人教版九年级下册数学第2课时 正投影(导学案)

29.1 投影第2课时正投影1．理解正投影的概念；(重点)2．归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．(难点)一、情境导入观察下图，这三个图分别表示同一块三角尺在阳光照射下形成的投影，其中图①与图②③的投影线有什么区别？图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别？二、合作探究探究点：正投影【类型一】确定正投影的形状如图所示，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是( )解析：依题意，光线是垂直照下的，故只有D符合．故选D.方法总结：当投影面垂直于入射光线时，球体的投影是圆形，否则为椭圆形．若投影面不是平面，则投影形状要复杂得多．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】物体与其正投影的关系木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定( )A．大于1.2m B．小于1.2mC．等于1.2m D．小于或等于1.2m解析：正投影的长度与木棒的摆放角度有关，但无论怎样摆都不会超过1.2 m．故选D.方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型三】画投影面上的正投影画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．解析：第一个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形，第二个图投影线从上方射向下方的正投影也是长方形，第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心．解：如图所示：方法总结：在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：正投影的综合应用【类型一】正投影与勾股定理的综合一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α.(1)求影子A1B1的长度(如图①)；(2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2(如图②)．解析：根据平行投影和正投影的定义解答即可．解：如图①，A1B1＝AB＝8cm；如图③，作AE⊥BB2于E，则四边形AA2B2E是矩形，∴A2B2＝AE，△ABE是直角三角形．∵AB＝8cm，∠BAE＝30°，∴BE＝4cm，AE＝82－42＝43cm，∴A2B2＝43cm.方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段，可以用解直角三角形求得投影的长度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】正投影与相似三角形的综合在长、宽都为4m，高为3m的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡，为了集中光线，加上了灯罩(如图所示)．已知灯罩深AN ＝8cm ，灯泡离地面2m ，为了使光线恰好照在相对的墙角D 、E 处，灯罩的直径BC 应为多少？(结果保留两位小数，2≈1.414)解析：根据题意画出图形，则AN ＝0.08m ，AM ＝2m ，由房间的地面为边长为4m 的正方形可计算出DE 的长，再根据△ABC ∽△ADE 利用相似三角形对应边成比例解答．解：如图，光线恰好照在墙角D 、E 处，AN ＝0.08m ，AM ＝2m ，由于房间的地面为边长为4m 的正方形，则DE ＝42m.∵BC ∥DE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴BC DE ＝AN AM ，即BC 42＝0.082，∴BC ≈0.23(m)． 答：灯罩的直径BC 约为0.23m.方法总结：解决问题的关键是画出图形，根据图形相似的性质和判定解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．正投影的概念及性质；2．正投影的综合应用．本节课的学案设计，力求具体、生动、直观．因此，学生多以操作、观察实物模型和图片等活动为主．比如通过观察铁丝、圆柱、圆锥等图形在不同位置时的正投影特征，归纳出物体正投影的一般规律，并能根据此规律画出简单平面图形的正投影．在介绍投影概念时，借助太阳光线进行投影实例的观察，这样不仅直观而且富有真实感，能激发学生学习兴趣.。

