变式教学在小学数学教学中的作用讲解

（ ，２ ２一 ） 对 数 学 问题 的理 解 和掌 握 。从 思维 训 练 的 交叉 运 用 正 、 向思 维 。 学 生 逆 对 变 式 １ 函 数 ｙ ｆ ） 图 象 按ａ （ ， 角 度 出发 ， ： 把 ＝（ 的 ｘ ＝２一 ２ 平 移 得 到 的 函数 解 析式 为 ｙ ３ ｚ 。 函 ） ＝ ＿ 求 数 学 能力 的培 养 是 大有 好 处 的 。 ２
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变 式 １ 已知 抛 物 线 ｙ－ ｘ ： Ｚ４ ，点 Ｐ（ 。 ２ １ ， 抛 物 线 上 一 点 Ｍ， Ｉ …ＭＦ取 得 ）求 使 ＭＰ Ｉ 最 小值 ． 点 Ｍ 的坐 标 。 求
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线 ｘ ｌ １ Ｌ ＝ 有且 只有 一 个 公共 点 ？ ０
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数 学 教 育 的 目的不 仅 仅 是 传 授 知 识 ， 还 要 “ 展 学 生本 身 的潜 能 ”研 究 表 明 ， 发 。 成
一
现 思维 品质 的提 升 。 当的 变 更 问题 情 境 恰 或 改 变 思 维 角 度 ， 以 培 养 学 生 的应 变 能 可 力 ． 导 学 生 从 不 同途 径 寻 求 解 决 问 题 的 引 变 式 １ 已知 ： Ｏ、 Ａ分 别 平 面 仅的 垂 ： Ｐ Ｐ
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条件变式
圆锥 曲线 焦 半 径 问题 ： 例 １ ．已 知 椭 圆 ＋ － １内有 一 点 Ｐ ＝ （ ， ） Ｆ为 椭 圆 的 右 焦 点 ， １１， 在椭 圆 上 有 一
是 与 双 曲 线 的 渐 近 线 平 行 ， 一 种 是 与 双 另
功 会 成 为他 们 学 习 动机 的“ 活 剂 ” 激 。通 过 曲线 相 切 。可 以借 用 数形 结 合 求解 或 利 用 支 上有 一 点 Ｍ，￣ ｌ ｌ ｌ ｌ 得 最 小 变 式 ． 学 生创 设 体 验 成功 的机 会 ． 学 生 方程 组 求 解 。 ＭＰ＋ ＭＦ取 给 让 变式 １ 过点 Ａ（ ， ） 以 作 几 条 直 线 ： １４ 可 获 得 实 践 和 成 功 的体 验 。 发 学 生 的学 习 激 值 。 点 Ｍ 的坐 标 。 求 ２ 兴 趣 和学 习主 动性 。 与双 曲线 ｘ ： 有 且 只有 一 个公 共 点 ？ 乙 １ 变 式 ３： 变 式 ２中 ． 改 成 “ ２ 在 如 使

２ ０ １ ３年 第 １ ２期
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中掌生数理化． 掌研版
浅 谈 变 式 训 练 在 数 学教 学 中的运 用
■ 刘 强
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（ ９ ） 实验报告（ １ ０分 ） ．
Ａ ． 几乎没有文字错误 ， 结 构严 谨 规 范 ， 解 释简洁 、 科学 ， 并 对 可 能性 能 做 出预 测 ． Ｂ ． 出现的文字表达错误不影响理解 ， 结构基 本合 理 ， 但 没 有对可能性进行探讨． Ｃ ． 错 误 比较 多 ， 或结构 不完 整、 不规 范 ， 给 理 解 造 成 一 定
解 得 一 ．
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（ ２ ） 若 两车相遇后相距 ８ Ｏ千 米 ， 此 时 设 ｚ小 时 后 两 车 相
距 ８ Ｏ千 米 ． 得 ：
６ ５ ｘ＋ ８ ５ ｘ一 ４ ５ ０ ＋８ ０ 。
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２ ． 快 车先开 ３ Ｏ分 钟 ， 两 车相 向而行 ， 慢 车 行 驶 了 多 少 小
８５ ｘ一 ６ ５ ｘ一 ４ ５ ０．
解 得 一３ ．
２ ． 设慢车行驶 了 小时两车相遇 ， 则：
６ ５ ｘ＋ ８ ５× １ ／ ２ ＋８ ５ ｘ一 ４ ５ ０．
解 得 一 １ ２ ． ５ ．
变式 ５ ： 把 此 题 改 为工 程 问题 的 应 用 题 ． 甲、 乙 两 工 人 合 作
变式 ３ ： 在原题 后增加一 问 ： 两 车同时 开出 ， 相 向而行 ， 多
少小时后两次相距 ８ Ｏ千 米 ？
简略解答 （ １ ） 若两 车相遇前 相距 ８ Ｏ千 米 ， 此 时 设 ｚ小 时

