高考数学大一轮复习第十章计数原理10.2排列与组合学案

第2讲排列与组合最新考纲 1.理解排列、组合的概念;2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式;3．能解决简单的实际问题．知识梳理1.排列与组合的概念名称定义排列从ｎ个不同元素中取出m（ｍ≤n）个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组（1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出ｍ个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A＼o＼al(m,n)＝n(n-１）（n－2)…（n－ｍ＋1)=错误! (2）C错误!=错误!＝错误!=n！m！（n－m）!（ｎ,m∈N*,且m≤n).特别地Ｃ错误!＝1性质(1)0!=1；A错误!＝ｎ！(2）C＼o＼aｌ（m,n)＝C错误!；Ｃ错误!=C错误!＋C错误!１.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )(3)若组合式C x n=C错误!,则x=m成立．( )(4)k C错误!=ｎC错误!．( )解析元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)不正确;若C错误!＝C错误!,则ｘ=m 或n-ｍ,故(3)不正确.答案(1)× (2)√(3)× (4)√2．从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( ）A.１2 B.24 Ｃ.64 D.81解析４本不同的课外读物选3本分给3位同学,每人一本，则不同的分配方法为A３，4=2４. 答案Ｂ3.（选修2-3P2８A17改编)从4名男同学和3名女同学中选出３名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（ )A．18 ﻩＢ.24 ﻩ C.3０ﻩD.3６解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有Ｃ２4C错误!=１8种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C错误!C错误!＝１２种，故3名学生中男女生都有的选法有Ｃ错误!C错误!＋Ｃ错误!Ｃ错误!=30种．法二从7名同学中任选3名的方法数,再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C错误!-Ｃ错误!－C错误!=30.答案 C4.(201７·浙江三市十二校联考）用１,2，３，4，５，6这六个数字组成没有重复数字的六位数共有_____＿__个;其中1,3,5三个数字互不相邻的六位数有＿＿___＿_＿个．解析用1,2,3,4，５，6组成没有重复数字六位数共有Ａ错误!＝720个；将１,3，5三个数字插入到２，4，6三个数字排列后所形成的4个空中的3个，故有A33Ａ34=144个.答案 720 １445.用数字1，2,3，４，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_＿＿＿__＿_(用数字作答). 解析末位数字排法有A错误!,其他位置排法有A错误!种,共有A错误!A错误!＝48种.答案486．(201７·绍兴调研)某市委从组织机关１0名科员中选３人担任驻村第一书记,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为＿______＿(用数字作答)．解析法一(直接法)甲、乙两人均入选,有C错误!C错误!种.甲、乙两人只有１人入选，有C错误!C错误!种方法,∴由分类加法计数原理,共有Ｃ错误!C错误!+C错误!C错误!＝４９（种)选法.法二 (间接法)从９人中选3人有C错误!种方法.其中甲、乙均不入选有C错误!种方法，∴满足条件的选排方法是C39-C错误!＝８4－35=49（种).答案4９考点一排列问题【例1】（2017·河南校级月考)３名女生和5名男生排成一排．（1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？（２)如果女生都不相邻，有多少种排法？（3)如果女生不站两端,有多少种排法?(４)其中甲必须排在乙前面(可不邻),有多少种排法?(5)其中甲不站最左边,乙不站最右边，有多少种排法？解(1)(捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起有6个元素,排成一排有A错误!种排法，而其中每一种排法中,三个女生间又有A错误!种排法,因此共有A6，６·Ａ错误!=4 3２0(种）不同排法.(2)(插空法）先排５个男生,有A错误!种排法,这5个男生之间和两端有６个位置，从中选取３个位置排女生,有A３，６种排法,因此共有A错误!·Ａ错误!＝14 400(种)不同排法.(3）法一（位置分析法）因为两端不排女生,只能从5个男生中选2人，有A错误!种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A错误!种排法，因此共有Ａ错误!·A错误!=14 400(种)不同排法．法二（元素分析法) 从中间6个位置选３个安排女生，有A错误!种排法，其余位置无限制，有Ａ错误!种排法，因此共有A错误!·Ａ错误!＝14 400(种)不同排法.(4）８名学生的所有排列共A错误!种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中错误!，∴符合要求的排法种数为＼f(1,2)A错误!＝2０ 16０（种).(5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置.法一 (特殊元素法)甲在最右边时，其他的可全排，有A错误!种;甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个,有A错误!种；而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上,有A错误!种；其余人6个人进行全排列,有A错误!种.共有Ａ错误!·A错误!·A错误!种.由分类加法计数原理，共有A错误!+A错误!·A错误!·A错误!＝30 ９6０(种)．法二 (特殊位置法)先排最左边,除去甲外，有A错误!种，余下7个位置全排,有A错误!种，但应剔除乙在最右边时的排法A错误!·A错误!种，因此共有A错误!·A错误!－A错误!·A错误!＝3０ 9６0(种)．法三(间接法)8个人全排,共Ａ错误!种，其中，不合条件的有甲在最左边时,有A错误!种，乙在最右边时,有A错误!种，其中都包含了甲在最左边,同时乙在最右边的情形，有A错误!种．因此共有Ａ错误!－２A错误!+A错误!＝3０９60(种）.规律方法 (１)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2）对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】（1)(20１7·新余二模）7人站成两排队列，前排３人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人,后排加两人,其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( )Ａ.12０ B.2４0 ﻩ C.３60 ﻩ D.480（２)（2017·抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )A.30 B．6０0 ﻩＣ.７2０ D.84０解析 (1)第一步,从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步,前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有４种，第三步,后排4人形成了５个空,任选一个空加一人有5种,此时形成６个空,任选一个空加一人，有6种,根据分步计数原理有3×4×5×６=360种方法．（2)若只有甲乙其中一人参加,有C错误!C错误!A错误!＝48０种方法；若甲乙两人都参加,有C错误!Ｃ错误!A错误!＝240种方法,则共有4８0＋240=720种方法,故选C.答案 (1)C (2）Ｃ考点二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有１5种假货.现从3５种商品中选取3种.(1）其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种？(3)恰有２种假货在内，不同的取法有多少种？(4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5）至多有2种假货在内,不同的取法有多少种？解（1）从余下的３4种商品中，选取2种有Ｃ错误!=561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有５６1种.(2)从34种可选商品中，选取３种,有C错误!种或者C错误!－C错误!＝C错误!＝５ 984种. ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 ９84种.(３)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取２件有C1２0C错误!=2 1０0种.∴恰有２种假货在内的不同的取法有2 1０0种.(4)选取2种假货有C错误!Ｃ错误!种，选取3件假货有C错误!种，共有选取方式C错误!Ｃ错误! +C错误!＝2 10０＋455＝2 5５5种.∴至少有2种假货在内的不同的取法有２55５种.(５)选取3件的总数为C错误!,因此共有选取方式C3３5－C错误!=６ 545－4５5＝6 09０种．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”，则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】（１)(2017·邯郸一模)现有６个不同的白球,4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是( )A.９0 Ｂ.１15ﻩ C.210 ﻩ D．38５（２)(２０17·湖州市质检)若从１，2,3,…，9这9个整数中同时取４个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ）A．６０种ﻩ B.63种Ｃ.６5种ﻩD.６６种解析 (１）分三类，取２个黑球有C错误!Ｃ错误!＝90种,取3个黑球有C错误!Ｃ错误!=2４种，取４个黑球有Ｃ错误!=1种，故共有9０＋２4+1＝１15种取法,选B.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数,或全为偶数,或2个奇数和２个偶数，∴共有不同的取法有C４５+C错误!＋C错误!Ｃ错误!=６6(种).答案（1)Ｂ(2)D考点三排列、组合的综合应用【例3】４个不同的球，4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1）恰有1个盒不放球,共有几种放法?(２)恰有１个盒内有2个球，共有几种放法?(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法？解 (1)为保证“恰有１个盒不放球”，先从４个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球,3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法?”即把4个球分成２，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余２个球放在另外２个盒子内，由分步乘法计数原理，共有Ｃ错误!C错误!C错误!×A错误!＝14４（种).(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放２个球,每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.（3)确定２个空盒有C错误!种方法.4个球放进2个盒子可分成(3，１)、(2,２)两类,第一类有序不均匀分组有C错误!C错误!Ａ错误!种方法；第二类有序均匀分组有错误!·A错误!种方法.故共有C错误!（C错误!C错误!A 2２＋错误!·A错误!)＝84(种).规律方法（1)解排列组合问题常以元素(或位置）为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．对于排列组合的综合题目,一般是将符合要求的元素取出或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型:①不均匀分组;②均匀分组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“隔板法”.【训练3】 (1)某校高二年级共有６个班级,现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A.A 错误!Ｃ错误!B ．错误!A 错误!C 错误!C.A 错误!A 错误! ﻩD.2A 错误! (2）在8张奖券中有一、二、三等奖各１张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给４个人，每人2张，不同的获奖情况有_____＿＿_种(用数字作答)．解析 (1）法一 将4人平均分成两组有错误!Ｃ错误!种方法，将此两组分配到6个班级中的２个班有A 错误!(种）. 所以不同的安排方法有12C 错误!A 错误!(种). 法二 先从6个班级中选2个班级有C 错误!种不同方法,然后安排学生有Ｃ错误!C 错误!种,故有C 错误!C 错误!C 错误!=错误!Ａ错误!C 错误!（种)．(２)把8张奖券分4组有两种分法，一种是分（一等奖，无奖)、（二等奖，无奖)、（三等奖，无奖)、(无奖,无奖)四组,分给４人有A 错误!种分法;另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖,共有Ｃ错误!种分法,再分给4人有C 错误!A 错误!种分法,所以不同获奖情况种数为A 44＋C 错误!A 错误!＝24＋36＝60.答案 (1)B (2)60[思想方法]１.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑（1）以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(２）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数. ２．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题先选后排;(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理;（６）定序问题排除法处理;（7）分排问题直排处理;(8）“小集团”排列问题先整体后局部；(9）构造模型;(10)正难则反,等价条件.［易错防范]１.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.2.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类）和间接法(排除法).分类时标准应统一,避免出现重复或遗漏.3.解组合应用题时,应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．4.对于分配问题,一般先分组，再分配,注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.。

