3.4不等式的实际应用

不等式在实际生活中有广泛的应用，下面列举几个常见的例子：
1.金融：不等式可以用来分析金融市场的风险和收益。

例如，可以使用不等式来估算
投资的最大损失，或者计算最小投资回报率。

2.公平竞赛：不等式可以用来保证公平竞赛的公正性。

例如，在体育竞赛中，可以使
用不等式来确定最多能够获得的奖励，以确保所有参赛者有同等的机会获胜。

3.保险：不等式可以用来分析保险公司的风险和收益，并确定保险费用。

例如，可以
使用不等式来估算保险公司的最大赔偿金额，或者计算最小保费收益率。

4.工程设计：不等式可以用来分析工程设计的安全性和可靠性。

例如，在建造高楼大
厦时，可以使用不等式来确定楼房的最大承载能力，以确保安全。

5.统计学：不等式可以用来分析数据的统计特征，例如求出数据的平均值和方差。

3.4不等式的实际应用学习目标：1、通过实际问题的情景，让学生掌握不等式的实际应用，掌握解决这类问题的一般步骤，2、让学生经历从实际情景中抽象出不等式模型的过程。

3、通过实例，让学生体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强学生的应用意识，提高他们的实践能力。

学习重点和难点：重点：不等式的实际应用难点：数学建模【预习达标】1.实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设 ，将量与量间的关系变成 或不等式组．2.实际问题中的每一个量都有其 ，必须充分注意定义域的变化．3.探究：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变 。

若一个假分数呢？试证明之。

【典例解析】例1.某工厂有一面14m 的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m 2的厂房。

工程条件是：①建1m 新墙的费用为a 元；②修1m 旧墙的费用为4a 元；③用拆去1m 旧墙所得的材料建1m 新墙的费用为2a 元。

现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x≥14)。

问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？例2.有纯农药一桶，倒出8升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28％.问桶的容积最大为多少？分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x 升第一次 ：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度xx 8- 第二次 ：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（x x 8-）4］， 中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的28％解答：学生完成。

例3．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少51，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．（1）设n 年内（本年度万第一年）总投入万a n 万元，旅游业总收入万b n 万元，写出a n 、b n 的表达式。

张喜林制3.4 不等式的实际应用教材知识检索考点知识清单1．在许多实际问题中，需要设 ，列 求解．2．解有关不等式的应用题时，首先要用 表示题中 ，然后由题中给出的 关系，列出关于未知数 ，解所列出的关于 ，写出要点核心解读1．在不等式的应用中建立不等式的主要途径(1)利用问题的几何意义；(2)利用判别式；(3)利用函数的有界性；(4)利用函数的单调性；(5)利用均值不等式等，只要建立起数学模型，问题就不难解决了．2．解答不等式应用题的一般步骤 解答不等式应用题，一般可分为如下四步：(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，我们要细心领悟商题的实际背景，分析各八量之间的关系，形成思路，想办法把实际问题抽象成数学模型。

(2)建立数学模型：根据题意，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系埘^便确立下一步的努力方向。

(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论和结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．(4)作出同题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论。

