江苏省13大市2013届高三数学上学期期末试题分类汇编-平面向量-苏教版

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编集合与常用逻辑用语1． （常州市2013届高三期末）设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为 ▲ ．答案：02、（连云港市2013届高三期末）集合A ={1，2，3}，B ={2，4，6}，则A B = ▲ . {2}3、（南京市、盐城市2013届高三期末）已知集合{}2,1,0,1-=U , {}1,1-=A , 则U A ð= ▲ .{}0,24、（南通市2013届高三期末）已知全集U =R ，集合{}10A x x =+>，则U A =ð ▲ ． 答案：(,1]-∞-．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知全集},3,2,1,0{=U 集合},3,2,1{},1,0{==B A 则=B A C U )( ▲ . {2,3}6、（苏州市2013届高三期末）已知集合{}1,1,2,4A =-，{}1,0,2B =-，则A B = ．{-1,2}7、（泰州市2013届高三期末）已知集合{}1,2,3A =，{}1,2,5B =，则A B ⋂= {}2,18、（无锡市2013届高三期末）设全集U=R ，集合A={}{}2|20,|1x x x B x x -<=>，则集U A B =ð 。

9、（扬州市2013届高三期末）若集合}11|{≤≤-=x x M ，2{|20}N x x x =-≤，则M∩N= ▲ ． [0,1]10、（镇江市2013届高三期末）已知集合M ＝{1 ,2,3, 4,5}，N ＝{2,4,6,8,10}，则M ∩N ＝ ▲ ．{}4,211、（泰州市2013届高三期末）设a R ∈,s: 数列{}2()n a -是递增数列；t:a 1≤,则s 是t 的 条件必要不充分12、（无锡市2013届高三期末）已知P ：|x －a|＜4；q ：（x －2）（3－x ）>0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为 ．。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编导数及其应用1、（南通市2013届高三期末）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ．答案：1e 2y x =-． 2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为 ． 答案：1e3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx 在点（e,2）处的切线与y 轴交点的坐标为 (0,0)4、（扬州市2013届高三期末）已知函数xmx x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ▲ ． e 3-5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值． 解：（1）设AF y =，则22x y x y l +++=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分 2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+-+=⋅=-⋅-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当222b l -≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-； 当222b l ->时，在220,2x l ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S 递增，在22,2x l b ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S <，S 递减，故当222x l -=时，2max 3224S l -=.6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分 当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x2不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ´(x )=1-2x =x －2x≥0.所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g (x )=2ln x -x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x2x，由g ´(x )>0得x <4，∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分 由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分 另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分7、（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由； 若函数3()1x ag x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围； 若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分 而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分 (2)因为33()311x a a g x x x +-==+++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a++,由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104aa +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………………7分 ③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 …………………8分 综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分(3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-, 所以()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分 ③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩,又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩ ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b ah a b≥⎧⎨≤⎩ (*),而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分 ⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ……………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分8、（南通市2013届高三期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好． （1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ （3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ABCD（第17题）B 'P解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．……5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x=-- ………………………………………………………………6分23()222x x=-+≤-，当且仅当2x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．……………………………………8分 故当薄板长为2米，宽为22-米时，节能效果最好． ……………………9分 （3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<．…………………………10分于是，33222142(2)022x S x x x x-+'=--==⇒=．……………………………11分 关于x 的函数2S 在3(1,2)上递增，在3(2,2)上递减．所以当32x =时，2S 取得最大值． …………………………13分故当薄板长为32米，宽为322-米时，制冷效果最好． ………………………14分9、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2） 求函数)(x f 单调区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围. ⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞0 (0,)∞+ ()f x '-+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a +-≥，函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+U ．………………………………16分10、（泰州市2013届高三期末）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数， （1）若a b ≠,求证：函数f(x)存在极大值和极小值（2）设（1）中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-，求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度 （3）若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m,a,b 满足的条件解：（1）[])2(3)()(/b a x b x x f +--= …………………………………………………1分b a ≠Θ32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和32ba + ∴f （x ）存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分（2）①若a =b ，f （x ）不存在减区间②若a >b 时由（1）知x 1=b ，x 2=32ba + ∴A （b ,0）B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+9)(2,322b a b a 21329)(22-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a○3当a <b 时 x 1=32ba +,x 2=b 。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编不等式选讲1、（常州市2013届高三期末）设2()14,||1f x x x x a =-+-<且，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-|||2|1x a a ≤-++|2|2a <+ =2(||1)a +．2、（连云港市2013届高三期末）解:∵(x +2y +2z )2≤(12+22+22)(x 2+y 2+z 2)=9，当且仅当x 1=y 2=z2时取等号， ……………5分∴|a －1|≥3，解得a ≥4，或a ≤－2. …………………10分 3、（南京市、盐城市2013届高三期末）设12,,,n a a a ⋅⋅⋅都是正数, 且12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1, 求证：12(1)(1)(1)2nn a a a ++⋅⋅⋅+≥.解:因为1a 是正数，所以111a a +≥25分 同理1(2,3,)j j a a j n +=L ≥2，将上述不等式两边相乘， 得1212(1)(1)(1)n n n a a a a a a +++⋅⋅⋅L L ≥2因为121n a a a ⋅⋅⋅=L ,所以12(1)(1)(1)n n a a a +++L ≥2……………………………10分4、（南通市2013届高三期末）已知0,0,a b >>且21a b +=，求224S ab a b =-的最大值．解：0,0,21,a b a b >>+=Q∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-, ……………………………………………2分 且122a b ab =+≥2ab ≤，18ab ≤, ……………………………5分∴224S ab a b =-2(14)ab ab =--241ab ab =+-21-≤,当且仅当11,42a b ==时，等号成立． ………………………………………10分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）D. [选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.由柯西不等式，2222222()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，……5分 因为2x y z =++，所以222242311x y z ++≥， 当且仅当2311123x y z ==，即6412,,111111x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为2411．…………………………………………………10分 6、（苏州市2013届高三期末）已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．