【精品语文课件】2020(新增6页)教版中考数学复习解题指导：第23讲 锐角三角函数_11-13

第23章解直角三角形23．1锐角的三角函数第1课时锐角的三角函数教学目标【知识与技能】1．了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sin A、cos A、tan A表示直角三角形中两边的比．2．理解坡度的概念，并能够计算坡面的坡度．【过程与方法】通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．【情感、态度与价值观】1．通过学习培养学生的合作意识．2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．重点难点【重点】锐角三角函数的概念，坡比的概念．【难点】锐角三角函数概念的理解．教学过程一、创设情境，导入新知师：高架桥的起始一段有倾斜的部分，这个坡面的坡度或者说倾斜程度是怎样度量的呢？学生思考．二、共同探究，获取新知1．正切的概念．教师多媒体课件出示：如图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面，坡面AB和A1B1哪个更陡？你是怎样判断的？生：A1B1更陡．师：你是怎样判断的呢？生甲：这两个中同样是100的一段，对应的高度A1B1上升得多．生乙：(2)倾斜得厉害．教师多媒体课件出示：师：这个图里，你能判断坡面AB 和A 1B 1哪个更陡吗？ 学生观察后回答：A 1B 1更陡． 教师质疑，学生思考、交流． 教师多媒体课件出示图1.图1如图，在锐角A 的一边上任取一点B ，自点B 向另一边作垂线，垂足为C ，得到Rt △ABC ；再任取一点B 1，自点B 1向另一边作垂线，垂足为C 1，得到另一个Rt △AB 1C 1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形都相似．在这些直角三角形中，锐角A 的对边与邻边之比BC AC 、B 1C 1AC 1、B 2C 2AC 2…… 究竟有怎样的关系？教师读题后学生思考．生：锐角A 的这些对边与邻边之比都是相等的．师：对，在这些直角三角形中，当锐角A 的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A 的对边与邻边的比值总是一个定值．教师边操作边讲解图2.图2在这个直角三角形ABC 中，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝BC AC ＝ab.2．坡度、坡角的概念． 教师边作图边讲解：正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝hl ，坡度通常写成h ∶l 的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有i ＝hl＝tan α.你能得到坡度与坡角之间的关系吗？生：能．坡度越大，坡角越大，坡面就越陡． 师：很好！三、举例应用，巩固新知教师多媒体课件出示课本第114页例1. 师：你能计算出∠A 和∠B 的正切吗？ 学生思考后回答：能． 师：怎样计算？ 教师找一生回答．生：tan A ＝BC AC ＝34，tan B ＝AC BC ＝43四、继续探究，层层推进教师多媒体课件出示图1(同前)．师：在这个图中，这些直角三角形都是相似的，当锐角A 的大小确定后，不仅∠A 的对边与邻边的比随之确定，还有一些量也是确定的，你知道还有哪些量也是确定的吗？学生思考、交流．教师提示：还有哪两条边的比值也是确定的？ 生甲：∠A 的对边与斜边的比值也是确定的． 生乙：邻边与斜边的比值也是确定的． 师：对．教师多媒体课件出示图2(同前)．师：在这个直角三角形ABC 中，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin A ＝∠A 的对边斜边＝BC AB ＝bc .锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A ＝∠A 的邻边斜边＝AC AB ＝bc .锐角A 的正弦、余弦、正切称为锐角A 的三角函数．我们介绍了正弦、余弦，下面我们通过具体的实例加深对这些函数的印象．老师多媒体课件出示课本第115页例2.师：要求这三个三角函数的值，需要知道几条边的长？ 生：三条．师：现在已知了哪几条边的长？ 生：AC 、BC 两条边的长．师：那么我们需要求什么才能求出三个三角函数的值？ 生：还要求出AB 的长． 师：怎样求呢？ 生：用勾股定理．师：很好！现在请同学们求出AB 的长，并进一步求出∠A 的各个三角函数的值． 学生做题．师：请同学们将你的步骤和结果与课本上的解答相比照，对不正确的地方加以纠正． 学生对照．教师多媒体课件出示课本第115页例3.师：以前是在直角三角形中，用直角三角形的边长之比求三角函数的，现在没有直角三角形怎么办？学生思考．生：作辅助线．师：怎样作？生：过点P向x轴作垂线，垂足为Q.这样在直角三角形OPQ中求角α的三角函数值就行了．师：很好！作出这样的辅助线就方便了，就变成了我们以前遇到过的类型，同学们能求出吗？生：能．师：好！现在请同学们画出辅助线，并求出角α的三角函数值．学生作图，计算．师：请同学们将结果与课本上的解答比较，加以修正．学生对照，修正．五、课堂小结师：本节课你又学习了什么内容？学生回答．师：你还有什么疑问？学生提问，教师解答．第2课时30°，45°，60°角的三角函数值教学目标【知识与技能】1．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【过程与方法】1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力．【情感、态度与价值观】经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．重点难点【重点】30°、45°、60°角的三角函数值．【难点】与特殊角的三角函数值有关的计算．