高中数学必修5(北师版)第一章数列1.6(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

必修5 第一章《数列》数列是新课程北师大版必修5第一章的教学内容，是传统的人教版第一册第三章的内容，两者比较没有太大的区别，它们的中心内容都是等差数列和等比数列，而在新课程教材中，强调了数列的函数特征，而且特别关注数列在日常生活中的应用。

下面就这两类教材《数列》章节作一粗浅的分析。

一、教材内容的对比二、教学要求对比三、教学重、难点对比新课程及传统人教版教材在《数列》这一章的重点均定在：⑴数列的概念；⑵等差数列；⑶等比数列；⑷等差与等比数列的前n项和公式及应用。

难点均为：等差、等比数列的前n项和公式的推导及公式的综合应用。

四、教材中的几处调整1、提高要求部分⑴单独设立了一节《数列的函数特性》强调数列是一例特殊的函数，把数列融在函数之中，强调函数作为一条主线贯穿之中，突出函数特性。

⑵新增《数列在日常经济生活中的应用》一节，介绍了如教育储蓄、购房贷款、买车贷款、人口增长等问题，这对帮助学生理解数列模型在实际生活中的应用是十分必要的。

⑶强调等差数列与一次函数，等比数列和指数函数的关系，并强调它们的图像对比、强化数形结合思想。

⑷强调了数列的实际应用及实际建模，让学生体会数学就在身边，不仅要学好数学，更要用好数学。

2、教材降低要求部分⑴数列的概念由理解变为了解。

⑵递推公式未提及。

⑶在数列问题中，一般只知道5个参量中的3个，求另外2个；新课程对这一类型计算的难度有所控制。

五、从教材对比分析中可看出新课程教材彰显的特色1、突出数学的应用，体现数学的本质。

高中学生已经具有了较丰富的生活经验和一定的科学知识，因此教材中选用了一些学生感兴趣的、与其实际生活密切相关的素材。

如章头语中，选用18世纪普鲁士天文学家提丢斯发现天王星和谷神星的故事；第2节数列求和中引用1998年江西九江防洪抢险题材、北京天坛圆丘；第四节数列在日常经济生活中的应用一节，引用教育储蓄、购房贷款、买车贷款等10多例与学生联系密切的素材为背景命题，这样做极大地调动了学生学习数学的积极性，同时也使学生深切感受到数学就在身边，数学的应用无处不在。

第一课时 1.1.1 数列的概念一、教学目标1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。

3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析四、教学过程（一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（二）、推进新课［合作探究］折纸问题师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数生 还有一定次序师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n 项叫数列的通项．以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列4、通项公式法:如数列的通项公式为 ；的通项公式为 ；的通项公式为 ；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列 的通项公式 ，则 ． 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一． ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？ 生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n［例题剖析］例1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1 n n ;(2)a n =(-1)n ·n师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65 (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-师 好！就这样解例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n-+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，a n ＝n ＋2)1(1n -+；(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，a n ＝(-1)n +1n (n ＋师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式（三）、学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4补充题：已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A.30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决答案：点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式。

数列知识点知识清单1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。

（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图像表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图像是一群孤立点。

（4）数列分类:①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

(6 )数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥注意：此公式较重要！！！等差数列知识点1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

§1.1.1 数列的概念本小节重点：了解数列概念、分类、通项公式；及通项公式的求法。

一、基本概念1. 数列的概念○1按一定次序排列的一列数叫数列。

注：数列的另一定义：数列也可以看做是一个定义域为正整数集，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

○2数列中的每一个数按顺序1，2，3，…，都有一个序号，叫作项数，每一个序号也对应着一个数，这个数叫作数列中的项，例如第4个数，叫作第4项，第n个数，叫作第n项，记作;○3数列的一般形式为，，，…，，…简单记为，其中表示数列的通项. ○4通项公式：如果一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式表示时，我们称这个公式为这个数列的通项公式。

特别提示：a) 数列的通项公式不是唯一的，例如：-1，1，-1，1，…通项公式可表示为或;b) 不是所有的数列都有通项公式，例如：3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…就没有通项公式.○5递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系式可以用一个公式来表示，则这个公式就叫作递推公式。

