例谈求阴影部分面积的几种常见方法

例谈“面积问题”在中考数学中的应用许世文近年来，全国各地中考卷中频频出现“面积问题”的试题，成为中考数学卷中的一个亮点，“面积问题”题型较多，直接求解，计算繁杂，甚至无法求解，应采用一定的技巧，化难为易，巧算面积，下面，本人就以2006、2007年各地中考卷中的试题为例，谈谈“面积问题”的求解方法。

一、割补法例1（2007年乐清市中考题）如图1，以BC 为直径，在半径为2，圆心角为的扇形内作半圆，交AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是A. B. C. D.分析：观察图形，可以适当进行“割”与“补”，从而组合成便于计算的几何图形，根据此图的条件，只要把弓形CD 与弓形BD 互换，即把弓形CD “割”下来“补”到弓形BD 上，则阴影部分的面积就等于扇形ABC 的面积减去△ADC 的面积，故选A 。

练习1（2007年乐山市中考题）如图2，半圆的直径AB=10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于___________。

二、变换法有些不规则几何图形的面积，可以通过几何图形的变换——平移、旋转、翻折等，化不规则为规则，求解起来较为方便。

（一）平移法例2（2006年东莞市中考题）下面是两位同学关于配有如图3的一道题目的争论：甲：“这道题不好算，给的条件也太少了！”乙：“为什么这么说？”甲：“你看，题目只告诉我们AB 的长度等于24，却要求出阴影部分的面积！事实上我连这两个半圆的直径各是多少都不知道呢。

”乙：“那，不过AB 可是小半圆的切线，而且它和大半圆的直径也是平行的呀！”甲：“那也不顶用，我看一定是出题人把什么条件给遗漏啦！”请问，真是甲说的这么回事吗？如果不是，你能求出阴影部分的面积来吗？︒901-π2-π12-π221-π分析：只要将小半圆向左平移至大、小半圆圆心重合的特殊位置时，已知条件就能充分利用，阴影部分的面积就能用整体思想解决。

解：甲说的不对，根据现有条件能求出阴影部分的面积，如图4，连结OC 、OB ，则OC ⊥AB ，CB=12，所以。

例谈旋转数学思想解小学数学题三角形为直角三角形，如图中空白部分为正方形，阴影部分三角形斜边为12和 18，求阴影部分面积？这是一道小学五六年级的面积计算题，大家的很多答案尽管算出了结果，却容易误导孩子。

勾股定律是初中才学习的内容。

数学我们不仅要结果正确，还需要计算过程尽量简洁明了。

更简洁的证明过程如下，逆顺时针旋转上面斜边为12的三角形90°，两个阴影三角形组成了一个大的直角三角形。

所以阴影面积=新直角三角形面积=底×高÷2=12×18÷2=108到以后我们学了勾股定理后，设竖着的这条直角边长a+x，横着的直角边长b+x，正方形边长x因为正方形各边平行且相等所以内错角相等，两个阴影的三角形和大三角形是相似三角形（a+x）/a=（18+12）/12x/a=18/12 a=2x/3同理x/b=12/18 b=3x/2阴影部分面积为：（ax+bx）/2即（三分之二x2加二分之三x2）/2=x2×13/12根据勾股定理列等式（a+x）2+（b+x）2=（12+18）2将a=2x/3 b=3x/2带入方程，解出x值舍掉负值或者解除x2的值带入阴影面积公式中即可得到阴影面积。