答案：7、（泰州市2013届高三期末）D.（本小题满分10分，不等式选讲）若c b a ,,∈R +，+a 2+b 3c =6.(1)求abc 的最大值；(2)求证cc b b a a 236+++++≥12. 解：（１）∵a ,b ,c ∈R +,a +2b +3c =6∴abc =61a ·2b ·3c ≤61 (332c b a ++)3=34当a =2,b =1,c =32时取等号,∴abc 的最大值为34……………………….…..5分(2)∵a a 6++b b 3++c c 2+=3+a 6+b 3+c 2而(a 6+b 3+c 2） (a +2b +3c ) ≥(6+6+6)2=54∴a 6+b 3+c2≥9y=5y=x+1+x-2O yx 4321-3-2-15321∴a a 6++b b 3++cc 2+≥12…………………………………..…………………..…….10分 8、（无锡市2013届高三期末）已知|x+1|+|x －l|＜4的解集为M ，若a ，b∈M，证明：2|a+b |<|4+ab|。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为 ▲ 答案2、（连云港市2013届高三期末）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2 = 4x 的准线交于A 、B 两点，AB =3，则C 的实轴长为 ▲ .答案：13、（南京市、盐城市2013届高三期末）已知1F 、2F 分别是椭圆14822=+y x 的左、右焦点,点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 ▲ ．答案：[0,2]+4、（南通市2013届高三期末）已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =0的圆心，则该双曲线的标准方程为 ▲ ．答案：221520y x -=． 5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ . 答案6、（苏州市2013届高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左顶点为A ，过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ，C 两点，若ABC ∆为直角三角形，则双曲线E 的离心率为 ． 答案：27、（泰州市2013届高三期末）设双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点，且12PF F 的面积为6，则点P 的坐标为 答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,556 8、（无锡市2013届高三期末）如图，过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的直线L 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为 。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编不等式1、（常州市2013届高三期末）已知实数,x y 同时满足54276x y --+=，2741log log 6y x -≥，2741yx-≤，则x y +的取值范围是 ▲ ．答案：56⎧⎫⎨⎬⎩⎭2、（连云港市2013届高三期末）关于x 的不等式x 2-ax +2a <0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ▲ . 答案：125[1,)(,9]33--3、（南京市、盐城市2013届高三期末）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x , 则目标函数23z x y =+的最大值为 ▲答案：264、（南通市2013届高三期末）已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为 ▲ ． 答案：－2．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ .答案：－36、（苏州市2013届高三期末）已知()1f x x x =+，则11()()42f x f -<的解集是 ． 答案：7、（无锡市2013届高三期末）已知变量x ，y 满足约束条件004x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示平面区域M ，若-4≤a≤t 时，动直线x+y=a 所经过的平面区域M 的面积为7．则t= ．答案：28、（扬州市2013届高三期末）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥52420y x y x x ，则y x z -=2的最大值是 ▲ ． 答案：39、（镇江市2013届高三期末）已知x ，y 为正数，则22x y x yx y+++的最大值为 ▲ ．答案：3210、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ 答案：37(,]6-∞11、（苏州市2013届高三期末已知实数x ，y 满足不等式20403x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3322x y x y +的取值范围是 ． 答案：。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数 列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ． 答案：2324n n ⋅--2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212log log a a += ▲ . 答案：43、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为 ▲ 答案：274、（南通市2013届高三期末）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104， 则a 5与a 7的等比中项为 ▲ ． 答案：±．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .答案：－26、（扬州市2013届高三期末）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++=2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．答案：27-7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲ ．答案：3;8、（镇江市2013届高三期末） 观察下列等式： 31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝ ▲ ． 答案：()nn 2111⋅+-二、解答题1、（常州市2013届高三期末） 已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =．（1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．答案：解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分 （2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=． 设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)36n m m n d -++--=（舍去负根）.35a d =+，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =，所以，最大的3a =………16分 2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n满足：S n ＝n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；(3)是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p －2项?若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)证明:由已知，得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0，∴S n =na n2， ………………………2分则有S n +1=(n +1)a n +12，∴2(S n +1－S n )=(n +1)a n +1－na n ，即(n －1)a n +1=na n n ∈N*， ∴na n +2=(n +1)a n +1，两式相减得，2a n +1=a n +2+a n n ∈N*， ……………………………4分 即a n +1－a n +1=a n +1－a n n ∈N*， 故数列{a n }是等差数列.又a 1=0，a 2=a ，∴a n =(n －1)a . ………………………………6分 (2)若a =2，则a n =2(n －1)，∴S n =n (n -1).由21114m n a S -=，得n 2-n +11=(m -1)2，即4(m -1)2－(2n -1)2=43， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43. ………………………………8分 ∵43是质数， 2m +2n -3>2m －2n -1， 2m +2n -3>0， ∴⎩⎨⎧2m －2n －1=12m +2n －3=43，解得m =12，n =11. ………………………………10分 (III)由a n +b ≤p ，得a (n －1)+b ≤p .若a <0，则n ≥p －ba+1，不合题意，舍去; ……………………………11分若a >0，则n ≤p －ba+1. ∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2，∴3p －2≤p －ba+1<3p －1， ………………………………13分即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立.∴3a －1=0，解得a =13， ………………………………15分此时，23－b <0≤1－b ，解得23<b ≤1.故存在实数a 、b 满足条件， a 与b 的取值范围是a =13，23<b ≤1. ………16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n nS t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1n n c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数的取值范围．答案：解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分 而数列{}n b 的前n项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时,11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩ ……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =- ………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n nc N -=+∈,则116(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立 …7分数列{}n c 的前n 项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+-- …………………9分(3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时, 114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,74t ≤≤<,………13分②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列, 则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3m m t m t m +-=--,解得234m t +=…………15分综上所述,t ≤≤234m t +=(,2)m N m ∈≥……16分4、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………………7分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………9分 (3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p qp q=+． ……………………………………………………11分 所以，213()33q p p q =-(☆)． 易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． ………………………………………13分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列， 于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………16分注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++（1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由； （3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式. ⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=， 所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=， 故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾， 故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分 22133()114434n n n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分6、（苏州市2013届高三期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．