【数学】冀教版八年级上册第17章特殊三角形【学案】认识勾股定理

第十七章特殊三角形1.了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等边三角形的性质定理和判定定理.2.探索并掌握直角三角形的性质定理,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.3.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.5.会利用基本作图方法作三角形:已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.6.通过实例体会反证法的含义.1.经历由情境引出问题,探索、掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学生学数学、用数学的意识与能力.2.在教学过程中提供充足的时间和空间,让学生经历观察、操作、实验、猜想、验证等活动过程,培养学生尝试探究的意识和能力.1.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国及祖国悠久文化的思想感情.2.使学生从数学的角度思考问题,培养学生积极的学习态度,树立学习的信心,提高学生的学习兴趣.本章知识既是三角形内容的深化和拓展,又是进一步研究特殊四边形的重要工具.同时,等腰三角形的知识在今后探索线段相等、角相等、直线的垂直关系等方面有着广泛的应用;勾股定理及其逆定理不仅是数形结合思想的完美体现,更是我们今后解决数学问题和实际问题的有力工具.因此,本章起着承上启下的桥梁作用.(1)等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质和判定,主要通过观察与思考、操作与归纳等方法去探索和发现结论,再通过演绎推理证明结论,最后举例证明,实现在发展学生合情推理能力的基础上,把证明作为探索活动的自然延续.较好体现了合情推理与演绎推理两种推理形式的相辅相成,实现了两种推理的有机融合.(2)对于勾股定理的获得,设计了观察、计算、思考、归纳、猜想等探究活动,将验证猜想的过程设计为“试着做做”和“做一做”等学生自主活动,让学生体验勾股定理发现的全过程,发展学生的推理能力和创新意识;对于勾股定理的逆定理,通过让学生先操作(画直角三角形),再证明(利用全等)的方式来获得.(3)在本章的尺规作图中,都增加了分析环节,使学生不仅要知道作图的步骤,而且还要了解作图的道理.【重点】1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定.2.直角三角形的性质和判定.3.勾股定理、逆定理及其简单应用.4.反证法及其简单应用.【难点】1.等腰三角形、等边三角形的性质及其应用.2.勾股定理及其逆定理的应用.1.关于等腰三角形和直角三角形性质和判定的教学,应引导学生在独立思考和合作交流的前提下,进行观察与思考、操作与探究等活动并获得猜想,进而一起完成对猜想的证明,落实对合情推理和演绎推理的自然结合,实现提升学生推理意识和推理能力的目的.2.对于勾股定理的教学,教师要提供充足的时间和空间,让学生观察、猜想、推理,使定理的发现成为学生认识活动的自然结果.3.对于证明格式、方法和步骤,要让学生在亲身经历、体验的过程中去逐步理解和掌握,此过程切忌急于求成,更不要以教师的讲解代替学生的活动,要给学生充足的时间和空间去探索、实践和总结.4.提倡思维多样化,注重培养学生清晰表达自己思维过程的能力,对学生出现的多种思路和方法,应给予充分肯定并在全班展示,使学生的求异思维和创新意识能得到及时的表现.17.1等腰三角形2课时17.2直角三角形1课时17.3勾股定理3课时17.4直角三角形全等的判定1课时17.5反证法1课时回顾与思考1课时17.1等腰三角形1.了解等腰三角形、等边三角形的定义,掌握等腰三角形及等边三角形的性质.2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法.1.通过动手操作及等腰三角形、等边三角形的对称变换掌握其性质和特征.2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法,能利用性质和判定方法解决问题.1.体会等腰三角形和等边三角形的对称美.2.体会数学在现实生活中的广泛应用,认识数学无处不在,提高学生学习数学的兴趣.【重点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法.【难点】等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法的应用.第课时在动手操作的过程中,理解等腰三角形、等边三角形的性质定理.1.让学生通过动手操作,经历等腰三角形性质的探索过程,培养学生的动手、归纳、概括的能力.2.培养学生的猜想能力,让学生经过推理证明得到等腰三角形、等边三角形的性质定理.培养学生的逻辑思维能力,让学生树立良好的学习观,增强学生认真学习的态度.【重点】等腰三角形、等边三角形的性质定理.【难点】等腰三角形、等边三角形的性质定理的推理和证明.【教师准备】多媒体课件、各种形状的图形、剪刀.【学生准备】长方形纸、剪刀.导入一:教师预先做出各种几何图形,包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等边三角形、等腰三角形等.让同学们抢答哪些是轴对称图形,提问什么是轴对称图形,什么样的三角形才是轴对称图形.引入今天所要讲的课题——等腰三角形、等边三角形的性质定理.我们知道,有两条边相等的三角形是等腰三角形,下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形.[设计意图]通过辨别,让学生发现等腰三角形是轴对称图形,从而引出可以利用轴对称的性质来确定等腰三角形.导入二:在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.思考:三角形是轴对称图形吗?有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是.问题:什么样的三角形是轴对称图形?满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,也就是将三角形沿某一条直线对折后,两部分能够完全重合的就是轴对称图形.这节课我们就来认识一种是轴对称图形的三角形──等腰三角形.[设计意图]从三角形的角度,让学生通过思考,了解等腰三角形是轴对称图形,从而自然地引入到本节课的学习之中,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.导入三:1.出示一组含有等腰三角形的生活图片,让学生感知图片主要部分形状的共同点.2.出示自制的测平仪,告诉学生含45°角的三角板顶点固定一条拴着重物的绳子,标出底边中点标志,它就变成了测平仪.激起学生的好奇心,从而引入课题.[设计意图]活跃课堂气氛,消除学生的紧张情绪,让学生带着问题进入学习.思路一【活动1】【课件1】如图所示,把一张长方形纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的ΔABC有什么特点?【学生活动】学生动手操作,观察ΔABC的特点,可以发现AB=AC.【教师活动】让学生回顾等腰三角形的概念:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.如图所示,在ΔABC中,若AB=AC,则ΔABC是等腰三角形,AB,AC是腰,BC是底边,∠A是顶角,∠B和∠C是底角.【活动2】【课件2】观察与思考:如上图所示,ΔABC是等腰三角形,其中AB=AC.(1)我们知道线段BC为轴对称图形,中垂线为它的对称轴,由AB=AC,可知点A在线段BC的中垂线上.据此,你认为ΔABC是轴对称图形吗?如果是,对称轴是哪条直线?(2)∠B和∠C有怎样的关系?(3)底边BC上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系?【学生活动】学生经过观察,然后小组讨论交流,从中总结等腰三角形的性质.【教师活动】引导学生归纳:性质1等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).[知识拓展]等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法.性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).【活动3】你能用所学知识验证上述性质吗?【课件3】如图所示,在ΔABC中,AB=AC.求证∠B=∠C.【学生活动】学生在独立思考的基础上进行讨论,寻找解决问题的办法,若证∠B=∠C,根据全等三角形的知识可以知道只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.于是可以作辅助线构造两个三角形,作BC边上的中线AD,证明ΔABD和ΔACD全等即可,根据条件利用“边边边”可以证明.【教师活动】让学生充分讨论,根据所学的数学知识,利用逻辑推理的方式进行证明,证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性.证明:作BC边上的中线AD,如图所示,则BD=CD,在ΔABD和ΔACD中,所以ΔABD≌ΔACD(SSS),所以∠B=∠C.这样,就证明了性质1.类比性质1的证明你能证明性质2吗?由ΔABD≌ΔACD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°.从而AD⊥BC,这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角∠A并垂直于底边BC.添加辅助线的方法多样,让学生再去讨论、交流,即用类似的方法可以证明性质2.说明:经过以上证明也可以得出等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.[知识拓展]等腰三角形还有以下性质:(1)等腰三角形两腰上的中线、高线相等;(2)等腰三角形两个底角平分线相等;(3)等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.[设计意图]通过折叠等腰三角形让学生观察,在动手操作中掌握等腰三角形的性质,概括出性质,并引导学生加以证明,让学生经历知识的形成和证明过程,加深了对知识的理解和掌握.思路二要求学生通过自己的思考来作一个等腰三角形.【课件4】作一条直线l,在l上取点A,在l外取点B,作出点B关于直线l的对称点C,连接AB,BC,CA.