教学进程一、复习回顾，引入新课教师多媒体课件出示问题：为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：(1)含30°和60°两个锐角的三角尺；(2)皮尺．请你设计一个测量方案，测出一棵大树的高度．学生讨论，交流想法．生：我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，这位同学拿起三角尺，使她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°角的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度、BE 的长度，因为DE ＝AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可．师：在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AD ＝BE ，BE 是已知的，设BE ＝a 米，则AD ＝a 米，如何求CD 呢？生：含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的直角边等于斜边的一半，即AC ＝2CD ，根据勾股定理，得(2CD )2＝CD 2＋a 2.解得，CD ＝33a .则树的高度即可求出．师：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°角的正切值，在上图中，tan 30°＝CD AD ＝CDa，则CD ＝a tan 30°，岂不简单！你能求出30°角的三个三角函数值吗？二、探究新知 (1)探索30°、45°、60°角的三角函数值．师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？ 生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. 师：sin 30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．生：sin 30°＝12.sin 30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°角所对的边长为a (如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a .根据勾股定理，可知30°角的邻边长为3a ，所以sin30°＝a 2a ＝12.师：cos 30°等于多少？tan 30°呢？生：cos 30°＝3a 2a ＝32.tan 30°＝a 3a ＝13＝33. 师：我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？生：求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边．利用上图，很容易求得sin 60°＝3a 2a ＝32，cos 60°＝a2a＝12，tan 60°＝3a a＝ 3.师生共同分析：我们一起来求45°角的三角函数值．含45°角的直角三角形是等腰直角三角形．如图，设其中一条直角边为a ，则另一条直角边也为a ，斜边为2a .由此可求得sin 45°＝a 2a ＝12＝22， cos 45°＝a 2a ＝12＝22， tan 45°＝aa ＝1.教师多媒体课件出示：师：这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需要熟记．另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小．为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点．先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢？生：30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1、2、3，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大．师：再来看第二列的函数值，有何特点呢？ 生：第二列是30°、45°、60角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从小到大分别为3、2、1，余弦值随角度的增大而减小． 师：第三列呢？ 生：第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan 45°＝1比较特殊．师：很好！掌握了上述规律，记忆就方便多了．下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况．相信同学们一定会做得很棒！(2)进一步探究锐角的三角函数值． 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°. ∵sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，sin B ＝b c ，cos B ＝ac，∴sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B .∵∠A ＋∠B ＝90°， ∴∠B ＝90－∠A ，即sin A ＝cos B ＝cos(90°－∠A )， cos A ＝sin B ＝sin(90°－∠A )．任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值． 三、例题讲解，巩固新知 【例1】 计算： (1)sin 30°＋cos 45°； (2)sin 260°＋cos 260°－tan 45°.