高考数学二轮复习 专题辅导与训练 答题模板 评分细则(一)

高考数学答题万能模板一、问题分析在高考数学答题过程中，我们常常遇到各种类型的题目，而每个题目又有不同的解题思路和方法。

为了提高答题效率和准确性，我们可以使用以下的万能模板来辅助解答。

二、万能模板1. 解决方案模板当遇到复杂的数学问题时，我们可以使用以下的解决方案模板来有条理地解答问题：- 问题陈述：清晰地陈述题目所给的条件和要求。

问题陈述：清晰地陈述题目所给的条件和要求。

- 思路分析：分析问题的关键点和难点，明确解题思路。

思路分析：分析问题的关键点和难点，明确解题思路。

- 公式运用：根据问题所涉及的数学知识，选择适当的公式或定理进行运用。

公式运用：根据问题所涉及的数学知识，选择适当的公式或定理进行运用。

- 计算过程：按照步骤进行计算，注意每一步的细节和注意事项。

计算过程：按照步骤进行计算，注意每一步的细节和注意事项。

- 最终结果：得出最终的答案，并且注意核对答案的有效性和合理性。

最终结果：得出最终的答案，并且注意核对答案的有效性和合理性。

2. 图形解析模板当遇到涉及图形的题目时，我们可以使用以下的图形解析模板来进行问题分析和解答：- 给定图形的特点描述。

- 根据特点分析，确定所需解题的步骤和方法。

- 运用几何相关定理和公式，进行计算和推理。

- 最后给出答案及解答的过程。

3. 数据分析模板当遇到涉及数据分析的题目时，我们可以使用以下的数据分析模板来进行问题分析和解答：- 给定数据的描述和要求。

- 理清问题的思路和逻辑，确定解题的步骤。

- 运用统计学知识和相关公式，进行数据分析和计算。

- 最后给出答案及解答的过程。

三、总结高考数学答题万能模板可以提供一个结构化的解题方法和思路，帮助我们更有效地解答各种类型的数学题目。

在使用模板时，我们要根据实际题目的要求和题型，灵活运用模板的内容，以达到解题的目的。

希望这份高考数学答题万能模板能对您有所帮助！。

高三数学二轮复习指导高三数学二轮复习指导一、构建知识网络，注重基础，重视预习，提高复习效率要做到两先两后，即先预习后听课，先复习后作业。

以提高听课的主动性，减少听课的盲目性。

而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复习效率。

预习还可以培养自己的自学能力。

二、提高课堂听课效率，勤动手，多动脑。

现在学生手中都会有一种复习资料，在老师讲课之前，要把例题做一遍，做题中发现的难点，就是听课的重点;对预习中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减少听课过程中的困难;有助于提高思维能力，自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水平;体会分析问题的思路和解决问题的思想方法，坚持下去，就一定能举一反三，提高思维和解决问题的能力。

查漏补缺的过程就是反思的过程。

除了把不同的问题弄懂以外，还要学会举一反三，及时归纳。

每次订正试卷或作业时，在做错的.试题旁边要写明做错的原因大致可分为以下几类：1、找不到解题着手点。

2、概念不清、似懂非懂。

3、概念或原理的应用有问题。

4、知识点之间的迁移和综合有问题。

5、情景设计看不懂。

6、不熟练，时间不够。

7、粗心，或算错。

三、强化定时训练，及时反馈矫学好数学要做大量的题，但反过来做了大量的题，数学不一定好，因此要提高解题的效率，做题的目的在于检查你学的知识，方法是否掌握得很好。

如果你掌握得不准，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而巩固了你的缺欠，因此，要在准确地把握住基本知识和方法的基础上做一定量的定式训练是必要的。

1、要有针对性地做题，典型的题目，应该规范地完成，同时还应了解自己，有选择地做一些课外的题，但一定要做到定时定量;2、要循序渐进，由易到难，要对做过了典型题目有一定的体会和变通，即按学、练、思、结程序对待典型的问题，这样做能起到事半功倍的效果。