年级九年级课题29.1投影课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.了解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影.2.了解平行投影和中心投影的区别.3.了解正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影过程方法通过探索物体与其投影关系的活动，培养动手实践能力，发展空间想象能力情感态度通过对物体投影的学习，提高学习热情，增强探究意识，应用意识.教学重点了解正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影教学难点归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子，影子与物体的形状有密切的关系．二、自主探究（一）基本概念1.观察图片，尝试叙述：投影、投影线、投影面.2.师明确叙述，生举生活实例.3.简述皮影戏、日晷与投影.（二）投影分类1.下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，观察图形，找异同.2.师明确叙述中心投影、平行投影，辨别下图中哪个是平行投影，哪个是中心投影?二者有什么区别?3.图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?结论:图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影;图(2) (3)中，投影线互相平行，形成平行投影;图(2)中，投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂直照射投影面〔即投影线正对着投影面).指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影.3.平行投影与正投影之间什么关系？（三）线、面、体的正投影1、如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置:(1)铁丝平行于投影面;(2)铁丝倾斜于投影面，(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点). 教师提出问题，学生举例教师组织学生按照探究要求进行活动，并逐步完善对概念的叙述.生说皮影戏、日晷师补充在学生独立思考、讨论的基础上给出中心投影、平行投影的概念.教师进行必要点拨，明确异同，学生聆听，进一步完善探究到的结论.激起学生的好奇心，探索欲望.通过观察图片，建立感性认识，再通过语言描述建立理性认识(概念)了解中华文化爱国主义教育让学生亲自进行观察，分析，探究，得到结论，培养学生的分析判断能力.结合图片，对比辨析加深理解和印象让学生充分暴露自己的问题,兵教兵、广参与，同提高通过画图，进一步51三种情形下铁丝的正投影各是什么形状通过观察，我们可以发现;(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB = A1B1(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB > A2B2(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A32、如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置:(1)纸板平行于投影面;(2)纸板倾斜于投影面;(3)纸板垂直于投影面结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样;(2)当纸板P倾斜于投影面Q时.P的正投影与P的形状、大小发生变化;(3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段.当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.3、例1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影.(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P图(1);(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线AE垂直于投影面P图 (2).分析口述画图要领三、课堂训练1.完成课本88页练习2.补充练习:四、课堂小结1、这节课我们学到了哪些知识？2、我们是用哪些方法获得这些知识的？用到哪些数学思想方法？3、通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？4.你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？五、作业设计教材习题29.1 必做题: 1,2选做题：4,5 学生大胆尝试画图,再讨论，一生板演，老师点拨.明确，体会得到的结论分析已知图形，尝试独立分析解决，师适时点拨,完成面到线的转化，最后板演画图过程.明确结论，并理解记忆.分析已知图形，尝试独立分析解决，师适时点拨,完成体到面再到线的转化，最后板演画图过程.学生独立分析解决练习, 一生板演，教师巡视指导, 之后学生讨论,师视情况点拨.学生回顾总结，归纳本节课所学知识，这节课感悟，教师系统归纳.理解概念，培养动手能力和应用意识.培养应用意识和综合运用能力.通过画图，进一步理解概念，体会转化思想,巩固强化线的正投影画法，培养动手能力和应用意识.分析任务，由前面迁移，想到转化.通过观察“体”的正投影画图过程，进一步理解概念，体会转化思想,巩固强化面和线的正投影画法，培养动手能力和应用意识.查漏补缺,巩固提高，帮助学生归纳总结，巩固所学知识，加深对数学思想方法的认识.29.1 投影投影相关概念线的正投影面的正投影投影分类教学反思。

29.1.2 正投影学案一、新课导入1.课题导入下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影，其中哪个是平行投影？哪个是中心投影? 图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.这节课我们研究正投影.（板书课题）2.学习目标(1)知道什么是正投影.(2)能画出简单物体的正投影.3.学习重、难点重点：正投影的概念及性质.难点：正确画出简单物体的正投影.二、分层学习第一层次学习1.自学指导（1）自学内容：教材P88~P90归纳.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：观察、归纳.（4）探究提纲：①投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.②如图所示：当AB平行于投影面P时，AB=A1B1；当AB倾斜于投影面P时，AB＞A2B2；当AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.③如图所示：当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小一样；当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小不完全一样；当纸板P垂直于投影面Q时， P的正投影成为一条线段.④物体的正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：观察学生探究提纲的完成情况和是否理解正投影的性质.②差异指导：根据学情进行相应指导，条件许可时，还可通过实验验证.（2）生助生：小组相互交流、研讨.4.强化：正投影的性质.第二层次学习1.自学指导（1）自学内容：教材P90~P92.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：仔细阅读例题的分析和解题过程，体会画正投影的操作要点.（4）自学参考提纲：①教材P90例题第（1）问中，面ABCD和与它平行的面的正投影重合，是正方形A′B′C′D′，其余四个面都与投影面垂直，所以它们的正投影分别是线段A′B′,B′C′,C′D′,A′D′.②例题第（2）问中，面ABCD和面CDEH的正投影重合，是矩形A′B′C′D′，面ABGF和面GHEF的正投影重合，是矩形A′B′G′F′，面ADEF的正投影是线段D′F′，面BCHG的正投影是线段C′G′；棱AB和棱HE的正投影重合，是线段A′B′，棱GF的正投影是线段G′F′，棱CD 的正投影是线段C′D′③如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影.2.自学：学生参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：观察学生能否画出简单物体的正投影.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：物体正投影的画法.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、效果和存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时是在上一课时的基础上进一步学习投影的有关知识.教学时要注意让学生自己动手操作，学生在经历观察、探究、思考、归纳的过程中，掌握正投影的特征.教师在教学过程中应注意让学生在实际操作中发现问题，教师对于学生的疑问要进行收集并及时解答，另外还要充分提升学生的空间想象力.作业评价一、基础巩固（70分）1.(10分) 如图，投影线的方向如箭头所示，则图中圆柱体的投影是（B）A.圆B.矩形C.梯形D.圆柱2.(10分)一条线段在阳光下的投影可能是（D）①线段②射线③直线④点A.①③B.②③C.①②D.①④ 3.(10分)三角形的正投影是（D ） A.三角形 B.线段 C.直线或三角形 D.线段或三角形 4.(10分)当棱长为20 cm 正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（C ）A.20 cm 2B.300 cm 2C.400 cm 2D.600 cm 25.(10分)有一个窗户是田字形，阳光倾斜的照进窗户，地面便现出它的影子，你认为可能为窗户的影子的是（D ）① ② ③ ④A.④B.②④C.①②D.①③ 6.(20分)水平面上放置的球、正三棱锥、竖直放置的圆锥和水平放置的圆柱在水平面上的正投影分别是圆、正三角形 、圆 、矩形 .二、综合应用（20分）7.(10分)如图是由上到下的光线照射一个正五棱柱的正投影，请你指出这时正五棱柱的各个面的正投影分别是什么.解：上下表面的正投影相同，是正五边形；五个侧面的正投影相同，是一条线段.8.(10分)一个圆锥的轴截面平行于投影面，它的正投影是边长为3的等边三角形.求圆锥的体积和表面积.解：圆锥的体积：ππ⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭21339333228； 圆锥的表面积：πππ⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭2312733224. 三、拓展延伸（10分）9.(10分)画出如图摆放的正六棱柱的正投影：（1）投影线由物体前方照射到后方；（2）投影线由物体左方照射到右方；（3）投影线由物体下方照射到上方.解：。