2020高中数学复习学案第10章计数原理、概率、随机变量及其分布2 排列与组合【要点梳理·夯实知识基础】1．排列、组合的定义2.排列数、组合数的定义、公式、性质【学练结合】[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．().()(4)k C k n＝n C k－1n－1答案：(1)×(2)√(3)×(4)√[小题查验]1．从3,5,7,11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．6B．8C ．12D ．16解析：C [由于lg a －lg b ＝lg a b ，从3,5,7,11中取出两个不同的数分别赋值给a 和b 共有A 24＝12种，所以得到不同的值有12个．]2．(教材改编)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24解析：D [“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A 34＝4×3×2＝24.]3．有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有( )A ．A 23·A 22种B ．3A 22种C ．2A 33种D ．A 44·A 22种 解析：D [根据题意，分2步分析：①由于甲、乙两人必须站在一起，将甲、乙两人看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A 22种情况；②将这个整体与其余3人全排列，有A 44种情况，则甲、乙两人必须站在一起的排法共有A 22A 44种排法，故选D.]4．安排4名机关干部去3个行政村做村官，且每人只去一个行政村，要求每个行政村至少有一名机关干部到位做村官，则不同的安排方式共有( )A ．36种B ．24种C ．34种D ．43种解析：A [由题意，先把四名机关干部分为三组，共C 24＝6(种)分法，再分配到三个行政村官，所以共有C 24A 33＝6×6＝36(种)，故选A.]5．7位身高各不相同的同学排成一排，要求正中间的最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法共有 ________ 种．解析：最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C 36种，则剩下三位同学的位置已定．故共有C 36＝20种．答案：20【考点探究·突破重点难点】考点一排列问题(师生共研)[典例](1)将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学的排法有()A．18种B．20种C．21种D．22种(2)四位男演员与五位女演员排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法种数为()A．A55A46－2A44A45B．A55A46－A44A45C．A55A45－2A44A44D．A55A45－A44A44[解析](1)B(2)A[(1)当A，C之间为B时，将3人看成一个整体与剩余2人进行排列，共有A22·A33＝12(种)排法；当A，C之间不是B时，先在A，C之间插入D，E中的任意一个，然后B在A的另一侧，再将这4人看成一个整体，与剩余1人进行排列，共有C12·A22·A22＝8(种)排法．所以共有20种不同的排法．(2)四位男演员互不相邻可用插空法，有A55A46种排法，其中女演员甲站在两端的排法有2A44A45种，因此所求排法种数为A55A46－2A44A45.故选A.] 【解题反思】求解有限制条件排列问题的主要方法[提醒](1)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．(2)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确．[跟踪训练](1)5名学生进行知识竞赛．笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是()A．54 B．72C．78 D．96(2)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为()A．12 B．24C．36 D．48解析：(1)C(2)D[(1)由题得，甲不是第一，乙不是最后．先排乙：乙得第一，共有A44＝24(种)可能；乙没得第一，有3种可能，再排甲也有3种可能，余下的3人有A33＝6(种)可能，共有6×3×3＝54(种)可能．所以共有24＋54＝78(种)可能．(2)甲、乙分得的电影票连号有4×2＝8(种)分法，其余3人有A33种分法，所以共有8A33＝48(种)分法，故选D.]考点二组合问题(子母变式)[母题]要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．[解](1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法，其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可，共有C310＝120(种)选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有C510种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．[子题]在本例条件下，求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．【解题方法总结】组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．[跟踪训练](1)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有()A．6B．12C．18 D．24(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：(1)C(2)D[(1)法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C13种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C23种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C13C23种不同的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C23种不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C13种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有C23C13种不同的选法．根据分类加法计数原理，考生共有C13C23＋C23C13＝18(种)不同的选考方法，故选C.法二：依题意，考生共有C36－2C33＝18(种)不同的选考方法，故选C.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴不同的取法共有C45＋C44＋C25C24＝66(种)．]考点三分组分配问题(多维探究)[命题角度1]整体均分问题1．教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33·A33＝90种分派方法．答案：90[命题角度2]部分均分问题2．今年，我校迎来了师大数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有() A．180种B．120种C．90种D．60种解析：C[将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人．另两组都是2人，有C15·C24A22＝15(种)方法．再将3组分到3个班，共有15·A33＝90(种)不同的分配方案．故选C.] [命题角度3]不等分问题3．若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．答案：360【解题规律总结】解决分组分配问题的策略(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．2020高中数学复习学案第10章计数原理、概率、随机变量及其分布2 排列与组合检测一、选择题1．从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(C)A．85 B．56C．49 D．28解析：分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C12C27＋C22C17＝49.2．4位男生和2位女生排成一排，男生有且只有2位相邻，则不同排法的种数是(C)A．72 B．96C．144 D．240解析：先在4位男生中选出2位，易知他们是可以交换位置的，则共有A24种选法，然后再将2位女生全排列，共有A22种排法，最后将3组男生插空全排列，共有A33种排法．综上所述，共有A24A22A33＝144种不同的排法．故选C.3．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(D) A．144 B．120C．72 D．24解析：“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.4．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(B)A．60种B．48种C．30种D．24种解析：由题知，可先将B，C二人看作一个整体，再与剩余人进行排列，则不同的座次有A22A44＝48种．5．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有(B)A．900种B．600种C．300种D．150种解析：依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有C25·A44＝240(种)；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有A46＝360(种)，因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600(种)，故选B.6．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，则甲、乙在同一路口的分配方案共有(C)A．18种B．24种C．36种D．72种解析：不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有C 23A 33＝18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有C 13A 33＝18(种)．由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18＝36(种)．7．我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”飞机准备着舰，规定乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰(不一定相邻)，那么不同的着舰方法种数为( C )A ．24B ．36C ．48D ．96解析：根据题意，分2种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有A 44＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法；②丙机不最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C 12A 44＝24种情况，即此时有24种不同的着舰方法．则一共有24＋24＝48种不同的着舰方法．故选C.二、填空题8．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，若甲、乙分得的电影票连号，则共有48种不同的分法．(用数字作答)解析：电影票号码相邻只有4种情况，则甲、乙2人在这4种情况中选一种，共C 14种选法，2张票分给甲、乙，共有A 22种分法，其余3张票分给其他3个人，共有A 33种分法，根据分步乘法计数原理，可得共有C 14A 22A 33＝48种分法．