圆的基本性质习题及解析

专题25 圆的基本性质基础过关1. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是( )A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°第1题图第2题图【答案】D【解析】∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°－∠ABC ＝90°－60°＝30°.2.如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB ＝( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°【答案】B【解析】∵∠ACD＝40°，CA＝CD，∴∠CAD＝∠D＝(180°－40°)÷2＝70°，∴∠B ＝∠D＝70°，又∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )A. 45°B. 50°C. 60°D. 75°第3题图第4题图【答案】C【解析】∵四边形ABCO 是平行四边形，∴∠AOC ＝∠ABC ，∵∠ADC ＝ 12∠AOC ，∴∠ABC＝2∠ADC ，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝60°.4. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，点P 是BC ︵上任意一点，若AB ＝5，BC ＝3，则AP 的长不可能为( )A . 3B . 4C . 92D . 5【答案】A【解析】如解图，连接AC ，∵在⊙O 中，AB 是直径，∴∠C ＝90°，∵AB ＝5，BC ＝3，∴AC ＝AB 2－BC 2＝4，∵点P 是BC ︵上任意一点．∴4≤AP ≤5.结合选项知AP 的长不可能为3，故选A.5.如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为( )A . 13B . 2 2C .24 D . 223第5题图第6题图【答案】C【解析】如解图，作直径CD ，在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2，根据勾股定理求第5题解图得OD ＝4 2，所以tan ∠CDO ＝24，由圆周角定理得，∠OBC ＝∠CDO ，则tan ∠OBC ＝24，故答案选C. 6. 如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的两点，OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E ，下列结论不一定成立的是( )A . △AOD 是等边三角形B . AD ︵＝CD ︵C . ∠ACB ＝90°D . OE ＝12BC【答案】A【解析】A.∵∠B 的度数不确定，∴△AOD 的形状无法确定，故本选项错误；B.∵AB 是圆O 的直径，∴∠C ＝90°，∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝90°，∴OD 是AC 的垂直平分线，∴AD ︵＝CD ︵，故本选项正确；C.∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝90°，故本选项正确；D.∵OD ∥BC ，点O 是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ＝12BC ，故本选项正确．7. 如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为4的圆，则B 、E 两点间的距离为________．第7题图第8题图【答案】8【解析】∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴AB ︵＝BC ︵＝EF ︵＝ED ︵＝AF ︵，如解图，连接BE ，则BE 是圆的直径，所以BE ＝2×4＝8.8. 如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，∠A ＝50°，∠B ＝30°，则∠ADC 的度数为________．【答案】110°【解析】本题考查圆周角定理及三角形内外角之间的关系．∵∠A ＝50°，∴∠BOC ＝2∠A ＝100°，∴∠BOD ＝180°－100°＝80°.又∵∠B ＝30°，∴∠ADC ＝80°＋30°＝110°.9. 如图，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA ＝30°，OC ＝3 3 cm ，则弦AB 的长为________cm .第9题图第10题图【答案】9【解析】∵∠CBA ＝30°，∴∠AOC ＝2∠CBA ＝60°，∵AB ⊥OC ，∴∠ADO ＝90°，∴∠OAD ＝30°，∴OD ＝12OA ＝12×33＝332cm ，由勾股定理得，AD ＝OA 2－OD 2＝4.5 cm ，∵AB ⊥OC ，∴AB ＝2AD ＝9 cm.10. 如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A 、B ，AB ＝40 cm ，脸盆的最低点C 到AB 的距离为10 cm ，则该脸盆的半径为________cm .【答案】25 【解析】第10题解图如解图所示，连接BE 、AF ，交点即为圆心O ，连接OC 交AB 于点D ，则OC ⊥AB .设⊙O 的半径为r ，则OA ＝OC ＝r ，又∵CD ＝10，∴OD ＝r －10，∵AB ＝40，OC ⊥AB ，∴AD ＝20.在Rt △ADO 中，由勾股定理得：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25，即脸盆的半径为25 cm.11. 如图，已知⊙O 的半径为6 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，则tan ∠OPA 的值是________．第11题图第12题图【答案】53【解析】如解图，连接OB ，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，∵OA ＝OB ＝6，OM ⊥AB, ∴在等腰△OAB 中，BM ＝ AB 2＝12×8＝4 cm. ∴在Rt △BOM 中，OM ＝62－42＝2 5. PM ＝BM ＋BP ＝6 cm ，∴在Rt △OPM 中，tan ∠OPA ＝OM PM ＝256＝53.12.如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的半径OC ＝13，则AB ＝________．【答案】392【解析】如解图，延长CO 与⊙O 交于点D ，连接AD ，可得∠B ＝∠D ，故sin B ＝sin D ，∴AH AB ＝AC CD ，即18AB ＝2426，可得AB ＝392. 13.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，M 为AD ︵中点，连接BM ，CM. (1)求证：BM ＝CM ；(2)当⊙O 的半径为2时，求BM ︵的长．【答案】(1) 证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝CD ， ∴AB ︵＝CD ︵，第13题解图∵M 为AD ︵中点，∴AM ︵＝DM ︵， ∴AB ︵＋AM ︵＝CD ︵＋DM ︵， ∴BM ︵＝CM ︵， ∴BM ＝CM ，(2)解：如解图，连接OM ，OB ，OC ， ∵BM ︵＝CM ︵， ∴∠BOM ＝∠COM ， ∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠BOC ＝360°4＝90°，∴∠BOM ＝135°，∴BM ︵的长＝135×2×π180＝32π.满分冲关1. 如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( )A . 3B . 2C . 1D . 1.2第1题图第2题图【答案】C【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠D ＝∠C ＝90°，∠DAE ＝∠CBE ，∴△ADE ∽△BCE ，∴AE BE ＝AD BC ，∵BC ＝4，AD ＝45，∴AE BE ＝AD BC ＝15.设AE ＝x ，则CE ＝4－x ，BE ＝5x ，∴在Rt △BCE 中根据勾股定理有(4－x )2＋42＝(5x )2，解得x 1＝1，x 2＝－43(舍去)，故AE ＝1.2. 如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC.则线段CP 长的最小值为( )A . 32B . 2C .81313 D . 121313【答案】B【解析】如解图，∵∠PAB ＝∠PBC ，∠ABC ＝90°，∴∠BAP ＋∠PBA ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴点P 始终在以AB 的中点O 为圆心，以OA ＝OB ＝OP ＝12AB ＝3为半径的圆上，由解图知，只有当点P 在OC 与⊙O 的交点处时， PC 的长最小．在Rt △OBC 中，OC ＝OB 2＋BC 2＝32＋42＝5，∴P ′C ＝OC －OP ′＝5－3＝2，∴线段CP 长的最小值为2.3. 如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与A ，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E ，若∠AOB ＝3∠ADB ，则( )A . DE ＝EB B . 2DE ＝EBC . 3DE ＝DOD . DE ＝OB第3题图第4题图【答案】D【解析】如解图，连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB ，∵∠AOB ＝∠OBE ＋∠ADB, ∠AOB ＝3∠ADB ，∴∠OBE ＝ 2∠ADB ，∴∠OEB ＝2∠ADB ，∵∠OEB ＝∠D ＋∠DOE ，∴∠D ＝∠DOE ，∴DE ＝OE ＝OB ，D 选项正确；若EB ＝OE ＝OB ，即△OBE 是等边三角形时，DE ＝OE ＝OB ，∴A 选项错误；若∠BOE ＝90°，即△OBE 是等腰直角三角形时，BE ＝2OE ，则2DE ＝EB ，∴B 选项错误；若3DE ＝DO ，则OD ＝3OE ＝3OB ，题中条件不满足，∴C 选项错误，故选D.4. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，以AB 为直径的⊙O 与BC 交与点D ，与AC 交于点E ，连接OD 交BE 于点M ，且MD ＝2，则BE 长为______．【答案】8【解析】连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，AC ⊥BE ， ∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，∴OD 是△AB C 的中位线，∴OD 12AC ，∴OD ⊥BE ，∴BE ＝2BM在Rt △OBM 中，BM ＝（AB2）2－（AB2－MO ）2＝（102）2－（102－2）2＝4，∴BE ＝2BM ＝85. ⊙O 的半径为1，弦AB ＝2，弦AC ＝3，则∠BAC 的度数为________． 【答案】15°或75°【解析】如解图，当AB 、AC 在圆心O 同侧时，作OD ⊥AC 于点D ，作OE ⊥AB 于点E ，则AD ＝12AC ＝32，AE ＝ 12AB ＝22，在Rt △AOD 中，cos ∠OAD ＝AD OA ＝32，∴∠OAD ＝30°，同理在Rt △OAE 中，∠OAE ＝45°，∴∠BAC ＝∠OAE －∠OAD ＝15°，当AC 、AB 在圆心O 异侧时，同理可得∠B ′AC ＝∠OAE ＋∠OAD ＝75°.6.如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC.(1)求证：∠FBC ＝∠FCB ；(2)已知FA ·FD ＝12，若AB 是△ABC 外接圆的直径，FA ＝2，求CD 的长．第6题图【答案】(1)证明：∵四边形AFBC 内接于圆， ∴∠FBC ＋∠FAC ＝180˚， 又∵∠CAD ＋∠FAC ＝180˚， ∴∠FBC ＝∠CAD ，∵AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线， ∴∠EAD ＝∠CAD ， 又∵∠EAD ＝∠FAB ， ∴∠FAB ＝∠CAD ， 又∵∠FAB ＝∠FCB ， ∴∠FBC ＝∠FCB ；(2)解：由(1)知∠FBC ＝∠FCB ， 又∵∠FCB ＝∠FAB ，∴∠FAB ＝∠FBC ， 又∵∠BFA ＝∠BFD ， ∴△AFB ∽△BFD ， ∴BF FD ＝FA BF，即BF 2＝FA ·FD ＝12， ∴BF ＝23， 而FA ＝2， ∴FD ＝6，AD ＝4， ∵AB 为圆的直径， ∴∠BFA ＝∠BCA ＝90˚， ∴tan ∠FBA ＝AF BF ＝223＝33，∴∠FBA ＝30˚， 又∵△AFB ∽△BFD ， ∴∠FDB ＝∠FBA ＝30° ∴CD ＝AD ·cos30˚＝2 3.7.已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过D 点的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形．(1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若DA ＝7AF ，求证：CF ⊥AB.第7题图【答案】 证明：(1)∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵△AEF 是等边三角形， ∴∠EAF ＝∠EFA ＝60°， ∴∠ABC ＝30°，∴∠FDB ＝∠EFA －∠ABC ＝30°， ∴∠FBD ＝∠FDB ， ∴FB ＝FD ，∴△DFB 是等腰三角形； (2)设AF ＝a ， 则AD ＝7a ，连接OC ，如解图，则△AOC 是等边三角形， 由题意得，BF ＝2－a ＝DF ， ∴DE ＝2－a －a ＝2－2a ，CE ＝1－a ，在Rt △ADC 中，DC ＝（7a ）2－1＝7a 2－1， 在Rt △DCE 中，tan30°＝CE DC＝1－a7a 2－1＝33， 解得，a ＝－2(舍去)或a ＝12，在△AOC 中，OA ＝1， ∴AF ＝12＝12OA ，则CF ⊥OA ， 即CF ⊥AB .。

绝密★启用前第三章圆的基本性质单元测试卷题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断2．如图，AB是直径，，∠BOC=40°，则∠AOE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么⊙O的半径是（）A．cm B．cm C．cm D．cm4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°5．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．2cm B．cm C．cm D．1cm6．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2D．S3＜S2＜S17．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，若AC上一点P（1.2，1.4）平移后对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（）A．（2.8，3.6）B．（﹣2.8，﹣3.6）C．（3.8，2.6）D．（﹣3.8，﹣2.6）为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm9．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与、相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；（乙）连接、，两线段交于一点O，则O即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是的中点，点E是上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC=度．13．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，OA=6，则的长为．14．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C、D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为．15．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在斜边AB上分别截取AD=AC，BE=BC，DE=6，点O是△CDE的外心，如图所示，则点O到△ABC的三边的距离之和是．16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，17．如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是．18．如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，==，则CM+DM 的最小值为．评卷人得分三．解答题（共6小题，共46分）19．（6分）如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．20．（6分）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；（2）若AC=EC，求证：AD=BE．22．（8分）已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．23．（8分）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．24．（10分）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD=AN；（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．参考答案与试题解析1．解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，故选：A．2．解：∵，∠BOC=40°，∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°，∴∠AOE=180°﹣∠BOE=60°．故选：D．3．解：设AP=x，则PB=5x，那么⊙O的半径是（x+5x）=3x ∵弦CD⊥AB于点P，CD=10cm∴PC=PD=CD=×10=5cm由相交弦定理得CP•PD=AP•P B即5×5=x•5x解得x=或x=﹣（舍去）故⊙O的半径是3x=3cm，故选：C．4．解：∵∠BOD=100°，∴∠BAD=100°÷2=50°，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=180°﹣50°=130°故选：D．5．解：∵正六边形的任一内角为120°，∴∠1=30°（如图），∴a=2cos∠1=，6．解：作OD⊥BC交BC与点D，∵∠COA=60°，∴∠COB=120°，则∠COD=60°．∴S扇形AOC=；S扇形BOC=．在三角形OCD中，∠OCD=30°，∴OD=，CD=，BC=R，∴S△OBC =，S弓形==，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故选：B．7．解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，∵P（1.2，1.4），∴P1（﹣2.8，﹣3.6），∵P1与P2关于原点对称，∴P2（2.8，3.6），故选：A．8．解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD=8，OD=13，∴Rt△BCO中，BC==12，∴AB=2BC=24．故选：C．9．解：甲，∵=，∴△DEC为等腰三角形，∴L为之中垂线，∴O为两中垂线之交点，即O为△CDE的外心，∴O为此圆圆心．乙，∵∠ADC=90°，∠DCB=90°，∴、为此圆直径，∴与的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．故选：A．10．解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，∴AB=4，根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，∴A′P=PB′，∴PC=A′B′=2，∵CM=BM=1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故选：B．11.解：如图，连接OA．∵OC⊥AB，∴=，∴∠AOC=∠COB=70°，∴∠ADC=AOC=35°，故答案为35．12．解：如图，连接AE，∵点D是的中点，∴∠AED=∠CED，∵∠CED=40°，∴∠AEC=2∠CED=80°，∵四边形ADCE是圆内接四边形，∴∠ADC+∠AEC=180°，∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°，故答案为：100．13．解：连接OC，如图，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAO=60°，∴∠AOC=60°，∴∠BOC=130°﹣60°=70°，∴的长==π．故答案为π．14．解：连接OD，作OE⊥CD于E，如图所示：则CE=DE，∵AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，∴OD=OA=2，OM=1，∵∠OME=∠CMA=45°，∴△OEM是等腰直角三角形，∴OE=OM=，在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE==，∴CD=2DE=；故答案为：．15．解：由题意点O是EC、CD垂直平分线的交点，∵AD=AC，BE=BC，∴EC的垂直平分线经过B且平分∠B，CD的垂直平分线经过A且平分∠A，∴O是△ABC的内心，则r=（AC+BC﹣AB）=（AD+BE﹣AB）=DE=3，∴点O到△ABC的三边的距离之和是3r=9，故答案为9．16．解：设BE，DG交于O，∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE=DG，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOG=90°，∴BE⊥DG；故①②正确；连接BD，EG，如图所示，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③正确．故答案为：①②③．17．解：如图，连接CE．∵AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB=90°，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．又∵OE∥AC，∴∠ACB=∠COE=90°．∴在直角△OEC 中，OC=2，CE=4， ∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=2∴S 阴影=S 扇形BCE ﹣S 扇形BOD ﹣S △OCE =﹣π×22﹣×2×2=﹣2，故答案为：﹣2．18．解：如图，作点C 关于AB 的对称点C′，连接C′D 与AB 相交于点M ， 此时，点M 为CM +DM 的最小值时的位置， 由垂径定理，=，∴=，∵==，AB 为直径，∴C ′D 为直径，∴CM +DM 的最小值是16． 故答案是：16．19．证明：连接OC ， ∵=，∴∠AOC=∠BOC ．∵CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ， ∴∠CDO=∠CEO=90° 在△COD 与△COE 中， ∵，∴△COD ≌△COE （AAS ）， ∴OD=OE ，∵AO=BO，∴AD=BE．20．解：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM=EM=a，AM=a，在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=2a，∴CE=AC﹣AE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．21．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，又∵∠ADC=86°，∴∠ABC=94°，∴∠CBE=180°﹣94°=86°；（2）证明：∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，又∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∴AD=BE．22．解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，∵OD=OC=CD=2∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°∴∠DBC=30°∴∠EBD=30°∵AB为直径，∴∠ADB=90°∴∠E=90°﹣300=600∠E的度数为600；（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．∵OD=OC=CD=2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC=60°，∴∠DAC=30°，∴∠EBD=30°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠E=90°﹣30°=60°，（3）如图3，连结OD，OC，∵OD=OC=CD=2， ∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC=60°， ∴∠CBD=30°， ∴∠ADB=90°， ∴∠BED=60°， ∴∠AEC=60°．23．解：（1）连接OD ，OC ， ∵C 、D 是半圆O 上的三等分点， ∴==，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°， ∴∠CAB=30°， ∵DE ⊥AB ， ∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣30°=60°； （2）由（1）知，∠AOD=60°， ∵OA=OD ，AB=4，∴△AOD 是等边三角形，OA=2， ∵DE ⊥AO ， ∴DE=，∴S 阴影=S 扇形AOD ﹣S △AOD =﹣×=π﹣．24．（1）证明：∵CD ⊥AB∴∠CEB=90°∴∠C+∠B=90°，同理∠C+∠CNM=90°∴∠CNM=∠B，∵∠CNM=∠AND∴∠AND=∠B，∵，∴∠D=∠B，∴∠AND=∠D，∴AN=AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN=AD，CD⊥AB∴DE=NE=x+1，∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，∴OA=OD=2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2，∴x2+42=（2x+1）2．解得x=或x=﹣3（不合题意，舍去），∴OA=2x+1=2×+1=，即⊙O的半径为．。