7、（泰州市2013届高三期末）已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈ (1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合 （2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值 （3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n) (1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立， 当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n当n=18时（nn a b ）max =23无最小值n 取奇数时nn a b =-1-161-n n=17时（nna b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时nn a b =16)15(---n n =-1-161-nn=14时（nn a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ， （nn a b ）max =1-151=1514，n =15，（nna b ）min =0 ………………………………………………11分 综上，nn a b 最大值为23（n =18）最小值-2（n =17） (12)分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n(n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0∴S 16=S 14 m =7， n =8…………………………………………………………….16分8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 1=2，n∈N +，a n >0，数列{a n }的前n 项和S n ，且满足1122n n n a S S ++=-。

(第6题图)江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编算法初步1、（常州市2013届高三期末）根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ▲ ． 答案：112、（连云港市2013届高三期末）右图是一个算法流程图，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为 ▲ . 答案：23、（南京市、盐城市2013届高三期末）如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 ▲ . 答案：34、（南通市2013届高三期末）已知实数x ∈[1，9]， 执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为 ▲ ．答案：38．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图是一个算法的流程图，若输入n 的值是10，则输出S 的值是 ▲ 答案：540102321Pr int n S n While S S S n n End While n++ ≤ ←←0←←4(第题)开始 结束Yn ←1输入x 输出xn ←n +1 x ←2x +1n ≤3 N（第8题）6、（苏州市2013届高三期末）右边一段伪代码中，()Int x 表示不超过x 的最大整数，若输入6,4m n ==，则最终输出的结果n 为 ． 答案：27、（泰州市2013届高三期末） 右图是一个算法流程图， 则输出p= 答案：658、（无锡市2013届高三期末）右边的程序语句运行后，输出的S 为 答案：179、（扬州市2013届高三期末）如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 ▲ ．Read m ，n While()m m Int n n≠ ()mc m n Int n←-⨯m n ← n c ←End While Print n答案：49。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数 列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ． 答案：2324n n ⋅--2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212log log a a += ▲ . 答案：43、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为 ▲ 答案：274、（南通市2013届高三期末）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104， 则a 5与a 7的等比中项为 ▲ ． 答案：±．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .答案：－26、（扬州市2013届高三期末）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++=2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．答案：27-7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲ ．答案：3;8、（镇江市2013届高三期末） 观察下列等式： 31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝ ▲ ． 答案：()nn 2111⋅+-二、解答题1、（常州市2013届高三期末） 已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =．（1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．答案：解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分 （2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=． 设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)362n m m n d -++--=（舍去负根）.35a d =+，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =，所以，最大的3a =………16分 2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n满足：S n ＝n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；(3)是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p －2项?若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)证明:由已知，得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0，∴S n =na n2， ………………………2分则有S n +1=(n +1)a n +12，∴2(S n +1－S n )=(n +1)a n +1－na n ，即(n －1)a n +1=na n n ∈N*， ∴na n +2=(n +1)a n +1，两式相减得，2a n +1=a n +2+a n n ∈N*， ……………………………4分 即a n +1－a n +1=a n +1－a n n ∈N*， 故数列{a n }是等差数列.又a 1=0，a 2=a ，∴a n =(n －1)a . ………………………………6分 (2)若a =2，则a n =2(n －1)，∴S n =n (n -1).由21114m n a S -=，得n 2-n +11=(m -1)2，即4(m -1)2－(2n -1)2=43， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43. ………………………………8分 ∵43是质数， 2m +2n -3>2m －2n -1， 2m +2n -3>0， ∴⎩⎨⎧2m －2n －1=12m +2n －3=43，解得m =12，n =11. ………………………………10分 (III)由a n +b ≤p ，得a (n －1)+b ≤p .若a <0，则n ≥p －ba+1，不合题意，舍去; ……………………………11分若a >0，则n ≤p －ba+1. ∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2，∴3p －2≤p －ba+1<3p －1， ………………………………13分即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立.∴3a －1=0，解得a =13， ………………………………15分此时，23－b <0≤1－b ，解得23<b ≤1.故存在实数a 、b 满足条件， a 与b 的取值范围是a =13，23<b ≤1. ………16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n nS t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1n n c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数的取值范围．答案：解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分 而数列{}n b 的前n项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时,11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩ ……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =- ………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n nc N -=+∈,则116(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立 …7分数列{}n c 的前n 项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+-- …………………9分(3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时, 114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,74t ≤≤<,………13分②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列, 则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3m m t m t m +-=--,解得234m t +=…………15分综上所述,t ≤≤234m t +=(,2)m N m ∈≥……16分4、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………………7分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………9分 (3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p qp q=+． ……………………………………………………11分 所以，213()33q p p q =-(☆)． 易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． ………………………………………13分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列， 于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………16分注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++（1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由； （3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式. ⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=， 所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=， 故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾， 故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分 22133()114434n n n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分6、（苏州市2013届高三期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．