高中数学“函数定义域问题”的求解一般方法与技巧

函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：1分母不为零2偶次根式的被开方数非负; 3对数中的真数部分大于0;4指数、对数的底数大于0,且不等于15y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等; 6 0x 中x 0≠二、值域是函数y=fx 中y 的取值范围;常用的求值域的方法： 1直接法 2图象法数形结合 3函数单调性法 4配方法 5换元法 包括三角换元6反函数法逆求法7分离常数法 8判别式法 9复合函数法 10不等式法 11平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终;定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0,即x=2时,分式21-x 无意义,而2≠x 时,分式21-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0,即x<-32时,根式23+x 无意义,而023≥+x ,即32-≥x 时,根式23+x 才有意义,∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x-21同时有意义,∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义,必须：142≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： 3,3-②要使函数有意义,必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 ∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义,必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义,必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x Rx即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x2 定义域的逆向问题例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R,求实数a 的取值范围 定义域的逆向问题解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-a ax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于练习：322log+-=mx x y 定义域是一切实数,则m 的取值范围；3 复合函数定义域的求法例4 若函数)(x f y =的定义域为1,1,求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知fx 的定义域为－1,1,求f2x －1的定义域;分析：法则f 要求自变量在－1,1内取值,则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 －1,1内取值,即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f2x －1中2x －1与fx 中的x 位置相同,范围也应一样,∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;注意：fx 中的x 与f2x －1中的x 不是同一个x,即它们意义不同; 解：∵fx 的定义域为－1,1, ∴－1≤2x －1≤1,解之0≤x ≤1,∴f2x －1的定义域为0,1;例6已知已知fx 的定义域为－1,1,求fx 2的定义域;答案：－1≤x2≤1⇒ x2≤1⇒－1≤x ≤1练习：设)(x f 的定义域是3,2,求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义,必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x 例7 已知f2x －1的定义域为0,1,求fx 的定义域因为2x －1是R 上的单调递增函数,因此由2x －1, x ∈0,1求得的值域－1,1是fx 的定义域;练习：1 已知f3x －1的定义域为－1,2,求f2x+1的定义域;[2,25-提示：定义域是自变量x 的取值范围 2 已知fx 2的定义域为－1,1,求fx 的定义域3 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是Ａ．[]1,1-Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4 已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ,函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ,则 Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =求值域问题利用常见函数的值域来求直接法一次函数y=ax+ba ≠0的定义域为R,值域为R ； 反比例函数)0(≠=k x ky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R,当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2-1≤x ≤1 ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f③ xx y 1+=记住图像 解：①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是-1,5 ②略③ 当x>0,∴xx y 1+==2)1(2+-xx 2≥,当x<0时,)1(xx y -+--==－2)1(2----xx -≤∴值域是 ]2,(--∞2,+∞.此法也称为配方法 函数xx y 1+=的图像为： 二次函数在区间上的值域最值：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为2,-3,顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }.②∵顶点横坐标2∉3,4,当x=3时,y= -2；x=4时,y=1；∴在3,4上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.③∵顶点横坐标2∉ 0,1,当x=0时,y=1；x=1时,y=-2, ∴在0,1上,min y =-2,m ax y =1；值域为-2,1.④∵顶点横坐标2∈ 0,5,当x=0时,y=1；x=2时,y=-3, x=5时,y=6,∴在0,1上,min y =-3,m ax y =6；值域为-3,6.注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时,①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值ab ac y 4)4(2min-=； ②当a<0时,则当ab x 2-=时,其最大值ab ac y 4)4(2max -=;⑵若定义域为x ∈ a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. ①若0x ∈a,b,则)(0x f 是函数的最小值a>0时或最大值a<0时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大小值.②若0x ∉a,b,则a,b 是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大小值.