第三章第二节包装件的简谐振动

x xm sin pt
所以易损部件系统对产品激励下的响应
x xsm sin pt s
式中：xsm 是易损部件稳态强迫振动的振幅 放大系数βs是易损部件系统的传递率
s
1
2 s
1 4 s2 s2
2
4 s2 s2
其中 s
2 2 2

2 s
4
0
40 2 2 s2 1 4 s2 s2
2 0 s

2
0

2 s
4
2 s
20 1
2 s
2 s
2
s
2
0

2 s 2 s
2
将xsm H s ym 代入位移方程得
二、包装件简谐振动的两级估算法
例：有一包装件，产品衬垫系统的固有频率 fm = 40Hz，阻 尼比 0.25 。易损部件系统固有频率为 fsm = 80Hz ，阻尼 比 0.01 。用二级估算法绘制易损部件对振动环境的幅频 特性曲线。 解：产品衬垫系统的放大系数为：

1 4 0.252 2
由图中可以看出： • 易损部件第一次共振发 生在 f = 40Hz时，第一次 的放大系数H1 = 2.98； • 易损部件第二次共振发 生在 f = 80Hz时，第二次 的放大系数H2 = 22.4； • 图中用虚线分别绘出了产品衬垫系统和易损部件系统的 幅频曲线β— f 和βs— f ，只要将这两条曲线上相同频率点 的纵坐标相乘，就得到耦合后幅频曲线H( f )— f上对应点的 纵坐标。
s
f f sm
二、包装件简谐振动的两级估算法
• 易损部件系统对振动环境的第一次共振 由上个例题得知，第一次共振发生在 f = fm 时，此时λ=1 产品衬垫系统的放大系数为 xm 1 4 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 ym 4 1 4 易损部件系统的频率比 为：
2 2 1 4 0.25 2 2
f 40
易损部件系统的放大系数为：
s
1 4 0.012 s2
2 2 1 4 0.01 s 2 s 2
f s 80
二、包装件简谐振动的两级估算法 由 H f s 可画出其幅频特性曲线如图
二、包装件简谐振动的两级估算法
对于包装件来说，运输工具的振动就是振动环境，设振动 环境为简谐振动，即输入激励为：
y ym sin pt
x xm sin pt 式中： xm 是物块稳态强迫振动的振幅
放大系数β是产品衬垫系统的传递率
这时产品—衬垫系统的响应就是
xm ym
p
所以 相位角
xsm s xm
s

f f sm
2 s s3 tan s 1 s2 4 s2 s2
二、包装件简谐振动的两级估算法
将产品—衬垫系统对振动环境的响应振幅 xm ym 代入易 损部件系统的响应振幅 xsm s xm 中，得 令 H f s 得到易损部件系统对振动环境的响应的最
二、包装件简谐振动的两级估算法
• 由于产品与易损件之间 存在耦合（作用与反作 用）关系，因此易损件的 放大系数的推导相当复 杂。 • 当产品质量m远远大于易 损部件质量ms时（ms＜＜ m），不计零件对产品的反 作用，只考虑产品对零件 的作用，就可以将包装件 分解成两个单自由度系 统。这种方法叫做两级估 算法。

一、用二自由度模型分析包装件的简谐振动
当（ms＜＜m） 时，
s2 2
2 1n 2 2n
ms 0 m
，上式可化简为
2 s 2
2 2 2 1 1 2 s2 s
1 4 2 2 (1 2 )2 4 2 2 ym
xm
2 3 相位差 tan 1 2 4 2 2
f 其中 fm
p

