最新人教A版必修五高二数学3.1不等关系与不等式6教学设计

固原一中高二数学组第九周集体备课初稿教学内容：3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划教学时间：10月21 日至10月26 日主备（讲）人：杨弯弯第一、二课时教学内容 3.1.1不等关系与不等式三维目标一、知识与技能1.通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2.了解不等式或不等式组的实际背景。

二、过程与方法1.采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。

2.熟练掌握比较两个实数大小的基本方法-作差法，及不等式性质的运用三、情感态度与价值观1.通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系，鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学学习态度。

教学重点 1.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；2.比较两个实数大小的基本方法-作差法及不等式性质的运用教学难点 1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.熟练掌握比较两个实数大小的基本方法-作差法，及不等式性质的运用教学方法启发式教学教学过程复习引入师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生实例1：某天的天气预报报道，最高气温32℃，最低气温26℃.生实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则x a＜x b.(老师协助画出数轴草图)生实例3:若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(学生迫不及待地说出这么多,说明课前的预习量很充分,学习数学的兴趣浓,此时老师应给以充分的肯定和表扬)新课学习1.不等式与不等关系的异同S:略【问题1】设点A与平面α的距离为d,B为平面α上的任意一点.师请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.(此时,教室一片安静,同学们在积极思考,时间较长,老师应该及时点拨)师前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以?(可以让学生板演，结合三角形草图来表达)过点A 作AC ⊥平面α于点C ，则d =|AC |≤|AB |.师 这位同学做得很好,我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想,以形助数,以数解形.师 请同学们继续来处理问题2.【问题2】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?生 可设杂志的定价为x 元，则销售量就减少2.01.05.2⨯-x 万本. 师 那么销售量变为多少呢？如何表示？生 可以表示为)2.01.05.28(⨯--x 万本，则总收入为x x )2.01.05.28(⨯--万元. 〔老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为)2.01.05.28(⨯--x x ≥20〕 师 是否有同学还有其他的解题思路？生 可设杂志的单价提高了0.1n 元，(n ∈N *)，（下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况）师 为什么可以这样设？生 我只考虑单价的增量.师 很好，请继续讲.生 那么销售量减少了0.2n 万本，单价为(2.5+0.1n )元，则也可得销售的总收入为不低于20万元的不等式，表示为(2.5+0.1n )(8-0.2n )≥20.师 这位同学回答得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.（留下让学生思考的时间）师 请同学们继续思考第三个问题.【问题3】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种,按照生产的要求,600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式?师 假设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根.根据题意，应当有什么样的不等量关系呢？生 截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm .生 截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍.生 截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是“或”还是“且”的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.生 由实际问题的意义，还应有x ,y ∈N.师 这位同学回答得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥≥≥≤+.,,0,0,3,40000600500N y x y x y x y x 师 这位同学回答很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.2.实数大小的比较T ：回顾初中时有那些比较方法？S:（1）用数轴比较（2）a,b 都是实数0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a0<-⇔<b a b a3.不等的性质1.a b b a <⇔>2.a>b,b>c ⇒a>c3.a>b ⇒a+c>b+c4.a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc5a>b,c>d ⇒a+c>b+d6.a>b>0,c>d>0⇒ac>bd7.a>b>0⇒n n b a >(*N n ∈)8.a>b>0⇒)2,(≥∈>n N n b a n n证明1,4〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。

第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）教学要求：了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.教学重点：从实际问题中找出不等关系.教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关系吗？3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元；二、讲授新课：1、教学用不等式表示不等关系① 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.② 举例：例如：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是v ≤40.④ 实数的运算性质与大小顺序之间的关系对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a<b,那么a-b 是负数;如果a-b 等于0.它们的逆命题也正确.即(1)0;(2)0;(3)0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<2、教学例题：①出示例1：日常生活中，在一杯含有a 克糖的b 克糖水中，再加入m 克糖，则这杯糖水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式。

（浓度＝溶质溶液） ②出示例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销量就相应地减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入还不底于20万元呢？（教师示范 → 学生板演 → 小结）3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.三、巩固练习：１.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买３片和２盒，请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来。

