2016届高考数学理科5月试卷

数学答案（理工类） 2016．5一、选择题：（满分40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B C D A D C二、填空题：（满分30分） 题号9 10 11 12 13 14 答案 33y x =±，4 3，16 6 (,2][0,1)-∞- 21960n n -+-,5 221+ （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（满分80分）15．（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 因为21cos 212sin 3A A =-=-，且 0A <<π， 所以6sin 3A =． 因为3,sin 6sin c A C ==，由正弦定理sin sin a c A C=，得66332a c =⋅=⨯=．…………………6分 (Ⅱ) 由6sin ,032A A π=<<得3cos 3A =． 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22150b b --=．解得5b =或3b =-（舍负）．所以152sin 22ABC S bc A ∆==． …………………13分 解: （Ⅰ）由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为260×0.25=65天. ……………………………………………………5分（Ⅱ）由题意可知X 的可能取值为30,35,40,50,70．且(30)0.05P X ==；(35)0.10P X ==；(40)0.45P X ==；(50)0.25P X ==；(70)0.15P X ==；所以300.05+350.1+400.45+500.25+700.15=46EX =⨯⨯⨯⨯⨯．…………………………………13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）如图1，在等腰梯形ABCD 中，由//BC AD ，122BC AD ==，60A ∠=︒，E 为AD 中点，所以ABE ∆为等边三角形．如图2,因为O 为BE 的中点，所以1A O BE ⊥．又因为平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE =，所以1A O ⊥平面BCDE ，所以1A O CE ⊥．………4分（Ⅱ）连结OC ，由已知得CB CE =，又O 为BE 的中点，图2所以OC BE ⊥．由（Ⅰ）知1A O ⊥平面BCDE ，所以11,A O BE A O OC ⊥⊥，所以1,,OA OB OC 两两垂直． 以O 为原点，1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为2BC =，易知13OA OC ==． 所以1(003),(100),(030),(100)A B C E -，，，，，，，，， 所以111(103),(033),(103)A B AC A E =-=-=--，，，，，，． 设平面1A CE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，E C D B A 图1 A 1x y z F O BC D EPC B F OD A 1 E由 110,0 AC A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得330, 30.y z x z ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ 即0, 30. y z x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取1z =，得(3,1,1)=-n ．设直线1A B 与平面1A CE 所成角为θ， 则133315sin cos ,5255A B θ--=〈〉===⨯n ． 所以直线1A B 与平面1A CE 所成角的正弦值为155． …………………9分 （Ⅲ）假设在侧棱1A C 上存在点P ，使得//BP 平面1A OF ．设11A P AC λ=，[0,1]λ∈．因为1111BP BA A P BA AC λ=+=+， 所以(103)(033)(1,3,33)BP λλλ=-+-=--，，，，． 易证四边形BCDE 为菱形，且CE BD ⊥，又由（Ⅰ）可知，1A O CE ⊥，所以CE ⊥平面1A OF ． 所以(1,3,0)CE =--为平面1A OF 的一个法向量． 由(1,3,33)(1,3,0)130BP CE λλλ⋅=--⋅--=-=，得1[0,1]3λ=∈． 所以侧棱1A C 上存在点P ，使得//BP 平面1A OF ，且1113A P A C =． …………14分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3a =时, 21()42ln 2f x x x x =-+-，0x >． 2()4f x x x'=-+-． 则(1)1421f '=-+-=，而17(1)422f =-+=． 所以曲线C 在点(1,(1)f )处的切线方程为712y x -=-，即2250x y -+=． …………………………………………………………………………4分（Ⅱ）依题意当[]1,2x ∈时，曲线C 上的点(),x y 都在不等式组12,,32x x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤⎨⎪⎪≤+⎩所表示的平面区域内，等价于当12x ≤≤时，3()2x f x x ≤≤+恒成立． 设()()g x f x x =-211)ln 2x ax a x （=-++-，[]1,2x ∈． 所以21(1)()=+=a x ax a g x x a+x x ---++-'(1)(1))=x x a x---(-． （1）当11a -≤，即2a ≤时，当[]1,2x ∈时，()0g x '≤，()g x 为单调减函数，所以(2)()(1)g g x g ≤≤． 依题意应有131,222221ln20,()()()g a g a a ⎧=-≤⎪⎨⎪=-++-≥⎩ 解得21a a ,.≤⎧⎨≥⎩所以12a ≤≤． （2）若 112a <-<，即23a <<时，当[)1,1x a ∈-，()0g x '≥，()g x 为单调增函 数，当x ∈(]1,2a -，()0g x '<，()g x 为单调减函数．由于3(1)2g >，所以不合题意． （3）当12a -≥，即3a ≥时，注意到15(1)22g a =-≥，显然不合题意． 综上所述，12a ≤≤． …………………………………………13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意可知2a =，211c =-=，所以椭圆C 离心率为1222e ==． …………… 3分 （Ⅱ）因为直线l 与x 轴，y 轴分别相交于,A B 两点，所以000,0x y ≠≠． 令0y =，由0012x x y y +=得02x x =，则02(,0)A x ．令0x =，由0012x xy y +=得01y y =，则01(0,)B y ．所以OAB ∆的面积0000112122OAB S OA OB x y x y ∆===．因为点00(,)P x y 在椭圆:C 2212x y +=上，所以22012x y +=． 所以2002001222x y x y =+≥．即0022x y ≤，则0012x y ≥． 所以001122OAB S OA OB x y ∆==≥． 