小学圆的练习题及答案小学圆的练习题及答案小学生学习数学时，圆是一个重要的几何概念。

掌握圆的性质和计算方法对于学生的数学学习至关重要。

本文将为大家提供一些小学圆的练习题及答案，帮助学生们巩固对圆的理解和应用。

一、圆的基本概念1. 圆的定义是什么？答案：圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点组成的集合。

2. 圆由哪些要素构成？答案：圆由圆心、半径和圆周组成。

3. 如何计算圆的周长？答案：圆的周长等于直径乘以π（圆周率）。

公式为：周长= 2πr （其中r为半径）。

二、圆的性质1. 圆的直径和半径有什么关系？答案：直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点同时也是圆的边界上的点。

半径是从圆心到圆上的任意一点的线段。

直径是半径的两倍。

2. 圆的直径和周长有什么关系？答案：圆的周长等于直径乘以π（圆周率）。

公式为：周长= πd （其中d为直径）。

3. 如何计算圆的面积？答案：圆的面积等于半径的平方乘以π（圆周率）。

公式为：面积= πr² （其中r为半径）。

三、圆的计算题1. 已知一个圆的半径为5cm，求其周长和面积。

答案：周长= 2πr = 2π × 5 = 10π ≈ 31.42cm；面积= πr² = π × 5² ≈78.54cm²。

2. 已知一个圆的直径为12cm，求其周长和面积。

答案：周长= πd = π × 12 ≈ 37.68cm；面积= πr² = π × (12/2)² = 36π ≈ 113.04cm²。

3. 已知一个圆的周长为18π cm，求其半径和面积。

答案：周长= 2πr，所以18π = 2πr，解得r = 9cm；面积= πr² = π × 9² = 81π ≈ 254.34cm²。

四、应用题1. 一个圆的直径是20cm，求其周长和面积。

圆的基本性质练习（含答案）圆的基本性质考点1 对称性圆既是__________ ①______ 对称图形，又是 _________ ②____ 对称图形。

任何一条直径所在的直线都是它的 _____ ③。

它的对称中心是_ ④ _____________________ 。

同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分_________ ⑤______ 并且平分弦所对的两条__⑥ __________ 。

常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于__________ ⑦ _______ ，并且平分弦所对的两条 _______ ⑧ ___________ 。

温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。

在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___________ ⑨ _____ ，所对的弦也______ ⑩_________ o常用的还有：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角—a ______________ ，所对的弦____ J2 __________ o(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 _______ 13 _____________ ，所对的弧 __________ 14方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

第3章 圆的基本性质班级 学号 得分 姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1. 下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等.其中真命题是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③2. 如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点,下列四个角中一定与∠ACD 互余的是 ( )A. ∠ADCB. ∠ABDC. ∠BACD. ∠BAD3.如图,点A,B,C,D,E 均在⊙O 上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD 的度数为( )A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4.如图,AB 是圆O 的弦,OC⊥AB,交圆O 于点C,连结OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB 的度数是( )A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°5. 如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径 2₂倍,则∠ASB 的度数是( )A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°6.(2020·中考)如图,在等腰△ABC 中, AB =AC =25,BC =8,，按下列步骤作图：①以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点 E ，F 为圆心，大 12₂EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ；②分别以点 A ，B为圆心，大 12₂AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心线段OA 的长为半径作圆，则⊙O 的半径为( )A.25B. 10C. 4D. 57. 如图,在⊙O 中,AE 是直径,半径OC 垂直于弦AB 于点 D,连结BE,若 AB =27,CD =1,则BE 的长是( )A. 5B. 6C. 7D. 88.已知⊙O 中,弦AB 的长等于半径,P 为弦AB 所对的弧上一动点,则∠APB 的度数为( )A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 60°或120°9. 已知⊙O 的直径CD=10cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC 的长为…… ( ) A.25cm B.45cmC.25cm 或 45cmD.23cm 或 43cm10. 如图,AB为⊙O的直径,AC交⊙O于点E,BC交⊙O于点D,CD=BD,∠C=70°,现给出以下三个结论：①∠A=45°;②AC=AB;③AE=BE.其中正确的有( )A. 1个B. 2 个C. 3个D. 0个二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图,一次函数y= kx+b的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,⊙O经过A,B两点,已知AB=2,则 kb的值为 .12. 如图,AB是⊙O的直径,点C,D在圆上,∠D=65°,则∠BAC等于度.13. 如图,已知矩形ABCD的边AB=3,AD=4.(1)以点 A为圆心，4为半径作圆A，则点B，C，D与圆A 的位置关系分别是;(2)若以A点为圆心作圆A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是 .14. 如图,BC是半圆O 的直径,D,E是BC上两点,连结BD,CE 并延长交于点A,连结OD,OE.如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为 .15. 如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,∠A=30∘,CD=23,则⊙O的半径是 .16. 如图所示,⊙O的直径AB=16cm,P是OB 中点,∠ABP=45°,则CD= cm.三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,点A,B,C都在⊙O上,OC⊥OB,点A 在劣弧BC上,且OA=AB,求∠ABC的度数.18. (6分)如图，在同一平面内，有一组平行线l₁,l₂,l₃,，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l₁上，⊙O与直线l₃的交点为A，B，AB=12,求⊙O的半径.19.(6分)如图,在△ABC的外接圆上AB,BC,CA三弧的度数比为12：13：11.在劣弧BC上取一点D，过点D分别作直线AC，直线AB的平行线，分别交 BC于E，F两点，求∠EDF的度数.20. (8分)如图,△ABC内接于⊙O，AB=AC,,D在弧AB 上,连结CD交AB 于点E,B 是弧CD 的中点,求证：∠B=∠BEC.21.(8分)已知:如图,点M是/AB的中点，过点M的弦MN交AB 于点C，设⊙O的半径为4cm,. MN=43cm.(1)求圆心 O到弦MN的距离；(2)求∠ACM的度数.22.(10分)如图，已知方格纸中每个小正方形的边长为1个单位，Rt△ABC的三个顶点A(-2,2),B(0,5),C(0,2).(1)将△ABC以C 为旋转中心旋转180°,得到△A₁B₁C,请画出△A₁B₁C;(2)平移△ABC,使点 A的对应点.A₂的坐标为(−2,−6),请画出平移后对应的图形△A₂B₂C₂;(3)若将△A₁B₁C绕某一点旋转可得到△A₂B₂C₂.请直接写出旋转中心的坐标.23.(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P 是ABC的中点.(1)求证:OP//BC;(2)如图,连结PA,PC交直径AB于点D,当(OC=DC时，求∠A的度数.24.(12分)我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦，弦心距之间的关系”如下：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等弦心距指从圆心到弦的距离如图(1)中的 OC，OC′,弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度 l请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题.如图(2)，点O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A，B，C，D.(1)求证:AB=CD.(2)若角的顶点 P 在圆上或圆内，上述结论还成立吗? 若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.第3章 圆的基本性质1. A2. D3. D4. D5. C6. D7. B8. C9. C 10. A 11. 1212. 25 13. (1)B 在圆内、C 在圆外、D 在圆上(2)3<r<5 14. 40° 15. 2 16. 1417. 解:∵OA=OB,OA=AB,∴OA=OB=AB,即△OAB 是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵OC⊥OB,∴∠COB= 90°,∴∠COA = 90°- 60°= 30°,∴∠ABC=15°.18. 解:如图,连结 OA,过点O 作OD⊥AB 于点 D.∵ AB =12,∴AD =12AB =12×12=6.相邻两条平行线之间的距离均为4,∴OD=8.在 Rt△AOD 中，∵AD =6,OD =8,∴OA =AD 2+OD = 62+82=10.∴⊙O 的半径为 10.19. 解: ∵AB ,BC ,CA 三弧的度数比为12:13:11,∴ ABm.1212+13+11×360∘=120∘,AC−m m 1112+13+11×360∘=110∘,∴∠ACB =12×120∘= 0∘,∠ABC =12×110∘=55∘,∵ACED,AB DF,∴∠FED=∠ACB=60°,∠EFD=∠ABC= 55°,∴∠EDF =180°−60°−55°=65°20. 证明:∵B 是弧 CD 的中点, ∴BC =BD ,∴∠BCE = =∠BAC.:∠BEC =180°−∠BCE,∠ACE ,=180°-∠BAC--∠B,∴∠BEC=∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠BEC.21. 解:(1)连结 OM.∵点 M 是. AB 的中点,∴OM⊥AB.过点 O 作OD⊥MN 于点 D,由垂径定理,得 MD =12MN =23cm,在Rt△ODM 中,OM=4cm, MD =23cm,∴OD =OM 2−MD 2=2(cm ).故圆心 O 到弦MN 的距离为 2cm. (2)∵OD=2cm,OM=4cm,∴∠M=30°,∴∠ACM=60°.22. 解:(1)(2)图略.(3)旋转中心的坐标为(0,-2).23. (1)证明:连结AC,延长 PO 交AC 于点 H,如图,∵P 是 ABC 的中点,∴PH⊥AC,∵A B 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴OP∥BC. (2)解:∵P 是 ABC 的中点, P C,∴∠PAC=∠PCA,:OA=OC, ∴ ∠OA C= ∠OCA,∴∠PAO=∠C O=CD 时,设∠DCO=x,则∠OPC=x,∠PAO=x,∴∠POD =2x,∴∠ODC=∠POD+∠OP C=3x,∵CD=CO,∴∠DOC=∠ODC=3x.在△POC 中,x+x+5x=180°,解得 x =180∘7,即 ∠PAO =180∘7.24. (1)证明:过点 O 作OM⊥AB 于点M,ON⊥CD 于点 N,连结OB,OD,则∠OMB=∠OND=90°,∵PO 平分∠EPF,∴O M=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.(2)成立.当点 P 在圆上时如图；作OM⊥PB,ON⊥PD,垂足分别为M,N,∵PC平分∠EPF,∴OM=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴PB=PD;当点P 在圆内时:过点 O作OM⊥AB,ON⊥CD,∵PO平分∠BPF,∴OM=ON.∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.。

21．圆的基本性质（解答题）三、解答题85.（2009柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长．【关键词】圆证明：（1）连结AC，如图。