7、（泰州市2013届高三期末）已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈ (1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合 （2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值 （3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n) (1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立， 当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n当n=18时（nn a b ）max =23无最小值n 取奇数时nn a b =-1-161-n n=17时（nna b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时nn a b =16)15(---n n =-1-161-nn=14时（nn a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ， （nn a b ）max =1-151=1514，n =15，（nna b ）min =0 ………………………………………………11分 综上，nn a b 最大值为23（n =18）最小值-2（n =17） (12)分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n(n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0∴S 16=S 14 m =7， n =8…………………………………………………………….16分8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 1=2，n∈N +，a n >0，数列{a n }的前n 项和S n ，且满足1122n n n a S S ++=-。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数 列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ． 答案：2324n n ⋅--2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212log log a a += ▲ .答案：43、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为 ▲答案：274、（南通市2013届高三期末）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104， 则a 5与a 7的等比中项为 ▲ ． 答案：42±．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列}{n a 的前项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .答案：－26、（扬州市2013届高三期末）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++=2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．答案：27-7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列{}n a 中，n S 为其前项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲ ． 答案：3;8、（镇江市2013届高三期末） 观察下列等式：31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝ ▲ ．答案：()nn 2111⋅+-二、解答题1、（常州市2013届高三期末） 已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =．（1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．答案：解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=． 设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)36n m m n d -++--=（舍去负根）.35a d =+，要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈，64mn =，当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值. 从而最大的63761d +=， 所以，最大的373761a +=………16分 2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足：S n ＝n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；(3)是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p －2项?若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．(1)证明:由已知，得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0，∴S n =na n2， ………………………2分则有S n +1=(n +1)a n +12，∴2(S n +1－S n )=(n +1)a n +1－na n ，即(n －1)a n +1=na n n ∈N*， ∴na n +2=(n +1)a n +1，两式相减得，2a n +1=a n +2+a n n ∈N*， ……………………………4分 即a n +1－a n +1=a n +1－a n n ∈N*， 故数列{a n }是等差数列.又a 1=0，a 2=a ，∴a n =(n －1)a . ………………………………6分 (2)若a =2，则a n =2(n －1)，∴S n =n (n -1).由21114m n a S -=，得n 2-n +11=(m -1)2，即4(m -1)2－(2n -1)2=43， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43. ………………………………8分 ∵43是质数， 2m +2n -3>2m －2n -1， 2m +2n -3>0， ∴⎩⎨⎧2m －2n －1=12m +2n －3=43，解得m =12，n =11. ………………………………10分 (III)由a n +b ≤p ，得a (n －1)+b ≤p .若a <0，则n ≥p －ba +1，不合题意，舍去; ……………………………11分若a >0，则n ≤p －ba+1.∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2，∴3p －2≤p －ba +1<3p －1， ………………………………13分即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立.∴3a －1=0，解得a =13， ………………………………15分此时，23－b <0≤1－b ，解得23<b ≤1.故存在实数a 、b 满足条件， a 与b 的取值范围是a =13，23<b ≤1. ………16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前项和为3n nS t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1n n c b a +=, 并求数列{}n c 的前项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数的取值范围．答案：解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分 而数列{}n b 的前项和为3n nS t =-,所以当2n ≥时, 11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =- ………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n nc N -=+∈,则116(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立 …7分数列{}n c 的前项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+-- …………………9分(3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时,114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,59759774t ---+≤≤<,………13分②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列,则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3mm t m t m +-=--,解得234m t +=…………15分 综上所述,597597t ---+≤≤234m t +=(,2)m N m ∈≥……16分4、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=． （1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………………7分 又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………9分(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列， 于是，21333p qp q=+． ……………………………………………………11分 所以，213()33q p p q =-(☆)． 易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． ………………………………………13分 当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列， 于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………16分注 在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++（1） 求数列}{n n b a +的通项公式；（2） 若对任意的正整数，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出ba ,满足的条件；若不存在，说明理由；（3） 若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式. ⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=， 所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=， 故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾， 故不存在，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分22133()114434nn n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分6、（苏州市2013届高三期末）设数列{}n a 的前项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．7、（泰州市2013届高三期末）已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈(1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合 （2）n16,求数列nnb a 的最大值和最小值 （3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n)(1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立， 当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n当n=18时（nn a b ）max =23无最小值n 取奇数时nn a b =-1-161-n n=17时（nna b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时nn a b =16)15(---n n =-1-161-nn=14时（nn a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ， （nn a b ）max =1-151=1514，n =15，（nna b ）min =0 ………………………………………………11分 综上，nn a b 最大值为23（n =18）最小值-2（n =17）……………….……..……………….12分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n (n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0S16=S14m=7，n=8…………………………………………………………….16分8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{a n}中，a1=2，n∈N+，a n>0，数列{a n}的前n项和S n，且满足1122nn naS S++=-。

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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
 1、(常州市2013届高三期末)空间内有个平面，设这个平面最多将空间分成个部分.
 (1)求;
 (2)写出关于的表达式并用数学归纳法证明.