3.1不等关系与不等式（1）教学目标：1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式．教学过程：一、不等关系在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系．下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系．问题1：设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d≤AB．问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭万元．那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭≥20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负．由以上不等关系，可得不等式组：5006004000300x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩二、数运算性质与大小顺序之间的关系b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0； b a b a <⇔<-0．三、不等式的性质定理1：（对称性）如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b ；即 a>b ⇔b<a ． 证明：说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向． 定理2：（传递性）如果a>b ，b>c ，那么a>c ． 即 a>b ，b>c ⇒a>c ． 证明：说明：由定理1，可知定理2还可以表示为：a c a b b c <⇒<<,． 定理3：（加法保序性）若a>b ，则a+c>b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c ． 证明：推论1：（移项法则）不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边．推论2：（加法法则）a>b ，c>d ⇒a+c>b+d ． 证明：推广：两个或几个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向． 定理4：（乘法保序性）若a>b ，c>0，则ac>bc ；若a>b ，c<0，则ac<bc ．即 a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bd ．证明：推论1：（乘法法则）a>b>0，c>d>0⇒ac>bc ． 证明：推广：两个或几个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向． 推论2：（乘方法则）a>b>0⇒n nb a>(n ∈N,且n>1)定理5：（开方法则）若,0>>b a 则nn b a >()1,>∈n N n 且． 即.0nn b a b a >⇒>>证明：练习：课本：P74．小结：1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据．2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件． 四、应用举例例1．已知,a b c d ><，求证a c b d ->-． 证明：例2．已知0,0a b c >><，求证：c c a d>． 证明： 例3．已知0>≥d c b a ，求证0>+≥+dc c b a a ． 证明：cd a b d c b a ≤∴>≥,0Θ．c d a b +≤+∴11，c dc a b a +≤+<∴0 故0>+≥+dc cb a a ． 例4．设3612,208<<<<b a ，求bab a b a ,2,-+的取值范围． 解：由56203612208<+<⇒⎩⎨⎧<<<<b a b a ；Θ242723612-<-<-⇒<<b b ，且128<<a ，4264-<-<-∴b a ．由35921211361208<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<<<b a b a ．例5．设bx ax x f +=2)(，2)1(1≤-≤-f 且4)1(2≤≤f ．求(2)f 的取值范围． 解：(1),(1),(2)42f a b f a b f a b -=-=+=+Q ．设)1()1()2(nf mf f +-=-，即42()()()()a b m a b n a b m n a n m b +=-++=++-．4123m n m n m n =+=⎧⎧∴⇒⎨⎨=-=⎩⎩．(2)(1)3(1)f f f ∴=-+． 由2)1(1≤-≤-f 得，63(1)12f ≤≤．5(2)(1)3(1)14f f f ∴≤=-+≤．小结：1．应用不等式的性质证明不等式，一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式．2．根据不等式的性质，同向不等式可以相加，同向且两边均为正数的不等式可以相乘；同向不等式不能相减和相除，异向不等式的相减或相除应转化继同向不等式后用相加或相乘来进行．3．同号两数的顺序关系与其倒数的顺序相反．4．用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相加或相乘来完成的，如果是有等号的还应注意两端能否取得等号．五、课堂练习： 六、作业： 七、补充题：1．设a<b<0，下列命题：①b a 11>；②ab a 11>-；③b a >；④22b a >中，假命题的个数是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)0 答：选 (C)．2．若a,b 是任意实数，且a>b ，四个不等式22b a >，,1<a b ba b a ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛>-2121,0)lg(中，能成立的不等式的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答：选（A ）．。

3.1不等关系与不等式（第一课时）【教学目标】1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景。

2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法。

3．情态与价值：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。

【教学重点】1．用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题。

2．理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值。

【教学难点】1．用不等式(组)准确地表示不等关系。

2．用不等式(组)解决简单的含有不等关系的实际问题。

【方法手段】1．采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从抽象到具体的方法进行启发式教学。

2．教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用。

3．设计教典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性。

【教学过程】一、课题导入章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然的引入新课。

引导学生想生活中的例子和学过的数学中的例子。

在老师的引导下，学生会说出很多个例子来。

即活跃了课堂气氛，又激发了学生学习数学的兴趣。

通过实例的引导让学生感受生活中人们经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。

而且在数学中，我们用不等式来表示不等关系。

二、学生自由阅读、探究并回答相关问题 阅读课本72页问题1，2，3．问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤．问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。

据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。

若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元， 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1x x --⨯≥．问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种．按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。