注：①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大小值；②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y =3+x 32-的值域解：由算术平方根的性质,知x32-≥0,故3+x32-≥3;∴函数的值域为[)+∞,3 .2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域 解： 对称轴 []5,01∈=x[]20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x1 单调性法例3 求函数y=4x －x31-x ≤1/3的值域;设fx=4x,gx= －x31-,x ≤1/3,易知它们在定义域内为增函数,从而y=fx+gx=4x-x31-在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f1/3+g1/3=4/3,因此,所求的函数值域为｛y|y ≤4/3｝;小结：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域;练习：求函数y=3+x-4的值域;答案：｛y|y ≥3｝2 换元法例4 求函数x x y -+=12 的值域解：设t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域;这种解题的方法体现换元、化归的思想方法;它的应用十分广泛;练习：求函数y=x x --1的值域;答案：｛y|y ≤－3/4｝求xx x x cos sin cos sin 1++的值域；例5 三角换元法求函数21x x y -+=的值域解： 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x小结：1若题目中含有1≤a ,则可设)0,cos (22,sin πθθπθπθ≤≤=≤≤-=a a 或设2若题目中含有122=+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤3若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 4若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中22πθπ<<-5若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ3 平方法例5 选求函数x x y -+-=53 的值域 解：函数定义域为：[]5,3∈x 4 分离常数法 例6 求函数21+-=x x y 的值域 由1231232≠+-=+-+=x x x y ,可得值域{}1≠y y小结：已知分式函数)0(≠++=c dcx b ax y ,如果在其自然定义域代数式自身对变量的要求内,值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ；如果是条件定义域对自变量有附加条件,采用部分分式法将原函数化为)(bc ad dcx c adb c a y ≠+-+=,用复合函数法来求值域;练习 求函数6412+-=x x y 的值域 求函数133+=x xy 的值域求函数 y =1212+-xx 的值域；y ∈-1,1例7 求13+--=x x y 的值域解法一：图象法可化为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y观察得值域{}44≤≤-y y解法二：不等式法114)1(134)1()3(13+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x 练习：1y x x =++的值域 )[∞+,1 例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域解：换元法设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为 例9求函数xx y 2231+-⎪⎭⎫⎝⎛= 的值域解：换元法令1)1(222+--=+-=x x x t ,则)1(31≤⎪⎭⎫⎝⎛=t y t由指数函数的单调性知,原函数的值域为例10 求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解：图象法如图,值域为(]1,0 换元法设t x=+13 ,则()111131113113>-=+-=+-+=t t y x xx 例13 函数1122+-=x x y 的值域解法一：逆求法110112<≤-∴≥-+=y yyx解法二：换元法设t x =+12 ,则2解法三：判别式法原函数可化为 010)1(2=++⋅+-y x x y 1） 1=y 时 不成立2） 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-⇒≥+--⇒≥∆y y y 综合1、2值域}11|{<≤-y y 解法四：三角换元法∴∈Rx 设⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2tan ππθθx ,则∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数34252+-=x x y 的值域 解法一：判别式法化为0)53(422=-+-y yx yx10=y 时,不成立 20≠y 时,0≥∆得综合1、2值域}50|{≤<y y解法二：复合函数法令t x x =+-3422,则ty 5=50≤<∴y 所以,值域}50|{≤<y y例15 函数11++=xx y 的值域解法一：判别式法原式可化为 01)1(2=+-+x y x解法二：不等式法1当0>x 时,321≥∴≥+y xx 2） 0<x 时,12)(1)(1-≤∴-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+y x x x x综合12知,原函数值域为(][)∞+-∞-,31,例16 选 求函数)1(1222->+++=x x x x y 的值域 解法一：判别式法原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x解法二：不等式法原函数可化为 当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2例17 选 求函数)22(1222≤≤-+++=x x x x y 的值域解：换元法令t x =+1 ,小结：已知分式函数)0(2222≠+++++=d a fex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 选)(二次式一次式或一次式二次式==y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数)0(≠+=x xa x y 的单调性去解; 练习：1 、)0(9122≠++=x x x y ； 解：∵x ≠0,11)1(91222+-=++=x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷：11929122=+≥++=x x y 或利用对勾函数图像法2 、34252+-=x x y 0<y ≤5.3 、求函数的值域 ①x x y -+=2； ②242x x y --=解：①令x u -=2≥0,则22u x -=, 原式可化为49)21(222+--=+-=u u u y ,②解：令 t=4x 2x ≥0 得 0≤x ≤4在此区间内 4x 2x m ax =4 ,4x 2x m in =0∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2}4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ,画出它的图象下图,由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是3,+∞. 如图5、求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=12t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t∵t ≥0 ∴y ≤46、选求函数66522-++-=x x x x y 的值域 方法一：去分母得 y12x +y+5x6y6=0 ①当 y1时 ∵xR ∴△=y+52+4y1×6y+1≥0由此得 5y+12≥0检验 51-=y 有一个根时需验证时 2)56(2551=-⋅+--=x 代入①求根 ∵2 定义域 { x| x2且 x3} ∴51-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y1综上所述,函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-} 方法二：把已知函数化为函数36133)3)(2()3)(2(--=+-=+---=x x x x x x x y x2 由此可得 y1,∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y1且 y 51-}。