 解：(1);
 (2).证明如下：
 当时显然成立，
 设时结论成立，即，
 则当时，再添上第个平面，因为它和前个平面都相交，所以可得条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这条交线可以把第个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了个，，
1。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（常州市2013届高三期末）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直； （4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为 ▲ 答案：()1、()3、()42、（连云港市2013届高三期末）已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为 ▲ . 答案：133、（南京市、盐城市2013届高三期末）现有如下命题：①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；③如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行；④如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内. 则所有真命题的序号是 ▲ ． 答案：①③④4、（南通市2013届高三期末）已知正四棱锥的底面边长是6，这个正四棱锥的侧面积是 ▲ ． 答案：48.5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是 ▲ . 答案：6π6、（苏州市2013届高三期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则三棱锥11A B D D -的体积为 3cm ． 答案：37、（泰州市2013届高三期末）在空间中，用a,b,c 表示三A 1B 1DCBAD 1C 1条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：（1）若,a b b c ，则a c （2）若,a b b c ⊥⊥，则a c ⊥ (3) 若a γ，b γ，则a b （4）若a γ⊥，b γ⊥，则a b 则所有真命题的序号是 ▲ ． 答案：①④8、（扬州市2013届高三期末）设a b 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若,a b a α⊥⊥，则//b α， ②若,a βαβ⊥⊥，则//a α, ③若βαβα⊥⊥则,,//a a④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥,其中正确的命题序号是 ▲ ． 答案：③④二、解答题1、（常州市2013届高三期末）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB ， 22AB ==，3CD =，直线PA 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是PA ，PB 的中点． （1）求证：MN ∥平面PCD ；（2）求证：四边形MNCD 是直角梯形； （3）求证：DN ⊥平面PCB ．证明：（1）因为点M ，N 分别是PA ，PB 的中点，所以MN ∥AB ．…………………2分因为CD ∥AB ，所以MN ∥CD ．又CD ⊂平面PCD ， MN ⊄平面PCD ，所以MN ∥平面PCD . ……4分 （2）因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以CD ⊥AD ，又因为PD ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥PD ，又ADPD D =，所以CD ⊥平面PAD ．……………6分因为MD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥MD ，所以四边形MNCD 是直角梯形．……………………………………8分（3）因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠PAD 就是直线PA 与底面ABCD 所成的角，从而∠PAD =60． …………………………9分在Rt △PDA 中，2AD =，6PD =，2PA =，2MD =在直角梯形MNCD中，1MN=，ND=，3CD=，CN==，从而222DN CN CD+=，所以DN⊥CN．…………………………11分在Rt△PDB中，PD= DB， N是PB的中点，则DN⊥PB．……13分又因为PB CN N=，所以DN⊥平面PCB．…………………14分2、（连云港市2013届高三期末）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，且AC1＝4AF.(1)求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；(2)求证：EF //平面ABB1A1.证明：(1) 因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥平面ABC,而AD⊂平面ABC, 所以CC1⊥AD. ………………2分又AB=AC,D为BC中点,所以AD⊥BC,因为BC⋂CC1=C,BC⊂平面BCC1B1,CC1⊂平面BCC1B1,所以AD⊥平面BCC1B1, ………………5分因为AD⊂平面ADF,所以平面ADF⊥平面BCC1B1. …………………7分(2) 连结CF延长交AA1于点G，连结GB.因为AC1＝4AF，AA1//CC1,所以CF=3FG,又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE=3EB,所以EF//GB, ………………………11分而EF⊄平面ABBA1,GB⊂平面ABBA1,所以EF //平面ABBA1. ……………………14分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）在直三棱柱111CBAABC-中, AB BC⊥, D为棱1CC上任一点.(1)求证：直线11A B∥平面ABD；(2)求证：平面ABD⊥平面11BCC B.ABCC1A1B1FED(第16题图)(1)证明:由直三棱柱111C B A ABC -,得11//A B AB ……………………………………4分 而,EF ABD AB ABD ⊄⊂面面,所以直线EF ∥平面ABD ………………………7分 (2)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥, 而1BB ⊂面11BCC B ,BC ⊂面11BCC B ,且1BB BC B=,所以AB ⊥面11BCC B ……………11分又AB ABD ⊂面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B …………………………………14分 4、（南通市2013届高三期末）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点．求证： （1）//EF 平面ABC ； （2）平面AEF ⊥平面A 1AD ．解：（1）连结11A B A C 和．因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点， 所以E F 、分别是11A B A C 和的中点．所以//EF BC ． ………………………………………………………3分 又BC ⊂平面ABC 中，EF平面ABC 中，故//EF 平面ABC ． ………………………………………………6分 （2）因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱， 所以1A A ⊥平面ABC ，所以1BC A A ⊥．故由//EF BC ，得1EF A A ⊥． ………………………………………8分 又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以BC AD ⊥．故由//EF BC ，得EF AD ⊥． ……………………………………………10分 而1A AAD A =，1,A A AD ⊂平面1A AD ，所以EF ⊥平面1A AD ．………………12分ABCDEF A 1B 1C 1(第15题)ABCDEF A 1B 1C 1(第15题)又EF ⊂平面AEF ，故平面AEF ⊥平面1A AD ．………………………14分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且3===CA BC AB ,1==CD AD .（1） 求证：;1AA BD ⊥（2） 若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .⑴在四边形ABCD 中，因为BA BC =，DA DC =，所以BD AC ⊥，……………2分又平面11AAC C ⊥平面ABCD ，且平面11AAC C平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AA C C ，………………………………………4分又因为1AA ⊂平面11AA C C ，所以1BD AA ⊥．………………………………………7分 ⑵在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，………9分 又因为在四边形ABCD中，AB BC CA ===1DA DC ==， 所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以BC DC ⊥，所以AE DC ，…………12分因为DC ⊂平面11D DCC ，AE ⊄平面11D DCC ，所以AE平面11D DCC ．