∵C是弧BD的中点∴∠BDC＝∠DBC又∠BDC＝∠BAC在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB∴ ∠BCE＝∠BAC∠BCE＝∠DBC∴ CF＝BF因此，CF＝BF．（2）证法一：作CG⊥AD于点G，∵C 是弧BD 的中点∴ ∠CAG＝∠BAC ， 即AC 是∠BAD 的角平分线．∴ CE＝CG ，AE ＝AG在Rt△BCE 与Rt△DCG 中，CE ＝CG ， CB ＝CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG∴BE＝DG∴AE＝AB-BE ＝AG ＝AD+DG即 6-BE ＝2+DG∴2BE＝4，即 BE ＝2又 △BCE∽△BAC∴ 212BC BE AB ==·32±=BC （舍去负值） ∴32=BC（2）证法二：∵AB 是⊙O 的直径，CE⊥AB∴∠BEF＝︒=∠90ADB ，在Rt ADB △与Rt FEB △中，∵FBE ABD ∠=∠∴ADB △∽FEB △，则BF AB EF AD = 即BFEF 62=， ∴EF BF 3= 又∵CF BF =， ∴EF CF 3=利用勾股定理得：EF EF BF BE 2222=-=又∵△EBC∽△ECA则CE BE AE CE =，即则BE AE CE ⋅=2 ∴BE BE EF CF ⋅-=+)6()(2即EF EF EF EF 22)226()3(2⋅-=+∴22=EF ∴3222=+=CE BE BC .86.(2009年四川省内江市)如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E 、F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC.求证：（1）CD ⊥DF ；（2）BC ＝2CD【关键词】三角形全等的判定.【答案】证：（1）设∠DFC ＝θ，则∠BAD ＝2θ在△ABD 中，∵AB ＝AD ， ∴∠ABD ＝∠ADB∠ABD ＝12（180°-∠BAD ）＝90°-θ又∠FCD ＝∠ABD ＝90°-θ∴∠FCD+∠DFC ＝90°∴CD ⊥DF（2）过F 作FG ⊥BC 于G在△FGC 和△FDC 中 ，∠FCG ＝∠ADB ＝∠ABD ＝∠FCD∠FGC ＝∠FDC ＝90°,FC ＝FC∴△FGC ≌△FDC∴GC ＝CD 且∠GFC ＝∠DFC又∠BFC ＝2∠DFC∴∠GFB ＝∠GFC∴BC ＝2GC ， ∴BC ＝2CD.87．（2009年甘肃庆阳）（10分）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD 中，AC 是对角线，P 为边CD 的中点，延长AP 交圆于点E ．（1）∠E ＝ 度； （2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； （3）求弦DE 的长．【关键词】圆周角和圆心角；相似三角形【答案】本小题满分10分解：（1）45．（2）△ACP∽△DEP．理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，∴ △ACP∽△DEP．（3）方法一： ∵ △ACP∽△DEP， ∴ .AP AC DP DE = 又 AP ＝522=+DP AD ，AC ＝2222=+DC AD ，∴ DE＝5102．方法二：如图2，过点D 作DF AE ⊥于点F ．在Rt ADP △中， AP 225,AD DP +又1122ADP S AD DP AP DF ==△， ∴ DF＝552．∴ 51022==DF DE ．88.(2009年衢州）如图，AD 是⊙O 的直径．(1) 如图①，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ；(2) 如图②，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，分别求∠B 1，∠B 2， ∠B 3的度数；(3) 如图③，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示∠B n 的度数(只需直接写出答案)．【关键词】开放性试题【答案】解：(1) 22.5°，67.5°(2) ∵ 圆周被6等分，∴ 11B C ＝12C C ＝23C C ＝360°÷6＝60°．∵ 直径AD ⊥B 1C 1，∴ 1AC ＝1211B C ＝30°，∴ ∠B 1m =121AC ＝15°． ∠B 2m =122AC ＝12×(30°＋60°)＝45°， ∠B 3m =123AC ＝12×(30°＋60°＋60°)＝75°． (3) 11360360[(1)]2222n B n n n ︒︒∠=⨯+-⨯(9045)n n-︒=． (或3604590908n B n n︒︒∠=︒-=︒-)89. （2009年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB ＝∠BDC＝60°，AC ＝cm 32，（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长【关键词】圆【答案】90.（2009年广西钦州）（2）已知：如图2，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 15．求⊙O 1的半径．B A O图2 x y A BO 1O【关键词】垂径定理、勾股定理、坐标系【答案】（2）解：过点O 1作O 1C ⊥AB ，垂足为C ，则有AC ＝BC ． B A O图2 x yA BO 1O C由A （1，0）、B （5，0），得AB ＝4，∴AC ＝2．在1Rt AO C △中，∵O 15，∴O 1C 5．∴⊙O 1的半径O 1A 22221(5)2O C AC ++3．91．(2009年南充)如图8，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．P BCE A【关键词】圆的性质，三角形相似的性质【答案】解：AB 是半圆的直径，点C 在半圆上，90ACB ∴∠=°．在Rt ABC △中，22221068AC AB BC =-=-= （2）PE AB ⊥，90APE ∴∠=°．90ACB ∠=°，APE ACB ∴∠=∠．又PAE CAB ∠=∠，AEP ABC ∴△∽△，PE AP BC AC∴= 110268PE ⨯∴= 301584PE ∴==．92．（2009年哈尔滨）如图，在⊙O 中，D 、E 分别为半径OA 、OB 上的点，且AD ＝BE ． 点C 为弧AB 上一点，连接CD 、CE 、CO ，∠AOC＝∠BOC．求证：CD ＝CE ．【关键词】圆的半径，圆心角【答案】此题证明△OCD 与△OCE 全等即可，给出了一对角相等，再利用半径相等的性质即可得证OA OB AD BE ==，，OA AD OB BE ∴-=-，即OD OE =．93．（2009年中山）（1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13． （2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC △的面积的13．【关键词】圆的内接三角形【答案】（1）如图1，连结OA OC ，，因为点O 是等边三角形ABC 的外心，所以Rt Rt Rt OFC OGC OGA △≌△≌△．2OFCG OFC OAC S S S ==△△，因为13OAC ABC S S =△△， 所以13OFCG ABC S S =△． （2）解法一：连结OA OB ，和OC ，则AOC COB BOA △≌△≌△，12∠=∠，不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ，3412054120AOC DOE ∠=∠+∠=∠=∠+∠=°，°，35∴∠=∠．在OAG △和OCF △中，1235OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， OAG OCF ∴△≌△，13OFCG AOC ABC S S S ∴==△△．解法二：不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ，作OH BC OK AC ⊥⊥，，垂足分别为H K 、，在四边形HOKC 中，9060OHC OKC C ∠=∠=∠=°，°，360909060120HOK ∴∠=-︒-︒=︒°-?，即12120∠+∠=°．又23120GOF ∠=∠+∠=°，13∴∠=∠．AC BC =， OH OK ∴=，OGK OFH ∴△≌△，13OFCG OHCK ABC S S S ∴==△．在ODC △ 和OEC △中，OD OE DOC EOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ODC OEC ∴△≌△．CD CE ∴=．94.（2009年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB ＝∠BDC＝60°，AC ＝cm 32，（1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长【关键词】圆【答案】95. （2009年株洲市）（本题满分10分）如图，点A 、B 、C 是O 上的三点，//AB OC .（1）求证：AC 平分OAB ∠.（2）过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P . 若2AB =，30AOE ∠=︒，求PE 的长．【关键词】与圆有关的综合题【答案】（1）∵//AB OC ， ∴C BAC ∠=∠；∵OA OC =，∴C OAC ∠=∠ ∴BAC OAC ∠=∠ 即AC 平分OAB ∠.（2）∵OE AB ⊥ ∴112AE BE AB === 又30AOE ∠=︒，90PEA ∠=︒∴60OAE ∠=︒∴1302EAP OAE ∠=∠=︒， ∴12PE PA =，设PE x =，则2PA x =，根据勾股定理得2221(2)x x +=，解得3x =tan PE EAP AE ∠=） 即PE 397.(2009年潍坊)如图所示，圆O 是ABC △的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD DC 、．（1）求证：BD DC DI ==；（2）若圆O 的半径为10cm ，120BAC ∠=°，求BDC △的面积．（1）证明：AI 平分BAC ∠BAD DAC BD DC ∴∠=∠∴=，BI 平分ABC ABI CBI ∠∴∠=∠，BAD DAC DBC DAC ∠=∠∠=∠，BAD DBC ∴∠=∠，又DBI DBC CBI DIB ABI BAD ∠=∠+∠∠=∠+∠， DBI DIB BDI ∴∠=∠∴，△为等腰三角形 BD ID BD DC DI ∴=∴==，（2）解：当120BAC ∠=°时，ABC △为钝角三角形，∴圆心O 在ABC △外，连结OB OD OC 、、，2120DOC BOD BAD ∴∠=∠=∠=°， 60DBC DCB ∴∠=∠=°，∴BDC △为正三角形．又知10cm OB =，32sin 60210103cm BD OB ∴==⨯⨯=° 223(103)753cm BDC S ∴=⨯=△.答：BDC △的面积为7532．98.（09湖北宜昌）已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，BC CD DE ==，∠BAE ＝90°．(1)求△CAD的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P，那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少？【关键词】圆的基本性质、圆周角和圆心角【答案】解：（1）∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝∠BAE＝90°．∵ BC CD DE==，∴ ∠BAC＝∠CAD＝∠DAE．∴∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ＝30°．∵在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝2sin30°＝1， AC＝2cos30°＝3．∴S△ACD＝1 2AC×CD ＝32．(2) 连BD，∵∠A BD＝90°，∠BAD＝＝60°，∴∠BDA＝∠BCA＝30°，∴BA＝BC.作BF⊥AC，垂足为F，（5分）∴AF＝12AC＝32，∴BF＝AFtan30°＝12，∴S△ABC＝12AC×BF ＝34，∴S ABCD＝334．∵S⊙O＝π ，∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝334π＝334π．（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M．∵∠BCA＝∠CAD（证明过程见解法），∴BC∥AD．∴四边形ABCD为等腰梯形．∵CM＝ACsin30°＝32，∴S ABCD＝12(BC+AD)CM＝334．∵S⊙O＝π，∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝334π＝334π．99.(2009年黄冈市)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C 作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：BFBGBC⋅=2.【关键词】圆周角性质【答案】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°又∵CD⊥AB于点D，∴∠BCD＝90°－∠ABC＝∠A＝∠F∵∠BCD＝＝∠F，∠FBC＝∠CBG∴△FBC∽△CBG∴CBFBBGBC=∴BFBGBC⋅=2100. （2009襄樊市）如图12，已知：在O中，直径4AB=，点E是OA上任意一点，过E作弦CD AB⊥，点F是BC上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：ACH AFC△∽△；（2）猜想：AH AF与AE AB的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E 位于何处时，14?AEC BOD S S =△△::并加以说明．证明：（1）∵直径AB CD ⊥ ∴AC AD = ∴F ACH ∠=∠ 又CAF FAC ∠=∠ ∴ACH AFC △∽△（2）答：AH AF AE AB =,连接FB ∵AB 是直径，∴90AFB AEH ==︒∠∠ 又EAH FAB =∠∠ ∴Rt Rt AEH AFB △∽△∴AE AHAF AB =∴AH AF AE AB =（3）当32OE =（或12AE =）时，14AEC BOD S S =△△．::∵直径AB CD ⊥ ∴CE ED =∵1122AEC BOD S AE EC S OB ED ==△△，∴14AEC BOD S AE S OB ==△△∵O 的半径为2∴2124OE -= ∴32OE =101.（2009湖北省荆门市）如图，半径为25的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．（1）求证：PA·PB＝PC·PD；（2）设BC中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；（3）若AB＝8，CD＝6，求OP的长．解:（1）∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴AP PDCP PB=，∴PA·PB＝PC·PD；（2）∵F为BC中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由垂径定理：∴OM2＝（52－42＝4，ON2＝（52－32＝11又易证四边形MONP是矩形，2215OM ON+=.102. 44.（2009年泸州）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．【关键词】三角函数及切线的判定. 【答案】(1)如图,连结OD 、BD. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB ＝90°,∴BD ⊥AC. ∵AB ＝BC,∴AD ＝DC. ∵OA ＝OB,∴OD ∥BC, ∵DE ⊥BC,OD ⊥DE, ∴直线DE 是⊙O 的切线.(2)作DH ⊥AB,垂足为H,则∠EDH+∠E ＝90°, 又∵DE ⊥OD,∴∠ODH+∠EDH ＝90°,∴∠E ＝∠ODH, ∵AD ＝DC,AC ＝8,∴AD ＝4. 在Rt △ADB 中,3452222=-=-=AD AB BD ,由三角形面积公式得:AB ·DH ＝DB ·DA,即5DH ＝4×3,解得512=DH , 在Rt △ODH 中,cos ∠ODH ＝5.2512＝2524,∴cosE ＝2524.103. （2009年常德市）如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论．【关键词】圆 【答案】△ABE 与△ADC 相似．理由如下： 在△ABE 与△ADC 中∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE＝90o， ∵AD 是△ABC 的边BC 上的高， ∴∠ADC＝90o， ∴∠ABE＝∠ADC．又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA＝∠DCA． ∴△ABE ～△ADC．104.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝ 60︒，AB 与PC 交于Q 点． （1）判断△ABC 的形状，并证明你的结论； （2）求证：QBAQPB AP =； （3）若∠ABP ＝ 15︒，△ABC 的面积为43，求PC 的长．解:（1） 证明:∵ ∠ABC ＝∠APC ＝ 60︒，∠BAC ＝∠BPC ＝ 60︒，∴ ∠ACB ＝ 180︒－∠ABC －∠BAC ＝ 60︒， ∴ △ABC 是等边三角形．（2）如图，过B 作BD ∥PA 交PC 于D ，则 ∠BDP ＝∠APC ＝ 60︒．又 ∵ ∠AQP ＝∠BQD ， ∴ △AQP ∽△BQD ，BDAPQB AQ =． ∵ ∠BPD ＝∠BDP ＝ 60︒， ∴ PB ＝ BD ． ∴PBAPQB AQ =． （3）设正△ABC 的高为h ，则 h ＝ BC · sin 60︒．∵21BC · h ＝ 43， 即21BC · BC · sin 60︒ ＝ 43，解得BC ＝ 4．连接OB ，OC ，OP ，作OE ⊥BC 于E ．由△ABC 是正三角形知∠BOC ＝ 120︒，从而得∠OCE ＝ 30︒， ∴ 3430cos =︒=CE OC ．由∠ABP ＝ 15︒ 得 ∠PBC ＝∠ABC +∠ABP ＝ 75︒，于是 ∠POC ＝ 2∠PBC ＝ 150︒． ∴ ∠PCO ＝（180︒－150︒）÷2 ＝ 15︒．如图，作等腰直角△RMN ，在直角边RM 上取点G ，使∠GNM ＝ 15︒，则∠RNG ＝ 30︒，作GH ⊥RN ，垂足为H ．设GH ＝ 1，则 cos ∠GNM ＝ cos15︒ ＝ MN ． ∵ 在Rt △GHN 中，NH ＝ GN · cos30︒，GH ＝ GN · sin30︒． 于是 RH ＝ GH ，MN ＝ RN · sin45︒，∴ cos15︒ ＝462+． 在图中，作OF ⊥PC 于E ，∴ PC ＝ 2FD ＝ 2 OC ·cos15︒ ＝36222+．105.(2009年福建省泉州市)已知：直线y ＝kx(k ≠0)经过点（3，-4）.(1)求k 的值；(2)将该直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相离（点O 为坐标原点）,试求m 的取值范围.【关键词】直线与⊙O 相离【答案】解：（1）依题意得：-4＝3k ，∴k ＝34-（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线l 所对应的函数关系式为y ＝34-x+m(m ＞0) 设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，（如图所示）当x ＝0时，y ＝m;当y ＝0时，x ＝43m. ∴A(43m,0),B(0,m)，即OA ＝43m ，OB ＝m 在Rt △OAB 中，AB ＝22OB OA + 2＝m m m 4516922=+ 过点O 作OD ⊥AB 于D ，∵S △ABO ＝21OD ·AB ＝21OA ·OB ∴21OD ·m 45＝21·43m ·m ∵m ＞0,解得OD ＝53m依题意得：53m ＞6，解得m ＞10即m 的取值范围为m ＞10.。

圆的基本性质及应用题型1. 圆的定义和基本术语圆是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。

固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。

在圆上任意取两个点，将它们和圆心连线，得到的线段称为弦。

若弦通过圆心，则称其为直径，直径等于2倍的半径。

若弦和圆心不重合，则称其为弧。

2. 圆的基本性质2.1 圆的周长和面积圆的周长称为圆周，用C表示，圆的面积用S表示。

圆周的计算公式为：C = 2πr，其中r为圆的半径。

圆的面积计算公式为：S = πr^2，其中r为圆的半径。

2.2 弧长和扇形面积从圆上截取的弧，可以计算其长度，称为弧长。

弧长的计算公式为：L = 2πr * (θ/360°)，其中θ为弧所对的圆心角的度数。

另外，可以从圆上截取一个扇形，扇形的面积为扇形的弧长与圆周的比例乘以圆的面积。

扇形的面积计算公式为：A = (θ/360°) * πr^2，其中θ为扇形的圆心角的度数。

3. 圆的应用题型3.1 弧长和扇形面积的应用例题1：一个半径为5cm的圆，截取一个占据1/4的扇形，请计算该扇形的面积和弧长。

解答：已知半径r = 5cm，圆心角θ = 360° / 4 = 90°。

根据扇形的面积计算公式可知，A = (90°/360°) * π * 5^2 = 6.25π cm^2。

根据弧长的计算公式可知，L = 2π * 5 * (90°/360°) = 5π cm。

所以该扇形的面积为6.25π cm^2，弧长为5π cm。

3.2 圆的周长和面积的应用例题2：一个圆的周长为20cm，请计算该圆的面积。

解答：已知圆周长为20cm，根据圆周的计算公式可知，C = 2πr = 20 cm。

由此可算得圆的半径r = 10/π cm ≈ 3.18 cm。

根据圆的面积计算公式可知，S = πr^2 = π * (10/π)^2 = 100/π cm^2。

小学圆的练习题及答案小学阶段是每个孩子学习的起点，也是他们学习基础知识的重要时期。

在这个阶段，学生们需要通过各种练习题来巩固所学的知识，提高他们的学习能力和解题技巧。

下面，我将为大家介绍一些小学圆的练习题及答案。

首先，我们来看一些关于圆的基本性质的练习题。

例如：1. 圆的定义是什么？请简要解释。

答案：圆是由平面上到一个固定点的距离等于常数的所有点的集合。

2. 圆的直径和半径有什么区别？答案：圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段，而半径是从圆心到圆上任意一点的线段。

3. 如果一个圆的直径为10厘米，那么它的半径是多少？答案：半径等于直径的一半，所以半径为5厘米。

接下来，我们来看一些关于圆的周长和面积的计算题。

1. 如果一个圆的半径为8厘米，那么它的周长是多少？（取π=3.14）答案：周长等于直径乘以π，所以周长等于2×半径×π=2×8×3.14=50.24厘米。

2. 如果一个圆的半径为5厘米，那么它的面积是多少？（取π=3.14）答案：面积等于半径的平方乘以π，所以面积等于5×5×3.14=78.5平方厘米。

除了基本性质和计算题，小学生还需要通过一些应用题来练习运用圆的知识解决实际问题。

以下是一些例子：1. 一个圆形花坛的周长是24米，那么它的直径是多少？答案：周长等于直径乘以π，所以直径等于周长除以π，即24÷3.14≈7.64米。

2. 一个圆形游泳池的半径为6米，如果要在池边修建一条环形跑道，宽度为2米，那么跑道的面积是多少？（取π=3.14）答案：跑道的面积等于外圆的面积减去内圆的面积，外圆的半径为6+2=8米，内圆的半径为6米。