高中数学函数定义域的求法
求函数定义域的方法有以下几种：
1. 根据函数的解析式确定：
- 如果函数的解析式为有理式，那么函数的定义域就是使得
有理式的分母不为零的实数值。

- 如果函数的解析式为无理式，那么函数的定义域就是使得
无理式的被开方数不小于零的实数值。

- 如果函数的解析式为指数、对数函数，那么函数的定义域
就是使得指数的底不为零或负数，对数的底大于零且不等于1。

2. 根据函数的图象确定：
- 如果函数的图象是一个连续的曲线，那么函数的定义域就
是曲线所覆盖的所有实数值。

- 如果函数的图象是一个离散的点集，那么函数的定义域就
是这些点的横坐标所组成的集合。

3. 根据问题的实际意义确定：
- 如果函数表示一个实际问题，如时间、长度、面积等，那
么函数的定义域就是使得问题有意义的实数值范围。

需要注意的是，在某些情况下，函数的定义域可能是一个给定的特定集合，如正整数集、实数集等，这时需要根据题目要求进行判断和筛选。

同时，也要留意函数的特殊性质，如间断点、极值点等，可能会对函数的定义域有影响。

高中函数解题技巧高中函数解题技巧引言在高中数学中，函数是一个重要的内容，解题时需要运用合适的技巧来解决各种函数问题。

本文将详细说明高中函数解题的各种技巧，帮助学生更好地应对考试。

技巧一：函数定义的掌握1.理解函数的定义：函数是一个映射关系，将自变量映射到因变量。

2.弄清楚定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

3.利用定义域和值域求解问题：在解题过程中，需要根据函数的定义域和值域来确定自变量和因变量的取值范围，进而解决相关问题。

技巧二：函数的性质应用1.利用奇偶性判断函数的对称性：奇函数以原点对称，偶函数以y轴对称。

通过判断函数的奇偶性，可以简化一些计算和问题的分析。

2.利用导数判断函数的增减性：函数的导数代表其斜率，通过求导可以判断函数在某一区间内的增减情况，有助于解决最值和特殊点问题等。

3.利用周期性解决重复性问题：某些函数具有周期性特征，通过寻找周期性解决问题，可以简化计算和分析过程。

技巧三：函数图像的应用1.利用函数图像解读问题：观察函数的图像，可以帮助理解函数的性质和规律，进而解决相关问题。

2.利用函数图像求解交点和切点：通过观察函数图像的交点和切点，可以求解函数的零点、最大最小值和特殊点等问题。

技巧四：函数图像的变换1.利用平移变换函数图像：平移函数图像可以改变函数图像的位置，通过平移变换可以简化计算和分析过程。

2.利用伸缩变换函数图像：伸缩函数图像可以改变函数图像的尺寸，通过伸缩变换可以观察到函数的变化规律。

技巧五：函数组合和复合1.利用函数组合化简问题：将多个函数组合起来，可以简化计算和分析过程，有助于解决复杂的问题。

2.利用函数复合求解复合函数值：通过将自变量代入复合函数，可以求解复合函数的值，解决相关问题。

技巧六：方程和不等式的解法1.利用函数解方程：将方程转化为函数等式，通过解函数等式来求解方程，可以简化计算和分析过程。

2.利用函数解不等式：将不等式转化为函数不等式，通过解函数不等式来求解不等式，解决相关问题。

解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
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实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。

函数的定义域求法高中数学函数的定义域求法四川省万源市第三中学校赵宾竹函数—中学数学的灵魂，它在整个高中，对数学的学习与理解起着决定性的作用. 函数的定义域是构成的三大要素之一，看似简单，但在解决问题中稍不注意，就会使学生误入歧途. 在高中数学学习中，我们尤其要注重函数的学习. 笔者现将函数定义域的求法作简单说明.函数的形式多样，有已知解析式的基本初等函数，还有复合函数、分段函数. 我们通过举例来浅析函数定义域的求法.1常规型函数的定义域例1求函数f (x ) =lg x 2-2x 的定义域．2⎧⎧x >2或x 0解：要使函数有意义，只需要：⎧，即，故定义域是⎧2⎧⎧-30(-3, 0) (2, 3) .说明：求函数的定义域，我们常常可以从以下三个方面来考虑：若有分母则分母不为零；若有偶次根式则被开方数大于或等于零；若有对数式，则真数大于零，底数大于零且不等于1. 求函数的定义域，实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集.2 抽象型函数的定义域对于复合函数y =f (g (x ))、令t =g (x )、y =f (t )，分清内外函数与复合函数的关系是关键，只有这样才能很好地解决复合函数问题. 若内函数的值域是外函数的定义域，则内函数的定义域为复合函数的定义域，外函数的值域为复合函数的值域. 复合函数由内外函数共同决定.例2 ：已知函数f (x )的定义域为[-2,4]，求f (x 2-3x )的定义域. 解：由题意可知-2≤x 2-3x ≤4，则-1≤x ≤1或2≤x ≤4,故函数的定义域为[-1, 1] [2, 4].说明：本题实质上是求复合函数的定义域，我们把y =f (x 2-3x )看成是由y =f(u )、u =x 2-3x 两个函数复合而成的，因为-2≤u ≤4，则-2≤x 2-3x ≤4，进而求出x 的范围. 另外，对不等式进行倒数运算时，应注意不等式两边必须同号，取倒数后不等式的方向改变，这里也是学生运算时常常容易发生错误的地方，应加以重视.例3 已知f (2x +1) 的定义域为［1，2］，求f (x ) 的定义域．解∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4，∴3≤2x +1≤5，即函数f (x ) 的定义域是{x 3≤x ≤5}．说明：已知f [g (x )]的定义域是[a , b ]，求f (x ) 定义域的方法是：由a ≤x ≤b 求g (x ) 的值域，即所求f (x ) 的定义域．3 分段函数型的定义域例4 若对于任何实数x ，不等式x -+2x -2>a 恒成立，求实数a 的取值范围.解:令f (x )=x -+2x -2，去绝对值号把f (x )表示成分段函数后为⎧5-3x , x⎧3x -5, x >2⎧y =f (x )的图像，如图所示，由此可知f (x )的最小值为1，f (x )>a 对一切实数x 恒成立，则a说明：本题看上去是一个不等式的问题，若用去绝对值分类讨论的方法来求解，则比较繁琐，而如果注意到不等式左边是一个关于x 的函数，只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就能很快解决问题了，这种解题思想应该引起我们的注意. 另外对于函数f (x )=x -+2x -2，只要把它写成分段函数的形式，作出函数的图像，则该函数的所有性质，包括函数的单调区间、值域等一切问题都迎刃而解了.4 在实际问题中，我们把实际问题转化为函数模型例5 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域．解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图：因为CD =AB =2x ，⌒ =πx ，所以AD =(L -AB -CD ⌒ ) ÷2=(L -2x -πx ) ÷2，故所以CDπL -2x -πx πx 2=-(2+) x 2+Lx . y =2x ⋅+2222x >0⎧L ⎧L -2x -πx 00π+2⎧2⎧L π) . 故函数的解析式为y =-(2+) x 2+Lx ，定义域(0, π+22说明：这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识. 要确定定义域，就是要确定实际问题中自变量应满足的范围. 这类问题需要我们在解题时足够细心，一定不能遗忘定义域的优先法则，忘记这一点，后面就会出现一连串问题，所以务必要细心，谨记定义域优先是关键．总之，函数的定义域是高考经常考的内容，既是重点也是难点，特别是在高中引入了函数的新的概念，让学生用集合这一概念来重新理解定义域，是比较困难的. 因此在教学过程中应该结合学生的特点来进行．。

