线性代数第一章第二节

T
下面证明 ( AB ) T = B T A T
证明： 矩阵， 证明：设 A 是 s × n 矩阵， B 是 n × m 矩阵 , 则 AB 是 s × m 矩阵， AB ) T 是 m × s 矩阵 ; 矩阵， (
B T 为 m × n 矩阵 , A T 为 n × s 矩阵，故 B T A T 为 矩阵， m × s 矩阵 ;
称为反对称矩阵. 那么 A 称为反对称矩阵. 如

1 反对称矩阵的主要特点是: 对称矩阵的主要特点是: 1 5 −2 主对角线上的元素为0,其余 主对角线上的元素为0,其余 0, 的元素关于主对角线 主对角线互为相 −2 −5 0 1 的元素关于主对角线互为相 反数. 反数. −1 2 −1 0 0 2
T
T T
)
= E − 2 ( XX
T
T T
)
= E − 2 XX T = H ,
∴ H 是对称矩阵. 是对称矩阵.
又 HH = H = (E − 2 XX
T
2
T 2
= E − 4 XX T + 4( XX T )( XX T ) = E − 4 XXT + 4 X ( X T X )X T
= E − 4 XXT + 4 XXT = E .
a j1 a j2 = = ( b 1 i , b 2 i , L , b ni ) M a jn =
∑b
k =1
n
ki
a
jk
∑a
k =1
n
jk
b ki , ( i = 1 , 2 ,..., m ; j = 1 , 2 ,..., s )
于是： ( 于是： AB ) T = B T A T
则 bkk > 0, 于是 B = AA ≠ 0.
T
例3 设列矩阵 X = ( x1 , x 2 ,L , x n ) ，满足 X T X = 1,
T
E 为 n 阶单位矩阵，且 H = E − 2 XX T ，证明 H 是对 阶单位矩阵，
称矩阵， 称矩阵，且 HH T = E . 证明
Q H = (E − 2 XX
)
例4 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵与 反对称阵之和. 反对称阵之和. 证明
C = A + AT 设
T
则 C = A+ A
B = A − AT , 设
(
T
)=A
T
T
+ A = C,
所以C为对称矩阵. 所以C为对称矩阵. 则 B = A− A
T
(
T
)
T
= AT − A = − B ,
所以B为反对称矩阵. 所以B为反对称矩阵.
−1 0
两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵, 特别 两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵, 反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵. 反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵.但两个反对称矩 阵的乘积不一定是反对称矩阵. 阵的乘积不一定是反对称矩阵.
阶实矩阵， 例2.设 A = ( a ij ) 3 为一个 3阶实矩阵，若 A ≠ 0. 证明： 证明： AA T 为对称矩阵且 AA T ≠ 0.
1 0 2 3, B = 2 例1 已知 A = 4 4 5 1 0 2 2 3 2 1 = 16 解 AB = 4 3 4 5 28
T
1 求( AB )T , BT AT . , 3
证明 : ( AA T ) T = ( A T ) T A T = AA T , 故 AA T 为对称 矩阵； 矩阵；设
a11 B = AAT = a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a11 a 23 a12 a 33 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 , a 33
T
2、运算规律 A 假定所有运算合法， 是矩阵， （假定所有运算合法， B 是矩阵，λ ∈ R ） （ 1） A
( )
T
T
=A
T
( A + B )T = AT + BT （ 2）
（4） ( AB ) = B A
T T T
（ 3） ( λ A ) = λ A
T
A1 A2 L An−1 An ) = AnT An−1T L A2T A1T 推广 (
1 11 19
2 16 28 所以 （AB = ） 1 11 19
2 4 1 2 4 2 16 28 而且 B A = 0 3 5 = 1 11 19 1 3
T T
显然
Байду номын сангаас
( AB ) = B A
T T
T
对称矩阵 定义 阶方阵， 设 A 为 n 阶方阵，若 AT = A，即 aij = a ji ，
称为对称矩阵 对称矩阵. 那么 A 称为对称矩阵. 如
1 0 1 −1 0 − 1 3 1 1 3 2 2 − 1 1 2 0
对称矩阵的特点是： 对称矩阵的特点是： 它的元素以主对角线 它的元素以主对角线 为对称轴对应相等. 为对称轴对应相等.
两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, 特别 两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵, 对称 数乘也是对称矩阵 乘积不 矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积 矩阵的数乘也是对称矩阵.但两个对称矩阵的乘积不 一定是对称矩阵. 一定是对称矩阵.
反对称矩阵
T 阶方阵， 设 A 为 n 阶方阵，若 A = − A ，即 aij = − a ji ， 定义
第二节
矩阵的转置
1、定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩 AΤ .or . A′ . 转置矩阵， 阵，叫做 A 的转置矩阵，记作
例
1 4 1 2 2 2 5. T A= , A = 4 5 8 2 8
B = ( 9 6) ,
9 B = . 6
则bij = a i 1a j 1 + a i 2 a j 2 + a i 3 a j 3 ( i , j = 1,2,3)
特别地， 特别地， B 的对角元素 bii 是实数的平方和 , 即： bii = a i21 + a i22 + a i23 ≥ 0 ( i = 1,2,3), 再由题设 A ≠ 0知， A 至少有一个元素 akl ≠ 0,
A + AT A − AT C B = + , A= + 2 2 2 2
命题得证. 命题得证.
( AB ) T 与 B T A T 是同型矩阵，而且 是同型矩阵，
( AB ) T 的 i 行 j 列元素 = ( AB )的 j 行 i 列元素 ( ＝（ A 的 j 行） B 的 i 列） =
T T T
∑a
k =1
n
jk
b ki
B A 的 i行 j列元素 = ( B 的 i行 )( AT 的 j列 ) = ( B 的 i列 )T ( A 的 j行 ) T