包装动力学

m a F 根据力的平衡： mx kx cx
c k x x x 0 m m
（ 1）
这是二阶常系数线性齐次微分方程，设它的特解为
st 2 st x Ae , x Ase , x As e st
代入方程（1）中得到特征方程为
c k s s 0 m m
第二章振动与冲击理论基础
1、振动问题分类 2、单自由度线性系统自由振动 3、单自由度线性系统强迫振动
第一节 概述
一、振动 包装动力学就是将包装件视为振动系统， 应用振动理论分析包装件对振动与冲击环境的 响应。 外力作用是振动系统产生振动不可缺少的 条件，是促使系统振动的外因。在振动理论 中，将外力作用称为干扰，或者激励，而将 系统的振动称为外力作用的响应。系统振动 的另一个原因是具有惯性和弹性
可用试验的方法确定系统的阻尼。 试验中可测出Ai与Ai＋1的值，可求出δ， 然后可求出ζ，根据 c 即可求出系统 Cc 阻尼c。
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动
3、当ζ>1，即
c 2 km
即实际阻尼大于临界阻尼，也就是大阻尼情况， 也称为过阻尼系统。 特征方程有两个不等的实根，则振体的运动方 程为：
第三节 单自由度 有阻尼线性系统的强迫振动
强迫振动：包装件在运输过程中会受到长时 间或瞬时的激励（外力作用），这种激励所引 起的振动称为强迫振动。 一、简谐力作用下的强迫振动 F(t ) F0 sin t 假定这种激励（外力）为简谐扰力， 则单自由度有阻尼线性系统在简谐激振力 作用下的力学模型为：
Ai Ae nT1 e n ( ti T1 ) ＝常数（减幅系数） Ai 1 Ae
任意两个相邻振幅比的自然对数来表示幅值衰减率， 称为对数衰减率
Ai 2 ln nT1 2 2 Ai 1 1
nti
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动

0.035288
近似计算误差只有0.6%
（2）固有频率：
振动周期
T1 t3 t2 0.1s
阻尼系统的固有频率为
2 2 d 62.382rad / s T1 0.1
或
1 1 f1 10Hz T1 0.1
利用 d 可求出
d 62.382 n 68.872rad / s 2 2 1 1 0.035507
ma F mx m g k ( x st )
mg k st
mx kx
km
2 n
一、无阻尼系统的自由振动x

初始条件：t=0时， x x , x x v 0 0 0
所以微分方程的解为：
x x0 cos n t v0
n
sin n t A sin( n t )
k ki
i 1
n
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动 无阻尼自由振动是简谐振动，即振动一 经发生，便永远保持等幅的周期运动。实际 中发现，自由振动的振幅是逐渐衰减的，经 过一定的时间后振动将完全停止。这是因为 振动系统总是不可避免地存在着阻尼，不断 消耗系统的机械能，使得振动逐渐衰减直至 完全消失。 对缓冲包装而言，缓冲包装材料是有阻 尼的，阻尼的形式也多种多样，常见的有干 摩擦阻尼和材料内阻尼，最常见也最简单的 是粘滞阻尼。
k m
前面又讲过无阻尼系统
c 2mn
c s1 s 2 n 2m
所以
此时特征方程有二等根，
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动
所以原微分方程的解为
x ( A Bt)e
c t 2m
( A Bt)e
nt
此时x与t的关系是按指数规律衰减，所以振动就 是随着时间而进行的衰减振动。AB值与初始条件 有关。
st 1
mg k1
st 2
mg k2
m
k2 k1
则两串联弹簧的总伸长等于 两个弹簧的静伸长之和。即
st st 1 st 2
1 1 m g k k 2 1
st
（1）两弹簧串联：
若用一个弹簧常数为K的弹簧代替原来 两个串联弹簧，使两个系统在相等重力mg 作用下有相同的静伸长 st ，则有
单位赫兹（HZ）每秒内振动的次数
一、无阻尼系统的自由振动x
k 2 g n 2f m T st
弧度／秒 rad/s
振体在2π秒内振动的次数，只决定于系统的基本参 量，与初始条件无关。
一、无阻尼系统的自由振动x 3、串联弹簧和并联弹簧的等效刚度 （1）两弹簧串联： 在此情况下，两弹簧所受的压力大小 都等于所放置的物体的重量mg，所以两弹 簧的静伸长分别为：
st
m
mg k1 k 2 st
k1
k2
一、无阻尼系统的自由振动x （2）两弹簧并联：
若用另一弹簧常数为K的弹簧代替原来的两个 并联弹簧，使两个系统在放置同一物体时具有 相同的静伸长 st