3.1不等关系与不等式教学目标：1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单不等式，掌握比较大小的方法． 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法． 3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯． 重 点：不等式的概念和比较大小的方法． 难 点：比较大小的方法． 教学过程：一、不等式的概念1．同向不等式、异向不等式的概念：同向不等式：如：12+>+a a 与32>；45<与7213-<+x x ． 异向不等式：如：332->+a a 与6213+<+x x ． 2．数运算性质与大小顺序之间的关系：b a b a >⇔>-0； b a b a =⇔=-0； b a b a <⇔<-0．二、判断实数大小的方法： １．差比法：例1．比较522+b a 与a a ab 422--的大小；解：()()222524a b ab a a +---()()2222144a b ab a a =-++++()()02122≥++-=a ab ．其中等号当且仅当1,2ab a ==-，即,2-=a 21-=b 时成立． 例2．设R c b a ∈,,，比较222c b a ++与ca bc ab ++的大小． 方法1：222c b a ++)(ca bc ab ++-0])()()[(21222≥-+-+-=a c c b b a ． 方法2：（主元法）bcc b a c b a ca bc ab c b a -+++-=++-++222222)()(04)(3)2(22≥-++-=c b c b a ．（也可以证明判别式不大于零）．例3．已知a 是实数，试比较11a-与1a +的大小． 解：∵ 11a--(1)a +21a a =- ∴ 当0a =时，11a=-(1)a +； 当1a <且0a ≠时，11a>-(1)a +； 当1a >时，11a<-(1)a +． 练习：比较522+b a 与a a ab 422--的大小．解：()()()()4412425222222++++-=---+a a ab b a a a ab b a ()()02122≥++-=a ab ．其中等号当且仅当2,1==a ab 时成立．即,2-=a 21-=b ． 小结：①作差；②变形；③判断差的符号（与两个实数本身的符号无关）． ２．商比法：例4．设0>>b a ，试比较2222b a b a +-与ba b a +-的大小．解：.0,0>-∴>>b a b a Θ 又222222222222)(b a b ab a b a b a b a b a b a b a +++=++=+-+-． 022222>+>++b a b ab a Θ，∴ 上式大于1，∴ 2222b a b a +->ba b a +-． 小结：对任意两个正实数a 、b ，若1>b a ，则a b >；若1=b a ，则a b =；若1<ba，则a b <；反之亦成立．练习：若0>>b a ，比较ba b a 与abb a 的大小．解法一：b a b a b aa b -＝()b b a ba b a b ab --=-∵ 0>>b a ，∴ 0,0bb a b >>，0,a ba b a b ab --->>．∴ a b b a a ba b <．解法二：ba b a a b b a b a a b b a b a b a -==)()()(．Θ0>>b a ，1,0aa b b∴>->． 根据函数(1)xy a a =>在Ｒ上是增函数，则1)()(0=>-ba ba ba ．∴1>a b ba ba b a 且0>a b b a ，则b a b a ＜a b b a ． 例5．设01x <<，0a >且1a ≠，比较)1(log x a -与)1(log x a +的大小． 解法一：110,110,102<-<<-<∴<<x x x Θ．xx x x x x x x x a a +--=--=-=+-∴+++11log )1(log )1(log )1(log )1(log 2)1()1()1( 2(1)1log (1)1x x +=-->．)1(log )1(log x x a a +>-∴．解法二：lg(1)lg(1)log (1)log (1)lg lg a a x x x x a a-+--+=-[]11lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)lg lg x x x x a a=⎡--+⎤=---+⎣⎦ 2lg(1)0lg x a-=->)1(log )1(log x x a a +>-∴．说明：（1）用求差比较结果时，通常是做因式分解，利用各因式的符号判断，或是配方利用非负数的性质进行判断．（2）用求商比较结果时应注意与1的大小时，通常不等式两边是以积商幂的形式出现，求商时应注意分母必须大于零，且注意研究比值特征，利用函数性质来判断．三、作业：。