《给动物分类》教学反思一、活动目标1．知道分类是一种认识事物的基本方法。

2．能运用观察、描述、比较、分类等方法。

知道有些动物的外观和行为方式是相似的，有些却大不相同。

3．能简要讲述探究过程与结论，并与同学讨论、交流。

愿意倾听、分享他人的信息。

乐于表达、讲述自己的观点。

4．意识到运用分类的方法可以更好地认识动物。

二、活动重难点1．知道有些动物的外观和行为方式是相似的，有些却大不相同。

2．通过分类让学生建立对生物多样性的初步认识。

三、反思1．用动物图片在黑板上呈现分类过程。

学生分组活动也要准备各种动物图片，并且图片下方要留有空白，这样便于统一编号。

2．先复习第一单元中学习过的分类方法，再进入新课，这样既有衔接又易于固化分类的方法。

求圆的阴影面积和周长圆是几何学中最基本的图形之一，它具有许多有趣的性质和应用。

在本文中，我们将讨论圆的阴影面积和周长，并且提供一些计算方法和实际应用的指导。

首先，让我们来了解一下圆的定义。

圆是由一个连续的点组成的，这些点与一个固定点的距离是相等的。

这个固定点称为圆心，距离被称为半径。

圆可以在平面上任何位置，不过在计算阴影面积和周长时，我们通常使用标准的圆形。

阴影面积是圆在光照下产生的暗部的面积。

想象一下，当太阳光投射到一个圆形物体上时，它在圆的背面产生了一个阴影。

阴影面积可以通过将整个圆的面积减去光线照射到的部分来计算出来。

圆的面积公式是πr²（其中，π约等于3.14，r为圆的半径）。

因此，阴影面积可以表示为A = πr² - 光线照射到的部分的面积。

接下来，让我们谈谈圆的周长。

周长是圆形物体边界的长度。

描述一下，就是画一条线沿着圆的外部边界走一圈，这条线的长度就是圆的周长。

圆的周长公式是2πr。

其中，π约等于3.14，r为圆的半径。

计算圆的阴影面积和周长可以通过以下步骤来完成：1. 确定圆的半径：测量或已知圆的半径大小。

2. 使用公式计算阴影面积：使用公式A = πr²计算圆的面积。

3. 确定光线照射的部分：根据实际情况确定光线照射到的部分的面积。

4. 计算阴影面积：将整个圆的面积减去光线照射到的部分的面积，得到阴影面积。

5. 使用公式计算周长：使用公式C = 2πr计算圆的周长。

圆的阴影面积和周长在生活中有许多应用。

例如，在建筑设计中，当考虑建筑物遮阳和采光的影响时，需要计算圆的阴影面积。

此外，圆的周长用于计算各种环形物体的长度，如车轮、圆形跑道、自行车轮胎等。

总结起来，圆的阴影面积和周长是计算圆形物体的重要指标。

通过了解圆的定义和相应的公式，我们可以准确计算阴影面积和周长，并将其应用于日常生活和实际问题中。

初中数学求阴影部分面积试题专项训练在中考中，频频出现求阴影部分图形的面积的题目，而其阴影部分图形大多又是不规则的，部分同学乍遇这类题目则显得不知所措.下面将分类例谈这类问题的解法：一.直接法：当已知图形为我们熟知的基本图形时，先求出涉及适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算。

例1.如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=3，以BC 的中点E为圆心的MPN与AD相切于P，则图中的阴影部分的面积为（）A 23π B34π C3π D3π图1 图2二.和差法：即是把阴影部分的面积转化为若干个图形面积的和、差来计算。

例2，如图2，正方形ABCD的边长为a，以A为圆心，AB为半径画BD，又分别以BC和CD为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为_______.三.割补法：即是把阴影部分的图形通过割补，拼成规则图形，然后再求面积。

例3，如图3(1)，在以AB为直径的半圆上，过点B做半圆的切线BC，已知AB=BC=a，连结AC，交半圆于D，则阴影部分图形的面积是______.第 1 页共9 页图3练习：1、如图1，将半径为2cm的⊙O分割成十个区域，其中弦AB、CD 关于点O对称，EF、GH关于点O对称，连接PM，则图中阴影部分的面积是_____cm2（结果用π表示）．2、如图2，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为_______．3、如图3，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6cm，把△ABC以点B为中心旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处，那么AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是_______cm2（不取近似值）．四.整体法：例4.如图4,,,,,A B C D E相互外离,它们的半径都是1,顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是( ) A.π B.1.5π C.2π D.2.5π图4五.等积变形法（思想：）把所求阴影部分的图形适当进行等积变形，即是找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分图形的面积。