9．现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有1_260种不同的方法．(用数字作答)解析：第一步，从9个位置中选出2个位置，分给相同的红球，有C 29种选法；第二步，从剩余的7个位置中选出3个位置，分给相同的黄球，有C 37种选法；第三步，剩下的4个位置全部分给4个白球，有1种选法．根据分步乘法计数原理可得，排列方法共有C 29C 37＝1 260(种)．10．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成1_260个没有重复数字的四位数．(用数字作答)解析：若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C 25C 23A 44；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C 25C 13C 13A 33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C 25C 23A 44＋C 25C 13C 13A 33＝720＋540＝1 260.11．某班主任准备请2018届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有1_080种．(用数字作答)解析：若甲、乙同时参加，有2C 26A 22A 22＝120种，若甲、乙有一人参加，有C 12C 36A 44＝960种，从而不同的发言顺序有1 080种．12．福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有( B )A ．90种B ．180种C ．270种D ．360种解析：根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C 16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C 15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C 24C 22A 22×A 22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案，故选B.13．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( D )A ．72B ．120C ．192D ．240解析：将数字“124 467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数．(1)若末位数字为2，因为其他位数上含有2个4，所以有5×4×3×2×12＝60种情况；(2)若末位数字为6，同理有5×4×3×2×12＝60种情况；(3)若末位数字为4，因为其他位数上只含有1个4，所以共有5×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．14．某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有12种．解析：分三类：(1)同一天2家有快递：可能是2层和5层、3层和5层、3层和6层，共3种情况；(2)同一天3家有快递：考虑将有快递的3家插入没有快递的4家形成的空位中，有C 35种插入法，但需减去1层、3层与7层有快递，1层、5层与7层有快递这两种情况，所以有C 35－2＝8种情况；(3)同一天4家有快递：只有1层、3层、5层、7层有快递这一种情况．根据分类加法计数原理可知，同一天7家住户有无快递的可能情况共有3＋8＋1＝12种．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有( B )A ．18种B ．24种C ．48种D ．36种解析：由题意，有两类：第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C 23＝3种，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有C 12C 12＝4种，故有3×4＝12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C 13＝3种，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有C 12C 12＝4种，这时共有3×4＝12种，根据分类计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B.16．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD (边长为3个单位)的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i (i ＝1,2，…，6)，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有( C )A ．22种B ．24种C ．25种D ．36种解析：由题意知正方形ABCD (边长为3个单位)的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处表示三次骰子的点数之和是12，在点数中三个数字能够使得和为12的有1,5,6；2,4,6；3,4,5；3,3,6；5,5,2；4,4,4，共有6种组合，前三种组合1,5,6；2,4,6；3,4,5各可以排出A 33＝6种结果，3,3,6和5,5,2各可以排出A 33A 22＝3种结果，4,4,4只可以排出1种结果．根据分类计数原理知共有3×6＋2×3＋1＝25种结果，故选C.。

10.2 排列与组合考纲要求1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题．1．排列与排列数：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“一个排列”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是一件事情，只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列；“排列数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数”，它是所有不同排列的个数，是一个数值． 排列数公式A mn ＝________________，右边的第一个因数是n ，后面的每一个因数都比前面一个少1，最后一个是n －m ＋1，共____个连续正整数相乘．当m ，n 较小时，可利用该公式计数；排列数公式还可表示成A mn ＝__________，它主要有两个作用：一是当m ，n 较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时，写出这种形式更便于发现它们之间的规律．2．组合与组合数：“一个组合”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组”，它是一件事情；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数值．组合数公式的推导要借助于排列数公式，公式C mn ＝A A mn m m＝__________________，其分子的组成与排列数A m n 相同，分母是m 个元素的全排列数．当m ，n 较小时，可利用该公式计数；组合数公式还可以表示成C mn ＝______，它有两个作用：一是当m ，n 较大时，可利用计算器计算阶乘数，二是对含字母的组合数式子进行变形和论证．3．组合数公式有两个性质：(1)C mn ＝______，该公式说明，从n 个不同元素中取出m个元素与从n 个不同元素中取出n －m 个元素是一一对应关系，实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系；(2)1C mn +＝__________________，该公式说明，从a 1，a 2，…，a n＋1中取出m 个元素的组合数1C m n +可以分成两类：第一类含有元素a 1，共1C m n -个；第二类不含元素a 1，共C mn 个．1．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )．A ．8289A A B ．8289A C C ．8287A A D ．8287A C2．(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )．A ．232B ．252C ．472D ．4843．设集合S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{a 1，a 2，a 3}是S 的子集，且a 1，a 2，a 3满足a 1＜a 2＜a 3，a 3－a 2≤6，则满足条件的集合A 的个数为( )．A ．78B ．76C ．84D ．834．刘、李两家各带一个小孩一起到公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要有两位爸爸，另外，两位小孩一定要排在一起，则这6人入园的顺序排法共有__________种．5．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种(用数字作答)．一、有限制条件的排列问题【例1－1】用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________(用数字作答)．【例1－2】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数：(1)甲不在排头、乙不在排尾；(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；(3)甲一定在乙的右端(可以不相邻)．方法提炼对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素，可先排其他元素，然后将这些要求不相邻的元素插入空当，这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．请做演练巩固提升5二、组合问题【例2－1】某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )．A．14 B．16 C．20 D．48【例2－2】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选．方法提炼1．注意问题有无顺序要求，一般有序问题用排列，无序问题用组合；2．有些复杂问题用直接法不好解决，往往选用间接法；3．均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序分组要除以均匀组数的阶乘数；还要考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数．请做演练巩固提升1三、排列与组合的综合应用【例3－1】现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机4项工作之一，每项工作至少有1人参加．甲、乙不会开车但能从事其他3项工作，丙、丁、戊都能胜任4项工作，则不同安排方案的种数是( )．A．152 B．126 C．90 D．54【例3－2】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？方法提炼排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分组标准．请做演练巩固提升3排列组合的综合应用【典例】(2012课标全国高考)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )．A．12种 B．10种 C．9种 D．8种解析：将4名学生均分为2个小组共有224222C CA＝3种分法，A＝2种分法，将2个小组的同学分给两名教师共有22A＝2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有22故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．答案：A答题指导：1．仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；2．深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏；3．对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；4．由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同．1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )．A．4种 B．10种 C．18种 D．20种2．(2012陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )．A．10种 B．15种C．20种 D．30种3．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )．A．10 B．20 C．30 D．404．从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有________种．5．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)参考答案基础梳理自测知识梳理1．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m n ！(n －m )！2．n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！n ！m ！(n －m )！3．