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专题7 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题学习目标1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知识点一二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分知识点二点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.知识点三简单的线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【典例1】（山东烟台二中2019届模拟）(1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B ．(0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43 D ．(0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞【答案】(1)B (2)D【解析】(1)作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，△ABC 的面积即所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为A (1,2)，B (2，2)，C (3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.(2)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2，得A ⎝⎛⎭⎫23，23，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2，得B (1,0)． 若原不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中a 的取值范围是0＜a ≤1或a ≥43.【方法技巧】1．求平面区域面积的方法(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高．若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解．若为不规则四边形，可分割成几个规则图形分别求解再求和即可．2．平面区域的形状问题两种题型及解法(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．【变式1】（河南开封高级中学2019届模拟）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0所表示的平面区域被直线l ：mx －y ＋m ＋1＝0分为面积相等的两部分，则m ＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2【答案】A【解析】由题意可画出可行域为△ABC 及其内部所表示的平面区域，如图所示．联立可行域边界所在直线方程，可得A (－1,1)，B ⎝⎛⎭⎫23，－23，C (4,6)．因为直线l ：y ＝m (x ＋1)＋1过定点A (－1,1)，直线l 将△ABC 分为面积相等的两部分，所以直线l 过边BC 的中点D ，易得D ⎝⎛⎭⎫73，83，代入mx －y ＋m ＋1＝0，得m ＝12，故选A.考点二 求线性目标函数的最值【典例2】【2019年高考北京卷理数】若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 A ．−7 B ．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-，当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时，z 取最大值5，故选C ．【方法技巧】线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以直接解出可行域的顶点，将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值。
2019年高考数学一轮复习：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的__________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定__________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即__________，在可行域内求得使目标函数__________．自查自纠1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解(2016·济南模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为() A．(－24，7)B．(－7，24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解：根据题意知(－9＋2－a)(12＋12－a)＜0，即(a ＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.故选B.(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥0，则z＝x－y的取值范围是() A．[－3，0] B．[－3，2]C．[0，2] D．[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3. 在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2.故选B .(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5解：作出可行域如图中阴影部分所示，则当z ＝2x ＋y 经过点P (1，2)时，取最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C .(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解：由题意，画出可行域如图，目标函数为z ＝3x－4y ，则直线y ＝34x －z4纵截距越大，z 值越小．由图可知，在A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.故填－1.(2017届云南四川贵州百校大联考)设变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，4x －y ＋1≥0，则目标函数z ＝y －3x的最大值是________．解：作可行域如图所示，由目标函数z ＝y －3x 得直线y ＝3x ＋z ，当直线y ＝3x ＋z 平移经过点A ⎝⎛⎭⎫12，3时，目标函数z ＝y －3x 取得最大值为32.故填32.类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |＜1的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域；|x |＜1表示x ＝±1所夹含y 轴的区域．故选C .【点拨】关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O (0，0)为特殊点．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD |＝2，C 点坐标(8，－2)，所以S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×2×(2＋2)＝4.故填4.类型二 利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32D ．3解：可行域为四边形ABCD 及其内部，所以直线z ＝x ＋y 过点B (0，3)时取最大值3.故选D .【点拨】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；(3)线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．(2017·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x＋ 2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：如图，画出可行域，z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max ＝3＋2×3＝9.故选D .类型三 含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z.因为z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以当直线y ＝－ax ＋z 经过点B (3，9)时直线截距最大，当经过点A (3，－3)时，直线截距最小． 则直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足， －1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.故选C .(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3 解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B 的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC ＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y ＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D .【点拨】例3(1)考查了简单的线性规划中的斜率问题，通过y ＝－ax ＋z 得到参数－a 是动直线y ＝－ax ＋z 的斜率，z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，则动直线y ＝－ax ＋z 纵截距的最大值为3a ＋9，最优解在三个端点处取得；例3(2)中的ax －y ＋1＝0，即为y ＝ax ＋1，其中a 为动直线的斜率，利用数形结合的方法求解．注意把握两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化．(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，所以作出过点D (0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2，0)处取得最大值，有a ×2＋0＝4，得a ＝2.故选B .(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四 非线性目标函数的最优解问题(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解：可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|52＝45.易求得B (2，3)，最大值为OB 2＝22＋32＝13.故填⎣⎡⎦⎤45，13. 【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x－a )2＋(y －b )2 .(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，本题属于距离形式．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx 的最大值为3.故填3.类型五 线性规划与整点问题设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A ．14B ．16C ．17D ．19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x ＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .【点拨】求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *）所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n.类型六 线性规划在实际问题中的应用(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元 解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x至经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的纵截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， 即B (2，3)．所以z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D .【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件，y 件，生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域如图所示．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点M (60，100)时，z 取得最大值．z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b ＞0时，截距zb取最大值，z 也取最大值；截距zb取最小值，z 也取最小值；②当b ＜0时，截距z b 取最大值，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是．第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断． 特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数Z P i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值．1．(2015·烟台模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1， 得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.故选D .2．(湖北孝感市2017届期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．－3 B.12 C ．5 D ．6解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C (0.5，0.5)，将直线2x －y ＝0进行平移，当其经过点B 时，目标函数z 达到最大值．所以z 最大值＝5.故选C . 3．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0.则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3，0)时，z 取得最小值2×3－5×0＝6.故选B .4．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2，1)时取最小值4，无最大值．故选D .5．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6解：如图△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段AB .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0 得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0 得R (2，－2)，|AB |＝|RQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.故选C .6．(2016·商丘模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解：作出可行域如图中阴影部分所示，当直线z ＝2x ＋y 通过A (1，－2a )时，z 取最小值，z min ＝2×1＋(－2a )＝1，所以a ＝12.故选B .7．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解：画出可行域，如图所示阴影部分，易得A (0，1)，B (－2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，可得z ＝x ＋y 在C 点处取得最大值为32.故填32.8．(山西四校2017届联考)已知y ＝－2x －z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则实数k 的取值范围为________．解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，0)，B (－2，－2)，C (0，2)，直线z ＝－2x －y 过点B 时取最大值6，而2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥[－(2x ＋y )]max ＝6.故填[6，＋∞)．9．(2016·昆明模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，x －y ≤0，求z ＝2x －y 的最大值． 解：作出可行域如图中阴影部分所示．当直线过点B (2，2)时，z ＝2x －y 取得最大值2.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)假设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1，1)，C (5，2)． (1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝yx表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小．故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2＜OA 2＜OC 2＝29.故z 3∈[2，29]．11．(2015·广东模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙； (2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x ，y 分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪甲乙1－P 甲＝P 乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4.(2)依题意得x ，y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y . 作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2，3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2，1)，都代入1≤ax ＋y ≤4得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤a ＋32≤4，1≤2a ＋1≤4.解不等式组可得1≤a ≤32.故填⎣⎡⎦⎤1，32.2019年高考数学一轮复习第9 页共9 页。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知 识 梳 理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域2.