谈一谈数学教学方法中的变式教学
在数学教学中，变式教学是一种广泛应用的教学方法，它主要是通过变量或未知量的不同取值来让学生理解和掌握数学概念、规律和定理，以及解决实际问题的能力。

具体来说，变式教学主要包括以下几个方面：
一、变量和未知量的介绍
在课堂上，教师可以通过引入变量或未知量来说明数学问题，让学生了解其中的概念和规律，并通过多个例子让学生亲自试验，体验变量不同取值对于解决问题的重要性。

二、变量的练习
通过变量的举例练习，让学生自主探索变量所代表的具体意义，并结合实际问题来分析变量之间的关系和运用，提高学生的实际应用能力。

三、变式的转化
在数学教学中，变式的转化是一项必不可少的工作，可以通过引入变量、代数式等方法来使学生灵活掌握数学知识，通过转化来实现学习目标。

四、变式和函数的关系
变式和函数是紧密联系的，学生可以通过探索变式和函数的关系，理解函数的定义和运用，从而更好地掌握数学知识。

总的来说，变式教学是一种基于实践的教学方法，可以帮助学生获得更深入的数学知识，并提高其实际应用能力。

与传统的数学教学相比，变式教学更加灵活，更加注重学生的自主探究和实践能力，因此受到越来越多的教师和学生的青睐。

变式教学在数学课堂中的运用福建厦门市槟榔中学蔡建华变式教学是被教学实践所证实的具有良好教学效果的中国式的教学方法.在数学课堂中恰当地运用变式教学可以有效促进学生对概念本质的理解,提高学生的问题解决能力,培养学生的创新意识.下面笔者就结合自己的教学实践谈谈变式教学在数学课堂中的一些具体运用以及由此引发的思考.1运用变式展现概念形成过程,突出对数学知识本质的理解在数学课堂中我们经常要进行概念的教学,如果仅仅把概念看作是一个既定的结果,认为书上就是这么“规定”的,而我们的学生只要“接受”它,把“节省”的时间用来“操练”就可以了,那么我们的学生所看到的就只剩下概念那冰冷的外表,而体验不到概念生成的火热思考过程,概念留给学生的印象就只是抽象、枯燥、乏味,这时候学生对概念的理解也只是形式的、肤浅的,并没有真正理解概念的本质属性.例如,在“代数式概念”的教学中,如果我们这样设计教学过程:(1)按课本直接给出代数式概念;(2)给出一些代数式、非代数式的例子,带领学生紧扣概念进行辨别;(3)提供若干辨别代数式的练习,让学生模仿.这个过程可谓是单刀直入,把概念以定论的形式直接呈现给了学生,而把课堂的大部分时间留给所谓的“练习”,学生的任务则只是“跟着我学”的简单模仿.这里学生体会不到数学知识的形成过程,只能被动接受这些“静态”的现成结果,进而就是简单的令人生厌的模仿与复制,因此学生对概念的认识仍然是模糊的、浮于表面的.显然上述的教学设计未能很好地贯彻“淡化形式,注重本质”的原则.如果我们重视知识发生的过程,把教学作为一个活动的过程,通过变式教学设置合理的情境,给学生一个体验的空间,让学生参与到活动中去,那将会有另一番的景象.例如,我们可以创设这样的一个活动过程:按图示的方式,用火柴棒搭三角形.搭1个三角形需要3根火柴棒,搭2个三角形需要()根火柴棒,搭3个三角形需要()根火柴棒.搭10个这样的三角形需要多少根火柴棒?搭100个这样的三角形呢?你是怎样得到的?如果用x表示所搭三角形的个数,那么搭x个这样的三角形需要多少根火柴棒?你是怎样表示出搭x个这样的三角形需要多少根火柴棒的?请与同学交流、分享不同的算法.这里我们运用变式教学创设问题情境,让学生以自己的直接经验为基础,在探索中经历了一个有指导的“再创造”过程:如何由若干特例归纳出其中蕴涵的规律;同时尝试用数学符号表达自己的发现,体验“字母”代“数”的意义,形成初步的符号感.