…14分6、（苏州市2013届高三期末）如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．已知PA AB =，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PBC ； （2）若F 在线段AC 上，满足//AD 平面PEF ，求AF FC的值．1AE CD BA1D1B1C第16题APCDEF7、（泰州市2013届高三期末）在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=AC=33BC ,点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE=4DE,点M 是线段SD 上一点， （1）求证：BC ⊥AM(2)若AM ⊥平面SBC ，求证：EM 平面ABS(1)∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ,…………………………… 2分AM BC SAD AM SAD BC A SA AD BCSA ABC BC ABC SA ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥面平面面面……………..7分（证到SA ⊥平面SAD 得5分）（2）∵AM ⊥面SAB ， ⇒AM ⊥SD ，⇒⎭⎬⎫==DE AE MD SM 44⎪⎭⎪⎬⎫⊆⊄平面平面SA ABS //ME SAME ⇒EM ∥面ABS ……………14分8、（无锡市2013届高三期末）如图，四棱锥P －A BCD 中，底面ABCD 为菱形，BD⊥面PAC,A C=10，PA=6,cos∠PCA=45，M 是PC 的中点． （Ⅰ）证明PC⊥平面BMD;（Ⅱ）若三棱锥M －BCD 的体积为14，求菱形ABCD 的边长．9、（扬州市2013届高三期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， AC BD ⊥于O 。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（常州市2013届高三期末）函数(1)()cos cos22x x f x -=p p 的最小正周期为 ▲ ． 答案：22、（连云港市2013届高三期末）如果函数y ＝3sin(2x +ϕ)(0<ϕ<π)的图象关于点(π3，0)中心对称，则ϕ＝ ▲ . 答案：π3;3、（南京市、盐城市2013届高三期末）将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则ϕ的最小值为 ▲ . 答案：6π4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .2-5、（苏州市2013届高三期末）（苏州市2013届高三期末）已知θ为锐角，4sin(15)5θ+=，则cos(215)θ-= ．6、（无锡市2013届高三期末）在△ABC 中，∠A=45o，∠C=105o，，则AC 的长度为 ． 答案：17、（扬州市2013届高三期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且3,sin 2sin a b C A ===，则sin A = ▲ ．8、（镇江市2013届高三期末）5. 已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ▲ ． 答案：19、（镇江市2013届高三期末） 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ ．41-10、（南京市、盐城市2013届高三期末）在ABC ∆中, 若9cos 24cos 25A B -=, 则BCAC的值为 ▲ ．2311、（南京市、盐城市2013届高三期末）若x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+, 则cos 4y x 的值为 ▲ ． 答案：－1 二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值． 解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-=． ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55+⨯． …………………………14分 2、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值； (2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A ≠0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. (14)3、（南京市、盐城市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若cos(A ＋6π)＝sinA ，求A 的值； (2)若cosA ＝14，4b ＝c ，求sinB 的值．4、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ………………………………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．……………14分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）在△A B C ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1） 求角A 值；（2） 求C B cos sin 3-的最大值.解：⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=cos B C -2cos()3B B π=--1(cos )2B B B =--sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=cos B C -的最大值为1． ……………………14分6、（苏州市2013届高三期末）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上有一个最低点为2(,3)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()()4y f x f x π=++的最大值及对应x 的值．（苏州市2013届高三期末）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤）（1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．C B A D7、（泰州市2013届高三期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC 。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（常州市2013届高三期末）函数(1)()cos cos22x x f x -=的最小正周期为 ▲ ． 答案：22、（连云港市2013届高三期末）如果函数y ＝3sin(2x +ϕ)(0<ϕ<π)的图象关于点(π3，0)中心对称，则ϕ＝ ▲ . 答案：π3;3、（南京市、盐城市2013届高三期末）将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则ϕ的最小值为 ▲ . 答案：6π4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .2-5、（苏州市2013届高三期末）（苏州市2013届高三期末）已知θ为锐角，4sin(15)5θ+=，则cos(215)θ-= ．6、（无锡市2013届高三期末）在△ABC 中，∠A=45o，∠C=105o，2，则AC 的长度为 ． 答案：17、（扬州市2013届高三期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且5,3,sin 2sin a b C A ===，则sin A = ▲ ．5 8、（镇江市2013届高三期末）5. 已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ▲ ． 答案：19、（镇江市2013届高三期末） 在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ ．41-10、（南京市、盐城市2013届高三期末）在ABC ∆中, 若9cos 24cos 25A B -=, 则BCAC的值为 ▲ ．2311、（南京市、盐城市2013届高三期末）若x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+, 则cos 4y x 的值为 ▲ ． 答案：－1 二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值． 解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-=． ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55+⨯． …………………………14分 2、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值； (2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A ≠0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. (14)3、（南京市、盐城市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若cos(A ＋6π)＝sinA ，求A 的值； (2)若cosA ＝14，4b ＝c ，求sinB 的值．