点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0；位于直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0. 3.线性规划的有关概念[微点提醒]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域(1)若B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方. (2)若B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(必修5P86T3改编)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B3.(必修5P91练习T1(1)改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y＋1的最大值、最小值分别是( ) A.3，－3 B.2，－4 C.4，－2D.4，－4解析 不等式组所表示的平面区域如图所示.其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过B 时，z max ＝4， 平移l 0过点A 时， z min ＝－2. 答案 C4.(2019·合肥一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示图形的面积等于( ) A.1B.2C.3D.4解析 不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD ，其中A (0，1)，D (1，0)，边长AD ＝2，则正方形的面积S ＝2×2＝2.答案 B5.(2018·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________.解析 作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A (2，0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×0＝6.答案 66.(2017·全国Ⅲ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析 画出可行域如图阴影部分所示.由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处时取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1. 答案 －1考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)(2019·北京西城区二模)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0表示的平面区域的面积是( )A.32B. 3C. 2D.2 3(2)(2018·深圳二模)已知直线y ＝kx －3经过不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，2x －y ≤4，y ≤4所表示的平面区域，则实数k 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，74D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞解析 (1)作出不等式组表示的平面区域是以点O (0，0)，B (－2，0)和A (1，3)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为12×2×3＝ 3.(2)画出不等组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，2x －y ≤4，y ≤4所表示的平面区域，如图所示，直线y ＝kx －3过定点M (0，－3)，由⎩⎨⎧y ＝4，x ＋y －2＝0，解得A (－2，4)， 当直线y ＝kx －3过点A 时，k ＝－3－40－（－2）＝－72；由⎩⎨⎧2x －y ＝4，x ＋y －2＝0，解得B (2，0)， 当直线y ＝kx －3过点B 时，k ＝－3－00－2＝32.由图形知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.答案 (1)B (2)B规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【训练1】 (2019·玉溪模拟)已知不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k 的值为( )A.－1B.－12C.12D.1解析由题意知k >0，且不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤kx －1，y ≥0所表示的平面区域如图所示.∵直线y ＝kx －1与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，0，直线y ＝kx －1与直线y ＝－x ＋2的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋1，2k －1k ＋1， ∴三角形的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ×2k －1k ＋1＝14，解得k ＝1或k ＝27，经检验，k ＝27不符合题意，∴k ＝1.答案 D考点二 线性规划中的最值问题 多维探究角度1 求线性目标函数的最值【例2－1】 (一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________.解析 法一 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y ＝－3x ，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x ＝2与直线x －2y ＋4＝0的交点A (2，3)时，z ＝x ＋13y 取得最大值，故z max ＝2＋13×3＝3.法二 画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2，3)，(2，－7)，(－2，1)，将三点坐标代入，可知z max ＝2＋13×3＝3.答案 3角度2 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (1)(2019·济南一模)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则yx 的最大值为( ) A.1B.3C.32D.5(2)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A ．4B ．9C ．10D ．12解析 (1)不等式组表示平面区域是以(1，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2，2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略).y x 表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32与原点的连线斜率最大，即yx 的最大值为321＝32.(2)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x 2＋y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方．由图易知平面区域内的点A (3，－1)与原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10.答案 (1)C (2)C角度3 线性规划中的参数问题【例2－3】 (2019·西安质检)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0.若目标函数z ＝y －ax (a ≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a 的值为( ) A.2 B.1 C.1或2D.－1解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.由z ＝y －ax (a ≠0)得y ＝ax ＋z .因为a ≠0，所以要使z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有无数个，故必有a >0. ①当直线y ＝ax ＋z 与直线AC 重合，即a ＝1时，直线y ＝ax ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值，且最优解有无数个，符合条件；②当直线y ＝ax ＋z与直线BC 重合时，直线y ＝ax ＋z 在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，不符合条件.故a ＝1. 答案 B规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.一般在平面区域的顶点或边界处取得.2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题.常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)y x 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【训练2】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x－y 的取值范围是( ) A ．[－3，0] B ．[－3，2] C ．[0，2]D ．[0，3](2)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b ＝( ) A.94B.32C.1D.34解析 (1)画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.(2)作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示.由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的截距最小，此时z 最小为3，即2x ＋y ＝3.由⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上，即32＝－34＋b ，∴b ＝94.答案 (1)B (2)A考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).答案 216 000规律方法 1.解线性规划应用题的步骤.(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题. 【训练3】 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时.A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( ) A.320千元B.360千元C.400千元D.440千元解析 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，z ＝2x ＋y ，6x ＋y ≤960，作出可行域如图中阴影部分中的整点，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150，60)(满足x ∈N，y ∈N)时，z 取得最大值，为360.答案 B[思维升华]1.求最值：求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界处取得.2.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. [易错防范]1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值.直观想象——高考命题中线性规划问题类型探析直观想象是指借助生动的几何直观和空间想象感知事物的形态变化与运动规律.线性规划问题是在一组约束条件下，利用数形结合求最优解，求解方法灵活，常考常新.类型1 目标函数含参数【例1】 设不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是______.解析 由可行域(如图)易知直线y ＝a (x ＋1)过定点P (－1，0).当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＋3y ＝4与3x ＋y ＝4的交点A (1，1)时，a 取得最小值12； 当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＝0与3x ＋y ＝4的交点B 时，a 取得最大值4. 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4评析 1.“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规则问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力.2.当“目标函数”含参时，可先画出可行域，然后用数形结合思想，通过比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度，直观求解. 类型2 线性约束条件含参【例2】 已知z ＝2x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( ) A.211B.14C.4D.112解析 作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线的纵截距最大，z 取最大值. 由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即A (1，1)， z max ＝2×1＋1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，直线的纵截距最小，此时z 最小. 由⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝a ，则点B (a ，a ). ∴z min ＝2×a ＋a ＝3a ，∵z 的最大值是最小值的4倍， ∴3＝4×3a ，即a ＝14.答案 B评析 当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题. 类型3 “隐性”的线性规划问题【例3】 如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，则mn 的最大值为( ) A.16B.18C.25D.812解析 f ′(x )＝(m －2)x ＋n －8.由已知得：对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f ′(x )≤0，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f ′(2)≤0，所以⎩⎨⎧m ≥0，n ≥0，m ＋2n ≤18，2m ＋n ≤12.画出可行域，如图，令mn ＝t ，则当n ＝0时，t ＝0；当n ≠0时，m ＝t n.由线性规划的相关知识，只有当直线2m ＋n ＝12与曲线m ＝t n相切时，t 取得最大值.由⎩⎪⎨⎪⎧－t n 2＝－12，6－12n ＝t n，解得n ＝6，t ＝18.所以(mn )max＝18.答案 B评析 1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，例3要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m ，n ”的约束条件.2.解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中所求点的相应几何意义.该题立意新颖，在注意基础知识的同时，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力.基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A.(－24，7) B.(－7，24)C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 答案 B2.在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋y ≤2，x ≤y所表示的平面区域的面积为( ) A.1B.2C.4D.8解析 不等式组表示的平面区域是以点(0，0)，(0，2)和(1，1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为12×2×1＝1.答案 A3.(2018·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A.6B.19C.21D.45解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－35x ，平移该直线，当经过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎨⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即C (2，3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C.答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A.－15B.－9C.1D.9解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.答案 A5.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( ) A.13B.23C.1D.2解析 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2，4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，14，mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13， 当m ＝13时， 经检验不符合题意，故m ＝2.答案 D6.(2019·武汉模拟)已知⎩⎨⎧x －y ≥0，3x －y －6≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝22x ＋y的最小值是( )A.1B.16C.8D.4解析 作出不等式组对应的平面区域如图，设m ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋m ，由图可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线在y 轴上的截距最小， 此时m 最小，z 也最小，由⎩⎨⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即A (1，1)， m min ＝2×1＋1＝3，则z min ＝23＝8. 答案 C7.(2018·成都诊断)已知点M 的坐标(x ，y )满足不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，则|MN |的最小值是( )A.55B.255C.1D.172解析作出不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，y －3≤0的可行域如图，因为点M 的坐标(x ，y )满足不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，所以|MN |的最小值就是两条平行直线y ＝－2x ＋2与2x ＋y －4＝0之间的距离，为|－2＋4|12＋22＝255.答案 B8.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元解析 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，可得目标函数在点A 处取到最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12得A (2，3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D 二、填空题9.