当且仅当22002x y =，即0021,2x y =±=±时，OAB ∆面积的最小值为2．…9分 （Ⅲ）①当00x =时，(0,1)P ±．当直线:1l y =时，易得(1,2)Q -，此时21F P k =-，21F Q k =-．因为22F Q F P k k =，所以三点2,,Q P F 共线．同理，当直线:1l y =-时，三点2,,Q P F 共线．②当00x ≠时，设点(,)Q m n ，因为点Q 与点1F 关于直线l 对称，所以000011,22202() 1.1212x m ny n x m y -⎧⋅+⋅=⎪⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪+⎪⎩整理得000000240,220.x m y n x y m x n y +--=⎧⎨-+=⎩ 解得220002200000220044,448.4x x y m y x x y y n y x ⎧+-=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩ 所以点22000000222200004448(,)44x x y x y y Q y x y x +-+++．又因为200(1,)F P x y =-，220000002222200004448(1,)44x x y x y y F Q y x y x +-+=-++， 且 22200000000000002222220000004448(48)(48)(1)(1)(1)444x x y x y y x y x x y x y y x y x y x +-+--+--⋅-⋅-=⋅+++ 2200000220048(448)4x y x x y y x --+-=⋅+ 222200000002222220000008484(2)84280444y x y x y y y y x y x y x --+-++-⨯+=⋅=⋅=⋅=+++． 所以2//F P 2F Q ．所以点2,,Q P F 三点共线．综上所述，点2,,Q P F 三点共线． …………………………………14分 20．（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）当2n =时，{1,2,3,4}S =，令1{1,4}S =，2{2,3}S =,则12S S S =, 且对,(1,2),i x y S i x y ∀∈=>，都有i x y S -∉，所以S 具有性质P ．相应的P 子集为1{1,4}S =，2{2,3}S =． ………… 3分 （Ⅱ）①若31,(1)2n x y T y x -∈≤<≤,由已知x y T -∉, 又31132n n x y --≤-<,所以x y T '-∉．所以'x y T T -∉． ②若,x y T '∈,可设3,3n n x s y r =+=+，,r s T ∈,且3112n r s -≤<≤， 此时31(3)(3)132n n nn x y s r s r --=+-+=-≤-<． 所以'x y T -∉，且x y s r T -=-∉．所以x y TT '-∉．③若y T ∈, 3n x s T '=+∈,s T ∈， 则313331(3)()3(1)3222n n n n nn x y s y s y -+--=+-=-+≥-+=>, 所以x y T -∉．又因为,y T s T ∈∈，所以s y T -∉．所以(3)()3n n x y s y s y T '-=+-=-+∉．所以'x y TT -∉． 综上，对于,'x y T T ∀∈，x y >，都有'x y T T -∉． …………… 8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当2n =时，命题成立，即集合S 具有性质P ．（2）假设n k =(2k ≥)时，命题成立．即1231{1,2,3,,}2k k S S S S -==， 且(1,,)i j S S i j n i j =∅≤≤≠，,(1,2,,),i x y S i k x y ∀∈=>，都有i x y S -∉． 那么 当1n k =+时，记{3|}k i i S s s S '=+∈,， 并构造如下 k +1个集合：111S S S '''=,222S S S '''=,,k k kS S S '''=， 1313131{1,2,,21}222k k k k S +---''=++⨯+， 显然()i j S S i j ''''=∅≠． 又因为131313122k k +--=⨯+，所以112131{1,2,3,,}2k k k S S S S ++-''''''''=． 下面证明 ¢¢S i 中任意两个元素之差不等于 ¢¢S i 中的任一元素(1,2,,1)i k =+．①若两个元素13131,22k k k r s S +--''++∈,31112k r s -≤<≤+, 则313131()()222k k k s r s r ---+-+=-≤, 所以13131()()22k k k s r S +--''+-+∉． ②若两个元素都属于i i i S S S '''=(1)i k ≤≤,由（Ⅱ）可知，i S ''中任意两个元素之差不等于i S ''中的任一数(1,2,,1)i k =+． 从而，1n k =+时命题成立．综上所述，对任意正整数2n ≥，集合S 具有性质P ．………………………13分。

湖北省2016届高中毕业班五月模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、复数21i i -=- A ．322i - B ．322i + C ．322i -+ D ．322i -- 2、“若222x y +>” ，则“1,1x y >>”的否命题是A ．若222x y +≤则1x ≤且1y ≤B ．若222x y +<则1x ≤且1y ≤C ．若222x y +<则1x <或1y <D ．若222x y +<则1x ≤或1y ≤ 3、已知,x y 满足约束条件5020x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．-3B ．52-C ．-2D ．524、右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是A ．23B ．34C ．45D ．56 5、将4名工人分配取做三种不同的工作，每种工作至少要分配一名工人，则不同的分配方案有A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种6、已知等比数列{}n a 满足11352,14a a a a =++=，则135111a a a ++=A ．78B ．74C ．139D ．13187、已知M 为ABC ∆内一点，1134AM AB AC =+，则ABM ∆和ABC ∆的面积之比为 A ．14 B ．13 C ．12 D ．23 8、下列说法正确的是A ．若样本数据12,,,n x x x 的均值5x =，则样本数据1221,21,,21n x x x +++的均值为10 B ．相关系数0r >，则对应回归直线方程中ˆ0b< C ．采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60D ．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布(1,)(0)N σσ>，若X 在(0,1)内取值范围概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为0.89、一个四面体的三视图如下，则此四面体的体积是A ．15392B ．5392C ．539D ．