所以跑道的面积等于(8×8×3.14)-(6×6×3.14)=150.72平方米。

通过这些练习题，小学生可以巩固对圆的基本性质的理解，提高计算圆的周长和面积的能力，并且学会运用圆的知识解决实际问题。

、选择题1. （2016甘肃兰州，7, 4分）如图，在O O中，点C是AB的中点，/ A=50°,则/ BOC=（）A. 40° B . 45° C. 50° D . 60°【答案】A【逐步提示】因为半径OA=OB，故可先根据等边对等角求得/ B的度数，再根据三角形内角和定理求得/ AOB 的度数，最后根据等弧所对圆心角相等求得/ BOC的度数.【详细解答】解：因为OA=OB，所以/ B= / A=50 °，所以/ AOB=180 °—/ B-Z A=80°,在O O中，因为点1C 是AB 的中点，所以AC=CB，所以Z BOC= Z AOC，因为Z BOC + Z AOC= Z AOB，所以Z BOC= Z 2AOB=40 °，故选择A .【解后反思】圆中通常把圆周角和圆心角以及它们所对弧的度数进行转换，怎么转换需要根据题目的要求来确定；同圆的半径相等，有时还需要连接半径，用它来构造等腰三角形，有了等腰三角形，再利用“等边对等角”及“三线合一”来进行证明和计算.【关键词】圆心角；等弧所对圆心角的关系；等腰三角形性质；三角形内角和定理2. （2016甘肃兰州，10, 4分）10.如图，四边形ABCD内接于O O,四边形ABCO是平行四边形，则Z ADC= （）A. 45° B . 50° C. 60° D . 75°【答案】C【逐步提示】先找出同弧所对圆周角与圆心角的关系，再结合平行四边形对角相等得到Z B与Z ADC的倍数关系，最后根据“圆内接四边形对角互补”建立方程求出Z ADC的度数.1【详细解答】解：•••圆周角Z ADC与圆心角Z AOC所对的弧都是ABC ,•••/ ADC= Z AOC，即Z AOC=2 Z ADC ,2•••四边形ABCO 是平行四边形，•••/ AOC= Z B,•••/ B=2 Z ADC ,v四边形ABCD内接于O O,「・Z B +ZADC=180 °，即卩2Z ADC +Z ADC=180°，解得Z ADC =60°,故选择C.【解后反思】看到求与圆有关的角，就想到：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）同弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半；（3）圆的内接四边形的对角互补；（4 ）同圆的半径相等，等边对等角等•【关键词】圆周角定理；圆内接四边形性质；平行四边形性质；3. （2016广东茂名，9, 3分）如图，A、B、C是O C上的三点，且Z B=75 °，则Z AOC的度数是（）A . 150°B . 140°C . 130°D . 120【答案】A【逐步提示】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角和圆周角之间的关系. 看出，/ AOC 、/ B 分别是O O 中AC 所对的圆心角、圆周角，利用圆周角定理可得/ A0C=2/ B ,代入/ B 的度数即可得/ AOC 的度数.【详细解答】 解：•••/ AOC 、/ B 分别是O 0中AC 所对的圆心角、圆周角，•••/ A0C=2 / B.v/ B=75 °,二/ AOC=150 °，故选择 A .【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时， 一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，禾U 用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径 这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一结论. 【关键词】圆周角定理4. （ 2016贵州省毕节市，12, 3分）（2016贵州省毕节市，13, 3分）如图，点 A , B , C 在O O 上，/ A = 36°, / C = 26°，则/ B =（）A.100 °B.72 °C.64 °D.36 °【答案】C【逐步提示】 本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，解题的关键是求出/ O •①根据圆周角定理求出/O ;②根据三角形内角和定理求出/OEC ，进而由对顶角性质求出/ AEB ;③根据三角形内角和定理求出/B .【详细解答】解：如图，设 OB 与AC 交点为E ,因为/ A = 36°,所以，/ O = 72°所以/ AEB = Z OEC = 180-Z O -Z C = 180°— 72° - 28° = 80° 所以，/ B = 180° — / AEB -Z A = 180° — 80° - 36° = 64° 故选择 C.从图形中可以AAC（第12题图）【解后反思】本题易错点是由于不熟悉圆周角定理，不能发现/ A与/ O的关系，导致无法找到/ B与/A、/C的关系.【关键词】圆周角；三角形内角和定理5. （2016湖北省黄石市，8, 3分）如图所示，O O的半径为13，弦AB的长度是24, ON丄AB，垂足为N,则ON = ...................................................................... （）A. 5B. 7C. 9 D . 11【答案】A.【逐步提示】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是将已知条件集中在一个直角三角形中，这个直角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是弦心距，另一条直线是弦的一半.【详细解答】解：因为ON丄AB，所以AN =丄AB = - X 24= 12，/ ANO = 90°在Rt△ AON中，由勾股定理2 2得ON= • OA2 - AN2= ,132 - 122= 5,故选择A .【解后反思】在解答与圆有关的计算问题时，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常结合起来使用•如图，设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d，弓形高为h，则（空）2• d2= r2，h = r「d，这两个等式是关于四2【关键词】垂径定理；勾股定理.6. （2016湖北宜昌，9，3分）已知M、N、P、Q四点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）（第9题）A. / NOQ42oB. / NOP=32oC. / PON比/ MOQ大D. / MOC比/ MOP互补【答案】C【逐步提示】本题考查了圆心角，解题的关键是识别圆心角度数，弄清始边与终边，正确读出圆心角的度数.【详细解答】解：结合各选项分别判断，选项 A / NOQ=38o，选项B中/ NOP=8o，选项C中，正确，选项D中/ MOC比/ MOF没有互补，故选择C .【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，禾U用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件.【关键词】圆心角；量角器；7. （2016江苏省无锡市，6, 3分）如图，AB是O O的直径，AC切O O于点D，若/ C = 70°，则/ AOD的度数为（）A. 70 °B. 35°C. 20°D. 40°【答案】D【逐步提示】本题考查了切线的性质、同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系，解题的关键是知道由切线想垂直•本题的思路是由相切得到/ CAB= 90。