(一题多解)(2018·北京卷)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________.解析 法一 x ＋1≤y ≤2x 表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z ＝2y －x ，易知z ＝2y －x 在点A (1，2)处取得最小值，最小值为3.法二 由题意知⎩⎨⎧x －y ≤－1，2x －y ≥0，则2y －x ＝－3(x －y )＋(2x －y )≥3，所以2y －x的最小值为3. 答案 310.(2018·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________.解析 画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.作出直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线过点B (5，4)时，z 取得最大值，z max ＝5＋4＝9.答案 911.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________.解析 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l 可知，当直线l 经过A 时符合题意，由⎩⎨⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3. 又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，则m ＝5. 答案 512.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6>0，y ≥12x －3，x ＋4y ≤12，则z ＝y －3x －2的取值范围为________.解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝y －3x －2表示点D (2，3)与平面区域内的点(x ，y )之间连线的斜率.因点D (2，3)与B (8，1)连线的斜率为－13且C 的坐标为(2，－2)， 故由图知z ＝y －3x －2的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13能力提升题组 (建议用时：15分钟)13. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为()A.322B. 5C.92D ．5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 也最小．由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. 答案 D14.(2019·石家庄模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －m ≤0，若y x ＋1的最大值为2，则m 的值为( ) A.4B.5C.8D.9解析 不等式组对应的可行域如图所示：由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y －m ＝0得B (1，m －1). yx ＋1＝y －0x －（－1）表示动点(x ，y )和点D (－1，0)连线的斜率，可行域中点B 和点D 连线的斜率最大， ∴m －11－（－1）＝2，∴m ＝5. 答案 B15．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x上的一个动点，则OM→·ON →的最大值是________． 解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (1，1)．设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3. 答案 316.为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1 200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球.根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是________. 解析 设买排球x 个，篮球y 个，买排球和篮球的个数之和z ＝x ＋y ，则⎩⎨⎧x ≥3，y ≥2，x ≤2y ，90x ＋120y ≤1 200，即⎩⎨⎧x ≥3，y ≥2，x ≤2y ，3x ＋4y ≤40.由约束条件作出可行域如图阴影部分中的整点.联立⎩⎨⎧x ＝2y ，3x ＋4y ＝40，解得A (8，4)，化目标函数z ＝x ＋y 为y ＝－x ＋z ，由图可知，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值，此时z ＝8＋4＝12. 答案 12。
2019年高三文科数学一轮复习：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题（解析版附后）A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34C [平面区域如图中阴影部分所示．3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．54．(2018·郑州模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y ＋3≥0，3x ＋y －3≤0，y ≥0，则当y ＋1x ＋3取最大值时，x ＋y 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3D ． 35．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数k 的最大值为( )A ．1B ．2C ．32D ．12二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数 ＝3x －y 的最大值为__________．7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________.8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________． 三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数 ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数 ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3B ．1C ．43D ．32．(2018·安阳模拟)已知 ＝2x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( ) A ．211 B ．14 C ．4D ．1123．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数． (1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？2019年高三文科数学一轮复习：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题（解析版附后）A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)B [根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0， 即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.]2．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34C [平面区域如图中阴影部分所示．解⎩⎨⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，|BC |＝4－43＝83，∴S △ABC ＝12×83×1＝43.]3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5C [根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由⎩⎨⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x＋y 取最大值为2×1＋2＝4.]4．(2018·郑州模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y ＋3≥0，3x ＋y －3≤0，y ≥0，则当y ＋1x ＋3取最大值时，x ＋y 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－ 3D ． 3D [作出可行域如图中阴影部分所示，y ＋1x ＋3的几何意义是过定点M (－3，－1)与可行域内的点(x ，y )的直线的斜率，由图可知，当直线过点A (0，3)时，斜率取得最大值，此时x ，y 的值分别为0，3，所以x ＋y ＝ 3.故选D ．]5．(2017·贵阳适应性考试(二))若函数y ＝kx 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，则实数k 的最大值为( )A ．1B ．2C ．32D ．12B [约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，－1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线y ＝kx 经过点(1,2)时，k 取得最大值2，故选B ．] 二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数 ＝3x －y 的最大值为__________．4 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵ ＝3x －y ，∴y ＝3x － ，当该直线经过点A (2,2)时， 取得最大值，即 max ＝3×2－2＝4.]7．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎨⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25，所以d 2的最小值为45，最大值为13，所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.]8．(2016·郑州第二次质量预测)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为__________．10[画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y ，得y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.]三、解答题9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)，Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．[解] 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，5分则点P ，Q 在同一区域内，于是⎩⎨⎧－1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎨⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以m 的取值范围是m <－12.12分10．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数 ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数 ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围. [解] (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0).2分平移初始直线12x －y ＋12＝0， 过A (3,4)取最小值－2， 过C (1,0)取最大值1， 所以 的最大值为1， 最小值为－2.6分(2)直线ax ＋2y ＝ 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.10分故所求a 的取值范围为(－4,2).12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．43D ．3B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A ，B ，C ，D 的坐标分别为A (2,0)，B (1－m,1＋m )，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4m 3，2＋2m 3，D (－2m,0)．S △ABC ＝S △ADB －S △ADC ＝12|AD |·|y B －y C |＝12(2＋2m )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m －2＋2m 3＝(1＋m )⎝⎛⎭⎪⎫1＋m －23＝43，解得m ＝1或m ＝－3(舍去)．] 2．(2018·安阳模拟)已知 ＝2x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( ) A ．211 B ．14 C ．4D ．112B [作出不等式组对应的平面区域如图：由 ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋ ，平移直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋ 经过点A 时，直线的纵截距最大，此时 最大，由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，y ＝x 解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1， 即A (1,1)， max ＝2×1＋1＝3，当直线y ＝－2x ＋ 经过点B 时，直线的纵截距最小，此时 最小，由⎩⎨⎧ x ＝a ，y ＝x 解得⎩⎨⎧x ＝a ，y ＝a ，即B (a ，a )， min ＝2×a ＋a ＝3a ，∵ 的最大值是最小值的4倍，∴3＝4×3a ，即a ＝14，故选B ．]3．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？[解] (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧ 70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为 万，则目标函数为 ＝60x ＋25y .考虑 ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z 25取得最大值时， 的值就最大． 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线 ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z 25最大，即 最大．解方程组⎩⎨⎧ 7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝3，则点M 的坐标为(6,3)． 所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多．。
《简单线性规划》教学设计课题：简单线性规划教材分析：本节课是《人教版（B版）普通高中课程标准实验教科书（必修5）第三章 3.5.2》在讲了二元一次不等式和二元一次不等式组表示的平面区域的基础上，简单线性规划知识的第一节课．重点是介绍线性规划的有关概念和利用图解法求解，难点是线性规划的实际应用．在教育部制订的《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：“线性规划是优化的具体模型之一，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题．”经过仔细研究教材，结合我校学生的实际情况，我制订了本节课的教学目标和由实际问题引入，学生自主探究的主要思路．教学目标：1．知识目标：理解线性规划有关概念，初步学会解决简单的线性规划问题．2．能力目标：渗透数形结合的数学思想；加强学生自主探究、合作交流的意识；进一步培养学生在研究问题中主动借助现代信息技术手段辅助思维的习惯．3．情感目标：让学生感受探究问题的乐趣和解决问题的成就感，通过带领学生解决实际问题及对线性规划有关历史的简单回顾，感受数学的文化价值．教学重点、难点：探究解决简单线性规划问题的方法．教学方式：学生自主探究和教师引导相结合．教学手段：多媒体、几何画板．教学过程：一. 设置情境，问题引入通过实际问题，创设问题情境．问题一：资金分配前不久的四川大地震，牵动了全国人民的心，灾后重建是当务之急．北京某企业积极响应北京市对口支援什邡市重建的号召，打算对中小学教学楼的重建（包括各项附属设施）提供支援，预算投入资金不超过1000万元．根据当前实际情况，要求投入中学建设的资金不少于投入小学建设资金的1.8倍，初步估算中学教学楼的平均造价为每百平方米14万元，小学教学楼的平均造价为每百平方米8万元．并且对两者的建设面积都不低于1000平方米．请你帮该企业计算一下，如何分配这笔资金能使得教学楼重建后的面积最大？最大面积为多少？学生活动：（1）独立将实际问题转化为数学问题；（2）针对得到的“约束条件”（不等式组），做出相应的平面区域．预案：学生会比较顺利的列出不等式组，不容易想到列出“目标函数”，教师作适当引导，让学生列出二元函数表达式．说明：（1）学生已经学习了“二元一次不等式组表示平面区域”的问题，作为上述知识的应用，这里设计了从实际问题出发，创设问题情境，从而引起学生的探究兴趣；（2）放手让学生独立解决．碰到问题（如何处理一个“二元函数”的最值问题），引起认知冲突，激发求知的欲望．二. 深入研究，探求解法针对“问题一”中提出的数学问题，让学生自己探究解决的方法，教师巡视观察．设建设中学教学楼面积为x百平方米，建设小学教学楼面积y百平方米，建筑总面积为z 百平方米． z ＝ x ＋y ．满足： 学生活动：学生合作交流，进行自主探究．预案一：学生利用图形计算器的取点功能作出自由点，并度量其坐标，然后在所绘区域内移动该点，并直接计算x ＋y 的值进行比较，容易猜想出使z 取得最大值的点的位置．预案二：让学生思考使z 取某个特殊值（如60）时点的位置．部分学生容易想到：满足条件的点的集合为直线x ＋y =60与所画区域的交集．可再取两个特殊值让学生思考，引导他们发现直线之间的平行关系，并思考z 的几何意义：把目标函数化成y x z =-+的形式，这表示一组平行直线，而z 表示的是直线的纵截距，通过平移直线，当直线的纵截距最大时，z 取最大值．预案三：（教材解法）利用点到直线的距离公式进行转化，点到直线x + y =0的距离为：d =，把它化成x y +=．因为区域内的点的横纵坐标都是正数，所以z x y =+=．从而到直线x + y =0的距离最大的点就是使z 取最大值的点．说明：（1） 引导学生合作交流，主动寻求问题的解答； （2） 培养学生利用现代信息技术手段辅助思维的意识； （3） 教师巡视观察，适当点拨；（4） 教师配合学生的探究结果，利用“几何画板”进行动态演示． 三. 结合问题，介绍概念结合前面两个实例，介绍线性规划的有关概念：（1）目标函数（线性目标函数）； （2）约束条件（线性约束条件）；1481000141.881010x y x y x y +≤⎧⎪≥⨯⎪⎨≥⎪⎪≥⎩（3）线性规划问题；（4）可行解、可行域、最优解．说明：（1）强调“目标函数”是涉及两个自变量的函数；（2）总结解法时明确，涉及两个自变量的线性规划问题可以借助图形解决，但涉及更多自变量时不适用，但在中学阶段不要求．四. 巩固知识，实际演练问题二：食品配制营养学家对高一学生中午的营养配餐提出建议:每人至少需要从食物中获取0．120 kg的碳水化合物，0．024kg的蛋白质，不超过0．032kg的脂肪．现有两种食物A和B，每种食物每千克中所含成分及价格如下表：为满足上面的饮食要求，并且食物A至少需0.5kg，则两种食物如何搭配可以使花费最低？最低为多少元？学生活动：在笔记本上独立解决．设食物A需要x kg，食物B需要y kg，花费为z 元．则：z ＝6x＋8y．满足：5455865580.5x yx yx yxy+≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩0.1200.0960.1200.0200.0320.0240.0200.0200.0320.5x yx yx yxy+≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩说明：（1）换个领域的问题，锻炼学生的类比能力；（2）通过又一个实际问题的解决，帮助学生体会线性规划问题广泛的适用性，从而初步 掌握解决简单线性规划问题的一般方法．问题三： 设变量x 、y 满足下列条件：分别求下列目标函数的最小值： （1）z ＝ y －x ； （2）z ＝ 2x －3y ； （3）z ＝ x ＋y ．学生活动：分组合作完成表格的填写．说明：（1） 借助练习，落实知识的掌握；（2） 通过题目中呈现出的最优解的不同情况，给学生一个完整的、严谨的数学概念． 五. 小结全课，概括升华带领学生从知识与方法两个方面进行回顾与总结，指出：在知识方面，初步学习了解决“简单线性规划”的一般方法；并且更重要的是通过解决问题的过程，体会“模型建立”、223435251x y x y x y x +≥⎧⎪-≤⎪⎨+≤⎪⎪>⎩“数形结合”以及转化、类比等研究数学问题的一般方法． 六. 布置作业，设疑铺垫作业：P94 — 练习1、2、3． 思考题：已知：x 、y 满足条件：求：z = x ＋3y 的最大值．034241,x y x y x x y ⎧-≤⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪∈⎩N。