C n m n - 1C C m m n n -+基础自测1．A 解析：运用插空法．先将8名学生排列，有A 88种排法；再把2位老师插入8名学生形成的9个空中，有A 29种排法，因此共有A 88A 29种排法．2．C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有C 34C 14C 14C 14＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C 13C 24C 13C 14＝216种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C.3．D 解析：易知在满足a 1＜a 2＜a 3的集合A 中，仅有{1,2,9}不满足a 3－a 2≤6，故满足条件的集合A 的个数为C 39－1＝83.4．24 解析：先将两位爸爸排在首尾，再将两位小孩视为一个整体同两位妈妈一起排列，最后将两位小孩内部进行排列，故这6人入园的顺序排法种数共有A 22A 33A 22＝24.5．72 解析：其余三个人站成一排有A 33＝6种，甲、乙两人插空有A 24＝12种，共6×12＝72种．考点探究突破【例1－1】40 解析：先将3,5排列，共有A 22种排法；再将4,6插空排列，有2A 22种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，共有C 15种排法．由分步乘法计数原理，共有A 22·2A 22·C 15＝40种．【例1－2】解：(1)①直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况．若甲排在排尾共有A 11A 33＝6种排法．若甲既不在排头也不在排尾共有A 12A 12A 22＝8种排法，由分类计数原理知满足条件的排法共有A 11A 33＋A 12A 12A 22＝14(种)．②也可间接计算：A 44－2A 33＋A 22＝14(种)．(2)可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位，则乙有3种排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1＝9(种)．(3)可先排丙、丁有A 24种排法，则甲、乙只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有A 24·1＝12(种)，或看作定序问题A 44A 22＝12(种)． 【例2－1】B 解析：直接法：可分为两种情况：(1)甲企业选中1人，有C 12C 24＝12种选法；(2)甲企业无人选中，有C 34＝4种选法，所以由分类计数原理可知共有12＋4＝16种可能．间接法：C 36－C 22C 14＝16.【例2－2】解：(1)依题意，应选一名女生，四名男生，故共有C 15·C 48＝350(种)．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C 22·C 311＝165(种)．(3)至少有一名队长包含两类：只有一名队长和有两名队长，故共有：C 12·C 411＋C 22·C 311＝825(种)或采用排除法：C 513－C 511＝825(种)．(4)至多有两名女生包含三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为： C 25·C 38＋C 15·C 48＋C 58＝966(种)．(5)分两类：第一类女队长当选，有C 412种；；第二类女队长不当选：C 14·C 37＋C 24·C 27＋C 34·C 17＋C 44.故选法共有：C 412＋C 14·C 37＋C 24·C 27＋C 34·C 17＋C 44＝790(种)．【例3－1】B 解析：(直接法)以从事司机工作为分类标准进行讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C 23A 33＝18；若有1人从事司机工作，则方案有C 13C 24A 33＝108种，所以不同安排方案种数是18＋108＝126.(间接法)5人从事4项工作，所有不同安排方案的种数是C 25A 44＝240.不符合要求的有两类：一是甲、乙都从事开车工作，有A 33＝6种；二是甲、乙有1人从事开车工作，它包括只有1人从事开车工作和有2人从事开车工作，故共有C 12C 13A 33＋C 12C 24A 33＝36＋72＝108种．所以不同安排方案种数是240－6－108＝126.【例3－2】解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法．4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法．故共有C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22＝84(种)． 演练巩固提升1．B 解析：可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有C 24＝4×32＝6种．②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有C 14＝4种，∴共有6＋4＝10种．2．C 甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C 23＝3种情形；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C 24＝6种情形，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C.3．B4．140 解析：∵从10名同学中挑选4名参加该项公益活动有C 410种不同挑选方法；从甲、乙之外的8名同学中挑选4名参加该项公益活动有C 48种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C 410－C 48＝210－70＝140种．5．解：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有A 33种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A 55种排法，由分步计数原理，有A 33A 55＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有A 44种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空当中插入3个女生有A 35种方案，故符合条件的排法共有A 44A 35＝1 440种不同排法．(3)甲、乙两人先排好，有A 22种排法，再从余下5人中选3人排在甲、乙两人中间，有A 35种排法，这时把已排好的5人视为一整体，与最后剩下的两人再排，又有A 33种排法，这样总共有A 22A 35A 33＝720种不同排法．(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A 44种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A 22种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中有A 25种排法．这样，总共有A 44A 22A 25＝960种不同排法．(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有A 47种排法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有A 47＝840种不同排法．。

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第二节排列与组合☆☆☆２01７考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．排列与组合的概念2(1)排列数的定义:从ｎ个不同元素中取出ｍ（m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用A错误!表示。

(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有不同组合的个数,叫做从ｎ个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ｃ错误!表示。

3．排列数、组合数的公式及性质(２)C错误!=错误!=错误!＝错误!性质（1）０!＝1;A＼o＼aｌ(n,n)＝n！(2)Ｃ错误!＝Ｃ错误!;C错误!=C错误!+Ｃ错误!微点提醒1.排列与组合最根本的区别在于“有序"和“无序”。

取出元素后交换顺序,如果与顺序有关，则是排列;如果与顺序无关,则是组合。

２．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;（3)排列、组合混合问题要先选后排;(４)相邻问题捆绑处理；（5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题倍缩法处理;（7）分排问题直排处理；（８）“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化。

第2讲 排列与组合1．排列、组合的定义 排列的定义 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数组合数定义从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数 公式A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！C m n＝A mnA m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！性质A n n ＝n ！,0！＝1C mn ＝C n －mn ,C mn ＋C m －1n ＝C mn ＋1[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( ) (4)若组合式C xn ＝C mn ,则x ＝m 成立．( ) (5)A mn ＝n(n －1)(n －2)…(n－m)．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2­3P27A 组T7改编)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24解析：选D.“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A 34＝4×3×2＝24.2．(选修2­3P19例4改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为( ) A ．8 B ．24 C ．48D ．120解析：选C.末位数字排法有A 12种,其他位置排法有A 34种,共有A 12A 34＝48(种)排法,所以偶数的个数为48.3．(选修2­3P28A组T17改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( )A．18 B．24C．30 D．36解析：选C.选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种,选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种,故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种．故选C.[易错纠偏](1)分类不清导致出错；(2)相邻元素看成一个整体,不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法．1．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装计算机和组装计算机各2台,则不同的取法有________种．解析：分两类：第一类,取2台原装计算机与3台组装计算机,有C26C35种方法；第二类,取3台原装计算机与2台组装计算机,有C36C25种方法．所以满足条件的不同取法有C26C35＋C36C25＝350(种)．答案：3502．把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种．解析：设这5件不同的产品分别为A,B,C,D,E,先把产品A与产品B捆绑有A22种摆法,再与产品D,E全排列有A33种摆法,最后把产品C插空有C13种摆法,所以共有A22A33C13＝36(种)不同的摆法．答案：36排列应用题3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排,前排3人,后排4人；(3)全体站成一排,男、女各站在一起；(4)全体站成一排,男生不能站在一起．【解】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列,有A57＝2 520种排法．(2)前排3人,后排4人,相当于排成一排,共有A77＝5 040 种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起,是男生的全排列,有A33种排法；女生必须站在一起,是女生的全排列,有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素,有A22种排法,由分步乘法计数原理知,共有N＝A33·A44·A22＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法,男生在4个女生隔成的五个空隙中安排共有A35种排法,故N＝A44·A35＝1 440(种)．(变问法)在本例条件下,求不同的排队方案的方法种数：(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端．解：(1)先排甲有4种,其余有A66种,故共有4·A66＝2 880种排法．(2)先排甲、乙,再排其余5人,共有A22·A55＝240种排法．