apt理论在我国证券市场实证研究

Apt 理论在我国证券市场实证研究——基于渐近主成分分析方法[内容摘要]在文章的第一部分简单介绍了APT 模型，并对APT 以及APT 实证分析中存在的一些不足进行简单地论述，然后介绍了渐近主成分分析法，在文章的第三部分对我国证券市场35只股票，运用渐近主成分分析法对单因子APT 模型、五因子APT 模型、十因子APT 模型进行实证分析，并与CAPM 以及他们相互之间进行比较研究[关键词]APT ；渐近主成分分析；拟合优度；公共因子 [中图分类号] F830.9 [文献标识码]A [文章编号]一、文献综述自从华尔街第一次革命——Markowitz 投资组合理论问世以来，现代金融经济学获得飞速发展，诺贝尔奖获得者Markowitz 的学生夏普在一般经济均衡的框架下，假定投资者都以均值-方差效应函数来进行投资决策，导出资本资产定价模型（简称CAPM ）。

自从夏普提出CAPM 以来，CAPM 被应用于各种投资决策，例如CAPM 的β被应用于度量各种风险证券或风险证券组合的系统风险。

但是CAPM 是一个单因子模型，并且还要求公共因子为有效的均衡市场组合的收益率，这一点无法检验。

于是罗斯提出了一个多因素模型用来取代CAPM 这个单因子模型对资产定价，这一模型称为套利定价理论（APT ），其具体假设及结论如下：假设有n 种风险证券，风险证券i 的收益率i r 受到l 个因素（或称为公共因子）的影响：11,2,li i ij j ij r a a f i n ε==++=∑ （1.1）其中j f 表示第j 个公共因子的值，由于在一般APT 模型中假定所有公共因子的均值为0，即()0,i E f =各个公共因子是相互独立的，即()0,1,2,1,2,i j E f f i l j l i j ===≠ ，在我们这篇文章中，对于公共因子的均值为0不作要求；(1,2,1,2)ij a i n j l == 表示风险证券i 对第j 个公共因子的敏感程度，或者称为第j 个公共因子对风险证券i 的收益率贡献，i ε为一系列随机“干扰”，其方差有限，即22()i i D εσσ=<，其中1,2i n = ，2()i i D εσ=称为风险证券i 的非系统风险，这一部分风险是风险证券所独有的，与其它证券无关，因此()0,i k E i k εε=≠，在进行投资组合选择时，非系统风险是可以规避的，同时，随机“干扰”和公共因子相互独立，即()0,i k E f ε=1,2,1,2i n k l == 。

当不存在渐近无套利机会时，那么对等式（1.1）两边求期望得到套利定价模型（APT ）如下：1()()1,2,li i ij j j E r a a E f i n ==+=∑ (1.2)由于APT 是一个多因子模型，其对因子的有效性没有要求，因此，在资产定价方面，APT 被认为是一个比CAPM 更好的替代模型。

但是APT 存在很大的不足，APT 的多因素模型是以假设的形式引进的，那么公共因子的筛选存在很大的困难，这一困难体现在两个方面，第一方面，尽管假设任意一种风险证券的收益率受到多方面因素的影响，但是具体受那些因素影响我们无从考证，因此当我们选择一些因素作为风险证券收益率的公共因子作回归分析时，就有可能存在伪回归问题；一般地在套利定价理论实证分析方面的文章中，一般事先人为地选择国民生产总值、货币供应量、利率、通货膨胀率等一些宏观经济变量作为公共因子，但是实证分析的结果和实际以及一些经济理论不符。

另一方面，即使我们知道哪些因素可能对某一风险证券存在影响，但是这些因素之间一般存在相关甚至共线关系，在用这些因素为自变量来解释风险证券收益率时有可能存在系数不稳定问题；当然，可以在这些因素中精选若干因素作为公共因子，但是这样处理存在两个问题，第一个问题精选的公共因子不一定能包括原来被选因素的绝大部分信息，第二个问题是公共因子的筛选工作量太大，例如假设有m 个因素对风险证券的收益率存在影响，那么在精选过程中，一共有121mj m mj C==-∑种可能，如果10m =，那么就需要筛选1023次，在实践中，m 往往大于10，那么计算量就更大。

针对因素筛选的问题，一般的解决办法是利用因子分析，因子分析是一类很好的降维方法，通过因子分析，可以将很多因素综合为少数几个公共因素，而且这些公共因素又包含原始因素的绝大部分信息，因此因素筛选的问题可以用因子分析法来进行解决；但是如何克服APT 的多因素模型是以假设的形式引进的这一缺陷，这方面的研究文章较少。

针对上面两个问题Connor 和Korajczyk （1986，1988）提出可以使用渐近主成分分析法（asymptotic principal components ，简记为APC ）来计算风险溢价。

在假定方程（1.1）多风险因素定价关系的风险结构不变以及各种资产对风险的敏感程度在统计期内也不变的条件下，这种技术可以对大量的股票样本进行分析，在下一部分就APC 进行简单介绍。

二、APC 方法介绍以及步骤为了方便起见，我们用矩阵形式来描述APT 模型，（1.1）用矩阵形式来表示如下：,1,2,t t t t r Er Bf t T ε=++= （1.3）（1.3）式中t r 为一个n 维列向量，表示这n 个风险资产在时刻t 的收益，t f 为一个l 维列向量，表示这l 个公共因子在时刻t 的值，t ε表示随机“干扰”向量在时刻t 的值，'(|)0,()t t t t E f E V εεε==。

