2011届高三数学《考前指导》3不等式、数列

2011年某某高考数学必考点题型热点预测与分析命题热点二 数列与不等式高考对该部分主要从以下几个方面考查：数列的概念、等差数列和等比数列、一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。

高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题（选做题除外），通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。

预测1. 数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，其前n 项的和为.n S （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（Ⅱ）设2n an b =，求数列{}n b 的通项公式n b 及前n 项和.n T 解：（Ⅰ）依题意：2(1)1n a n n =+-=+ 2分(1)212n n n S n -=+⨯=2322n n + 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 4211==a b5分{}111222n n a a n n nb b b +-+===∴是首项为4,公比为2的等比数列 7分11422n n n b -+∴=⨯=9分24(12)2412n n n T +-==--12分预测 2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==，（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，某某数k 的取值X 围． 解析：（1）由121n n a S +=+----①得121n n a S -=+----②， ①-②得112()n n n n a a S S +--=-，113,3n n n n a a a -+∴=∴=；5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-； -（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--， 311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即363nn k -∴≥对*n N ∈恒成立， 令363n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．预测3. 设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记2nn n a b =的前n 项和为n T ，求n T . 解：（Ⅰ）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S a a a a =++=+，==解得11a =，故21n a n =-；（Ⅱ）211(21)()222nn n n n a n b n -===-， 法1：12311111()3()5()(21)()2222nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯， ①①12⨯得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，②①-②得，2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯11111(1)113121222(21)()12222212n n n n n n +-+--=⨯---⨯=---， ∴4212333222n n n nn n T -+=--=-． 法2：121112222n n n n n na nb n --===⋅-， 设112nn k k k F -==∑，记11()()n k k f x kx -==∑，则()1111(1)()1(1)n n nn kk nk k x x n nx x f x x x x x +==''⎛⎫--+-⎛⎫'==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑， ∴114(2)2n n F n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， -故111(1)1123224(2)13122212n n n n n n n T F n --+=-=-+⋅-+=--．预测4. 已知数列1*11{}7,328.()n n n n a a a a n n N -+==+-∈满足（I ）李四同学欲求{}n a 的通项公式，他想，如能找到一个函数1()2n f n A B n C -=⋅+⋅+ （A 、B 、C 是常数），把递推关系变成1(1)3[()]n n a f n a f n +-+=-后，就容易求出 {}n a 的通项了，请问：他设想的()?{}n f n a 存在吗的通项公式是什么？（II ）记2*123,23n n n n S a a a a S n p n N =++++->⨯∈若不等式对任意都成立，某某数p 的取值X 围。

2011年高考数学高频考点3、数列命题动向数列是高中数学的重要内容，也是学习高等数学的基础，它蕴含着高中数学的四大思想及累加（乘）法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法等基本数学方法；本部分内容在高考中的分值约占全卷的10％~15％，其中对等差与等比数列的考查是重中之重．近年来高考对数列知识的考查大致可分为以下三类：（1）关于两个特殊数列的考查，主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式以及前n 项和公式等，多以选择题、填空题形式出现，难度不大，属于中低档题；（2）与其他知识综合考查，偶尔结合递推数列、数学归纳法、函数方程、不等式与导数等知识考查，以最值与参数问题、恒成立问题、不等式证明等题型出现，一般难度比较大，多为压轴题，并强调分类讨论与整合、转化与化归等数学思想的灵活运用；（3）数列类创新问题，命题形式灵活，新定义型、类比型和探索型等创新题均有出现，既可能以选择题、填空题形式出现，也可能以压轴题形式出现．押猜题5已知b a b a +,,为等差数列ab b a ,,,为等比数列，且,1)(log 0<<ab m 则m 的取值范围是（ ）A ．1>mB ．8>mC ．81<<mD ．810><<m m 或解析 依题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠⋅=++=.0,0,,22b a ab a b b a a b 解得⎩⎨⎧==.4,2b a 所以,8log )(log m m ab =由18log 0<<m 得.8>m 故选B.点评 本题考查等差数列和等比数列的概念和性质，将简单对数不等式的解法融入其中考查体现了学科内知识的交汇性.押猜题6（理）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,41=a,2)1(2--+=n n na S n n *).,2(N n n ∈≥ （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n b 满足：,41=b 且*),(,2)1(21N n b n b b n n n ∈---=+求证：*),2(N n n a b n n ∈≥>；（3）求证：.)11()11)(11)(11(31544332e b b b b b b b b n n <+++++ 解析 （1）当*,3N n n ∈≥时，,2)1(2--+=n n na S n n,2)2)(1(2)1(11---+-=--n n a n S n n 两式相减得：,221)1(1⨯----=-n a n na a n n n *).,3(11N n n a a n n ∈≥=-∴-.3,1222221=∴-+=+a a a a可得，⎩⎨⎧∈≥+==*).,2(1),1(4N n n n n a n （2）①当2=n 时，,31422212a b b =>=-=不等式成立.②假设当*),2(N k k k n ∈≥=时，不等式成立，即.1+>k b k 那么，当1+=k n 时， ,222)1(2222)1(2)1(21+≥=-+>->-+-=---=+k k k b k b b b k b b k k k k k k 所以当1+=k n 时，不等式也成立.根据①、②可知，当*,2N n n ∈≥时，.n n a b >（3）设).,0(,)1ln()(+∞∈-+=x x x x f 则,01111)(<+-=-+='xx x x f ∴函数)(x f 在),0(+∞上单调递减，.)1ln(),0()(x x f x f <+∴<∴当*,2N n n ∈≥时，,1111+=<n a b n n ,2111)2)(1(11)11ln(11+-+=++<<+∴++n n n n b b b b n n n n 21114131)11ln()11ln()11ln(14332+-+++-<++++++∴+n n b b b b b b n n ,312131<+-=n .)11()11)(11(314332e b b b b b b n n <+++∴+ 点评 本题是数列、数学归纳法、函数、不等式等的大型综合题，衔接自然，叙述流畅，毫无拼凑的痕迹，情景新颖，具有较好的区分度，入口较宽，要求学生具有一定的审题、读题能力，一定的等价变形能力，同时还要求学生具有较高的数学素养和数学灵气.该题已达到高考压轴题的水准.（文）已知函数)(x f 对任意实数q p ,都满足：),()()(q f p f q p f ⋅=+且.31)1(=f（1）当∈n N *时，求)(n f 的表达式；（2）设∈=n n nf a n )((N *),n S 是数列}{n a 的前n 项的和，求证：43<n S ； （3）设∈+=n n f n nf b n ()()1(N *),设数列}{n b 的前n 项的和为n T ，试比较nT T T T 1111321++++ 与6的大小. 解析 （1）,31)1(),1()()1(=⋅=+f f n f n f ∈=+∴n n f n f )((31)1(N *), )(n f ∴是以31)1(=f 为首项，以31为公比的等比数列， ,)31(31)(1-⨯=∴n n f 即∈=n n f n ()31()(N *). （2）,)31(n n n a = ,)31()31)(1()31(3)31(2311132n n n n n S +-++⨯+⨯+⨯=- ① ,)31()31)(1()31(3)31(2)31(1311432++-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② ①－②得：132)31()31()31()31(3132+-++++=n n n n S 1)31(311])31(1[31+---=n n n ,)31(])31(1[211+--=n n n .)31(2)31(4343n n n n S --=∴ ∈n N *,.43<∴n S （3）,31)()1(n n f n nf b n =+= ,6)1(2)1(31+=+⨯=∴n n n n T n).111(61+-=∴n n T n ).111(6)11141313121211(61111321+-=+-++-+-+-=++++∴n n n T T T T n ∈n N *,.61111321<++++∴nT T T T 点评 本题是函数与数列的交汇综合题，体现了在知识交汇点处设计试题的高考命题思想.其中第（1）问所用的“赋值法”，第（2）问所用的“错位相减法”，第（3）问所用的“裂项相消法”等是高考必考的重要方法和技巧.。