典例分类剖析考点1 作差法解决实际问题 命题规律(1)利用作差法原理，即b a b a >⇔>-0解决实际中的一些应用问题．(2)往往以“速度问题，提价、降价问题等”来考查运用作差法解决实际问题的能力．[例1] 现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A ，B 的底面积为,2a 高分别为a 和b ，C ，D 的底面积均为 ,2b 高分别为a 和b （其中a ≠b ）．现规定一种游戏规则：每人一次从四个容器中取两个．盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有几种？[解析】 依题可知A ，B ，C ，D 四个容器的容积分别为,3a .,,322b ab b a 按照游戏规则，问题可转化为比较两两容积和的大小．[答案] (1)A ，B 与C ，D)()()()(223223b a b b a a b ab b a a +-+=+-+,))((2b a b a +-=显然,0)(2>+b a 而a 与b 的大小不能确定，2))((b a b a +-∴的正负不能确定，即b a a 23+与32b ab +的大小不定． (2)A ，C 与B ，D)()()()(22223223b a b b a a b b a ab a +-+=+-+).)((22b a b a +-=由(1)知，仍是无法比较大小． (3)A ，D 与B ，C=+-+-+=+-+)())(()()(222233b a ab b ab a b a ab b a b a )()2)((22b a b ab a b a +=+-+ 222))(()2(b a b a b ab a -+=+-又因.0))((,0,0,2>-+∴>>=/b a b a b a b a即.2233ab b a b a +>+综上，先取A ．D 是唯一必胜的方案．[方法技巧] (1)由本题可以得到如下结论：已知),,0(,,+∞∈=/b a b a 那么,2233ab b a b a +>+此式可等价于.22b a a b ba +>+ (2)此题解法用到分类讨论的思想，使用这种思想时，先确定分类标准，再列出各情况，必须做到不重不漏．母题迁移 1．在春节期间有甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？ 考点2 一元二次不等式在实际中的应用命题规律(1)利用一元二次不等式解决实际应用中的问题。

初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例数学不等式作为初中数学中的一个重要内容，不仅有理论的意义，还有实际的应用。

本文将从实际问题的角度出发，给出一些初中数学不等式在解决实际问题中的应用案例，以展示不等式在实际生活中的重要性。

一、物品购买问题假设小明去商店买口红，他现在有300元的预算，一支口红的价格是x元。

根据经验，我们知道在购买同款口红时，价格越高，质量越好。

但是小明想要在预算范围内选择质量尽可能好的口红。

这个问题可以用不等式进行求解。

首先，我们可以列出不等式：x ≤ 300，其中x为口红的价格。

由于小明希望选择质量尽可能好的口红，根据经验可以假设价格与质量成正比。

因此，价格越高，质量越好。

所以，通过解不等式，我们可以得到小明预算范围内，价格越高的口红质量越好。

通过这个案例，我们可以看到不等式在物品购买问题中的应用。

二、年龄差问题在生活中，经常会遇到解决年龄差不等式的问题。

例如，小明比小红大5岁，小红比小白大3岁，请问小明和小白的年龄差是多少？假设小明的年龄为x岁，则小红的年龄为x-5岁，小白的年龄为x-5-3岁，即x-8岁。

根据题目的条件，我们可以列出不等式：(x-5) - (x-8) ≥ 0简化该不等式，我们可以得到：x - 5 - x + 8 ≥ 0化简后得到：3 ≥ 0这个不等式恒成立，说明小明和小白的年龄差是大于等于0的。

