数学建模专题汇总-离散模型

实验09 离散模型（2学时）（第8章离散模型）1. 层次分析模型1.1（验证，编程）正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264已知正互反阵261????1/21A?4????1/461/1??注：[263]定理2 n阶正互反阵A的最大特征根≥n。

★(1) 用MATLAB函数求A的最大特征根和特征向量。

调用及运行结果（见[264]）：1 3.0092k =1>> w=V(:,k)/sum(V(:,k))w =0.58760.32340.0890[263]）(2) 幂法（见n正互反矩阵，算法步骤如下：A为n×(0)w 1）；a. 任取n 维非负归一化初始列向量（分量之和为)k?1)((k2,0,1,?Aww,k?；计算b.1)?(k w1)k?(?w1)k?(w归一化，即令c. ；n?1)?(k w i1i?)(1)k(k?1)k?(?)n|?|w,(i?w?1,2,w即，当d. 对于预先给定的精度ε时，iib；为所求的特征向量；否则返回到步骤1)?(kn w1??i?。

e. 计算最大特征根)(k wn1i?i 注：)k(k?1)(((k)k)???wAw??ww?1)(k? w?i n,i?1,2,??)k(w i文件如下：函数式m [lambda w]=p263MI(A,d)function——求正互反阵最大特征根和特征向量%幂法% A 正互反方阵% d 精度 2 % lambda 最大特征根归一化特征列向量% w0.000001，则d取if(nargin==1) %若只输入一个变量（即A）d=1e-6;end的阶数取方阵A n=length(A); %任取归一化初始列向量w0=w0/sum(w0);%w0=rand(n,1);1while ww=A*w0;%归一化w=ww/sum(ww);all(abs(w-w0)<d) if; breakendw0=w;endlambda=sum(ww./w0)/n;的最大特征根和特征向量。

数学建模离散优化模型与算法设计数学建模在离散优化问题的解决中起着重要的作用。

离散优化问题是指在给定的离散集合上寻找最优解的问题，一般包括整数规划、组合优化、排班优化等。

数学建模则是将实际问题转化为数学模型的过程，在离散优化问题中，需要设计相应的数学模型，并通过算法求解最优解。

离散优化问题的数学模型通常包括目标函数和约束条件两个方面。

目标函数用于衡量解的优劣程度，约束条件则是对解的限制条件。

通过定义合适的目标函数和约束条件，可以将实际问题转化为一个数学优化问题。

在构建数学模型时，需要考虑实际问题的特点。

例如，在排班优化问题中，需要考虑员工的需求以及工作时间的限制，将员工的排班安排转化为一个数学模型。

在整数规划问题中，需要考虑变量的取值范围，将问题转化为整数规划模型。

在数学建模的基础上，需要设计相应的算法来求解离散优化问题。

常见的算法包括贪心算法、动态规划算法、遗传算法等。

选择合适的算法取决于问题的规模和特点。

贪心算法是一种简单而直观的算法，每一步都选择当前最优的解来构建解空间，在一些问题上具有较好的效果。

动态规划算法则通过将问题划分为一系列子问题，并保存子问题的解，从而避免重复计算，提高计算效率。

遗传算法则是一种模拟生物进化的算法，通过遗传、交叉和变异等操作来最优解。

除了算法设计，还需要考虑算法的优化。

例如，在排班优化问题中，可以通过合理的约束条件和目标函数设计，来减少空间，提高算法效率。

此外，还可以使用启发式算法等方法来加速过程。

总之，数学建模在离散优化问题的解决中起着重要的作用。

通过合适的数学模型和算法设计，可以有效地求解离散优化问题，并得到最优解。

在实际应用中，还需要考虑问题的特点来选择合适的算法，并通过优化算法提高求解效率。

第4章离散优化模型【内容总结与思考】§1数学规划（最优化模型）概述。

规划模型（最优化模型）的三要素:决策（设计，控制）变量,约束条件和目标函数,最优化模型就是在满足约束条件的集合中（可行集）求目标函数的最优值。

按目标函数分分为多目标规划和单目标规划。

单目标规划模型的一般形式：max （min） Z = f（x）,x = （x{,x2,...,x n）Ts.t.（x） < 0, i = 1.2,...m线性规划:目标函数和约束条件都是线性的称为线性规划。

不是线性规划统称为非线性规划。

二次规划:目标函数是二次的，约束条件是线性的称为二次规划。

整数规划:决策变量均取整数值的规划称为整数规划。

部分决策变量取整数，其它取实数则称为混合整数规划。

只取0,1 的变量称为0-1变量。

实际问题建模（生产计划•线性规划）。

建模.软件计算，结果分析:对偶价格。

敏感性分析结果应用：系数变化范围（目标函数系数,约束右端项系数）例题1最优化模型的三姜素为（）■最优化问题就规划问题,整数规划是（)o§1生产计划建模:决策变量为目标为利润（费用），约束为生产要素限制，一般为线性规划。