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
2019年高考数学（文）考点一遍过（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. （3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.一、二元一次不等式（组）与平面区域 1．二元一次不等式表示的平面区域一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式0Ax By C ++≥表示的平面区域包括边界，把边界画成实线．2．对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论：3．确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法（1）对于直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax By C ++的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足0Ax By C ++>，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足0Ax By C ++<.（2）可在直线0Ax By C ++=的同一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0)，从00Ax By C ++的符号就可以判断0Ax By C ++> (或0Ax By C ++<)所表示的区域．（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. （4）点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)位于直线0Ax By C ++=的两侧的充要条件是1122()(Ax By C Ax By +++)0C +<；位于直线0Ax By C ++=同侧的充要条件是1122()()0Ax By C Ax By C ++++>.二、简单的线性规划问题 1．简单线性规划问题的有关概念（1）约束条件：由变量x ，y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为x ，y 的约束条件．关于变量x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组称为x ，y 的线性约束条件．（2）目标函数：我们把求最大值或最小值的函数称为目标函数．目标函数是关于变量x ，y 的一次解析式的称为线性目标函数（3）线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．满足线性约束条件的解(x ,y )叫做可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解． 2．简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)； （2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点； （3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值； （4）答：给出正确答案． 3．线性规划的实际问题的类型（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有：①物资调运问题；②产品安排问题；③下料问题. 4．非线性目标函数类型（1）对形如22()()z x a y b =-+-型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．（2）对形如(0)ay b z ac cx d +=≠+型的目标函数，可先变形为()()b y a a z dc x c--=⋅--的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(,)d b c a --连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等． （3）对形如||z Ax By C =++型的目标函数，可先变形为z =题化为求可行域内的点(x ，y )到直线0Ax By C =++倍的最值．考向一 二元一次不等式（组）表示的平面区域1．确定平面区域的方法如下：第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域.2．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围.（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.（2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围.典例 1 不等式组1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域与22104x y x y ++-+≤表示的平面区域的公共部分面积为__________．【解析】画出不等式组1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，如图，典例2 已知0,a >不等式组()002x y y a x ⎧>⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域的面积为2，则 a 的值为A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】作出可行域，因为不等式组()002x y y a x ⎧>⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为直角三角形，所以122=2,2a ⨯⨯所以1a =.故选C.1．已知不等式组11x yx yy+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M，若直线3y kx k=-与平面区域M有公共点，则k的取值范围是A．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．1,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦C．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D．1,3⎛⎤-∞-⎥⎝⎦考向二线性目标函数的最值问题1．平移直线法：作出可行域,正确理解z的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.2．顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z ax by=+的值，经比较后得出z的最大(小)值.求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x,y)使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.典例3 已知点x ,y 满足约束条件2024020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,则z =3x +y 的最大值与最小值之差为A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【解析】作出约束条件2024020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，2．若,x y 满足条件11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =-的最大值是A ．12 B ．14C ．12-D ．14-考向三 含参线性规划问题1．若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对图形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法.2．若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状.典例4 若变量x ,y 满足约束条件42y x y x y k ≤⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩,且u =2x +y +2的最小值为-4,则k 的值为A ．7B ．1-C ．3-D ．2 【答案】B典例5 设变量x ,y 满足10220270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩,z =a 2x +y (0<a <)的最大值为5,则a =A ．1B ．12CD【答案】A【解析】如图，画出不等式组10220270x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示.3．已知实数x，y满足约束条件1040x yx yy m+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y=+的最大值与最小值的差为2，则实数m的值为A．4B．3C．2D．1 2 -考向四利用线性规划解决实际问题用线性规划求解实际问题的一般步骤为：（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．注意：（1）在实际应用问题中变量,x y除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件不要忽略.（2）线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用平移直线法、检验优值法、调整优值法求解.典例6 下表所示为,,X Y Z 三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素A 及48000单位维生素B 的混合物100千克，所用的食物,,X Y Z 的质量分别为,,x y z （千克），则混合物的成本最少为__________元．【答案】960当直线24002Py x =--+过可行域内的点()3020A ，，即30x =千克，20y =千克，50z =千克时，成本最少，为960P =元．典例7 某家具厂有方木料390m ，五合板2600m ，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料30.1m 、五合板22m ；生产每个书橱需要方木料30.2m 、五合板21m .出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得利润最大？最大利润为多少？由图可知：当直线23120z y x =-+经过可行域上的点M 时，截距120z 最大，即z 最大， 解方程组29002600x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 的坐标为(100,400).则max 801208010012040056000z x y =+=⨯+⨯=(元).因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56000元.4．某儿童玩具生产厂一车间计划每天生产遥控小车模型、遥控飞机模型、遥控火车模型这三种玩具共30个，生产一个遥控小车模型需10分钟，生产一个遥控飞机模型需12分钟，生产一个遥控火车模型需8分钟，已知总生产时间不超过320分钟，若生产一个遥控小车模型可获利160元，生产一个遥控飞机模型可获利180元，生产一个遥控火车模型可获利120元，该公司合理分配生产任务可使每天的利润最大，则最大利润是__________元.考向五 非线性目标函数的最值问题1．斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的.因此有必要总结常见模型或其变形形式.2．距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数的最值.典例8 已知实数x 、y 满足不等式组10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩,若x 2+y 2的最大值为m ,最小值为n ,则m-n =A ．252 B ．172C ．8D ．9 【答案】B【解析】作出不等式组10302x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域,如图中阴影部分所示,x 2+y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,观察图形可知,原点到直线x+y-3=0的距离|OD|的平方等于n ,|OA|2=m ,经过计算可得m =13,n =92,则m-n =172,故选B. 典例9 已知x ,y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩,如果目标函数z =1y x m +-的取值范围为[0,2),则实数m 的取值范围为A ．[0,12]B ．(-∞,12]C ．(-∞,12) D ．(-∞,0]【答案】C【解析】作出10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示.5．设,x yz x y =+的最大值是__________．1．不等式组11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域的面积是A ．14 B ．94 C ．92D ．322．若x ,y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x+2y 的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6,+∞)D ．[4,+∞)3．已知实数x ,y 满足()101210y y x x y m -≥⎧⎪-≤-⎨⎪+-≤⎩，若目标函数z =x -y 的最小值为-1,则实数m 的值为A ．6B ．5C ．4D ．34．已知点()1,2A ，若动点(),P x y 的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为A．2B ．1CD5．设实数x ,y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z =ax+by (a >0,b >0)的最大值为10,则a 2+b 2+2a 的最小值为A ．2113 B ．2213 C ．3613 D ．24136．设不等式组31036x y x y +≥⎧⎨+≤⎩表示的平面区域为D ，若在区域D 上存在函数()log 1a y x a =>图象上的点，则实数a 的取值范围是 A ．()3,+∞ B ．()1,3 C ．[)3,+∞D ．(]1,37．若不等式组1010210x y y x y -+≥⎧⎪⎪+≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的区域为Ω，不等式221124x y ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为 A ．114 B ．10 C ．150D ．508．若x ，y 满足条件4050550x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，当且仅当5x =，0y =时，目标函数z ax y =+取得最小值或最大值，则实数a 的取值范围是 A ．()1,1,5⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭B ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,1,5⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭9．在平面直角坐标系中，已知点，点为△ABC 边界及内部的任意一点，则的最大值为______________.10．在平面直角坐标系xOy 中，若动圆C 则面积最大的圆C 的标准方程为______________.11．已知,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若可行域内存在(),x y 使不等式20x y k ++≥有解，则实数k的取值范围为_______．12．已知x ,y 满足约束条件(x -2)(x +2y -4)≤0,则x 2+y 2的最小值为______________.13．已知实数x ,y 满足2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,则S =的取值范围是______________.14．已知点1(1)A -，，()3,0B ，()2,1C ．若平面区域D 由所有满足12,0=(＋AB AC AP λμλμ≤≤≤)1≤的点P 组成，则D 的面积为______________.15．设变量x ,y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,目标函数z =x+6y 的最大值为m ,则当2a+b =(a >0,b >0)时,+的最小值为______________.16．某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知编制一只花篮需要用铜丝200米，铁丝300米；编制一只花盆需要铜丝100米，铁丝300米，设该厂用所有原料编制x 个花篮,y 个花盆.（1）列出,x y 满足的关系式，并画出相应的平面区域；（2）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盘可获利200元,那么怎样安排花篮与花盆的编制个数,可使得所得利润最大,最大利润是多少?1．（2018天津文科）设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为A ．6B ．19C ．21D ．452．（2017新课标全国Ⅰ文科）设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．33．（2017浙江）若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞4．（2017新课标全国Ⅱ文科）设,x y 满足约束条件2+330,2330,30,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．95．（2016浙江文科）若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 A．5BC．2D6．（2016新课标全国Ⅰ文科）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。
