第33讲 数列模型及应用

数列模型及应用word数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的集合。

数列是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。

在实际生活中，数列模型可以帮助我们解决各种问题。

下面我将从数列的定义、分类及其应用三个方面展开详细回答。

首先，数列是一系列有序的数按照确定的规律排列而成的集合。

数列中的每个数称为该数列的项，每个数列都有一个起始项，通常用a1表示，以及一个通项公式。

数列的常用形式有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

等差数列是指数列中各项之间的差值都相等的数列。

其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

等差数列常见的应用场景有：1.日常生活中，经常会进行等差数列的计算。

比如，我们经常会遇到一些有规律的数列，比如每天存款增加一定的金额，或者每天的步数增加相同的步数等。

通过计算等差数列可以帮助我们了解某个数列的发展趋势。

2.在经济学中，等差数列被广泛应用于一些经济指标的分析。

比如，每年的国内生产总值增长率、物价指数增长率等，可以通过等差数列的概念来计算和描述。

等比数列是指数列中各项之间的比值都相等的数列。

其通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

等比数列常见的应用场景有：1.在金融领域，等比数列可用于计算复利。

比如，存款利率为r的情况下，每年的利息就形成一个等比数列。

2.在自然界中，等比数列也有很多应用。

比如，每天二分之一的细菌数量，每代细胞数量的增长等。

斐波那契数列是指数列中每一项等于前两项之和的数列。

其通项公式为an=an-1+an-2，其中a1和a2为首两项。

斐波那契数列的应用非常广泛，比如：1.在自然界中，斐波那契数列可以用来描述植物的生长。

比如，一个植物的高度等于前两天的高度之和。

2.在计算机科学中，斐波那契数列被广泛应用于算法和数据结构的设计。

比如，递归算法中常常使用斐波那契数列，以及在计算期权价格、股票价格等金融领域也会用到斐波那契数列。

数列建模与实际应用【摘要】数学应用问题的学习已成为数学教学的一个重要内容。

而生活中频频出现的存款利息。

分期付款、环境保护、增长率、贷款、房改等热点问题，常常需要用数列的知识来解答。

学习和掌握数列建模的基本方法与实际运用，建立数学模型解题。

将有助于我们在生活中更好地进行优化决策，培养我们的应用意识，主体意识和创新精神，真正做到“学以致用”。

【关键词】数列 模型数学建模1、模型假设（1）假设生活中的实际问题的变化按照严格的规律进行，即忽略外界因素变化对变化规律的影响。

（2）本论文实际问题提到的数据具有一般性，即不考虑不同地点的数据差异。

2、建立模型 （1）等差数列模型 模型：)(1N n d a a n n ∈=-+ 求解：通项公式：d n a a n )1(1-+=前n 项和 n da n d a a n d n n na S n n )2(22)(2)1(1211-+=+=-+= 应用：此模型常用于变化规律呈线性的实际问题的求解，或应用于前n 项和与n 成二次函数关系数列应用问题。

（2）等比数列模型模型：)(1N n q a a nn ∈=+ 求解：通项公式：nn n q qa q a a ⋅==-111 前n 项和: )1(11)1()1(111≠--=⎪⎩⎪⎨⎧--==q q q a a qq a q na S n n n应用：此模型常用于变化规律呈指数型的问题的求解。