2011届高考数学第二轮知识点复习不等式第13 不等式【学法导航】1不等式的概念和性质是本部分内容的基础，要高度重视不等式的概念和性质，弄清每一个性质和结论，做到深刻理解并能够灵活应用。

2熟练掌握不等式的解法即含有参数的不等式的解法。

解不等式是研究函数和方程的重要工具，在学习中不仅要注重不等式在研究函数与方程的工具作用，更要重视不等式、方程、函数三者之间的相互转化。

3均值不等式应用范围非常广泛，可与高中数学大部分节的知识进行综合考查，但在高考中的考查却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等。

因此，把握均值不等式应用的前提以及均值不等式的构造是复习这个知识点的关键。

4重视不等式的综合应用。

不等式单独命题较少，常在函数、数列、立体几何、解析几何和应用题解题过程中涉及，加强不等式的应用能力是提高解综合问题的关键，因此，在复习时应加强这方面知识和能力的训练，提高应用意识。

注重思想方法的复习和应用。

解决不等式问题中经常用到的思想方法有：等价转化思想、分论讨论思想、函数与方程的思想、化归思想等总之，学习本应做到立足基础、培养能力、有的放矢、重点突出、学会建模、提高素质。

【专题综合】高考资网在《考试大纲》中，虽然没有对利用不等式解决实际问题和不等式在函数、方程、数列、解析几何、平面向量、导数、极限和概率与统计等方面的综合应用提出具体要求，但在解答高考题时，无处不涉及到不等式的有关知识，特别是综合性强的题更要以不等式作“工具”解决．不等式的综合应用主要涉及以下三个方面:1．建立函数关系，利用均值不等式求最值根据题设条建立函数关系式，并创设基本不等式应用背景．在应用均值不等式求最值时要注意的是“一正二定三等”，即求和（积）的最小值（最大值）时，必须使其积（和）为定值，并且要注意各项是否为正，确保等号成立的条是否成立（即各项是否能相等）2．建立不等式求参数的取值范围常见的问题有：( l）在集合问题中的应用；(2）在方程（组）的解的讨论中的应用；(3）在函数、导数和数列问题中的应用；(4）在平面向量、解析几何和立体几何中的应用;() 在概率与统计中的应用等等．解决这类问题的基本方法是根据条列出相关的不等式（组）解不等式，或利用函数单调性、均值不等式求其值域．3．利用不等式解决实际问题不等式的应用题大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题，另一类是建立函数关系，利用均值不等式或函数的单调性求最值问题．应用不等式解题的关键是建立不等关系．解不等式应用问题步骤：审题，建立不等模型，利用不等式有关知识解题．解决问题的具体模式如下: 现实世界中的实际问题不等式模型实际问题的解不等式的解1不等式与方程例1 (2007广东) 已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围解：若, ,显然在上没有零点, 所以令, 解得①当时, 恰有一个零点在上;②当，即时，在上也恰有一个零点③当在上有两个零点时, 则或解得或综上所求实数的取值范围是或2不等式与数列例2(2008安徽卷21）设数列满足为实数（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条是；（Ⅱ）设，证明：;（Ⅲ）设，证明：解(1) 必要性：，又，即充分性：设，对用数学归纳法证明当时，假设则，且，由数学归纳法知对所有成立(2) 设，当时，，结论成立当时，,由（1）知，所以且(3) 设，当时，，结论成立当时，由（2）知3不等式与解析几何例3 (2008年全国Ⅱ理科21科22）高考)设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点(Ⅰ)若,求的值；(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，．如图，设，其中，高考资网且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为，当时，上式取等号．所以的最大值为．4不等式与概率统计例4（2006辽宁卷）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是12万元、118万元、117万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是13万元、12万元、02万元随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润(I) 求、的概率分布和数学期望、;(II) 当时,求的取值范围分析解决问题的关键是准确求出事的分布列解(I) 的概率分布为12118117pE =12 +118 +117 =118由题设得,则的概率分布为012P故的概率分布为131202P∴的数学期望为E = + + =(II) 由,得:∵0&lt;p&lt;1,∴时,点评本题考查二项分布、分布列、数学期望、方差和不等式等基础知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力不等式与概率与统计的综合考查,是高考出现的新亮点, 2006年北京卷的第18题也是这种题,这是一种新的命题趋向,应引起足够的重视不等式与函数例（2009全国卷Ⅰ理）设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条的点的区域；(II)证明：分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