通过这个简单的案例，我们可以看到不等式在解决年龄差问题中的应用。

三、角度问题在几何学中，不等式可以用来描述角度之间的关系。

例如，给定一个三角形ABC，角A的度数是x，角B的度数是2x，角C的度数是3x。

我们需要找出x的取值范围，使得三角形ABC为锐角三角形。

根据角度的性质，我们知道锐角的度数是小于90度的。

因此，我们可以列出不等式：x < 90由于角A、角B、角C是三角形的三个内角，所以它们的和应该等于180度。

根据题目的条件，我们可以列出等式：x + 2x + 3x = 180简化该等式，我们得到：6x = 180解方程得到x = 30。

高二数学高效课堂资料课题： 3.4 不等式的实际应用编写人：王秀梅教学目标：1．通过具体问题的探究，了解不等式(组)产生的实际背景，掌握解决实际问题的一般程序和一些典型实际问题的解法．2．通过具体问题的分析解决，提高学生分析问题和解决问题的能力．认识不等式的优化思想．3．通过对生活中熟悉的实际问题的解决，激发学生学习的热情．培养学生严肃认真的科学态度，同时感受数学的应用性．重点难点：教学重点：培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．掌握一些典型实际问题的解法．教学难点：用不等式(组)表示实际问题中的数量关系．教学方法：……教学过程：一、导入新课思路 1.(直接引入)许多实际问题，通过设未知数将其数学化，便可以应用不等式的知识求解．本节我们将用不等式的知识来探究一些实际问题．思路 2.(章头图引入)章头插图的人造卫星，高低不一的雄伟大楼的壮观画面，它将我们带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然中．使学生在具体情境中感受到不等关系的大量存在．那么我们怎样用不等式的知识表示实际问题呢？由此进入新课．二、形成概念提出问题回忆本章第一节所学，怎样利用不等式表示不等关系？解决实际问题的一般程序是什么？我们都学习了不等式的哪些性质？三、概念深化活动：教师利用多媒体演示章头图的画面．引导学生回忆前面所学，对现实世界中普遍存在的不等关系，怎样用数学式子表示出来，并从理性的角度去思考、去分析．我们在考察事物之间的数量关系时，经常要对数量的大小进行比较，如每个家庭食品消费额的年平均增长率至多至少问题，容器的容积最大问题，商品的最高最低定价问题等．这些问题的解决都需用不等式的知识．接着教师引导学生回忆前面学过的不等式的性质，以及如何用数学知识解决实际问题．讨论结果：(1)(3)略．(2)解决实际问题的一般程序是：设出未知数，分析数量间的关系，列出方程或不等式，解决这个数学问题．其中的关键是建立不等式模型，即根据题意找出常量与变量之间的不等关系．四、应用例1(教材本节例1)活动：教师引导学生将题目中的窗户面积和占地面积用字母a、b表示出来，再用字母m表示出窗户和占地所增加的面积．这样只要比较增加前和增加后窗户的总面积与占地面积的比值的大小，即可作出正确的判断．点评：由本例可得出一般结论：设a＞0，b＞0，且a＜b，m＞0，则a＋mb＋m＞ab.变式训练某种商品原来定价为每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成(即x10，0＜x≤10)，每月卖出数量减少y成，而售货金额变成原来的z倍．若y＝23x，求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围．解：依题意涨价后的售货金额为npz＝p(1＋x10)·n·(1－y10)．由售货金额比原来有所增加，则np(1＋x10)(1－y10)＞np.∵n＞0，p＞0，y＝23x，∴(1＋x10)(1－115x)＞1.整理得x2－5x＜0，解这个一元二次不等式，得0＜x＜5.又∵0＜x≤10，∴0＜x＜5.故x的取值范围是{x|0＜x＜5}.例2(教材本节例2)活动：教师引导学生理清问题的情境，并尝试着用数学语言将其表示出来．这是所有实际问题使学生感到困惑的地方．如本例中教师引导学生分析：若桶的容积为x升，那么第一次倒出8升纯农药后再用水加满，这时桶内纯农药药液占容积的x－8x.同样第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药药液为4·x－8x，此时桶内还有纯农药药液[(x－8)－－x]升．这样，问题就很自然地转化为一个数学不等式问题．点评：学生或许熟悉解决实际问题的一般步骤或者一般程序，但解决问题的重点应放在怎样选用合适的字母表示出题中给出的不等量关系，进而列出关于未知数的不等式(组)．