正投影各位专家、评委、老师们：你们好！今天，我将要为大家说课的内容是《投影》的第二课时：正投影。

下面我就从教材结构、教学目标、教法和学法、教学流程以及设计理念五个方面向大家汇报：一、教材结构与内容简析在学习本节之前，学生已经具有一定的关于平面图形与立体图形的知识，并且在七年级上册接触过“从不同方向观察物体”和“点、线、面、体”之间的联系及基本几何体的平面展开图等反映平面图形与立体图形之间的联系问题。

上一节课，学生又学习了投影的一些基础知识包括投影、中心投影、平行投影的概念，在此基础上，这节课主要学习正投影概念及探究正投影的成像规律，以正投影为平台，进一步深入研究投影的性质，更深一层理解立体图形与平面图形的相互转化关系，培养学生的空间观念，这为过渡到三视图的学习起着辅垫的作用，更为高中学习立体几何打下基础。

所以这是一节承上启下的“桥梁”课。

二、教学目标及教学重难点根据新《课标》要求，结合上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，我制定了如下教学目标：1、基础知识目标：了解正投影的概念，理解正投影的性质会画出简单的立体图形的正投影。

2、能力训练目标：在探索物体正投影的活动中，培养学生归纳，综合分析能力，在体会立体图形与平面图形的相互转化关系中，发展学生的空间想象能力。

3、创新素质目标：通过对不同物体正投影的实验演示以及画不同物体正投影，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。

4、德育目标：通过学习，培养学生积极主动参与及合作意识，增强学好数学的信心。

结合以上教学目标,我认为要达到教学目标,本节的重难点在于:5、教学重点：理解正投影的含义，掌握正投影的性质，能画出物体不同角度的正投影。

6、教学难点：正确画出立体图形的正投影。

为此，我做了以下教学准备：7、教学准备：直铁丝、正方形硬纸板、正方体纸盒、多光头手提灯、多媒体平台。

三、教法和学法基于本节课与学生日常生活联系紧密，可自主操作性强的特点，决定采用自主探究体验式的教学方法。

初中数学人教版九年级下册优质教学设计29-1 第2课时《正投影》一. 教材分析《正投影》是初中数学人教版九年级下册第29-1课时的内容，这部分教材主要是让学生了解和掌握正投影的定义、性质及其在几何图形中的应用。

通过学习正投影，学生能够更好地理解三维空间中的图形变换，提高空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和图形变换的基础知识，对于新的知识有一定的接受能力。

但同时，由于正投影概念比较抽象，学生可能难以理解，因此需要教师在教学过程中进行耐心讲解和引导。

三. 教学目标1.让学生了解正投影的定义和性质。

2.培养学生空间想象能力和图形变换能力。

3.使学生能够运用正投影的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.正投影的定义和性质。

2.正投影在几何图形中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探索、讨论和交流，提高学生对正投影的理解和应用能力。

六. 教学准备1.正投影的图片和案例。

2.多媒体教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的正投影现象，如建筑物的影子、手影等，引导学生关注正投影，激发学生学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示正投影的定义和性质，让学生初步了解和认识正投影。