第24讲圆的基本性质1. (16，河北)如图所示的为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( )第1题图第2题图第3题图例1题图A. △ACD的外心B. △ABC的外心C. △ACD的内心D. △ABC的内心2. (15，河北)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F.下列三角形中，外心不是点O的是( )A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE3. (12，河北)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是( )A. AE>BEB. »AD＝»BCC. ∠D＝12∠AEC D. △ADE∽△CBE圆的有关概念例1 (2019，扬州邗江区一模)如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线相交于点E，且CE＝OB.已知∠DOB ＝72°，则∠E的度数为( )A. 36° B. 30° C. 18° D. 24°训练1题图训练2题图训练3题图例3题图针对训练1如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2 cm.若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是( )A. 1 cmB. 2 cmC. 4 cmD. πcm针对训练2 (2019，海口模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，OD，OC.若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为( )A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°确定圆的条件例2 (2019，北京)在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD.(1)求证：AD＝CD；(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．例2题图针对训练3 (10，河北)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M针对训练4 (2019，绥化)半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB 于点D.若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为（）.圆的基本性质例3 (19，沈阳)如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD.若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是( )A. 1213 B.125 C.512 D.513针对训练5 (2019，绵阳)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为»BD的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF .(1)求证：△BFG ≌△CDG ；(2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．训练5题图垂径定理及其应用 例4 (2019，梧州)如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，∠DEB＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是( )A. 2 6 B. 210 C. 211 D. 4 3例4题图训练6题图针对训练6 (19，黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(»AB )，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40 m ，C 是»AB 的中点，D 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径为( )A. 25 m B. 24 m C. 30 m D. 60 m1. (2019，广元)如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC于点D ，连接BD ，BC ，且AB ＝10，AC ＝8，则BD 的长为( )A. 2 5 B. 4 C. 213 D. 4.81题图2题图3题图4题图5题图2. (2019，吉林)如图，在⊙O 中，»AB 所对的圆周角∠ACB ＝50°.若P 为»AB 上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°3. (2019，白银)如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB 的度数是( )A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°4. (19镇江如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，»»DC CB ＝.若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数为( )A. 55°B. 60°C. 65°D. 70°5. (2019，贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，»»AB CD ＝.若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°6. (2019，聊城)如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长相交于点A ，连接OD ，OE .如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为( )A. 35° B. 38° C. 40° D. 42°7. (2019，安顺)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 的值为( )A. 13 B. 2 2 C. 223 D. 248. (2019，天水)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC的度数为( )A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°第6题图第7题图第8题图第9题图9. (2019，通辽)如图，等边三角形ABC内接于⊙O.若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于( )A. π3 B.2π3 C.4π3 D. 2π10. (19，菏泽)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是( ) A. OC∥BD B. AD⊥OC C. △CEF≌△BED D. AF＝FD11. (2019，陕西)如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB相交于点C，连接OF.若∠AOF＝40°，则∠F的度数是( )A. 20° B. 35° C. 40° D. 55°第10题图第11题图第12题图第13题图12. (2019，赤峰)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为( )A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°.13. (2019，宁夏)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧»AB沿弦AB折叠交于OC的中点D.若AB＝210，则⊙O的半径为（）.14. (2019，盐城)如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且»AB所对的圆心角为50°，则∠E＋∠C＝°.第14题图第15题图第16题图第17题图15. (2019，安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D.若⊙O的半径为2，则CD的长为（）.16. (2019，广元)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是（）.17. (2019，嘉兴)如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（）.18. (2019，包头)如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝23，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC.(1)求⊙O的半径；(2)求证：AB＋BC＝BM.(1)解：如答图①，连接OA，OC，过点O作OH⊥AC于点H.第18题图19. (2019，荆门)如图，已知锐角三角形ABC的外接圆圆心为O，半径为R. (1)求证：ACsin B＝2R；(2)若在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sin C 的值．第19题图1. (2019，湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC ⊥弦AB 时，OC 平分AB )可以求解．现已知弦AB ＝8 m ，半径等于5 m 的弧田，按照上述公式计算出弧田面积为 m 2.第1题图第2题图2. (2019，潍坊)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l 0与y 轴重合．若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2……半径为n ＋1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为 ．(n 为正整数)3. (2019，福建)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，垂足为E ，点F 在BD 的延长线上，且DF ＝DC ，连接AF ，CF .(1)求证：∠BAC ＝2∠DAC ；(2)若AF ＝10，BC ＝45，求tan ∠BAD 的值．第3题图4. (2019，温州)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在BC 边上，且CA ＝CE ，过A ，C ，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F ，作直径AD ，连接DE 并延长交AB 于点G ，连接CD ，CF .(1)求证：四边形DCFG 是平行四边形； (2)当BE ＝4，CD ＝38AB 时，求⊙O 的直径． 第4题图第24讲圆的基本性质1. (16，河北)如图所示的为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)第1题图第2题图第3题图A. △ACD的外心B. △ABC的外心C. △ACD的内心D. △ABC的内心【解析】由网格图，知点O是边AC，BC的垂直平分线的交点．根据三角形外心的定义，知点O是△ABC的外心．2. (15，河北)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F.下列三角形中，外心不是点O的是(B)A. △ABEB. △ACFC. △ABDD. △ADE【解析】只有△ACF的三个顶点不都在⊙O上，故外心不是点O的是△ACF.3. (12，河北)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(D)A. AE>BEB. »AD＝»BCC. ∠D＝12∠AEC D. △ADE∽△CBE 【解析】∵CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，∴AE＝BE，»».AC BC＝∴选项A，B错误．∵∠AEC不是圆心角，∴∠D≠12∠AEC. ∴选项C错误．∵∠AED＝∠CEB＝90°，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE.∴选项D正确．圆的有关概念例1 (2019，扬州邗江区一模)如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线相交于点E，且CE＝OB.已知∠DOB ＝72°，则∠E的度数为(D)A. 36° B. 30° C. 18° D. 24°【解析】如答图，连接CO.可知CE＝OB＝CO，得∠E ＝∠1.由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E＋∠1＝2∠E.由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E.由∠3是△ODE的外角，得∠3＝∠E＋∠D＝∠E＋2∠E＝3∠E.由∠3＝72°，得3∠E＝72°.解得∠E＝24°.1题图1答图训练1题图训练2题图针对训练1如图所示的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2 cm.若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是(C)A. 1 cmB. 2 cmC. 4 cmD. πcm 【解析】∵AB＝2 cm，∴圆的直径是4 cm.针对训练2 (2019，海口模拟)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C，D在AB的异侧，连接AD，OD，OC.若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为(D)A. 70° B. 60° C. 50° D. 40°【解析】∵AD∥OC，∴∠AOC＝∠DAO＝70°.又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°.∴∠AOD＝180－70°－70°＝40°.确定圆的条件例2 (2019，北京)在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD.(1)求证：AD＝CD；(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．(1)证明：如答图．∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴»»AD CD＝.∴AD＝CD. (2)解：如答图，连接OD.∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM.∵DF⊥BC，∴BC垂直平分DM.易得BC为直径．∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝∠ABD.∴OD∥AB.∵DE ⊥AB ，∴OD ⊥DE .∴DE 为⊙O 的切线．∴直线DE 与图形G 的公共点个数为1.2题图 例2答图训练3题图 训练3答图针对训练3 (10，河北)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B )A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M【解析】 如答图，连接BC ，作AB 和BC 的垂直平分线，它们相交于点Q ，则点Q 即为圆心．针对训练4 (2019，绥化)半径为5的⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，AB ＝AC ，连接OB ，OC ，延长CO 交弦AB 于点D .若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为（ 53或5 2 ）. 【解析】 如答图①，当∠ODB ＝90°时，CD ⊥AB ，∴AD ＝BD.∴AC ＝BC.∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∴∠DBO ＝30°.∵OB ＝5，∴BD ＝32OB ＝532.∴BC ＝AB ＝2BD ＝5 3.如答图②，当∠DOB ＝90°时，∠BOC ＝90°.∴△BOC 是等腰直角三角形．∴BC ＝2OB ＝5 2.综上所述，若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为53或5 2.训练4答图例3图训练5图训练5答图圆的基本性质 例3 (19，沈阳)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD .若⊙O 的半径是13，BD ＝24，则sin ∠ACD 的值是(D )A. 1213 B. 125 C. 512 D. 513【解析】 ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°.∵⊙O 的半径是13，∴AB ＝2×13＝26.在Rt △ABD 中，由勾股定理得AD ＝10，∴sin B ＝AD AB ＝1026＝513.∵∠ACD ＝∠B ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝513. 针对训练5 (2019，绵阳)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为»BD的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF .(1)求证：△BFG ≌△CDG ；(2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．(1)证明：∵C 是»BD的中点，∴»»CD BC ＝.∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ，∴»»BC BF ＝.∴»»CD BF ＝.∴CD ＝BF . 在△BFG 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠CDG ，∠FGB ＝∠DGC ，BF ＝CD ，∴△BFG ≌△CDG (AAS)．(2)解：如答图，连接OC ，交BD 于点H ，连接OD ，BC .∵C 是»BD的中点，∴DC ＝BC .∵OD ＝OB ，∴OC 垂直平分BD .∴OC ⊥BD .∴DH ＝BH .∵OA ＝OB ，∴OH ＝12AD ＝1.∵OC ＝OB ，∠COE ＝∠BOH ，∠OEC ＝∠OHB ＝90°，∴△COE ≌△BOH (AAS)．∴OE ＝OH ＝1.∴OB ＝OE ＋BE ＝1＋2＝3.∴OC ＝3.∵CF ⊥AB ，∴CE ＝EF .在Rt △OEC 中，CE ＝OC 2－OE 2＝32－12＝22，∴EF ＝2 2.在Rt △BEF 中，BF ＝BE 2＋EF 2＝22＋()222＝2 3.垂径定理及其应用 例4 (19梧州)如图，在半径为13的⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是(C )A. 2 6 B. 210 C. 211 D. 43 【解析】 如答图，过点O 作OF ⊥CD于点F ，OG ⊥AB 于点G ，连接OB ，OD ，OE ，则DF ＝CF ，AG ＝BG ＝12AB ＝3.∴EG ＝AG －AE ＝2.在Rt △BOG 中，OG ＝OB 2－BG 2＝13－9＝2，∴EG ＝OG .∴△EOG 是等腰直角三角形．∴∠OEG ＝45°，OE ＝2OG ＝2 2.∵∠DEB ＝75°，∴∠OEF ＝30°.∴OF ＝12OE ＝ 2.在Rt △ODF 中，DF ＝OD 2－OF 2＝13－2＝11，∴CD ＝2DF ＝211. 例4题图例4答图训练6题图训练6答图针对训练6 (19黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(»AB )，点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40 m ，C 是»AB 的中点，D 是AB 的中点，且CD ＝10 m ，则这段弯路所在圆的半径为(A ) A. 25 m B. 24 m C. 30 m D. 60 m【解析】 如答图，连接OD.由题意可知点O ，D ，C 共线，且OC ⊥AB ，AD ＝DB ＝12AB ＝20 m ．在Rt △AOD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2.设这段弯路所在圆的半径为r ，得r 2＝(r －10)2＋202.解得r ＝25(m )．∴这段弯路所在圆的半径为25 m .1. (2019，广元)如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，连接BD ，BC ，且AB ＝10，AC ＝8，则BD 的长为(C )A. 2 5 B. 4 C. 213 D. 4.8【解析】 ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°.∴BC ＝AB 2－AC 2＝102－82＝6.∵OD ⊥AC ，∴CD ＝AD ＝12AC ＝4.在Rt △CBD 中，BD ＝42＋62＝213. 第1题图第2题图第3题图第3题答图2. (2019，吉林)如图，在⊙O 中，»AB 所对的圆周角∠ACB ＝50°.若P 为»AB 上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为(B )A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°【解析】 ∵∠ACB ＝50°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝100°.∵∠AOP ＝55°，∴∠POB ＝45°.3. (19白银)如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB 的度数是(C )A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60° 【解析】 如答图设圆心为O ，连接OA ，OB.∵弦AB 的长度等于圆半径的2倍，即AB ＝2OA ，∴OA 2＋OB 2＝AB 2.∴△OAB 为等腰直角三角形，即∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°. 4. (19镇江如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，»»DCCB ＝.若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数为(A )第4题图第4题答图第5题图A. 55°B. 60°C. 65°D. 70° 【解析】 如答图，连接AC.∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB ＝180°－∠BCD ＝70°.∵»»DCCB ＝，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝35°.∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠ABC ＝90°－∠CAB ＝55°. 5. (2019，贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，»»AB CD ＝.若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是(B )A. 40°B. 50°C. 60°D. 70° 【解析】 ∵»»AB CD ＝，∠AOB ＝40°，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°.∵∠AOB ＋∠BOC ＋∠COD ＝180°，∴∠BOC ＝100°.∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°. 6. (2019，聊城)如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长相交于点A ，连接OD ，OE .如果∠A ＝70°，那么∠DOE 的度数为(C )A. 35° B. 38° C. 40° D. 42°【解析】 如答图，连接CD.∵BC 是半圆O 的直径，∴∠BDC ＝90°.∴∠ACD ＝90°－∠A ＝20°.∴∠DOE ＝2∠ACD ＝40°第6题图第6题答图第7题图第7题答图7. (2019，安顺)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 的值为(D )A. 13 B. 2 2 C. 223 D. 24【解析】 如答图，设⊙A 与x 轴负半轴相交于点D ，连接CD.∵∠COD ＝90°，∴CD 是直径．在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2，∴OD ＝CD 2－OC 2＝4 2.∴tan ∠CDO ＝OC OD ＝24.由圆周角定理得∠OBC ＝∠CDO ，则tan ∠OBC ＝24. 8. (2019，天水)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为(C )A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°第8题图第9题图第9题答图第10题图【解析】 ∵四边形ABCD 是菱形，∠D ＝80°，∴∠ACB ＝12∠DCB ＝12(180°－∠D)＝50°.∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEC ＝180°－∠D ＝100°.∴∠EAC ＝180°－∠AEC －∠ACB ＝180°－100°－50°＝30°.9. (2019，通辽)如图，等边三角形ABC 内接于⊙O .若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积等于(C )A. π3B. 2π3C. 4π3D. 2π 【解析】 如答图，连接OC.∵△ABC 为等边三角形，∴∠AOC ＝120°，S △AOB ＝S △AOC .∴阴影部分的面积＝S 扇形AOC ＝120·π×22360＝4π3. 10. (2019，菏泽)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，且BC 平分∠ABD ，AD 分别与BC ，OC 相交于点E ，F ，则下列结论不一定成立的是(C )A. OC ∥BDB. AD ⊥OCC. △CEF ≌△BEDD. AF ＝FD【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径，BC 平分∠ABD ，∴∠ADB ＝90°，∠OBC ＝∠DBC.∴AD ⊥BD.∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC.∴∠DBC ＝∠OCB.∴OC ∥BD ，选项A 成立．∴AD ⊥OC ，选项B 成立．∵OA ＝OB ，OC ∥BD ，∴AF ＝FD ，选项D 成立．∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，选项C 不成立．11. (2019，陕西)如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 相交于点C ，连接OF .若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是(B )A. 20° B. 35° C. 40° D. 55°第11题图第11题答图第12题图【解析】 如答图，连接FB.∵∠AOF ＝40°，∴∠FOB ＝180°－40°＝140°.∴∠FEB ＝12∠FOB ＝70°.∵EF ＝EB ，∴∠EFB ＝∠EBF ＝55°.∵FO ＝BO ，∴∠OFB ＝∠OBF ＝20°.∴∠EFO ＝∠EFB －∠OFB ＝35°.12. (2019，赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为(D )A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【解析】 ∵∠ADC ＝30°，∴∠AOC ＝2∠ADC ＝60°.∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，∴»»AC BC ＝.∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°. 13. (2019，宁夏)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，垂足为C ，将劣弧»AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D .若AB ＝210，则⊙O 的半径为（ 3 2 ）.第13题图第13题答图第14题图第14题答图【解析】 如答图，连接OA.设⊙O 的半径为x.∵将劣弧»AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，∴OC ＝23x.∵OC ⊥AB ，∴AC ＝12AB ＝10.∵OA 2－OC 2＝AC 2，∴x 2－⎝⎛⎭⎫23x 2＝10.解得x ＝3 2.∴⊙O 的半径为3 2. 14. (2019，盐城)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，且»AB 所对的圆心角为50°，则∠E ＋∠C ＝ 155 °. 【解析】 如答图，连接EA.∵»AB 所对的圆心角为50°，∴∠BEA ＝25°.∵四边形DCAE 为⊙O 的内接四边形，∴∠DEA ＋∠C ＝180°.∴∠DEB ＋∠C ＝180°－25°＝155°.15. (2019，安徽)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，CD ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为2，则CD 的长为（ 2 ）.【解析】 如答图，连接CO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE ，则∠E ＝∠A ＝30°，∠EBC ＝90°.∵⊙O 的半径为2，∴CE ＝4.∴BC ＝12CE ＝2.∵CD ⊥AB ，∠CBA ＝45°，∴CD ＝22BC ＝ 2. 第15题图第15题答图第16题图第16题答图16. (2019，广元)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，P 为⊙O 上的动点，且∠BPC ＝60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是（ 6＋3 3 ）.解析】 如答图，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，延长MO 交⊙O 于点P ，则此时点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值＝PM.∵OM ⊥AC ，∠A ＝∠BPC ＝60°，⊙O 的半径为6，∴OP ＝OA ＝6.∴OM ＝32OA ＝32×6＝3 3.∴PM ＝OP ＋OM ＝6＋3 3.∴点P 到AC 距离的最大值是6＋3 3.17. (2019，嘉兴)如图，在⊙O 中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为（ 12）.【解析】 如答图，连接OD.设⊙O 的半径为r.∵CD ⊥OC ，∴∠DCO ＝90°.∴CD ＝OD 2－OC 2＝r 2－OC 2.∴当OC 的值最小时，CD 的值最大．∴当OC ⊥AB 时，OC 最小，此时OC ＝r 2－⎝⎛⎭⎫12AB 2.∴CD 的最大值为r 2－⎝⎛⎭⎫r 2－14AB 2＝12AB ＝12×1＝12.第17题图第17题答图三、 解答题 18. (2019，包头)如图，在⊙O 中，B 是⊙O 上的一点，∠ABC ＝120°，弦AC ＝23，弦BM 平分∠ABC 交AC 于点D ，连接MA ，MC .(1)求⊙O 的半径；(2)求证：AB ＋BC ＝BM . (1)解：如答图①，连接OA ，OC ，过点O 作OH ⊥AC 于点H .第18题图第18题答图∴AH ＝HC ＝12AC .∵OA ＝OC ，∴∠AOH ＝∠COH ＝12∠AOC .∵∠ABC ＝120°∴∠AMC ＝180°－∠ABC ＝60°.∴∠AOC ＝2∠AMC ＝120°.∴∠AOH ＝12∠AOC ＝60°.∵AC ＝23，∴AH ＝12AC ＝ 3. 在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH OA ，∴OA ＝AH sin 60°＝2.∴⊙O 的半径为2. (2)证明：如答图②，在BM 上截取BE ＝BC ，连接CE .∵∠ABC ＝120°，BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ＝12∠ABC ＝60°.∵BE ＝BC ，∴△EBC 是等边三角形．∴∠BEC ＝60°，BC ＝EC .∴∠MEC ＝120°.∴∠ABC ＝∠MEC .∵∠BAC ＝∠BMC ，∴△ACB ≌△MCE (AAS)．∴AB ＝ME .∵ME ＋EB ＝BM ，∴AB ＋BC ＝BM .19. (2019，荆门)如图，已知锐角三角形ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R . (1)求证：AC sin B＝2R ； (2)若在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sin C 的值．第19题图第19题答图第1题图(1)证明：如答图①，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ，则∠DCA ＝90°，∠B ＝∠ADC .在Rt △ACD 中，sin ∠ADC ＝AC AD ＝AC 2R ， ∴sin B ＝AC 2R .∴AC sin B＝2R . (2)解：由(1)同理可得AC sin B ＝AB sin C ＝BC sin A ＝2R . ∵AC ＝3，∠B ＝60°，∴2R ＝3sin 60°＝2.∴BC ＝2R ·sin A ＝2sin 45°＝ 2.如答图②，过点C 作CE ⊥AB 于点E .在Rt △BCE 中，BE ＝BC ·cos B ＝2cos 60°＝22.在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·cos A ＝3cos 45°＝62.∴AB ＝AE ＋BE ＝6＋22.∵AB sin ∠ACB＝2R ，∴sin ∠ACB ＝AB 2R ＝6＋24.1. (2019，湘潭)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理(当半径OC ⊥弦AB 时，OC 平分AB )可以求解．现已知弦AB＝8 m ，半径等于5 m 的弧田，按照上述公式计算出弧田面积为 10 m 2. 【解析】 ∵AB ＝8，OC ⊥AB ，∴AD ＝4.∴OD ＝OA 2－AD 2＝3.∴OC －OD ＝2.∴弧田面积＝12×(8×2＋22)＝10(m 2)． 2. (2019，潍坊)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l 0与y 轴重合．若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2……半径为n ＋1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为 (n ，2n ＋1) ．(n 为正整数)【解析】 如答图，连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1，l 2，l 3与x 轴分别交于点A 1，A 2，A 3.在Rt △OA 1P 1中，OA 1＝1，OP 1＝2，∴A 1P 1＝OP 21－OA 21＝22－12＝ 3.同理A 2P 2＝32－22＝5，A 3P 3＝42－32＝7.∴点P 1的坐标为(1，3)，点P 2的坐标为(2，5)，点P 3的坐标为(3，7)．按照此规律可得点P n 的坐标是(n ，()n ＋12－n 2)，即(n ，2n ＋1)．3. (2019，福建)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，垂足为E ，点F 在BD 的延长线上，且DF ＝DC ，连接AF ，CF .(1)求证：∠BAC ＝2∠DAC ；(2)若AF ＝10，BC ＝45，求tan ∠BAD 的值．2题图2题答图3题图3题答图(1)证明：∵AB ＝AC ，∴»»AB AC ＝，∠ABC ＝∠ACB .∴∠ABC ＝∠ADB ，∠ABC ＝12(180°－∠BAC )＝90°－12∠BAC .∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝90°－∠DAC .∴12∠BAC ＝∠DAC .∴∠BAC ＝2∠DAC . (2)解：∵DF ＝DC ，∴∠DFC ＝∠DCF .∴∠BDC ＝2∠DFC .∴∠BFC ＝12∠BDC ＝12∠BAC ＝∠DAC ＝∠FBC . ∴CB ＝CF ＝4 5.又∵BD ⊥AC ，∴AC 是线段BF 的垂直平分线．∴AB ＝AF ＝10.∴AC ＝10. 设AE ＝x ，则CE ＝10－x .由AB 2－AE 2＝BC 2－CE 2，得100－x 2＝80－(10－x )2.解得x ＝6.∴AE ＝6，CE ＝4.∴BE ＝EF ＝8.设DE ＝y ，则CD ＝DF ＝8－y .在Rt △CDE 中，CD 2＝DE 2＋CE 2，即(8－y )2＝y 2＋42.解得y ＝3，即DE ＝3.∴BD ＝BE ＋DE ＝8＋3＝11.如答图，过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H .∵12AB ·DH ＝12BD ·AE ，∴DH ＝BD ·AE AB ＝11×610＝335.在Rt △BDH 中，BH ＝BD 2－DH 2＝445.∴AH ＝AB －BH ＝10－445＝65.∴tan ∠BAD ＝DH AH ＝33565＝112. 4. (2019，温州)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在BC 边上，且CA ＝CE ，过A ，C ，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F ，作直径AD ，连接DE 并延长交AB 于点G ，连接CD ，CF .(1)求证：四边形DCFG 是平行四边形； (2)当BE ＝4，CD ＝38AB 时，求⊙O 的直径． 第4题图第4题答图(1)证明：如答图，连接AE .∵∠BAC ＝90°，∴CF 是⊙O 的直径．∵AC ＝EC ，∴CF ⊥AE .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED ＝90°.∴GD ⊥AE .∴CF ∥DG .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∴∠ACD ＋∠BAC ＝180°.∴AB ∥CD .∴四边形DCFG 是平行四边形． (2)解：由CD ＝38AB ，设CD ＝3x ，则AB ＝8x .由(1)知四边形DCFG 是平行四边形，∴CD ＝FG ＝3x .∵∠AOF ＝∠COD ，∴AF ＝CD ＝3x .∴BG ＝8x －3x －3x ＝2x .∵GE ∥CF ，∴BE EC ＝BG GF ＝23.∵BE ＝4，∴CE＝6.∴AC＝CE＝6，BC＝6＋4＝10.在Rt△ABC中，AB＝102－62＝8＝8x.∴x＝1.在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，∴CF＝32＋62＝3 5.∴⊙O的直径为3 5.。