注意文字语言和符号语言的转换.变式训练一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系：y＝－2x2＋220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6 000元以上，那么他在一星期内大约应该生产多少辆摩托车？活动：本例设在一星期内大约应该生产x辆摩托车，则可得一元二次不等式x2－110x＋3 000＜0，解这个一元二次不等式即可．解：设在一星期内大约应该生产x辆摩托车．根据题意，能得到－2x2＋220x＞6 000.移项、整理，得x2－110x＋3 000＜0.因为Δ＝100＞0，所以方程x2－110x＋3 000＝0有两个实数根x1＝50，x2＝60，然后，画出二次函数y＝x2－110x＋3 000，由图象得不等式的解集为{x|50＜x＜60}．因为x只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51到59辆之间时，这家工厂能够获得 6 000元以上的收益.例3(教材本节例3)活动：根据上例，教师引导学生将这个实际问题转化为数学问题：(1)设出食品消费额的年平均增长率为x(x＞0)，(2)到2005年的食品消费额为0.6(1＋x)2(万元)，(3)消费支出总额为1＋2×0.3＝1.6(万元)．这样根据恩格尔系数η的计算公式η＝食品消费额消费支出总额×100%，就很容易列出不等式了．点评：本题采用了“化整为零”的办法，即逐条分析转化．对此类问题的解决，应注意将一个大问题化成若干个小问题的思维习惯，不要被问题的表面形式所迷惑.变式训练国家计划以 2 400元/t的价格收购某种农产品m t，按规定，农民向国家纳税为每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)，为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.活动：本例是一道实际应用题，其关键是把文字语言转化为数学语言：(1)“税率降低x个百分点”，即调低后税率为(8－x)%；(2)“收购量能增加2x个百分点”，这时总收购价为2 400m(1＋2x%)元；(3)“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，“税收总收入”≥ 2 400m×8%×78%.解：设税率调低后的“税收总收入”为y元．根据题意，得y＝2 400m(1＋2x%)(8－x)%＝－1225m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)．∴y≥2 400m×8%×78%，即－1225m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%.∴ｘ2＋42x－88≤0.解这个一元二次不等式，得－44≤x≤2.又∵0＜x≤8，∴0＜x≤2.五、随堂练习某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝120x＋1180x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h) 解：设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h，根据题意，得120x＋1180x2＞39.5，移项、整理，得x2＋9x－7 110＞0.因为Δ＞0，方程x2＋9x－7 110＝0有两个实数根，即x1≈－88.94，x2≈79.94.然后，画出二次函数y＝x2＋9x－7 110，由图象得不等式的解集为{x|x＜－88.94或x ＞79.94}．在这个实际问题中x＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.六、课堂小结1．由学生自己理顺整合本节所学知识方法，归纳总结利用不等式解决实际问题的方法步骤，感悟突破难点的探究过程．2．教师进一步强调，解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数．再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．然后解所列的不等式(组)，最后再结合问题的实际意义写出答案．七、作业习题3—4A组1～4；习题3—4B组1.。