3、是无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，而不是一味地去追求速度或技巧。

按步骤给分！高考数学评分细则参考,题目不会做也能得分！高考临近，无论复习的如何，会做还是不会做，最快帮你提升分数上限，在高考中避免失分的，就是评分细则了。

高考大题秉承按步骤作答、按步骤给分的原则，哪些步骤是有分可拿的？哪些步骤是可以省略的？如果题目不会做，如何通过步骤多得几分？一切尽在评分细则！虽然高考命题组不会发布当年的评分细则，但各大高校的名师每年都会依据阅卷经验，推演出当年的评分细则参考，清优给大家整理出了2020年高考数学的评分细则，不要错过！01高考数学评分细则参考数学阅卷流程02分题型展示题型一三角形解答题高考真题：(一)评分标准展示——看细节(二)一题多解鉴赏——扩思路(三)阅卷老师提醒——明原因三角函数题目属于高考题中的低中档题，但每年考生的得分情况都不理想，如公式记忆不清、解题方法不明、解题方法选择不当等问题屡屡出现，不能保证作答“会而对，对而全，全而美”。

下面就以2017年高考数学全国卷Ⅰ理科第17题为例进行分析说明。

1.知识性错误2.策略性错误(四)新题好题演练——成习惯题型二数列解答题(2016全国,文17)(本小题满分12分)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和。

(一)评分标准展示——看细节(二)一题多解鉴赏——扩思路(三)阅卷老师提醒——明原因(四)新题好题演练——成习惯题型三概率与统计解答题(2017全国2,文19)(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位:kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量<50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较(一)评分标准展示——看细节(二)阅卷老师提醒——明原因1.正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将实际问题转化为数学问题求解。