高中数学备课教案不等式与数列高中数学备课教案：不等式与数列一、引言在高中数学教学中，不等式与数列是重要的内容之一。

不等式是数学中用于表示大小关系的工具，而数列则是一系列有规律的数字的排列。

本教案旨在帮助教师充分了解不等式与数列的相关知识，并提供备课思路和教学方法，以提升学生对这些概念的理解和应用能力。

二、不等式的基础知识1. 不等式的定义和性质不等式是指数之间的大小关系，包括大于等于、小于等于、大于、小于等四种形式。

教师应当对不等式的定义和常见的性质进行介绍，例如不等式的传递性、加减乘除法则等。

2. 不等式的解法a. 直接法：对于简单的一元一次不等式，可以直接通过变量的加减乘除运算得到解。

b. 图像法：通过将不等式转化为图像，利用图像上的区域来得到解，特别适用于复杂的二次不等式。

c. 区间法：将不等式转化为区间表示，通过判断变量所在的区间来得到解。

三、不等式的应用1. 不等式的图像表示及应用a. 了解不等式的图像表示方式，例如用数轴来表示不等式中变量的取值范围。

b. 掌握利用不等式解决实际问题的方法，如利用不等式求解范围、判断条件等。

2. 不等式的证明a. 了解和掌握不等式的比较原理和证明方法，如数学归纳法、反证法等。

b. 引导学生从不等式的定义和性质出发，运用合适的证明方法来证明不等式的成立。

四、数列的基础知识1. 数列的定义和表示方法a. 数列由一系列有规律的数字所组成，通常用数学表达式表示。

b. 掌握等差数列和等比数列的定义和常见特点。

2. 数列的通项公式a. 等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d。

b. 等比数列的通项公式：an = a1 * r^(n-1)。

3. 数列的求和公式a. 等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。

b. 等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)。

五、数列的应用1. 数列的图像表示及应用a. 掌握数列的图像表示方法，如坐标表示、直方图表示等。

2011届高三数学专题复习“数列与不等式”专题【考情分析】1．数列在高考中，一般设计一个客观题和一个解答题，主要考查数列和不等式部分的基本知识，对基本运算能力要求较高，解答题常常综合考查函数、方程、不等式等知识．难度较大，尤其是数列、函数和不等式的综合考题，又加入了逻辑推理能力的考查，成为了近几年数列考题的新热点．2．数列与不等式部分的重点为：等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前项和；不等式的性质、解法和两个重要不等式的应用；该部分重点考查运算能力和逻辑推理能力，考查函数与方程思想、化归于转化思想及分类讨论思想．【知识整合】1．等差数列与等比数列的综合等差数列与等比数列都是高考命题的重点知识，考题经常将它们综合在一起综合考查等差数列和等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高．例1．设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（）A．B． C．D．答案：A解析：设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和．例2．等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列．若=1，则=（）（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：4，2，成等差数列，，即，，，因此选C．点评：该类题目综合考查了等差数列和等比数列的概念、通项公式和等比数列的求和公式等，基础性较强，综合程度较小，要求具有较熟练的运算能力．2．函数与不等式综合不等式与函数有着密切的联系，其中线性规划求目标函数的最值是近几年高考的热点问题之一，经常以选择题或填空题出现．有不少关于最值方面的问题，通常用二次函数的配方法求最值或用均值不等式求最值，考题经常以与不等式有关的实际应用问题出现．在应用不等式解决实际问题时，要注意以下四点：①理解题意，设变量．设变量时一般把要求最值的变量定为自变量； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题； ③在定义域内，求出函数的最值； ④正确写出答案．例３．设x ，y 满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ． 4答案：A解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6,而=，故选A ．点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答．例4．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是万元．x22 yO -2 z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0答案：70解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得目标函数为．二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：作直线，即．平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．联立解得．点的坐标为．（元）．点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一．例5．设为实数，函数．(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式的解集．解析：（1）若，则；（2）当时，，100200 300100200 300 400500yxlM当时，，综上；（3）时，得，当时，；当时，△>0，得：；讨论得：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．3．函数与数列的综合高考试题中经常将函数与数列综合在一起，设计综合性较强的解答题，考查数列的概念、性质、通项及求和公式等主干知识和分析问题、解决问题的逻辑推理能力．例6．知函数．（Ⅰ）设是正数组成的数列，前n项和为，其中．若点(n∈N*)在函数的图象上，求证：点也在的图象上；（Ⅱ）求函数在区间内的极值．解析：(Ⅰ)证明：因为所以，由点在函数的图象上,，又，所以，是的等差数列，所以,又因为,所以,故点也在函数的图象上．(Ⅱ)解:,令得．当x变化时,﹑的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)f(x)+0-f(x)↗极大值↘注意到,从而①当,此时无极小值；②当的极小值为,此时无极大值；③当既无极大值又无极小值．点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力．4．数列与不等式、简易逻辑等的综合数列是培养推理论证能力的极好载体，将数列的知识与推理证明的方法交织在一起进行考查，是新课程高考中的一个亮点，常常荣归纳、猜想、数学归纳法、分类讨论、等价转化等数学思想和方法于一体，对能力的要求较高．例7．设若是与的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．答案：B解析：因为，所以，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．例8．设数列满足为实数．（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；（Ⅱ）设，证明：；（Ⅲ）设，证明：．解析：(1)必要性：，又，即．充分性：设，对用数学归纳法证明，当时，．假设，则，且，，由数学归纳法知对所有成立．(2) 设，当时，，结论成立．当时，，,由（1）知，所以且，，，．(3)设，当时，，结论成立，当时，由（2）知，，．点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等，具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求较高．５．数列与概率的综合数列与概率的综合考查，虽然不是经常但很有新意，这种命题也体现了在知识交汇处命题的指导思想．例9．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B．点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复．【思维方法】【例1】已知等比数列的首项为，公比满足．又已知，，成等差数列．（1）求数列的通项．（2）令，求证：对于任意，都有解析：（1）∵∴∴∵∴∴（2）证明：∵，∴．【分析】转化思想是数学中的重要思想，把复杂的问题转化成清晰的问题是我们解题的指导思想．本题中的第（２）问，采用裂项相消法，将式子进行转化后就可以抵消很多项，从而只剩下首末两项，进而由n的范围证出不等式．【例2】在数列中，，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．解析：（Ⅰ），，．由此可猜想出数列的通项公式为．以下用数学归纳法证明．（1）当时，，等式成立．（2）假设当时等式成立，即，那么．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．（Ⅱ）解：设，①②当时，①式减去②式，得，．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：．③由知，要使③式成立，只要，因为．所以③式成立．因此，存在，使得对任意均成立．【分析】分类讨论思想是数学中的重要思想，本题以数列的递推关系式为载体，综合考查了等比数列的前项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，第2问体现了对运用分类讨论的考查．【例3】设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)、B(0,1)是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相较于E、F两点．(Ⅰ)若,求k的值；(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值．解析：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，DFByAOE直线的方程分别为，．如图，设，其中，且满足方程，故．①由知，得；由在上知，得．所以，化简得，解得或．（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．解法二：由题设，，．设，，由①得，，故四边形的面积为，当时，上式取等号．所以的最大值为．【分析】方程与函数思想是数学中的重要思想，该题对于k的求解就是通过建立k的方程，然后解出的；而对于四边形的面积的求解，是通过构造面积关于k的函数关系，然后根据均值不等式来解决其最值问题．【专题演练】1．公差不为零的等差数列的前项和为．若是的等比中项, ,则等于A． 18 B． 24 C． 60 D． 902．等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别用S n和T n表示，若，则的值为( )A B C D3．已知函数，则不等式的解集是（）A． B．C． D．4．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a＋b)2cd的最小值是________．5．设数列的前项和为，点均在函数的图象上．则数列的通项公式为．6．命题实数满足，其中，命题实数满足或，且是的必要不充分条件，求的取值范围．7．已知二次函数的二次项系数为 a ，且不等式的解集为（1 , 3）．（l）若方程有两个相等的根，求的解析式；（2）若的最大值为正数，求 a 的取值范围．8．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】1．答案：C解析：由得得,再由得:则,所以,故选C ．2．答案：A 解析：∵；． ∴．3． 答案：C 解析：依题意得或 所以或 解得：，故选C ．4．答案：4 解析：∵(a ＋b)2cd ＝(x ＋y)2xy ≥(2xy)2xy ＝4． 5．答案：解析：由题意得，即．当n ≥2时， ;当n=1时，×-2×1-1-6×1-5．所以．6．解析：设，=因为是的必要不充分条件，所以，且推不出而，所以，则或即或．7．解析：（1）因为的解集为（1，3），所以且．因而（1）由方程得：（2）因为方程（2）有两个相等的根．所以，即．解得：（舍去）或，将代入（1）得的解析式为：，（2），有a < 0，可得的最大值为，所以 > 0，且a < 0．解得：，故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是．8．解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m，则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360，由已知xa=360,得a=，所以y=225x+．(II)．当且仅当225x=时，等号成立．即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．。