例题1 一般的生产规划模型的目标函数是（），决策变量是（）,约束条件为（）。

其一般模型为（）§2运输问题建模（自来水输运与装机）lo 一般运输问题建模。

第，个供应点（源）第丿个需求点（汇）的量为®,则模型为m nmin（ max）i=l j=ln m ms.t. 2L x u -a i»Z x ij -lb j^x ij - ub j»j=l i=l i=l目标为费用最小（或利润最大），约束包括两类，供应约束（源点,始点）需求约束（终点•汇）。

一般运输问题的数据表结构:利润表+右边表示供应点的数据+底边表示各需求点的数据。

2O运输问题编程「水库送水问题Idefine set and variable;sets: gong/1..3/:a;xu/1..4/:bl f bu;link(gon g f xu):x f c;en dsets•evaluate to known variable;data:a=100,120,100;bl 二30,70,10,10;bu=80,140,30,50;c 二290,320,230,280,310,320,260,300,260,250,220,-1000;enddatamax=@sum(link(i,j):c(ij)*x(ij));@for(gong(i):@sum(xu(j):x(ij))<=a(i)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))>=bl(j)); @for(xu(j):@sum(gong(i):x(ij))<=bu(j)); end例题1 一般运输问题的模型( 厂目标函数的形式为( )，约束条件是( )例题2 Lingo编程中重要的三部分是:set段，data段，和砂段。

数学建模案例分析第八章离散模型第八章"离散模型"主要介绍了离散数学在数学建模中的应用。

离散数学是指研究离散对象和离散结构的数学学科，与连续数学相对应。

在数学建模中，离散模型常用于描述离散化的问题，如网络优化、排队论、图论等。

本章讨论了三个离散模型的案例分析。

第一个案例是关于动态规划的问题。

动态规划是一种解决优化问题的动态模型，通过将问题划分为多个阶段，每个阶段可存在多个状态，根据转移方程进行状态转移和决策，最终得到最优解。

本案例中，讨论了一个旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP），即如何找到一条路径，使得旅行商能够访问给定的一组城市且总路径最短。

通过动态规划的方法，可以列出状态转移方程，并利用递推关系计算最优解。

第二个案例是关于网络优化的问题。

网络优化是指在给定的网络结构上，通过合理的设计和调整网络的参数、算法等，以提高网络的性能和效率。

本案例中，以网络中的流最大问题（Maximum Flow Problem）为例，介绍了如何通过建立网络模型、定义网络容量等参数，以及应用最小割定理和残余网络的概念来解决流最大问题。

第三个案例是关于排队论的问题。

排队论是研究排队系统中等待时间、服务时间等性能指标的数学理论。

本案例中，以排队模型中的M/M/1排队系统为例，介绍了如何通过排队模型来估计顾客等待时间、系统繁忙程度等指标，并通过参数调整和优化来改善排队系统的性能。

以上三个案例分析都是基于离散模型的，通过合理的数学建模和求解方法，解决了实际问题中的离散化问题。

通过学习这些案例，我们可以更好地理解离散模型的应用和原理，并将其运用到实际问题中，提高问题求解的效率和准确性。

总结起来，离散模型在数学建模中扮演着重要的角色。

通过离散化的方式，将实际问题抽象成离散对象和结构，可以更好地进行问题求解和优化。

离散模型的应用领域广泛，涉及到网络优化、排队论、图论等多个领域，因此在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的离散模型，并运用适当的数学建模和求解方法来解决问题。

离散模型的原理与应用离散模型，顾名思义，是指将连续变量转化为有限或可数的取值集合，并对这些离散取值进行建模和分析的一种数学方法。

离散模型广泛应用于各个领域，包括计算机科学、统计学、经济学、市场营销以及生物学等，并在这些领域中起到了重要的作用。

离散化是指通过将连续变量转化为离散变量来简化问题。

在实际应用中，很多变量是连续的，如时间、空间、数量等，但是连续变量的取值范围往往非常大，导致计算和分析变得困难。

因此，将连续变量离散化可以将问题空间缩小为有限的可数集合，便于分析和建模。

离散化的方法包括等宽分箱、等频分箱、基于聚类的分箱等。

等宽分箱是将连续变量的取值范围等分为若干区间，每个区间对应一个离散值；等频分箱是将连续变量的取值按照频率分布等分为若干区间，每个区间对应一个离散值；基于聚类的分箱是根据样本数据的分布特点，采用聚类方法将连续变量的取值划分为若干离散值。