以上活动所得三角形的两边相等吗?此三角形称为.小结:【课件5】填出等腰三角形各部分名称.归纳:等腰三角形的定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.【课件6】问题1:等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.问题2:通过折叠或测量,看看等腰三角形的两底角有什么关系?问题3:顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?问题4:底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?底边上的高所在的直线呢?1.学生通过刚才自主探究,大胆猜想以上问题的结果.2.教师用几何画板直观演示并引导学生观察等腰三角形的性质.(对称性,等边对等角,三线合一.)小结:等腰三角形的性质:(1)等腰三角形的两个底角(简称“”);(2)等腰三角形的,、重合(简称“三线合一”).3.你能证明以上性质吗?问题:(1)性质1(等腰三角形的两个底角相等)的条件和结论分别是什么?(2)怎样用数学符号表示条件和结论?已知:在ΔABC中,AB=AC.求证:∠B=∠C;请以“顶角的平分线”为辅助线,证明以上性质.(A组同学完成以下填空,B组同学独立证明.)教师巡视辅导点评.【课件6】证明:如图所示,作∠BAC的平分线AD,∴∠=∠,在ΔABD与ΔACD中,∴ΔABD≌ΔACD(),∴∠B=∠.4.受上述启发,能证明性质2吗?即证明∠BAC的平分线AD是ΔABC底边上的中线和高.证明:由ΔABD≌ΔACD知BD=,∠BAD=∠,∠ADB=∠,∵∠ADB+∠ADC=°,∴∠ADB=∠ADC=°.因此∠BAC的平分线AD也是ΔABC底边BC上的中线和高.5.提问:作底边上的高,又如何证明?(让同学讲证明思路.)[设计意图]通过作等腰三角形让学生感知其重点,通过几何画板让学生对照图形思考等腰三角形的性质,同时掌握对性质的证明方法,培养学生的学习能力.探究二:等边三角形的性质定理【课件7】已知:如图所示,在ΔABC中,AB=BC=AC.求证:∠A=∠B=∠C=60°.指导学生利用等腰三角形的性质进行证明.证明:在ΔABC中,由AB=AC,得∠B=∠C.由AC=BC,得∠A=∠B.所以∠A=∠B=∠C.由三角形内角和定理可得∠A=∠B=∠C=60°.[知识拓展]等边三角形是特殊的等腰三角形,除了具有等腰三角形的性质外,等边三角形还具有自己特有的性质:(1)等边三角形有三条对称轴(等边三角形三条边都相等,都可以作为底边);(2)作等边三角形各边的高线、中线、各角的平分线一共有三条.[设计意图]让学生通过测量、证明,发现等边三角形的性质,掌握等腰三角形和等边三角形的关系.探究三:例题讲解【课件8】已知:如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的平分线.求证:BD=CE.〔解析〕根据角平分线定义得到∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,再根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB,从而得到∠ABD=∠ACE,然后通过ASA证得ΔABD≌ΔACE,就可以得到BD=CE.教师巡回指导,在学生完成后,指名口述解答过程.【课件9】(补充例题)如图所示,在ΔABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ΔABC中各角的度数.〔解析〕根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°,就可求出ΔABC的三个角的度数.如果设∠A为x,那么∠ABC,∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷了.解:因为AB=AC,BD=BC=AD,所以∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.在ΔABC中,∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°.所以∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.[设计意图]通过对例题的讲解、分析,引导学生应用等腰三角形的性质,让学生掌握解题思路和方法,提高学生对等腰三角形性质的应用能力.1.等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).注意:等边对等角只限于在同一个三角形中使用.2.等腰三角形的性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”).说明:等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(底边上的高、顶角平分线)所在的直线是它的对称轴.3.等边三角形的性质等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于60°.1.若等腰三角形的顶角为40°,则它的底角度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°解析:因为等腰三角形的两个底角相等,顶角是40°,所以其底角为=70°.故选D.2.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为()A.17B.15C.13D.13或17解析:①当等腰三角形的腰为3,底边为7时,3+3<7,不能构成三角形;②当等腰三角形的腰为7,底边为3时,周长为3+7+7=17.故这个等腰三角形的周长是17.故选A.3.如图所示,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC等于()A.30°B.20°C.25°D.15°解析:∵ΔABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°,∵AD是ΔABC的中线,∴∠DAC=∠BAC=30°,AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵AE=AD,∴∠ADE=∠AED==75°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.故选D.4.如图所示,l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所成的锐角为20°,则∠α的度数为()A.60°B.45°C.40°D.30°解析:如图所示,过C作CE∥直线m,∵l∥m,∴l∥m∥CE,∴∠ACE=∠α,∠BCE=∠CBF=20°,∵ΔABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°,∴∠α=40°.故选C.5.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若AB=6,CD=4,则ΔABC的周长是.解析:∵在ΔABC中,AB=AC,∴ΔABC是等腰三角形,又∵AD⊥BC于点D,∴BD=CD.∵AB=6,CD=4,∴ΔABC 的周长=6+4+4+6=20.故填20.6.如图所示,在ΔABC中,∠A=70°,AB=AC,CD平分∠ACB.求∠ADC的度数.解析:由AB=AC及顶角∠A的度数,利用等边对等角得到两底角相等,再利用三角形内角和定理求出底角的度数,再由CD为底角的平分线,求出∠DCB的度数,由∠ADC为三角形BCD的外角,利用外角性质即可求出∠ADC的度数.解:∵在ΔABC中,∠A=70°,AB=AC,∴∠B=∠ACB==55°,又∵CD平分∠ACB,∴∠DCB=∠ACD=27.5°,∵∠ADC为ΔBCD的外角,∴∠ADC=∠B+∠DCB=82.5°.7.如图所示,等边三角形ABC中,D为AC边的中点,过C作CE∥AB,且AE⊥CE,那么∠CAE=∠ABD吗?请说明理由.解析:根据ΔABC为等边三角形,D为AC边上的中点得到AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,求出∠BDA=90°,由CE∥AB得∠ACE=∠BAD,利用三角形内角和定理得出∠CAE=∠ABD.解:∠CAE=∠ABD,理由如下:∵ΔABC为等边三角形,D为AC边上的中点,∴AC=BA,∠BAC=∠BCA=60°,BD⊥AC,∴∠BDA=90°,∵AE⊥CE,∴∠AEC=∠BDA=90°,又∵CE∥AB,∴∠ACE=∠BAD,∴180°-90°-∠ACE=180°-90°-∠BAD,∴∠CAE=∠ABD.第1课时探究一:等腰三角形的性质探究二:等边三角形的性质探究三:例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】1.教材第142页练习第1,2,3题.2.教材第143页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第143页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,∠A=30°,以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,连接BD,则∠ABD等于()A.30°B.45°C.60°D.90°2.如图所示,在ΔABC中,点D在BC上,AB=AD=DC,∠B=80°,则∠C的度数为()A.30°B.40°C.45°D.60°3.已知等腰三角形ABC的周长为13,且各边长均为整数,那么这样的等腰三角形ABC有()A.5个B.4个C.3个D.2个4.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为()A.30°B.36°C.40°D.45°5.如图所示,ΔABC是一房屋人字架,其中AB=AC,为使人字架更加坚固,房主要求在顶点A和横梁BC之间加根柱子AD,可木工却不知将D点钉在BC何处才能使AD⊥BC,请同学们帮帮他,并说明理由.【能力提升】6.如图所示,ΔABC是等边三角形,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连接BE,DE,若∠ABE=40°,BE=DE,求∠CED的度数.7.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,D为BC边上一D点,∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)求证DC=AB.