求解有限制条件排列问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中的排列数,再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙中间接法对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化的方法[提醒] (1)插空时要数清插空的个数,捆绑时要注意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．(2)用间接法求解时,事件的反面数情况要准确．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数,则含有2,3但它们不相邻的五位数有________个．解析：不考虑0在首位,0,1,4,5先排三个位置,则有A34个,2,3去排四个空当,有A24个,即有A34A24个；而0在首位时,有A23A23个,即含有2,3,但它们不相邻的五位数有A34A24－A23A23＝252个．答案：252组合应用题要从5名女生,7名男生中选出5名代表,按下列要求,分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)男生甲和女生乙入选；(3)男生甲、女生乙至少有一个人入选．【解】(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,5女．由分类加法计数原理知总选法数为C15C47＋C25C37＋C35C27＋C45C17＋C55＝771(种)．法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”,可用间接法求解．从12人中任选5人有C512种选法,其中全是男代表的选法有C57种．所以“至少有1名女生入选”的选法有C512－C57＝771(种)．(2)男生甲和女生乙入选,即只要再从除男生甲和女生乙外的10人中任选3名即可,共有C22C310＝120种选法．(3)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”,即从其余10人中任选5人有C510种选法,所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为C512－C510＝540(种)．(变问法)在本例条件下,求至多有2名女生入选的选法种数．解：至多有2名女生入选包括以下几种情况：0女5男,1女4男,2女3男,由分类加法计数原理知总选法数为C57＋C15C47＋C25C37＝546(种)．含有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解．甲、乙两人从4门课程中各选修2门,求：(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？解：(1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C24C12C12＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C24C24,又甲、乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C24种,因此满足条件的不同选法种数为C24C24－C24＝30(种)．排列、组合的综合应用(高频考点)排列与组合是高考命题的一个热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题多为中档题．主要命题角度有：(1)相邻、相间问题；(2)分组、分配问题；(3)特殊元素(位置)问题．角度一相邻、相间问题(2020·杭州八校联考)有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )A．34种B．48种C．96种D．144种【解析】特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,有C12种选法,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余三个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有C12A44A22＝96(种),故选C.【答案】 C角度二分组、分配问题从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有________种不同的选法．(用数字作答)【解析】分两步,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有C48－C46＝55种不同的选法；第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有A24＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．【答案】660角度三特殊元素(位置)问题(2020·台州市书生中学高三期中)在某班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生．如果2位男生不能连着出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为________．【解析】①若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺序任意排,方法有C12C13A33＝36种．②若第一个出场的是女生(不是女生甲),则将剩余的2个女生排列好,2个男生插空,方法有C12A22A23＝24种．故所有的出场顺序的排法种数为36＋24＝60.【答案】60解排列、组合综合应用问题的思路1．安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种解析：选D.因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组,即2,1,1,有C 24C 12C 11A 22＝6种,再分配给3个人,有A 33＝6种,所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．2．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有________种(用数字作答)．解析：把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组,分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C 23种分法,再分给4人有C 23A 24种分法,所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.答案：603．(2020·浙江东阳中学高三期中检测)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,则组成的偶数的个数是________；恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数是________．解析：由五个数组成五位偶数,可分类个位数放0,2,4；当个位是0时,有A 44＝24种,当个位是2时,有3A 33＝18种,当个位是4时与个位是2时相同,则共有24＋36＝60种．当1和3两个奇数夹着0时,把这三个元素看做一个整体,和另外两个偶数全排列,其中1和3之间还有一个排列,共有2A 33＝12种,1和3两个奇数夹着2时,同前面类似,只是注意0不能放在首位,共有2C 12A 22＝8种,当1和3两个奇数夹着4时,也有同样多的结果．根据分类加法计数原理得到共有12＋16＝28种结果．答案：60 28核心素养系列21 逻辑推理、数学运算——分组分配问题中的易错点分组问题是同学们学习中的难点问题,在考试中不容易得分,在解题过程中容易掉入陷阱．解决这类问题的一个基本指导思想是先分组后分配．关于分组问题,有整体均分、部分均分和不等分组三种,无论分成几组,应注意的是只要有一些组中元素的个数相等,就存在均分现象．下面结合一些典型问题谈谈如何避免掉进分组问题中的陷阱．一、整体均分问题国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教．现有6名免费培养的教育专业师范毕业生,将其平均分到3所学校去任教,有________种不同的分配方法．【解析】 先把6个毕业生平均分成3组,有C 26C 24C 22A 33种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A 33＝6种方法,故6个毕业生平均分到3所学校,共有C 26C 24C 22A 33A 33＝90种分配方法．【答案】 90对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A nn (n 为均分的组数),避免重复计数．二、部分均分问题将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．【解析】 先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式),再将这三组人安排到3个房间,然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可,故安排方式共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 15C 14C 33A 22＋C 25C 23C 11A 22·A 33·C 24＝900种．【答案】 900本题属于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m 组元素个数相等,则分组时应除以m ！,一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．三、不等分组问题将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生,其中一人得1本,一人得2本,一人得3本,则有________种不同的分法．【解析】 先把书分成三组,把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本,有C 16种选法；再从余下的5本中选2本,有C 25种选法；最后余下3本全选,有C 33种选法．故共有C 16·C 25·C 33＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人,还应考虑再分配,故共有60A 33＝360种分配方法．【答案】 360对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时,任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数．总之,在解答分组问题时,一定要注意均匀分组与不均匀分组的区别,均匀分组不要重复计数．对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏,抓住了以上关键点,就能避免掉进陷阱．[基础题组练]1．不等式A x8＜6×A x－28的解集为( )A．[2,8] B．[2,6]C．(7,12) D．{8}解析：选D.由题意得8！（8－x）！＜6×8！（10－x）！,所以x2－19x＋84＜0,解得7＜x＜12.又x≤8,x－2≥0,所以7＜x≤8,x∈N*,即x＝8.2．(2020·金华等三市部分学校高三期中)如图,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数为( )A．96 B．84C．60 D．48解析：选B.法一：分三类：种两种花有A24种种法；种三种花有2A34种种法；种四种花有A44种种法．共有A24＋2A34＋A44＝84.法二：按A－B－C－D顺序种花,可分A,C同色与不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84.3．(2020·温州八校第二次联考)若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数,②所有数位上的数字和为偶数,则这样的三位数的个数是( )A．540 B．480C．360 D．200解析：选D.由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶,有C15C15A22＝50种排法；所有数位上的数字和为偶数,则百位数字是奇数,有C14＝4种满足题意的选法,故满足题意的三位数共有C14×C15C15A22＝200(个)．4．3本不同的数学书与3本不同的语文书放在书架同一层,则同类书不相邻的放法种数为( ) A．36 B．72C．108 D．144解析：选B.3本数学书的放法有A33种,将3本语文书插入使得语文数学均不相邻的插法有2A33种,故同类书不相邻的放法有2A33A33＝2×6×6＝72(种),故选B.5．(2020·金华十校期末调研)A、B、C、D、E五个人参加抽奖活动,现有5个红包,每人各摸一个,5个红包中有2个8元,1个18元,1个28元,1个0元,(红包中金额相同视为相同红包),则A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有( )A．18种B．24种C．36种D．48种解析：选C.A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有三类：即获奖的四人为：ABCD,ABCE,ABDE,在每类情况中,获奖的情况有C24·A22＝12种,所以由分步乘法原理得：A、B两人都获奖(0元视为不获奖)的情况有3×12＝36种．6．某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人,其中一班、二班、三班、四班各4人,现从中任选3人,要求这三人不能全是同一个班的学生,且在三班至多选1人,则不同选法的种数为( ) A．