[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.要求考生具有一定的创新意识和创新能力.解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.[模板和细则] “答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢.模板1 三角函数与解三角形例1 (12分)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x －π6).(1)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝14，a ＝3且sin B ＝2sin C ，求△ABC 的面积.规范解答·评分标准构建答题模板评分细则(1)化简f(x)的过程中，和差公式的应用，二倍角公式的应用，辅助角公式的应用各给1分；中间只缺一步且结果正确者不扣分； (2)求f (x )值时无2x －π6的范围扣1分；(3)求角A 时没有用上条件0<A <π的扣1分；(4)利用余弦定理求b 、c 时公式正确，计算错误给1分. 变式训练1 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋32sin 2x .(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A2)＝3，△ABC 的面积为33，求a 的最小值. 解 (1)f (x )＝32－32cos 2x ＋32sin 2x ＝3sin(2x －π6)＋32. 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为[k π＋π3，k π＋5π6](k ∈Z ).(2)∵f (A 2)＝3sin(A －π6)＋32＝3，∴sin(A －π6)＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.又∵12bc sin π3＝33，∴bc ＝12.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝12， ∴a ≥23(当且仅当b ＝c ＝23时取“＝”). ∴a 的最小值是2 3.模板2 空间中的平行与垂直关系例2 (12分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，点E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点.(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .规范解答·评分标准构建答题模板证明 (1)取PD 的中点M ，连接FM ，AM .∵在△PCD 中，F ，M 分别为PC ，PD 的中点， ∴FM ∥CD 且FM ＝12CD .∵正方形ABCD 中，AE ∥CD 且AE ＝12CD ，∴AE ∥FM 且AE ＝FM ， 则四边形AEFM 为平行四边形，∴AM ∥EF . 4分 ∵EF ⊄平面P AD ，AM ⊂平面P AD ，∴EF ∥平面P AD . 6分 (2)∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ， 侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ， ∴P A ⊥底面ABCD .∵DE ⊂底面ABCD ，∴DE ⊥P A .∵E ，H 分别为正方形ABCD 边AB ，BC 的中点，[第一步]找线线：通过三角形或四边形的中位线，平行四边形、等腰三角形的中线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直. [第二步]找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也可由面面关系的性质找线面垂直或平行. [第三步]找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行. [第四步]写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.评分细则(1)第(1)问证出AE綊FM，给2分；通过AM∥EF证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF∥平面P AD，同样给分；(2)第(2)问，证明P A⊥底面ABCD时缺少1个条件扣1分；证明DE⊥AH时，只要指明点E，F分别为正方形边AB、BC中点，得DE⊥AH，不扣分；证明DE⊥平面P AH，只要写出DE⊥AH，DE⊥P A，P A∩AH＝A，缺少其他条件不扣分.变式训练2(2015·北京)如图，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点.(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V－ABC的体积.(1)证明因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB，又因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.又OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.又因为OC⊥平面VAB，所以三棱锥C－VAB的体积等于13·OC·S△VAB＝3 3.又因为三棱锥V－ABC的体积与三棱锥C－VAB的体积相等，所以三棱锥V－ABC的体积为33.模板3空间角的计算例3(12分)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，CD＝EB＝1，AB＝4.(1)求证：DE⊥平面ACD；(2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值.规范解答·评分标准构建答题模板(1)证明∵CD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CD⊥BC.又AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，∴AC⊥BC，又AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD，又DC∥EB，DC＝EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD. 4分(2)解在Rt△ACB中，AB＝4，AC＝BC，∴AC＝BC＝2 2.如图，以点C为原点建立空间直角坐标系，则A(22，0，0)，D(0，0，1)，B(0，22，0)，E(0，22，1)，AB→＝(－22，22，0)，BE→＝(0，0，1)，AD→＝(－22，0，1)，DE→＝(0，22，0). 6分设平面ADE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，[第一步]找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线.[第二步]写坐标：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标. [第三步]求向量：求直线的方向向量或平面的法向量.[第四步]求夹角：计算向量的夹角.[第五步]得结论：得到所求两个平面所成的则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝－22x 1＋z 1＝0，n 1·DE →＝22y 1＝0，令x 1＝1，得n 1＝(1，0，22).设平面ABE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB →＝－22x 2＋22y 2＝0，n 2·BE →＝z 2＝0，令x 2＝1，得n 2＝(1，1，0). 10分 ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝132＝26，∴平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值为26. 12分 角或直线和平面所成的角.评分细则 (1)第(1)问中证明CD ⊥BC 和AC ⊥BC 各给1分； 证明DE ∥BC 给1分；证明BC ⊥平面ACD 时缺少AC ∩DC ＝C ，AC ，DC ⊂平面ACD ，不扣分. (2)第(2)问中，建系给1分； 两个法向量求出1个给2分； 没有最后结论扣1分； 法向量取其他形式同样给分.变式训练3 如图，四边形ABCD 是菱形，ACEF 是矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD .AB ＝2AF ＝2，∠BAD ＝60°，点G 是BE 的中点.(1)证明：CG ∥平面BDF ； (2)求二面角E －BF －D 的余弦值.(1)证明 设AC ∩BD ＝O ，BF 的中点为H ，连接GH .∵G 是BE 的中点，GH ∥EF ∥AC ，GH ＝12AC ＝OC ，∴四边形OCGH 是平行四边形. ∴CG ∥OH ，又∵CG ⊄平面BDF ，OH ⊂平面BDF ， CG ∥平面BDF .(2)解 设EF 的中点为N ，AC ∩BD ＝O ，ACEF 是矩形，ON ⊥AC ，平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，ON ⊂平面ACEF ， ∴ON ⊥平面ABCD ， ∴ON ⊥AC ，ON ⊥BD ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∴以点O 为原点，OB 所在直线为x 轴， OC 所在直线为y 轴，ON 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系.∵AB ＝2，AF ＝1，∠BAD ＝60°，∴B (1，0，0)，C (0，3，0)，F (0，－3，1)，E (0，3，1)，D (－1，0，0)， DB →＝(2，0，0)，BF →＝(－1，－3，1)，EF →＝(0，－23，0)， 设平面BEF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BDF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EF →＝0，n 1·BF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－23y 1＝0，－x 1－3y 1＋z 1＝0，令z 1＝1，n 1＝(1，0，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DB →＝0，n 2·BF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝0，－x 2－3y 2＋z 2＝0⇒n 2＝(0，1，3)，设二面角E －BF －D 的大小为θ， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|32×2|＝64.