2018年人教版八年级数学暑期同步提高课程 第六讲 角平分线的性质 讲义(word版 无答案)

角的平分线的性质（提高）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质及判定1、（2014秋•新洲区期末）如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ，连接AP ．（1）求证：PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；（2）过点C 作CE⊥AP，E 是垂足，并延长CE 交BM 于点D ．求证：CE=ED ．【思路点拨】（1）过P 作PT⊥BC 于T ，PS⊥AC 于S ，PQ⊥BA 于Q ，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT ，根据角平分线性质得出即可；（2）根据ASA 求出△AED≌△AEC 即可．【答案与解析】证明：（1）过P 作PT⊥BC 于T ，PS⊥AC 于S ，PQ⊥BA 于Q ，如图，∵在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ，∴PQ=PT，PS=PT ，∴PQ=PS，∴AP 平分∠DAC，即PA 平分∠BAC 的外角∠CAM；（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED和△AEC中∴△AED≌△AEC，∴CE=ED．【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．举一反三：【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°在Rt△BDE与Rt△CDF中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴BE＝CF2、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为：（ ）A.11B.5.5C.7D.3.5【答案】 B ；【解析】解： 过D 点作DH ⊥AC 于H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，DH ⊥AC∴DF ＝DH在Rt △EDF 和Rt △GDH 中DE ＝DG ，DF ＝DH∴Rt △EDF ≌Rt △GDH同理可证Rt △ADF 和Rt △ADH∴AED EDF ADG GDH S =S S S +-△△△△∴EDF ADG AED 2=S S S -△△△＝50－39＝11，∴△EDF 的面积为5.5【总结升华】本题求△EDF 的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG 和△AED 的面积来表示△EDF 面积.3、（2016•湖州）如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD=8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【思路点拨】过点P 作PE ⊥BC 于E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P 到BC 的距离.【答案与解析】解：过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵AB ∥CD ，PA ⊥AB ，∴PD ⊥CD ，∵BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，∴PA=PE ，PD=PE ，∴PE=PA=PD ，∵PA +PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．故选C ．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．类型二、角的平分线的性质综合应用4、如图，P 为△ABC 的外角平分线上任一点.求证：PB ＋PC ≥AB ＋AC.【思路点拨】在BA 的延长线上取AD ＝AC ，证△PAD ≌△PAC ，从而将四条线段转化到同一个△PBD 中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：①当点P 与点A 不重合时，在BA 延长线上取一点D ，使AD ＝AC ，连接PD.∵P 为△ABC 的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2∵在△PAD 和△PAC 中12PA PA AD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAD ≌△PAC （SAS ），∴PD ＝PC∵在△PBD 中，PB ＋PD ＞BD ，BD ＝AB ＋AD∴PB ＋PC ＞AB ＋AC.②当点P 与点A 重合时，PB ＋PC ＝AB ＋AC.综上，PB ＋PC ≥AB ＋AC.【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS ）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.举一反三：【变式】（2014秋•启东市校级期中）如图，四边形ABDC 中，∠D=∠ABD=90゜，点O 为BD 的中点，且OA 平分∠BAC．（1）求证：OC 平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC ．【答案】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．。

2018 年人教版八年级数学暑期同步提升课程第六讲角均分线的性质讲义（word版无答案）第六讲角均分线的性质教课目的：1.学会用尺规作图，作一个角等于已知角，作已知角的角均分线2.能利用角均分线的性质解决简单问题3.角均分线的性质及判断定理的运用要点难点：1.角均分线的性质的运用与逆用。

2.利用角均分线结构全等三角形。

3.持续学习证明及综合法证明的格式。

知识导航：1.角均分线的画法（ 1）已知∠ AOB，求作∠ AOB 的角均分线：AM①以 O 为圆心，适合长为半径画弧，交OA 于 M，交 OB 于 N。

C1②分别以 M， N 为圆心，以大于MN 长为半径作弧，在∠AOB 的内部两弧交2O N B于点 C。

③过 O、C 两点作射线 OC，射线 OC 就是所求角的角均分线。

2．角均分线的性质及判断（1）角均分线的性质：角的均分线上的点到角的两边的距离相等。

（2）角均分线的判断：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角均分线上。

3．三角形的角均分线的性质（1）三角形的三条角均分线交于一点，这点到三边的距离相等。

（2）三角形两个外角的角均分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。

（3）三角形外角均分线交点共有三个，因此到三角形三遍所在直线距离相等的点有 4 个。

考点 / 易错点 1角均分线是一种对称模型，一般状况下，有以下三种作协助线的方式：1．由角均分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角均分线上的一点作角均分线的垂线，进而形成等腰三角形；1 / 83． OA=OB，这类对称的图形应用得也较为广泛。