经历操作和思考、表达与交流等过程,学生不仅接触到了代数式,更了解到为什么要学习代数式,从而逐步形成数学概念.通过这样的方式进行概念教学,显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多.此外,在数学概念特别是几何概念的教学中,我们还可以运用变式对概念中非本质属性进行变换,构建一个变异的空间,让学生在直观的强烈对比和思维的激烈冲突中准确获得概念的本质属性.例如:在讲解对顶角概念时,我们可以通过呈现如下的变式图形,使学生十分直观地理解概念的本质属性.2运用变式铺设“阶梯”,创设“最近发展区”,提高问题解决能力教学实践中我们经常会听到老师们在水平测验后抱怨:反复讲过、练过好几遍的同类题目学生还是没能掌握.问题出在哪里呢?难道是教学出问题了?可是已经把重点、难点、关健讲得很仔细了呀！我们需要反思:这些题目是否在学生还不具有足够充分的准备下就过早地给出了呢?在这些题目的解决中学生主动参与到数学思维中去了吗?学生又是否真正理解了问题解决过程以及对问题本身的结构有了清晰的认识?教学实践表明问题具有能被学生“跳一跳,摘得到”的难度,最能激起学生的思维,形成所谓“愤排”状态.如果把过难的问题直接交给学生,学生怎么也“够不着”,就会挫伤学习的积极性;如果平铺直叙地讲解,又由于当中“拐弯”多,部分学生囫囵吞枣难以真正理解,就会造成在新的情境中学生仍旧束手无策的局面.只有通过设置梯度合适的“阶梯”,沟通新旧知识的联系,把问题解决建立在学生“最近发展区”的基础上,一个一个台阶地过渡、递进,才能挖掘出学生的最大潜力,才能实现问题解决能力的飞跃.如在“均值不等式应用”的教学中,有这么一个问题:问题④:求函数22(10)1x xy xx+=<≤+的最小值.这是个较为复杂的问题,如果我们直接要求学生求解,恐怕很多学生会束手无策,问题的解决也就陷入了困境.如何激活学生的思维?著名数学教育家波利亚有句名言:回到最简单的问题.我们可以从问题①:求函数y x=+ 4/x(0)x>的最小值这个简单问题开始,但问题④(复杂问题)与问题①(简单问题)之间的联系不够明显,因此需要在两者之间铺设合适的“阶梯”,于是根据学生的现有水平可引入问题②:求函数234x xyx+=(x0)>的最小值以及问题③:求函数22(1)1x xy xx+=>+的最小值作为“阶梯”.从而问题②可化归为问题①,问题③通过换元法可化归为问题②,最后问题④化归为问题③而得到解决.在整个问题解决过程中学生始终处于教师所激发形成的“愤排”状态中,体验思维的过程,在教师所创设的一个个的“最近发展区”中完成思维的飞跃,学生思维的积极性被调动起来了,教师的“教”有效转化为学生的“学”.3运用一题多变,引导深层次数学思维,培养数学创新意识教学中我们往往都很重视发挥课本的示范作用,也经常会向学生提及某些考题的“原型”就在课本中,它们之间其实是“源”与’“流”的关系,而联系它们的纽带正是“变式”.有时我们的学生会感到困惑:明明做了很多题目为什么收效却不明显.我们也不难发现他们在实际解题中往往是“做一题丢一题”,不懂得去反思、梳理题与题之间的关系,更不能在深层次上理解把握问题.然而通过一题多变却能使一题变式成多题进而有效带动一片问题的解决,帮助学生从“题海”中摆脱出来.实际教学中我们可以选择一些有探索价值的问题进行变换条件、条件弱化、条件一般化、条件开放化、条件类比等多角度深层次的连环变式,激起学生思维的火花和强烈的求知欲望,而学生在经历一系列的思维碰撞后对问题本身就会有了深刻的认识,就会举一反三、触类旁通,就会获得活跃的灵感,从而有效提高解题能力.实践表明这个过程往往也能极大地调动学生学习热情,激励探索精神,培养创新意识.