2. 数列的表示方法○1列表法，指列出表格来表示数列的第n项与序号n之间的关系.○2图像法，指在坐标平面中用点表示.○3解析法，指用一数学式子表示来。

例如：常用的通项公式.3. 数列的分类○1按数列中项数的多少来分：有穷数列和无穷数列.○2按数列中相邻两项间的大小关系来分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.○3按照任何一项的绝对值是否都大于某一正数来分：有界数列和无界数列.二、例题讲解例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)，，，，… (2) 1,3,6,10,15,…(3) ,,,,… (4) 6,66,666,…(5),,,,…(6) ,,,,,,…或特别提示：在此种题型当中一些常用的数列为：1)1，0，1，0，…; 2)-1,1,-1,1,…; 3)1,11,111,1111,…例2. 已知数列,(1)求数列的第10项(2)是否为该数列的项，为什么？(3)求证：数列中各项都在区间内；(4)在区间内有无数列中的项？例3. 利用递推公式写出下列各题通项公式(1)(可用两种方法)(2)已知数列满足求(3)(插项法和叠加法组合)(4)在数列中,已知,(5)设是首项为1的正数数列，且,求它的通项公式.（累乘法）(6)已知数列中，，数列中，,当时，,求例4.求下列数列中某一项(1)已知数列满足,求(2)已知数列对任意,有,若，求(3)在数列中，,求(4)已知数列满足,求例5.利用数列的单调性解答(1)若数列的通项公式,数列的最大项为第x项，最小项为第y项，则x+y=(2)设数列的通项公式为,若数列是单调递增数列，求实数k的取值范围.(3)设,又知数列的通项满足,1)试求数列的通项公式;2)判断数列的增减性.(4)设是定义在正整数集上的函数，且满足,如果,则=例6. 和之间的关系注：数列的通项与前n项和的相互关系是：;(1)已知数列的前n项和,求数列的通项公式.(2)已知求(3)已知,又数列中，，这个数列的前n项和的公式，对所有大于1的自然数n都有.1)求数列的通项公式.2)若, 求的值特别提示：请同学自行归纳出求通项公式的基本方法.。

北师大版高中数学必修五第一章数列小结与复习教案一、数列的概念及相关知识点1.数列的定义：按照一定的顺序排列的一组数。

2.数列的表示：一般表示为{a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...}或者(a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...)，其中a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...依次称为数列的项，a₁称为数列的首项，aₙ称为数列的第n项。

3.数列的分类：-等差数列：差值相等的数列，常用公式：aₙ=a₁+(n-1)d。

-等比数列：比值相等的数列，常用公式：aₙ=a₁q^(n-1)。

-幂次数列：各项是公比的幂次方的数列。

-斐波那契数列：前两项为1，从第3项开始，每一项都等于前两项的和。

-拍数列：数列以递增或递减的方式排列，常用公式：aₙ=a₁+(n-1)bₙ。

4.数列的前n项和：-等差数列：Sₙ=(a₁+aₙ)*n/2-等比数列：Sₙ=(a₁*(q^n-1))/(q-1)，当，q，<1时，Sₙ=a₁/(1-q)。

-幂次数列：Sₙ=(aₙ*q-a₁)/(q-1)。

-斐波那契数列：Sₙ=Fₙ₊₂-1-拍数列：Sₙ=(n*(a₁+aₙ))/2二、数列的综合性题目解法与常用技巧1.求等差数列的和时，如果不能确定Sₙ的公式，则可以考虑用递推公式Sₙ=Sₙ₋₁+aₙ来求解。

2.求证一些结论时，可以尝试先计算前几项得出猜想，然后再进行严格的数学证明。

3.涉及等差数列与等差中项，常使用等差中项的性质：中项等于首项与末项的平均数。

4.利用等差数列的性质进行特殊的构造：例如构造等差数列a,a+d,a+2d，可以进行各种相加，相减和相乘操作。

5.利用平方差公式代数化简计算等差数列时，注意式子的变换与运算。

6.求证题目中如果存在级数或者级数之差的求和，可以考虑用数学归纳法进行证明。

三、教学重点与难点1.教学重点：数列的基本概念与常见分类，数列的各种公式与常用技巧，数列的前n项和公式的推导。

2.教学难点：利用数列的概念与公式解决实际问题，数学证明的推导与展示。

北师大版必修5知识点总结1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．2、正弦定理的变形公式：，，；，，；；．（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

）⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

（一解、两解、无解三中情况）3、三角形面积公式：．4、余弦定理：在中，有，，．5、余弦定理的推论：，，．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。

2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设、、是的角、、的对边，则：若，则；若，则；若，则．等差数列1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:。