典型例题：3【例 1】尺规作图：请在图上作一个∠AOC，使其是已知∠AOB 的倍．（要求：写出已知、求作，保存作图2印迹，在所作图中标上必需的字母，不写作法和结论)已知：求作：【答案】已知： AOB ．求作： AOC ，使AOC 3AOB ．作图如右上所示：2【分析】第一画出∠ AOB 的角均分线，再以OB 为边，画∠ BOC=∠ BOF．【例 2】如图，在Rt△ABC 中，∠ C=90，°BD 均分∠ ABC 交 AC 于点 D， DE⊥ AB 于 E，若 AC=3 cm，则 AD +DE 为（）A． 3cm B． 4cmC． 2cm D．没法确立【答案】 A．【分析】∵ BD 均分∠ ABC，∠ C=90 °，DE ⊥AB，∴DE =DC ，∴ AD+DE=AD+DC=AC，∵ AC=3cm，∴ AD +DE =3cm．【例 3】如图，已知四边形 ABCD 中， AD∥BC，若∠ DAB 的均分线 AE 交 CD 于 E，连结 BE，且 BE 恰巧平分∠ ABC，则 AB 的长与 AD+BC 的大小关系是（）A． AB＞AD +BC B． AB＜ AD+BC C． AB=AD+BC D ．没法确立2【答案】 C．【分析】解法 1：在 AB 上截取 AF=AD ，连结 EF ，易证 AE ⊥BE，△ ADE ≌△ AFE（ SAS），因此∠ 1=∠2，又∠2+ ∠ 4=90°，∠ 1+∠ 3=90°，因此∠ 3=∠ 4，因此可证△ BCE≌△ BFE，因此 BC=BF，因此 AB=AF+BF=AD +BC；解法 2：如图，延伸 AE 交 BC 延伸线于 F ，∵ AD ∥ CB，∴∠ CBA+∠ BAD=180°，∵ BE 均分∠ CBA， AE 均分∠BAD ，∴∠ EBA+∠ BAE=90 °，∴∠ BEA=180°﹣ 90°=90°，∴ BE⊥ AF，由△ ABE≌△ FBE（ ASA），可得 BA=BF，AE=FE ，于是可证△ ADE≌△ FCE（ ASA），因此 AD=CF ，因此 AB=BC+CF =BC+AD ．【例 4】如图，在△ABC 中，∠ C=90，°AC=14， BD 均分∠ ABC，交 AC 于 D， AD =10，则点 D 到 AB 的距离为（）A．10B．4C． 7D． 6【答案】 B．【分析】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，∵ AC=14， AD=10 ，∴ CD =AC﹣AD =14 ﹣10=4，∵BD 均分∠ ABC，∠ C=90°，∴ DE =CD=4．【例 5】如图，在△ ABC 中， AC=CB，∠ C=90°， AD 是∠ BAC 的均分线，∠ E=90°，那么 AD 与 BE 的长度关系为。

《角的平分线的性质》知识全解课标要求：理解并掌握角平分线的性质及判定知识结构：内容解析：前面已经学过角平分线的尺规作图，这为本节课学习角平分线的性质做好了铺垫；本章前面学习的全等三角形的有关知识，为本节课证明角平分线的性质创造了条件；本节课对角平分线性质的探究为今后学习图形对称、等腰三角形奠定了基础；对角平分线性质的证明为学生学会思考问题，注重书写格式，清楚地表达思考的过程提供了方法，使学生体会证明的必要性；角平分线性质的应用为证明线段相等、角相等开辟了新的途径。

1、尺规作图画角平分线（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．图形表示：若CD平分∠ADB,点P是CD上一点PE⊥AD 于点E，PF⊥BD于点F，则PE=PF．3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．图形表示：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE=PF，则PD平分∠ADB4、证明命题的步骤：（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．重点、难点：本节课重点是：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用.难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）教法导引：1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习.学法建议：在学习过程中，应在理解的基础上熟记角平分线的性质及判定，抓住关键词是“平分角”“到角的两边的距离相等”，解题中出现相关条件时就容易想到角平分线的性质这个知识点．。

2.6角平分线的性质【学习目标】1、理解角的平分线的性质及判定；2、能用角的平分线的性质及判定方法解决一些简单的实际问题。

【学习重点】运用角平分线的性质和判定进行简单的推理及解决实际问题；【学习难点】角平分线的性质和判定的应用。

【学习过程】一、复习回顾1、什么叫角的平分线？2、什么叫三角形的角平分线？二、自主学习1、探究为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该在何处修建？2、作已知角的平分线的方法：操作观察：3、思考回答：角的平分线有什么性质？证明过程：已知：求证：．证明：我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等。

反过来，到角两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？猜想：如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，且PC=PD，垂足分别为C和D点。

求证：∠AOP=∠BOP证明：典例探究例、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA的距离相等．三、自主检测1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点 D．CD与∠AOB的平分线的交点2.如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对3.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．．4 D．4.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三边的中垂线的交点5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（）A．2m B．a﹣m C．a D．a+m四、课堂小结谈一谈这节课你有什么收获？你的困惑是什么？一、选择题1.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，S △ABC =15，DE=3，AB=6，则AC 长是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．42.已知，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ：CD=9：7，则D 到AB 的距离为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．123.如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为（ ）A ．2 C ．3 D ．4.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和38，则△EDF 的面积为（ ）A ．8B ．12C ．4D ．65.Rt△ABC 中，∠B=90°∠A=30°．以C 为圆心，小于BC 长为半径画弧与AC 、BC 边交于点F 、E ．分别以E 、F 为圆心，大于12EF 为半径画弧，两弧交于点N ，若，则点M 到AC 的距离是（ ）D．3A．1 B．36.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（）A．有且只有1个 B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线 D．组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）7.在△ABC中，∠B，∠C平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形二、填空题8.在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是．9.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是．10.如图，△ABC的周长是12，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．11.如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．三、解答题12.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求AC长．13.△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．（1）说明OF与CF的大小关系；（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC=AE；（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．一、选择题1.如图所示，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP．正确的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全对2.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．73.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）A．2 C．3 D+24.△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：25.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．36.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定二、填空题7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=12，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=4，则△ABD 的面积为．8.如图，Rt△ABC中∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC且与AC边交于点D，AD=2，则点D 到边BC的距离是．9.如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=．10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=10cm，BC=8cm，则点D到直线AB的距离是 cm．11.直线 l1、l2、l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有处．12.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ范围是．三、解答题13.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：（1）S△ACD；（2）AC的长．14.如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．15.已知，如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BD为∠ABC的角平分线交AC于D，过点D作DE垂直AB于点E，（1）求AE的长；（2）求BD的长．。