如有这么一道题:求函数24y x x=+5, [3,4]x∈的值域.学生容易犯的错误主要有两个:(1)忽略了“顶点”不在给定区间内这一事实;(2)不加思索直接就把两个端点值带入而得解.靠教师的再三“强调”来纠正错误的效果并不理想,学生往往很快就会“故伎重演”.我们可以让学生变更题目条件自己来提出新问题.刚开始学生提出的问题可能会比较肤浅,不过毕竟是他们自己提出来的,应该给予鼓励.此时,我们可以引导学生结合函数的图像来帮助思考,以便提出的问题更具代表性并从中挑选具有代表性的变换:①若[0,1]x∈呢?②若[1,4]x∈呢?学生在反思“变”所引起的“异”(解题过程差异)中逐步形成对问题的清晰认识,“错”就在理解中通过自我监控转化为“正”.趁热打铁,我们能不能变更条件让区间“动”起来呢?学生们跃跃欲试,思维也就随之进入了更加广阔的空间.那就用字母来“代”数,变换成:③若[,3]x a∈,且13a<<呢?再削弱一下条件,变换成:④若[,3]x a∈,且3a<呢?乘胜追击,推广到更一般的情形:⑤若[,1]x a a∈+呢?课堂闪动着创造性的“火花”,学生学习的热情高涨.还可以变换成开放题:⑥当x满足_______时,函数245y x x=+的值域是[1,5]?(填上一种你认为合适的条件即可)让不同层次的学生都能得到发展.当然对这道题的“开发”远不止于此,还可以引导学生选择函数解析式进行类似的变式和探究.在本例中,学生通过“一题多变”掌握了一类问题的实质和思维规律,达到了较高层次的抽象和概括,克服了思维的保守状态,培养了创造性思维能力.如果在数学教学中能经常选择一些有思维价值的素材进行一题多变,把探索研究引入课堂,不仅可以有效拓展学生的思维空间,而且还会潜移默化,让学生养成对问题进行变式探究的学习习惯,自觉地探究问题的变换形式,乃至推广到更为一般的结论,从而发展了深层次的思维,收获了探索未知领域的一种极为重要的手段.此外,在这个过程中学生提出的问题往往会超出了我们的课前预设,相应地就会对我们的教学应变提出了较高的要求,但更为重要的是学生成为了学习的真正主人.著名数学家R.柯朗曾经指出:数学教学有时竟演变成空洞的解题训练.这种训练虽然可以提高形式推导能力,但却不能导致真正的理解和深入的独立思考.除非学生和教师设法超越数学的形式主义,并努力去把握数学的实质,否则产生受挫和幻灭的危险将会更甚.应该说,变式教学在数学课堂中的恰当运用,可以有效促进学生对数学本质的理解,可以有效提高学生的问题解决能力,可以有效发展学生的深层次思维,培养探索精神、创新意识.然而,在教学实践中如何设置良好的问题情境让学生在变式中经历“再创造”过程,如何准确把握学生原有的认知水平进而铺设适当的化归“阶梯”,如何把握一题多变的深度,有效发展学生深层次思维等仍然需要我们在教学实践中不断去探索、反思、完善.(参考文献见)开发习题探究功能培养数学思维能力漳州教育学院方倩珊新《数学课程标准》指出:数学课程应开展“数学探究”、“数学建模”等学习活动,让学生体验数学发现和创造的历程;数学课程应注重提高学生的数学思维能力,让学生在学习数学和运用数学解决问题时,不断经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断.因此,在新的课程理念下,作为自主学习的一种手段——开发习题的探究功能,对于培养学生的数学思维能力具有良好成效.下面就以初等几何中的一道习题为例来说明这一点.案例一个西瓜切5刀,问最多能把西瓜切成几块?数学建模如果把西瓜理想化为整个空间,把刀理想化为一个平面,那么上述问题的数学模型即为空间最多能被5个平面分成几部分?