同时，通过几何图形的正投影案例，使学生更好地理解和掌握正投影的概念。

3.操练（10分钟）学生分组进行合作学习，每组选择一个几何图形，讨论其在不同角度下的正投影，并绘制出来。

通过实际操作，加深学生对正投影的理解。

4.巩固（10分钟）教师提问学生关于正投影的问题，学生回答，教师进行点评和讲解。

通过提问和回答，巩固学生对正投影的知识。

5.拓展（10分钟）教师提出一些与正投影相关的实际问题，如建筑设计中的正投影应用，让学生进行思考和讨论。

通过实际问题的解决，提高学生对正投影的应用能力。

6.小结（5分钟）教师对本节课的主要内容进行总结，强调正投影的定义、性质和应用。

课题：2.9投影（2）一、教学目标：1、了解正投影的概念；2、能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影3、培养动手实践能力，发展空间想象能力.二、教学重、难点教学重点：正投影的含义及能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影教学难点：归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影三、教学过程：（一）复习引入新课下图表示一块三角尺在光线照射下形成投影，其中哪个是平行投影哪个是中心投影?图(2) (3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?解：结论:图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影;图(2) (3)中，投影线互相平行，形成平行投影;图(2)中，投影线斜着照射投影面;图(3)中投影线垂直照射投影面〔即投影线正对着投影面).指出：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影.（二）合作学习，探究新知1、如图，把一根直的细铁丝(记为安线段AB)放在三个不同位置：(1)铁丝平行于投影面;(2)铁丝倾斜于投影面，(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).三种情形下铁丝的正投影各是什么形状通过观察，我们可以发现：(1)当线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB = A1B1(2)当线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB > A2B2(3)当线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点A32、如图，把一块正方形硬纸板P(例如正方形ABCD)放在三个不同位置:(1)纸板平行于投影面;(2)纸板倾斜于投影面;(3)纸板垂直于投影面结论:(1)当纸板P平行于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小一样;(2)当纸板P倾斜于投影面Q时. P的正投影与P的形状、大小发生变化;(3)当纸板P垂直于投影面Q时. P的正投影成为一条线段.当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.3、例1画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影.(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面P图(1);(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F，上底面ADEF垂直于投影面P，并且上底面的对角线A E垂直于投影面P图 (2).分析口述画图要领解答按课本板书4、练习5、谈谈收获三、作业。

部审人教版九年级数学下册教学设计29.1 第2课时《正投影》一. 教材分析人教版九年级数学下册第29.1节《正投影》是立体几何学习的一个重要内容。

本节课主要让学生了解正投影的概念，学会如何运用正投影来描述和分析几何体的形状和位置关系。

教材通过丰富的图片和实例，引导学生探究正投影的性质和规律，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和抽象思维能力，他们对平面几何的知识有较深入的了解。

但学生在学习立体几何时，往往难以摆脱平面几何的思维定势，对空间图形的位置关系和形状认识不够清晰。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生建立空间观念，激发学生的学习兴趣，突破平面思维的束缚。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解正投影的概念，学会运用正投影来描述和分析几何体的形状和位置关系。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习立体几何的兴趣，体会数学与现实生活的联系。

四. 教学重难点1.重点：正投影的概念及其在描述几何体形状和位置关系中的应用。

2.难点：如何帮助学生建立空间观念，突破平面思维的束缚。

五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的图片和实例，引导学生直观地感受正投影的特点，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：在教学过程中，教师提问引导学生思考，培养学生的问题解决能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和实践操作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.教具：正投影模型、投影仪、幻灯片等。

2.学具：学生用书、练习题、笔记本等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些生活中的正投影实例，如房屋、树木等，引导学生关注正投影在日常生活中的应用。