注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数2、由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．3、若等差数列的首项是，公差是，则．4、通项公式的变形：；；；；．5、若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．6、等差数列的前项和的公式：；．③23、等差数列的前项和的性质：若项数为，则，且，．若项数为，则，且，（其中，）．等比数列1、如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).3、在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．（注：由不能得出，，成等比，由，，）4、若等比数列的首项是，公比是，则．5、通项公式的变形：；；；．6、若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．7、等比数列的前项和的公式：①．②8、对任意的数列{}的前项和与通项的关系：[注]：①（可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{}前n项和→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若不为零，则是等差数列的充分条件.③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）附：几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前项和为，在时，有最大值. 如何确定使取最大值时的值，有两种方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列前n 项和公式对应函数 等差数列（时为二次函数） 等比数列（指数型函数）⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。

第十四课时 第一章 数列小结与复习（二）一、教学目标：1、知识与技能：⑴熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题；⑵提高运算速度和运算能力。

2、过程与方法：⑴精选例题，通过对例题的分析与探究，优化解题步骤；⑵在优化解题步骤的过程中提高运算速度与运算能力。

3、情感态度与价值观：⑴在理解题意、探索思路的过程中学会思考，培养敢于思考、善于思考的思维品质；⑵在解决问题的过程中，学会快速地运算、严密地推理、精确地表达，增强速度意识、效率意识。