高中数学基础之函数定义域的求法函数的定义域、值域：一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域。

求已知函数定义域和抽象函数的定义域：例1 函数f (x )＝25－4x 2＋ln (e x －1)的定义域为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 解析 由f (x )＝25－4x 2＋ln (e x －1)，得⎩⎨⎧25－4x 2≥0，e x －1>0，解得0＜x ≤52，所以f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52. 例2 设函数f (x )＝3x －1＋ln (4－x )的定义域为A ，函数g (x )＝x 2－x ＋1的值域为B ，则A ∩B ＝________(结果用区间表示).答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，4 解析 由f (x )＝3x －1＋ln (4－x )得⎩⎨⎧3x －1≥0，4－x >0，解得13≤x <4，则A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，4，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，当且仅当x ＝12时取“＝”，则B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，所以A ∩B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，4. 例3 已知函数f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，则函数φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的定义域为( )A ．[2，2]B ．[2，4]C ．[4，8]D ．[1，2]答案 A解析 因为f (x )的值域为[1，2]，即1≤log 2x ≤2，所以2≤x ≤4，所以f (x )的定义域为[2，4]，所以φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)应满足⎩⎨⎧2≤2x ≤4，2≤x 2≤4，解得2≤x ≤2，所以φ(x )的定义域为[2，2].故选A.例4 (1)已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[1，4]，求函数y ＝f (x )的定义域．解 ∵y ＝f (x ＋2)中，1≤x ≤4，∴3≤x＋2≤6，故函数y＝f(x)的定义域为[3，6].(2)已知函数y＝f(2x)的定义域为[0，1]，求函数y＝f(x＋1)的定义域．解∵y＝f(2x)中，0≤x≤1，∴0≤2x≤2，∴函数y＝f(x＋1)中，0≤x＋1≤2，∴－1≤x≤1，∴函数y＝f(x＋1)的定义域为[－1，1].求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义或从实际出发，求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助数轴，注意端点值的取舍．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域，如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.(3)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．。

高中数学根据函数定义域解题技巧整理在高中数学中，函数的定义域是解题过程中一个非常重要的概念。

定义域指的是函数可以接受的输入值的范围，也就是使函数有意义的自变量的取值范围。

在解题过程中，我们需要根据函数的定义域来确定自变量的取值范围，从而解决问题。

本文将介绍一些根据函数定义域解题的技巧，并通过具体的题目进行说明。

一、分段函数的定义域确定对于分段函数，我们需要根据每个分段的定义域来确定整个函数的定义域。

例如，考虑函数$f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 0 \\ 2x, & x \geq 0 \end{cases}$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。

对于第一个分段$x < 0$，函数$f(x)$的定义域为负无穷到0，即$(-\infty, 0)$。

对于第二个分段$x \geq 0$，函数$f(x)$的定义域为0到正无穷，即$(0, \infty)$。

因此，整个函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$。

二、有理函数的定义域确定有理函数是指由多项式函数相除得到的函数。

在确定有理函数的定义域时，我们需要注意分母不能为零。

例如，考虑函数$f(x) = \frac{1}{x-2}$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。

由于分母$x-2$不能为零，所以$x$不能等于2。

因此，函数$f(x)$的定义域为$x \neq 2$，即$(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$。