【拓展探究】8.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分,求这个等腰三角形的底边长和腰长.9.已知等边三角形ABC和点P,设点A到BC的距离为h,点P到ΔABC的三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,(1)如图(1)所示,若点P在边BC上,求证h1+h2=h.(2)如图(2)所示,当点P在ΔABC内时,猜想h1,h2,h3和h有什么关系?并证明你的结论.(3)如图(3)所示,当点P在ΔABC外时,h1,h2,h3和h有什么关系?【答案与解析】1.B(解析:∵AB=AC,∠A=30°,∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=(180°-30°)=75°,∵以B为圆心,BC的长为半径圆弧,交AC于点D,∴BC=BD,∴∠CBD=180°-2∠ACB=180°-2×75°=30°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=75°-30°=45°.)2.B(解析:∵ΔABD中,AB=AD,∠B=80°,∴∠B=∠ADB=80°,∴∠ADC=180°-∠ADB=100°,∵AD=CD,∴∠C==40°.)3.C(解析:周长为13,边长为整数的等腰三角形的边长只能为:3,5,5;或4,4,5;或6,6,1.共3个.)4.B(解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵CD=AD,∴∠C=∠CAD,∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°.)5.解:木工将D点钉在BC中点处能使AD⊥BC,理由如下:∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC.6.解:∵ΔABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵∠ABE=40°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-40°=20°,∵BE=DE,∴∠D=∠EBC=20°,∴∠CED=∠ACB-∠D=40°.7.(1)解:∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∵∠C+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°,∵∠DAB=45°,∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.(2)证明:∵∠DAB=45°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°,∴∠DAC=∠ADC,∴DC=AC,∵AB=AC,∴DC=AB.8.解:设等腰三角形的腰长为x,如图所示,∵ΔABC是等腰三角形,∴AB=AC,由BD是AC边上的中线,有AB+AD=9或AB+AD=15,分下面两种情况:(1)x+x=9,∴),∴三边长分别为6,6,12,∵6+6=12,不符合三角形的三边关系,∴舍去;(2)x+x=15,∴,∴三边长分别为10,10,4.综上可知这个等腰三角形的底边长为4 cm,腰长为10 cm.9.(1)证明:如图(1)所示,连接AP,则SΔABC=SΔABP+SΔAPC,∴BC·AM=AB·PD+AC·PF,即BC·h=AB·h1+AC·h2.又∵ΔABC是等边三角形,∴BC=AB=AC,∴h=h1+h2.(2)解:h=h1+h2+h3,证明如下:如图(2)所示,连接AP,BP,CP,则SΔABC=SΔABP+SΔBPC+SΔACP,∴BC·AM=AB·PD+AC·PF+BC·PE,即BC·h=AB·h1+AC·h2+BC·h3.又∵ΔABC是等边三角形,∴BC=AB=AC.∴h=h1+h2+h3.(3)解:h=h1+h2-h3.理由如下:如图(3)所示,连接PB,PC,PA.由三角形的面积公式得SΔABC=SΔPAB+SΔPAC-SΔPBC,即BC·AM=AB·PD+AC·PF-BC·PE,∵ΔABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∴h1+h2-h3=h.这节课是在学生已经学习了三角形的有关概念和“认识轴对称图形”的基础上进行学习的,学生已经掌握了三角形的相关知识,具有初步的探究学习经验.同时本节课的内容不仅是对前面所学知识的运用,也是今后证明角相等、线段相等及直线垂直的重要工具,它在教材中处于非常重要的地位.因为等腰三角形的性质在日常生活中有广泛的应用,所以探索发现等腰三角形的性质是这节课的重点;同时,对“三线合一”性质的理解和运用,学生有一定的难度,是这节课的难点.为了突出重点,教师充分创设问题情境,解决问题;为了突破难点,教师引导学生经历动手折纸、动手画图、对比分析、提出猜想、小组讨论、发现、归纳总结等活动,加以化解.教师在整个教学过程中主要通过动手操作、直观演示、小组讨论、自主探索、合作交流、发现归纳等多种教与学的方式,确保学生是学习的主人,教师是组织者、引导者、合作者.同时为了更好地启发、感染和调动学生,提高教学效率,采用课件辅助教学,充分开发和利用教育资源为课堂教学服务.在教学方法上,本节课以学生为主体,教师真正成为学生学习的组织者、引导者、合作者.特别是在探究“三线合一”的性质时,老师给出探究主题,学生以小组为单位,合作交流,自主探究、发现.本着“问题是数学的心脏”原则,教师精心设计了一些问题,在教学过程中有半数的学生回答了教师的提问,但碍于教学计划,有的问题在回答过程中还不时得到教师的提醒,这样导致的结果是难于发现学生真实的思维过程.“多提问”固然有利于学生思考和理解知识,有利于了解学生掌握知识的程度.但在倡导培养创新精神和实践能力的今天,更要重视对学生问题意识的培养.但教师在本节课的教学设计中留给学生的时间和空间偏少,导致学生发现问题、提出问题太少,长此以往,会使学生问题意识淡化.问起于疑,疑源于思,课堂上教师要为学生质疑创造足够的空间和时间.在问题解决过程中培养学生问题意识和发现问题、提出问题的良好习惯.在探究问题的过程中,教师一定要让学生自己去发现,只有由学生自己发现的东西,才是最真实的,也是最容易掌握的.在学生回答问题时,教师要适当点拨,但不能代替学生回答自己提出的问题,一定要让学生说,哪怕是错误的,也是经过学生思考得来的.【练习】(教材第142页)1.提示:(1)70°.(2)45°.(3)35°.(4)60°.图略.2.提示:(1)20°.(2)80°.(3)90°.(4)120°.3.解:(1)可以是锐角,不可以是直角和钝角.因为等腰三角形两底角相等,当底角为直角或钝角时,三角形内角和大于180°,与三角形内角和等于180°相矛盾,所以底角不可以是直角或钝角.(2)都可以,因为都符合三角形内角和定理.【习题】(教材第143页)A组1.解:(1)图中有3个等腰三角形,它们分别是ΔABC,ΔABD,ΔBCD.(2)因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.因为BD=BC,所以∠C=∠BDC.因为BD=AD,所以∠A=∠DBA.设∠A=∠DBA=α,则∠ABC=∠BDC=∠C=2α.在ΔABC中,∠ABC+∠C+∠A=180°,所以2α+2α+α=180°,即5α=180°,所以α=36°,即∠A=36°.2.解:(1)80°,20°或50°,50°.(2)40°,40°.(3)设这个三角形的顶角为x°,则其底角为x°,由题意得x+x+x=180,∴x=90,x=45.∴这个三角形三个内角的度数分别为90°,45°,45°.3.解:∵ΔABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,又∵BD=DC,∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=60°=30°.4.解:∵AB=BC,∠B=50°,∴∠ACB=∠BAC==65°.∵AC=CD,∴∠D=∠CAD.又∵∠ACB=∠D+∠CAD,∴∠ACB=2∠D,∴2∠D=65°,∴∠D=32.5°.B组1.解:设腰长为x cm.①当腰长大于底边长时,x+x=18,∴x=12,此时底边长为15-).②当腰长小于底边长时,x+x=15,∴或13 cm.2.解:相等,相等.已知:如图所示,在ΔABC中,AB=AC,BD,CE分别是AC,AB边上的中线,BG,CH分别是AC,AB 边上的高.求证BD=CE,BG=CH.证明:∵AB=AC,BD,CE分别为AC,AB边上的中线,∴AD=AC,AE=AB,∴AD=AE.在ΔABD和ΔACE中,∴ΔABD≌ΔACE,∴BD=CE.∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∵BG,CH分别为AC,AB边上的高,∴∠BGC=∠CHB=90°.在ΔBGC和ΔCHB中,∴ΔBGC≌ΔCHB,∴BG=CH.等腰三角形的性质与应用等腰三角形“三线合一”的性质在初中几何证明和计算中占据了非常重要的地位,实际上这个性质的逆定理在证明中的直接或间接应用也不亚于这个性质的直接应用,可以作为判定等腰三角形的一种重要思路.由于书上没有直接给出逆定理,所以很多学生在解题时很难想象到利用这一定理来解决问题,以至于在几何证明过程中思维受阻,不能正确地作出辅助线.因而在教学中,教师如果把握好等腰三角形“三线合一”性质的逆定理在辅助线教学中的应用,把握好化归思想方法的渗透,将有助于让学生把握解题的关键,更好地培养和发展学生的思维能力,有助于学生突破解题的难点,明确辅助线的添加,探明解题的方法,从而帮助学生提高解决问题的能力,“三线合一”性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合,逆定理:①如果三角形中任一角的平分线和它所对边的中线重合,那么这个三角形是等腰三角形.②如果三角形中任一角的平分线和它所对边的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合,那么这个三角形是等腰三角形.简言之:三角形中任意两线合一,必能推导出它是一个等腰三角形.学习本节的关键之一是让学生通过剪切、折叠,发现线段和角的关系,从图形中观察并总结出等腰三角形的性质.教学中要注意引导,不要急于得出结论,在操作过程中,让学生翻折不同的等腰三角形,如顶角是锐角、钝角或直角的等腰三角形,说明在翻折过程中相应的角的大小和线段的长短关系都没有发生变化;还可以让学生探索一般的三角形是否一定有这种性质,进一步体会等腰三角形所具有的特点.。