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角的三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin 260°表示(sin 60°)2，cos 260°表示(cos 60°)2；教师找两生板演，其余同学在下面做，然后集体订正得到：解：(1)sin 30°＋cos 45°＝12＋22＝1＋22；(2)sin 260°＋cos 260°－tan 45° ＝(32)2＋(12)2－1 ＝34＋14－1 ＝0.【例2】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且sin A ＝13，求cos B 的值．解：∵∠A ＋∠B ＝90°， ∴cos B ＝cos(90°－∠A ) ＝sin A ＝13.四、课堂小结 本节课总结如下： 1．探索30°、45°、60°角的三角函数值． sin 30°＝12，sin 45°＝22，sin 60°＝32；cos 30°＝32，cos 45°＝22，cos 60°＝12；tan 30°＝33，tan 45°＝1，tan 60°＝ 3.2．能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算．3.能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小．第3课时一般锐角的三角函数值教学目标【知识与技能】1．会使用计算器求锐角的三角函数值．2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角．【过程与方法】在做题、计算的过程中，逐步熟悉计算器的使用方法．【情感、态度与价值观】经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序．重点难点【重点】利用计算器求锐角三角函数的值．【难点】计算器的按键顺序．教学过程一、复习回顾教师多媒体课件出示：已知2sin(90°－α)－3＝0，求锐角α的度数．教师找一生板演，其余同学在下面做，然后集体订正．二、讲解新知师：上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值，但如果是任意的一个锐角，如何求它的三角函数值呢？比如让你求sin 36°的值．学生思考，讨论．生：作一个有一个锐角的直角三角形，量出它的对边和斜边长，求它的比值．师：很好！现在请同学们按这种方法求出sin 36°的值．学生作图、测量、计算．生：约等于0.587 8.师：对！用这种方法确实可以求出任意一个锐角三角函数的近似值，古代的数学家、天文学家也采用过这样的方法，只是误差较大．经过许多数学家不断的改进，不同角的三角函数值被制成了常用表，三角函数表大大改进了三角函数值的应用．今天，三角函数表又被带有sin、cos和tan功能键的计算器所取代．请同学们想一想用计算器得到的数是精确的吗？学生思考，讨论．生甲：是，比如sin 30°是0.5.生乙：不是，比如sin 45°等于22，22是一个无理数，就是无限不循环小数，用计算器得到的是有限个数字．生丙：有些是精确的，有些不精确．师：对！我们用计算器得到的是三角函数值的近似值．不同计算器给出的近似值的有效数字也不同，有10个、有8个．我们一般取四个有效数字，具体的根据要求去取．不同计算器的按键方法也各有不同．教师拿出计算器．师：我们学习这种计算器的使用方法．请同学们拿出自己的计算器．学生拿出自己的计算器．师：先按ON键，再按DEG/RAD键，使显示器屏幕出现“DEG”，然后再按有关三角函数的键．教师板书：1．求已知锐角的三角函数值．【例1】求sin 40°的值．(精确到0.0001)师：比如我们求sin 40°的值，依次按sin、4、0、＝这几个键．学生操作．师：因为要求精确到万分位，我们将得到的数字四舍五入到万分位即可，你得到四舍五入后的值是多少？生：0.642 8.师：很好！如果带有分呢？【例2】求cos 54°38′的值．(精确到0.000 1)师：我们依次按cos、5、4、D·M′S、3、8、D ·M′S、＝这几个键．学生操作后回答．2．由锐角三角函数值求锐角．【例3】已知sin A＝0.508 6，求锐角A.师：你有没有注意到计算器上有个2ndf键？生：注意到了．师：这个键叫做第二功能键，我们用这个可以转换键盘上的功能键的作用．我们依次按2ndf sin－10·5086）＝.学生操作．师：这样我们得到的是多少度，要化成度分秒的形式，我们按那个第二功能键2ndf和度分秒键D·M′S.学生操作后回答结果．三、课堂小结师：本节课，我们学习了什么内容？生甲：用计算器求一个锐角的三角函数值．生乙：还学习了已知一个函数值，求它对应的锐角的大小．师：对，你还有什么不懂的地方吗？学生提问，教师解答．。

课时23．锐角三角函数【课前热身】1. （2020·牡丹江）如图，在△ABC 中，sin B ＝31， tan C ＝2，AB ＝3，则AC的长为（ ） A ．2 B ．25 C ．5D ．22.（2020·河南）如图，在△ABC 中，AB =BC =3，∠BAC =30°，分别以点A ，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接DA ，DC ，则四边形ABCD 的面积为( )A.63B.9C.6D. 33AB CD3. 计算：cos 245°+tan60°·cos30°等于( )A. 1B. 2C. 2D. 34.某坡面的坡度为1:3，则坡角为_______度.5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，点B(0，-4)，则cos ∠OAB 等于__ __.第4题 第5题6. 如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为___ ___米.(结果保留根号)A B C （第1题图）【知识梳理】1. 锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的锐角三角函数.如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c . ①正弦：________sin ＝斜边的对边A A ∠=；②余弦：cb A ==_________cos ； ③正切：________tan ＝邻边的对边A A ∠=. （2） 三角函数的性质①若α为锐角，则有0＜sin α＜1，0＜cos α＜1.