6.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题[知识梳理]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．(3)最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．4．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤(1)作可行域；(2)将目标函数进行变形； (3)确定最优解； (4)求最值． [诊断自测] 1．概念思辨(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( ) (2)不等式x 2－y 2＜0表示的平面区域是一、三象限角平分线和二、四象限角平分线围成的含有y 轴的两块区域．( )(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(必修A5P 86T 3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案 B解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.故选B.(2)(必修A5P 93B 组T 1)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x ≥0，y ≥0，则不等式组表示区域的面积为________，z ＝y ＋2x －1的取值范围是________． 答案 32(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析 如右图所示，不等式组表示区域面积为12×1×3＝32，z ＝y ＋2x －1理解为区域上的点P (x ，y )与点Q (1，－2)连线所在直线斜率的变化范围，k AQ ＝0＋23－1＝1，k OQ ＝2－1＝－2，结合图形分析知z ＝y ＋2x －1的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞)． 3．小题热身(1)(2017·河北衡水中学五调)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1、l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．故选D.(2)(2017·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z＝x ＋y 的最大值为( )A.23 B ．1 C.32 D ．3答案D解析 画出可行域，如图中阴影所示． 又目标函数z ＝x ＋y ，结合图象易知y ＝－x ＋z 过(0,3)点时z 取得最大值， 即z max ＝0＋3＝3.故选D.题型1 二元一次不等式(组)表示的平面区域典例 (2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6转化为求线段CD 的长．答案 C解析 由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C.[结论探究] 若典例条件不变，则平面区域的面积是________． 答案 6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，x －3y ＋4＝0得其交点坐标为(2,2)，交点到直线x ＋y ＝0的距离为d ＝42，故面积为12×42×32＝6.方法技巧与平面区域有关的计算方法1．画出不等式组表示的平面区域，并计算端点的坐标．2．根据平面区域的形状特点，选择合适的公式计算线段的长度、图形的面积，不规则的图形可用分割法求其面积．见典例答案解法．3．注意转化思想方法的应用，如把面积最大、最小问题转化为两点间的距离、点到直线的距离等．冲关针对训练(2015·重庆高考)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43 D ．3答案 B解析 如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m,1＋m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43， 解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B.题型2 线性规划中的最值问题角度1 求线性目标函数的最值典例 (2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9用转化法．答案 A解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线，知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15.故选A.角度2 由目标函数最值求参数典例 (2013·全国卷Ⅱ)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14 B.12 C ．1D ．2将参数当成常数，根据目标函数确定最小值，从而求出a 值．答案 B解析 由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC 及其内部)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)得A (1，－2a )，当直线2x ＋y －z ＝0过点A 时，z ＝2x ＋y 取得最小值，所以1＝2×1－2a ，解得a ＝12，故选B.角度3 非线性目标函数的最值问题典例 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．根据目标函数的几何意义进行转化．解 作出可行域，如图阴影部分所示．通过联立方程，解得A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方．过点M 作AC 的垂线，垂足为点N ，故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝322，|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝92. 故z 的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍． 因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z 的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72. 方法技巧求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略1．求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值．如角度1典例．2．由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．如角度2典例．3．求非线性目标函数最值问题的解题策略解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有： (1)对形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．如角度3典例．(2)对形如z ＝ay ＋b cx ＋d (ac ≠0)型的目标函数，可先变形为z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点⎝⎛⎭⎪⎫－d c ，－ba连线的斜率的a c倍的取值范围、最值等．如角度3典例．(3)对形如z ＝|Ax ＋By ＋C |型的目标，可先变形为z ＝A 2＋B 2·|Ax ＋By ＋C |A 2＋B 2的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍的最值．冲关针对训练(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________． 答案 －1解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y 得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －2＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)． ∴z min ＝3－4＝－1.题型3 线性规划的实际应用典例 (2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．转化为线性规划问题．答案 216000解析 设生产产品A x 件，产品B y 件，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，设生产产品A ，产品B 的利润之和为E 元，则E ＝2100x＋900y .画出可行域(如图)，易知最优解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝100，则E max ＝216000.方法技巧线性规划解决实际问题的一般步骤1．能建立线性规划模型的实际问题(1)给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少． 2．解决线性规划实际问题的一般步骤(1)转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；(2)求解：解决这个纯数学的线性规划问题；(3)作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答． 冲关针对训练(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元答案D解析 设该企业每天生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，该不等式组表示的可行域是以O (0,0)，A (4,0)，B (2,3)，C (0,4)为顶点的四边形及其内部(如图)，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.1.(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0,6] B ．[0,4] C ．[6，＋∞) D ．[4，＋∞)答案 D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (2,1)时，z 取得最小值，即z min ＝2＋2×1＝4.所以z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选D.2．(2018·武昌调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3 D ．5或－3答案 B解析 根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示： 可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋12＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2.图1 图2虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．故选B.3．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________． 答案 －5解析 作出可行域如图阴影部分所示． 由z ＝3x －2y ，得y ＝32x －z2.作出直线l 0：y ＝32x ，并平移l 0，知当直线y ＝32x －z2过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，2x ＋y ＋1＝0，得A (－1,1)，∴z min ＝3×(－1)－2×1＝－5.4．(2018·福州五校二联)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，x ＋y －5≤0，4x ＋y －8≥0，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数多个，则z ＝x ＋ay 的最大值为________．答案 72解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (3,2)，B (1,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，45.当a ＞0时，y ＝－1a x ＋1a z ，作直线l 0：y ＝－1a x ，平移l 0，易知当直线y ＝－1a x ＋1a z 与4x ＋y －8＝0重合时，z 取得最小值的最优解有无数多个，此时a ＝14，当直线过点A 时，z 取得最大值，且z max ＝3＋12＝72；当a ≤0时，数形结合知，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解不可能有无数多个．综上所述z max ＝72.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·唐山模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 B解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0.即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.故选B.2．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53答案 C解析 图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m <－12m －1，即m <－23.故选C.3．(2017·山东日照一模)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y的最大值为( )A. 2 B ．2 2 C ．2 D ．4答案 D解析 作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令m ＝2x ＋y ，则当m 取得最大值时，z ＝(2)2x ＋y 取得最大值．由图知直线m ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，m 取得最大值，所以z max＝(2)2×1＋2＝4，故选D.4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0，x ＋3y －13≤0，x －y －1≤0，则z ＝|2x －3y ＋4|的最大值为( )A ．3B ．5C ．6D ．8答案 C解析 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －7≥0，x ＋3y －13≤0，x －y －1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A (2,1)，B (1，4)．设t ＝2x －3y ，平移直线y ＝23x ，则直线经过点B 时，t ＝2x －3y 取得最小值－10，直线经过点A 时，t ＝2x －3y 取得最大值1，所以－6≤t ＋4≤5，所以0≤z ≤6.所以z 的最大值为6，故选C.5．(2018·石家庄质检)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A.13 B.23 C ．1 D ．2答案 D解析 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x－2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2,4)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，14，mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2，选D.6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋6≥0，x ≤2，则z ＝(x －1)2＋y 2的最大值为( )A ．4 B.17 C ．17 D ．16答案 C解析 z ＝(x －1)2＋y 2表示点(x ，y )与点P (1,0)间距离的平方．画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知P (1,0)与A (2,4)间的距离最大，因此z max ＝(2－1)2＋42＝17.故选C.7．(2017·邢台模拟)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0 答案 D解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.8．(2018·南昌十校一模)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0，则z ＝yx ＋1的最大值与最小值的比值为( )A ．－2B ．－12C ．－83D ．－13答案 C解析 如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域为图中的阴影部分，易知z ＝yx ＋1表示平面区域内的点与定点P (－1,0)连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，2x －y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故A (2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －8＝0，x ＋2y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故B (3，－1)，数形结合知AP 的斜率最大，此时z ＝yx ＋1最大，故z max ＝23；BP 的斜率最小，z min ＝－14.故z ＝yx ＋1的最大值与最小值的比值为－83，故选C.9．(2017·江西模拟)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50答案 B解析 设种植黄瓜x 亩，种植韭菜y 亩，因此，原问题转化为在条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0下，求z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y 的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x ，y 取⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，1.2x ＋0.9y ＝54的交点B (30,20)时，z 取得最大值．故选B.10．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( ) A ．－1 B ．－52＋17C.13 D ．－75答案 D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝1－125＝－75，故选D.二、填空题11．(2018·银川质检)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为________． 