高三数列不等式知识点总结数列不等式是数学中的重要概念，也是高中数学中的一个重要知识点。

在高三数学学习中，数列不等式常常作为数列章节的延伸和拓展，对于学生来说是一个较为复杂的内容。

下面将从不等式基本概念、解不等式的方法以及解决实际问题等几个方面对高三数列不等式进行总结。

一、不等式基本概念1. 不等式的定义：不等式是表示两个数之间的大小关系的数学式子，其形式通常为a < b、a ≤ b、a > b、a ≥ b等。

2. 不等式的性质：不等式具有传递性、对称性、加法性和乘法性等性质。

学生需要熟练掌握这些性质，以便在解不等式时能够合理运用。

二、解不等式的方法1. 穷举法：对于一些简单的不等式，可以通过列举出数值的方式来得到不等式的解集。

2. 图像法：对于一些简单的不等式，可以用数轴上的点来表示不等式中的数，通过观察数轴上的点的位置关系，判断不等式的解集。

3. 对称性法：当不等式中含有绝对值符号时，可以利用对称性来求解不等式。

4. 区间法：对于一些复杂的不等式，可以利用区间的概念，将数轴分为若干段，然后通过每个区间上符号的变化情况来求解不等式。

5. 函数法：通过对不等式进行等价变形，转化为函数的性质，然后利用函数的性质来解不等式。

三、解决实际问题1. 关于数列的不等式问题：在数列中常常会出现一些不等式问题，例如求数列的最大值、最小值、数列元素的范围等，这些问题都可以通过对数列不等式的分析和求解来得到答案。