三、指数函数和对数函数的定义域确定对于指数函数和对数函数，我们需要注意底数和真数的取值范围。

例如，考虑函数$f(x) = 2^x$，我们需要确定函数$f(x)$的定义域。

由于指数函数的底数为正数，真数可以是任意实数，所以函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, \infty)$。

对于对数函数，底数必须大于0且不等于1，真数必须大于0。

高一数学求函数的定义域与值域的常用法:求函数解析式 1、换元法： 例1.已知 题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

心） X t 解：设 2 f （x ） X X X ,则1,x 1 。

x 2 X 1 x 2 ,试求 f （X ）。

1 t 1,代入条件式可得: f （t ）t 2 t 1，t ≠ 1。

故得: 说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。

2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出 另一个程，联立求解。

f (X) 例2. ( 1)已知 (2)已知 f (X) 2f(2f(1) 3X 24X 5 XX）3X 2解：（1）由条件式，以 • 1 消去 X ,则得: X 代2_ X X,则得 8 3x4X 5f(1) X X 24x 3(2) 由条件式，以一 X 代X 则得： X 24x -3。

f( 去说明： 定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4.求下列函数的解析式： （1） (2) (3) ,试求f (X)；f(x).3厶 X试求 2f(x)5 3OX) 2f (X)3X 24X5,与条件式联立,,与条件式联立，消,则得: 本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系, 故所求函数的 已知 已知 已知 f （X ）是二次函数，且f （0） f （∙一 X 1） 心） X 3f （x ） 2, f (X 1) f(X) X 1 ,求 f(X)； 2 X ,求 f (x)， f (x 1)， f (x 2) 1 1 亠 2 ,求 X X f (X)；（4） 【题意分析】（1） 设法求出a,b,c 即可。

