几何五大模型

在小学奥数知识体系中，几何五大模型是几何专题中非常重要的一块知识点，方法性很强，掌握了几何的五大模型，对于我们解决组合型直图形或者非规则图形是非常有帮助的，所以几何五大模型在小学几何体系中的重中之重！几何五大模型的难点在于我们要在掌握各个模型适用的题型、相应的方法、公式的基础上学会灵活运用，还有就是有时要根据题意同时运用多种模型，从而更好的解决问题！接下来e度徐丽老师会针对几何五大模型进行解析，希望能帮助到各位家长。

它们包括：

等积模型鸟头定理蝴蝶定理相似模型燕尾定理

模型一 三角形等积模型

已经知道三角形面积的计算公式：

三角形面积=底*高/2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

例题：

【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4*3/2=6(平方厘米)。

未知驱动探索，专注成就专业

1

小学奥数几何五大模型：漏斗和金字塔模型

概述

在小学奥数几何学中，有五个重要的几何模型，分别是点、线、面、立体和曲面模型。其中，立体模型进一步细分为漏斗和金字塔模型。本文将重点介绍小学奥数几何中的漏斗和金字塔模型。

漏斗模型

定义

漏斗是一个立体模型，它由一个平面底面和一个或多个侧面组成。底面可以是任意形状，但是所有的侧面都要与底面的边界相交并收束到一个点，这个点被称为漏斗的顶点。漏斗的底面通常是一个多边形，且所有的侧面都是三角形。

性质

漏斗的性质如下：

• 漏斗有一个底面和一个或多个侧面，所有的侧面都以底面的边界为公共边。 未知驱动探索，专注成就专业

2

• 漏斗的顶点是所有侧面的公共顶点。

• 漏斗的底面是一个多边形，侧面是三角形。

• 漏斗的侧面的数量和形状取决于底面的形状。

应用

漏斗模型在实际生活中有许多应用，例如：

1. 水滴的形状就像一个漏斗。

2. 密封的瓶子上有一个漏斗形状的开口，方便倒出液体。

3. 一些器皿和容器的设计也采用了漏斗的形状，如斗笠、碗等。

金字塔模型

定义

金字塔是一个立体模型，它由一个多边形底面和一个或多个三角形侧面组成。金字塔的底面是一个多边形，最常见的是四边形（正方形），而侧面是三角形。金字塔的顶点从底面上的中心垂直上移得到。 未知驱动探索，专注成就专业

3

性质

金字塔的性质如下：

• 金字塔有一个底面和一个或多个侧面，所有的侧面都以底面的边界为公共边。

• 金字塔的顶点位于底面的中心上方。

• 金字塔的底面是一个多边形，所有的侧面都是三角形。

• 金字塔的侧面的数量和形状取决于底面的形状。

应用

金字塔模型在现实生活中也有广泛的应用，例如：

1. 古代埃及人建造的金字塔是世界上最古老的建筑之一。

2. 许多现代建筑也采用金字塔的形状，如埃及博物馆、胡夫金字塔等。

3. 金字塔形状的糖果盒、礼品包装等也是比较常见的。 未知驱动探索，专注成就专业

等积变换与共角定理

我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题

三角形等积变换模型

（1）等底等高的两个三角形面积相等；

（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b

（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；

在一组平行线之间的等积变形，如右图；

S△ACD=S△BCD；

共角定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如下两图

例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？

例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。

例3. 如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△

OAB、 △ABC、 △BCD、 △CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于

例4. E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积

例5. 如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是

例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是

例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝

例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。

例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积

小学奥数几何五大模型

一、五大模型简介

（1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比， 如图1所示，::ABDACDSSBDCD△△； 3、两个三角形底相等，面积之比等于高之比， 如图2所示，::ACDBCDSSAEBF△△； 4、在一组平行线之间的等积变形， 如图3所示，ACDBCDSS△△；反之，如果ACDBCDSS△△，则直线ABCD∥。

例、如图，ABC△的面积是24，DEF、、分别是BCACAD、、的中点，求DEF△的面积。

解析：根据等积变换知，11241222ADCABCSS△△, 1112622ADEADCSS△△，116322DEFADESS△△。 图3图2图1FEB

DCAB

CDA

DCBA

FE

DCBA（2）鸟头模型（共角定理） 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补）两夹边的乘积之比。 如下图ABC△中，DE、分别是ABAC、上或ABAC、延长线上的点。

则有：ADEABCSADAESABAC△△。

我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！

证明：如图，连接BE，根据等积变换模型知， ::ADEABESSADAB△△、::ABECBESSAECE△△，

所以:::ABEABCABEABECBESSSSSAEAC△△△△△。

因此ADEADEABEABCABEABCSSSADAEADAESSSABACABAC△△△△△△。

例、如图，在ABC△中，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且:ABAD 5:2，:3:2AEEC，ADE△的面积为12平方厘米，求ABC△的面积。

ED

CBAED

CBA

ED

CBA

ED

CBA解析：根据鸟头模型可知：ABCADESABACSADAE△△，