二、教学重点 熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤.教学难点 解题思路和解题方法的优化. 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、导入新课师 这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、等比数列的综合问题.首先我们再来明确一下有哪些问题.生 (1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a 1,a n ,d (q ),n ,S n “知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用.师 是的，这是我们前一节课中已经归纳出来的应用本章知识要解决的问题.我们前一节课上已经探讨了几个典型例题，本节课我们进一步探讨. （二）、推进新课师 出示投影胶片1：例题1【例1】 已知公差不为零的等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1=1，a 2=b 2，a 8=b 3，试问：是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由. ［合作探究］师 这道题涉及到两个数列｛a n ｝和｛b n ｝之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究a n ，b n 的性质，应该先抓住数列中的什么量？生 由于｛a n ｝是等差数列，{b n }是等比数列，所以应该先抓住基本量a 1、d 和q由已知a 1=b 1=1，a 2=b 2,a 8=b 3，可以列出方程组⎩⎨⎧=+=+2711qd q d 解出d 和q ，则a n ,b n 就确定了师 如果a n 和b n 确定了，那么a n =log a b n ＋b 就可以转化成含有a ，b ，n 的方程，如何判断a ，b 是否存在呢？生 如果通过含有n ，a ，b 的方程解出a 和b ，那么就可以说明a ，b 存在；如果解不出a 和b ，那么解不出的原因也就是a 和b 不存在的理由师 分析得很好.让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？ 解：设等差数列｛a n ｝的公差为d (d ≠0)，等比数列｛b n ｝的公比为q ，则⎩⎨⎧=+=+.71,12q d q d 解得d =5，q =6.所以a n =5n -而b n =6 n -1，若存在常数a ，b ，使得对一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立，即5n -4=log a 6 n -1＋b即5n -4=(n -1)log a 6＋b即(log a 6-5)n ＋(b -log a 6＋4)=0.对任意n ∈N *都成立只需⎩⎨⎧=+-=-046log 056log a a b 成立解得a =661,b =1.所以存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立师 本题的关键是抓住基本量：首项a 1和公差d 、公比q ，因为这样就可以求出a n 和b n 的表达式.a n和b n 确定了，其他的问题就可以迎刃而解可见：抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键师 出示投影胶片2：例题2：【例2】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值. ［合作探究］师 对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解请学生读题，并逐句分析已知条件生甲 由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S 3=300，即如果设原计划三年的产值分别为x -d ，x ，x ＋d ,则x -d ＋x ＋x ＋d生乙 由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x -d ＋10， x ＋10，x ＋d ＋11，则(x ＋10)2=(x -d ＋10)(x ＋d ＋师 甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x ，d .板 书：解：设原计划三年的产值为x -d ，x ，x ＋d ，则实际三年产值为x -d ＋10，x ＋10，x ＋d ＋⎩⎨⎧+=+++-=+++-.)10()11)(10(,3002x d x d x d x x d x 解得x =100，d =10，x -d =90,x +d答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元.师 等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清a n 和S n ，抓住基本量a 1，d (q )，再调用有关的概念和公式求解师 出示投影胶片3：例题3：【例3】 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，数列{a kn }是公比为q 的等比数列，且k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值. ［合作探究］师 题目中数列{a k n }与{a n }有什么关系？ 生 数列{a k n }的项是从数列{a n }中抽出的部分项师 由已知条件k 1=1，k 2=5，k 3=17可以知道等差数列{a n }中的哪些项成等比数列？ 生 a 1，a 5，a 17成等比数列师 要求的k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值，实质上求的是什么？ 生 实质上就是求数列{k n }的前n 项和师 要求｛k n ｝的前n 项和，就要确定数列{k n }的通项公式.应该从哪儿入手？ 生 应该从求等比数列{a k n }的公比入手.其公式为15a a师 a 5，a 1要由等差数列｛a n ｝的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d 和a 1了生 如果设等差数列{a n }的公差为d ，那么a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d ，由于a 1，a 5，a 17成等比数列，则有(a 1＋4d )2=a 1(a 1＋16d )，从而a n 应该可以求出了师 请同学们把刚才的分析整理出来(投影胶片4)解：设数列｛a n ｝的公差为d ，d ≠0，则a 5=a 1＋4d ，a 17=a 1＋16d 因为a 1，a 5，a 17成等比数列，则 (a 1＋4d )2=a 1 (a 1＋16d )，即2d =a 1d又d ≠0，则a 1=2d所以a n =a 1＋(n -1)d =2d ＋(n -1)d =(n ＋1)d因为数列{a k n }的公比为q ，则3)11()15(15=++==dda a q所以a k n =a k 1·3 n -1=a 1·3n -1=2d ·3n -1.又a k n =(k n +1)d ,则2d ·3 n -1＝(k n +1)d .由d ≠0，知k n =2·3 n -1-1(n∈N *).因此，k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n =2·3 0-1＋2·31-1＋2·32-1＋…＋2·3n -1-1=2(30＋31＋32＋…＋3n -1)-n =2·133-n -n =3n -n -1.师 此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的师 出示投影胶片5：例题4.【例4】 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝(1)求数列{bn }的通项b n ；设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与3log 1+n a b 的大小，并证明你的结论. ［合作探究］师 数列{b n }的通项容易求得，但是它是攀上这个题目的顶端的第一个台阶，必须走好这一步请同学们快速准确地求出b n生 快速求解(1)解：设数列{b n }的公差是d ，由题意得b 1＝b 1＋21×10×(10-1)d ＝解得b 1＝1,d ＝∴b n ＝3n -师 在下一个问题中，数列{a n }与数列{b n }具有什么关系呢？数列{a n }具有什么特征？ 生 数列{a n }是由数列{b n }生成的一个新的数列？ 由a n ＝log a (1＋n b 1)＝log a (1+231-n )，可知数列{a n }不是特殊数列师 题中比较S n 与3log 1+n a b 的大小，你现在能作出预料吗？ 生 不能，S n 是什么样子还不清楚.需要得出S n ，才能进一步思考师 那就请同学们先把S n 求出来生 写出S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n＝log a [(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n发现式中的那个积不太好处理师 能不能现在就和3log 1+n a b 联系起来思考一下？要比较两式大小实质是什么？生 因为3log 1+n a b =log a 313+n ，所以实质上就是在同底数的前提下，比较真数的大小师 分析的很好.那么真数的大小如何比较出来？ 生 陷入沉思，深入思考后，提出自己的想法师 这个大小的比较有一定的难度，下面我们从不同的途径来解决这个问题(投影胶片6)(2)解:由b n ＝3n -2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋41)＋…＋log a (1＋231-n＝log a [(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n3log 1+n a b =log a 313+n 因此要比较S n 与3log 1+n a b 的大小，可先比较(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )与313+n 的大小取n ＝1，有(1＋1)＞3113+⨯取n ＝2，有(1＋1)(1+41)＞3123+⨯由此推测(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b(对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考下面对(*)式加以证明： 证法一：记A n ＝(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )(1+131+n )=21×45×78×…×2313--n nD n ＝313+n再设nn C n n B n n 313...9106734,133...895623+⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯=∵当k ∈N 时，121+++k k k k ＞恒成立， 于是A n ＞B n ＞C n .∴A n 3＞A n ×B n ×C n ＝3n ＋1＝D n 3.∴A n ＞D n即(1＋1)(1＋41)…(1＋231-n )＞313+n 成立由此证得：当a ＞1时，S n ＞3log 1+n a b当0＜a ＜1时，S n ＜3log 1+n a b证法二：∵2313...710471413-+⨯⨯⨯⨯=+n n n因此只需证1＋231-k ＞332313-+k k 对任意自然数k 成立即证2313--k k ＞332313-+k k ,也即(3k -1)3＞(3k ＋1)(3k -2)2,即9k ＞该式恒成立，故1＋231-k ＞332313-+k k取k ＝1，2，3，…n 并相乘即得A n ＞D n .师(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等.有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用（三）、课堂小结：等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a 1，d (q )，充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒（四）、布置作业：复习参考题一 A 组15、16 B 组7 C 组1、2五、教后反思：。