若能将X 2 - X 适当变形，用.XX 1 设 为一个整体，不妨设为 X X ， 已知 2 f ( x) X 3 ,求 f (x)。

由已知f (X)是二次函数，所以可设 f(X) ax 2 bx c(a 0)，(2) (3) 1的式子表示就容易解决了。

高考数学中的函数值域与定义域求解总结在高中数学中，函数是一个非常基础并且非常重要的概念。

函数值域与定义域的求解是函数学习中的重点和难点。

在高考中，对于函数的掌握程度和对函数值域与定义域求解的熟练程度都是非常重要的。

一、函数域的定义在提及函数值域与定义域求解之前，我们需要先来回顾一下函数域的定义。

函数域即为定义域和值域的并集。

其中，定义域指的是函数的自变量所在的取值范围，通俗地理解，就是能够代入函数中的数字集合。

值域指的是函数因变量的取值范围，即将所有自变量都代入函数中所得到的所有函数值的集合。

理解了这两个术语的定义后，再来看看如何求解函数的值域和定义域。

二、函数值域的求解1.分段函数值域求解对于分段函数，我们需要对每一个分段分别求解，最后再将结果合并。

求解过程具体如下：1)对于线性函数 y = kx + b，当 k > 0 时，y 的最小值是固定的，即 b；当 k < 0 时，y 的最大值是固定的，即 b。

因此，对于线性函数而言，它的值域就是一条直线。

2)对于二次函数 y = ax² + bx + c，由于 a 的正负性不确定，因此可以根据判别式来判断这个函数的值域。

a > 0 时，y 取最小值 f(x = -b/2a)，此时 y ∈ [ f(x), +∞)。

a < 0 时，y 取最大值 f(x = -b/2a)，此时 y ∈ (-∞, f(x)]。

3)对于绝对值函数 y = |x|，其值域为 y ∈ [0, +∞)。

4)对于反比例函数 y = 1/x，其值域为 y ∈ (-∞, 0) U (0, +∞)。

2.连续函数值域求解对于连续函数 y = f(x)，我们可以通过求导来判断函数的最值，通过函数的最值来推导出值域。

对于一个实数集合内的连续函数，当其定义域为闭区间时，函数的值域即为右端点和左端点函数值的较大值和较小值的区间。

当其定义域为开区间时，值域即为函数的最大值和最小值的区间。

1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A 专高中数学函数的定义域（解析版）．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．考点一求给定解析式的函数的定义域【方法总结】常见函数定义域的类型【例题选讲】[例1](1)函数y ＝ln(1－x )x ＋1＋1x的定义域是()A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1)答案D解析－x >0，＋1>0，≠0，解得－1<x <0或0<x <1．所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg(x ＋1)的定义域为()A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3]答案B解析要使函数有意义，xx 2＋2x ＋3≥0，＋1>0，＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．(3)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是()A ．(－2，0)∪(1，2)B ．(－2，0]∪(1，2)C ．(－2，0)∪[1，2)D ．[－2，0]∪[1，2]答案C 解析，>0，所以x ∈(－2，0)∪[1，2)．(4)函数f (x )＝2－2x ＋1log 3x的定义域为()A ．{x |x <1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x >1}答案B解析－2x ≥0，>0，3x ≠0，∴0<x <1．(5)函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．答案(0，2]解析－|x －1|≥0，x －1≠0，x ≤2，≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．【对点训练】1．下列函数中，与函数y 的定义域相同的函数为()A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x1．答案D解析函数y 的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}；y ＝ln xx 的定义域为{x |x >0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}．故选D ．2．函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是()A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2，3)∪(3，＋∞)2．答案D解析由题意，x －4>0，－3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为()A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)3．答案C解析x －1≥0，－2≠0，解得x ≥0，且x ≠2．4．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg(x －1)的定义域为()A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10]4．答案D解析要使函数f (x )有意义，则x ＋9x －x 2≥0，－1>0，x －1)≠0，x ＋1)(x －10)≤0，>1，≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1，2)∪(2，10]．5．函数y ＝＋1－x 2的定义域为________．5．答案(0，1]解析＋1x >0，－x 2≥0<－1或x >0，1≤x ≤1⇒0<x ≤1．所以该函数的定义域为(0，1]．考点二求抽象函数的定义域【方法总结】求抽象函数定义域的方法【例题选讲】[例2](1)已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1，1)B 1C ．(－1，0)D 答案B解析令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1，0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12．(2)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f (x －1)的定义域为()A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D －12，答案C解析1<x2<1，1<x －1<1，2<x <2，x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f (x －1)的定义域为(0，2)．(3)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为()A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，3]答案A解析x ≤2，－2x ≥0，解得0≤x ≤1．故选A ．(4)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．答案[－1，2]解析因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．(5)若函数y ＝f (2x)的定义域为12，2，则y ＝f (log 2x )的定义域为________．答案，16]解析由题意可得x ∈12，2，则2x ∈[2，4]，log 2x ∈[2，4]，解得x ∈，16]，即y ＝f (log 2x )的定义域为，16]．【对点训练】6．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为()A ．13，53B ．－1，53C ．[－3，1]D ．13，16．答案A解析由－x 2＋2x ＋3≥0，解得－1≤x ≤3，即f (x )的定义域为[－1，3]．由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53，则函数f (3x －2)的定义域为13，53，故选A ．7．设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为()A ．(－9，＋∞)B ．(－9，1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9，1)7．答案B解析f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]－x >0，－lg(1－x )>0的解集，解得－9<x<1，所以f [f (x )]的定义域为(－9，1)．故选B ．8．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0，1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是()A ．[1，2]B ．(－1，1]C ．－120D ．(－1，0)8．答案D解析由f (2x －1)的定义域是[0，1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，∴f (x )的定义域是[－1，1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足1≤2x ＋1≤1，＋1>0，＋1≠1，解得－1<x <0．9．若函数f (x ＋1)的定义域为[0，1]，则f (2x －2)的定义域为()A ．[0，1]B ．[log 23，2]C ．[1，log 23]D ．[1，2]9．答案B解析∵f (x ＋1)的定义域为[0，1]，即0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2．∵f (x ＋1)与f (2x －2)是同一个对应关系f ，∴2x －2与x ＋1的取值范围相同，即1≤2x －2≤2，也就是3≤2x ≤4，解得log 23≤x ≤2．∴函数f (2x －2)的定义域为[log 23，2]．考点三已知函数定义域求参数【方法总结】解决已知定义域求参数问题的思路方法【例题选讲】[例3](1)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为_________．答案[－2，2]解析若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，2]．(2)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是()A ．[0，4)B ．(0，4)C ．[4，＋∞)D ．[0，4]答案D解析由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4．综上可得：0≤m ≤4．(3)若函数f (x )2221x ax a+--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案[－1，0]解析因为函数f (x )的定义域为R ，所以22+2-x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即22+2-x ax a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0．(4)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A 0，34B ．0，34C ．0，34D ．0，34答案D 解析∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是0，34【对点训练】10．函数y ＝ln(x 2－x －m )的定义域为R ，则m 的范围是________．10．答案－∞，－14解析由条件知，x 2－x －m >0对x ∈R 恒成立，即Δ＝1＋4m <0，∴m <－14．11．若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．11．答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92．12．若函数y＝ax＋1的定义域为R，则实数a的取值范围是________．ax2＋2ax＋312．答案[0，3)解析因为函数y＝ax＋1的定义域为R，所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即函ax2＋2ax＋3数u＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．当a＝0时，函数u＝3的图象与x轴无交点；当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a＜0，解得0＜a＜3．综上所述，a的取值范围是[0，3)．。

高中函数定义域题型及解题方法高中数学中，函数是一个重要的概念，而定义域则是函数的重要属性之一。

在高考数学中，定义域的求解也是一个重要的题型。

本文将介绍高中函数定义域的题型及解题方法。

一、定义域的概念定义域是指函数的取值范围，即函数的自变量可能取值的集合。

例如，函数 f(x) = x^2 + 1 的定义域是 R，因为 x 的取值可以任意取实数，且 x 的取值不影响函数的值。

二、常见定义域的题型1. 直接求解定义域有些函数的定义域是可以直接求解的，例如函数 f(x) = x^2 + 1 的定义域是 R，因为 x 的取值可以任意取实数，且 x 的取值不影响函数的值。