513 10、已知,x y 满足2213x y +=，则2432u x y x y =+-+--的取值范围为 A ．[]1,12 B ．[]0,6 C ．[]0,12 D ．[]1,1311、过双曲线22:145x y C -=的右焦点F 的直线l 与双曲线C 交于C 交于,M N 两点，A 为双曲线的左焦点，若直线AM 与直线AN 的斜率12,k k 满足122k k +=，则直线l 的方程是A ．2(3)y x =-B ．2(3)y x =--C ．1(3)2y x =- D ．1(3)2y x =-- 12、函数()224f x x x x =--的最大值为 A ．4 B ．32 C ．33 D ．42第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2015-2016学年度理数三模联考一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）1．设复数bi a ii +=+-12),(R b a ∈，则=+b a （ ）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 2．已知集合P={x |1＜2x ＜2}，Q={}1log |5.0>x x ，则P∩Q=（ ）．A ．（0，21）B ．（21，1）C ．（﹣1，21） D ．（0，1）3．已知0,0>>b a ，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是（ ）． A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 5．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0， 数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 7b 8等于（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．8 6．如果执行程序框图，且输入n =6，m =4，则输出的p =（ ）．A ．240B ．120C ．720D ．3607．设F 1，F 2为椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点，点P 在C 上， |PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝（ ）． A ．167B ．1625C ．167-D ．1625- 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A.163 B. 203 C. 152 D. 1329．对于函数3()cos3()6f x x x π=+，下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递增 B ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递减C ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递增 D ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递减是 否 开输1,1==p k )(k m n p p +-=?m k <输出p 结1+=k k10．当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，41≤+≤y ax 恒成立，则实数a 的取值范围（ ）．A ．[1，23] B ．[﹣1，2] C ．[﹣2，3] D ．[1，2] 11．已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（ ）．A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 12．对]2,0[,∈∈∀n R α，向量)sin 3,cos 32(αα-+=n n c 的长度不超过6的概率为（ ）．A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

武汉市2016届高三数学5月调研试题（理科附答案）武昌区2016届高三年级五月调研考试理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数是实数，则实数（B）A．12B．1C．32D．22．若变量x，y满足约束条件则的最大值是(C)A．B．0C．D．3．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则(B)A．B．C．D．4．已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若，则的值为(C)A．2B．C．D．5．设，，，则(C)A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是(B)A．B．C．D．7．的展开式中，的系数为(A)A．110B．120C．130D．1508．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(C)A．12B．18C．24D．309．动点A(x，y)在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点A的坐标是，则当时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是(D) A．B．C．D．和10．已知命题p1：设函数，且，则在上必有零点；p2：设，则“”是“”的充分不必要条件．则在命题：，：，：和：中，真命题是(C)A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q411．在中，，M是BC的中点．若，则(A)A．B．C．D．12．设直线与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线恰有4条，则r的取值范围是(D)A．(1，3)B．(1，4)C．(2，3)D．(2，4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量a，b满足：a，(a＋2b)⊥a，(a＋b)⊥b，则|b|．答案：14．已知，则．答案：15．已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上．若，，则该球的表面积等于．答案：16．已知函数（k为常数），曲线在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则的单调递减区间为．答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设数列的前n项和为，已知，．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和．解：（Ⅰ）由an＋1＝n＋2nSn，及an＋1＝Sn＋1－Sn，得Sn＋1－Sn＝n＋2nSn，整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，∴Sn＋1n＋1＝2Snn．又S11＝1，∴是以1为首项，2为公比的等比数列．……………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得Snn＝2n－1，∴Sn＝n2n－1（n∈N*）．