4、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ………………………………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．……………14分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1） 求角A 值；（2） 求C B cos sin 3-的最大值.解：⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=，所以3sin cos B C -23sin cos()3B B π=--133sin (cos sin )22B B B =--+sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=时，3sin cos B C -的最大值为1． ……………………14分6、（苏州市2013届高三期末）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上有一个最低点为2(,3)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()()4y f x f x π=++的最大值及对应x 的值．（苏州市2013届高三期末）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤）（1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．C B A D7、（泰州市2013届高三期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC 。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编平面向量1、（常州市2013届高三期末）已知向量a ，b 满足()22,4a b +=- ，()38,16a b -=-，则向量a ，b的夹角的大小为 ▲ ．答案：p2、（连云港市2013届高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆(x -1)2+(y -1)2＝4，C为圆心，点P 为圆上任意一点，则OP CP ⋅的最大值为 ▲ . 答案：4+22; 3、（南京市、盐城市2013届高三期末）如图, 在等腰三角形ABC 中,底边2=BC , DC AD =, 12AE EB = , 若12BD AC ⋅=- , 则AB CE ⋅= ▲ ．答案：04、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，若AB =1，AC =3，||||AB AC BC += ，则||BA BC BC ⋅ = ▲ ． 答案：12． 5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 则MN 的最小值是 ▲ .776、（苏州市2013届高三期末）已知向量a ，b ，满足1a = ，()(2)0a b a b +-=，则b 的最小值为 ．127、（无锡市2013届高三期末）已知向量a=（-2，2），b=（5，k ）．若|la+b|不超过5，则k 的取值范围是ABMNECF第14题图8、（扬州市2013届高三期末）已知向量()()k b a ,1,1,2-==，若b a ⊥，则k 等于 ▲ ． 答案：29、（镇江市2013届高三期末）已知向量(12,2)a x =- ，()2,1b - =，若a b ⊥ ，则实数x =▲ ． 答案：09、（镇江市2013届高三期末） 在菱形ABCD 中，23AB =,23B π∠=,3BC BE =,3DA DF = ,则EF AC ⋅= ▲ ． 答案：－1210、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值；(2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A ≠0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. ………………………………14分 11、（泰州市2013届高三期末）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈(1)求22a b + 的值（2）若a b ⊥，求θ（3）20πθ=，求证：a b解：（1）∵｜a ｜=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ，｜b ｜=sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ （算1个得1分） ｜a ｜2+｜b ｜2=2，………………………………………………………………4分（2）∵a ⊥b，∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0∴sin((10-λ)θ+λθ)=0，∴sin10θ=0…………………………………………7分∴10θ=k π，k ∈Z ，∴θ=10πk ，k ∈Z ……………………………………..........9分 （3）∵θ=20π, cos λθ·sin λθ－cos(10-λ) θ·sin ［(10－λ) θ］ =cos 20λπ·sin 20λπ－cos （2π－20λπ）·sin(2π－20λπ)=cos20λπ·sin20λπ-sin20λπ·cos20λπ=0，∴a ∥b………………………………………………..…………………………….. 14分12、（无锡市2013届高三期末） 已知向量(sin ,1)m x =- ，向量1(3cos ,)2n x = ，函数()()f x m n =+ ·m。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数学归纳法与二项式定理1、（常州市2013届高三期末）空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分.（1）求1234,,,a a a a ；（2）写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明. 解：（1）12342,4,8,15a a a a ====；（2）31(56)6n a n n =++.证明如下： 当1n =时显然成立，设(1,)n k k k N *=≥∈时结论成立，即31(56)6k a k k =++， 则当1n k =+时，再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划最多分成21[(1)(1)2)]2k k +-++个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了21[(1)(1)2)]2k k +-++个，2321111[(1)(1)2)](56)[(1)(1)2)]262k k a a k k k k k k +∴=++-++=++++-++ 31[(1)5(1)6)]6k k =++++，即当1n k =+时，结论也成立. 综上，对n N *∀∈，31(56)6n a n n =++. 2、（南京市、盐城市2013届高三期末） 已知n x x f )2()(+=, 其中*N n ∈．(1)若展开式中含3x 项的系数为14, 求n 的值；(2)当3=x 时, 求证：)(x f *)s N +∈的形式.解: (1)因为28812r rr r x C T-+=,所以6=r ，故3x 项的系数为14266=⋅-n n C ，解得7=n ………5分(2)由二项式定理可知,01201122(22222nnnn n n nnnnC C C C --=++++,设(2n x +=+=(2n +=+,a b N *∈，则(2n ,a b N *∈…………………………………………………………7分∵(2(21n n +⋅=+⋅-=，∴令,a s s N *=∈，则必有1b s =-……………………………………………………9分∴(2n +的形式，其中s N *∈ ……………………………10分 注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数． 3、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ． （1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数． 解：(1)当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-． 因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-，所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩…………………………………3分(2)当3a =时，1114,31n a n a a -+==+． ……………………………………………4分下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数． 当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t rt t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅，m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立．∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立． ………………………………10分4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a（1） 计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式，并给出证明；（2） 求证：当2≥n 时，.4n nnn a ≥ 证明：⑴24a =，35a =，46a =，猜想：*2()n a n n =∈+N ．……………………2分①当1n =时，13a =，结论成立；②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即2k a k =+， 则当1n k =+时，22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+， 即当1n k =+时，结论也成立，由①②得，数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ．5分⑵原不等式等价于2(1)4n n+≥．证明：显然，当2n =时，等号成立；当2n >时，01222222(1)C C C ()C ()n n n n n n n n n n n +=++++012233222C C C ()C ()n n n n n n n+++≥0122222>C C C ()54n n n n n n++=->， 综上所述，当2n ≥时，4nn na n ≥．…………………………………………………10分 5、（无锡市2013届高三期末） 已知函数f （x ）=12x 2+1nx ． （Ⅰ）求函数f （x ）在区间[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）设g （x ）=f （x ），求证：[()]()22()nnng x g x n N +-≥-∈．6、（扬州市2013届高三期末）已知数列{}n a 是等差数列，且123,,a a a 是1(1)2mx +展开式的前三项的系数. （Ⅰ）求1(1)2mx +展开式的中间项； （Ⅱ）当2n ≥时，试比较2121111n n n n a a a a ++++++与13的大小. 解：（Ⅰ）122111(1)1()()222m m m x C x C x +=+++依题意11a =，212a m =，3(1)8m m a -=，由2132a a a =+可得1m =（舍去），或8m = …………………2分 所以1(1)2m x +展开式的中间项是第五项为：44458135()28T C x x ==；…………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，32n a n =-,当2n =时，212234111111111169147101403n n n n a a a a a a a ++++++=++=++=> 当3n =时，212345911111111n n n n a a a a a a a a ++++++=++++ 11111117101316192225=++++++1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163=++>++> 猜测：当2n ≥时，2121111n n n n a a a a ++++++13> …………………6分以下用数学归纳法加以证明：①3n =时，结论成立， ②设当n k =时，212111113k k k k a a a a ++++++>， 则1n k =+时，2(1)(1)1(1)2(1)1111k k k k a a a a ++++++++++21)(1)1(1)211111()k k k k k a a a a a +++++=+++++22212(1)1111()kk k k a a a a +++++++-22212(1)11111()3k k k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+--221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++-- 由3k ≥可知，23730k k --> 即2(1)(1)1(1)2(1)111113k k k k a a a a ++++++++++> 综合①②可得，当2n ≥时，212111113n n n n a a a a ++++++> …………………10分7、（镇江市2013届高三期末）已知函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.（1）求实数a 的取值范围；（2）若数列{}n a 满足1(0,1)a ∈，1ln(2)n n n a a a +=-+，n ∈Ｎ* ，证明101n n a a +<<<．解：（1） 函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.∴()021≥+--='a xx f 在区间(0,1)上恒成立,……2分 x a -≥∴21,又()xx g -=21在区间(0,1)上是增函数 ()11=≥∴g a 即实数a 的取值范围为1≥a .……3分（2）先用数学归纳法证明10<<n a . 当1=n 时，1(0,1)a ∈成立, ……4分假设k n =时，10<<k a 成立,……5分当1+=k n 时，由（1）知1=a 时，函数()()x x x f +-=2ln 在区间(0,1)上是增函数∴()()k k k k a a a f a +-==+2ln 1 ∴()()()1102ln 0=<<=<f a f f k ,……7分即101<<+k a 成立, ∴当*∈N n 时,10<<n a 成立.……8分 下证1+<n n a a . ()101,ln 2ln10.n n n n a a a a +<<∴-=->=……9分1+<∴n n a a . 综上101<<<+n n a a .……10分。

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编平面向量 一、选择、填空题1、（潮州市2013届高三上学期期末）平面四边形ABCD 中0AB CD +=，()0AB AD AC -=⋅，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 答案：B2、（东莞市2013届高三上学期期末）已知平面向量(2,4)a = ，32(4,8)a b +=，则a b ⋅=A ．-10B ．10C ．-20D ．20 答案：A3、（佛山市2013届高三上学期期末）已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k =A ．2B ． 2-C ．8D ．8-答案：C4、（广州市2013届高三上学期期末）已知向量a ，b 都是单位向量，且 a b 12=，则2-a b 的值为 . 答案：35、（惠州市2013届高三上学期期末）已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则p q +的值为（ ）A ．5 B ．13 C ．5 D ．13答案：B 6、（江门市2013届高三上学期期末）如图2，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是AE的中点，若 a AB =， b AD =，则= AFA ． 41 21b a +B ． 2141b a +C ． 41 21b a -D ． 21 41b a -答案：A7、（茂名市2013届高三上学期期末）已知向量(1,2),(2,1)a x b =-= ，则a b ⊥ 的充要条件是（ ） A ．12x =-B ．1x =-C ．5x =D ．x =0答案：D8、（汕头市2013届高三上学期期末）若向量)1,1(),0,2(==b a，则下列结论正确的是( )．A ．1=⋅b aB .||||b a =C ．b b a ⊥-)(D ．b a // 答案：C 9、（增城市2013届高三上学期期末）设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则=+++OD OC OB OAA ．OMB ．OM 2C ．OM 3D ．OM 4答案：D 10、（湛江市2013届高三上学期期末）已知向量m ＝（x ，1），n ＝（1，2），且m ∥n ，则x ＝＿＿＿ 答案：1211、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知平面向量()1,2=-a ， ()2,y =b ， 且//a b ，则32+=a b ( )A ．()1,7- B ．()1,2- C ．()1,2 D ．()1,2-答案：D 解析：//a b4y ⇒=-，∴32+=a b (3,6)(4,8)(1,2)-+-=-12、（中山市2013届高三上学期期末）已知直线0=++cby ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则OB OA ⋅的值是（ ）A ．12- B ．12C ．34-D ．0答案：A13、（珠海市2013届高三上学期期末）已知a 、b 均为单位向量，)2()2(b a b a -⋅+=233-，a与b 的夹角为A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°答案：A14、（茂名市2013届高三上学期期末）设向量12(,)a a a = ，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=已知1(,2)2m = ，11(,sin )n x x = 。