第3章测试卷圆的基本性质班级学号得分姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1.已知⊙O的直径为10,点P到点O的距离大于8,那么点P的位置( )A. 一定在⊙O的内部B. 一定在⊙O的外部C. 一定在⊙O上D. 不能确定2.正六边形的每个内角度数为( )A. 90°B. 108°C. 120°D. 150°3.如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上两点,若∠BCD=40°,则∠ABD的大小为( )A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是( )A7 B. 7 C. 6 D. 85. 下列有关圆的一些结论：①与半径长相等的弦所对的圆周角是30°；②圆内接正六边形的边长与该圆半径相等；③垂直于弦的直径平分这条弦；④平分弦的直径垂直于弦.其中正确的是( )A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ②④6. 如图,正方形ABCD 内接于⊙O,AB=22,则AB的长是( )A. πB.32π C. 2π D127.如图,已知 BC 是⊙O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点 A,点C重合),BD与OA交于点E,设∠AED=α,∠AOD=β,则( )A. 3α+β=180°B. 2α+β=180°C. 3α-β=90°D. 2α-β=90°8. 如图,在扇形 AOB中,∠AOB=90°,点C 是弧AB 的中点,点 D 在OB 上,点 E 在OB 的延长线上,当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为( )A. π-2B. 2π—2C. π—4D. 2π-49. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC角平分线的交点，∠AIC=124°,点 E 在AD 的延长线上，则∠CDE的度数为( )A. 56°B. 62°C. 68°D. 78°10. 如图,AB是半圆O 的直径,点 P 从点O 出发,沿OA→AB→BO(的路径匀速运动一周.设OP 的长为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的是( )二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图,点 A,B,C在⊙O上,BC=6,∠BAC=30°,则⊙O的半径为 .12. 如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB 的距离为 .13. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以点B为圆心,BA为半径的圆弧与BC 交于点E,四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形(图中阴影部分)的面积是 .14.如图,在⊙O中,弦AB=1,点C在AB上移动,连结OC,过点C作CD⊥OC交⊙O于点D,则CD的最大值为 .15.如图,在半径2₂的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形面积为 .16. 如图所示,E,F分别是正方形ABCD 的边AB,BC上的点,BE=CF,连结CE,DF.将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转了.三、解答题(本大题有8小题，共66分)17. (6分)已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm²，求该扇形的弧长.18. (6分)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上，点O，M也在格点上.(1)画出△ABC关于直线OM 对称的△A₁B₁C₁;(2)画出△ABC绕点O按顺时针方向旋转 90°后所得的△A₂B₂C₂.19. (6分)中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部分是.AB,拱桥在水面上的跨度AB为8米，拱桥AB与水面的最大距离为3米.(1)用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(2)求拱桥 AB所在圆的半径.20.(8分)如图所示,在△ABC中，AB=AC,∠A=30°,，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE,过点 B作BP 平行于DE,交⊙O于点P,连结OP,CP.(1)求证:BD=DC;(2)求∠BOP的度数.21.(8分)如图,AB是⊙O的直径,C是.AE的中点，CD⊥AB于点D,交AE于点F,连结AC.求证:AF=CF.22.(10分)如图,A,P,B,C是⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°.(1) 试判断△ABC是否为等边三角形? 为什么?(2)若⊙O的半径OD⊥BC于点E，BC=8,，求⊙O的半径长.23.(10分)如图,在△ABC中，AB=AC,E在AC上,经过A,B,E三点的⊙O交BC 于点D,且.BD= DE.(1)求证:AB为⊙O的直径;(2)若AB=8,∠BAC=45°,，求阴影部分的面积.24.(12分)如图,点A,B,C是⊙O上的三点,AB∥OC.(1)求证:AC平分∠OAB;(2)如图,过点O作(OE⊥AB于点E,交AC于点 P.若AB=2,∠AOE=30°,求 PE的长.第3章测试卷 圆的基本性质1. B2. C3. B4. B5. C6. A7. D8. A9. C 10. C 11. 6 12. 3 13. 6π14 12 15. π 16. 9017. 解:由 S =12l ⋅R 得 l =2S R =2×106=103π(cm ).18. 解:(1)如图, △A₁B₁C₁即为所求作的三角形.(2)如图, △A₂B₂C₂即为所求作的三角形.19. 解:(1)如图1所示,点 O 即为所求;(2)如图2 所示,取 AB 的中点D ，连结OD 交AB 于点 E,连结OA,则 OD ⊥AB,且AE=EB=4米,由题意得，DE=3米，设圆的半径为r 米，在 Rt△AEO 中, AE +EO²=OA²,即 4²+(r−3)²=r²,解得 r =256.即拱桥AB 所在圆的半径为 256米.20. (1)证明:如图,连结 AD.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=CD. (2)解:∵∠BAC= 30°,AB= AC,∴ ∠ABC =12×(180∘−30∘)=75°.∵四边形 ABDE 为圆O 的内接四边形,∴∠EDC=∠BAC=30°.∵BP∥DE,∴∠PBC=∠EDC=30°,∴∠OBP=∠ABC--∠PBC=45°.∵OB =OP,∴∠OPB=∠OBP=45°,∴∠BOP =90°21. 证明:延长CD 交⊙O 于点 H,∵C 是 AE 的中点， ∴AC =CE ,∵CD ⊥AB,∴AC =AH ,∴CE =AH ,∴∠ACD=∠CAE,∴AF=CF.22. 解:(1)△ABC 是等边三角形.理由:∵∠BAC=∠APC=60°,又∵∠APC=∠ABC,∴∠ABC=60°,∴∠ACB =180°−∠BAC−∠ABC =180°− 60°−60°=60°,∴△ABC 是等边三角形. (2)如图，连结OB,∵△ABC 为等边三角形,⊙O 为其外接圆，∴BO 平分∠ABC,∴∠OBC=30°,∵OD ⟂BC,∴BD =CD,BE =CE = 4,∠BOD =60∘,∴OE =433, OB =833.∴OO|的半径长 833.23. (1)证明:如图,连结.AD, ∵⌢BD =DE ,∴∠BAD =∠CAD.又∵AB = AC, ∴AD ⊥ BC, ∴∠ADB=90°,∴AB 为⊙O 的直径. (2)解:∵AB 为⊙O 的直径，∴O 在AB 上，如图，连结OE,∵AB=8,∠BAC=45°,∴∠AOE=∠BOE= ∴1∘∴AB =8,∴BO =EO =4,S 扇形AOE =90×π×42360 =4π,S BOE =12OB 2=12×16=8,∴S 阴影=S BOE24. (1)证明:∵AB∥OC,∴∠C=∠BAC.∵OA=OC,∴∠C=∠OAC,∴∠BAC=∠OAC,即AC 平分∠OAB. (2)解: COE⟂AB,∴AE =BE =12AB =1,又∵∠AOE 、30°,∠PEA=90°,∴∠OAE= 60∘,∴∠EAP =3∠OAE =30∘,∴PE =12PA.设PE=x,则 PA=2x,根据勾股定理得 x²+1²=(2x)²,解得 x =33,∴PE =33.。

第六单元圆第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D第1题图2. (2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°第2题图3. (2019兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°第3题图4. (2019甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图6.(2019西安高新一中模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是()A. 48°B. 96°C. 114°D. 132°第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图，在⊙O中，弦AB∥CD，连接BC，OA，OD.若∠BCD＝25°，CD＝OD，则∠AOD的度数是()A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°第7题图8. (2019赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第8题图9. (2019贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D ．70°第9题图10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则BD 的长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 12第10题图11. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，CB ＝3，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，则弦AD 的长为( )A. 2 3B. 2 2C. 3 3D. 32第11题图12. 如图，B 、C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，连接BC 、BD 、BF 、CF .若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( )A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°第12题图13. (2019西工大附中模拟)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，EF 为⊙O 的直径，且点F 是弧BC ︵的中点．若∠B ＝40°，∠C ＝60°，则∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°第13题图14. (2019西安铁一中模拟)如图，在半径为3的⊙O 中，弦BC 、DE 所对的圆周角分别是∠A 、∠F ，且∠A ＋∠F ＝90°.若BC ＝4，则DE 的长为( )A. 13B. 4C. 5D. 25第14题图15.在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E.已知BC＝32，CD ＝22，则线段CE的长为()第15题图A. 32 2B. 7 5C. 62 5D. 22 316. (2019株洲)如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．第16题图17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．第17题图18.已知半径为5的⊙O中，弦AB＝52，弦AC＝5，则∠BAC的度数是________．点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019襄阳)如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()A. AP＝2OPB. CD＝2OPC. OB⊥ACD. AC平分OB第1题图2. (2019西工大附中模拟)如图，已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC ＝130°，则∠ABE的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°第2题图3.(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.(2019柳州)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为()第1题图A. 13 B. 22 C.223 D.24参考答案第24课时 圆的基本性质点对点·课时内考点巩固1. D 【解析】在⊙O 中，∵∠A 与∠D 都是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠D .2. A 【解析】∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°.∴在△OBC 中，∠BOC ＝180°－∠OCB －∠OBC ＝180°－40°－40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.3. D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝40°，∴∠C ＝180°－∠A ＝140°.4. C 【解析】如解图，设圆心为O ，半径为r ，则AB ＝2r .连接OA 、OB ，则r 2＋r 2＝(2r )2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°.第4题解图5. B 【解析】如解图，连接AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCB －∠ACB ＝110°－90°＝20°，∴∠AED ＝∠ACD ＝20°.第5题解图6. B 【解析】∵AD ∥BC ，∴∠B ＝180°－∠DAB ＝132°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝48°，由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠D ＝96°.7. C 【解析】如解图，连接OC ，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠BCD ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∵CD ＝OD ，OD ＝OC ，∴OC ＝OD ＝CD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝110°.第7题解图8. D 【解析】∵OC ⊥AB ，∴点C 是AB ︵的中点，即AC ︵＝BC ︵.∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°. 9. B 【解析】∵AB ︵＝CD ︵，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°.10. C 【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠BCA ＝12×(180°－120°)＝30°.∴∠D ＝∠BCA ＝30°.∵BD为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°.在Rt △BAD 中，BD ＝AD cos30°＝632＝4 3. 11. D 【解析】如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴AB ＝2CB ＝6，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°，∵∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD ＝22AB ＝22×6＝3 2.第11题解图12. A 【解析】∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－40°)＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.13. A 【解析】如解图，连接OC 、CF .∵∠B ＝40°，∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝80°，∠AFC ＝∠ABC ＝40°，∵点F 是弧BC ︵的中点，∴∠BAF ＝∠CAF ＝40°，∴∠COF ＝2∠CAF ＝80°，∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝12(180°－80°)＝50°，∴∠AFE ＝∠OFC －∠AFC ＝10°.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点G ，连接EG 、FG ，则∠DFG ＝∠DEG ＝90°，又∵∠A ＋∠DFE ＝90°，∠GFE ＋∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠GFE .则GE ＝BC ＝4.∵⊙O 的半径为3，∴DG ＝6.在Rt △DEG 中，DE ＝DG 2－GE 2＝62－42＝2 5.第14题解图15. C 【解析】如解图，作BM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，则BM ∥DN ，∴△BME ∽△DNE ，∴MENE ＝BM DN ，∵∠ACB ＝∠ACD ＝60°，∴∠CBM ＝∠CDN ＝30°，∴CM ＝12BC ＝322，CN ＝12CD ＝2，∴BM ＝3CM ＝362，DN ＝3CN ＝6，∴MN ＝CM －CN ＝122，∴ME NE ＝32，∴EN ＝25MN ＝25，∴CE ＝CN ＋EN ＝2＋25＝625.第15题解图16. 20 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝45°.∵∠AEC＝65°，且∠AEC 是△ADE 的一个外角，∴∠BAD ＝∠AEC －∠ADC ＝20°.17. 2 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠CBA ＝45°，∴∠AOC ＝90°.又∵OA ＝OC ＝2，∴AC ＝2 2.在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，∴CD ＝AC ·sin30°＝ 2.第17题解图18. 105°或15° 【解析】如解图，连接OC ，OA ，OB .∵OC ＝OA ＝AC ＝5，∴△OAC 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∵OA ＝OB ＝5，AB ＝52，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝45°，点C 的位置有两种情况，如解图①时，∠BAC ＝∠CAO ＋∠OAB ＝60°＋45°＝105°；如解图②时，∠BAC ＝∠CAO －∠OAB ＝60°－45°＝15°.综上所述，∠BAC 的度数是105°或15°.第18题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】如解图，连接OC .∵四边形OBCD 是平行四边形，OD ＝OB ，∴四边形OBCD 是菱形．∴OD ＝OC ＝CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵CD ∥OB ，∴CD ＝2OP ，OB ⊥AC .故B 、C 选项正确．∵△CBP ≌△COP (HL)，∴BP ＝OP .故D 选项正确．第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，OE ，∵AB ＝BC ＝CE ，∴AB ︵＝BC ︵＝CE ︵，∠1＝∠2＝∠3，在四边形BCDE 中，∵∠D ＝130°，∴∠CBE ＝50°，∠2＝2∠CBE ＝100°，∴∠1＝∠3＝∠2＝100°，∠AOE＝360°－3×100°＝60°，∴∠ABE ＝12∠AOE ＝30°.第2题解图3. C 【解析】∵∠AEB ＋∠AEC ＝∠D ＋∠AEC ＝180°，∠D ＝80°，∴∠AEB ＝∠D ＝80°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠B ＝∠D ＝80°，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠AEB .∴∠BAE ＝180°－2∠B ＝20°，∠BAC ＝∠ACB ＝12(180°－∠B )＝50°.∴∠EAC ＝∠BAC －∠BAE ＝30°.4. 52 【解析】如解图，四边形ABCD 为正方形，BD 为⊙O 的直径，OA 为半径，则OA ＝OB ＝5，OA ⊥OB ，∴AB ＝ OA 2＋OB 2＝52＋52＝5 2.第4题解图5. 174【解析】如解图，延长AO 至C 点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，延长FD 交⊙D 于点P ′，连接AP ′，OP ′，要使△AOP 面积最大，则只需AO 边上的高最大，此时P ′满足条件，即P ′F 为△AOP 的AO 边上最大的高．∵DF ＝AD ·CD AC ＝4×342＋32＝125，∴P ′F ＝DF ＋DP ′＝125＋1＝175，AO ＝12AC ＝52，∴△AOP 的最大面积为12AO ·P ′F ＝12×52×175＝174.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，连接AC 、AO ，得到等腰三角形AOC ，过A 点作AD ⊥OC ，垂足为点D ，∴∠CAD ＝12∠CAO ＝∠OBC ，∵点C 坐标为(0，2)，∴CD ＝OD ＝1，∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝32－12＝22，∴tan ∠OBC ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝122＝24.第1题解图。

圆的根本性质考点1 对称性圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。

任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。

它的对称中心是_____④_______。

同时圆又具有旋转不变性。

温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。

考点2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。

常用推论：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于______⑦_______，并且平分弦所对的两条_____⑧___________。

温馨提示：垂径定理是中考中的重点考察内容，每年根本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。

在这里总结一下：〔1〕垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；〔2〕常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；〔3〕另外要注意答案不唯一的情况，假设点的位置不确定，那么要考虑优弧、劣弧的区别；〔4〕为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧；考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。

常用的还有：〔1〕在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○11____________，所对的弦_____○12___________。

〔2〕在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____○13___________，所对的弧______○14 __________。