则有
mg k st k1 k 2 st
k k1 k 2
则
推广到n个并联弹簧则有
A、

称为振幅和初始角。 固有频率
n
一、无阻尼系统的自由振动x 2、周期和频率： 在简谐运动情况下，每经过一个周期，相位 增加2π，则
n t T n t 2
周期： T 2 m
k
nT 2
（S）每振动一次所需要的时间
k m
频率：
f
1 1 T 2
1 1 mg st m g k k k 2 1
1 1 1 k k1 k 2
所以
k1k 2 k k1 k 2
推广到n个串联弹簧有： n 1 1 1 1 1 k k1 k 2 k n i 1 k i
一、无阻尼系统的自由振动x （2）两弹簧并联： 在此情况下，在物块重力 mg作用下，两弹簧的静伸长 量相等，均为
x A1e A2 e
s1t
s2t
s1s2是特征方程的两个根 X与t关系是两个衰减指数函数的和
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动
大阻尼系统自由振动的响应 ζ＝1最先趋于0，所以临界阻尼系统能最快趋近于平 衡位置。 阻尼大，运动慢。
例：已知单自由度小阻尼系统在第三个峰值 时间t3=3.2s对应的振幅比第二个峰值时间 t2=3.1s对应的振幅降低了20％，试求此系统 的阻尼因子和固有频率。
2
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动
此方程的两个根为
s1, 2 c 1 c 2 4k c c k ( ) ( )2 2m 2 m m 2m 2m m
（ 2）
根据根号下的值的情况，微分方程就有不同的解
1、当 即
c 2m
( c 2 k ) 0 2m m
时，
k n m
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动
以平衡位置为原点，铅垂向下为x轴正方向。 在任一瞬时t，物块位 移为x,作用在物块上的力 为弹力kx、重力mg、和 粘滞阻尼R= cx m
x R与振体速度成正比， c为系数，与振体的形 状、大小和介质性质 有关。（小球在油中 落下）
k
c
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动
一、振动 包装中由于使用了缓冲材料，缓冲材料具有 一定的弹性，所以包装中的被包装产品与缓冲材 料也就组成了振动系统。 运输途中的各种不可预知的因素就是包装振 动系统中的外力（干扰），缓冲材料的弹性就会 引起被包装产品的不断振动。 我们就要研究缓冲材料和被包装产品组成的 振动系统在运输过程中是否能保护被包装产品 （也就是选材，设计合理性的问题）。
2 2
A1 、A2为积分常数 利用三角函数关系将其化简
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动
x Ae nt sin( 1 2 nt )
令
d 1 2 n
nt
有阻尼时的圆频率
x Ae
sin(d t )
A、Φ是积分常数，取决于初始条件。
小阻尼振动系统的振动可理解为具有不变频 率ωd和相位差φ，同时具有按指数规律衰减的振 幅的 n t 振动
特征方程的根的性质取决于阻尼比与1的关系
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动
2、当 1 ，即 c 2 km 时，即实际阻尼小 于临界阻尼，即小阻尼情况。
特征方程有二虚根， s1, 2 ( i 1 2 ) n 那么振体运动微分方程的解为：
xe
n t
( A1 cos 1 n t A2 sin 1 n t )
m
x
k
c
k—弹性系数 c――粘性阻尼系数
三、包装件建模
2、二自由度系统 产品上最关键、最 灵敏、最脆弱的部件往往 最易破损，我们称这种部 件为易损件。 当需要分析易损件 的响应时 对m1而言，就属于二自 由度系统，以m2为参照物 和以固定的地面为参照物， 它的运动方程就不同。
k1
m1
c1
m2
k2
c2
Ae
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动
小阻尼自由振动的响应
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动
（1）衰减振动周期T1求法 2 2 T1 T d 1 2 n
当阻尼比很小时，即系统阻尼远小于临界阻尼时，可以 不计阻尼
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动 （2）对数衰减率δ 考察相邻两次振动的振幅比
重跟有特殊意义：将此时的阻尼系数c称为临界阻 尼系数。
记为
Cc 2mn
二、阻尼对自由振动的影响――衰减振动
阻尼比：系统中实际存在阻尼系数与该系统 中临界阻尼系数之比。