答案 8解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示，将z ＝2x －y 化为y ＝2x －z ，－z 是直线y ＝2x －z 的纵截距，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴B 的坐标为(5,2)，则y ＝2x －z 过点B (5,2)时，z ＝2x －y 有最大值10－2＝8. 12．(2018·广州模拟)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y －2≤0，x ＋y －2≤0，若z ＝x －ay (a ＞0)的最大值为4，则a ＝________. 答案 3解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则A (2,0)，B (－2，－2)．显然直线z ＝x －ay 过A 时不能取得最大值4，若直线z ＝x －ay 过点B 时取得最大值4，则－2＋2a ＝4，解得a ＝3，此时，目标函数为z ＝x －3y ，作出直线x －3y ＝0，平移该直线，当直线经过点B 时，截距最小，此时，z 的最大值为4，满足条件．13．(2017·山西五校3月联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，x －y ＋2≥0，x ＋4y －8≤0表示的平面区域为Ω，直线x ＝a (a ＞1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为________．答案 9解析 如图，平面区域Ω为△ABC 及其内部，作直线x ＝a (1<a <4)交BC ，AC 分别于点E ，F .由题意可知S △EFC ＝15S △ABC ，则12(4－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋2－1＝15×12×5×1＝12，可得a ＝2，所以目标函数z ＝ax ＋y 即为z ＝2x ＋y ，易知z ＝2x ＋y 在点C (4,1)处取得最大值，则z max ＝9.14．(2017·河北衡水中学3月模拟)已知点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1，则x ＋yx 2＋y 2的取值范围为________． 答案 (－2，1]解析 解法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)．设A (1,1)，P (x ，y )，向量OA →，OP →的夹角为θ， ∵OA →·OP →＝x ＋y ，|OP →|＝x 2＋y 2， ∴cos θ＝OA →·OP→|OA →||OP →|＝x ＋y 2×x 2＋y 2＝22×x ＋y x 2＋y 2， 由图可知∠AOC ≤θ＜∠AOB ， 即45°≤θ＜180°， ∴－1＜cos θ≤22， 即－1＜22×x ＋y x 2＋y 2≤22， ∴－2＜x ＋yx 2＋y 2≤1.解法二：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ＞x ，y ＜2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)， 设P (x ，y )，θ＝∠POx ，则x x 2＋y2＝cos θ，y x 2＋y2＝sin θ.θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，5π4，∴x ＋y x 2＋y 2＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，5π4，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，3π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，22. ∴x ＋yx 2＋y2∈(－2，1]． 三、解答题15．某客运公司用A ，B 两种型号的车辆承担甲，乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1600x ＋2400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上的截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 16．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：C3 1现有A 种原料200肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
3.5 二元一次不等式组与简单的线性规划问题3．5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域[新知初探]1．二元一次不等式(组)的概念(1)二元一次不等式含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整式不等式．(2)二元一次不等式组由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．2．二元一次不等式表示的平面区域(1)直线l：Ax＋By＋C＝0，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面．开半平面与l的并集叫做闭半平面．以不等式解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象．(2)坐标平面内的任一条直线都有如下性质：直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax＋By ＋C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax＋By＋C的值的符号相反，一侧都大于0，另一侧都小于0.[点睛] 二元一次不等式表示的平面区域不是坐标平面内有限的一部分，而是一个无限区域．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域( )(2)点(1,2)不在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内( )(3)不等式Ax＋By＋C>0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的( )(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式( )(5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域( )解析：(1)错误．不等式2x －1>0不是二元一次不等式，但表示的区域是直线x ＝12的右侧(不包括边界)．(2)错误．把点(1,2)代入2x ＋y －1，得2x ＋y －1＝3>0，所以点(1,2)在不等式2x ＋y －1>0表示的平面区域内． (3)错误．不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．(4)错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1≥0，3x ＋2<0也称为二元一次不等式组．(5)错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2．在直角坐标系中，不等式y 2－x 2≤0表示的平面区域是( )解析：选C 原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C. 3．不等式2x －y －6＞0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的( ) A ．左上方 B ．右上方 C ．左下方D ．右下方解析：选D 将(0,0)代入2x －y －6，得－6＜0，(0,0)点在不等式2x －y －6＞0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．故选D.4．已知点A (1,0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合是________． 解析：因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1,0)，B (－2，m )代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－12.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m >－12[典例] (1)2x －y －6≥0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.[解] (1)如图，先画出直线2x －y －6＝0， 取原点O (0,0)代入2x －y －6中， ∵2×0－1×0－6＝－6＜0，∴与点O 在直线2x －y －6＝0同一侧的所有点(x ，y )都满足2x －y －6＜0，因此2x －y －6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴影部分所示)．(2)先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)，如图，取原点O (0,0)代入x －y ＋5，∵0－0＋5＝5＞0，∴原点在x －y ＋5＞0表示的平面区域内，即x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合．同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －2－1≤0，x －ky ＋k ≥0表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k 为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．±2解析：选C 在不等式组⎩⎨⎧x≥0，y ≥0，x ＋y －2－1≤0所表示的平面区域中，三个顶点的坐标分别为(0,0)，(2＋1,0)，(0，2＋1)，又x －ky ＋k ＝0表示的是过点(0,1)的直线，则当k >0时，k ＝1满足条件(如图1)；当k <0时，k ＝－1满足条件(如图2)．故当k ＝－1或1时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －2－1≤0，x －ky ＋k ≥0表示的是一个轴对称四边形围成的区域，故选C.[典例] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2表示的平面区域的面积为( )A.503 B.253C.1003D.103[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋2y ≤4，y ≥－2表示的平面区域，如图阴影部分所示．可以求得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，点B 的坐标为(－2，－2)，点C 的坐标为(8，－2)，所以△ABC 的面积是12×[8－(－2)]×⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－－＝503.[答案] A不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32B.23C.43D.34解析：选C 作出平面区域如图所示为△ABC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －4＝0，3x ＋y －4＝0，可得A (1,1)，又B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43，故选C.[典例] 2 500件，月产Q 产品最多有1 200件；而且组装一件P 产品要4个零件A,2个零件B ，组装一件Q 产品要6个零件A,8个零件B ，该厂在某个月能用的A 零件最多14 000个，B 零件最多12 000个．用数学关系式和图形表示上述要求．[解] 设分别生产P ，Q 产品x 件，y 件，依题意则有⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋6y ≤14 000，2x ＋8y ≤12 000，0≤x≤2 500，x ∈N ，0≤y ≤1 200，y ∈N.用图形表示上述限制条件，得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示．[活学活用]某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h 和2 h ，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h 和1 h ．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h 和9 h ．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x 和y ，它们满足的数学关系式为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，3x ＋y ≤9，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．层级一 学业水平达标1．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3D ．无数个解析：选A 作⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ，y ∈N 的平面区域，如图所示，符合要求的点P 的个数为10.2．在3x ＋5y <4表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(2,0) B ．(－1,2) C ．(1,1)D ．(－1,1)解析：选D 将点(－1,1)代入3x ＋5y <4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x ＋5y <4表示的平面区域内，故选D.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x ＋3y －3≤0表示的平面区域为( )解析：选C 取满足不等式组的一个点(2,0)，由图易知此点在选项C 表示的阴影中，故选C. 4．已知点M (2，－1)，直线l ：x －2y －3＝0，则( ) A ．点M 与原点在直线l 的同侧 B ．点M 与原点在直线l 的异侧 C ．点M 与原点在直线l 上D ．无法判断点M 及原点与直线l 的位置关系解析：选B 因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M 与原点在直线l 的异侧，故选B.5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域为Ⅰ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y －a ＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为( )A.72 B.73 C.74D.12解析：选C 如图所示，Ⅰ为△BOE 所表示的区域，而动直线x＋y ＝a 扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD ，而B (－2,0)，O (0,0)，C (0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，E (0,2)，△CDE 为直角三角形．∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝74.6．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域的公共点有______个．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为＝20的斜率－43，故只有直线2x ＋y －10＝0过点A (5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y一个公共点(5,0)．答案：17．平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －1≥0，3x －3y ＋4≥0，x ≤2表示的平面区域的形状是________．解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形8．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当y ＝a 过A (0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC ，当5＜a ＜7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a ＜7时，表示的平面区域为三角形．答案：[5,7)9．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均不在不等式kx －2y ＋1<0表示的平面区域内，求k 的取值范围． 解：点P (1，－2)关于原点的对称点为P ′(－1,2)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k －－＋1≥0，－k －2×2＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－5，k ≤－3，解得－5≤k ≤－3.故k 的取值范围是[－5，－3]．10．已知实数x ，y 满足不等式组Ω：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.(1)画出满足不等式组Ω的平面区域； (2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫67，107，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，45， 所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为S 四边形ABCD ＝S △AEF －S △BCF －S △DCE ＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970.层级二 应试能力达标1．如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≥3y ≥1B.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≤3y ≥1C.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3y ≥1D.⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≥3y ≥1解析：选B 由图易知平面区域在直线2x －y ＝0的右下方，在直线x ＋y ＝3的左下方，在直线y ＝1的上方，故选B.2．原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．{0,2} C ．(0,2)D ．[0,2]解析：选C 因为原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，所以－a (2－a )<0，即a (a －2)<0，解得0<a <2. 3．由直线x －y ＋1＝0，x ＋y －5＝0和x －1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x ≥1B.⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0x ＋y －5≤0x ≥1C.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －5≥0x ≤1D.