勾股定理的应用教学目标：1、熟练地叙述勾股定理的内容，能运用勾股定理进行简单计算。

2、会运用勾股定理解决生活中的问题教学重点：运用勾股定理进行简单计算。

教学难点：应用勾股定理解决生活中的问题。

教学课时：1课时教具准备：三角板、水杯、筷子、课件教学过程：一、 揭示课题，出示学习目标。

1、板书课题：勾股定理的应用2、出示学习目标：1、熟练地叙述勾股定理的内容，能运用勾股定理进行简单计算。

2、会运用勾股定理解决生活中的问题。

二、 出示自学指导，组织学生自学。

1、出示自学指导：请同学们认真看教材内容，思考：1) 木板横着能否通过？竖着能否通过？2) 木板斜着能否通过？斜着能通过的最大长度是长方形ABCD 的什么？3) 如何求最大长度？根据什么定理？4) 勾股定理的内容是什么？要应用勾股定理解决实际问题，必须将其转化为什么问题？3分钟后看谁能对上面的问题谈谈自己的理解。

2、学生自学，教师巡视。

三、 自学检测。

1、让学生回答上面的问题。

2、出示自学检测题如图，一根旗杆在离地面12m 处折断，旗杆的顶端落在离底部16m 处的地面上，折断处还连接在一起，求旗杆在折断之前的高度是多少？方法：让两名学生上黑板解答，其他学生在独立思考的基础上小组讨论完成，教师巡视，然后纠正。

四、 课堂提升。

1、 如图（1），将一个长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的 A 12 BC 16圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度 h cm ，则h 的取值范围是 2、 如图（2），场地上有两棵树相距12m ，一棵树高13m ，另一棵树高8m ，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？3、 如图（3），有一根70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别为50cm ，40cm ，30cm 的木箱中，能否放进去？图（1） 图（2）方法：（第3题根据时间确定）学生在独立思考的基础上小组内讨论完成。

对于第1题，教师利用教具演示适时给予引导；第2题引导学生利用作辅助线构建直角三角形；第3题让学生类比探究1讨论解决，教师适时引导。

勾股定理的逆定理教学内容本节课主要学习勾股定理的逆定理．教学目标1．知识与技能探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股定理解决实际问题． 2．过程与方法3．情感、态度与价值观培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值．重难点、关键1．重点：理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用．2．难点：理解勾股定理的逆定理的推导．3．关键：以古埃及人的思考方法，来领会勾股逆定理，同时运用验证，•体验勾股定理的逆定理．教学准备教师准备：投影仪，投影片，补充材料，教具：钉子与打结的绳子．学生准备：（1）复习勾股定理，预习“勾股逆定理”；（2）纸片、剪刀．学法解析1．认知起点：在学习了勾股定理的基础上学习勾股定理逆定理．3．学习方式：情境认知，操作感悟，师生互动．教学过程一、创设情境，导入课题【实验观察】实验方法：用一根打上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起，然后用角尺量出最大角的度数．（90°），可以发现这个三角形是直角三角形．【显示投影片1】【活动方略】教师叙述：这是古埃及人曾经用过这种方法来得到直角，这个三角形三边长分别为多少？（3，4，5）．这三边满足了怎样的条件呢？（32+42=52），是不是只有三边长为3，4，•5的三角形才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，满足关系式“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为5cm，12cm，13cm或8cm，15cm，17cm呢？学生活动：动手画图，体验发现，得到猜想．【问题探究1】学生回答：（略）学生活动：分四人小组，互相交流，然后举手发言．素材提供：【设计意图】二、观察探讨，研究新知【问题探究2】（投影显示）△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果△ABC•是直角三角形，它应该与直角边是a，b的直角三角形全等．实际情况是这样的吗？我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°，•再将画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，请同学们观察，它们是否能够重合？试一试!【活动方略】教师活动：操作投影仪，提出探究的问题，引导学生思考，然后再提问个别学生．学生活动：拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：（1）•它们完全重合；（2）理由是在△A′B′C′中，A′B′2=B′C′2+′A′C′2=a2+b2，因为a2+b2=c2，因此，A′B′=c，从△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′C′，•推出△ABC≌△A′B′C′，所以∠C=∠C′=90°，可见△ABC是直角三角形．【设计意图】采用实验、观察、比较的数学手法，突破难点．【课堂演练】（投影显示）1．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（C）．A．5，6，7 B．10，8，4 C．7，25，24 D．9，17，15 2．以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（B）．，a+1A．a-1，2a，a+1 B．a-1，C．a-1教师活动：操作投影仪，组织学生演练，并讲评．学生活动：应用所学，完成演练题，并从中归纳判定方法，并判定两条较小数平方和是否等于最大边长的平方．【评析】在演练中，提示学生阅读课本P83例1．三、范例点击，提高认知【显示投影片2】思路：首先应根据题意画出图形．•这是一种象限图，依图形可以看出，“远航”号的航向已经知道，只要求出两艘轮船的航向所成的角，就可以知道“海天”号的航向．【活动方略】教师活动：操作投影仪，分析例2，特别是要教会学生如何画出象限图，•可适时复习“象限角”的画法．然后确定一个三角形，引导学生应用所学的“勾股定理的逆定理”．学生活动：理解图形的画法，参与教师讲例，并归纳方法为（1）•画出正确的象限图；（2）确定一个三角形，再应用勾股定理的逆定理解决问题．【问题探究3】（投影显示）如图（1），在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=14BC ，求证：AF ⊥EF ． 思路：要证AF ⊥EF ，需证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定性，•只要证出AF 2+EF 2=AF 2就可以了．教师活动：操作投影仪，组织学生讨论，引导学生写出推理过程． 学生活动：先独立思考，再与同伴交流，并踊跃上台“板演”． 证明：连结AE ，设正方形边长为a ，则DF=FC=2a，EC=4a ，在Rt △ECF中，有EF=（2a ）2+（4a ）2=516a 2；同理可证．在Rt△ECF 中，有EF 2=（2a ）2+（4a ）2=516a 2，在Rt△ABE 中，有BE=a-14a=34a ，∵AE 2=a 2+（34a ）2=•2516a 2， ∴AF 2+EF 2=AE 2．根据勾股逆定理得，∠AEF=90°，∴AF ⊥EF ． 【设计意图】以例2为理解勾股定理逆定理的应用，再补充“问题探究3”来拓展勾股定理逆定理的应用范围． 四、随堂练习，巩固深化 1．课本练习 2．【探研时空】若△ABC 的三边a ，b ，c 满足条件a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，试判断△ABC 的形状．（提示：根据所给条件，只有从关于a，b，c的等式入手，找出a，b，c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，求出a=5，b=12，c=13，∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形）五、课堂总结，发展潜能1．勾股定理的逆定性：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2=c2，•那么这个三角形是直角三角形．（问：勾股定理是什么呢？） 2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．3．•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．六、布置作业，专题突破1．课本习题．2．选用课时作业设计．七、课后反思。