484 B．472C．252 D．232解析：选B.若三班有1人入选,则另两人从三班以外的12人中选取,共有C14C212＝264种选法．若三班没有人入选,则要从三班以外的12人中选3人,又这3人不能全来自同一个班,故有C312－3C34＝208种选法．故总共有264＋208＝472种不同的选法．7．如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3中三点为顶点的三角形的个数为( )A．30 B．42C．54 D．56解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点,有C38种取法,再减去三点共线的情形即可,即C38－C35－C34＝42.8．(2019·宁波高考模拟)从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数,则奇数位上必须是奇数的三位数的个数为( )A．12 B．18C．24 D．30解析：选B.根据题意,要求奇数位上必须是奇数的三位数,则这个三位数的百位、个位为奇数,分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个,安排在三位数的个位和百位,有C23A22＝6种情况,②在剩余的3个数字中任选1个,将其安排在三位数的十位,有C13＝3种情况,则奇数位上必须是奇数的三位数有6×3＝18个．9．(2020·温州中学高三模拟)身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形,则甲丁不相邻的不同的排法共有( )A．12 B．14C．16 D．18解析：选B.从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可记为1,2,3,4,5.要求1,4不相邻．分四类：①先排4,5时,则1只有1种排法,2,3在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；②先排3,5时,则4只有1种排法,2,1在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；③先排1,2时,则4只有1种排法,3,5在剩余的两个位上,这样有A22A22＝4种排法；④先排1,3时,则这样的数只有两个,即21534,43512,只有两种排法．综上共有4＋4＋4＋2＝14种排法,故选B.10．设集合A＝{(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{－1,0,1},i＝1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素的个数为( )A．60 B．90C．120 D．130解析：选D.设t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|,t＝1说明x1,x2,x3,x4,x5中有一个为－1或1,其他为0,所以有2×C15＝10个元素满足t＝1；t＝2说明x1,x2,x3,x4,x5中有两个为－1或1,其他为0,所以有C25×2×2＝40个元素满足t＝2；t＝3说明x1,x2,x3,x4,x5中有三个为－1或1,其他为0,所以有C35×2×2×2＝80个元素满足t＝3,从而,共有10＋40＋80＝130个元素满足1≤t≤3.11．(2020·温州十五校联合体期末联考)用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数,要求数字1,3不相邻,数字2,5相邻,则这样的五位数的个数是________(用数字作答)．解析：先把2,5捆挷有2种方法,再把它与4排列有2种排法,此时共有3个空隙供数字1、3插入有A23＝6种方法,故这样的五位数的个数是2×2×6＝24个．答案：2412．(2020·嘉兴市一中高考适应性考试)电影院一排10个位置,甲、乙、丙三人去看电影,要求他们坐在同一排,那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有________种．解析：先排7个空座位,由于空座位是相同的,则只有1种情况,其中有6个空位符合条件,考虑三人的顺序,将3人插入6个空位中,则共有1×A36＝120种情况,由于甲必须坐在三人中间,则有符合要求的坐法有1×120＝40(种)．3答案：4013．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有________对．解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．一个正四面体中两条棱成60°角的有(C26－3)对,两个正四面体有(C26－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对,所以共有(C26－3)×2×2＝48(对)．答案：4814．如图A,B,C,D为海上4个小岛,要建立3座大桥,将4个小岛连接起来,则不同的建桥方案有________种．解析：法一：任2个岛之间建立1座桥,则共需C24＝6座桥,现只建其中3座,有C36种建法,但如图(1)这样的建桥方式是不合题意的,类似这样的情况有C34种,则共有C36－C34＝16种建桥方案．法二：依题意,满足条件的建桥方案分两类．第一类,如图(2),此时有C 14种方法．第二类,如图(3),此时有12A 44＝12种方法． 由分类加法计数原理得,共有4＋12＝16种建桥方案．答案：1615．现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”“生态”“环保”三个夏令营活动,已知共有90种不同的方案,那么有男生________人、女生________人．解析：设男、女同学的人数分别为m 和n,则有,⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ·A 33＝90，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝8，C 2m ·C 1n ＝15. 由于m,n ∈N ＋,则m ＝3,n ＝5.答案：3 516．在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A 只能出现在第一或最后一步,程序B 和C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有________种．解析：程序A 有A 12＝2种结果,将程序B 和C 看作元素集团与除A 外的元素排列有A 22A 44＝48(种),所以由分步乘法计数原理得,实验顺序的编排共有2×48＝96种方法．答案：9617．规定C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！,其中x∈R ,m 是正整数,且C 0x ＝1,这是组合数C m n (n,m 是正整数,且m≤n)的一种推广,则C3－15＝________；若x>0,则x ＝________时,C 3x （C 1x ）2取到最小值,该最小值为________．解析：由规定：C 3－15＝（－15）×（－16）×（－17）3×2×1＝－680,由C 3x （C 1x ）2＝x （x －1）（x －2）6x 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －3. 因为x>0,x ＋2x≥22,当且仅当x ＝2时,等号成立, 所以当x ＝2时,得最小值22－36. 答案：－680 2 22－36[综合题组练]1．已知10件不同的产品中有4件是次品,现对它们进行测试,直至找出所有的次品为止．(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品,第10次才找到最后一件次品,则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试,只能取正品,有A 46种不同的测试方法,再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试,有C 24·A 22＝A 24种测试方法,再排余下4件的测试位置,有A 44种测试方法．所以共有A 46·A 24·A 44＝103 680种不同的测试方法．(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品,另3件在前4次中出现,从而前4次有一件正品出现,所以共有C 14·C 16·A 44＝576种不同的测试方法．2．现有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名,女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长,又要有女运动员．解：(1)任选3名男运动员,方法数为C 36,再选2名女运动员,方法数为C 24,共有C 36·C 24＝120种方法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男,2女3男,3女2男,4女1男,由分类加法计数原理可得总选法数为C 14C 46＋C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”,因此用间接法求解,不同选法有C 510－C 56＝246(种)．(3)当有女队长时,其他人任意选,共有C 49种选法,不选女队长时,必选男队长,其他人任意选,共有C 48种选法,其中不含女运动员的选法有C 45种,所以不选女队长时共有(C 48－C 45)种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C 49＋C 48－C 45＝191(种)．3．证明下列各题：(1)A k n ＋kA k －1n ＝A k n ＋1(k≤n ,n ≥0)；(2)C k n C m －k n －k ＝C m n C k m (k≤m≤n ,n ≥0)．证明：(1)左边＝n ！（n －k ）！＋k·n ！（n －k ＋1）！＝n ！[（n －k ＋1）＋k]（n －k ＋1）！＝（n ＋1）！（n ＋1－k ）！＝A k n ＋1＝右边．(2)左边＝n ！k ！（n －k ）！·（n －k ）！（m －k ）！（n －m ）！＝n ！k ！（m －k ）！（n －m ）！, 右边＝n ！m ！（n －m ）！·m ！k ！（m －k ）！＝n ！（n －m ）！k ！（m －k ）！, 所以左边＝右边．4．集合A ＝{x∈Z|x≥10},集合B 是集合A 的子集,且B 中的元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.(1)集合B 中两位数和三位数各有多少个？(2)集合B 中是否有五位数？是否有六位数？(3)将集合B 中的元素从小到大排列,求第1 081个元素．解：将0,1,…,9这10个数字按照和为9进行配对,(0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对只取一个数构成．(1)两位数有C 25×22×A 22－C 14×2＝72(个)；三位数有C 35×23×A 33－C 24×22×A 22＝432(个)．(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可找出符合条件的五位数；不存在六位数,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为9,与B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾,因此不存在六位数．(3)四位数共有C 45×24×A 44－C 34×23×A 33＝1 728(个),因此第1 081个元素是四位数,且是第577个四位数,我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数有3×C 34×23×A 33＝576(个),因此第1 081个元素是4 012.。

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第十章计数原理 10.2 排列与组合教师用书理苏教版1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合并成一组2。

排列数与组合数(1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．（2）组合数的定义：从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用C m，n表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A错误!＝n(n－1)（n－2）…(n－m＋1)＝错误!（2)C错误!＝错误!＝错误!＝错误!性质（1)0！＝1;A n n＝n!(2)C错误!＝C错误!；C错误!＝C错误!＋C错误!__【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．（×）(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ×）(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √)（4）（n＋1）！－n！＝n·n!.( √)（5)A错误!＝n A错误!。