方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。

2024中考数学全国真题分类卷第十九讲圆的基本性质命题点1圆周角定理及其推论有关的计算1.(2023铜仁)如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C 的度数为()第1题图A.30°B.40°C.50°D.60°2.(2023滨州)如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B 的大小为()第2题图A.32°B.42°C.52°D.62°3.(2023陕西)如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝()第3题图A.44°B.45°C.54°D.67°4.(2023山西)如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是()第4题图A.60°B.65°C.70°D.75°源自北师九下P84第2题5.(2023包头)如图，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，E 是劣弧 BC的中点．连接BC ，DE .若∠ABC ＝22°，则∠CDE 的度数为()第5题图A.22°B.32°C.34°D.44°6.(2023泰安)如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACD ＝∠CAB ，AD ＝2，AC ＝4，则⊙O 的半径为()第6题图A.23B.32C.25D.57.(2022武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将 BC沿BC 翻折交AB 于点D ，再将 BD 沿AB 翻折交BC 于点E .若 BE ＝ DE ，设∠ABC ＝α，则α所在的范围是()第7题图A.21.9°＜α＜22.3°B.22.3°＜α＜22.7°C.22.7°＜α＜23.1°D.23.1°＜α＜23.5°8.(2023常州)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形．若∠ABC ＝45°，AC ＝2，则⊙O 的半径是________．第8题图9.(2023凉山州)如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A ，B ，O 在格点上，则cos ∠ACB 的值是________．第9题图10.(2023济宁)如图，点A ，C ，D ，B 在⊙O 上，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°.若CD ＝a ，tan ∠CBD ＝13，则AD 的长是________．第10题图命题点2垂径定理及其推论[2023版课标探索并证明垂径定理调整为要求内容]类型一垂径定理及其推论有关的计算11.(2023云南)如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为E ．若AB ＝26，CD ＝24，则∠OCE 的余弦值为()第11题图A.713 B.1213 C.712 D.131212.(2023南充)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OF ⊥BC 于点F ，∠BOF ＝65°，则∠AOD 为()第12题图A.70°B.65°C.50°D.45°13.(2023安徽)已知⊙O 的半径为7，AB 是⊙O 的弦，点P 在弦AB 上．若PA ＝4，PB ＝6，则OP ＝()A.14 B.4 C.23 D.514.(2023邵阳)如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，若AB ＝3，则⊙O 的半径是()A.32 B.32 C.3 D.52第14题图15.(2023泸州)如图，AB 是⊙O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点D ，DO 的延长线交⊙O 于点E .若AC ＝42，DE ＝4，则BC 的长是()第15题图A.1B.2C.2D.416.(2023湖州)如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D.若∠APD 是 AD 所对的圆周角，则∠APD 的度数是________．第16题图类型二垂径定理的实际应用17.(新趋势)·真实问题情境(2023鄂州)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图①所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图①所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图②是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径．．为()A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm第17题图18.(2023青海省卷)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为________m.第18题图源自人教九上P90第8题19.(新趋势)·跨学科背景(2023遵义)数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；(参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为________千米．第19题图命题点3圆内接四边形20.(2022吉林省卷)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点(点P不与点A，D重合)，连接CP.若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为()第20题图A.30°B.45°C.50°D.65°21.(2023自贡)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD 的度数是()第21题图A.90°B.100°C.110°D.120°22.(2022泰安)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为()A.23－2B.3－3C.4－3D.2第22题图23.(2023雅安)如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为________．第23题图命题点4圆的基本性质综合题更多试题见P81题型四类型一24.(2023湘潭)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、B D.(1)求证：△AEC∽△DEB；(2)连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．第24题图25.(2022上海)已知：在⊙O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M、N分别是CB和AD的中点，连接MN，OG.(1)求证：OG⊥MN；(2)连接AC、AM、CN，当CN∥OG时，求证：四边形ACNM为矩形．第25题图26.(2023武汉)如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接B D.(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝10，BE＝210，求BC的长．第26题图27.(2023成都)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，在 CD上取一点E，使 BE＝ CD，连接DE，作射线CE交AB边于点F.(1)求证：∠A＝∠ACF；(2)若AC＝8，cos∠ACF＝45，求BF及DE的长．第27题图参考答案与解析1.B2.A 【解析】∵∠APD 是△ACP 的外角，∴∠A ＋∠C ＝∠APD .∵∠A ＝48°，∠APD ＝80°，∴∠C ＝∠APD －∠A ＝80°－48°＝32°，∴∠B ＝∠C ＝32°.3.A 【解析】如解图，连接OB ，∵△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝46°，∴∠AOB ＝2∠C ＝92°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ＝180°－∠AOB 2＝180°－92°2＝44°.第3题解图4.C 【解析】如解图，连接CD ，即∠ADC ＝∠B ＝20°.∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∴∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝180°－90°－20°＝70°.第4题解图5.C 【解析】如解图，连接OE ，∵∠ABC ＝22°，∴∠AOC ＝44°，∴∠BOC ＝136°，∵E为劣弧 BC 的中点，∴∠COE ＝12∠BOC ＝68°，∴∠CDE ＝34°.第5题解图6.D 【解析】如解图，连接BC ，∵∠ACD ＝∠CAB ，∴AB ∥CD .∵AD ＝2，∴BC ＝AD ＝2.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AC ＝4，∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝25，∴⊙O 的半径为5.第6题解图7.B 【解析】如解图，连接AC ，CD ，DE .∵在同圆或等圆中，∠ABC 所对的弧有 AC ， CD， DE，∴AC ＝CD ＝DE ，∵ BE ＝ DE ，∴BE ＝DE ，∴AC ＝CD ＝DE ＝BE ，∴∠EDB ＝∠ABC ＝α，∴∠DCE ＝∠CED ＝2∠ABC ＝2α，∴∠CAD ＝∠CDA ＝∠ABC ＋∠DCE ＝3α，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAD ＋∠ABC ＝90°，即3α＋α＝90°，解得α＝22.5°，∴22.3°＜α＜22.7°.第7题解图8.1【解析】如解图，连接OA ，OC ，∵∠ABC ＝45°，∴∠AOC ＝90°，∴△AOC 为等腰直角三角形，∵AC ＝2，∴OA ＝OC ＝1.第8题解图9.21313【解析】如解图，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，∵AB ＝6，BD ＝4，∴AD ＝AB 2＋BD 2＝62＋42＝213，∴cos ∠ADB＝BD AD ＝4213＝21313，∵∠ACB ＝∠ADB ，∴cos ∠ACB 的值是21313.第9题解图10.22a 【解析】如解图，连接AB ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝AC ，∴AB 是⊙O 的直径，∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∴∠CAD ＋∠BAD ＝45°，根据同弧所对的圆周相等可得，∠BCD ＝∠BAD ，∠CBD ＝∠CAD ，∴∠CBD ＋∠BCD ＝45°，∴∠CDB ＝180°－(∠CBD ＋∠BCD )＝135°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠CDE ＝∠CDB －∠ADB ＝45°.又∵CE ⊥AD ，∴∠CED ＝90°，∴△CDE 是等腰直角三角形，∵CD ＝a ，∴CE ＝DE ＝22CD ＝22a .∵tan ∠CBD ＝13，∴tan ∠CAD ＝CE AE ＝13，∴22a AE＝13，解得AE ＝322a ，∴AD ＝AE ＋DE ＝22a .第10题解图11.B 【解析】由垂径定理得，CE ＝DE ＝12，∵AB ＝26，∴OC ＝13，在Rt △OCE 中，cos ∠OCE ＝CE OC ＝1213.12.C 【解析】如解图，连接BD ，∵弦CD 垂直于直径AB ，∴ AC ＝AD ，∴∠ABC ＝∠ABD ，∵OF ⊥BC ，∴∠OFB ＝90°，∴∠ABC ＝∠ABD ＝90°－∠BOF ＝90°－65°＝25°，∴∠AOD ＝2∠ABD ＝2×25°＝50°.第12题解图13.D 【解析】如解图①，过点O 作OM ⊥AB ，垂足为M ，连接OA ，OP ，则AM ＝4＋62＝5，∵OA ＝7，∴根据勾股定理得，OM ＝72－52＝26，∵PM ＝AM －PA ＝1，∴OP ＝（26）2＋12＝5.第13题解图①第13题解图②【一题多解】如解图②，过点P 作⊙O 的直径CD ，连接BC ，AD .∵∠C ＝∠A ，∠B ＝∠D ，∴△PBC ∽△PDA ，∴PB PD ＝PC PA ，设OP ＝a ，∵OC ＝OD ＝7，则67－a ＝7＋a 4，解得a ＝5(负值已舍去)，∴OP ＝5.14.C 【解析】如解图，连接OB ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵⊙O 是等边△ABC 的外接圆，AB ＝3，∴AD ＝BD ＝12AB ＝32，∠ABO ＝30°，∴BO ＝BD cos ∠ABO ＝32cos 30°＝3，即⊙O 的半径是3.第14题解图15.C 【解析】∵OD ⊥AC ，∴AD ＝12AC ＝22，设OD ＝x ，则OE ＝OA ＝4－x ，在Rt △OAD 中，OA 2＝OD 2＋AD 2，∴(4－x )2＝x 2＋(22)2，∴x ＝1，∴OD ＝1，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴OD ∥BC .∵O 为AB 的中点，∴BC ＝2OD ＝2.16.30°【解析】∵OC ⊥AB ，OA ＝OB ，∴OC 平分∠AOB .∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝60°，∴∠APD ＝12∠AOD ＝30°.17.C 【解析】如解图，连接OE 交AB 于点F ，连接OA ，设OA ＝R ，∵AC ＝BD ＝4cm ，∴OF ＝R －4，又∵AB ＝CD ＝16cm ，∴AF ＝8cm ，在Rt △OAF 中，R 2＝(R －4)2＋82，解得R ＝10cm ，即直径为20cm.第17题解图18.103【解析】如解图，连接OA ，设此圆的半径为r m ，则OA ＝OD ＝r m ，∵AB ＝4m ，CD ＝6m ，CD ⊥AB ，CD 经过圆心，∴AC ＝12AB ＝12×4＝2(m)，OC ＝CD －OD ＝(6－r )m ，在Rt △AOC 中，OA 2＝OC 2＋AC 2，即r 2＝(6－r )2＋22，解得r ＝103，即⊙O 的半径长为103m.第18题解图19.33792【解析】如解图，过点O 作OD ⊥BC 于点D ，根据题意得OB ＝OA ＝6400，∵BC ∥OA ，∴∠B ＝∠BOA ＝28°，∵在Rt △BOD 中，∠B ＝28°，∴BD ＝OB ·cos 28°，∵OD ⊥BC ，∴由垂径定理可知BD ＝DC ＝12BC ，∴以BC 为直径的圆的周长为2π×BD ≈2×3×6400×0.88＝33792.第19题解图20.D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠B ＝120°，∴∠CDA ＝180°－∠B ＝180°－120°＝60°，∵∠APC ＝∠CDA ＋∠DCP ，∴∠APC >∠CDA ，∴∠APC >60°，∴∠APC 的度数可能为65°.21.C 【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠ABD ＝20°，∴∠A ＝90°－20°＝70°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠BCD ＋∠A ＝180°，∴∠BCD ＝110°.22.C 【解析】如解图，延长AB 、DC 交于点E ，∵∠ABC ＝90°，∠BCD ＝120°，∴∠ADC ＝90°，∠BAD ＝60°，∠CBE ＝90°，∠ECB ＝60°，∴∠E ＝30°，设CE ＝2x ，则BE ＝3x .∵AB ＝2，CD ＝1，∴cos E ＝ED AE ＝BE EC ，即1＋2x 2＋3x＝3x 2x ，解得x ＝23－2，∴AD ＝AE 2＝3（23－2）＋22＝4－3.第22题解图23.144°【解析】∵∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，∠DCE＝72°，∴∠A＝∠DCE＝72°，∴∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.24.(1)证明：∵∠C和∠B都是 AD所对的圆周角，∴∠C＝∠B，∵∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB；(2)解：∵∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝2AD＝6，∴OA＝3，即⊙O的半径为3.【一题多解】如解图，连接OD，∵∠C＝30°，∴∠AOD＝2∠C＝60°，∵OA＝OD，∴△OAD为等边三角形，∴OA＝AD＝3，即⊙O的半径为3.第24题解图25.证明：(1)如解图，连接OM，ON，∵在⊙O中，AD＝BC，M、N分别是BC和AD的中点，∴OM＝ON，OM⊥BC，ON⊥AD，∵OG＝OG，∴Rt△MOG≌Rt△NOG，∴GM＝GN，∴点O和点G都在线段MN的垂直平分线上，∴OG⊥MN；(2)∵AD＝BC，M、N分别是BC和AD的中点，∴AN＝CM，∵GM＝GN，∴AG＝CG，∠GMN＝∠GNM，∵CN∥OG，OG⊥MN，∴CN⊥MN，∵∠GMN＋∠MCN＝90°，∠GNM＋∠CNG＝90°，∴∠MCN＝∠CNG，∴GN＝CG，∴GM＝GN＝CG＝AG，∴四边形ACNM为矩形．第25题解图26.解：(1)△BDE为等腰直角三角形．证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC.∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∴∠BED＝∠DBE.∴BD＝ED.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE 是等腰直角三角形；(2)如解图，连接OC ，CD ，OD ，OD 交BC 于点F .∵∠DBC ＝∠CAD ＝∠BAD ＝∠BCD ，∴BD ＝CD .∵OB ＝OC ，∴OD 垂直平分BC .∵△BDE 是等腰直角三角形，BE ＝210，∴BD ＝25.∵AB ＝10，∴OB ＝OD ＝5.设OF ＝t ，则DF ＝5－t .在Rt △BOF 和Rt △BDF 中，52－t 2＝(25)2－(5－t )2，解得t ＝3.∴BF ＝4，∴BC ＝2BF ＝8.第26题解图27.(1)证明：∵ BE＝ CD ，∴∠ECB ＝∠CBD .∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＋∠FCB ＝90°，∠A ＋∠ABC ＝90°，∴∠A ＝∠ACF ；(2)解：如解图，连接CD .∵∠A ＝∠ACF ，∠FBC ＝∠BCF ，∴AF ＝FC ＝FB ，∵cos A ＝cos ∠ACF ＝45＝AC AB，AC ＝8，∴AB ＝10，BC ＝6，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CDB ＝90°，∴CD ⊥AB ，∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝245，∴BD ＝BC 2－CD 2＝62－（245）2＝185，∵BF ＝AF ＝5，∴DF ＝BF －BD ＝5－185＝75.∵∠DEF ＋∠DEC ＝180°，∠DEC ＋∠B ＝180°，∴∠DEF ＝∠B ＝∠BCF ，∴DE ∥CB ，∴△DEF ∽△BCF ，∴DE BC ＝DF BF ，∴DE 6＝755，∴DE ＝4225.第27题解图。