提问：“你们认为，什么是正投影？”让学生初步了解正投影的概念。

2.呈现（10分钟）通过幻灯片呈现正投影的定义和性质，引导学生学习正投影的相关知识。

29.1 投影第2课时正投影1．理解正投影的概念；(重点)2．归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影．(难点)一、情境导入观察下图，这三个图分别表示同一块三角尺在阳光照射下形成的投影，其中图①与图②③的投影线有什么区别？图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别？二、合作探究探究点：正投影【类型一】确定正投影的形状如图所示，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图是()解析：依题意，光线是垂直照下的，故只有D符合．故选D.方法总结：当投影面垂直于入射光线时，球体的投影是圆形，否则为椭圆形．若投影面不是平面，则投影形状要复杂得多．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】物体与其正投影的关系木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定()A．大于1.2m B．小于1.2mC．等于1.2m D．小于或等于1.2m解析：正投影的长度与木棒的摆放角度有关，但无论怎样摆都不会超过1.2 m．故选D.方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段．【类型三】画投影面上的正投影画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．解析：第一个图投影线从上方射向下方的正投影是长方形，第二个图投影线从上方射向下方的正投影也是长方形，第三个图投影线从上方射向下方的正投影是圆且有圆心．解：如图所示：方法总结：在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点二：正投影的综合应用【类型一】正投影与勾股定理的综合一个长8cm的木棒AB，已知AB平行于投影面α，投影线垂直于α.(1)求影子A1B1的长度(如图①)；(2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°，求旋转后木棒的影长A2B2(如图②)．解析：根据平行投影和正投影的定义解答即可．解：如图①，A1B1＝AB＝8cm；如图③，作AE⊥BB2于E，则四边形AA2B2E是矩形，∴A2B2＝AE，△ABE是直角三角形．∵AB＝8cm，∠BAE＝30°，∴BE＝4cm，AE＝82－42＝43cm，∴A2B2＝43cm.方法总结：当线段平行于投影面时的正投影与原线段相等，当线段不平行于投影面时的正投影小于原线段，可以用解直角三角形求得投影的长度．【类型二】 正投影与相似三角形的综合在长、宽都为4m ，高为3m 的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡，为了集中光线，加上了灯罩(如图所示)．已知灯罩深AN ＝8cm ，灯泡离地面2m ，为了使光线恰好照在相对的墙角D 、E 处，灯罩的直径BC 应为多少？(结果保留两位小数，2≈1.414)解析：根据题意画出图形，则AN ＝0.08m ，AM ＝2m ，由房间的地面为边长为4m 的正方形可计算出DE 的长，再根据△ABC ∽△ADE 利用相似三角形对应边成比例解答．解：如图，光线恰好照在墙角D 、E 处，AN ＝0.08m ，AM ＝2m ，由于房间的地面为边长为4m 的正方形，则DE ＝42m.∵BC ∥DE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴BC DE ＝AN AM ，即BC 42＝0.082，∴BC ≈0.23(m)．答：灯罩的直径BC 约为0.23m.方法总结：解决问题的关键是画出图形，根据图形相似的性质和判定解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计 1．正投影的概念及性质；2．正投影的综合应用．本节课的学案设计，力求具体、生动、直观．因此，学生多以操作、观察实物模型和图片等活动为主．比如通过观察铁丝、圆柱、圆锥等图形在不同位置时的正投影特征，归纳出物体正投影的一般规律，并能根据此规律画出简单平面图形的正投影．在介绍投影概念时，借助太阳光线进行投影实例的观察，这样不仅直观而且富有真实感，能激发学生学习兴趣.。

九年级数学下29.1.2正投影学案(人教版)1.2正投影学案一、新课导入课题导入下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影，其中哪个是平行投影？哪个是中心投影?图的投影线与投影面的位置关系有什么区别?像图这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.这节课我们研究正投影.学习目标知道什么是正投影.能画出简单物体的正投影.学习重、难点重点：正投影的概念及性质.难点：正确画出简单物体的正投影.二、分层学习层次学习自学指导自学内容：教材P88~P90归纳.自学时间：8分钟.自学方法：观察、归纳.探究提纲：①投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.②如图所示：当AB平行于投影面P时，AB=A1B1；当AB倾斜于投影面P时，AB＞A2B2；当AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.③如图所示：当纸板P平行于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小一样；当纸板P倾斜于投影面Q时，P的正投影与P的形状、大小不完全一样；当纸板P垂直于投影面Q时，P的正投影成为一条线段.④物体的正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.自学：学生结合自学指导进行自学.助学师助生：①明了学情：观察学生探究提纲的完成情况和是否理解正投影的性质.②差异指导：根据学情进行相应指导，条件许可时，还可通过实验验证.生助生：小组相互交流、研讨.强化：正投影的性质.第二层次学习自学指导自学内容：教材P90~P92.自学时间：10分钟.自学方法：仔细阅读例题的分析和解题过程，体会画正投影的操作要点.自学参考提纲：①教材P90例题第问中，面ABcD和与它平行的面的正投影重合，是正方形A′B′c′D′，其余四个面都与投影面垂直，所以它们的正投影分别是线段A′B′,B′c′,c′D′,A′D′.②例题第问中，面ABcD和面cDEH的正投影重合，是矩形A′B′c′D′，面ABGF和面GHEF的正投影重合，是矩形A′B′G′F′，面ADEF的正投影是线段D′F′，面BcHG的正投影是线段c′G′；棱AB和棱HE的正投影重合，是线段A′B′，棱GF的正投影是线段G′F′，棱cD的正投影是线段c′D′③如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影.自学：学生参考自学参考提纲进行自学.助学师助生：①明了学情：观察学生能否画出简单物体的正投影.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.生助生：小组内相互交流、研讨.强化：物体正投影的画法.三、评价学生学习的自我评价：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？教师对学生的评价：表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习方法、效果和存在的问题等.纸笔评价：课堂评价检测.教师的自我评价.本课时是在上一课时的基础上进一步学习投影的有关知识.教学时要注意让学生自己动手操作，学生在经历观察、探究、思考、归纳的过程中，掌握正投影的特征.教师在教学过程中应注意让学生在实际操作中发现问题，教师对于学生的疑问要进行收集并及时解答，另外还要充分提升学生的空间想象力.作业评价一、基础巩固如图，投影线的方向如箭头所示，则图中圆柱体的投影是A.圆B.矩形c.梯形D.圆柱一条线段在阳光下的投影可能是①线段②射线③直线④点A.①③B.②③c.①②D.①④三角形的正投影是A.三角形B.线段c.直线或三角形D.线段或三角形当棱长为20c正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为A.20c2B.300c2c.400c2D.600c2有一个窗户是田字形，阳光倾斜的照进窗户，地面便现出它的影子，你认为可能为窗户的影子的是①②③④A.④B.②④c.①②D.①③水平面上放置的球、正三棱锥、竖直放置的圆锥和水平放置的圆柱在水平面上的正投影分别是圆、正三角形、圆、矩形.二、综合应用如图是由上到下的光线照射一个正五棱柱的正投影，请你指出这时正五棱柱的各个面的正投影分别是什么.解：上下表面的正投影相同，是正五边形；五个侧面的正投影相同，是一条线段.一个圆锥的轴截面平行于投影面，它的正投影是边长为3的等边三角形.求圆锥的体积和表面积.解：圆锥的体积：；圆锥的表面积：.三、拓展延伸画出如图摆放的正六棱柱的正投影：投影线由物体前方照射到后方；投影线由物体左方照射到右方；投影线由物体下方照射到上方.解：。