2. 关于应用问题的不等式问题：不等式在实际生活中有着广泛的应用。

例如金融领域中的利润和损失、生活中的成本问题等，都可以通过建立不等式模型来解决。

3. 关于优化问题的不等式问题：在一些最优化问题中，不等式常常作为约束条件来限制优化问题的解集，通过解不等式可以得到最优解。

综上所述，高三数列不等式作为数列章节的重要延伸内容，对于学生来说是一项重要且复杂的知识点。

学生需要充分了解不等式的基本概念、掌握解不等式的方法以及能够应用不等式解决实际问题。

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库2009届高考数学考前指导（苏教版）一、填空题解题策略在解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷．一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成．填空题解题的基本原则是“小题不能大做”．解题基本策略是：巧做．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等．由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现．二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等．解题基本方法一般有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法(特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型)1、直接求解法：直接从题设条件出发，用定义、性质、定理、公式等，经变形、推理、计算、判断等得到正确结论．这是解填空题常用的基本方法，使用时要善于“透过现象抓本质”．力求灵活、简捷．例．数列{a n }、{b n }都是等差数列，a 1=0、b 1=-4，用S k 、S'k 分别表示{a n }、{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k +S'k =0，则a k +b k =____．解：用等差数列求和公式S k =2)a a (k k 1+，得2)a a (k k 1++2)b b (k k 1+=0，又a 1+b 1= -4，∴a k +b k =4．2．特殊化求解法：当填空题结论唯一或其值为定值时，我们只须把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．如：上例中取k =2(k ≠1?)，于是a 1+a 2+b 1+b 2=0，故a 2+b 2=4，即a k +b k =4．例：如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B-APQC 的体积为 ．13V 3．数形结合法：根据题设条件的几何意义，画出辅助图形，借助图形的直观性，迅速作出判断的方法．文氏图、三角函数线、函数图像及方程的曲线，空间图形等，都是常用的图形．例：关于x 的方程1-x 2=k (x -2)有两个不等实根，则实数k 的取值范围是．解：令y 1=1-x 2，y 2=k (x -2)，画图计算得-33<k ≤0． 4、构造法：在解题中有时需根据题目的具体情况，设计新的模式解题，这种设计工作，通常称之为构造模式解法，简称构造法．例：四面体SABC 的三组对棱分别相等，且依次为25、13、5，则此四面体的体积是 ．注：解填空题时可优先作图，优先估算，优先考虑特例二、加强填空题检验（1）回顾检验A BC PQ A 1B 1C 1例1．满足条件21cos -=α且παπ<≤-的角α的集合________． 错解：，，2134cos 2132cos -=-=ππ32πα=∴或34π．检验：（2）赋值检验例2．已知数列{a n }的前n 项和为S n n n =++3212，则通项公式a n =_________；错解： a S S n n n n n n n =-=++--+-+-12232131211[()()]16,16-=∴-=n a n n检验：（3）估算检验例3．不等式x gx lg 111->+的解是__________；错解：两边平方得112+>-lg (lg )x x ，即lg (lg )lg x x x -<<<3003，，解得1103<<x ；检验：（4）作图检验例4．函数y x =-|log |||21的递增区间是___________；错解：（1，+∞）检验：（5）多种检验例5．若191x yx y R +=∈+()，，则x y +的最小值是_________． 错解：xy xy y x 692911=≥+=，xy ≥6 ∴+≥=x y xy 212检验：（6）极端检验例6．已知关于x 的不等式()()a x a x 224210-++-≥的解集是空集，求实数a 的取值范围__________；错解：由0)4(4)2(22<-++=∆a a ，解得562<<-a ．检验：三、解答题解题策略1、从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘．2、从结论入手---执果索因，搭好联系条件的桥梁．3、回到定义和图形中来．4、构造辅助问题(函数、方程、图形……)，换一个角度去思考．5、通过横向沟通和转化，将各数学分支中不同的知识点串联起来．6、培养整体意识，把握整体结构．7、注意承上启下，层层递进，充分利用已得出的结论．8、优先挖掘隐含，优先作图观察分析．9、立足特殊，发散一般：“以退求进”是一个重要的解题策略，对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等．退到一个你10、正难则反，执果索因，逆向思考：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．11、解决探索性(开放性)问题的策略：探索性问题可以粗略地分为四种类型：条件追溯型、结论探索型、存在判断型和方法探究型．解探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明．12、解应用性问题的思路：审题尤为重要．审题需将那些与数学无关内容抛开，以数学的眼光捕捉信息，构建模型，同时要注意将图形、文字、表格等语言转变为数学语言．具体做法是：①先全面理解题意和概念背景②透过冗长叙述，抓重点词句，提出重点数据③综合联系，提炼数量关系，依靠数学方法，建立数学模型(模型一般很简单)．如此将应用问题化为纯数学问题．此外，求解过程和结果不能离开实际背景．四、常用数学思想与方法高考数学命题以能力立意为主．若能自觉、灵活地综合运用各种数学思想与方法于所要解决的问题中，则常能使问题迎刃而解．(一）常用数学思想与方法1、函数与方程的思想：函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式组)，然后通过解方程或不等式(组)使问题获解例：x 的方程sin 2x ＋cos x ＋a ＝0有实根，则实数a 的取值范围是__解：设cos x ＝t ，t ∈[-1，1]，则a ＝t 2－t －1∈[－54，1] 2、数形结合的思想：实质是抽象的数学语言与直观图形的结合，使抽象思维和形象思维在解题中交互运用．通过对图形的认识，使初看很难或很繁的问题变得容易和直观，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．例：参看填空题的图象法．3、分类与整合的思想：在研究问题时，若我们不能用同一种方法去处理，就往往将这个问题恰当地划分成若干个部分的问题，在解决了这些若干个部分问题后，整个问题就得到了解决．确定分类的标准是分类法的关键．划分时，要注意既不重复，又不遗漏．4、化归与转化的思想：就是把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、常规、简单的问题．转化有等价与非等价转化．等价转化要求转化过程中前因后果是充要的．非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正．（如无理方程化有理方程要求验根）转化能给人带来思维的闪光点，找到解题的突破口．5、有限与无限的思想：将题目条件扩展到极限情况，采用极限思维，常给人一种豁然开朗的感觉．6、特殊与一般的思想：参看选择、填空题的解法思想．7、或然与必然的思想：用于概率和随机变量问题(参看知识方法篇)(二)常用数学方法技巧1．解析法 2．待定系数法 3．反证法4．消元降幂法 5．数学归纳法6．配方法7．换元法 8．图象法与观察法 9．差(商)比法10．特值法 11．判别式法与韦达定理15．错位相减法16．迭加与连乘17．等积(面积、体积)法18．几何变换法：平移、旋转、对称19．活用定义20．分析法与综合法21．类比法22．因式分解法23．构造(配凑)法五、考前策略1．考前几天要调整好生物钟，保持最近习惯，保持良好的心理状态．2．考前几天要做好知识方法整理、回忆；要浏览一下重要的概念、公式和定理；浏览一下近段时间的试卷和专题；以查漏补缺、树立信心、调整自己的心态．3．考前几天晚上应早点睡，中午应体息好，以保证充足的睡眠和良好的精力．饮食以清爽、可口、易消化吸收为原则，注意早餐要吃丰盛些，但不能过于油腻．考试当天中午，应有良好的心理暗示如“我很放松，我感觉不错，今天数学我一定能正常发挥”等．4．考试前一天要整理并放好考试用具．首先是准考证；其次是尺规、三角版、量角器、2B铅笔、填涂卡、0．5黑色水笔、橡皮等；再次是必要的如手绢、清凉油等．作图、作辅助线一定先用铅笔和尺子最后用黑色水笔，填涂用2B铅笔，答题用0．5黑色水笔．5．提前半小时到达考区，一方面可以消除新异刺激，稳定情绪，从容进场，另一方面也留有时间调整大脑思绪，摒弃杂念，排除干扰，使大脑处于放松状态，同时创设数学情境，让大脑进入单一数学状态，提前进入“角色”．具体作法是：清点考试用具、把数学基本知识“过过电影”、看一眼难记易忘的结论、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区，进行针对性的自我安慰，减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考．六、临场答题策略、技巧高考临场发挥显得尤为重要，正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防各种心理造成的不合理丢分和计算失误、笔误，而且能运用科学的检索方法，建立神经联系，挖掘思维和知识潜能．(一)放松精神，保持心态平衡的策略1、进场见老师，问声好以消除对监考老师的敬畏感，获得一种和谐的亲近感．试卷到手，首先要按照考试要求，认真、准确、规范地填好准考证号码、姓名等相关内容．避免开考后遗忘．2．“临战”前，保持心态平衡的方法有三种：①转移注意法：避开监目光，把注意力转移到某一次你印象较深的数学评讲课上，或转移到对往日有趣事情的回忆中．②自我安慰法：如“我经过的考试多了，没什么了不起”，“我今天心情不错，精神不错，一定考得不错．”等．③抑制思维法：闭目而坐，气贯丹田，四肢放松，深呼吸，慢吐气，可帮助放松．3．信心要充足，暗示靠自己．答卷中，见到简单题，要细心，莫忘乎所以，谨防“大意失荆州”．面对偏难的题，要耐心，不能急．应想到试题偏难对所有考生也难．通过这种暗示，确保情绪稳定，树立“人家会的我也会，人家不会的我也会”的必胜信念，使自己始终处于最佳竞技状态．4．时常提醒自己作到“四心”：静心、信心、细心、专心;做到“内紧外松”．集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，益于积极思维．注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则走向反面与焦虑，抑制思维，所以又要放得开，要愉快清醒，做到“内紧外松”．满分”是大忌．，应该捞的分一定要捞，该放弃的敢于暂时放弃．如果有时间再攻暂时放弃的题．(二)临场增分解题的技巧与策略1、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题（填空为主），让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，2、立足中低档题目，力争高水平答卷中要立足中下题目．中下题目通常占全卷80%，是试题的主要构成，考生得分的主要来源．学生拿下这些题目，实际上就是打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开．3、“五先五后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了．这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“五先五后”的战术原则．①先易后难．就是先做简单题，再做综合题．应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪．②先熟后生．通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处．对后者，不要惊慌失措．应想到试题偏难对所有考生也难．通过这种暗示，确保情绪稳定．对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目．这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的．③先同后异．是指先做同知识类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益．高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而“先同后异”，可以避免“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力．④先小后大．小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础．⑤先高后低．即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题；估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分．4、一“慢”一“快”，相得益彰解一个题，含两方面内容：方法的选择以及用所选方法准确完整地解决它．有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未理解全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同．应该说，审题要慢，解答要快．审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据．而思路一旦形成，则可尽量快速解答．5、确保运算准确，立足一次成功要尽量准确运算（关键步骤，力求准确，宁慢勿快），立足一次成功．解题速度是建立在解题准确度基础上，更何扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤．6、讲求规范书写，力争既对又全会而不对，令人惋惜；对而不全，得分不高；表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面．因为字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬、“感情分”也就相应低了，此谓心理学的“光环效应”．“书写要工整，卷面能得分”正是这个道理．7、面对难题，讲究策略，分步得分不要随便放弃一道题！如果是一道填空题，全然放弃，得零分，但只要填上答案，就有可能得５分．如果放弃的是解答题，又与高考数学解答题起点较低的特点格格不入．会做的题目要力求做对、做全、得满分，对于解答题中不能全面完成的难题如何分段得分？通常有两种方法．①缺步解答．对难题，确实啃不动时，明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数．如：把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标等，都能得分．还有象完成数学归纳法的第一步，分类讨论，反证法的简单情形等，都能得分．而且还可望在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成解题思路．②跳步解答．解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找它途；如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节．若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底；若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答．也许后来由于解题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在适当位置补上．8、重视复查环节，不争交头卷试题全做完后要认真检查，检查试卷要求、检查答题思路、检查解题步骤、检查答题结果．要看是否有漏题，答题所写字母与图形是否一致，格式是否规范，字母、符号、数据是否抄错．对解题结果常用的检验策略有：①回顾检验②赋值检验③逆代检验④估算检验⑤作图检验⑥多解法检验⑦极端检验．附：2008高考数学学科高考阅卷启示(温州中学）08年6月份，我受温州市教委的委派，前往杭州参加浙江省数学科的高考阅卷工作，参加的人员主要有浙江省各高校的教授、浙大的研究生和博士生、以及小部分的中学教师。