第一讲不规则图形面积的计算（一）1．如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

2．如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.3．两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。

如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。

4．如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=13CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.5．如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘6．如右图，已知：S△ABC=17．如下页右上图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？8．如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.9．如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.习题一一、填空题（求下列各图中阴影部分的面积）：二、解答题：1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE.求阴影部分面积。

2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN（阴影部分）的面积.3.如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米.求CE的长。

4.如右图，已知CF=2DF，DE=EA，三角形BCF的面积为2，四边形BEDF的面积为4.求三角形ABE的面积.5.如右图，直角梯形ABCD的上底BC=10厘米，下底AD=14厘米，高CD＝5厘米.又三角形ABF、三角形BCE和四边形BEDF的面积相等。

求三角形DEF的面积.6.如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米.求长方形的长、宽各是多少？7.如右图，有一三角形纸片沿虚线折叠得到右下图，它的面积与原三角形面积之比为2：3，已知阴影部分的面积为5平方厘米.求原三角形面积.8.如右图，ABCD的边长BC=10，直角三角形BCE的直角边EC长8，已知阴影部分的面积比△EFG的面积大10.求CF的长.第二讲不规则图形面积的计算（二）1．如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。

求不规则图形面积的几种方法作者：白福花来源：《内蒙古教育·基教版》2012年第03期摘要：初三学习弧长及扇形的面积，在计算阴影部分的面积过程中，常遇到一些平面不规则图形的面积计算问题，对这类试题由于图形的不规则使学生在求解时往往感到茫然，不知所措；然而这类试题又能开发学生智力，能体现对数学思想方法、思维能力素质的考查，本文将结合具体实例谈谈把不规则图形的面积计算问题通过变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等方法，转化成规则图形面积的计算问题。

关键词：不规则图形面积求法一、割补法割补法是求解平面不规则图形面积问题最常用的方法之一，它包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二是粘补原有图形为规则图形；三是分割粘补兼而有之。

例1：当汽车在雨中行驶时，为了看清楚道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器。

如图1-1是某汽车的一个雨刷器的示意图，雨刷器杆AB与雨刷器CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积是多少呢？小明仔细观察了雨刷器的转动情况量得CD=80cm，∠DBA=20°，端点C、D与点A的距离分别是115cm、35cm，他经过认真思考只选用了其中的部分数据就求得了结果，你知道小明是怎样计算的吗？也请你算一算雨刷CD扫过的面积 ______cm2 （π取3.14）略解，由于CD和AB在点B处固定连接（不能转动），所以在整个运动过程中，就有AC=AC′=115cm，AD=AD′=35cm，CD=CD′=80cm，因此△ACD≌△AC′D′，把△AC′D′割下，粘补到△ACD的位置（图1-2），则雨刷CD扫过的面积，就等于以A为圆心，AC、AD为半径的两个圆的面积差。

注：在应用割补法求解问题时，往往要综合应用“分割”与“粘补”两种技能方法兼用，对思维的灵活性和严密性有着较高的要求。

二、重叠法重叠法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”解决的一种方法。

公务员考试辅导教程行政职业能力测试数量关系—数字推理解题关键点：1、2、3、一、要想很好的解决数量关系-数字推理问题首先要了解掌握简单数列知识.1、应掌握的基本数列自然数列：1，2，3，4，5，6，7……①奇数列: 1，3，5，7，9,11……②偶数列：2，4,6，8，10,12……③自然数平方数列：1,4，9,16，25，36……④自然数立方数列:1，8，27,64，125，216……⑤等差数列:1,6，11，16,21，26……⑥等比数列：1，3，9，27，81，243……⑦2、应掌握基本数列的一些基本变化：1、例题:2，7,14，23,34，472、例题：0,4，18，48，100，1803、例题：2,12，36,80，150，252二、题型讲解(一)、等差数列1、等差数列：是数字推理最基础的题型，是解决数字推理的“第一思维”。