第二十九章投影与视图29.1 投影课时2 正投影【知识与技能】1.了解正投影的概念.2.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.【过程与方法】1.通过动手操作画图形的正投影,培养学生动手实践能力,发展空间想象能力.2.通过探究生活中有关正投影的数学问题,体会数学与实际生活的紧密联系,提高学生的数学应用意识.【情感态度与价值观】1.感受日常生活中的一些投影现象,体会数学与生活实际密不可分,激发学生学习数学的兴趣.2.通过观察、思考、分析、探究得出结论,培养学生的观察能力、实践能力及归纳总结能力.3.通过探究正投影的性质,培养学生动手操作能力、分析问题及解决问题的能力.4.通过实物演示和多媒体教学,把抽象问题直观化,激发学生的求知欲.1.正投影的含义.2.能根据正投影的性质画出简单的平面图形的正投影.归纳正投影的性质,正确画出简单平面图形的正投影.多媒体课件.导入一:【复习提问】(1)什么叫投影、投影线、投影面、平行投影、中心投影?(2)平行投影与中心投影有什么区别和联系?(3)你能举出一些投影的生活实例吗?(4)阳光可能与物体垂直吗?如果阳光垂直照在线段上,会得到什么图形?【师生活动】学生思考后回答问题,第(4)问让学生小组内交流,回答,教师点评,导入新课.导入二:【课件展示】下图表示一块三角尺在光线照射下形成的投影,其中哪个是平行投影?哪个是中心投影?如图(2)(3)的投影线与投影面的位置关系有什么区别?【师生活动】学生思考后小组内交流,学生回答后教师点评,导出新课.解:图(1)中的投影线集中于一点,形成中心投影；图(2)(3)中,投影线互相平行,形成平行投影.图(2)中,投影线斜着照射到投影面；图(3)中投影线垂直照射到投影面.[设计意图]通过复习投影的有关概念和学生的观察、分析、交流,使学生体会将实际问题抽象成几何图形的过程,有助于分析问题的本质,为引出正投影的概念做好铺垫.[过渡语]由刚才的讨论我们知道,在平行投影中,可能出现投影线与投影面垂直这种特殊的投影,这就是我们这节课要学习的正投影.一、认识概念【课件展示】投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.【思考】(1)平行投影一定是正投影吗?正投影一定是平行投影吗?(平行投影不一定是正投影,正投影一定是平行投影)(2)正投影与物体的放置有关吗?(正投影是光线与投影面之间的关系,与物体的放置无关)【师生活动】学生独立思考后,小组交流得出答案,教师对学生的答案进行点评.[设计意图]经过课前导入的观察、分析、比较的过程,抽象出正投影的概念,学生通过思考教师提出的问题,加深对正投影的概念的理解.二、探究性质探究一:线段在平面上的正投影思路一【课件展示】如图,把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置:(1)铁丝平行于投影面；(2)铁丝倾斜于投影面；(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有公共点).【思考】三种情形下铁丝的正投影各是什么形状?大小有什么关系?【解析】通过观察,我们可以发现:(1)当线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB A1B1；(2)当线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB A2B2；(3)当线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是.【师生活动】教师课件展示问题,学生观察思考后,小组合作交流得出答案,小组代表展示成果,教师点评,共同归纳结论.【课件展示】线段平行于投影面时的正投影是线段,线段长等于正投影的长；线段倾斜于投影面时的正投影是线段,线段长大于正投影的长；线段垂直于投影面时的正投影是一个点.思路二【动手操作】画出线段在平面上的正投影.【观察思考】线段在平面上的正投影的形状是什么?与线段之间的大小关系如何?【师生活动】学生动手画图,教师提醒学生注意分类讨论,学生画完后小组合作交流答案,教师课件展示答案,学生根据所画图形小组讨论线段的正投影的形状及大小关系.【课件展示】线段平行于投影面时的正投影是线段,线段长等于正投影的长；线段倾斜于投影面时的正投影是线段,线段长大于正投影的长；线段垂直于投影面时的正投影是一个点.[设计意图]通过观察思考、小组合作交流(或通过动手操作、合作交流)探究线段在平面上的正投影的形状和大小,并归纳总结线段的正投影的规律.