∴Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n2n－1，①2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n2n．②由②－①，得Tn＝－(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋n2n＝－1－2n1－2＋n2n＝(n－1)2n＋1．……12分18．（本小题满分12分）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．（Ⅰ）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（Ⅱ）若从甲部门中随机选取3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的分布列及数学期望．解：（Ⅰ）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取10×25＝4人．记“至少有一人来自甲部门”为事件A，则P(A)＝1－C34C38＝1314．故至少有一人来自甲部门的概率为1314．…………………………………………5分（Ⅱ）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．P(X＝0)＝C06C34C310＝130，P(X＝1)＝C16C24C310＝310，P(X＝2)＝C26C14C310＝12，P(X＝3)＝C36C04C310＝16．∴X的分布列为X0123P1303101216∴E(X)＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝95．……………………………………12分19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，，，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小．解：（Ⅰ）以D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，S(0，0，2)，∴→SC＝(0，2，－2)，→BC＝(－1，1，0)，→DC＝(0，2，0)．设平面SBC的法向量为m＝(a，b，c)，由m⊥→SC，m⊥→BC，得m→SC＝0，m→BC＝0，∴2b－2c＝0，－a＋b＝0．取m＝(1，1，1)．又设→SE＝λ→EB（λ＞0），则E(λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ)，∴→DE＝(λ1＋λ，λ1＋λ，21＋λ)．设平面EDC的法向量n＝(x，y，z)，由n⊥→DE，n⊥→DC，得n→DE＝0，n→DC＝0，∴λx1＋λ＋λy1＋λ＋2z1＋λ＝0，2y＝0．取n＝(2，0，－λ)．由平面EDC⊥平面SBC，得m⊥n，∴mn＝0，∴2－λ＝0，即λ＝2．故SE＝2EB．………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），知E(23，23，23)，∴→DE＝(23，23，23)，→EC＝(－23，43，－23)，∴→EC→DE＝0，∴EC⊥DE．取DE的中点F，则F(13，13，13)，∴→FA＝(23，－13，－13)，∴→FA→DE＝0，∴FA⊥DE．∴向量→FA与→EC的夹角等于二面角A-DE-C的平面角．而cos＜→FA，→EC＞＝→FA→EC|→FA||→EC|＝－12，故二面角A-DE-C的大小为120°．………………………………………………12分20．（本小题满分12分）已知，是椭圆的两个顶点，过其右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点，与轴交于P点（异于A，B两点），直线AC与直线BD交于Q点．（Ⅰ）当时，求直线l的方程；（Ⅱ）求证：为定值．解：（Ⅰ）由题设条件可知，直线l的斜率一定存在，F(1，0)，设直线l的方程为y＝k(x－1)（k≠0且k≠±1）．由y＝k(x－1)，x22＋y2＝1，消去y并整理，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0．设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2，∴|CD|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋k2(4k21＋2k2)2－42k2－21＋2k2＝22(1＋k2)1＋2k2．由已知，得22(1＋k2)1＋2k2＝322，解得k＝±22．故直线l的方程为y＝22(x－1)或y＝－22(x－1)，即x－2y－1＝0或x＋2y－1＝0．……………………………………………5分（Ⅱ）由C(x1，y1)，D(x2，y2)，A(0，1)，B(0，－1)，得直线AC的方程为y＝y1－1x1x＋1，直线BD的方程为y＝y2＋1x2x－1，联立两条直线方程并消去x，得y－1y＋1＝x2(y1－1)x1(y2＋1)，∴yQ＝x1y2＋x2y1＋x1－x2x1y2－x2y1＋x1＋x2．由（Ⅰ），知y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2，∴x1y2＋x2y1＋x1－x2＝kx1(x2－1)＋kx2(x1－1)＋x1－x2＝2kx1x2－k(x1＋x2)＋x1－x2＝2k2k2－21＋2k2－k4k21＋2k2＋x1－x2＝－4k1＋2k2＋x1－x2，x1y2－x2y1＋x1＋x2＝kx1(x2－1)－kx2(x1－1)＋x1＋x2＝k(x2－x1)＋x1＋x2＝k(x2－x1)＋4k21＋2k2＝－k(－4k1＋2k2＋x1－x2)，∴yQ＝－1k，∴Q(xQ，－1k)．又P(0，－k)，∴→OP→OQ＝(0，－k)(xQ，－1k)＝1．故→OP→OQ为定值．………………………………………………………………12分21．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）记F(x)＝sinx－22x，则F′(x)＝cosx－22．当x∈(0，π4)时，F′(x)＞0，F(x)在[0，π4]上是增函数；当x∈(π4，1)时，F′(x)＜0，F(x)在[π4，1]上是减函数．∵F(0)＝0，F(1)＞0，∴当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sinx≥22x．记H(x)＝sinx－x，则当x∈(0，1)时，H′(x)＝cosx－1＜0，∴H(x)在[0，1]上是减函数，∴H(x)≤H(0)＝0，即sinx≤x．综上，22x≤sinx≤x，x∈[0，1]．………………………………………………4分（Ⅱ）∵当x∈[0，1]时，ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx－4＝(a＋2)x＋x2＋x32－4(x＋2)sin2x2≤(a＋2)x＋x2＋x32－4(x＋2)(24x)2＝(a＋2)x．∴当a≤－2时，不等式ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立．下面证明：当a＞－2时，不等式ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立．ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx－4＝(a＋2)x＋x2＋x32－4(x＋2)sin2x2≥(a＋2)x＋x2＋x32－4(x＋2)(x2)2＝(a＋2)x－x2－x32≥(a＋2)x－32x2＝－32x[x－23(a＋2)]．