3.4不等式的实际应用一．知识点1.如何比较两数大小：2.均值不等式求最值：3.一元二次不等式解法：4.读题：二．典例分析例1．一般情况下，建筑民用住宅时。

民用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？例2．由纯农药药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？例3．根据某乡镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭年平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元。

预测2003年后，每户家庭年平均消费支出总额每年增加3000元，如果2005年该乡镇居民生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数n满足条件40%<n≤50%），试问这个乡镇每户食品消费额平均每年的增长率至多是多少？（精确到0.1）例4某工厂有一面14m的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房。

工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为4a元；③用拆去1m旧墙所得的材料建1m新墙的费用为2a元。

现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x≥14)。

问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？三．课后练习1用一张钢板制作一个容积为4m3的无盖长方体水箱，可以用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如各选项所示，单位均为m）。

若既要够用，分割的块数不超过5，又要所剩最少，则应选择的钢板的规格是（）Ａ．2×5 Ｂ．2×5.5 Ｃ．2×6.1 Ｄ．3×52光线透过一块玻璃，其强度要减弱101，要使光线的强度减弱到原来的31以下，至少需要这样的玻璃板__________块（lg2=0.3010,lg3=0.4771）．3、某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本。

3.4不等式的实际应用一、选择题(每题5分，共20分)1．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x，运输费用y 2＝k 2x 把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45， 故总费用y ＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8， 当且仅当20x ＝45x 即x ＝5时等号成立． 【答案】 A2．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户，为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而又不大于总投资的15%，则给储户的回扣率最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20% 【解析】 设给储户的回扣率为x ，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧0.4×0.1＋0.6×0.35－x ≥0.10.4×0.1＋0.6×0.35－x ≤0.15， 解得0.1≤x ≤0.15，故x 的最小值是0.1＝10%.【答案】 B3．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天【解析】 日平均耗资为3 2000＋n ·12·⎝⎛⎭⎫5＋n ＋4910n＝3 2000n ＋n 20＋9920≥2 3 2000n ·n 20＋9920＝80＋9920，当且仅当3 2000n ＝n 20，即n ＝800时取等号． 【答案】 B4．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A ．85 cm 2B ．610 cm 2C ．355 cm 2D ．20 cm 2【解析】 设三角形各边长为x 、y 、z ，且x 、y 、z ∈N ＋，则x ＋y ＋z ＝20.由于在周长一定的三角形中，各边长越接近的三角形面积越大，于是当三边长为7 cm 、7 cm 、6 cm 时面积最大，则S △＝12×6×72－32＝610(cm 2)，故选B.【答案】 B二、填空题(每题5分，共10分)5．建造一个容积为8 m 2，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．【解析】 设池底长x m ，则宽4xm ， 总造价y ＝(4x ＋16x)×80＋4×120 ≥24x ·16x×80＋480＝1 760， 当且仅当4x ＝16x即x ＝2时等号成立． 【答案】 1 7606．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价格24 000元，为了减少耕地损失，决定以每年损失耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t 的取值范围是____． 【解析】 由题意得(20－52t )×2 4000×t %≥9 000， 化简得t 2－8t ＋15≤0解得3≤t ≤5.【答案】 3≤t ≤5三、解答题(每题10分，共20分)7．某工厂建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1 200元/m 2，房屋侧面的造价为800元/m 2，屋顶的造价为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是多少元？【解析】 设房子的长为x m ，宽为y m ，总造价为t 元，则xy ＝12.t ＝3x ·1 200＋3y ·800·2＋5 800＝1 200(3x ＋4y )＋5 800≥1 200·212xy ＋5 800＝34600(当且仅当3x ＝4y 时取等号)．故最低总造价是34 600元．8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于(v 20)2 km ，那么这批物资全部安全到达灾区，最少需要多少小时？ 【解析】 第一辆汽车到达用400v h ，由题意每隔(v 20)2v h 到达一辆汽车， ∴400v ＋25×(v 20)2v ＝400v ＋v 16≥2400v ×v 16＝10(h)， 当且仅当400v ＝v 16，v ＝80 km/h 时取等号． ∴每辆汽车以80 km/h 的速度行驶，最少需10 h 这批物资全部安全到达灾区．9．(10分)工厂对某种原料的全年需要量是Q 吨．为保证生产，又节省开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购买．已知每次订购费用是a 元．又年保管费用率是p ，它与每次购进的数量(x 吨)及全年保管费(S 元)之间的关系是S ＝12px .问全年订购多少次才能使订购费与保管费用之和最少？并求这个最少费用的和(为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数)．【解析】 设每次购进的数量为x 吨，则全年定购费用＝a ·Q x ，全年保管费S ＝12px ， 定购费与保管费之和y ＝a ·Q x ＋12px . 由于a ·Q x ＋12px ≥212paQ ＝2paQ ， 当且仅当a ·Q x ＝12px ，即x ＝2aQp p时取等号， 即最优批量订购数为x 0＝2aQp p(吨)， 最小费用数为y min ＝2paQ (元)，全年最佳定购次数n ＝Q x 0＝2paQ 2a(次)． 故全年订购2paQ 2a次，才能使全年的订购费用与保管费用之和最少，最少费用为2paQ 元．高$考じ试(题╬库。