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x ≤1解析：选A 由题意，得所围成的三角形区域在直线x －y ＋1＝0的左上方，直线x ＋y －5＝0的左下方，及直线x －1＝0的右侧，所以所求不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －5≤0，x －1≥0.4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的限制条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤5x ，y ∈N ＋B.⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000x y ＝23C.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤200x y ＝23x ，y ∈N＋D.⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y <100x y ＝23解析：选C 由题意50x ＋40y ≤2 000，即5x ＋4y ≤200，y x ＝23，x ，y ∈N ＋，故选C.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3表示的平面区域的面积为______．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得C (4,0)，B (4,2)，D (0,3)，A (2,3)，所以平面区域的面积为3×4－12×2×1＝11.答案：116．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C 的坐标为(m ，－m )，把直线x －2y ＝2转化为斜截式y ＝12x －1，要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则点C 在直线x －2y ＝2的右下方，因此－m <m 2－1，解得m >23，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞7．已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2表示的平面区域内，求N (a －b ，a ＋b )所在的平面区域的面积．解：由题意，得a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，a ＋b ≤2，设n ＝a －b ，m ＝a ＋b ，则a ＝n ＋m2，b ＝m －n2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧n ＋m2≥0，m －n2≥0，m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＋m ≥0，m －n ≥0，m ≤2，这个不等式组表示的平面区域为如图所示的△OAB 内部(含边界)，其面积为12×(2＋2)×2＝4，即点N (a －b ，a ＋b )所在的平面区域的面积为4.8．已知点P 在|x |＋|y |≤1表示的平面区域内，点Q 在⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≤1，|y －2|≤1表示的平面区域内．(1)画出点P 和点Q 所在的平面区域； (2)求P 与Q 之间的最大距离和最小距离．解：(1)不等式|x |＋|y |≤1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，x －y ≤1，x ≥0，y ≤0，x －y ≥－1，x ≤0，y ≥0，x ＋y ≥－1，x ≤0，y ≤0，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≤1，|y －2|≤1等价于⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，1≤y ≤3，由此可作出点P 和点Q 所在的平面区域，分别为如图所示的四边形ABCD 内部(含边界)，四边形EFGH 内部(含边界)．(2)由图易知|AG |(或|BG |)为所求的最大值，|ER |为所求的最小值，易求得|AG |＝－1－2＋－2＝42＋32＝5，|ER |＝12|OE |＝22.3．5.2 简单线性规划[新知初探] 线性规划的有关概念[点睛(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函数在变量x ，y 的次数上作了严格的限定：一次解析式，即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数．(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可行解组成的一个集合．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)可行域是一个封闭的区域( )(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的( )(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解( ) (4)线性规划问题一定存在最优解( )解析：(1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的．(2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误． (3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x＋z2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.3．若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选B 根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z ＝0，作直线l ：y －x ＝0.当直线l 向下平移时，所对应的z ＝x －y 的函数值随之增大，当直线l 经过可行域的顶点M 时，z ＝x －y 取得最大值．顶点M 是直线x ＋y ＝1与直线y ＝0的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝0，得顶点M 的坐标为(1,0)，代入z ＝x －y ，得z max ＝1.4．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么PO 的最小值等于________，最大值等于________．解析：如图所示，线性区域为图中阴影部分，PO 指线性区域内的点到原点的距离，所以最短为12＋12＝2，最长为12＋32＝10.答案： 210[典例] 设z ＝2x ＋y ，变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.[活学活用]1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3－2y ，得直线y ＝12x －12t解析：选C 作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t ＝x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，a －22处取得最大值，即t max ＝2－2×a －22＝4－a ＝2，得a ＝2，故选C.2．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤1，2x ＋y ≤4，x ≥1，则目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为_____．解析：由约束条件作出可行域如图阴影部分所示：由z ＝x ＋3y ，得y ＝－13x ＋z 3，平移直线x ＋3y ＝0可知，当直线y ＝－13x ＋z3经过A 点时z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＝1，得A (1,2)，所以z max ＝1＋2×3＝7.答案：71．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值．解：画出满足条件的可行域如图所示，x 2＋y 2＝u (除原点)表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u最大．取(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u max ＝73，u min ＝0.题点二：斜率型最值2．在“题点一”的条件下，求v ＝yx －5的最大值与最小值．解：v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )与定点D (5,0)连线的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.x －2＋y －b2表示点②yx表示点(x ，y )与原点(0,0)能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．[典例] 某研究所计划利用“神十一”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表：[解] 设“神十一”宇宙飞船搭载产品A ，B 的件数分别为x ，y ，最大收益为z ，则目标函数为z ＝80x ＋60y ，根据题意可知，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤30，2x ＋y ≤22，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图阴影部分所示，作出直线l ：80x ＋60y ＝0，并平移直线l ，由图可知，当直线过点M 时，z 取得最大值，解⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，得M (9,4)，所以z max ＝80×9＋60×4＝960，即搭载A 产品9件，B 产品4件，可使得总预计收益最大，为960万元．[活学活用]一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件4元，乙每件7元，甲商品每件卖出去后可赚1元，乙每件卖出去后可赚1.8元．若要使赚的钱最多，那么该商贩购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )A ．甲7件，乙3件B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件解析：选 D 设甲商品x 件，乙商品y 件，所赚钱数为z ，则目标函数为z ＝x ＋1.8y ，约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域如图所示，由z ＝x ＋1.8y ，得y ＝－59x＋5z 9，斜率为－59>－47，所以，由图可知直线过点A ⎝⎛⎭⎪⎫0，507时，z 取得最大值．又x ，y ∈N ，所以点A 不是最优解．点(0,7)，(2,6)，(9,2)都在可行域内，逐一验证可得，当x ＝2，y ＝6时，z 取得最大值，故选D.层级一 学业水平达标1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40解析：选C 由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．作直线x ＋6y ＝0并向右上平移，由图可知，过点A (0,3)时z ＝x ＋6y 取得最大值，最大值为18.2．某服装制造商有10 m 2的棉布料，10 m 2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m 2的棉布料，2 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裙子需要1 m 2的棉布料，1 m 2的羊毛料和1 m 2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x 条，裙子y 条，利润为z ，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N z ＝20x ＋40yB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥10，2x ＋y ≥10，x ＋y ≤6，x ，y ∈N z ＝20x ＋40yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6z ＝20x ＋40yD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤10，x ＋y ≤6，x ，y ∈Nz ＝40x ＋20y解析：选A 由题意知A 正确．3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，95∪[6，＋∞) C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D ．(3,6]解析：选A 作出可行域，如图中阴影部分所示，y x可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，92，A (1,6)，故y x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6. 4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定解析：选B 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧100x ＋160y ≤800，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N ＋.求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y )，用图解法求得整数解为(3,3)．5．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1,0)为最优解，所以a ＝2；若a ≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.6．若点P (m ，n )在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0，所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A (1,3)，B (2,5)，C (3,4)，设目标函数为z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2,5)时，n －m 的最大值为3.答案：37．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x 2＋y 2表示可行域内一点到原点的距离，可知x 2＋y 2的最小值是|AO |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －y ＋1＝0，得A (1,2)，所以|AO |2＝5. 答案：58．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产 1.9(2)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买铁矿石A ，B 分别为x ，y 万吨，购买铁矿石的费用为z (百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝3x ＋6y .由⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ＝1.9，x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.记P (1,2)，画出可行域，如图所示．当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1，2)时，z 取到最小值，且最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15.答案：159．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1，0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值， 由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．解：设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线． 过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2,1)，∴最优解为x ＝2，y ＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．层级二 应试能力达标1．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析：选A 作出可行域如图所示．目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l 0：3x －y ＝0，在可行域内平移l 0，可知在A 点处z 取最小值为－32，在B 点处z 取最大值为6.2．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y (m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z (m ≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．[0,5]C ．[0,5)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 解析：选C 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u ＝2x －2y －1，当直线2x －2y －1－u ＝0经过点A (2，－1)时，u ＝5，经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，u ＝－53，则－53≤u <5，所以z ＝|u |∈[0,5)，故选C.4．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，2y －x ＋2≥0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．1或－12C ．2或1D ．2或－1解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示．由z ＝y －2ax ，得y ＝2ax ＋z .当2a ＝2或2a ＝－1，即a ＝1或a ＝－12时，z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，故选B.5．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 设t ＝x ＋2y ， 则y ＝－12x ＋t2，当x ＝0，y ＝0时，t 最小＝0.z ＝3x ＋2y 的最小值为1.答案：16．某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A 项目________万元，投资B 项目________万元．解析：设投资者对A ，B 两个项目的投资分别为x ，y 万元，则由题意得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，0.4x ＋0.1y ≤8，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，4x ＋y ≤80，x ≥0，y ≥0.投资者获得的利润设为z ，则有z ＝0.8x ＋0.4y .