提高学生观察、思考能力,培养归纳总结能力.探究二:正方形纸板在平面上的正投影【课件展示】如图,把一块正方形硬纸板P(记为正方形ABCD)放在三个不同位置:(1)纸板平行于投影面；(2)纸板倾斜于投影面；(3)纸板垂直于投影面.【思考】三种情形下纸板的正投影各是什么形状?大小有什么关系?【解析】通过观察,我们可以发现:(1)当纸板P平行于投影面时,P的正投影与P的形状、大小；(2)当纸板P倾斜于投影面时,P的正投影与P的形状、大小；(3)当纸板P垂直于投影面时,P的正投影成为.【师生活动】教师课件展示问题,学生观察思考后,小组合作交流得出答案,对学生的答案,教师进行点评,师生共同归纳结论.【课件展示】(1)当纸板P平行于投影面Q时,P的正投影与P的形状、大小一样；(2)当纸板P倾斜于投影面Q时,P的正投影与P的形状、大小不完全一样；(3)当纸板P垂直于投影面Q时,P的正投影成为一条线段.探究三:正投影的性质【思考】根据以上探究,当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面有怎样的关系?【师生活动】学生独立思考,大胆猜想,然后小组合作交流,共同归纳性质,教师对学生的回答进行点评,并课件展示结论.【课件展示】正投影的性质:当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.[设计意图]学生通过观察、探究、体验和交流,归纳总结得出物体正投影的规律,进一步培养学生抽象概括能力,发展学生的空间观念.由线段到正方形的学习过程渗透了从简单到复杂、由特殊到一般的认知规律,发挥了学生的主体作用.三、例题讲解画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影.(1)正方体的一个面ABCD平行于投影面(如图(1))；(2)正方体的一个面ABCD倾斜于投影面,底面ADEF垂直于投影面,并且其对角线AE垂直于投影面(如图(2)).教师引导分析:(1)当正方体在如图(1)的位置时,正方体的一个面ABCD及其相对的另一面与投影面,这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小的正方形A'B'C'D'.正方形A'B'C'D'的四条边分别是正方体其余四个面(这些面垂直于投影面)的.因此,正方体的正投影是.(2)当正方体在如图(2)的位置时,它的面ABCD和面ABGF倾斜于投影面,它们的投影是；正方体其余两个侧面的投影也分别是；上、下底面的投影分别是和.因此,正方体的投影是.解:(1)如图(1),正方体的正投影为正方形A'B'C'D',它与正方体的一个面是全等关系.(2)如图(2),正方体的正投影为矩形F'G'C'D',这个矩形的长等于正方体的底面对角线长,矩形的宽等于正方体的棱长.矩形上、下两边中点连线A'B'是正方体的侧棱AB及它所对的另一条侧棱EH的投影.【归纳】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.[设计意图]通过例题训练,达到巩固正投影相关知识的目的,提高学生观察、归纳和空间想象能力,提高学生的应用意识.[知识拓展](1)当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.(2)只有在平行投影中,才会出现正投影.正投影是光线与投影面的关系,与物体的放置无关.(3)人们在实际作图中,经常采用正投影,正投影有如下性质:①线段AB在平面上的正投影.线段AB平行于投影面P时的正投影是线段,线段长等于正投影的长；线段AB倾斜于投影面P时的正投影是线段,线段长大于正投影的长；线段AB垂直于投影面P时的正投影是一个点.②长方形硬纸板ABCD在平面上的正投影.长方形硬纸板ABCD平行于投影面时,长方形ABCD的正投影与长方形ABCD的形状和大小一样；长方形硬纸板ABCD倾斜于投影面时,长方形ABCD的正投影与长方形ABCD的形状和大小不完全一样；长方形硬纸板ABCD垂直于投影面时,ABCD的正投影成为一条线段.1.正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.2.正投影的性质:当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同.第2课时1.认识概念正投影2.探究性质探究一:线段在平面上的正投影探究二:正方形纸板在平面上的正投影探究三:正投影的性质3.例题讲解例题一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.