2011届高考数学考前指导一、数学高考考试过程中正确处理好如下几个关系：1、审题与解题的关系：“慢”审、“快”做2、“会做”与“得分”的关系：要坚持“会做的拿全分”的原则，过程要完整，表述要规范、作图要清楚、规范，结果要准确无误。

不要总想“捞满分”而要常想“多拣分，少丢分”．少犯低级错误。

3、“快”与“准”的关系：考试中心态在平静、稳定，不急不慌，必须稳扎稳打。

4、“难题”与“容易题”的关系：答卷要坚持由前向后、先易后难的原则，遇到难题要舍得放弃，集中时间做好“会做的题、经过努力能做的题”，最后再“啃”难题，尽量多写些，力争多得分。

填空题最后1-2题有难题，解答题“多题把关”，有些题第（1）、（2）问不难，但第（3）问可能比较难（当然也不是绝对的），“先易后难”的策略是明智的选择！！二、填空题解题策略在解答填空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷．一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成．填空题解题的基本原则是“小题不能大做”．解题基本策略是：巧做．根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：1、定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等．由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现．2、定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等．解题基本方法一般有：直接求解法、图像法、构造法和特殊化法(特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型)三、解答题解题策略第一：立几，容易题立体几何考什么？怎样出题？1。

平行（线线，线面，面面），重点仍是线面平行——两种方法（线线法，面面法）2。

垂直：条件与结论中都有垂直。

重点是线线垂直与线面垂直（或面面垂直）的转化。

3。

面积与体积。

高三数学复习口诀：不等式和数列知识点总结
眼过千遍不如手写一遍，为了帮助在校高中生，特别整理了高三数学复习口诀：不等式和数列一文，详情如下：
高三数学复习口诀：不等式和数列
《不等式》
解不等式的途径，利用函数的性质。

对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。

数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。

求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。

非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。

图形函数来帮助，画图建模构造法。

《数列》
等差等比两数列，通项公式N项和。

两个有限求极限，四则运算顺序换。

数列问题多变幻，方程化归整体算。

数列求和比较难，错位相消巧转换，
取长补短高斯法，裂项求和公式算。

归纳思想非常好，编个程序好思考：
一算二看三联想，猜测证明不可少。

还有数学归纳法，证明步骤程序化：
首先验证再假定，从K向着K加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