人教版新课标普通高中◎数学⑤必修第三章不等式概述不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容.建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.根据课程标准，在本章中，学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的内在联系.1．内容与课程学习目标本章主要学习描述不等关系的数学方法，一元二次不等式的解法及其应用，线性规划问题，基本不等式及其应用等，通过学习，要使学生达到以下目标：（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程；通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（3）从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单最大（小）值问题.2．教学要求（1）基本要求①了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；理解不等式（组）对于刻划不等关系的意义和价值；会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，能用不等式（组）研究含有不等关系的实际问题.②理解并掌握不等式的基本性质；了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.③理解一元二次不等式的概念；通过图象，理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系.④理解并掌握解一元二次不等式的过程；会求一元二次不等式解集；掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想，会设计求解的过程.⑤了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）模型的过程；理解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的解集的概念；了解二元一次不等式的几何意义，理解（区域）边界的概念及实线、虚线边界的含义；会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定的不等式（组）表示的平面区域.1教师备课系统──多媒体教案2 ⑥了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念；掌握简单的二元线性规划问题的解法.⑦了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程；理解算术平均数，几何平均数的概念；会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题；通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值.（2）发展要求①体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用.②会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决.（3）说明①不等式的有关内容将在选修4-5中作进一步讨论.②淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用.③突出用基本不等式解决问题的基本方法，不必推广到三个变量以上的情形.3. 教学内容及课时安排建议3.1不等式与不等关系（约2课时）3.2一元二次不等式及其解法（约2课时）3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域（约2课时）3.3.2简单的线性规划问题（约2课时）3.4基本不等式：2ba ab +≤（约2课时）人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修33.1 不等关系与不等式教案 A第1课时教学目标一、知识与技能通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质.二、过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.三、情感、态度与价值观通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯. 教学重点和难点教学重点：用不等式（组）表示实际问题的不等关系；并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点：用不等式（组）正确表示出不等关系.教学关键：将实际问题的不等关系转化为数学中不等式问题.教学突破方法：通过分析实践、自主探究、合作交流等一系列的寻求问题解决方法的活动，讨论解决方法.教法与学法导航教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法.学习方法：从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材.学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境，导入新课在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边，等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中，我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、主题探究，合作交流1. 用不等式表示不等关系引例1：限速40km /h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是40v .教师备课系统──多媒体教案4引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示.3.2,5.20000≥≥p f问题1：设点A 与平面α的距离为d ，B 为平面α上的任意一点，则||d AB ≤. 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解：设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯ 万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥. 问题3：某钢铁厂要把长度为4 000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍. 怎样写出满足所有上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得500 mm 的钢管 x 根，截得600mm 的钢管y 根.根据题意，应有如下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不超过4 000mm ；（2）截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：5006004000300.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，， 三、拓展创新，应用提高1. 试举几个现实生活中与不等式有关的例子.2. 教材第74页的练习 第1、2题.四、小结用不等式（组）表示实际问题的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.五、课堂作业教材第75页习题 3.1A 组 第4、5题.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修5第2课时教学目标一、知识与技能掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式.二、过程与方法通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法.三、情感、态度与价值观通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.教学重点和难点教学重点：掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式.教学难点：利用不等式的性质证明简单的不等式.教学关键：学生会用不等式的性质证明简单的不等式和比较两个数的大小.教学突破方法：通过问题解决情景的设置、投影错例展示的方式，解决学生对不等式的理解.教法与学法导航教学方法：采用探究法，遵循从具体到抽象的原则.学习方法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的基本性质，设计较典型的问题，总结解题的规律.教学准备教师准备：多媒体、黑板、教材.学生准备：直尺、教材.教学过程一、创设情境，导入新课关于不等式的几个基本事实0;0;0.a b a b a b a b a b a b >⇔->⎧⎪=⇔-=⎨<⇔-<⎪⎩在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质，请同学们回忆初中不等式的的基本性质.1. 不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变，即若a b a c b c >⇒±>±；2. 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变，即若,0a b c ac bc >>⇒>；3. 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，即若,0a b c ac bc ><⇒<.二、主题探究，合作交流1. 不等式的基本性质教师备课系统──多媒体教案6 师：同学们能证明以上不等式的基本性质吗？证明：（1）()()0a cbc a b+-+=->，∴a c b c+>+；（2）()()0>-=---bacbca，∴cbca->-．实际上，我们还有,a b b c a c>>⇒>.（证明：∵a＞b，b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0．）根据两个正数的和仍是正数，得（a－b）＋（b－c）＞0，即a－c＞0，∴a＞c．于是，我们就得到了不等式的基本性质：（1）abba<⇔>；（2）,a b b c a c>>⇒>；（3）a b a c b c>⇒+>+；（4）,0a b c ac bc>>⇒>；,0a b c ac bc><⇒<.例1已知0,0,a b c>><求证c ca b>.证明：因为0a b>>，所以ab>0,1ab>.于是11a bab ab⨯>⨯，即11b a>.由c<0 ，得c ca b>.例2比较（a＋3）（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负（注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要）.根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题.解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）2. 探索研究思考：利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：（5）dbcadcba+>+⇒>>,；（6）bdacdcba>⇒>>>>0,0；人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修7（7）)2,(0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n ；（8）)2,(0≥∈>⇒>>n N n b a b a n n .证明：（5）∵ a ＞b ， ∴ a ＋c ＞b +c ． ①∵ c ＞d ， ∴ b ＋c ＞b ＋d ． ②由①②得 a ＋c ＞b ＋d ．（6）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,.