∴存在x0∈(0，1)（例如x0取a＋23和12中的较小者）满足ax0＋x20＋x302＋2(x0＋2)cosx0－4＞0，即当a＞－2时，不等式ax＋x2＋x32＋2(x＋2)cosx－4≤0对x∈[0，1]不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．………………………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E，已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求线段AE的长．解：（Ⅰ）∵AC切⊙O′于A，∴∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，∴△ACB∽△DAB，∴ACAD＝ABBD，即ACBD＝ABAD．∵AC＝BD＝3，∴ABAD＝9．…………………………………………………5分（Ⅱ）∵AD切⊙O于A，∴∠AED＝∠BAD，又∠ADE＝∠BDA，∴△EAD∽△ABD，∴AEAB＝ADBD，即AEBD＝ABAD．由（Ⅰ）可知，ACBD＝ABAD，∴AE＝AC＝3．……………………………………………………………………10分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（Ⅱ）若P是直线上的一点，Q是曲线C上的一点，当取得最小值时，求P的直角坐标．解：（Ⅰ）由ρ＝23cosθ，得ρ2＝23ρcosθ，从而有x2＋y2＝23x，∴(x－3)2＋y2＝3．∴曲线C是圆心为(3，0)，半径为3的圆．…………………………………5分（Ⅱ）由题设条件知，|PQ|＋|QC|≥|PC|，当且仅当P，Q，C三点共线时，等号成立，即|PQ|≥|PC|－3，∴|PQ|min＝|PC|min－3．设P(－32t，－5＋12t)，又C(3，0)，则|PC|＝(－32t－3)2＋(－5＋12t)2＝t2－2t＋28＝(t－1)2＋27．当t＝1时，|PC|取得最小值，从而|PQ|也取得最小值，此时，点P的直角坐标为(－32，－92)．………………………………………10分24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，，函数的最小值为2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：与不可能同时成立．解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，∴f(x)＝|x－a|＋|x＋b|≥|(x－a)－(x＋b)|＝|－a－b|＝|a＋b|＝a＋b，∴f(x)min＝a＋b．由题设条件知f(x)min＝2，∴a＋b＝2．…………………………………………………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2ab≤a＋b＝2，∴ab≤1．假设a2＋a＞2与b2＋b＞2同时成立，则由a2＋a＞2及a＞0，得a＞1．同理b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾．故a2＋a＞2与b2＋b＞2不可能同时成立．……………………………………10分。

安徽铜陵2016届高三数学5月教学质量检测（理附答案）铜陵市一中2016届5月数学质量检测数学（理科）试题铜陵市一中考试中心数学命题组第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数满足，则A．B．C．D．2、已知集合，则A．B．C．D．3、对于任意的，定义，则（*）满足A．交换律B．结合律C．交换律、结合律都不满足D．交换律、结合律否满足4、已知，若，则实数的值是A．1B．6C．1或6D．1或-65、将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增6、一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为已知他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为A．B．C．D．57、如图程序框图运行后输出的结果为A．B．C．D．8、已知为椭圆的焦点，P点在C上，点为的中点（为原点），则椭圆的离心率为A．B．C．D．9、已知命题，命题，则A．命题是假命题B．命题是真命题C．命题是真命题D．命题是假命题10、如图一个几何体的三视图如右图所示，求此几何体的体积是A．B．16C．32D．4811、函数如图所示，则实数的值可能是A．B．C．D．12、函数是定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为“非减函数”，设函数在上为非减函数，且满足以下四个条件：（1）；（；2）（3），则A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.13、的展开式中的系数为（用数字填写答案）14、设向量为坐标原点，动点满足，则点构成图象的面积为15、在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球的体积为16、已知关于的方程有三个实数根，则的值为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）设数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和。

理科数学试题及答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数112m i i +++是实数，则实数m =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．22.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．52-B ．0C ．53D ．523.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ．若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p =（ ） A ．110 B ．215C ．16D ．154.已知双曲线221x y -=，点12,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +的值为（ ）A ．2 B． C． D．5.设123log 2,ln 2,5a b c -===，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<6.执行如图所示的程序框图，若输中k 的值为8，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．3?4S ≤B ．11?12S ≤C ．25?24S ≤D ．137?120S ≤ 7. ()()532x y x y -+的展开式中，42x y 的系数为（ ） A ．100 B ．120 C ．130 D ．1508.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．309.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0t =时，点A 的坐标是12⎛ ⎝⎭，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）A ．