例题:36,32，28,( ），202、二级等差数列：例题1:18，20，24，30，（ ）,48例题2：1/3，4/5，1，16/17，（ )3、二级等差数列的变式:变式三：变式四：变式五：（二）、等比数列1、等比数列：1、典型和数列：2121、典型平方数列（递增或递减）：Array212、立方数列变式：1、数列间隔组合无理式：-1，，，，( ）质数列：规律顺序：1、新题型训练例题1:1 11 21 1211 111221 （ ） 例题2：例题3：例题4：2、敏感度练习数量关系—数学运算题型讲解（一）、四则运算、平方、开方基本计算题型1、1235×6788－1234×67892、×（4。

85÷－3。

6＋6。

15×3）3、12。

5×（36－7)÷3。

64、9039030÷430435、2002×20032003－2003×20020026、2004×200520052005－2005×2004200420047、（1＋0。

例谈假设方法解题的技巧
是4÷5%=80(个)零件，甲的任务是140-80=60(个)零件。

同理，也可以假设分率均为75%来解答。

三、假设变化的量为不变的量
四、假设真实的“情节”为虚设的“情节”
例4 甲、乙两人合做一项工作，12天可以完成。

中途甲因故停工5天，因此共用15天才完成。

这项工作由甲独做，需要多少天才能完成?
五、假设一般条件为特殊条件
例5 求阴影部分的面积。

（单位：分数）
分析：要求阴影部分的面积，一般解法是用梯形ABCD的面积减去三角形ABE的面积，但是题目中没有告知梯形上底(即三角形底边)的长度，用这种解题思路无法求解。

由于等底等高的任何形状三角形的面积都相等，所以我们可以将题目中的一般条件假设为特殊条件，即假设三角形ABE的顶点E 在梯形下底的一个端点C(或D)处，则三角形ABE与三角形ABC的面积相等。

因此，三角形ACD与阴影部分的面积也相等，即阴影部分的面积为=20(平方分米)。

求阴影面积的巧妙解法有很多，以下是一些常见的方法：
1. 平移法：将不规则的阴影部分通过平移、旋转等方式转化为规则图形，然后计算其面积。

2. 割补法：将阴影部分分割成若干个规则图形，然后计算它们的面积之和。

3. 等积变形法：通过等积变形，将阴影部分转化为与之等积的规则图形，然后计算其面积。

4. 容斥原理法：利用容斥原理，将阴影部分的面积转化为若干个规则图形的面积之差或和。

5. 比例法：利用相似三角形的性质，通过比例关系求出阴影部分的面积。

这些方法都需要根据具体的图形特点进行选择和运用，需要灵活运用数学知识和思维能力。

小升初数学阴影部分面积的解题策略”教学的重点和难点，也是小升初数学试题命题的热点。

有关阴影部分面积的计算不会只是简单地求某个单一图形或者是规则图形的面积，而是将三角形、正方形、长方形、梯形、圆、扇形等多种图形进行组合，求组合后形成不规则图形阴影部分的面积。

这给小学生学习阴影部分面积带来一定困难，下面借助图形的运动和图形的割补，将不规则图形转化为规则图形，从而达到解决问题的目的。

一、和差法把所求阴影部分图形转化为若干图形面积的和或差来计算。

1、圆与正方形的组合例题1、如图1，已知正方形的边长为4cm,求图形阴影部分的面积。

分析：阴影部分图形是由边长为4cm的正方形和直径为4cm的半圆组成，即图形阴影部分的面积等于正方形的面积与半圆的面积之和。

解：S阴影=4×4＋×3.14×22=22.28(cm2)2、圆与三角形的组合图1例题2、（2015年云南楚雄）如图2，求阴影部分的面积。

分析：阴影部分的面积等于直径为6cm的半圆面积减去一个三角形的面积，三角形的底是半圆的直径6cm，高是半圆的半径3cm。

图2解： S阴影=×3.14×32-（6×3）÷2 =5.13(cm2)3、圆与梯形的组合例题3、（2011年云南楚雄）如图3所示，已知圆的半径为5厘米，梯形的下底是9厘米，求阴影部分的面积。

