a F x f x g x ax x x+=-=--， 当0a <时，由[]1,x e ∈，得0a ax x -≤，2e2ln 0x x--<，∴()0F x <. 当0a >时，()2222eax x a F x x-++'=， 因为[]1,x e ∈，所以220e x -≥，20ax a +>所以()0F x '>在[]1,e 上恒成立，故()F x 在[]1,x e ∈上单调递增.()max e 40e a F x a =--≤，解得24e e 1a ≤-，又0a >，所以24e0e 1a <≤-. 故a 的取值范围是()24e ,00,e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦U . 12分 【点睛】本题主要考查判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的范围，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.21．（I ）2214x y +=；（II ）2425；（III ）308,1717⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】 【详解】试题分析：(I)根据已知椭圆上的一个点和离心率，列方程组，可求得,a b 的值.（II ）当直线斜率不存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，求出,P Q 两点坐标，代入0AP AQ ⋅=u u u r u u u r，可求得直线方程，进而求得三角形的面积.当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程 ，写出韦达定理，利用弦长公式和点到直线的距离公式计算得面积的表达式，并利用二次函数求最值的方法求得最大值.（III ）设出直线l 方程和外接圆的方程，分别联立直线的方程与圆、椭圆的方程，化简后的两个方程同解，通过对比系数可求得圆方程的表达式并求出定点坐标. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知：且22222{141c a a b c a b==++=，可得：2{1a b c ===，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. 3分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，设:=l x m ，与2214x y +=联立得：,,P m Q m ⎛⎛ ⎝⎝. 由于0AP AQ •=u u u r u u u r ，得()222104m m ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得65m =或2m =（舍去）. 此时85PQ =，OPQ ∆的面积为2425. 当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，与2214x y +=联立得：()()222418410kx kmx m +++-=.由>0∆，得22410k m -+>； 且148221+=+k km x x ()()212241*41m x x k -=+.由于0AP AQ •=u u u r u u u r，得：()()()()()()2212121212221240x x y y k x x km x x m --+=++-+++=.代入()*式得：22125160k m km ++=， 即65m k =-或2m k =-（此时直线l 过点A ，舍去）.PQ ==点O 到直线l的距离为：d =.OPQ ∆，将65m k =-代入得： OPQ ∆的面积为24242525<.OPQ ∆面积的最大值为2425. 7分 （Ⅲ）设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程2214xy +=得：()221716410x mx m ++-=①.设APQ ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=：联立直线l 的方程y kx m =+的：()()225420x M D E x m mE F ++++++=②.方程①②为同解方程，所以：()22411716542m m m D E m mE F-==++++. 又由于外接圆过点()2,0A ，则24D F +=-. 从而可得到关于,,D E F 的三元一次方程组：22412{2173201717D F DE m mEF m +=-+=+=-，解得：62417312{17122017m D m E m F -=+=+=-. 代入圆的方程为：2262431212200171717m m m x y x y -+++++-=. 整理得：()22241220324017171717m x y x y x y ⎛⎫+-+-++-= ⎪⎝⎭；所以222412200{171717240x y x y x y +-+-=+-=，解得3017{817x y ==或2{0x y ==（舍去）. APQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点308,1717⎛⎫⎪⎝⎭. 12分22（Ⅰ）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的直角坐标方程为22420x y y +-+=，因为()cos cos sin 1422πρθρθρθ⎛⎫-+=++ ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的直角坐标方程为10x y ++=. 5分 （Ⅱ）因为曲线1C 与y轴交于(0,2A，(0,2B 两点， 点A 关于直线10x y ++=的对称点为()'31A --， 所以'PA PB A B ==+≥，所以PA PB + 10分23．详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 5分 （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2． 10分。