离散化的好处是可以降低分析复杂度，使数据更易理解和解释，并且可以保护数据的隐私性。

离散模型在实际应用中有很多优点。

首先，离散模型可以将问题简化为有限的离散集合，使问题更易于理解和分析。

其次，离散模型可以运用多种统计学和机器学习方法进行建模，因此具有很高的灵活性和适应性。

此外，离散模型还可以提供精确度、可解释性和可预测性，对于决策支持和优化问题具有较高的实用性。

离散模型的应用非常广泛。

在计算机科学领域，离散模型被广泛应用于图论、组合优化、自动控制等领域。

例如，网络路由算法可以采用离散模型来建立网络路由表，优化网络传输效率。

在统计学领域，离散模型可以用于建立概率图模型，分析变量之间的依赖关系和随机过程。

在经济学和市场营销领域，离散模型可以用于预测市场需求、优化定价策略和建立市场竞争模型。

在生物学和医学领域，离散模型可以用于研究生物分子的结构、功能和相互作用，以及预测药物分子的活性和毒性。

总之，离散模型是一种将连续变量离散化，并利用统计学和机器学习方法进行建模的数学方法。

实验09 离散模型（2学时）（第8章 离散模型）1. 层次分析模型1.1（验证，编程）正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264已知正互反阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/16/1412/1621A 注：[263]定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根 ≥ n 。

★(1) 用MATLAB 函数求A 的最大特征根和特征向量。

(2) 幂法（见[263]） A 为n ×n 正互反矩阵，算法步骤如下：a. 任取n 维非负归一化初始列向量（分量之和为1）(0)w ；b. 计算(1)(),0,1,2,k k w Aw k +==；c. (1)k w+归一化，即令(1)(1)(1)1k k nk ii w ww+++==∑；d. 对于预先给定的精度ε，当(1)()||(1,2,,)k k ii w w i n ε+-<=时，(1)k w +即为所求的特征向量；否则返回到步骤b ；e. 计算最大特征根(1)()11k n i k i iw n w λ+==∑。

注：()()(1)()(1)()1,2,,k k k k k i k iAw w w w w i nw λλλ++≈⇒≈⇒∴≈=☆(2)用幂法函数求A 的最大特征根和特征向量。

(3) 和法（见[264]） A 为n ×n 正互反矩阵，算法步骤如下：a. 将A 的每一列向量归一化得∑==ni ijijij a a w 1~； b. 对ijw ~按行求和得∑==nj ij i w w 1~~； c. 将i w ~归一化T n ni ii i w w w w w w w ),,,(,~~211==∑=即为近似特征向量；d. 计算∑==n i iiw Aw n 1)(1λ，作为最大特征根的近似值。

☆(3) 用和法函数求A 的最大特征根和特征向量。

(4) 根法（见[264]） A 为n ×n 正互反矩阵，算法步骤如下：a. 将A 的每一列向量归一化得∑==ni ijijij a a w 1~； b. 对ijw ~按行求积并开n 次方得∏==nj nij i w w 11)~(~； c. 将i w ~归一化T n n i ii i w w w w w w w ),,,(,~~211==∑=即为近似特征向量；d. 计算∑==ni ii w Aw n 1)(1λ，作为最大特征根的近似值。

离散模型的原理和应用原理离散模型是指在数学和计算机科学中，将连续对象或现象进行离散化处理的模型和方法。

它涉及到对连续数据进行离散化表示和处理的技术，广泛应用于各个领域。

离散模型的原理主要涉及以下几个方面：离散化表示离散化表示是将连续数据转化为离散数据的过程。

在离散化表示中，连续数据被划分为若干个不相交的区间，每个区间用一个离散值来表示。

离散化表示可以通过等宽法、等频法、聚类法等多种方法来完成。

状态空间离散模型中的状态空间是指系统在不同时刻可能处于的不同状态的集合。

状态空间可以用有限状态机、马尔科夫链等形式来表示。

状态空间的大小和粒度直接影响了离散模型的复杂度和效果。

离散模型的转移规则离散模型中的转移规则描述了系统在不同状态之间的转移概率或条件。

转移规则可以通过概率矩阵、转移图等方式来表示。

转移规则的设计和优化对于离散模型的准确性和效率都有很大影响。

离散模型的推理和学习算法离散模型的推理和学习算法用于对离散模型进行推理和学习。

推理算法可以用于根据给定的观测数据来推断系统的状态，学习算法则可以用于从数据中学习转移规则和状态空间。

常用的离散模型推理和学习算法包括贝叶斯网络、隐马尔可夫模型等。

应用离散模型在各个领域中都有广泛应用。

以下是几个典型的应用领域：自然语言处理在自然语言处理领域，离散模型被用于词义消歧、句法分析、机器翻译等任务。

通过将单词或句子的表示离散化，可以方便地进行语义匹配和推理。

图像处理在图像处理领域，离散模型被用于图像分割、目标检测、图像生成等任务。

通过将像素或图像的表示离散化，可以方便地进行图像的分析和处理。

机器学习在机器学习领域，离散模型被用于分类、聚类、回归等任务。

通过将输入特征和输出标签的表示离散化，可以方便地进行模型的训练和预测。

强化学习在强化学习领域，离散模型被用于描述智能体和环境之间的交互。

通过将状态、动作和奖励的表示离散化，可以方便地进行智能体的决策和优化。

社交网络分析在社交网络分析领域，离散模型被用于描述人与人之间的联系和行为。