不等式的实际问题应用不等式是数学中常见的概念，它描述了两个数之间的关系。

在实际生活中，不等式可以应用于各种问题中，尤其是涉及到数量的大小比较和范围限定的情况。

本文将围绕不等式的实际问题应用展开论述，不仅仅是理论的介绍，而是通过具体实例分析，以期读者能更好地理解不等式在实际中的应用。

小节一: 数量的大小比较在日常生活中，我们经常遇到需要比较两个数量大小的情况。

不等式给予了我们一种工具，能够简洁又准确地描述这种关系。

例如，在购物时我们经常会遇到各种打折活动，商家会用不等式来表示实际价格与原价之间的关系。

假设原价为P，折扣为d，我们可以用不等式来表示打折后的价格P'与原价之间的关系: P' ≤ P。

这个不等式告诉我们，打折后的价格不会超过原价，而是小于等于原价。

小节二: 范围限定不等式也可以用来限定某个变量的取值范围。

在各种问题中，我们常常需要找到满足一定条件的解，而不等式可以帮助我们找出这些解。

例如，在线购票过程中，铁路公司会限定购票人年龄的范围。

假设最小年龄为A，最大年龄为B，我们可以用不等式来表示购票人年龄x的范围: A ≤ x ≤ B。

这个不等式告诉我们，购票人的年龄必须在A和B之间。

小节三: 实际问题分析除了以上例子外，不等式还可以应用于更复杂的实际问题中。

例如，假设我们有一块长方形的地块，其中一边已经被修建了围墙。

现在我们想要在地块内部修建一个游泳池，而且我们希望游泳池的面积尽可能大。

其中一个限制条件是，游泳池的一边必须与已修建的围墙平行。

假设围墙的长度为L，地块的另一边的长度为W，我们可以用不等式来表示游泳池的面积S与L、W之间的关系: S ≤ L * W。

这个不等式告诉我们，游泳池的面积不能超过地块的面积。

又如，假设我们要购买月饼作为礼物送给朋友，每盒月饼的重量为W，而我们手头的预算为B。

我们希望购买的月饼盒数尽可能多，但是不能超过预算。

我们可以用不等式来表示月饼盒数n与W、B之间的关系: W * n ≤ B。

不等式在生活中的应用不等式是数学中的一个重要概念，它是描述两个数之间大小关系的一种表示方法。

在生活中，不等式也有着广泛的应用。

本文将从不等式的基本概念、不等式在生活中的应用以及如何解决实际问题等方面进行探讨。

一、不等式的基本概念不等式是指两个数之间的大小关系，用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等表示。

其中，“<”表示小于，例如“a < b”表示a比b小；“>”表示大于，例如“a > b”表示a比b大；“≤”表示小于等于，例如“a ≤ b”表示a不大于b；“≥”表示大于等于，例如“a ≥ b”表示a不小于b。

在不等式中，常常涉及到一些变量。

变量是指可以取不同值的数，例如“x”可以取任何实数。

因此，在不等式中，可以使用变量表示未知数，例如“x < 5”表示x小于5。

二、不等式在生活中的应用1. 经济学中的应用不等式在经济学中有着广泛的应用。

例如，在制定物价政策时，政府需要考虑到生产成本、消费者需求和市场竞争等因素，从而确定商品的价格。

这些因素之间的关系可以用不等式来表示和分析。

另外，在投资和理财中，人们也需要考虑到不同的利率、收益率和风险等因素，从而确定投资的方向和策略。

这些因素之间的关系同样可以用不等式来表示和分析。

2. 物理学中的应用不等式在物理学中也有着广泛的应用。

例如，在运动学中，人们需要考虑到速度、加速度和时间等因素，从而确定物体的运动状态。

这些因素之间的关系可以用不等式来表示和分析。

另外，在力学中，人们需要考虑到物体的质量、重力和弹性等因素，从而确定物体的运动状态和受力情况。

这些因素之间的关系同样可以用不等式来表示和分析。

3. 生活中的应用不等式在生活中也有着广泛的应用。

例如，在购物时，人们需要考虑到商品的价格和自己的购买力等因素，从而确定购买的数量和品种。

这些因素之间的关系可以用不等式来表示和分析。

另外，在健康管理中，人们需要考虑到身体的体重、身高和健康指数等因素，从而确定自己的身体状况和健康状态。

不等式的解法及其实际问题应用数学是一门重要的学科，也是中学阶段学生们需要认真学习的一门科目。

在数学中，不等式是一个重要的概念，它不仅在数学理论中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着重要的作用。