[]0,1B ．[]1,7C ．[]7,12D ．[]0,1和[]7,1210.已知命题1:p 设函数()()20f x ax bx c a =++>，且()12af =-，则()f x 在()0,2上必有零点；2:p 设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”的充分不必要条件． 则在命题()112212312:,:,:q p p q p p q p p ∨∧⌝∨和()412:p q p ∧⌝中，真命题是（ ） A ．13,q q B ．23,q q C ．14,q q D ．24,q q11.在ABC ∆中，090C ∠=，M 是BC 的中点，若1sin 3BAM ∠=，则sin BAC ∠=（ ）A ．3 B ．3 C ．23 D ．312.设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．()1,4C ．()2,3D ．()2,4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.若向量,a b 满足：()()(),2,a a b a a b b =+⊥+⊥，则b =_____________．14.已知()20sin x dx πϕ-=⎰，则sin 2ϕ=____________． 15.已知直三棱柱111ABC A B C -的各项点都在同一球面上，若012,120AB AC AA BAC ===∠=，则该球的表面积等于___________．16.已知函数()1212x f x kex x -=-+（k 为常数），曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与x 轴平行，则()f x 的单调递减区间为_____________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*1121,n n n a a S n N n++==∈． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．（1）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（2）若从甲部门中随机选取3人，用X 表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X 的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//,,1,2,AB DC AD DC AB AD DC SD E ⊥====为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC ．（1）证明：2SE EB =；（2）求二面角A DE C --的大小． 20.（本小题满分12分）已知()()0,1,0,1A B -是椭圆2212x y +=的两个顶点，过其右焦点F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，与y 轴交于P 点（异于,A B 两点），直线AC 与直线BD 交于Q 点． （1）当2CD =时，求直线l 的方程； （2）求证：OP OQ为定值．21.（本小题满分12分） （1）证明：当[]0,1x ∈时，sin 2x x x ≤≤； （2）若不等式()2222cos 42x ax x x x ++++≤对[]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，O 和O ' 相交于A B 、两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C D 、两点，连结DB 并延长交O 于点E ，已知3AC BD ==．（1）求AB AD 的值； （2）求线段AE 的长．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为152x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρθ=． （1）把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线；（2）若P 是直线l 上的一点，Q 是曲线C 上的一点，当PQ 取得最小值时，求P 的直角坐标．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()f x x a x b =-++的最小值为2． （1）求a b +的值；（2）证明：22a a +>与22b b +>不可能同时成立．参考答案一、选择题二、填空题 13.14.91615. 20π 16. (),0-∞ 三、解答题17. 解：（1）由12n n n a S n ++=，及11n n n a S S ++=-，得12n n n n S S S n++-=， 整理，得()121n n nS n S +=+，∴121n n S S n n +=+ ，又111S=，∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1），得12n nS n-=，∴()1*2n n S n n N -=∈ ， ∴01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++ ，①()12121222122n n n T n n -=⨯+⨯++-+ ，②由②-①，得()()211212222212112nn nn n n T n n n --=-+++++=-+=-+- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18. 解：（1）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取21045⨯=人． 记“至少有一人来自甲部门”为事件A ，则()343813114C P A C =-=．故至少有一人来自甲部门的概率为1314．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3．()()()()031221306464646433331010101013110,1,2,3301026C C C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============，∴X 的分布列为∴()1301233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19. 解：（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，则()()()()1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2A B C S ，∴()()()0,2,2,1,1,0,0,2,0SC BC DC =-=-=．设平面SBC 的法向量为(),,m a b c =，由,m m SC BC ⊥⊥ ，得00m SC m BC ⎧=⎨=⎩，设平面EDC 的法向量(),,n x y z =，由,n DE n DC ⊥⊥ ，得00n DE n DC ⎧=⎨=⎩，∴2011120xy z y λλλλλ⎧++=⎪+++⎨⎪=⎩，取()2,0,n λ=-．由平面EDC ⊥平面SBC ，得m n ⊥， ∴0m n = ，∴20λ-=，即2λ=．