n

二、包装件简谐振动的两级估算法
将产品对振动环境的响应作为易损部件系统的激励，可见 也是简谐振动，为：
二、包装件简谐振动的两级估算法
按照线性假设，产品衬垫系统的固有频率与阻尼 比分别为：
1 fm 2 2
k m c c 2m 2 km
易损部件系统的固有频率与阻尼比分别为： s 1 ks f sm 2 2 ms
cs cs s 2mss 2 k s ms
xs xsm sin pt s H s ym sin pt s
对位移方程进行二次求导，可得到易损件的响应加速度—时 xs H s ym p 2 sin pt s 间函数
xsm H s ym p 2
一、用二自由度模型分析包装件的简谐振动
一、用二自由度模型分析包装件的简谐振动
• 易损件的稳态振幅和放大系数 设外部激励为简谐振动： y ym sin pt 根据“二自由度支座运动系统的有阻尼受迫振动”的分析，得 到易损件的稳态振动位移方程为 xs xsm sin pt s 最大振幅为 xsm ym k C p
易损件—产品 支座运动系统
产品—缓冲衬垫 支座运动系统
二、包装件简谐振动的两级估算法
两级估算法： • 第一步：应用有阻尼单自由度系统受迫振动理论 分析产品对振动环境的响应； • 第二步：用产品对振动环境的响应作为激励来分 析易损件对产品激励的响应； • 第三步：将前两步的结论进行耦合，可以得出易 损部件对振动环境的响应。

0 0
2
0

2
2 0
2 0

2 0 2 0
2
2
2
0
2 2 s 0
2
2
2
2
2
0
0
s
0
0
2 0
2
s
0
2
2 2 s 0 2 0
2
2
0
s
s
0
一、用二自由度模型分析包装件的简谐振动
• 当 s
H s2
p
s
1 时

4 0
4
0
40 2 2 1 4 s2
2
作业
1、有一包装件，产品质量 m = 10kg，产品衬垫系统的固有 频率 fn = 25Hz，阻尼比 0.25，易损零件质量 ms = 0.45kg， 产品衬垫系统的固有频率 fsm = 78Hz，阻尼比 s 0.02 。这个 包装件采用汽车运输，汽车振动的频率 f = 1～100Hz，加速 ym 3.5 g ，请用二自由度模型试求：易损零件两次共 度峰值 振时的加速度峰值。
对外部激励简谐振动方程 y ym sin pt 求二次导数得
y ym p 2 sin pt
所以得
xsm H s ym p 2 Hs 2 ym ym p
• 包装件的固有频率 根据“二自由度支座运动系统的有阻尼受迫振动”的分析，得 包装件系统有两个固有频率
2 k ks ks kks 1 k ks ks 4 mms 2 m ms m m ms m 2 1n 2 2n 2 ks ms kms ms kms kms 1 1 4 m ks m m ks m ks m 2ms
2 2 2
c2 d 2 u 2 v2
2
放大系数为 其中
c ks
x H s sm ym
c2 d 2 k C p u 2 v2
2 2
u k mp 2 k s ms p 2 k s ms CCs p 2 v Cp ks ms p 2 Cs p k mp 2 ms p 2
2 2 2 2 1 1 2 4 2 s2 s s
1 2 2 2 1 2 2 2 s 1 2 1 2 s 2 2 s 2 s 2 s 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 s s s 2 2 2 s s 2
d Cs p
一、用二自由度模型分析包装件的简谐振动
将 2
k k s2 s ms m

ms p 0 s m s s

C 2 km
s
Cs 2 k s ms
代入上式中得
x H s sm ym 1 c2 d 2 k C p u 2 v2
xsm s ym
大振幅： xsm H f ym
式中，H f ——易损部件与环境系统的放大系数,或称 为传递率,它描述了通过产品—衬垫系统传递到易损部件的 振动幅值的比值。 p f ——振动环境频率 f 2
二、包装件简谐振动的两级估算法
以放大系数（传递率） H f 为纵坐标，以振动环境的激 振频率 f 为横坐标，可以绘制出 H f — f 曲线（幅频特性 曲线） 由图可以看出： • 产品—衬垫系统的 β— f 幅频曲线通常明 显小于易损部件系统的 βs— f 幅频曲线，所 以耦合后的H( f )— f 幅频曲线为马鞍形; • 易损部件在振动环 境的激励下有2次共 振。
所以，在（ms＜＜m） 时，包装件的第一固有频率为产品衬 垫系统的固有频率，第二固有频率为易损件的固有频率。
一、用二自由度模型分析包装件的简谐振动
• 易损件的幅频特性曲线 由于包装件系统为二自由度系统，因此有两个共振区： • 当 s 0 时