图3分析：阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去四分之一圆的面积，圆的半径为5厘米，直角梯形的高和上底都是5厘米。

解：S阴影=（5＋9）×5÷2－×3.14×5２ =35－19.625=15.375（cm2）4、圆与四叶草的组合例题4、如图4，正方形的边长为4cm，求阴影部分（四叶草）的面积.分析：阴影部分是一个四叶草图案，先画正方形的两条对角线，则阴影部分面积等于一个半圆的面积减去一个三角形的面积的4倍。

解：S阴影=（ 3.14×22－4×2÷2）×4=（6.28-4）×4=9.12（cm2）图4二、割补法根据阴影部分图形的特点，将组合图形利用分割或补形的方法将不规则图形转换为梯形、长方形、三角形、正方形、圆形等规则图形，再求面积。

求阴影部分的面积的方法
高汉民
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2004(000)002
【摘要】由圆弧及线段构成的图形，大多数与扇形图形有关，因此我们在解答此类问题时，应多考虑从该图形与扇形图形的关系中寻找解题思路．
【总页数】3页(P18-20)
【作者】高汉民
【作者单位】东莞市虎门四中523901
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.线与面的碰撞--以“求阴影部分的周长和面积”为例 [J], 伊秀君
2.例析求阴影部分面积 [J], 仝林辉;
3.求阴影部分面积的几种常用方法 [J], 李华
4.求图形阴影部分面积的几种特殊方法 [J], 刘运宜
5.另辟蹊径有效引导化繁为简——例谈求阴影部分面积的方法 [J], 孙小军
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

三角形中线的应用例谈湖北省孝感市洑水初中 王官清三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。

三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。

如图1，连接三角形ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得线段AD 叫△ABC 的边BC 上的中线。

∴BD=CD=21BC . A E ⊥BC 于E ，即AE 是△ABC 的边BC 上的高。

同时AE 也是△AB D 、△ACD 的高。

根据三角形的面积公式，三角形ABC 的面积为，即.△AB D 、△ACD 的面积可表示为：，，所以△AB D 、△ACD 的面积相等，都等于△ABC 面积的一半。

结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。

例1.如图2，AD 、BE 是△ABC 的两条中线。

AD 、BE 交于G ，试比较△BG D 和△AGE 面积的大小。

析解：因为AD 、BE 是△ABC 的两条中线，根据结论一，三角形ADC 的面积等于三角形ABC 的面积的一半，三角形BCE 的面积也等于三角形ABC 的面积的一半。

所以=，所以，即.所以△BG D 和△AGE 的面积相等。

引申：连接GC ，则GD 是三角形GBC 的中线，GE 是三角形AGC 的中线，根据上面结论一，有，，而，所以，，所以结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三角形的面积等于这个三角形面积的31. 例2.如图3-1，正方形ABCD 的 边长为1，E 、F 分别是AB 、BC 边上的中点，求图中阴影部分的面积。

分析：图中阴影部分是不规则四边形，须作辅助线转化为规则四边形或三角形。

更重要的是要考虑中点的运用。

解：如图3-2，连接BD ，则三角形BCD 的面积= ,根据上述结论二，△ BOD 的面积等于△BCD 的面积的， 即，∴阴影部分的面积=.点评：求不规则图形的面积往往是作辅助线转化为三角形加以分析。