直观感知通过几何直观易知:1个平面将空间分成两部分;2个平面最多能将空间分成4部分;3个平面最多能将空间分成8部分;4个平面呢?探究14个平面最多能将空间分成几部分?这就难以直观判断得出,我们把已得到的结果列于下表.平面数最多被分成的空间数122438观察猜想通过观察上表可知,每增加一个平面,最多被分成的空间数就增加1倍,由此可猜想:当平面是4时,空间数就变为16,这个猜想对吗?如何验证?空间想象我们知道处在一般位置的4个平面所分割出来的各部分空间,其中一个P11则它可表示为一个偶函数与一个奇函数之和.并探索出新命题的证法——构造法,培养了学生的独创性.例9若对0,1x x ≠≠的一切实数,都有1()()1x f x f x x+=+.求()f x .分析按常规解法进行两次替代,此题无法解决.首先启发学生取特殊值探究实验:若2x =,则1(2)()32f f +=;若12x=,则1()2f +3(1)2f =;若1x=,则(1)(2)0f f +=.再探究发现:(2)f 经过三次运算还原.最后产生解法:分别用x 、1x x 、11x 代入已知等式得1()()1x f x f x x+=+,11()()1x f f x x +=11x x +,11()()111f f x x x +=+,消去1()x f x 和1()1f x得321()2(1)xxf x x x=.这样在探究的活动中发现规律猜想结论,形成思路创造方法,体现了思维的独创性.总之,我们要感悟并实践新课程,在教学过程中精心安排教材、设计教法,充分重视各种思维能力间的联系和渗透,有的放矢地进行思维训练,在引导学生开展各种丰富多彩的探索活动中,培养他们的创新思维,发展他们的创新能力,为他们的可持续性发展创造条件.～～～～～～～～～～～～～～～～～～～(接P4)参考文献[1]唐瑞芬等.数学教学理论选讲.华东师范大学出版社.[2]马复.设计合理的数学教学.高等教育出版社.[3]周春荔等.数学创新意识培养与智力开发.首都师范大学出版社.[4]顾泠沅.教学改革的行动与诠释.人民教育出版社[5]R 柯朗等什么是数学复旦大学出版社浅谈在数学习题教学中培养学生观察思维的一些尝试福建石狮永宁中学曹水荣观察是思维的起点,世界上许多的发明、创造始于观察.所谓观察就是以人们的感知为基础,有目的、有选择地认识事物的本质和规律的一种方法.数学观察则是人们对数学问题在客观情境下考察其数量关系及其图形性质的方法.解答数学问题首先要从观察开始,通过观察对已得到的信息,联系已有的知识,经过思维分析,求出未知条件.因此问题的解决取决于观察是否全面细致,方法是否正确,否则就会造成对问题“束手无策”或“会而不对”,“对而不全”的现象.在教学中,我们常发现有的学生对审题重视不够,观察不够细致,匆匆一看就急于下笔,以至对题目的条件和要求还没吃透就解题,其结果是解错或半途而废.例1(2005年福建省高考试题第14题):非负实数,x y ,满足240,30.x y x y +<+≤则3x y+的最大值为_______.这是一道容易题,多数学生看完题目后都觉得会做,不加思考就求出直线24x y +0=与直线30x y +=的交点坐标(1,2),然后代入得到7.这就是学生没有进行细致的观察,忽略了“非负实数”条件而产生的错误,另一方面,没有画图或只是画一个草图,导致判断错误,结果是会而不对,后悔莫及.(本题正确答案是9,解略.)教学中还发现,有的学生只是单纯的做题或纯粹的“模仿”,不善于做解题后的“回顾”和“反思”,对例题和做过的题目中所体现的数学思想和方法,没有再作深层次的思考和总结,往往只要问题的背景或结论稍微改变,就观察不出问题的本质而使得解答错误或繁琐.....。