作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B 时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，4x ＋y ＝80，得B (10,40)．所以，当x ＝10，y ＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元． 答案：10 407．某运输公司每天至少要运送180 t 货物，公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，且有10名驾驶员．A 型卡车每天可往返4次，B 型卡车每天可往返3次，每辆A 型卡车每天花费320元，每辆B 型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？解：设每天调用A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，每天花费z 元． 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤4，y ∈N x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，x ∈N0≤y ≤4，y ∈N x ＋y ≤10，4x ＋5y ≥30，目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线320x ＋504y ＝z 经过直线4x ＋5y ＝30与x 轴的交点(7.5,0)时，z 有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x ＋504y ＝2 560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．所以要使公司每天花费最少，每天应调用A 型卡车8辆，B 型卡车0辆．8.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值时的最优解有无数个，求yx －a的最大值．解：由题意，知当直线y ＝－1a x ＋za与直线AC 重合时，z 取得最小值时的最优解有无数个，∴－1a ＝2－14－1，∴a ＝－3， ∴y x －a ＝yx ＋3＝k PD ≤k DC ＝24－－＝27(其中D (－3，0)，P (x ，y )为可行域中任意一点)， ∴yx －a 的最大值为27.(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >BD ．A >B解析：选B ∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，∴A ≥B .2．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0解析：选D 结合二次函数的图象，可知若ax 2＋bx ＋c <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1}解析：选C 当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ＋1>0所表示的平面区域是( )解析：选D 不等式x －y ＋5≥0表示的区域为直线x －y ＋5＝0及其右下方的区域，不等式x ＋y ＋1>0表示的区域为直线x ＋y ＋1＝0右上方的区域，故不等式组表示的平面区域为选项D.5．已知a <b <|a |，则( ) A.1a >1bB ．ab <1 C.a b>1D ．a 2>b 2解析：选D 由a <b <|a |，可知0≤|b |<|a |，由不等式的性质可知|b |2<|a |2，所以a 2>b 2，故选D.6．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋2x －1( )A ．有最小值2B ．有最大值2C ．有最小值－2D ．有最大值－2解析：选D f (x )＝x 2－2x ＋2x －1＝(x －1)＋1x －1，又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0.∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －＋1－x －≤－2. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立． 7．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5解析：选C ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋2 2a b ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.8．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y ＋1的最小值为0，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x －y ＋1，得y ＝x ＋1－z ，这是斜率为1，截距为1－z 的一族平行直线，当直线过点A 时，截距最大，此时z 最小且最小值为0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2,3)，点A 在直线x ＋y ＝m 上，代入得m ＝2＋3＝5，故选B.9．已知0<a <1，且ab >1，记M ＝log a 1b ，N ＝log a b ，P ＝log b 1b，则M ，N ，P 的大小关系为( )A ．P <N <MB ．N <P <MC ．N <M <PD ．P <M <N解析：选B ∵0<a <1，ab >1， ∴a >1b >0，b >1a>0，∴M ＝log a 1b >log a a ＝1，N ＝log a b <log a 1a＝－1，又∵P ＝log b 1b＝－1，∴N <P <M .10.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 求得函数式为y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x －2＋11x＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤12－225＝2，此时x ＝25x，解得x ＝5.11．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，则不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <g (x )max ，又g (x )max ＝g (4)＝－2，所以a <－2.12．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，所以－a <－12，即a >12，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．点(a,1)在直线x －2y ＋4＝0的右下方，则a 的取值范围是________．解析：由题意，可得a －2＋4>0，即a >－2. 答案：(－2，＋∞) 14．若a ＜b ＜0，则1a －b 与1a的大小关系为________． 解析：∵1a －b －1a ＝a －a －b a a －b ＝ba a －b＜0， ∴1a －b ＜1a. 答案：1a －b ＜1a15．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是__________． 解析：ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 所以(ab －3)(ab ＋1)≥0， 所以ab ≥3，所以ab ≥9. 答案：[9，＋∞)16．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，要使x ∈(1,2)时， 不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则有⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0.解得m ≤－5.答案：(－∞，－5]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)解下列不等式(组)：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋，x 2<1；(2)6－2x ≤x 2－3x <18.解：(1)原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－2或x >0，－1<x <1，即0<x <1，所以原不等式组的解集为{x |0<x <1}．(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧6－2x ≤x 2－3x ，x 2－3x <18，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≥0，x 2－3x －18<0，因式分解，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x －x ＋，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2或x ≥3，－3<x <6，所以－3<x ≤－2或3≤x <6.所以不等式的解集为{x |－3<x ≤－2或3≤x <6}．18．(12分)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.证明：因为a ，b ，c 都是正实数，且abc ＝1， 所以1a ＋1b ≥21ab＝2c ，1b ＋1c ≥21bc＝2a ， 1a ＋1c≥21ac＝2b ，以上三个不等式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )，即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三个不等式中的“＝”不都成立． 所以a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.19．(12分)已知f (x )＝x 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a x ＋1.(1)当a ＝12时，解不等式f (x )≤0；(2)若a >0，解关于x 的不等式f (x )≤0.解：(1)当a ＝12时， 有不等式f (x )＝x 2－52x ＋1≤0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)≤0，∴12≤x ≤2，即所求不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. (2)∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )≤0，a >0，且方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －a )＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝1a，∴当1a>a ，即0<a <1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ；当1a <a ，即a >1时，不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ；当1a＝a ，即a ＝1时，不等式的解集为{1}．20．(12分)某镇计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保。
高三数学二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题人教实验版（B ）【本讲教育信息】一. 教学内容：不等式高考复习四：二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题二、教学目的掌握解决简单的线性规划问题的方法三、教学重点、难点重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），用平面区域表示二元一次不等式（组）。
难点：二元一次不等式表示平面区域的探究过程。
四、知识分析1、判断0Ax By C ++≥表示的平面区域是在直线的哪一侧，方法为：（1）当0C ≠时，取原点（0，0），当原点坐标使0Ax By C ++≥成立时，就是含原点的区域；不成立时，就是不含原点的区域．（2）若C ＝0时，取（0，1）或（1，0），使不等式成立的就是含所取点的一侧；不成立时，是另一侧．2、最优解可有两种确定方法：（1）将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解；（2）利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线12,,,n l l l 的斜率分别为12k k <<n k <，而且目标函数的直线的斜率为k ，则当1i i k k k +<<时，直线i l 与1i l +相交的点一般是最优解．3、利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：（1）作出可行解、可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集．（2）作出目标函数的等值线．（3）求出最终结果．在可行域内平行移动目标函数等值线．从图中能判定问题有惟一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解．【典型例题】【题型1】二元一次不等式（组）表示平面区域要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域，只需在它所对应直线的某一侧取一个特殊点00(,)x y ，从00Ax By C ++的正负判定即可．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．例1. 画出下列不等式（组）表示的平面区域。
一、填空题
1．若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －y ＋3≥0，
y ≥－1，
则 ＝3x ＋y 的最大值为
【解析】将 ＝3x ＋y 化为y ＝－3x ＋ ，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y ＝－3x ＋ 经过点D 时，
取得最大值．联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －3＝0，
y ＝－1，得D (4，－1)，此时 max ＝4×3－1＝11，
2．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥2，x ＋y ≤4，
－2x ＋y ＋c ≥0，
目标函数 ＝6x ＋2y 的最小值是10，则 的最大值是
即D (3,1)，将点D 的坐标代入目标函数 ＝6x ＋2y ，得 max ＝6×3＋2＝20.
3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，
y ≥0，
且 ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为
4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨
⎪⎧
3x －y ≥0，
x ＋y －4≤0，
y ≥12x 2
，
则 ＝y －x 的取值范围为
【解析】作出可行域如图所示，设直线l ：y ＝x ＋ ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0
的交点(1,3)时， 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2
相切时， 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧
z ＝y －x ，y ＝12x 2
，消去y 得
x 2－2x －2 ＝0，由Δ＝4＋8 ＝0，得 ＝－1
2
，故－12
≤ ≤2.
5．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，x ＋y ≥0，
x －3y ＋4≥0
中
的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，
垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2，x ＋y ＝0
得C (2，－2)．由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0
得D (－1,1)．所
以|AB |＝|CD |＝
＋
2
＋－2－
2
＝3 2.
6．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，
y －1≤0，
若目标函数 ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点 (1,1)处取得
最大值，则a 的取值范围为
7．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m ，
则实数m 的最大值为 ．
【解析】约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m
表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线
位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －3＝0，
y ＝2x 得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大
值是1. 【答案】1
8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋1≥0，x <2，
x ＋y －1≥0，
则 ＝2x －2y －1的取值范围是 ．
【解析】画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×2
3
－1≤ <2×2－2×(－1)－1，
即 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－53，5.
【答案】⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－53，5 9．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y －2≤0，x ＋3≥0，
x －y －1≤0，
则
x ＋y －6
x －4
的取值范围是 ．
【答案】⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1，137
10．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，
x ＋y －4≥0，
则 ＝|x ＋2y －4|的最大值为 ．
【答案】21
二、解答题
11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2.
(1)求目标函数 ＝12x －y ＋1
2
的最值；
(2)若目标函数 ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，可知 ＝1
2x －y
＋1
2过A (3,4)时取最小值－2，过C (1,0)时取最大值1. 所以 的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax ＋2y ＝ 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a
2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值
范围为(－4,2)．
12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5
元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？。