勾股定理一、概述本课内容是初中数学中一节非常重要的内容，也是平面几何的一个核心定理。

本节课在以后的学习中运用十分广泛，是初中数学学习的重要定理，我国在勾股定理的发现和应用上有着悠久的历史，也让学生体会到民族的自豪感二、教学目标分析及教学重、难点分析知识与技能：➢掌握勾股定理的基本内容，并了解勾股定理的证明过程➢能够利用勾股定理解决简单问题➢体会数形结合的思想过程与方法：➢通过对勾股定理内容及勾股定理证明方法的探究，发展学生的探究能力和检验猜想的能力➢通过利用拼图和平板网络查找，了解勾股定理的证明，体会运用拼图等解决问题的方法，发展学生的动手能力➢通过探究及小组交流的过程，增进学生合作学习的能力，培养学生的辩证思维。

情感态度与价值观：➢通过对中国及国外相关数学史的学习，增进学生对数学的兴趣，同时增加学生的民族自豪感。

教学重点及难点重点：1、勾股定理的探究及运用定理解决简单问题2、勾股定理的证明难点：勾股定理的探究和证明三、学习者特征分析八年级是上学期的学生，有了足够的知识储备，具备几何思维能力和探究发现能力，八年级上学期的学生仍保留着学习的热情，也形成了较好的学习习惯，翻转课堂的方式，可以充分调动学生，让学生带着问题进入课堂，使课堂的学习更有目的性和实效性。

以小组为单位进行活动，可以使每一名学生都融入课堂四、教学策略选择与设计本课采用教学并用的教学策略。

1．翻转课堂教学模式，课前学生通过微课学习，了解相关部分数学史，同时可以运用定理解决简单问题2. 课堂上利用小组合作交流的学习方式，使学生在互助中解决微课学习中仍存有的疑问，并解决更深层次的问题3. 通过视频资料等演示式学习方式，课上通过更深入的中国相关数学史，增强学生的民族自豪感五、教学资源与工具设计希沃白板5，画板软件geogebra，拼图用几何图形、网络纸等学具六、教学过程教师展示三幅图片，请一名同学回顾微课中所学习的内容教师简单介绍勾股定理：在西方被称为bACc B a直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（锐角三角形两较短边的平方和大于第三边的平方, 钝角三角形两较短边的平方和小于第三边的平方）2.了解数学历史，探寻定理证明利用02年数学家大会的会徽，介绍数学家赵爽的弦图，引出勾股定理的证明活动 探究活动二：你能证明勾股定理吗？ 探究方法： 1、利用"弦图”尝试证明勾股定理 2、利用手中的图形卡片拼图证明勾股定理 3、利用网络资源获得更多的证明方法 得到证明办法的小组进行展示讲解 教师介绍欧几里得对于勾股定理的证明方法，并播放相关微课学生听老师介绍，体会勾股定理的重要性并了解我国的相关数学史学生以小组为单位探究勾股定理的证明办法，并到讲台上进行讲解演示。

冀教版八年级数学上册17.3勾股定理导学案年级：八年级 科目： 数学 课题： 17.3勾股定理（1） 姓名: 能力情感目标 通过探索交流激发学生主动学习的欲望.技能方法目标1．经历勾股定理的探索过程，能熟记定理的内容. 2．能运用勾股定理由直角三角形的已知两边求第三边.3．能运用勾股定理解一些简单的实际问题重点 勾股定理的探索过程. 难点 勾股定理的应用 教法 启发引导式教学 学法自学，合作学习一 、课前抽测 1 直角三角形有什么性质？二 、合作交流、展示提升1、作一个直角三角形，使它的两条直角边的长分别为：3cm ，4cm,并量出斜边的长。

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、分别以这个直角三角形的三边为边作正方形，计算三个正方形的面积，它们有什么关系？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3、直角三角形的两条直角边用a,b 表示，斜边用C 表示，是否有＿＿＿＿＿呢？三、猜想证明观察（1） 如图甲，将四个直角边分别为a,b 斜边为c 的直角三角形放入边长为a+b 的正方形内，得到正方形A ，（2） 如图乙，将四个直角边分别为a,b 斜边为c 的直角三角形放入边长为a+b 的正方形内，得到正方形B 、C 。

思考：（1）甲、乙两个正方形的面积甲的面积：＿＿＿＿＿＿＿＿ ，乙的面积：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（1） 由此你发现了什么？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2） 即＿＿＿＿＿ 归纳：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 即：也可以表示为：①②543乙甲Ca b ab abba bab a a bb a四、学以致用例：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a若(1) a=5,b=12,求c.(2) a=40,c=41,求b.五巩固运用(1)求下列直角三角形的边长（2）在Rt△ABC中，∠C=90° a=3,b=3求c（3）在Rt△ABC中，∠B=90° a=3,b=4求c(4.)若直角三角形的两直角边长为6和8，则第三边为六、拓展提升1受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？总结：本节课，你学到了什么知识？还有那些疑惑？。

勾股定理的应用【学习目标】 能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题． 【重、难点】 在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值． 【合作探究】1．如图，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm ）.2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如左图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【课堂展示】BA10cm 4cm? cm1.如图，在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A 沿纸箱表面爬到顶点B 处，求它所行的最短路线的长。

2.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD ，其中∠B=90°，AB=3m ，BC=4m ，•CD=•12m ，AD=13m ．求这块草坪的面积．3.如图所示，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160米，假设一拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶，周围100米以内会受到噪声的影响，那么学校是否会受到噪声的影响?说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，则学校受影响的时间有多长?BAA BCD【自学测评】1.在△ABC 中，∠A: ∠B: ∠C=1：2：3，则BC:AC:AB=_________2.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km ，乙往南走了6km ，这时甲、乙两人相距__________km ．3.在△ABC 中，AB=AC=4cm, ∠A: ∠B=2:5,过点C 作△ABC 的高CD ，与AB 交于D 点，则CD=_______4.如果梯子的底端建筑物有5m ，15m 长的梯子可达到该建筑物的高度大约是（ ）A.13mB.14m C 15m D. 16 m 5．如图所示，在长方形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，AB ＝14cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE6.如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，求AC,AB 的长。

17.３ 勾股定理(2)【学习目标】1.初步运用勾股定理解决简单的实际问题；2.运用勾股定理解决有关直角三角形的问题. 【学习重点】运用勾股定理解决简单的实际问题. 【学习难点】运用勾股定理解决简单的实际问题. 【预习自测】 一．知识链接1．如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2+b 2= c 2直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2．运用方法因为 ∠C ＝90°所以 a 2+ b 2= c 2或AC 2+ BC 2= AB2勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一.至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线．正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。

尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理．现在让我们一起走进“勾股定理的应用”. 【合作探究】自学：阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题，同时解决以下问题： 例:如图是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ， 高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长? 分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的1A B 、2A B ，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B 点，另一个端点在A 点时最长，此时可以把BACbac线段AB 放在Rt△ABC 中，其中BC 为底面直径． 【解难答疑】1. 一棵大树被风刮断后折倒在地面上，如图,如果量得AC ＝6m ，CB ＝8m ．则树在刮断之前有________高．2. 如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.3. 要从电线杆离地面5米处向地面拉一条13米的拉线，求地面拉线固定点A 到电线杆底部B 的距离．4．有两根木棒，它们的长度分别是40cm 和50cm ，若要钉成一个三角形木架，其中必须有一个角是直角，则所需最短的木棒长度是多少?５．一段长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面6m ，现将梯顶沿墙面下滑1m ，则梯子底端与墙面距离是否也增长1m ？说明理由.【拓展延伸】1.是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC ，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．2.如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a b c ，，；A B N E F ，，，，五点在同一直线上，则c = （用含有a b ，的代数式表示）．3.把一根长为160 cm 的细铁丝剪成三段，作成一个等腰三角形风筝的边ABC (如图)， 已知风筝的高AD =40 cm ，你知道小明是怎样弯折铁丝的吗？4. 如图，南北向MN 为我国的领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意．反走私艇A 通知反走私艇B ：A 和C 两艇的距离是13海里，ABC图-1图-2a DC BcNEFb G HA、B两艇的距离是5海里．反走私艇B测得距离C艇是12 海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？【总结反思】1.本节课我学会了：还有些疑惑：2.做错的题目有：原因：。

17.３ 勾股定理(1)【学习目标】1．经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探 索的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系；2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展说理和简单的推理的意识及能力. 【学习重点】 1.掌握勾股定理；2.并会用勾股定理进行有关的计算. 【学习难点】 勾股定理的探究过程. 【预习自测】 一．知识链接由等边三角形的边角特点，提出直角三角形的边角特点问题.在等边三角形ABC 中，∠Ａ＝∠Ｂ＝∠C→ＡＢ＝ＢＣ＝ＡC.在直角三角形ABC 中，∠Ａ＋∠Ｂ＝∠C ＝90°，ＡＢ、 ＢＣ、 ＡC 三边之间有怎样的关系呢？二．【合作探究】 自主学习1．自学：阅读课本，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题. 2．查找有关“勾股定理”的资料. （一）特殊情况探究（等腰直角三角形）问题：设1个单位的正方形方格面积为1，思考： 以AC 为一边的正方形面积AC 2是 , 以BC 为一边的正方形面积BC 2是 ,ACA BC 1AA CBABC以AB 为一边的正方形面积AB 2是 ． 思考：三个正方形面积之间有什么关系？由三个正方形面积可以得到中间的直角三角形的三边 之间存在什么关系？如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个长度单位，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.(二)尝试验证勾股定理【解难答疑】1．直角ABC 的两直角边a =5,b =12,c = .2．直角ABC 的一条直角边a =6,斜边 c =10，则b = . 3．一高为5米的木梯,架在高为3米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少米?４.题目：在Rt △ABC 中, ∠C =90 °(1)已知a =3,b =4,求c ; (2)已知a =6,c =10,求b ; (3)已知c =25,b =15,求a .BACbac５.周长为24，斜边长为10的直角三角形面积为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24６.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( )A ．30B ．28C ．56D ．不能确定７.在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，两直角边分别为a ，b ,斜边为c ，如果a =5，b =12，那么c =______;如果b =8，c =17，那么三角形的面积是______． 【拓展延伸】１. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______．２.如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于M ，若EF ＝5，则22CE CF +＝＿＿＿＿．AFE CD MB【总结反思】1.本节课我学会了：还有些疑惑：2.做错的题目有： 原因：。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

17．3 勾股定理第1课时【教学目标】知识与技能1．经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想．2．会初步应用勾股定理解决实际问题．过程与方法1．经历“测量——猜想——总结——验证”等一系列过程，体会数学定理发现的过程．2．在探索的过程中，体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法．情感态度与价值观通过让学生参加探索与创造，获得参加数学活动成功的经验．【重点难点】重点：勾股定理的探索过程．难点：勾股定理的应用．【教学过程】一、创设情境相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家地面所铺的瓷砖发起呆来．原来，朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的瓷砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑着回家去了．原来，他发现了瓷砖上的三个正方形存在着某种数学关系．二、探索归纳内容1：勾股定理观察课本150页图17－3－1，并回答：1．以AC为边的正方形中有________个小方格，即A的面积为________个单位．以BC为边正方形中有________个小方格，即A的面积为________个单位．以AB为边正方形中有________个小方格，即A的面积为________个单位．2．如果这个直角三角形的边长分别是a，b，c，那么可以怎样用a，b，c 把图中三个正方形面积之间的关系表示出来呢？3．你能说出正方形面积之间的等量关系反映了Rt△ABC三边之间怎样的关系吗？把它写出来．以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积．直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方．也就是说：如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c那么a2＋b2＝c2这就是著名的“勾股定理”我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来．内容2：利用面积验证勾股定理该图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．(1)请你用四个如图所示的直角三角形拼出上图所示的图形．(2)借助你所拼出的图形的面积之间的关系，验证勾股定理a2＋b2＝c2学生活动：亲自动手，完成拼图，再通过面积关系，推演出勾股定理的结论．三、交流反思教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流．在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2. 2．方法：(1) 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；(2)“割、补、拼、接”法．3．思想：(1) 特殊→一般→特殊；(2) 数形结合思想．四、检测反馈1．基础巩固练习：1．在Rt △ABC中，∠C＝90 °(1)已知a＝6，c＝10，求b；(2)已知a＝40，b＝9，求c；(3)已知c＝25，b＝15，求a.2．生活中的应用小明妈妈买了一部29 in(74 cm)的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？五、布置作业P152：习题A组1，2，3题；B组1，2题六、板书设计17．3勾股定理第1课时勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c那么a2＋b2＝c2几何语言：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°所以由勾股定理得：a2＋b2＝c2七、教学反思(一)设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点．(二)突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．关闭Word文档返回原板块。