2. 求解函数的定义域在求解函数的定义域时，我们需要根据函数的符号和函数的表达式来确定自变量的取值范围。

例如，函数 g(x) = x^2 - 2x + 1 的定义域是 x 不等于 1。

3. 求解函数的值域有些函数的定义域和值域是一致的，例如函数 f(x) = x^2 + 1 的值域是 R。

而有些函数的定义域和值域是不同的，例如函数 g(x) = x^2 - 2x + 1 的定义域是 x 不等于 1，但函数的值域是 [-1,1]。

4. 求函数的定义域或值域在求解函数的定义域或值域时，我们需要根据函数的符号、表达式和定义域来确定自变量的取值范围。

例如，函数 h(x) = x^2 + 1 的定义域是 x 不等于 0，但函数的值域是 [1,+∞),因为 x 的取值可以任意增大。

三、解题方法1. 观察函数的符号和表达式，确定自变量的取值范围。

2. 根据函数的定义域和值域，结合函数的符号和表达式，求解定义域或值域。

3. 熟练掌握常见的函数定义域的求解方法，例如求解函数的定义域需要根据函数的符号和表达式来确定自变量的取值范围。

4. 学会分析函数的性质，例如奇偶性、单调性等，从而帮助求解定义域。

高中数学中，函数是一个重要的概念，而定义域则是函数的重要属性之一。

实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。

解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。

③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。

故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。

例 2求函数 y sin x1的定义域。

16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。

（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。

（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。

例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。

解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。

（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。

其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。

例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。

解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。

即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。

定义域的求法一、求给出解析式的函数的定义域的基本方法函数()x f y =以解析式的形式给出时，函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来说，常有以下儿种情况：①()x f y =为整式型函数时，定义域为R ;②由于分式的分母不为0,所以当()x f 为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；③由于偶次根式的被开方数非负，所以当()x f 为二次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合；④函数0x y =中的x 不为0;⑤如果函数是由一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。

【注意】定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，应用并集符号“U ”连接。

二、求抽象函数和复合函数的定义域①函数()x f 的定义域是指x 的取值范围。

②函数()()x f ϕ的定义域还是指x 的取值范围，而不是()x ϕ的范围。

③已知()x f 的定义域为A,求()()x f ϕ的定义域，其实质是已知()x ϕ的取值范围为A,求出x 的取值范围。

④已知()()x f ϕ的定义域为B,求()x f 的定义域，其实质是已知()()x f ϕ中的x 的取值范围为B,求出()x ϕ的范围（值域），此范围就是()x f 的定义域。

⑤同在对应法则f 下的取值范围相同，即()t f ,()()x f ϕ,()()x h f 三个函数中的t ,()x ϕ,()x h 的取值范围相同。

三、如果是实际问题，除应考虑解析式本身有意义外，还应考虑使实际问题有意义。

四、定义域的逆向思维问题给出函数的解析式可以求出其定义域，有时我们也会遇到给出函数解析式并给出其定义域，要求其函数解析式中参数的取值范围的问题。

练习题：求出下列函数的值域。

（1）22--=x x y （2）122-=x x y （3）x x y 21--= （4）1220--=x x x y。

高一数学求函数得定义域与值域得常用法一:求函数解析式1、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式,可将函数用一个变量代换。

例1. 已知,试求、解:设,则,代入条件式可得:,t ≠1、故得:。

说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形。

2、构造程组法:对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式,可以据此构造出另一个程,联立求解。

例2。

(1)已知,试求;(2)已知,试求;解:(1)由条件式,以代x,则得,与条件式联立,消去,则得:。

(2)由条件式,以－x 代x 则得:,与条件式联立,消去,则得:。

说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定,不需要另外给出。

例4、 求下列函数得解析式:(1)已知就是二次函数,且,求;(2)已知,求,,;(3)已知,求;(4)已知,求。

【题意分析】(１)由已知就是二次函数,所以可设,设法求出即可。

(２)若能将适当变形,用得式子表示就容易解决了、(３)设为一个整体,不妨设为,然后用表示,代入原表达式求解。

(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。

【解题过程】⑴设,由得,由,得恒等式,得。

故所求函数得解析式为。

(2)1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ,又。

(3)设, 则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。

(4)因为 ①用代替得 ②解①②式得。

【题后思考】求函数解析式常见得题型有:(1)解析式类型已知得,如本例⑴,一般用待定系数法。

对于二次函数问题要注意一般式,顶点式与标根式得选择;(2)已知求得问题,法一就是配凑法,法二就是换元法,如本例(2)(3);(３)函数程问题,需建立关于得程组,如本例(4)、若函数程中同时出现,,则一般将式中得用代替,构造另一程。

函数习题课(I) 函数定义域和值域的求法一、求函数定义域的方法(一) 直接法求定义域关注一些特殊函数的定义域或关注一些特殊的取值，从而使得函数有意义，直接限制自变量的取值范围。