本文将介绍不等式的解法以及其在实际问题中的应用。

一、不等式的解法不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数值之间的大小关系。

解不等式的方法主要有以下几种：1. 图形法：对于简单的不等式，我们可以通过绘制数轴和图形来解决。

例如，对于不等式x + 2 > 5，我们可以在数轴上标出点5，并将其标记为开放圆点，然后将数轴分为两个区域，分别代表x + 2小于5和x + 2大于5的情况。

最后，我们可以确定x的取值范围。

2. 代入法：对于一些复杂的不等式，我们可以通过代入一些特定的值来解决。

例如，对于不等式2x + 3 > 7，我们可以尝试将x取值为1、2、3等，然后判断不等式是否成立。

通过多次尝试，我们可以确定x的取值范围。

3. 分析法：对于一些特殊的不等式，我们可以通过分析不等式的性质来解决。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为(x - 1)(x - 3) > 0的形式，并分析二次函数的图像，最后确定x的取值范围。

二、不等式在实际问题中的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决许多实际生活中的大小关系问题。

以下是一些例子：1. 金融领域：在金融领域中，不等式可以帮助我们解决利率、投资收益等问题。

例如，如果一个银行的年利率为5%，我们可以通过不等式来计算在一定时间内的投资收益是否超过了一定的阈值。

2. 生活消费：在日常生活中，我们经常会面临各种消费问题，例如购物、旅行等。

不等式可以帮助我们解决这些问题。

例如，如果我们想要购买一件衣服，但是预算有限，我们可以通过不等式来确定我们能够购买的价格范围。

3. 生活健康：不等式也可以在生活健康方面发挥作用。

例如，我们知道每天的饮食摄入应该控制在一定的范围内，不等式可以帮助我们判断我们的摄入是否合理。

不等式在实际问题中的应用不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题中起着重要的作用。

不等式的应用范围广泛，涉及到经济、生活、科学等各个领域。

本文将从几个实际问题出发，探讨不等式在解决这些问题中的应用。

一、经济领域中的不等式应用在经济领域中，不等式常常被用来描述资源的分配情况和经济收入的差距。

以收入分配为例，我们可以通过不等式来描述不同社会群体之间的收入差距。

假设有两个家庭A和B，家庭A的年收入为X元，家庭B的年收入为Y元，且X<Y。

我们可以用不等式X<Y来表示家庭B的收入高于家庭A。

这样的不等式可以帮助我们分析收入差距的大小，为政府制定相关政策提供参考。

二、生活中的不等式应用在日常生活中，不等式也有着广泛的应用。

以购物打折为例，商场经常会推出各种促销活动，如打折、满减等。

假设某商场推出了一种打折活动，商品原价为P 元，现在打折后的价格为Q元，且Q<P。

我们可以用不等式Q<P来表示商品打折后的价格低于原价。

通过不等式，我们可以判断打折力度的大小，从而决定是否购买。

三、科学领域中的不等式应用在科学研究中，不等式也有着重要的应用。

以生态学为例，生态系统中的物种数量和资源之间存在着一定的关系。

假设某个生态系统中的物种数量为N，资源的供给量为R，且N<R。

我们可以用不等式N<R来表示资源供给量不足以支撑物种的数量。

通过不等式，我们可以分析生态系统的平衡状态，为保护生物多样性提供科学依据。

四、教育领域中的不等式应用在教育领域中，不等式也被广泛应用于学生的成绩评价和升学选拔。

以高考为例，学生的分数通常通过不等式来进行排名和选拔。

假设某个学校有N个学生，他们的总分从高到低依次为S1、S2、...、SN，且S1>S2>...>SN。