故2SE EB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1），知222,,333E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴222,,333DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，242,,333EC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴0EC DE =，∴EC DE ⊥．取DE 的中点F ，则111,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴211,,333FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴0FA DE =，∴FA DE ⊥．∴向量FA 与EC的夹角等于二面角A DE C --的平面角．而1cos ,2FA EC FA EC FA EC==-，故二面角A DE C --的大小为120°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20. 解：（1）由题设条件可知，直线l 的斜率一定存在，()1,0F ， 设直线l 的方程为()()101y k x k k =-≠≠±且，由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得()2222124220k x k x k +-+-=．设()()1122,,D ,C x y x y ，则22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，∴)22112k CD k +===+．由已知，得)221122k k +=+，解得k =故直线l 的方程为)12y x =-或()12y x =--，即10x -=或10x -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由()()1122,,,y C x y D x ，()()0,1,0,1A B -，得 直线AC 的方程为1111y y x x -=+，直线BD 的方程为2211y y x x +=-， 联立两条直线方程并消去x ，得()()21121111x y y y x y --=++． 由（1），知()()2211221212224221,1,,1212k k y k x y k x x x x x k k -=-=-+==++∴112112122112Q x y x y x x y x y x y x x ++-=-++，∴()()()12211212211212121222121222211222442121212x y x y x x kx x kx x x x kx x k x x x x k k k k k x x x x k k k ++-=-+-+-=-++--=-+-=-+-+++ ，()()()()1221121221122211221122211441212x y x y x x kx x kx x x x k k k x x x x k x x k x x k k -++=---++⎛⎫=-++=-+=--+- ⎪++⎝⎭，∴1Q y k =-，∴1,Q Q x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()0,P k -， ∴()10,,1Q OP OQ k x k ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故OP OQ为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21. 解：（1）记()sin 2F x x x =-，则()cos 2F x x '=-． 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，()F x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数； 当,14x π⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0F x <，()F x 在,14π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数． ∵()()00,10F F =>，∴当[]0,1x ∈时，()0F x ≥，即sin x x ≥． 记()sin H x x x =-，则当()0,1x ∈时，()cos 10H x x '=-<，∴()H x 在[]0,1上是减函数，∴()()00H x H ≤=，即sin x x ≤．[]sin ,0,1x x x x ≤≤∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）∵当[]0,1x ∈时，()()()()()()2222222222cos 4242sin 222242224x x x ax x x x a x x x x a x x x x a x ++++-=+++-+⎛⎫≤+++-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ∴当2a ≤-时，不等式()3222cos 42x ax x x x ++++≤，对[]0,1x ∈恒成立． 下面证明：当2a >-时，不等式()3222cos 42x ax x x x ++++≤对[]0,1x ∈不恒成立． ()()()()()()()()3322223322222cos 4242sin 222242sin 222233222223x x x ax x x x a x x x x x x a x x x a x x a x x x x a ++++-=+++-+⎛⎫≥+++-+=+-- ⎪⎝⎭⎡⎤≥+-=--+⎢⎥⎣⎦∴存在()00,1x ∈（例如0x 取23a +和12中的较小者）满足()320000022cos 402x ax x x x ++++->， 即当2a >-时，不等式()3222cos 402x ax x x x ++++-≤对[]0,1x ∈不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(],2-∞-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22. 解：（1）∵AC 切O ' 于A ，∴CAB ADB ∠=∠，同理ACB DAB ∠=∠，∴ACB DAB ∆∆ ， ∴AC AB AD BD=，即AC BD AB AD = ． ∵3AC BD ==，∴9AB AD = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵AD 切O 于A ，∴AED BAD ∠=∠，又ADE BDA ∠=∠，∴EAD ABD ∆∆ ， ∴AE AD AB BD=，即AE BD AB AD = ， 由（1）可知，AC BD AB AD = ，∴3AE AC ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23. 解：（1）由ρθ=，得2cos ρθ=，从而有22x y +=，∴(223x y +=．∴曲线C 是圆心为)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题设条件知，PQ QC PC +≥，当且仅当,,P Q C 三点共线时，等号成立，即PQ PC ≥-min min PQ PC =．