线段的正投影是()A.直线B.线段C.射线D.线段或点2.下列叙述正确的是()A.圆锥的正投影是等腰三角形B.圆柱的正投影是矩形C.球的正投影是圆D.正方体的正投影是正方形3.把一个正五棱柱按如图的方式摆放,当投影线由正前方射到后方时,它的正投影是如图的()4.若木棒长1.2米,则它的正投影的长一定()A.大于1.2米B.小于1.2米C.等于1.2米D.小于或等于1.2米5.平行于投影面的平行四边形的面积与它的正投影的面积的大小关系是.6.三角形的正投影可能是.7.一位画家把边长为1米的7个相同正方体摆成如图的形状,然后把表面涂上颜色,那么涂色面积为.8.如图,已知线段AB=2,投影面为P,太阳光线与投影面垂直.(1)当AB垂直于投影面P时(如图(1)),请画出线段AB的投影；(2)当AB平行于投影面P时(如图(2)),请画出它的投影,并求出正投影的长；(3)在(2)的基础上,点A不动,线段AB绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转30°,请在图(3)中画出线段AB的正投影,并求出其正投影的长.9.如图,投影线的方向如箭头,画出立体图形的正投影.【能力提升】10.一个水平放在桌面上的圆柱,从前向后形成的正投影是一个边长为20cm的正方形,则此圆柱的表面积为.11.一个圆锥的轴截面平行于投影面,圆锥的正投影是腰长为5,底边长为6的等腰三角形,则圆锥的体积是(结果保留π).12.如图为一个机器零件的立体图,箭头所指为其正面,试画出这个零件的正面的正投影.【拓展探究】13.先观察下面的立体图形,再分别画出它的正面、左面、上面三个方向的正投影.【答案与解析】1.D解析:线段AB平行于投影面P时的正投影是线段,线段长等于正投影的长；线段AB倾斜于投影面P时的正投影是线段,线段长大于正投影的长；线段AB垂直于投影面P时的正投影是一个点.故选D.2.C解析:圆锥的正投影可能是带圆心的圆,故A不正确；圆柱的正投影可能是圆,故B不正确；球的正投影是圆,故C正确；正方体的正投影还有可能是长方形,故D不正确.故选C.3.B解析:该物体为五棱柱,根据投影的性质可知它的正投影应为矩形,且比前面矩形的宽大.故选B.4.D解析:木棒在投影面上的正投影的长度与木棒的摆放角度有关,但无论怎样摆都不会超过1.2米.故选D.5.相等解析:根据题意得平行四边形与投影面平行,即与光线垂直,故它的投影与其形状、大小完全相同,故面积相等.6.三角形或线段解析:当三角形和平面垂直的时候,其投影为一条线段,当三角形与平面的夹角不为90°时,其投影为三角形.故填三角形或线段.7.28米2解析:根据分析,涂色面积为5×2+4×2+5×2=28（米2）.8.解:(1)如图(1),线段AB垂直于投影面P时,它的正投影是一个点.(2)如图(2),线段AB平行于投影面P时,它的正投影是线段CD,与线段AB的长相等,即CD=AB=2.(3)如图(3),线段AB倾斜于投影面P时,它的正投影是线段C1D1,长度小于线段AB的长,C1D1===.9.解:如图.10.600πcm2解析:由题意得该圆柱的高为20cm,底面直径为20cm,则S=2××π+20π×20=600π(cm2),∴此圆柱的表面积为600πcm2.11.12π解析:由圆锥的正投影是腰长为5,底边长为6的等腰三角形,得圆锥的母线长为5,底面半径为3.根据勾股定理得高为4,再根据圆锥的体积公式V=Sh,得V=×π×32×4=12π.12.解:如图.精品文档精心整理13.解:它的正面、左面、上面三个方向的正投影依次如图.本节课以教材中的思考为背景导入新课,学生通过观察、分析、相互交流,初步感知正投影的概念,既复习了上节课的知识,又为本节课的学习打下了基础,导入流畅自然,学生易于接受,然后通过独立观察探究、小组合作交流、共同归纳总结等数学活动,在教师提出的问题的引导下,分别探究线段、正方形的正投影,得出正投影的一般性质,进一步培养学生抽象概括能力,发展学生的空间想象能力,由线段到正方形的探究过程,渗透了由特殊到一般的数学思想方法,提高了数学思维能力,最后的例题进一步巩固和提高学生对正投影的理解和掌握,整节课的教学设计思路清晰,目标明确,充分体现了学生在课堂上的主体性.本节课的重点是通过观察、思考及动手操作,抽象出正投影的概念和性质,培养学生空间想象能力和归纳总结能力,教学设计时,本以为影子是学生熟悉的生活情景,学生应该易于理解和掌握,所以在探究正投影的性质时,速度稍快些,结果有些学生缺乏空间想象能力,造成抽象概括其性质有困难,在以后的教学中,应注重培养学生空间想象及抽象概括能力,多给学生相互交流的时间和空间.。