一、选择题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（ ）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（ ） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（ ）． A．3 B．3 C．2 D．3【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ODEBA所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB 中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒， 又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ， 所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC =．9．（2019·陕西）如图，AB 是⊙O 的直径，EF ，EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ，若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是（ ）A ．20°B ．35°C ．40°D ．55°【分析】连接FB ，得到∠FOB ＝140°，求出∠EFB ，∠OFB 即可．【解答】解：连接FB ．∵∠AOF ＝40°，∴∠FOB ＝180°﹣40°＝140°， ∴∠FEB ＝∠FOB ＝70° ∵EF ＝EB∴∠EFB ＝∠EBF ＝55°， ∵FO ＝BO ，∴∠OFB ＝∠OBF ＝20°， ∴∠EFO ＝∠EBO ，∠EFO ＝∠EFB ﹣∠OFB ＝35°， 故选：B ．【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（2019·威海）如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为A.B. C. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝ ＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.5． 如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC BD 分别与⊙O 相切于点D .若AC= BD = 4,∠A =45°， 则圆弧CD 的长度为（ ）A .πB . 2πC . D.4π 【答案】B【解析】连接CO ,DO ,因为AC ,BD分别与⊙O 相切于C ,D ，所以∠ACO =∠DBO =90°, 所以∠AOC =∠A =45°, 所以CO =AC =4，因为AC =BD ,CO =DO ,所以△ACO ≌△BDO ,所以∠DOB =∠AOC =45°，所以∠DOC =180°-∠DOB -∠AOC =180°-45°-45°=90°，»CD=904180π⨯=2π，故选B . 9．（2019·益阳）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（）A. PA=PBB.∠BPD ＝∠APDC.AB ⊥PDD.AB 平分PD第9题图【答案】D【解析】∵PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，∴PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，故A 、B 正确；∵PA=PB ，∠BPD ＝∠APD ，∴PD ⊥AB ，PD 平分AB ，但AB 不一定平分PD ，故C 正确，D 错误.7．（2019·黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（»AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心，AB ＝40m ，点C 是»AB 的中点，点D 是AB 的中点，且CD ＝10m .则这段弯路所在圆的半径为（） A.25mB.24mC.30mD.60m【答案】A【解析】连接OD ，由垂径定理可知O ，C ，D 在同一条直线上，OC ⊥AB ，设半径为r ，则OC ＝OA ＝r ，AD ＝20，OD ＝OA －CD ＝r －10，在Rt △ADO ，由勾股定理知：r 2＝202＋(r －10)2，解得r ＝25.9．（2019·陇南）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【答案】C【解析】作AB的垂直平分线，交圆与点C，D，设圆心为O，CD与AB交于点E，∵OA，∴AE=，∴2sin2OEAOEOA OA∠===,∴∠AOE=45°，∴∠AOB=90°，∴∠ASB=45°，故选：C．1.（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°【答案】B【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．2. (2019·聊城)如图,BC是半圆O的直径,D,E是»BC上两点,连接BD,CE并延长交于点A,连接OD,OE,如果∠A＝70°,那么∠DOE的度数为A.35°B.38°C.40°D.42°【答案】C【解析】∵∠A＝70°,∴∠B+∠C＝110°,∴∠BOE+∠COD＝220°,∴∠DOE＝∠BOE+∠COD－180°＝40°,故选C.3.（2019·潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD=CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若sin∠CAB=35，DF=5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C【解析】连接BD．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD．∵AB为直径，∴∠ADB=∠ACB=90°．∴∠DAB+∠ABD=90°．∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°．∴∠ADE=∠ABD．∵∠ABD=∠ACD，∴∠DAC=∠ADE．∴AF=DF=5．在Rt△AEF中，sin∠CAB=35 EFAF=∴EF=3，AE=4．∴DE=3+5=8．由DE2=AE▪EB，得228164DEBEAE===．∴AB=16+4=20．在Rt△ABC中，sin∠CAB=35 BC AB=∴BC=12．4. （2019·凉山）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数（▲）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，所以只有①是对的，故选A. 5.（2019·眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD．垂足是点E，∠CAO=22．5°，OC=6，则CD的长为A．B．．6 D．12【答案】A【解析】∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC=6，∴∠CEO=90°，∵∠COE=45°，∴OC＝CD=2CE= D.6.（2019·衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8dm，DC=2dm，则圆形标志牌的半径为（A）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm【答案】B【解析】连接OD，OB，则O，C，D三点在一条直线上，因为CD垂直平分AB，AB=8dm，所以BD=4dm,OD=（r-2）dm，由勾股定理得42+（r-2）2=r2，r=5dm，故选B.7.(2019·泰安) 如图,△ABC是e O的内接三角形,∠A＝119°,过点C的圆的切线交BO于点P,则∠P的度数为A.32 °B.31°C.29°D.61°【答案】A【解析】连接CO,CF,∵∠A＝119°,∴∠BFC＝61°,∴∠BOC＝122°,∴∠COP＝58°,∵CP与圆相切于点C,∴OC⊥CP,∴在Rt△OCP中,∠P＝90°－∠COP＝32°,故选A.二、填空题7．（2019·嘉兴）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 延长线于点P ，则PA 的长为（ ）A ．2B ．C ．D ．【答案】B【解析】连接OA ，因为∠ ABC=30°，所以∠AOC=60°，又因为PA 为切线，所以∠OAP=90°，因为OC=1，所以.3.（2019·杭州）如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，若PA=3，则PB=（ ） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】因为P A 和PB 与⊙O 相切，根据切线长定理，可知： P A =PB =3，故选B ．12．（2019·烟台）如图，AB 是O e 的直径，直线DE 与O e 相切于点C ，过点A ，B 分别作AD DE ⊥，BE DE ⊥，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC．若AD =3CE =，则»AC 的长为（ ）． ABCD【答案】D【解题过程】连接OC ，因为AD DE ⊥，BE DE ⊥，所以90ADC CEB ∠=∠=︒ 所以90DAC ACD ∠+∠=︒ 因为AB 是O e 的直径，所以90ACB ∠=︒，所以90BCE ACD ∠+∠=︒， 所以BCE DAC ∠=∠， 在△ADC 与△CED ,因为90ADC CEB ∠=∠=︒，BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED ,所以BC CE AC AD ===在Rt △ACB中，sin BCBAC AC∠== 所以60BAC ∠=︒， 又因为OA OC =，所以△AOC 是等边三角形， 所以60ACO ∠=︒，因为直线DE 与 O e 相切于点C ， 所以OC DE ⊥，因为AD DE ⊥，OC DE ⊥， 所以AD//OC ，所以60DAC ACO ∠=∠=︒，所以9030ACD DAC ∠=︒-∠=︒，所以2AC AD ==， 所以△AOC 是等边三角形，所以OA AC ==，60AOC ∠=︒，所以»AC=．12．（2019·威海）ODEBA如图，⊙P 与x 轴交与点A （—5，0），B （1，0），与y 轴的正半轴交于点C ，若∠ACB ＝60°，则点C 的纵坐标为B.B. C. D .2【答案】D【解题过程】连接PA 、PB 、PC ,过点P 分别作PF ⊥AB ，PE ⊥OC ，垂足为F,E. 由题意可知：四边形PFOE 为矩形， ∴PE ＝OF ,PF ＝OE . ∵∠ACB ＝60°， ∴∠APB ＝120°. ∵P A ＝PB ，＝30°.cos 30°＝AFAP， ∴PF ,AP ＝∴OE,PC ＝在RT △PEC 中，CE ＝ ＝，∴OC ＝CE ＋EO ＝ 2.16．（2019·娄底）如图（9），C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，AB＝2，∠ACD ＝30°，则AD ＝_____________．【答案】1．【解析】如图，图9－1，连结AD ，∵由AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，又∵在⊙O 中有∠ACD ＝30°, ∴∠B ＝∠ACD ＝30°，∴112122AD AB ==⨯=． 17．（2019·衡阳）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是． 【答案】63【解析】如图，作OD ⊥BC 于D ，∵OB ＝6，∠OBD ＝30，∴BD ＝12BC ＝33，∴BC ＝63，故答案为63．13．（2019·安徽）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为 .DCBOA【答案】2【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，于是得到∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，解直角三角形即可得到结论．连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E=∠A=30°，∠EBC=90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE=4，∴BC=21CE=2，∵CD ⊥AB ，∠CBA=45°，∴CD=22BC=2，故答案为2．16．（2019·株洲）如图所示，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，过点C 的弦CD 与线段OB 相交于点E ，满足∠AEC ＝65°，连接AD ，则∠BAD ＝度．第16题【答案】20°【解析】如图，连接DO ，因为CO ⊥AB,所以∠COB=90°，∵∠AEC ＝65°，∴∠C=25°，∵OD=OC,∴∠ODC=∠C=25°，△DCO 中，∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∴2∠BAD=∠DOB,∴∠BAD=20°。

第二十讲圆的基本性质命题点1 圆周角定理及其推论有关的计算1．（2021•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27°B．108°C．116°D．128°【答案】B【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故选：B．2．（2021•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，故选：A．3．（2021•嘉峪关）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED ＝（）A．48°B．24°C．22°D．21°【答案】D【解答】解：连接OC、OD，∵AB＝CD，∠AOB＝42°，∴∠AOB＝∠COD＝42°，∴∠CED＝∠COD＝21°．故选：D．4．（2021•邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．故选：B．5．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（）A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°【答案】B【解答】解：如图，连接AC，CD，DE．∵＝，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∵＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，故选：B．6．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝．【答案】13°【解答】解：如图，连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．7．（2021•安徽）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝．【答案】【解答】解：如图，连接OA，OB，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝OA＝．故答案为：．8．（2021•烟台）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是．【答案】【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案为：．命题点2 垂径定理及其推论类型一垂径定理及其推论有关的计算9．（2021•丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（）A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinαC．AE＝m•cosαD．S△COD＝m2•sinα【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，∴DE＝CD，在Rt△EDO中，OD＝m，∠AOD＝∠α，∴tanα＝，∴OE＝＝，故选项A不符合题意；∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，∴CD＝2DE，∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，∴DE＝OD•sinα＝m•sinα，∴CD＝2DE＝2m•sinα，故选项B正确，符合题意；∵cosα＝，∴OE＝OD•cosα＝m•cosα，∵AO＝DO＝m，∴AE＝AO﹣OE＝m﹣m•cosα，故选项C不符合题意；∵CD＝2m•sinα，OE＝m•cosα，∴S△COD＝CD×OE＝×2m•sinα×m•cosα＝m2sinα•cosα，故选项D不符合题意；故选：B．10．（2021•营口）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D 是上任意一点，则∠ADB度数为（）A．112°B．124°C．122°D．134°【答案】B【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，∵C为AB的中点，OA＝OB，∴OC⊥AB，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝56°，∴∠APB＝∠AOB＝56°，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°．故选：B．11．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．∵AB是直径，且CD⊥AB，∴CP＝CD＝3cm．根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．故选：B．12．（2021•黄冈）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（）A．10B．8C．6D．4【答案】A【解答】解：由题知，AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD为三角形ABC的中位线，∴AD＝AB＝×8＝4，又∵OD＝3，∴OA＝＝＝5，∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，点O是AC中点，∴OE是三角形ACF的中位线，∴CF＝2OE＝2×5＝10，故选：A．13．（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（）A．B．2C．1D．2【答案】B【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴DC⊥BC，∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，∴DC＝DT＝1，∵AC＝3，∴AD＝AC﹣CD＝2，∴AD＝2DT，∴∠A＝30°，∴AB＝＝＝2，解法二：AD＝2DT由此处开始，可以在Rt△ADT中用勾股定理得AT＝，再由垂径定理可得AB＝2AT得解．故选：B．14．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为．【答案】2【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：在y＝x+中，令x＝0得y＝,∴C(0,),OC＝,在y＝x+中令y＝0得x+＝0,解得x＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA＝2,Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴AB＝2，故答案为：2．类型二垂径定理的实际应用15．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：∵AB＝16厘米，∴AD＝AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD＝＝＝6（厘米），∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故选：A．16．（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径寸．【答案】26【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，．则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．命题点3 圆内接四边形17．（2021•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）A．30°B．45°C．50°D．65°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．故选：D．18．（2021•泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（）A．2﹣2B．3﹣C．4﹣D．2【答案】C【解答】解：延长AD、BC交于E，∵∠BCD＝120°，∴∠A＝60°，∵∠B＝90°，∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，在Rt△CDE中，DE＝＝，∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，故选：C．19．（2021•苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE ＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．【答案】（1）略（2）tan∠DCB＝【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴＝，∴AD＝DC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：过点D作DM⊥BE于M，∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，∴BE＝BC+EC＝10，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝BE＝5，∴CM＝BC﹣BM＝1，∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，∴tan∠DCB＝＝．20．（2021秋•越秀区校级期中）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M，N分别是CB和AD的中点，联结MN，OG．（1）求证：OG⊥MN；（2）联结AC，AM，CN，当CN∥OG时，求证：四边形ACNM为矩形．【答案】（1）略（2）四边形AMNC是矩形．【解答】（1）证明：如图，连接OM，ON，OB，OD．∵M，N分别是CB和AD的中点∴OM⊥CB，ON⊥AD，∵AD＝BC，∴BM＝DN，在Rt△OMB和Rt△OND中，，∴Rt△OMB≌Rt△OND（HL），∴OM＝ON，在Rt△OMG和Rt△ONG中，∴Rt△OMG≌Rt△ONG（HL），∴GM＝GN，∵OM＝ON，∴OG⊥MN；（2）证明：∵OG⊥MN，CN∥OG，∴CN⊥MN，∴∠MNC＝90°，∵GM＝GN，∴∠GMN＝∠GNM，∵∠GMN+∠GCN＝90°，∠GNM+∠GNC＝90°，∴∠GCN＝∠GNC，∴GC＝GN，∵CM＝CB，AN＝AD，BC＝AD，∴CM＝AN，∴AG＝CG，∴AG＝GN＝CG＝GM，∴四边形AMNC是平行四边形，∵AN＝CM，∴四边形AMNC是矩形．。

圆的有关性质一、选择题1. (2016兰州，7,4分)如图，在⊙O中，点C 是的中点，∠A＝50º，则∠BOC＝（）。

（A）40º（B）45º（C）50º（D）60º【答案】A【解析】在△OAB中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50º。

根据垂径定理的推论，OC 平分弦AB 所对的弧，所以OC 垂直平分弦AB，即∠BOC＝90º− ∠B＝40º ，所以答案选A。

【考点】垂径定理及其推论2. (2016兰州，10,4分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O, 四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC= （）（A）45º（B) 50º(C) 60º (D) 75º【答案】：C【解析】：连接OB,则∠OAB＝∠OBA, ∠OCB＝∠OBC∵四边形ABCO 是平行四边形，则∠OAB＝∠OBC∴∠ABC＝∠OAB＋∠OBC＝∠AOC∴∠ABC＝∠AOC＝120º∴∠OAB＝∠OCB＝60º连接OD，则∠OAD＝∠ODC，∠OCD＝∠ODC由四边形的内角和等于360º可知，∠ADC＝360º－∠OAB－∠ABC－∠OCB－∠OAD－∠OCD∴∠ADC＝60º【考点】：圆内接四边形3. (2016·四川自贡)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．75°【考点】圆周角定理；三角形的外角性质．【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，∴∠B=∠C=30°，故选C．【点评】本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键4. （2016·四川成都·3分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（）A．πB．πC．πD．π【考点】弧长的计算；圆周角定理．【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．【解答】解：∵∠OCA=50°，OA=OC，∴∠A=50°，∴∠BOC=100°，∵AB=4，∴BO=2，∴的长为：=π．故选：B．5. （2016·四川达州·3分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A． B．2C．D．【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO，等量代换即可．【解答】解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，则OD==4，tan∠CDO==，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故选：C．6. （2016·四川广安·3分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，=（）则S阴影A ．2πB ．πC ．πD ．π【考点】圆周角定理；垂径定理；扇形面积的计算． 【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD 、OE 的长度，最后将相关线段的长度代入S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC ．【解答】解：如图，假设线段CD 、AB 交于点E ， ∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ， ∴CE=ED=2，又∵∠BCD=30°，∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°， ∴OE=DE •cot60°=2×=2，OD=2OE=4，∴S 阴影=S 扇形ODB ﹣S △DOE +S △BEC=﹣OE ×DE+BE •CE=﹣2+2=．故选B ．7. （2016·四川乐山·3分）如图4，C 、D 是以线段AB 为直径的⊙O 上两点，若CA CD =，且40ACD ∠=， 则CAB ∠=()A10 ()B20()C30()D40答案：BCO图4DBA解析：∠CAD＝∠B＝∠D＝12（180°－40°）＝70°，又AB为直径，所以，∠CAB＝90°－70°＝20°，8. （2016·四川凉山州·4分）已知，一元二次方程x2﹣8x+15=0的两根分别是⊙O1和⊙O2的半径，当⊙O1和⊙O2相切时，O1O2的长度是（）A．2 B．8 C．2或8 D．2＜O2O2＜8【考点】圆与圆的位置关系；根与系数的关系．【分析】先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况讨论求解．【解答】解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是3和5．∴①当两圆外切时，圆心距O1O2=3+5=8；②当两圆内切时，圆心距O1O2=5﹣2=2．故选C．9．（2016•浙江省舟山）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°【考点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）．【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故的度数是150°．故选：C．10.（2016·广东茂名）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（）A．150° B．140° C．130° D．120°【考点】圆周角定理．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，∴∠AOC=2∠B=150°．故选A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．11. (2016年浙江省丽水市)如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4，AD=，则AE的长是（）A．3 B．2 C．1 D．1.2【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE和△BCE边长之间的关系，利用相似比求出线段AE的长度即可．【解答】解：∵等腰Rt△ABC，BC=4，∴AB为⊙O的直径，AC=4，AB=4，∴∠D=90°，在Rt△ABD中，AD=，AB=4，∴BD=，∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE，∴△ADE∽△BCE，∵AD：BC=：4=1：5，∴相似比为1：5，设AE=x，∴BE=5x，∴DE=﹣5x，∴CE=28﹣25x，∵AC=4，∴x+28﹣25x=4，解得：x=1．故选：C．12．（2016·山东烟台）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意确定出y与x的关系式，即可确定出图象．【解答】解：根据题意得：sin∠APB=，∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，∴xy=1，即y=（1＜x＜2），图象为：，故选B．13．（2016山东省聊城市，3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．故选B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．14．（2016.山东省泰安市，3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（）A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB，又OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△AOB为等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．15．（2016.山东省泰安市，3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（）A．1：B．1：C．1：2 D．2：3【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线定理得到=，求出AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=AB，CE=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，∴OE⊥AB，∴OE=AB，CE=AB，∴S△ADE：S△CDB=（ADOE）：（BDCE）=（）：（）=2：3．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．二、填空题1．（2016·黑龙江大庆）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=10，一圆弧过点B和点C，且与AD相切，则图中阴影部分面积为75﹣．【考点】扇形面积的计算；矩形的性质；切线的性质．【分析】设圆的半径为x，根据勾股定理求出x，根据扇形的面积公式、阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）进行计算即可．【解答】解：设圆弧的圆心为O，与AD切于E，连接OE交BC于F，连接OB、OC，设圆的半径为x，则OF=x﹣5，由勾股定理得，OB2=OF2+BF2，即x2=（x﹣5）2+（5）2，解得，x=5，则∠BOF=60°，∠BOC=120°，则阴影部分面积为：矩形ABCD的面积﹣（扇形BOCE的面积﹣△BOC的面积）=10×5﹣+×10×5=75﹣，故答案为：75﹣．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握矩形的性质、切线的性质和扇形的面积公式S=是解题的关键．2．（2016·湖北鄂州）如图，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点。