或用于变化呈递乘型（下一个数恒为上一个数的q 倍）的问题的求解。

（3）递推数列的模型 一型:模型：)(1n f a a n n +=+求解：常用叠加法求通项公式： 将),2(),1(211-+=-+=---n f a a n f a a n n n n …， ),1(12f a a =各式相加，得∑-=+=111)((n k n n k f a a ≥2）二型：模型：n n a n f a )(1=+求解：常用迭代法（叠乘法）求通项公式： 将,)2(,)1(211----=-=n n n n a n f a a n f a …，12)1(a f a =， 各式相乘（或代入），得)1()3()2()1(1-=n f f f f a a n 三型：模型：)0,0,1(≠≠≠+=+q p p q pa a n n求解：令 ),(1λλ-=-+n n a p a 整理得λ)1(1p pa a n n -+=+， 由q pa a n n +=+1， 有q p =-λ)1( 所以pq-=1λ 从而),1(11pqa p p q a n n --=--+所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--p q a n 1 是首项为p q a --11 ，公比为p 的等比数列 故pqp p q a a n n -+⋅--=-1)1(11 四型：模型：)(1n f pa a n n +=+求解：将上式两边同除以1+n p ，得111)(++++=n n n n n p n f p a p a 令nnn p a b =，则11)(+++=n n n pn f b b 由此求出n b ，从而求得n a 五型：模型：)()(1n g a n f a n n +=+求解：设辅助数列{})(n h ，使)1()()(+=n h n h n f 则)(1()(1n g a n h n h a n n ++=+，即)1()()()1(1++=++n h n g n h a n h a n n 令)(n h a b n n =则)1()(1++=+n h n g b b n n 转化为一型递推式，可求出n b ，从而求出n a六型：模型：11-++=n n n qa pa a （n ≥2）求解：（1）若1=+q p 时，q p -=1 则11)1(-++-=n n n qa a q a ，即)(11-+--=-n n n n a a q a a 知{}n n a a -+1为等比数列，公比为q -，首项12a a -，从而1121))((-+--=-n n n q a a a a ，转化为一型递推式，可求出n a（2）若1≠+q p 时，存在1x ，2x 满足)(11211-+-=-n n n n a x a x a x a ，整理得121211)(-+-+=n n n a x x a x x a ，有,,2121p x x q x x =+-=把1x ，2x 看做一元二次方程02=--q px x 的两个根，容易求出1x ，2x ，从而数列{}n n a x a 11-+是等比数列，可得)(1121211a x a x a x a n n n -=--+或)(1221121a x a x a x a n n n -=--+转化为四型递推式，可求出n a应用：递推数列模型常用于已知前后两项关系的数列问题的求解。

二手泵车：https:///[单选,B1型题]药品通用名称（）A.应当印刷在药品标签的边角B.应当印刷在药品标签的底部C.应当印刷在药品标签的右上角D.其字体以单字面积计不得大于通用名称所用字体的二分之一E.应当显著、突出，其字体、字号和颜色必[多选]秘书在值班时，经常会遇到并要处理的是()。

A.领导临时交办的事情B.企业内部的突发事件C.上级单位的电话指示D.接待未预约的来访客人[单选]由于遇到了与愿望相违背或愿望不能达到，并一再受到妨碍后，在逐渐累积了紧张的情况下产生的情绪体验为（）A．快乐B．悲哀C．愤怒D．恐惧[填空题]电梯安全回路安全触点动作断开，在不停电的情况下，选择万用表的（）测量触点动作断开点。

[单选]下列不属于门静脉高压症的侧支循环的是（）A.食管、胃底静脉交通支B.直肠下端、肛管交通支C.腹膜后门、体静脉分支之间交通支D.腰静脉与腹膜后下腔静脉属支E.脐及脐旁静脉与腹壁上、下静脉之间交通支[单选]最常见的鼻咽部良性肿瘤是()A．纤维瘤B．血管瘤C．脂肪瘤D．鼻咽纤维血管瘤E．乳头状瘤[问答题,简答题]原始宗教产生的原因及其实质？[单选,A2型题,A1/A2型题]面神经断伤后第几周，轴索可沿中空的鞘膜管由近及远再生（）。

A.2周B.3周C.4周D.5周E.6周[名词解释]CoD值[单选,A2型题,A1/A2型题]婴儿期是指（）。

A.从出生后至满1周岁之前B.从出生后28天至满1周岁之前C.从出生后1个月至1周岁之前D.从1周岁至2周岁之前E.从1周岁至3周岁之前[单选]在我国，两个以上的人同日就同样的商标申请商标权的，商标权应授予（）的人。

A.最先使用B.最先设计C.最先申请D.最先申请和使用[单选,A1型题]关于抗原因素对免疫耐受形式哪项是正确的（）A.抗原的持续存在是维持免疫耐受的重要条件B.耐受原多为大分子颗粒性物质C.抗原有多种不同的决定簇易形成耐受D.抗原经皮下或肌内注射易形成耐受E.TD-Ag无论引起T细胞耐受[单选,A1型题]关于11CMET显像的论述不正确的是（）A.11CMET为正电子显像剂B.11CMET是临床上目前应用最为广泛的氨基酸代谢显像剂C.在肿瘤显像中，11CMET可用于精确地描述蛋白质的合成速率D.11CMET可由放射化学自动合成可用于SPECT显像[单选]李某，30岁。