北京市西城区2011年高三一模试卷参考答案及评分标准数学（文科） 2011.4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 1 10. 45-2 12. 8π 13.31 14. 5，910 注：11题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . ……………………2分 由正弦定理B b A a sin sin =，可得10sin 303a =. ……………………4分 所以35=a . ……………………6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积1sin 2S ac B =，53sin =B ，所以3310ac =，10=ac . ……………………8分由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=， ……………………9分 得165842222-+=-+=c a ac c a ，即2022=+c a . ……………………10分 所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=， ……………………12分 所以，102=+c a . …………13分 16.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=，所以DE ⊥平面ABCD ，………2分 所以AC DE ⊥.………3分 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE . …………………4分 (Ⅱ)证明：设ACBD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,，所以，OG //=12DE . ……5分因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ，……6分 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. ……………………7分因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , ……………………8分 所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . ……………………9分ACGFEDO（Ⅲ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面ADEF . ………11分因为DE AF //,90ADE ∠=,22===AF DA DE ，所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯⨯=， ……………………12分 所以四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 3143. ……………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得211123a a q a q +=， ……………………2分因为{}n a 是等比数列，所以23210q q --=. ……………………3分 解得1q =或13q =-. ……………………5分 （Ⅱ）①当1q =时，1n b n =+，232n n nT +=， ……………………7分所以，当2n ≥时，2202n n n n T b +--=>. 即当1q =时，(2)n n T b n >≥. ……………………8分 ②当13q =-时，72(1)()33n nb n 1-=+--=， ……………………9分 2132(1)()236n n n n T n n 1-=+--=， ……………………10分(1)(14)6n n n n T b ---=-， ……………………12分所以，当14n >时，n n T b <；当14n =时，n n T b =；当214n ≤<时，n n T b >.…13分综上，当1q =时，(2)n n T b n >≥.当13q =-时，若14n >，n n T b <；若14n =，n n T b =；若214n ≤<，n n T b >.18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()ln 1f x x '=+，0x >， ……………………2分由()0f x '=得1e x =， ……………………3分 所以，()f x 在区间1(0,)e 上单调递减，在区间1(,)e+∞上单调递增. ………………4分所以，1ex =是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在. …………………5分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则000ln y x x =， …………………6分切线的斜率为0ln 1x +，所以，0001ln 1y x x ++=， …………………7分 解得01x =，00y =， …………………8分 所以直线l 的方程为10x y --=. …………………9分 （Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， …………………10分 解()0g x '=，得1ea x -=，所以，在区间1(0,e )a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. …………………11分 当1e1a -≤，即1a ≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最小值为(1)0g =. …………………12分当11<e <e a -，即12a <<时，()g x 的最小值为11(e )e a a g a --=-. ……………13分当1ee a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最小值为(e)e e g a a =+-. ………………14分综上，当1a ≤时，()g x 最小值为0；当12a <<时，()g x 的最小值1e a a --；当2a ≥时，()g x 的最小值为e e a a +-.19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，4x =不合题意.设直线l 的方程为(4)y k x =-，由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)， …………………1分 因为点F 到直线l= …………………3分解得2k =±，所以直线l的斜率为2± . …………………5分 （Ⅱ）设线段AB 中点的坐标为00(,)N x y ，),(),,(2211y x B y x A ，因为AB 不垂直于x 轴， 则直线MN 的斜率为004y x -，直线AB 的斜率为04x y -， …………………7分 直线AB 的方程为00004()x y y x x y --=-， …………………8分 联立方程000024(),4,x y y x x y y x -⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 得2200000(1)(4)04x y y y y x x --++-=， …………………10分 所以012044y y y x +=-， …………………11分 因为N 为AB 中点，所以1202y y y +=，即00024y y x =-， …………………13分 所以02x =.即线段AB 中点的横坐标为定值2. …………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）3=n 时，排列321,,a a a 的所有可能为1,2,3；1,3,2；2,1,3；2,3,1；3,1,2；3,2,1.………………2分2)3,2,1(=τ；3)2,3,1(=τ；3)3,1,2(=τ；3)1,3,2(=τ；3)2,1,3(=τ；2)1,2,3(=τ. ………………4分（Ⅱ）1210(,,,)a a a τ=1223910||||||a a a a a a -+-++-上式转化为1223910a a a a a a ±±±±±±±，在上述18个±中，有9个选正号，9个选负号，其中110,a a 出现一次，239,,,a a a 各出现两次.………………6分 所以1210(,,,)a a a τ可以表示为9个数的和减去9个数的和的形式， 若使1210(,,,)a a a τ最大，应使第一个和最大，第二个和最小. 所以1210(,,,)a a a τ最大为：(10109988776)(112233445)49++++++++-++++++++=. ……………8分所对应的一个排列为：5,7,1,8,2,9,3,10,4,6.（其他正确的排列同等给分） ………9分 （Ⅲ）不可以.例如排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6，除调整1,2外，其它调整都将使波动强度增加，调整1,2波动强度不变. ……………11分所以只能将排列10,9,8,7,1,2,3,4,5,6调整为排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6.对于排列10,9,8,7,2,1,3,4,5,6，仍然是除调整2,1外，其它调整都将使波动强度增加，所以仍只能调整1,2两个数字.如此不断循环下去，不可能经过有限次调整使其波动强度降为9. ……………13分。