图中三角形BDO 的面积是和三角形BDC 的中线有关的，记住上面的两个结论，能够迅速巧妙的求解此题。

例谈求阴影部分面积的几种常见方法【专题综述】在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．本文举例介绍解决这类问题的常见方法．【方法解读】一、直接求解法例1 如图1，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，AD变到AD1位置，折痕为AE．再将△AED1以D1E为折痕，向右折叠，AE变到A1E位置，且A1E交BC于点F．求图中阴影部分的面积．分析因为阴影部分是一个规则的几何图形Rt△CEF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积．解如图1，根据对称性可得AD＝AD1＝A1D1＝6．由已知条件易知：EC＝D1B＝4，BC＝6；Rt△FBA1∽Rt△FCE．设FC为x，则FB＝6－x．二、间接求解法例2 如图2，⊙O1与⊙O2外切于点C，且两圆分别和直线l相切于A、B两点，若⊙O1半径为3cm；⊙O2半径为1cm，求阴影部分面积．分析这是求一个不规则图形的面积，没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法，设法转化为规则图形的面积的和或差去计算．三、整体合并法例3 如图3，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求三个阴影部分面积之和．分析所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道，所以无法单独求解，但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是△ABC的三个内角，其和为180°，而扇形半径都相等，所以三个扇形能合并成一个半圆．于是问题获解．解如图3，因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是180°，所以其面积就是半圆面积．四、等积变换法例4 如图4，A是半径为R的⊙O外一点，弦BC为3R，OA∥BC，求阴影部分面积．分析本题的阴影部分是不规则的图形，求其面积较困难，但灵活运用等积变换，就可以把它的面积转化为扇形OBC的面积，从而获解．解连接OC，OB，五、分割法例5 如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，求阴影部分面积．分析阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和．解如图5，连接CD．∵AC、BC是直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴A、D、B三点共线．设阴影部分面积被分割为S1、S2、S3、S4四部分．则六、转化法例6如图(1)，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于点F，且AB∥CD，AB ＝4cm，求阴影部分面积．分析如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形．但要采取转化思想，把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB于点E．连接OB，可知BE＝2cm，阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆的面积．解如图(2)，将小半圆O1移至与大半圆圆心重合，作O E⊥AB于点E，则BE＝12AB＝2cm．设大圆半径为R，小圆半径为x，在Rt△OEB中，有七、割补法例7 如图7，点P(3a，a)是反比例函数y＝12x与⊙O在第一象限内的一个交点，求阴影部分的面积．分析阴影部分分两部分，难于逐一求解，但考虑反比例函数的对称性，结合割补原理，问题变得特别简单．解如图7，把右上角的S1部分分割下来，移到左下方补在S3处，与S2就组成了一个扇形OAB．易知：∵P(3a，a)在反比例函数y＝12x的图象上，∴3a＝12a．解得：a1＝2，a2＝－2（舍去）．∴P坐标为(6，2)．连接OP，作PC⊥x轴于点C，得：八、方程建模法例8如图8，正方形边长为a，以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积．分析本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单．解正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图8，设一个阴影花瓣面积为x，一个空白图形面积为y．根据题意得：因此阴影部分面积为．222aaπ-．【强化训练】1．（2017内蒙古包头市）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=42，则图中阴影部分的面积为（）A．π+1B．π+2C．2π+2D．4π+12．（2017四川省凉山州）如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为2的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（）A．1B．12C．2D．223．（2017四川省资阳市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为（）A．1312πB．34πC．43πD．2512π4．（2017衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积是（）A．252πB．10πC．24+4πD．24+5π5. （2017云南省）如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、F、G、H．则图中阴影部分的面积为．6．（2017吉林省）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画BE，CE．若AB=1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．7. （2017四川省达州市）如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=33，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=92CE；④32S阴影．其中正确结论的序号是．8. （2017湖北省恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，以直角边AB为直径作半圆交AC于点D，以AD为边作等边△ADE，延长ED交BC于点F，BC=23，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）9. （2017内蒙古赤峰市）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD 与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．（1）求证：A M是⊙O的切线；（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．10．（2017新疆）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．。