（7）同学们自己证明.（8）反证法）假设n n b a ≤，则：a b a b <⇒<=⇒=这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．三、知识巩固，练习提高例3 已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小.解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=.∵0≠x ， ∴02>x . 从而22)1(+x >124++x x .例4 已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则ba －c 与ab －d 的大小关系为________．解析：b a －c －ab －d ＝b 2－bd －a 2＋ac (a －c )(b －d )＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac)(a －c )(b －d ).因为a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，所以a －c ＞0，b －d ＞0，b －a ＜0，又－c ＞－d ＞0，则有－ac ＞－bd ，即ac ＜bd ，则bd －ac ＞0，所以（b ＋a ）（b －a ）－（bd －ac ）＜0，所以b a －c －a b －d ＝(b ＋a )(b －a )－(bd －ac )(a －c )(b －d )＜0，即b a －c ＜ab －d ..教师备课系统──多媒体教案8 答案：ba－c＜ab－d.课堂练习：教材第74页的练习第3题.四、小结本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式；第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论.五、课堂作业教材第75页习题3.1 A组第2、3题；B组第1题.教案 B第1课时教学目标1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣.教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题；理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质.教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小.教学过程一、导入新课章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.二、提出问题1.回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与不等式的异同，怎样利用人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 9不等式研究及表示不等关系？2. 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，你能举出一些实际例子吗？三、应用示例例1 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车．根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则40901000,5,6,N ,x y x y x y *+≤⎧⎪≥⎨≥⎪∈⎩，，即. 49100,5,6,N .x y x y x y *+≤⎧⎪≥⎨≥⎪∈⎩， 例2．某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm 钢管x 根，截得的600mm 钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000,3,,.x y x y x N y N +≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．四、小结上面的例子表明，我们可以用不等式（组）来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用（<>≤≥≠、、、、）表示不等关系. 老师进一步画龙点睛，指出不等式是研究不等关系的重要数学工具．五、练习教材第74页 练习第 1、2题．六、提出新问题怎样比较两个实数的大小？七、作业教材第75页习题3.1 A 组第4、5题； B 组第1、2题．第2课时教学目标1．在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的有关内容；利用数轴回忆实数的基本理论并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小，教师备课系统──多媒体教案10及用实数的基本理论来证明不等式的一些性质.2．通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等式的一些基本性质.并在了解不等式一些基本性质的基础之上，掌握作差比较法判断两实数或代数式大小，利用它们来证明一些简单的不等式.3．通过富有实际意义问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真和科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘与数学的结构美，激发学生的学习兴趣. 教学重点用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值及不等式的三条基本性质. 教学难点用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，作差比较法判断两实数或代数式大小. 教学过程一、提出问题不等式是研究不等关系的重要数学工具，我们都了解哪些不等式的性质呢？1.请学生回答等式有哪些性质？2.不等式有哪些基本性质？这些性质都有何作用？二、探究不等式的性质性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）.证：∵b a >，∴0>-b a ，由正数的相反数是负数.0)(<--b a ，0<-a b ，a b <.性质2：如果b a >，c b >，那么c a >（传递性）.证：∵b a >，c b >，∴0>-b a ，0>-c b .∵两个正数的和仍是正数，∴+-)(b a 0)(>-c b .∵0>-c a ，∴c a >.由对称性，性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <.性质3：如果b a >，那么c b c a +>+（加法单调性）反之亦然.证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ，∴c b c a +>+.从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(.性质4：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+（相加法则）.证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>. 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->-（相减法则）.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 11证：∵d c < ∴d c ->-；d b c a d c ba ->-⇒⎩⎨⎧->->.或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---.d c ba <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0.性质5：如果b a >且0>c ，那么bc ac >.如果b a >且0<c ，那么bc ac <（乘法单调性）.证：c b a bc ac )(-=-.∵b a >，∴0>-b a .根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a ，即：bc ac >；0<c 时0)(<-c b a ，即：bc ac <.性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）.证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,.推论：如果0>>b a 且d c <<0，那么d bc a>（相除法则）.证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a dcd bc a >.性质7：如果0>>b a , 那么n n b a > (N 1)n n ∈>且.性质8：如果0>>b a ，那么n n b a > (N 1)n n ∈>且.证：（反证法）假设n n b a ≤，则：a b a b <=这都与b a >矛盾， ∴nn b a >.三、应用实例例1 比较大小教师备课系统──多媒体教案12 ①已知0>>ba，0<c求证：bcac>；解：∵0a b>>，∴ab>0,1ab>.∴11a bab ab⨯>⨯，即11b a>.∵c<0 ，∴c ca b>.②231-和10.解：∵23231+=-，∵02524562)10()23(22<-=-=-+.∴231-<10.例2 比较)5)(3(-+aa与)4)(2(-+aa的大小.解：（取差）)5)(3(-+aa-)4)(2(-+aa7)82()152(22<-=-----=aaaa.∴)5)(3(-+aa<)4)(2(-+aa.例3 已知x≠0, 比较22)1(+x与124++xx的大小.解：（取差）22)1(+x-)1(24++xx22424112xxxxx=---++=.∵0≠x，∴02>x.从而22)1(+x>124++xx.小结：比较大小的步骤：“作差－变形－定号－结论”.例4 已知2,x>比较311x x+与266x+的大小．人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 13解：3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+- 2(3)(32)(3)x x x x =-+-+-=(3)(2)(1)x x x --------------------（*）（1）当3x >时，（*）式0>，所以 311x x +>266x +；（2）当3x =时，（*）式0=，所以 311x x +=266x +；（3）当23x <<时，（*）式0<，所以 311x x +<266x +. 说明：实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．四、课堂练习1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->-. 证明：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->-. 2．||||,0b a ab >>， 比较a 1与b 1的大小. 解：a 1-b 1aba b -=， 当0,0>>b a 时，∵||||b a >即b a >，0<-a b ，0>ab ， ∴0<-ab a b ，∴a 1<b1. 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <，0>-a b ，0>ab ， ∴0>-ab a b ，∴a 1>b1. 3．若0,>b a ， 求证：a b ab >⇔>1. 解：01>-=-aa b a b . ∵0>a ， ∴0>-a b ，∴b a <.0>-⇒>a b a b .∵0>a ，∴01>-=-a b a a b ， ∴1>a b .教师备课系统──多媒体教案14 五、课堂小结1.不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式;2.如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法.六、布置作业教材第75页习题3.1 A组第2、3题；B组第2、3题.。