设1,52P t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，又)C，则PC === 当1t =时，PC 取得最小值，从而PQ 也取得最小值，此时，点P 的直角坐标为92⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭- ………………………………………10分 24. 解：（1）∵0,0a b >>， ∴()()()f x x a x b x a x b a b a b a b =-++≥--+=--=+=+，∴()min f x a b =+．由题设条件知()min 2f x =，∴2a b +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）及基本不等式，得2a b ≤+=，∴1ab ≤．假设22a a +>与22b b +>同时成立，则由22a a +>及0a >，得1a >．同理1b >，∴1ab >，这与1ab ≤矛盾．故22a a +>与22b b +>不可能同时成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

2016—2017学年度第二学期高二理科数学05月份联考试卷时间：120分钟总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1. 若=，则x的值为（）A. 1或2B. 3或4C. 1或3D. 2或4【答案】D【解析】由得或，解得或，故选D．点睛：组合数，特别注意组合数性质：，在解组合数方程时要注意，否则易漏解．2. 已知向量，使成立的x与使成立的x分别为（）A. ，-6B. -，6C. -6，D. 6，-【答案】A【解析】，，，，故选A．点睛：设，则（1）存在实数，使，也即（分母均不为0时）；（2）．3. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D．4. 在(1-x)5-(1-x)6的展开式中，含x3的项的系数是（）A. -30B. 5C. -10D. 10【答案】D【解析】的系数为，故选D．5. 设,则（）A. B. C. 1025 D.【答案】A【解析】令得：，又，所以，故选A．点睛：涉及展开式中的系数和的问题，一般要用“赋值法”，对展开式两端的赋以同值，利用恒等关系确定系数和，如何赋值，要观察所示主和式的特征，发现差异，保证正确，常用技巧：（1）令字母（或）可求得所有项的系数和；（2）设，则为偶次项系数和，为奇次项系数和，常数项．6. 某学习小组、男女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数为（）A. 男2人，女6人B. 男3人，女5人C. 男5人，女3人D. 男6人，女2人【答案】B【解析】试题分析：设男生人数为，则女生人数为，由题意可知即，解得，所以男、女生人数为，故选B.考点：排列与组合.7. 以图中的8个点为顶点的三角形的个数是（）A. 56个B. 48个C. 45个D. 42个【答案】D【解析】.8. 一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球即取出的3个球中有2个是旧球1个新球，所以，故选C.考点：离散型随机变量及其分布列.9. 从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字的四位数，这个数不能被3整除的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】四位数有，能被3带除的有，因此不能被3带除的有，概率为．10. 如图，在四棱锥P-­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )A. B. C. D.。

2016届浙江高考5月考前模拟测试卷数 学(理科)姓名______________ 准考证号______________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页。

满分150分, 考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共40分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式： 球的表面积公式24πS R =球的体积公式343πV R =其中R 表示球的半径 柱体的体积公式 V =Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式()1213V h S S =+其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集R U =，集合}1ln |{2≤=x x P ，}4,0,tan sin |{⎥⎦⎤⎝⎛∈+==πx x x y y Q ，则Q P ⋃为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-222,eB ．⎥⎦⎤⎝⎛+-222,e C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛+222,0 D ．(]e ,02．对于数列}{n a ，“()⋅⋅⋅=<+,2,11n a a n n ”是“}{n a 为递减数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．必要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数的图象x y 3sin =，只需把函数)13sin(+=x y 的图象上所有的点 A ．向左平移1个单位长度 B ．向右平移1个单位长度 C ．向左平移31个单位长度 D ．向右平移31个单位长度 4．已知某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积和表面积分别为 A ．38，52226++B ．8，52226++ C ．8，54226++D ．38，54226++ 5．已知抛物线24x y =，过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点（点A 在第一象限），若直线l 的倾斜角为30 ，则||||AF BF 等于 A ．2 B ．32 C ．3 D ．526．如图，三棱锥P ABC -，已知⊥PA 面ABC ，1===AD CD BC ，设PD x =，θ=∠BPC ，记函数()f x 列表述正确的是A ．()f x 是关于x 的增函数B ．()f x 是关于x 的减函数C ．()f x 关于x 先递增后递减D ．关于x 先递减后递增7．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足狄利克雷函数()1,0,M x Mf x x M ∈⎧=⎨∉⎩(M 是R的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅ ,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．{}1C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知实数,,a b c 满足22211144a b c ++=，则22ab bc ca ++的取值范围是 A ．(,4]-∞B ．[4,4]-C ．[1,4]-D ．[2,4]-非选择题部分 (共110分)注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。