另辟蹊径有效引导化繁为简——例谈求阴影部分面积的方法作者：孙小军来源：《小学教学参考·中旬》 2018年第12期［摘要］切割填补法、容斥原理法、等积转化法、旋转移动法、重新构图法等是将一般图形转化为特殊图形常用的方法，这些方法能使抽象问题具体化、复杂问题简单化，提高学生的数学素养，值得教师重视。

［关键词］几何图形；转化；一般；特殊；构图求稍复杂的阴影部分的面积，是小学“图形与几何”的重点和难点。

解决这类问题关键在于因题制宜，将一般图形转化为特殊图形。

常用方法有以下五种。

一、切割填补法切割填补法是通过观察阴影部分与整体图形之间的关系，添加辅助线，切割某个部分填补整体，从而使不规则图形变为规则图形。

这一方法最为常用、最具代表性，也最为简单有效。

【例1】如图1，四分之一圆的半径为10厘米，以它的两条半径为直径，在内部作两个半圆，求阴影部分的面积。

分析：图1中的阴影部分比较规则，观察它的特征，发现通过添加辅助线进行切割，再整体填补，图1的阴影部分就转化为图2中的阴影部分，所以所求阴影部分的面积实际就是等腰直角三角形（如图2阴影部分）的面积：S=10×10÷2=50（平方厘米）。

二、容斥原理法对于比较规则的图形，用切割填补法虽然也能解决问题，但是却大费周折、浪费时间。

这时运用容斥原理法，可以省时省力，事半功倍。

【例2】如图3，正方形的边长为8厘米，求图中阴影部分的面积。

分析：图3是正方形中套着四个半圆，四个半圆相加就得到2个完整的圆，在这个过程中每个阴影部分被加了两次，减去一个正方形，正好得到阴影部分的面积，那么阴影部分的面积就是S=3.14×4×4×2-8×8=36.48（平方厘米）。

【例3】求图4阴影部分的面积。

（单位：厘米）分析：图4是由直径为6厘米和8厘米的两个半圆和一个直角三角形组成的，单独求阴影部分面积比较困难。

认真观察图形后发现，阴影部分的面积等于直径是6 厘米和8厘米的两个半圆加一个直角三角形的面积减去直径是10厘米的大半圆的面积，即S=3.14×（3×3+4×4）÷2+6×8÷2-3.14×5×5÷2=24（平方厘米）。

例谈阴影部分面积求解的方法
求解阴影部分面积的方法主要有以下几种：
（一）解析法
解析法是基于几何原理来求解阴影部分面积的方法，其具体求解步骤为：
1.将几何图形整体分解成多个元素，将它们分别标记以及求出坐标表达式；
2.确定阴影部分位于几何图形中的哪些元素，用坐标表达式将这些元素相互连接；
3.用积分法计算出阴影部分面积。

（二）圆积分法
圆积分法通常用于求解复杂几何图形中阴影部分面积问题，其具体求解步骤为：
1.确定几何图形中所有圆心，然后将复杂几何图形分解成由圆构成的几
个部分；
2.确定阴影部分位于几个部分中哪些圆，用半径和弧长表达式表示；
3.用积分法求解出各个圆上的阴影面积，然后将几个圆上的面积相加得到几何图形的阴影部分面积的最终值。

（三）蒙特卡罗法
蒙特卡罗法是基于概率统计的方法，可以使用计算机对阴影部分面积进行模拟，其具体求解步骤为：
1.在几何图形的每一个区域内随机生成一定数量的点；
2.根据阴影部分的位置，此处的点可能属于阴影部分或者其他部分；
3.将其中阴影部分的点计数，用计数结果除以随机生成点的总数，即可得到阴影部分面积的最终值。