3.1 不等关系与不等式（导学案）（集美中学 杨正国）一、学习目标1、了解不等式与不等式组的实际背景；掌握常用不等式的基本基本性质；会将一些基本性质结合起来应用.2、通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；二、本节重点用不等式（组）表示实际问题的不等关系,并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、本节难点用不等式（组）正确表示出不等关系.四、知识储备“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有2200x x ≥-≤≥≤，，|x|0，-|x|0等. ② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.③常用的不等式的基本性质 (1),(2)(3),0(4),0a b b c a ca b a c b c a b c ac bca b c ac bc>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒< 五、通过预习掌握的知识点实数的运算性质与大小顺序之间的关系对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a<b,那么a-b 是负数;如果a-b 等于0.它们的逆命题也正确.即(1)0;(2)0;(3)0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式.例如：a>b,c>d,是同向不等式异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b,c<d,是异向不等式2．不等式的性质：(1),(2)(3),0(4),0a b b c a ca b a c b c a b c ac bca b c ac bc>>⇒>>⇒+>+>>⇒>><⇒< 六、知识运用①.比较233x x +与的大小,其中x R ∈.②.比较当0a ∉时,2222(1)(1)(1)(1)a a a a a a +++++-+与的大小.③.设实数,,a b c 满足22643,44,,,b c a a c b a a a b c +=-+-=-+则的大小关系是_____________.④.配制,A B 两种药剂需要甲、乙两种原料,已知配一剂A 种药需甲料3毫克,乙料5毫克,配一剂B 药需甲料5毫克,乙料4毫克.今有甲料20毫克,乙料25毫克,若,A B 两种药至少各配一剂,则,A B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.七、重点概念总结1．两个实数a 与b 之间的大小关系(1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b －＞＞；－；－＜＜．⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎩⎪若、，则＞＞；；＜＜． a b R (4)a b 1a b (5)a b=1a =b (6)a b 1a b ∈⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+2．不等式的性质(1)a b b a()＞＜对称性⇔ (2)a b b c a c()＞＞＞传递性⎫⎬⎭⇒(3)a b a c b c()＞＋＞＋加法单调性⇔ a b c 0 ac bc ＞＞＞⎫⎬⎭⇒(4) (乘法单调性) a b c 0 ac bc ＞＜＜⎫⎬⎭⇒(5)a b c a c b()＋＞＞－移项法则⇒ (6)a b c d a c b d()＞＞＋＞＋同向不等式可加⎫⎬⎭⇒ (7)a b c d a c b d()＞＜－＞－异向不等式可减⎫⎬⎭⇒ (8)a b 0c d 0ac bd()＞＞＞＞＞同向正数不等式可乘⎫⎬⎭⇒ (9)a b 00c d b d ()＞＞＜＜＞异向正数不等式可除⎫⎬⎭⇒a c (10)a b 0n N a b ()n n ＞＞＞正数不等式可乘方∈⎫⎬⎭⇒ (11)a b 0n N a ()n ＞＞＞正数不等式可开方∈⎫⎬⎭⇒b n(12)a b 01a ()＞＞＜正数不等式两边取倒数⇒1b。