§10.2排列与组合最新考纲 1.通过实例，理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．1．排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质概念方法微思考1．排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示(1)排列数与组合数之间的联系为C m n A m m＝A m n.(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．3．解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( ×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √)(5)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．( ×)(6)k C k n＝n C k－1n－1.( √)题组二教材改编2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144B．120C．72D．24答案 D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A．8B．24C．48D．120答案 C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A．192种B．216种C．240种D．288种答案 B解析第一类：甲在最左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法．5．为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( ) A ．180 B ．240 C ．540 D ．630答案 C解析 依题意，选派方案分为三类：①一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C 46C 12C 11A 22·A 33＝90(种)；②一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C 36C 23C 11A 33＝360(种)；③每个国家各派2名，有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90(种)，故不同的选派方案种数为90＋360＋90＝540.6．寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A ，B ，C ，D ，E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答) 答案 45解析 设5名同学也用A ，B ，C ，D ，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC ，BDAC ，BCDA ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA ，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种)．题型一 排列问题1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( ) A ．96个 B ．78个 C ．72个 D ．64个答案 B解析 根据题意知，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A 44＝24(个)；当首位是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A 44－A 33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．故选B.2．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答) 答案 1560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1560(条)留言．3．6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有________种不同站法．答案480解析方法一(位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有A25种站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有A44种站法．由分步乘法计数原理可知，共有A25A44＝480(种)不同的站法．方法二(元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下的5个位置上，有A55种站法．由分步乘法计数原理可知，共有A14A55＝480(种)不同的站法．思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．题型二组合问题例1男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．解(1)分两步完成：第一步，选3名男运动员，有C36种选法；第二步，选2名女运动员，有C24种选法．由分步乘法计数原理可得，共有C36·C24＝120(种)选法．(2)方法一“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得总选法共有C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246(种)．(3)方法一(直接法)可分类求解：“只有男队长”的选法种数为C48；“只有女队长”的选法种数为C48；“男、女队长都入选”的选法种数为C38，所以共有2C48＋C38＝196(种)选法．方法二(间接法)从10人中任选5人有C510种选法，其中不选队长的方法有C58种．所以“至少有1名队长”的选法有C510－C58＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有(C48－C45)种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练1某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种取法，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5984种取法．∴某一种假货不能在内的不同取法有5984种．(3)从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C215＝2100种取法．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2100种．(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2100＋455＝2555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2555种．(5)方法一(间接法)选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6545－455＝6090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．方法二(直接法)选取3种真货有C320种，选取2种真货有C220C115种，选取1种真货有C120C215种，因此共有选取方式C320＋C220C115＋C120C215＝6090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．题型三排列与组合的综合问题命题点1 相邻问题例23名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( ) A．2 B．9C．72 D．36答案 C解析可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A22种排法；第二步，3名女生排在一起有A33种排法，3名男生排在一起有A33种排法，故排法种数为A22A33A33＝72.命题点2 相间问题例3某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72 B．120C．144 D．168答案 B解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．命题点3 特殊元素(位置)问题例4大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A．18种B．24种C．36种D．48种答案 B解析根据题意，分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23×C12×C12＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13×C12×C12＝12(种)乘坐方式，故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则①按元素(位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．跟踪训练2(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____种．答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法．于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36(种)．(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A 26C 24种，故至少有1名女生的选法有A 28C 26－A 26C 24＝840－180＝660(种)．1．(2018·湖南三湘名校联考)“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China 又可以简写为CN ，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A ．360种B ．480种C ．600种D ．720种 答案 C解析 从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有C 45A 55＝600种，故选C. 2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有( ) A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种 答案 B解析 当丙和乙在甲的左侧时，共有A 22C 14A 22A 33＝96种排列方法，同理，当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法．3．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( ) A ．16B ．18C ．24D ．32 答案 C解析 将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有A 33＝6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．4．(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 答案 D解析 由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)．5．(2018·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法( )A．A55种B．A22种C．A24A22种D．C12C12A22A22种答案 D解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有C12C12A22A22种摆放方法．6．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24B．48C．60D．72答案 D解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13种选法，再将剩下的4个数字排列有A44种排法，则满足条件的五位数有C13·A44＝72(个)．故选D.7．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．(用数字作答)答案11解析把g，o，o，d4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11(种)．8．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法．总获奖情况共有A34＋C23A24＝60(种)．9．(2018·太原模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．(用数字作答)答案120解析先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有C16A22＝12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有C15A22＝10(种)，故不同的发言顺序共有12×10＝120(种)．10．用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有________个．答案240解析由题意知本题是一个分步计数问题，从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有A 35＝60(个)，根据分步乘法计数原理知，有60×4＝240(个)．11．将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有________种放法． 答案 150解析 标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组，共有C 35＋C 25·C 23A 22＝25(种)分法，再分配到三个不同的盒子中，共有25·A 33＝150(种)放法．12．