第一步：计算'1n n T T R R n⨯Ω=，其中'n n n F R r e r =-，()n ij n T r r ⨯=为一个n T ⨯的矩阵，(1,2,1,2)ij r i n j T == 表示风险证券i 在时刻j 的收益率，'(1,1,1)n e = 表示一个n 维列向量，'(,,)F f f f r r r r = 为一个一个T 维列向量，f r 为无风险利率。

第二步：求T T ⨯Ω的特征值12,n λλλ ，其中12n λλλ≥≥≥ ，其对应的特征向量为12,n F F F ，以一定标准取前面l 个向量为列向量组成一矩阵12(,)l G F F F = ，一般情况下，以累计方差贡献率为标准。

第三步：以nR 为被解释向量，以G 为公共因子矩阵，作回归（包含一个常数向量），计算残差，用以估计V 的对角线的元素。

第四步：计算12*n n R VR -=，**'*1n n T T R R n⨯Ω=，重新估计特征向量矩阵***12,n F F F ，以及，以一定标准取前面l 个向量为列向量组成一矩阵****12(,)l G F F F = 。

第五步：以*n R 为被解释向量，以*G 为公共因子矩阵，重新作回归（包含一个常数向量），计算残差，用以估计*V 的对角线的元素。

一般情况下，样本量是足够大，以致*G 比G 没有太大的改进，因此在本文中，第四步以及第五步省略，由于'n n n F R r e r =-，'n n n F r R e r =+，因此第三步改为以nr 为被解释向量，以G 为公共因子矩阵，作回归计算残差，用以估计V 的对角线的元素。

从上面可以看出，利用Connor 和Korajczyk 提出的渐近主成分分析法（APC ）研究套利定价模型，存在以下优点：第一，无需事先选定因素，因此不存在多因素模型的先验性问题。

第二，公共因子的数据是根据风险证券收益率的最原始数据直接通过渐近主成分分析方法加工得到，因此，风险证券和公共因子之间存在线性关系是有根据的，从而使得多因素模型在理论上更加具有牢固的理论基础。

第三，公共因子的数据是根据风险证券收益率的最原始数据直接通过渐近主成分分析方法加工得到，它是对风险证券收益率的原始数据进行最佳综合和简化，保留了风险证券收益率的绝大部分原始信息，因此更加准确。

第四，通过渐近主成分分析方法得到的公共因子之间不存在线性相关性，并且公共因子和残差之间也不存在相关性。

从以上可以看出，用APC 方法来对APT 进行实证研究比前些方法更为合理。

三、实证分析我们从沪市选取江苏琼花、精工科技、科华生物、苏宁电器、七喜控股、武钢股份、马钢股份、广钢股份、宝钢股份、宁夏恒力、抚顺特钢、华夏银行、招商银行、民生银行、中信证券、空港股份、新黄浦、外高桥、招商地产、中粮地产、北京城建、陆家嘴、上海新梅、北京城乡、长江电力、涪陵电力等35只股票以及上证指数、深圳指数2005年8月15日至2007年8月13日的收盘复权价格(每只股票共463个数据，空缺数据用均值插补法补齐)，这35只股票涉及中小板块8家，钢铁板块7家，金融板块4家，房地产板块9家，电力板块7家，选取股票的方式基本上为选取这五个板块的股票号码靠前的几只股票，当然每个板块都包含股本大的股票以及股本小或者相对小的股票。

用,i t P 表示第i 种风险股票在时刻t 的价格，,1,,ln i t i t i t P r P +⎛⎫= ⎪⎝⎭表示第i 种股票在时刻t 的收益率，用,M t P 表示市场证券在时刻t 的价格，,1,,ln M t M tM t P r P +⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭表示市场证券在时刻t 的收益率,其中用沪市指数的收益率表示沪市市场证券的收益率，深市指数的收益率表示深市市场证券的收益率，无风险收益率为2005年4月发行的3年期国债的年利率（3.37%），收益率以百分之一为单位。

构造一个指数，其收益率为这35种股票收益率的平均值，该指数在2005年8月15日的“价格”为100，实际上，这样的指数很容易构造，其价格为所有股票价格的几何平均值除以基期所有股票价格的几何平均值再乘以100即可，这种指数记为EW 。

下面根据APC 方法的步骤，我们来进行实证分析。

第一步，公共因子及其贡献率。

由于收益率以百分之一为单位，并且样本数据较大，因此公共因子的特征值较大，第一个特征值竟达9981484.221，前面10个公共因子的特征值都大于20000，从第11个公共因子开始后面所有公共因子的特征值都小于20000。

公共因子变量和他们的特征值的散点图见图1。

从图1可以看出，前面5个公共因子的特征值变化比较明显，这5个公共因子的方差累计贡献率达到96.8%，也就是说这5个公共因子大约包含了原始数据96.8%的信息，因此用这5个公共因子作为APT 多因素模型中的公共因子在一般情况下是可行的；如果对APT 多因素模型的要求较高，前面10个公共因子基本上足够了，因为由前面10个公共因子构成的初始解中，他们的累计贡献率达98.4%；在所有的特征值中，第一个特征值的贡献率最大，它包含了原始数据的92.1%的信息，远远超出其他公共因子。