备课资料 备用习题
1.已知x ＞y ＞z ＞0，求证：z x z y x y --＞. 分析：证明简单不等式常依据实数的基本性质及直接运用不等式的基本性质及推论，也可作差比较.
证明：∵x＞y,∴x -y ＞0.∴01＞y
x -. 又y ＞z,∴y
x z y x y --＞.① ∵y＞z,∴-y ＜-z.∴x -y ＜x-z.
∴0＜x-y ＜x-z.∴z
x y x --11＞. 又z ＞0,∴z
x z y x z --＞.② 由①②得z x z y x z --＞. 小结：运用性质证明不等式时，应注意有理有据，严谨细致，还应条理清晰.上述的证明方法采用的证明思路是由条件到结论，也可采用由结论到条件的证明思路去证明，请同学们不妨尝试一下.
2.试判断下列各对整式的大小：(1)m 2-2m+5和－2m+5；(2)a 2-4a +3和－4a +1.
点拨：根据不等式的性质1，我们可以得到另一种比较两个数(或代数式)的大小的方法： 若A －B ＞0，则A ＞B ；若A －B =0，则A =B ；若A －B ＜0，则A ＜B .
这种比较大小的方法，称为“作差比较法”，简称“比差法”.本例就可以用这种方法.
解：(1)∵（m 2-2m+5）-(-2m+5)
=m 2-2m+5+2m-5
=m 2，
∵m 2≥0，∴(m 2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m 2-2m+5≥-2m+5.
(2)∵(a 2-4a +3)-(-4a +1)
=a 2-4a +3+4a -1
=a 2+2,
∵a 2≥0，∴a 2+2≥2＞0.
∴a 2-4a +3＞-4a +1.。