高三数学复习口诀：不等式和数列由为您整理提供，望各位考生能够努力奋斗，成绩更上一层楼。

（2011高考备战冲刺指导）难点19 解不等式不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式.●难点磁场(★★★★)解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1). ●案例探究［例1］已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0.(1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式：f (x +21)＜f (11-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围.命题意图：本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力，属★★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x +21∈［－1，1］，11-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方.技巧与方法：(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f (x )转化成“1”是点睛之笔.(1)证明：任取x 1＜x 2，且x 1，x 2∈［－1，1］，则f (x 1)－f (x 2)=f (x 1)+f (－x 2)=2121)()(x x x f x f --+·(x 1－x 2)∵－1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1+(－x 2)≠0，由已知2121)()(x x x f x f --+＞0，又 x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x )在［－1，1］上为增函数. (2)解：∵f (x )在［－1，1］上为增函数，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 解得：{x |－23≤x ＜－1，x ∈R } (3)解：由(1)可知f (x )在［－1，1］上为增函数，且f (1)=1，故对x ∈［－1，1］，恒有f (x )≤1，所以要f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，即要t 2－2at +1≥1成立，故t 2－2at ≥0，记g (a )=t 2－2at ，对a ∈［－1，1］，g (a )≥0，只需g (a )在［－1，1］上的最小值大于等于0，g (－1)≥0，g (1)≥0，解得，t ≤－2或t =0或t ≥2.∴t 的取值范围是：{t |t ≤－2或t =0或t ≥2}.［例2］设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值 范围.命题意图：考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系，属★★★★级题目.知识依托：本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.错解分析：M =∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错.技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗.解：M ⊆［1，4］有n 种情况：其一是M =∅，此时Δ＜0；其二是M ≠∅，此时Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围.设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－(4a +2)=4(a 2－a －2) (1)当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =∅［1，4］(2)当Δ=0时，a =－1或2.当a =－1时M ={－1} ［1，4］；当a =2时，m ={2}［1，4］. (3)当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2.设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2，那么M =［x 1，x 2］，M ⊆［1，4］⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<>>->+-210071803a a a a a 或，解得：2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718). ●锦囊妙计解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题：(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)设函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+)1(11)11(22)1()1(2x xx x x x ，已知f (a )＞1，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪(－21，+∞) B.(－21，21) C.(－∞，－2)∪(－21，1)D.(－2，－21)∪(1，+∞)二、填空题2.(★★★★★)已知f (x )、g (x )都是奇函数，f (x )＞0的解集是(a 2，b )，g (x )＞0的解集是(22a ，2b)，则f (x )·g (x )＞0的解集是__________. 3.(★★★★★)已知关于x 的方程sin 2x +2cos x +a =0有解，则a 的取值范围是__________. 三、解答题4.(★★★★★)已知适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3. (1)求p 的值；(2)若f (x )=11+-x x p p ，解关于x 的不等式f -－1(x )＞k x p +1log (k ∈R +)5.(★★★★★)设f (x )=ax 2+bx +c ，若f (1)=27，问是否存在a 、b 、c ∈R ，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切实数x 都成立，证明你的结论. 6.(★★★★★)已知函数f (x )=x 2+px +q ，对于任意θ∈R ，有f (sin θ)≤0，且f (sin θ+2)≥2.(1)求p 、q 之间的关系式； (2)求p 的取值范围；(3)如果f (sin θ+2)的最大值是14，求p 的值.并求此时f (sin θ)的最小值. 7.(★★★★)解不等式log a (x －x1)＞1 8.(★★★★★)设函数f (x )=a x 满足条件：当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案难点磁场解：原不等式可化为：2)2()1(--+-x a x a ＞0，即［(a －1)x +(2－a )］(x －2)＞0.当a ＞1时，原不等式与(x －12--a a )(x －2)＞0同解. 若12--a a ≥2，即0≤a ＜1时，原不等式无解；若12--a a ＜2，即a ＜0或a ＞1，于是a ＞1时原不等式的解为(－∞，12--a a )∪(2，+∞).当a ＜1时，若a ＜0，解集为(12--a a ，2)；若0＜a ＜1，解集为(2，12--a a )综上所述：当a ＞1时解集为(－∞，12--a a )∪(2，+∞)；当0＜a ＜1时，解集为(2，12--a a )；当a =0时，解集为∅；当a ＜0时，解集为(12--a a ，2）.歼灭难点训练一、1.解析：由f (x )及f (a )＞1可得：⎩⎨⎧>+-≤1)1(12a a ① 或⎩⎨⎧>+<<-12211a a ② 或⎪⎩⎪⎨⎧>-≥1111aa ③ 解①得a ＜－2，解②得－21＜a ＜1，解③得x ∈∅ ∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－21，1）答案：C 二、2.解析：由已知b ＞a 2∵f (x )，g (x )均为奇函数，∴f (x )＜0的解集是(－b ，－a 2)，g (x )＜0的解集是(－2,22a b -).由f (x )·g (x )＞0可得：⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<<-⎪⎩⎪⎨⎧<<<<⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>2222,0)(0)(0)(0)(2222a x b a x b b x a b x a x g x f x g x f 或即或 ∴x ∈(a 2，2b )∪(－2b，－a 2) 答案：(a 2，2b )∪(－2b，－a 2)3.解析：原方程可化为cos 2x －2cos x －a －1=0，令t =cos x ，得t 2－2t －a －1=0，原问题转化为方程t 2－2t －a －1=0在［－1，1］上至少有一个实根.令f (t )=t 2－2t －a －1，对称轴t =1，画图象分析可得⎩⎨⎧≤≥-0)1(0)1(f f 解得a ∈［－2，2］.答案：［－2，2］三、4.解：(1)∵适合不等式|x 2－4x +p |+|x －3|≤5的x 的最大值为3，∴x －3≤0，∴|x －3|=3－x .若|x 2－4x +p |=－x 2+4x －p ，则原不等式为x 2－3x +p +2≥0，其解集不可能为{x |x ≤3}的子集，∴|x 2－4x +p |=x 2－4x +p .∴原不等式为x 2－4x +p +3－x ≤0，即x 2－5x +p －2≤0，令x 2－5x +p －2=(x －3)(x －m )，可得m =2，p =8.(2)f (x )=1818+-x x ，∴f -－1(x )=log 8xx -+11 (－1＜x ＜1)，∴有log 8x x-+11＞log 8kx +1，∴log 8(1－x )＜log 8k ，∴1－x ＜k ，∴x ＞1－k . ∵－1＜x ＜1，k ∈R +，∴当0＜k ＜2时，原不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}.5.解：由f (1)=27得a +b +c =27，令x 2+21=2x 2+2x +23x ⇒=－1，由f (x )≤2x 2+2x +23推得 f (－1)≤23. 由f (x )≥x 2+21推得f (－1)≥23，∴f (－1)=23，∴a －b +c =23，故 2(a +c )=5，a +c =25且b =1，∴f (x )=ax 2+x +(25－a ).依题意：ax 2+x +(25－a )≥x 2+21对一切x ∈R 成立，∴a ≠1且Δ=1－4(a －1)(2－a )≤0，得(2a －3)2≤0，∴f (x )=23x 2+x +1 易验证：23x 2+x +1≤2x 2+2x +23对x ∈R 都成立.∴存在实数a =23，b =1，c =1，使得不等式：x 2+21≤f (x )≤2x 2+2x +23对一切x ∈R 都成立.6.解：(1)∵－1≤sin θ≤1，1≤sin θ+2≤3，即当x ∈［－1，1］时，f (x )≤0，当x ∈［1，3］时，f (x )≥0，∴当x =1时f (x )=0.∴1+p +q =0，∴q =－(1+p )(2)f (x )=x 2+px －(1+p )，当sin θ=－1时f (－1)≤0，∴1－p －1－p ≤0，∴p ≥0 (3)注意到f (x )在［1，3］上递增，∴x =3时f (x )有最大值.即9+3p +q =14，9+3p －1－p =14，∴p =3.此时，f (x )=x 2+3x －4，即求x ∈［－1，1］时f (x )的最小值.又f (x )=(x +23)2－425，显然此函数在［－1，1］上递增.∴当x =－1时f (x )有最小值f (－1)=1－3－4=－6.7.解：(1)当a ＞1时，原不等式等价于不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-a xx11011由此得1－a ＞x 1.因为1－a ＜0，所以x ＜0，∴a-11＜x ＜0. (2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-a xx11011由 ①得x ＞1或x ＜0，由②得0 ＜x ＜a -11，∴1＜x ＜a -11. 综上，当a ＞1时，不等式的解集是{x |a-11＜x ＜0}，当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |1＜x ＜a-11}.8.解：由已知得0＜a ＜1，由f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)，x ∈(0，1]恒成立.⎪⎩⎪⎨⎧+<-+-+<-⇔2111322m x mx xmx mx 在x ∈(0，1]恒成立. 整理，当x ∈(0，1)时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m x x 恒成立，即当x ∈(0，1]时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立，且x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx 恒成立， ∵2121212-=-x x x 在x ∈(0，1]上为减函数，∴x x 212-＜－1， ∴m ＜x x 212-恒成立⇔m ＜0.又∵2112)1(112+-+-=-+x x x x ，在x ∈(0，1]上是减函数， ∴112-+x x ＜－1.∴m ＞112-+x x 恒成立⇔m ＞－1当x ∈(0，1)时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+>-<112122x x m xx m 恒成立⇔m ∈(－1，0)① 当x =1时，⎪⎩⎪⎨⎧+<--<1)1(1222x x m xmx ，即是⎩⎨⎧<<100m ∴m ＜0 ②∴①、②两式求交集m ∈(－1，0）,使x ∈(0，1]时，f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，m 的取值范围是(－1，0)① ②。