一般需要关注的解题要点：（1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠例1 求下列函数定义域①21)(-=x x f ②xx x f -++=211)( ③0)32(2)3lg()(-++-=x x x x f ④2143)(2-+--=x x x x f ⑤373132+++-=x x y(二)解题时要关注定义域函数的三要素是定义域，值域和对应关系。

其中定义域是规定函数自变量取值范围的关键，是题目限制条件的体现。

由于常常被忽略，因此是命题人常将隐含条件设计于其中。

若想正确地解决函数相关问题，必须在解题时关注定义域，把它明确地写出来。

例2 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数[])()(22x f x f +的最大值。

例3 求函数x x x f a 2log )(2-= )10(≠>a a 且的单调增区间。

(三)有关抽象函数的定义域问题抽象函数的自变量始终是x(或其他字母)，但是由于对应法则所作用的x 形式不同(如x+2,x 2 等)，于是就有了有关抽象函数的定义域问题。

解决抽象函数的定义域问题需要紧紧抓住一点：括号里面的所有代数式的取值范围是相同的。

例4 已知函数)(x f 的定义域为[0,2]，求)12(+x f 的定义域。

例5 已知函数)12(+x f 的定义域为(-1,5]，求)(x f 的定义域。

例6 已知函数)1(+x f 的定义域为[0,2]，求)3(2x x f +的定义域。

二、求函数值域的方法(一)层层分析法(直接法)这种方法适合值域明显的复合函数或多个值域明显的函数相加减得到的函数求值域。

高一数学求函数得定义域与值域得常用法一：求函数解析式１、换元法:题目给出了与所求函数有关得复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

例1、 已知，试求。

解:设,则,代入条件式可得：，t ≠1。

故得:。

说明:要注意转换后变量围得变化,必须确保等价变形.2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关得复合函数得条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。

例2、 （１）已知，试求; (2)已知,试求; 解：（1)由条件式,以代ｘ,则得，与条件式联立,消去，则得：。

(2)由条件式，以—x 代ｘ则得:,与条件式联立，消去,则得：.说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数得定义域由解析式确定，不需要另外给出。

例4、 求下列函数得解析式:（1)已知就是二次函数，且，求； （2）已知,求，,； (3)已知，求； (4）已知，求. 【题意分析】（1)由已知就是二次函数，所以可设,设法求出即可。

（2)若能将适当变形，用得式子表示就容易解决了。

(３）设为一个整体，不妨设为,然后用表示，代入原表达式求解。

(4),同时使得有意义,用代替建立关于,得两个程就行了。

【解题过程】⑴设,由得， 由，得恒等式，得。

故所求函数得解析式为。

（２）1)1(112)(2)1(22-+=-++=+=+x x x x x x f ， 又。

（3)设，则1)1()1(111111)1()(22222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x xx x x x x f t f 所以。

（４）因为 ① 用代替得 ② 解①②式得。

【题后思考】求函数解析式常见得题型有：(1）解析式类型已知得，如本例⑴，一般用待定系数法。

对于二次函数问题要注意一般式，顶点式与标根式得选择；(２）已知求得问题,法一就是配凑法，法二就是换元法，如本例（2)（3); (３)函数程问题，需建立关于得程组,如本例（4）。

若函数程中同时出现，，则一般将式中得用代替,构造另一程。

高考数学函数实用答题技巧和经验高考数学函数答题技巧有哪些，函数题怎么做简洁，精确率还高？高中函数题不会做、没有思路怎么办，该如何下手？下面是一些方法和阅历，供参考。

高中数学必修一学问结构图如何从数学学渣逆袭成数学学霸?学霸支招：如何提高高三数学成果高中文科数学公式大全高中函数答题方法有哪些（一）巧解函数定义域问题1.依据函数的解析式求函数的定义域，主要从以下几个方面来考虑：分式中分母不为零；对数的真数大于零;偶次方被开方数大于等于零.2.复合型函数定义域的问题包含两类：一类是已知原函数的定义域来求复合函数的定义域，只需满意，解出即可；一类是已知复合函数的定义域来求原函数的定义域，即内函数的值域为原函数的定义域；（二）函数解析式的求法函数解析式的问题是高考的命题热点，其求解方法许多，最常用的有以下几种：①换元法和配凑法；②待定系数法：适用于已知函数模型（如指数函数、二次函数等）和模型满意的条件下解析式，一般先设出函数的解析式，然后再依据题设条件待定系数；③解方程组法；④函数的性质法，在求某些函数解析式时，只给出了部分条件（如函数的定义域、经过某些特别点、部分关系式、部分图象特征等）这类问题具有抽象性、综合性、和技巧性等特点，需要利用函数的性质来解；⑤赋值法：所给函数有两个变量时，可对这两个变量给予特别数值代入，或给两个变量给予肯定的关系代入，再用已知条件，可求出未知函数，至于给予什么特别值，应依据题目特征而定。

（三）推断函数单调性的方法巧把握1.定义法。

2.利用一些常见函数的单调性，如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性加以推断。

3.图象法。

4.在共同的定义域上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数。

5.奇函数在关于原点的对称区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点的对称区间上具有相反的单调性。

6.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的单调性。