3.1不等关系与不等式（1）一、教学目标：1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图引入新知归纳抽象形成概念一、提出问题不等关系在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系．下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系．提出问题，激发学生学习的兴趣。

通过生活与数学知识的结合发现问题。

二、知识探究：问题1：右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h .问题2：中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v1 )不小于第一宇宙速度(记作v),且小于第二宇宙速度(记v2).问题3：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？问题1.0<v≤40问题2. v1≤v<v2问题3.⎩⎨⎧≥≥%.3.2%,5.2pf让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深入的过程，让学生自己感受生活中的不等关系，体会数学化的过程。

3.1不等关系与不等式（1）教学目标：1．知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系，理解不等式（组）的实际背景，掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式．2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法．3．情感、态度与价值观：通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯．重点：理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值；掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式．难点：利用不等式的性质证明简单的不等式．教学过程：一、不等关系在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系．如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等．人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系．在数学中，我们用不等式来表示不等关系．下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系．问题1：设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d≤AB．问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭万元．那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式2.580.20.1xx-⎛⎫-⨯⎪⎝⎭≥20问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm 钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..根据题意，应有如下的不等关系：（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；（3）解得两钟钢管的数量都不能为负．由以上不等关系，可得不等式组：5006004000300x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩二、数运算性质与大小顺序之间的关系b a b a >⇔>-0；b a b a =⇔=-0； b a b a <⇔<-0．三、不等式的性质定理1：（对称性）如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b ；即 a>b ⇔b<a ． 证明：说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向． 定理2：（传递性）如果a>b ，b>c ，那么a>c ． 即 a>b ，b>c ⇒a>c ． 证明：说明：由定理1，可知定理2还可以表示为：a c a b b c <⇒<<,． 定理3：（加法保序性）若a>b ，则a+c>b+c ，即a>b ⇒a+c>b+c ． 证明：推论1：（移项法则）不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边．推论2：（加法法则）a>b ，c>d ⇒a+c>b+d ． 证明：推广：两个或几个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向． 定理4：（乘法保序性）若a>b ，c>0，则ac>bc ；若a>b ，c<0，则ac<bc ．即 a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bd ．证明：推论1：（乘法法则）a>b>0，c>d>0⇒ac>bc ． 证明：推广：两个或几个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向． 推论2：（乘方法则）a>b>0⇒n nb a>(n ∈N,且n>1)定理5：（开方法则）若,0>>b a 则nn b a >()1,>∈n N n 且． 即.0nn b a b a >⇒>>证明：练习：课本：P74．小结：1．不等式的性质是进行不等式的证明和解不等式的依据．2．在运用不等式的性质时，一定要严格掌握它们成立的条件． 四、应用举例例1．已知,a b c d ><，求证a c b d ->-． 证明：例2．已知0,0a b c >><，求证：c c a d>． 证明： 例3．已知0>≥d c b a ，求证0>+≥+dc c b a a ． 证明：cd a b d c b a ≤∴>≥,0Θ．c d a b +≤+∴11，c dc a b a +≤+<∴0 故0>+≥+dc cb a a ． 例4．设3612,208<<<<b a ，求bab a b a ,2,-+的取值范围． 解：由56203612208<+<⇒⎩⎨⎧<<<<b a b a ；Θ242723612-<-<-⇒<<b b ，且128<<a ，4264-<-<-∴b a ．由35921211361208<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<<<b a b a ．例5．设bx ax x f +=2)(，2)1(1≤-≤-f 且4)1(2≤≤f ．求(2)f 的取值范围． 解：(1),(1),(2)42f a b f a b f a b -=-=+=+Q ．设)1()1()2(nf mf f +-=-，即42()()()()a b m a b n a b m n a n m b +=-++=++-．4123m n m n m n =+=⎧⎧∴⇒⎨⎨=-=⎩⎩．(2)(1)3(1)f f f ∴=-+． 由2)1(1≤-≤-f 得，63(1)12f ≤≤．5(2)(1)3(1)14f f f ∴≤=-+≤．小结：1．应用不等式的性质证明不等式，一般是从已知的不等式出发，应用不等式的性质进行变形，直至变换出所要证的不等式．2．根据不等式的性质，同向不等式可以相加，同向且两边均为正数的不等式可以相乘；同向不等式不能相减和相除，异向不等式的相减或相除应转化继同向不等式后用相加或相乘来进行．3．同号两数的顺序关系与其倒数的顺序相反．4．用不等式的性质求变量的范围时，是通过同向不等式相加或相乘来完成的，如果是有等号的还应注意两端能否取得等号．五、课堂练习： 六、作业： 七、补充题：1．设a<b<0，下列命题：①b a 11>；②ab a 11>-；③b a >；④22b a >中，假命题的个数是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D)0 答：选 (C)．2．若a,b 是任意实数，且a>b ，四个不等式22b a >，,1<a b ba b a ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛>-2121,0)lg(中，能成立的不等式的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答：选（A ）．。

教学准备
1. 教学目标
不等式性质
2. 教学重点/难点
不等式性质
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
知识提要
一、不等式性质
3、同向不等式可相加，不可相减
二、不等式证明
比较法(作差法、作商法)、分析法、综合法(综合法—由因导果，分析法—持果索因；一般利用分析法分析思路，再用综合法写出证明过程)、反证法、换元法(三角换元)、放缩法、函数法(利用函数单调性)等
三、不等式解法
1、含绝对值不等式的解法
2、含多个绝对值的不等式：零点区间讨论法
3、高次不等式：数轴标根法
4、分式不等式：整式不等式
5.“a＞0且b＞0”是“”成立的( )
(A)充分而非必要条件(B)必要而非充分条件
(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件
6.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半
时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的情况是( )
(A)甲车先到达B地(B)乙车先到达B地
(C)同时到达(D)不能判定。