某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答) 答案 114解析 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)，当为(2,2,1)时，有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 23·A 33＝18(种)，故有90－18＝72(种)，根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．13．(2018·合肥质检)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( ) A ．120B ．240C ．360D ．480 答案 C解析 前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C 14C 13种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A 25种方法；若相邻，有C 15A 22种，故共有C 14C 13(A 25＋C 15A 22)＝360(种)，故选C.14．设三位数n ＝abc ，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有多少个？解 a ，b ，c 要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a ，b ，c ∈{1,2,3，…，9}．①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n 1，由于三位数中三个数字都相同，所以n 1＝C 19＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n 2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a ，b ，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a ，b )共有2C 29组，但当大数为底时，设a >b ，必须满足b <a <2b ，此时，不能构成三角形的数字是共20种情况．同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有C23种情况，故n2＝C23(2C29－20)＝156.综上，n＝n1＋n2＝165.15．用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是( )A．20B．24C．36D．40答案 D解析因为能被3整除的三位数字组成为012,024,015,045,123,234,315,345，共8种情况，所以对应排列数分别为2A22，2A22，2A22，2A22，A33，A33，A33，A33，因此一共有2A22＋2A22＋2A22＋2A22＋A33＋A33＋A33＋A33＝40(种)．16．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6,7}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋…＋|x7|≤4”的元素个数为( )A．938B．900C．1200D．1300答案 A解析A中元素为有序数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)，题中要求有序数组的7个数中仅有1个±1，仅有2个±1，仅有3个±1或仅有4个±1，所以共有C17×2＋C27×22＋C37×23＋C47×24＝938(个)．11。

第一节排列与组合[考纲传真] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．1．两个计数原理A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！C m n＝A m nA m m＝n n－n－n－m＋m！1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)k C k n＝n C k－1n－1. ( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有( ) A．12 B．16C．64 D．120B[书架上共有3＋5＋8＝16本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法，故选B.]3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( ) A．8 B．24C．48 D．120C[末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有A34C12＝4×3×2×2＝48个．故选C.]4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28C[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C17C22种方法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种选法．法二(间接法)：从9人中选3人有C39种方法，其中甲、乙均不入选有C37种方法，∴满足条件的选排方法有C39－C37＝84－35＝49种．]5．将6名教师分到三所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．360 [将6名教师分组，分3步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60(种)取法．将这三组教师分配到三所中学，有A33＝6(种)分法，故共有60×6＝360(种)不同的分法．]【例1】5个班车，从丙地到乙地每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有( )A．12种B．19种C．32种D．60种(2)如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )A．400种B．460种C．480种D．496种(1)B(2)C[(1)分两类：一类是直接从甲到乙，有n1＝4种方法；另一类是从甲经丙再到乙，可分为两步，有n2＝5×3＝15种方法．由分类计数原理可得：从甲到乙的不同乘车方法n＝n1＋n2＝4＋15＝19.故选B.(2)完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时，A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法．由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(种)．]在综合应用两个原理解决问题时，分类加法计数原理对于较复杂的两个原理综合应用的问题，为直观.(1)种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数．(用数字作答)(1)4554(2)420[(1)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．图(1)(2)①当末位数字是0时，如图(1)所示，共有A 36个不同的四位偶数；图(2)②当末位数字是2或4或6时，如图(2)所示，共有A 15A 25C 13个不同的四位偶数；即共有A 36＋A 15A 25C 13＝120＋5×5×4×3＝420个无重复数字的四位偶数．]【例2】 3(1)若女生全排在一起，有多少种排法？(2)若女生都不相邻，有多少种排法？(3)若女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？[解] (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有A 66种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A 33种排法，因此共有A 66·A 33＝4 320种不同排法．(2)(插空法)先排5名男生，有A 55种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有A 55·A 36＝14 400种不同排法．(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400种不同排法．法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400种不同排法.(4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占12，因此符合要求的排法种数为12A 88＝20 160. (5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16种，其余人全排列，共有A 16·A 16·A 66种不同排法．由分类加法计数原理知，共有A77＋A16·A16·A66＝30 960种不同排法．法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A17种排法，余下7个位置全排，有A77种排法，但应剔除乙在最右边时的排法A16·A66种，因此共有A17·A77－A16·A66＝30 960种排法．法三(间接法)：8名学生全排列，共A88种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A77种排法，乙在最右边时，有A77种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A66种排法．因此共有A88－2A77＋A66＝30 960种排法．[规律方法]求解排列应用问题的六种常用方法A．144 B．120C．72 D．24(2)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A．24 B．18C．16 D．10(1)D(2)D[(1)先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A34＝24(种)方法．故选D.(2)分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.故选D.]【例3】队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．[解](1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C15·C48＝350种．(2)两队长当选，共有C22·C311＝165种．(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．(或采用排除法：C513－C511＝825(种))．(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接.(1)人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有( ) A．30种B．36种C．42种D．48种(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A．232 B．252C．472 D．484(1)C(2)C[(1)若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C14种选法，9日、10日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C14C13C22种安排方法，共有12种安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有C24C22＝6(种)安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．(2)分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．]1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种 B．18种C．24种D．36种D[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)． 故选D.]2．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．9B [从E 到G 需要分两步完成：先从E 到F ，再从F 到G .从F 到G 的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F 到G 的最短路径共有3条．如图，从E 到F 的最短路径有两类：先从E 到A ，再从A 到F ，或先从E 到B ，再从B 到F .因为从A 到F 或从B 到F 都与从F 到G 的路径形状相同，所以从A 到F ，从B 到F 最短路径的条数都是3，所以从E 到F 的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]3．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)16 [法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C 12C 24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C 22C 14＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．法二：从6人中任选3人，不同的选法有C 36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C 34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．]。