我们可以用不等式S1>S2>...>SN来表示学生之间的成绩差距。

通过不等式，学校可以根据学生的成绩进行排名，为升学选拔提供依据。

1 3.4 不等式的实际应用
1．能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题，能运用不等式的知识和
方法解决常见的实际问题(如比较大小，确定范围，求最值等)．
2．了解如何建立数学模型，体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数
学意识和情感态度．
1．例题中的结论
若b ＞a ＞0，m ＞0，则a ＋m b ＋m >a b
． 另外，若a >b >0，m >0时，则有
a ＋m
b ＋m <a b 成立． 【做一做】 已知a ，b 是正数，试比较21a ＋1b 与ab 的大小． 解：∵a >0，b >0，
∴1a ＋1b ≥21
ab >0． ∴21a ＋1b ≤22
1ab ＝ab ． 即2
1a ＋1
b
≤ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)． 2．不等式解决实际问题的步骤
(1)设未知数：用字母表示题中的未知数．
(2)列不等式(组)：找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)解不等式(组)：运用不等式知识求解不等式，同时要注意未知数在实际问题中的取值范围．
(4)答：规范地写出答案．
归纳总结：
在解决实际应用问题时，首先要学会正确地梳理数据，从而为寻找数据之间的关系奠定良好的基础，进而建立起相应的能反映问题实质的数学结构，构建数学模型，再利用不等式求解，即解实际应用题的思路为：。

不等式（组）在实际生活中的应用在现实生活中，不等式及不等式组是数学中的重要概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。

本文将以实际生活为切入点，介绍不等式（组）在实际生活中的应用。

无需写标题，直接进入正文。

首先，不等式在经济领域中扮演着重要的角色。

在货币流通中，不等式可以用于描述收入和支出之间的关系。

例如，一个家庭的月收入为x元，月支出为y元，可以通过不等式x>y来表示这个家庭的月结余是否为正值。

如果月结余为负，就说明家庭支出超过了收入，需要采取措施进行调整。

不等式在经济决策、投资规划等方面也有重要应用，帮助人们做出合理的财务安排。

其次，不等式在教育领域中起到了至关重要的作用。

在学生的学习中，我们常常用不等式来比较他们的成绩和目标成绩之间的关系。

例如，某位学生的期末考试成绩为x分，他的目标是在下一次考试中取得至少y分。

我们可以利用不等式x≥y来表示该学生是否能达到预期目标。

通过不等式的运算，学生可以清晰地了解自己的学习进展，并根据不等式的结果来制定相应的学习计划。

第三，不等式在生活中的分配问题中也存在着广泛应用。

举个例子，现假设某公司计划从甲、乙两个员工中选择一位升职，升职的标准是工作年限不少于x年。

甲的工作年限为a年，乙的工作年限为b 年，可以通过不等式a≥x和b≥x来判断哪个员工符合升职要求。

根据不等式的结果，公司可以公正地做出决策，避免主观因素的干扰。

最后，不等式在科学领域的模型建立和问题求解中起到了重要的支撑作用。

例如，在物理学中，不等式可以描述物体的运动速度和位置之间的关系。

经济学、生态学、工程学等其他学科中也常常会运用不等式来建立模型，解决实际问题。

不等式的应用帮助科学家更好地理解和探索自然规律，为人类社会的发展提供了基础。

综上所述，不等式（组）在实际生活中有许多应用。

无论是经济领域的财务规划，教育领域的学习进展，还是生活中的公正分配，不等式都发挥着重要的作用。

此外，科学领域的模型建立和问题求解也需要借助不等式的力量。