高三数列不等式知识点归纳一、引言高中数学中的数列不等式是一个重要的知识点，它涉及到数列和不等式两个概念的结合与运用。

通过学习数列不等式，不仅可以加深对数列和不等式的理解，还能培养我们的逻辑思维和问题解决能力。

本文将对高三数列不等式的知识点进行归纳总结，帮助同学们更好地掌握这一内容。

二、数列不等式的基本概念数列不等式是指数列中的元素之间存在着不等关系的数学命题。

在数列不等式的求解过程中，我们需要运用数列的性质和不等式的性质，以及数学推理的方法。

通常，我们需要通过数列的通项公式求解数列不等式，以便得到数值解。

三、数列不等式的求解方法1. 改变不等式符号当我们求解数列不等式时，有时需改变不等式的方向，例如将不等式由大于等于改为小于等于。

这是因为不等式符号的改变会对不等式的求解产生一定的影响，我们需要根据具体情况进行判断。

2. 利用数列的性质在求解数列不等式时，我们可以运用数列的性质来简化问题。

例如，对于递增数列，我们可以通过数列元素的比较关系来简化不等式的求解过程。

3. 运用数学推理数列不等式的求解过程中，我们需要灵活运用数学推理方法，例如化简、分析、换元等。

通过合理地运用数学推理，我们可以将原复杂的不等式转化为简单的等价不等式，从而得到更方便求解的结果。

四、数列不等式的应用数列不等式的应用范围很广，涉及到很多实际问题和数学证明。

在高中数学中，我们通常会遇到一些典型的数列不等式应用题。

例如，通过推导数列不等式，可以证明某一数列的性质；通过求解数列不等式，可以确定数列的最值、推断数列的收敛性等。

五、数列不等式的扩展除了常见的数列不等式之外，还存在着许多有趣的数列不等式扩展问题。

例如，广义费马不等式、柯西不等式等。

这些扩展问题可以进一步拓展我们的思维，加深对不等式的理解。

六、数列不等式的实践意义与应用前景数列不等式作为数学知识的重要组成部分，具有广泛的实践意义和应用前景。

在实际问题中，我们可以通过研究数列不等式来解决一些实际生活中的优化问题、极值问题等。

第二节 解不等式不等式是高中数学的传统内容，对不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、均值不等式的考查多以选择、填空题的形式出现，这类试题虽然难度不大，但往往有一定的灵活性.若是解答题,也是中等难度的题目；高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数与导数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明.不等式因它的基础性（是研究函数、方程、极限等必不可少的工具）、渗透性（容易与其它各部分知识结合在一起）、应用性（实际应用广泛），很自然地成为每年高考的热点.近几年，高考关于不等式的命题趋势是： （1）单纯不等式的题目多以选择填空题的形式出现，若是解答题也是中等难度的题目；（2）高考中涉及不等式的，更多的情况是以函数、方程、三角、数列、解析几何等知识为载体，综合考查不等式的解法和证明，突出不等式的工具性.在高考试卷中，有关解不等式的试题一般有一到两道． 考试要求（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． （2）一元二次不等式① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． ③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 题型一： 不等式的解法例1(2011上海理科20)已知函数()23xxf x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠。

⑴ 若0ab >，判断函数()f x 的单调性；⑵ 若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围。

点拨；解不等式的基本思想方法是转化：一元二次不等式转化为一元一次不等式，分式不等式转化为整式不等式，指数与对数不等式（通过化“同底”）转化为代数不等式，抽象函数不等式（通过单调性）转化为具体不等式等.本题是指数不等式，可通过化“同底”求解．解：⑴ 当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+- ∵ 121222,0(22)0xxxxa a <>⇒-<，121233,0(33)0xxxxb b <>⇒-<， ∴ 12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数。

2011年高考数学复习知识点之不等式1、不等式的性质：（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）；2. 不等式大小比较的常用方法：比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当43x =时，1+3log x ＝2log 2x ）3. 利用重要不等式求函数最值（1）下列命题中正确的是A 、1y xx =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x=-->的最小值是2-（答：C ）；（2）若21x y +=，则24x y+的最小值是______（答：）；（3）正数,x y 满足21x y +=，则yx 11+的最小值为______（答：3+；4.常用不等式有：如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_____（答：[)9,+∞）5、证明不等式的方法：（1）已知c b a >>，求证：222222ca bc ab a c c b b a ++>++ ；(2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++；（3）已知,,,a b x y R +∈，且11,x y a b>>，求证：x y x a y b>++；(4)已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22()c a abc a b c +≥++； 6.简单的一元高次不等式的解法：（1）解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

高三数列与不等式知识点在高中数学中，数列和不等式是数学学科中非常重要的知识点。

它们在解题过程中经常出现，具有广泛的应用价值。

本文将详细介绍高三数列与不等式的相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、数列数列是按照一定顺序排序的一组数。

我们常见的数列包括等差数列、等比数列和递推数列等。

接下来将依次介绍这些数列的特点和求解方法。

1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

设数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n - 1)d其中，an表示数列的第n项。

对于等差数列，我们常常需要求其前n项和Sn。

求解方法有两种常见的方式：一种是利用求和公式，如果数列的首项为a₁，末项为an，共有n项，则等差数列前n项和Sn的计算公式为：Sn = (a₁ + an) * n / 2另一种是利用递推关系式，通过依次累加求得：S₁ = a₁S₂ = a₁ + a₂S₃ = a₁ + a₂ + a₃...Sn = a₁ + a₂ + ... + an2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

设数列的首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n - 1)等比数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)需要注意的是，当公比q为1时，等比数列将退化为等差数列。

3. 递推数列递推数列是一种通过前一项或前几项直接得到下一项的数列。

递推数列无法使用通项公式表示，但可以根据题目给出的递推关系式逐步求解。

以斐波那契数列为例，斐波那契数列的递推关系式为：Fn = Fn−1 + Fn−2其中，F₁ = 1，F₂ = 1为斐波那契数列的前两项。

二、不等式不等式是数学中用于表示数之间大小关系的一种符号组合。

常见的不等式包括一元一次不等式、二次不等式和绝对值不等式等。

下面将分别介绍这些不等式的解集表示法和求解方法。