②利用三角函数的定义，我们可以得到以下几个重要的关系：当α为锐角，则有sin α2+cos α2=1；如果α+β=90°，则有sin α=_____；tan α·tan β=___.2. 特殊角的三角函数值3．解直角三角形（1）定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.（2）直角三角形的边角关系①三边关系：222AB AC BC =+；②锐角关系： 90=∠+∠B A ； ③边角关系：.tan ,tan ,cos ,cos ,sin ,sin a b B b a A c a B c b A c b B c a A ======（3）解直角三角形的几种类型及其解法4. 实际问题中术语的意义（1）仰角、俯角如图，在测量时，视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下 方的叫俯角.（2）坡度、坡角如图，坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫坡度(或坡比)，αtan ==l h i ，坡面与水平面的夹角α叫坡角.实际上坡度就是坡角的正切值.【例题讲解】例1 计算: 4sin30°- 2cos45°+ 3tan60°．例2如图，已知∠C=90°，∠B=30°，∠ADC=45°，AC=1.求BD 的长.例3如图，小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°.已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m ，请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据：sin35°≈127 ，cos35°≈65 ，tan35°≈107 )【中考演练】1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA=__ __.2. 在Rt △ABC 中，AB 是斜边，AB=6，BC=2，则cosA=___ _.3. 计算 45tan 30cos 60sin - 的值是_ ___. 4. 已知3tan α- 3 = 0，则锐角α=__ ___.5. 在△ABC 中，若()01tan 3sin 22=-+-B A ，则∠C=___ _. 6. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B=45°，∠C=30°，AD=2，则S △ABC =_______.7. 如图，学校测量组在池塘边的A 处测得∠BAC=90°，再在距离A 点10m 的C 点测得∠ACB= 60°，那么A 、B 两点间的距离是___ ___m.(精确到0.1m)8. 酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价50元，主楼梯宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要__ ___元.第6题 第7题 第8题9. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于( )A. 43B. 34C. 53D. 54 10. 如图，已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是( )A.sinA ＝cosAB.sinA ＞cosAC.sinA ＞tanAD.sinA ＜cosA第9题 第10题11．△ABC 中，若cosA=22，tanB=3，则三角形一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形12. 如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2:3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是( )A.7米B.9米C.12米D.15米13. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( ) A.2 B.552 C.21 D.55第12题 第13题14. 如图，小华为了测量楼房AB 的高度，他从楼底的B 处沿着斜坡向上行走30m ，到达坡顶D 处.已知斜坡的坡角为15°.(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，结果精确到0.1m)(1)求小华此时与地面的垂直距离CD 的值；(2)小华的身高ED 是1.6m ，他站在坡顶看楼顶A 处的仰角为45°，求楼房AB 的高度.15. 如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，其中CD = 5.4m ， AD=2.2m ，∠DCF=40°，请你计算车位所占街道的宽度EF.(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果精确到0.1m)16．“为了安全，请勿超速”.如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60km/h，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B 行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由.课时23．锐角三角函数【课前热身】1. B2. D3. C4. 305. 536. 310【例题讲解】例1 4例2 13-例3 233【中考演练】1. 432. 363. 04. 30°5. 75°6. 322+7. 17.38. 8409. B10. B11. A12. D13. C14. （1）7.8（2）38.5m15. 5.2m16. 没有超速。