17.3勾股定理（3）教学目标【知识与能力】1.理解并掌握勾股定理的逆定理.2.能应用勾股定理的逆定理解决实际问题.【过程与方法】进一步发展数感,增加对勾股数的直观体验,培养从实际问题抽象出数学问题的能力,建立数学模型.【情感态度价值观】1.通过介绍有关历史资料,激起学生的学习兴趣和解决问题的愿望.2.通过对勾股定理逆定理的综合应用,培养学生学习数学的兴趣及克服困难的勇气;体验勾股定理及其逆定理在实际生活中的实用性.教学重难点【教学重点】勾股定理的逆定理的推导过程.【教学难点】勾股定理的逆定理的应用.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:【课件1】小明找来了长度分别为12cm,40cm的两条线,利用这两条线采用固定三边的方法,画出了如图所示两个图形,他画的是直角三角形吗?由32+42=52,82+152=172,你想到了什么?与勾股定理有什么不同?[设计意图]联想旧知识,锻炼学生的辨别能力,激发学生的求知欲望,从而自然地引入到本节课的学习之中.导入二:我们学过的直角三角形的判定方法有哪些?(定义:有一个角是直角的三角形是直角三角形.) (学生回忆直角三角形的判定方法.)那么把勾股定理反过来是不是可以判定一个三角形是直角三角形呢?(即如果三角形三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形吗?)[设计意图]复旧导新,让学生通过勾股定理的逆命题,猜想它的逆命题是否可以作为判定一个三角形是直角三角形的依据,从而突出本节课的重点.导入三:【课件2】如图所示,工人师傅想要检测一扇小门的两边AB,CD是否垂直于底边BC和门的上边AD,你能用工具帮工人师傅完成任务吗?[设计意图]设疑引起下文,激发学生的学习兴趣,为学生进一步学习埋下伏笔.二、新知构建：活动一:探究勾股定理的逆定理思路一操作验证:(1)将上面导入一中给出的两个三角形用量角器量一量,有直角吗?(2)分别以5,12,13为三边长作三角形,用量角器量一量,它是直角三角形吗?学生动手操作并测量.(3)你发现什么规律?学生思考、回答:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.教师说明:在ΔABC中,由边的关系a2+b2=c2,推导出∠C是直角较难做到.若作一个与ΔABC全等的直角三角形,则可借助全等的性质来说明∠C是直角.推理证明:【课件3】已知:如图(1)所示,在ΔABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且a2+b2=c2.求证:∠C=90°.引导学生分析:要证∠C=90°,就是要构建一个与ΔABC全等的直角三角形,作ΔA'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,C'A'=b,证ΔABC≌ΔA'B'C'.证明:如图(2)所示,作ΔA'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,C'A'=b,由勾股定理,可得A'B'2=a2+b2.∵a2+b2=c2,∴A'B'2=c2,即A'B'=c.在ΔABC和ΔA'B'C'中,∵BC=B'C'=a,AC=A'C'=b,AB=A'B'=c,∴ΔABC≌ΔA'B'C'(SSS),∴∠C=∠C'=90°(全等三角形的对应角相等).展示学生的证明过程,全班点评、交流.教师强调:刚才我们证明的结论是真命题.即如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,这是勾股定理的逆定理.想一想:勾股定理和其逆定理有什么区别?两者应用的条件分别是什么?小组讨论区别,选派代表发言.[设计意图]让学生实际测量、画图,锻炼学生的动手能力,在证明的过程中,培养学生分析问题及运用所学知识进行证明的能力,拓宽学生的思路.思路二活动1【课件4】问题:据说古埃及人用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.这个问题意味着,如果围成的三角形的三边长分别为3,4,5,满足下面的关系“32+42=52”,那么围成的三角形是直角三角形.大家画一画、量一量,看看这样画出的三角形是直角三角形吗?再画画看,如果三角形的三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm,满足下面的关系“2.52+62=6.52,那么画出的三角形是直角三角形吗?换成三边长分别为4cm,7.5cm,8.5cm的三角形,再试一试.让学生在小组内共同合作,协同完成此活动.用尺规作图的方法作出三角形,经过测量后,发现以以上两组数为边长组成的三角形是直角三角形,而且三边满足a2+b2=c2.我们进而会想:是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方,就能得到一个直角三角形呢?活动2下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c.5,12,13;7,24,25;8,15,17.(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗?(2)分别以每组数为三边长作出三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?学生以小组为单位,以给出的三组数为边长作出三角形,从而更加坚信前面猜想出的结论.从而得出一个命题:如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.同时,我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理.直至科技发达的今天——人类已跨入21世纪,建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”.“三四五放线法”是一种古老的归方操作.所谓“归方”就是“成直角”,譬如建造房屋,房角—般总是成90°,怎样确定房角的纵横两线呢?【课件5】如图所示,欲过基线MN上的一点C作它的垂线,可由三名工人操作:一人手拿布尺或测绳的0和12尺处,固定在C点;另一人拿4尺处,把尺拉直,在MN上定出A点,再由一人拿9尺处.把尺拉直,定出B点,连接BC,则∠ACB=90°.师:建筑工人用3,4,5作出了一个直角,能不能用其他的整数组作出直角呢?生:可以,例如7,24,25;8,15,17.据说,我国古代大禹治水测量工程时,也用类似的方法确定直角.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.如3,4,5;5,12,13.活动3问题:勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.它们的题设和结论有何关系?教师在本活动中应重点关注学生能否发现勾股定理及其逆定理的题设和结论之间的关系.活动二:例题讲解【课件6】如图所示的是一个机器零件示意图,∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,∠ABC=90°.根据这些条件,能否知道∠ACD=90°?小组合作探索,互相交换意见,选一名代表板演过程,其余学生在练习本上完成解题过程.解:在ΔABC中,∵∠ABC=90°,∴AC2=AB2+BC2(勾股定理),∵AB=4,BC=3,∴AC2=32+42=52,∴AC=5.在ΔACD中,∵AC=5,CD=12,AD=13,∴AC2+CD2=52+122=169,AD2=132=169.∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理).所以根据这些条件,能知道∠ACD=90°.[知识拓展](1)勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反.(2)勾股定理的逆定理的延伸:如果三角形的三边长a,b,c(c为最长边的长)满足a2+b2<c2,那么这个三角形是钝角三角形;如果满足a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形.(3)勾股定理的逆定理的应用:应用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是不是直角三角形,在实际应用时,可用较短两边长的平方和与较长边长的平方作比较,若它们正好相等,则三角形为直角三角形,较长边所对的角为直角.三、课堂小结：1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.它是判断一个三角形是不是直角三角形的重要方法.2.勾股定理与其逆定理的联系与区别联系:①两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关;②两者都与直角三角形有关.区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形的三边数量关系,即a2+b2=c2;勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,是判别一个三角形是不是直角三角形的有效方法.。

等腰三角形的性质学习目标：1. 知道等腰三角形的有关概念，会画等腰三角形，能利用等腰三角形的性质进行有关的计算和证明.2 . 经历等腰三角形学习过程，积累数学活动经验，体会数学的基本思想.3．学会从数学角度发现问题和提出问题，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体会解决问题的多样性.学习过程一 .学习准备1.已知等腰三角形的一边等于6cm，另一边等于8cm，则此三角形的周长为 .2．等腰三角形中，一个角是40°，那么它的顶角度数为 .3．等腰三角形腰为5cm，底边为6 cm，面积是 .4．证明:等腰三角形两底角相等.（用规范的格式证明）（通过上面的练习，说一说等腰三角形有那些性质）二．学习探究活动一（1）如图1在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P点为底边的中点，PD+PE= .（2）如图2在等腰△ABC中，若P点为底边上任意一点，你认为PD+PE是定值吗？说明理由.（3）如图3在等腰△ABC中，若P点为底边上任意一点，过C点做腰AB 上的高CF，你能发现PD，PE和CF存在什么数量关系，提出你的猜想并证明.（4）如图4，若P点在BC的延长线上，那么PD，PE和CF的数量关系又有何变化？写出你的猜想并证明.活动二如图，点O 是等边△ABC 内一点， ∠AOB= 110°,∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转得△ADC ，连接OD探究：当α为多少度时， △AOD △是等腰三角形？活动三在边长为3、4、5的直角三角形周围拼接一个直角三角形,使它们拼成一个等腰三角形,请画出图形并写出你拼成的等腰三角形的周长.3备用图三．学习反思通过今天的学习，你认为等腰三角形中常用的辅助线是什么？常用的数学方法是什么？四．学习评价1．已知等腰三角形的一边等于6cm ，另一边等于8cm ，则此等腰三角形底角的余弦值为 .2已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为（思考 ：若去掉腰长为5的条件情况又如何）ABCDO1103．已知等腰三角形一边长为20 , 且面积为120,求等腰三角形的周长.等腰三角形的判定导学活动过程教学目标：知识与能力1、了解等腰三角形的边角定义。

《探索勾股定理》教案
教学内容
一、认识勾股定理，简单的掌握勾股定理的基本内容.
二、勾股定理的逆定理的基本含义.
三、什么叫做勾股数？
教学过程
一、勾股定理的认识与掌握
2019年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯发现这个定理的.
那么毕达哥拉斯究竟发现了怎样的现象呢？
那么你能从这里面发现怎样的关系呢？三个正方形的面积有怎样的关系呢？
下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？
那么，在上面的图形中我们除了看见正方形以外，你能看见其他的图形吗？
你能用边长表示几个正方形之间的面积关系么？
问题一：请分别计算出图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论？
问题二：如果用a,b,c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2.
二、练习
1、完成教材第152页练习.
2、完成152习题A组.（课后作业）。

word
1 / 1
勾股定理
教学 目标 在探索基础上掌握勾股定理．.已知两边，运用勾股定理列
式求第三边．
重点
在直角三角形中，知道两边，可以求第三边．
难点 应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和 教法 直观教学发现法和启发诱导教学法
学法
自学，小组合作
一、情境导入
1.从观察课本中图入手引入勾股定理．
图 14.1.1
（每一格表示1平方厘米）
图14.1.2
2. 课前热身
观看图，数一数三块面积之间的关系，体验勾股定理的内涵． 3、合作探究
明确：在一个直角三角形中：两直角边的平方和等于斜边的平方．
二、达标反馈
2、（基础题）Rt ΔABC 中, ∠C=90º （1）已知a=5、b=12,则c =________ （2）已知b=15、c=17, 则a =________ （3）已知 a =15、c=25, 则b =________
3、（提高题）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，
旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
4.已知两条线段的长分别为，当第三条线段长为________时，
这三条线段可以组成一个直角三角形.
5.在△
中，
，
，
⊥
于点，。

17.3勾股定理（1）教学目标【知识与能力】1.经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合的思想.2.会初步应用勾股定理解决实际问题.【过程与方法】1.经历“测量——猜想——总结——验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力.3.在探索的过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.【情感态度价值观】通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.教学重难点【教学重点】勾股定理的探索过程.【教学难点】勾股定理的应用.课前准备多媒体课件教学过程一：新课导入：导入一:【课件1】下图是三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的图形和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票,观察这两个图形,你有什么感想?教师引导学生思考,各抒己见,发表自己的见解.[设计意图]从现实生活中提出的“赵爽弦图”和“希腊邮票”,为学生能够积极主动地投入到探索活动中创设情境,激发学生学习热情,同时为探索勾股定理提供背景材料.导入二:【课件2】如图所示,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?师:在直角三角形中,任意两条边确定了,另一边确定吗?为什么?在直角三角形中,任意两条边确定了,另一边也随之确定了,事实上,古人发现,直角三角形三边长度的平方存在着一个特殊的数量关系.让我们一起去探索吧![设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.导入三:【课件3】相传两千多年前,古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐,只有毕达哥拉斯却看着朋友家地面所铺的瓷砖发起呆来.原来,朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的瓷砖铺成的,黑白相间,非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪,就想过去问他,谁知,毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子,站起来,大笑着跑着回家去了.原来,他发现了瓷砖上的三个正方形存在着某种数学关系.[设计意图]学生对故事中的问题很感兴趣,激发了学生探究知识的欲望,从而自然地引入本节课要探究的问题.二：新知构建：活动:探究勾股定理思路一探究1:测量计算——初步感知【课件4】学生活动:1.画一个直角三角形,使直角边分别为3cm和4cm,测量一下斜边是多少?2.画一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?3.画一个直角边分别是5cm和12cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?问题:你能总结出直角三角形三边之间的关系吗?[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望.思路二【课件5】任意画几个直角三角形,分别度量三条边,把长度标在图形中,计算三边的平方,师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很精确,他用了很接近这个词,非常棒,有哪些数据符合a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13;1.2,1.6,2……师:哪些数据不符合a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?探究2:面积推理勾股定理活动1:探索边长为3,4,5的直角三角形的情况【课件6】如图所示,每个小正方形都是边长为1的小正方形,在所围成的ΔABC中,∠ACB=90°.图中以AC,BC,AB为边的正方形的面积分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系?问题:(1)以AC为边的正方形的面积是;(2)以BC为边的正方形的面积是;(3)从AB为边的正方形的面积是;(4)三个正方形的面积之间关系是+=.活动2:探索直角边长为1的等腰直角三角形刚才我们接触到的是一般的直角三角形,那么对于等腰直角三角形是否也存在这个关系呢? 思路一【课件7】如图所示的是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图,∠ACB=90°.分别以AC,BC,AB为边的三个正方形(粗线标出)的面积之间有怎样的关系?学生观察发现:以AC,BC为边的正方形的面积都是1.说明:对于以AB为边的正方形的面积,教师可让学生通过数格子的方法求出其面积,也可以将其分成四个等腰直角三角形的面积来求.思路二【课件8】如图所示,直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足猜想的数量关系吗?你是如何计算的?师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜想如何实现?生:用正方形A,B,C刻画的,就是证明A+B=C.师:准确地说呢?生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.(学生交流正方形C的面积的求法,教师巡视点评.)生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.师:你用什么方法得到正方形C的面积为18?生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算.)生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法.)师:方法不错,你们很善于动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到正方形C的面积,还有什么方法可以得到呢?活动3:类比发现,形成结论【课件9】如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,请你猜想:分别以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积之间是否也具有上述我们探究的面积之间的关系?若具有这种关系,请用图中的Rt ΔABC的边把这种关系表示出来.学生思考、交流,教师请学生口答,并板书.教师总结:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.探究3:推理验证勾股定理与小组同学交流、讨论,拿出设计方案,并给出合理的解释.组1:我们的设计方案是:准备四块直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形的纸板,拼出如下图形:我们发现外部是一个大正方形,边长为c,内部是一个小正方形,其边长是a-b,四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积.1ab×4+(a-b)2=c2,2化简后为:a2+b2=c2.组2:我们也准备了四个直角三角形,两条直角边分别为a,b,斜边为c.我们是这样拼的,如图所示.外部是一个边长是a+b的正方形,内部是一边长为c的小正方形.四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积.1ab×4+c2=(a+b)2,2化简后为:a2+b2=c2.师:两个组的设计都非常精彩,你们利用了我们比较熟悉的面积的有关知识,还有其他方案吗?组3:我们准备了两个直角三角形,两条直角边为a,b,斜边为c.我们是这样拼的,如图所示.我们发现:两个直角三角形这样摆放,若连接A,B两点,就构成了一个直角梯形.直角梯形的上底为b ,下底为a ,高为a +b.直角梯形是由两个直角三角形和一个直角边为c 的等腰直角三角形构成的.直角梯形的面积=两个直角三角形的面积+等腰直角三角形的面积.12(a +b )(a +b )=12ab ×2+12c 2, 化简后为:a 2+b 2=c 2.师:以上三个小组的设计方案,实质上都渗透了数学的转化思想,将复杂问题转化、分解为简单问题,或将陌生的问题转化为熟悉的问题来解决.方法都是“拼凑法”,先拼出一个图形,再利用两种不同的方法求出面积的表达式.由于一个图形的面积不变,因此将两种面积的表达式用等号连接起来,再化简,就可能得出我们要探究的结论.说明:我们古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.因此,直角三角形三边之间的关系称为勾股定理.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2. 思考:(1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a 2+b 2=c 2有哪些变形公式?(3)由(2)知在直角三角形中,只要知道 条边,就可以利用 求出 . 指导学生完成教材第151页“做一做”.[知识拓展] (1)由勾股定理的基本形式a 2+b 2=c 2可以得到一些变形关系式,如a 2=c 2-b 2=(c +b )(c-b );b 2=c 2-a 2=(c +a )(c-a ).(2)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a ,b ,c ,若c 为最大边长,则有a 2+b 2<c 2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a ,b ,c ,若c 为最大边长,则有a 2+b 2>c 2.[设计意图] 通过探索活动,调动学生的积极性,给学生充分的时间与空间讨论、交流,鼓励学生敢于发表自己的意见,感受合作的重要性. 让学生经历“独立思考——小组讨论——合作交流”的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情. 三：课堂小结： 1.勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么a 2+b 2=c 2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的变形公式a =√c 2-b 2;b =√c 2-a 2;c =√a 2+b 2. 要求直角三角形中某一边的长度,就要知道其他两边的长度.。