∴二面角E －BF －D 的余弦值为64. 模板4 离散型随机变量的分布列例4 (12分)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法.目前，国内青蒿人工种植发展迅速.调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x ，y ，z ，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级.为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z 相同的概率； (2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m ，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n ，记随机变量X ＝m －n ，求X 的分布列及其均值.评分细则第(1)问得分点，①列出空气湿度相同的全部情况给2分；②计算概率时式子正确，只有结果错误扣1分.第(2)问得分点，①列出长势等级为一级的和不是一级的给2分；只要所列结果正确无过程不扣分；②计算概率时3个式子给1分；分布列正确给1分.变式训练4 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功.已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及均值. 解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ， 则P (A )＝C 14·C 22C 36＝420＝15，P (B )＝(1－23)3＋C 13·23(1－23)2＝127＋29＝727， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1，2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的分布列为∴E (ξ)＝1×15＋2×45＝95.模板5 数列的通项与求和例5 (12分)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1na21a22a23 (2)a31a32a33 (3)……………a n1a n2a n3…a nn(1)求a n1和a4n；(2)设b n＝a4n(a4n－2)(a4n－1)＋(－1)n·a n1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n.评分细则(1)求出d给1分，求a n1时写出公式，结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；(2)b n写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；(3)缺少对b n的变形直接计算S n，只要结论正确不扣分；(4)当n为奇数时求S n中间过程缺一步不扣分.变式训练5已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a2n＝S2n－1，n∈N*，数列{b n}满足b n＝1a n·a n＋1，n∈N*，T n为数列{b n}的前n项和.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，不等式λT n<n＋8·(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围. 解(1)a21＝S1＝a1，∵a1≠0，∴a1＝1.∵a22＝S3＝a1＋a2＋a3，∴(1＋d)2＝3＋3d，解得d＝－1或2.当d＝－1时，a2＝0，不满足条件，舍去，∴d ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1.①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立， 只需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n ＋17恒成立即可.∵2n ＋8n ≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立， 只需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n －15恒成立即可.∵2n －8n随n 的增大而增大，∴当n ＝1时，2n －8n 取得最小值－6，∴λ<－21.综合①②可得，λ的取值范围是(－∞，－21).模板6 直线与圆锥曲线的位置关系例6 (12分)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1、F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.评分细则 (1)第(1)问，无a 2－c 2＝b 2关系式，直接得b ＝1扣2分； (2)第(2)问，求|OQ ||OP |时，写出P 、Q 的坐标时每个给1分；(3)第(2)问中，无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；(4)第(2)问中，联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；(5)第(2)问求最值时，不指明最值取得的条件扣1分. 变式训练6 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22). (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围.解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋12b 2＝1， 故a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0. 故可设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0且m ≠0)， 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k2， 故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. 因为直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k 2＋m2＝0. 又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP 、OQ 的斜率存在，且Δ>0， 得0<m 2<2，且m 2≠1，设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，|PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)，所以S ＝12|PQ |d ＝m 2(2－m 2)<m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)， 故△OPQ 面积的取值范围为(0，1).模板7 圆锥曲线中的探索性问题例7 (12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ，①证明直线AE过定点，并求出定点坐标；②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.评分细则第(1)问得分点①求出t的值，得1分，列出关于t的方程，求解结果错误只得1分；②得出抛物线方程得1分.第(2)问得分点①写出直线l1在y轴上的截距得2分；②得出直线AE过定点得3分，只考虑当y20≠4，且得出此时直线AE过定点，只能得2分，只考虑当y20＝4，且得出此时直线AE过定点，只能得1分；③求出|AE |的长，且结论正确给1分，只给出弦长值而没有过程，不得分； ④正确得出B 到直线AE 的距离得2分；只写对结果，但没有过程只能得1分； ⑤求出面积的最小值得2分，没有指出等号成立的条件扣1分.变式训练7 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切. (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4，0)，过点R (3，0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，得(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0， ∴y 1＋y 2＝－18m3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4，由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，其中y M 为点M 的纵坐标， ∴y M ＝28y 13(x 1＋4)，同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N 163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)，∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7)＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49， ∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值.模板8 函数的单调性、极值与最值例8 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围.评分细则 (1)函数求导正确即给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围给2分.变式训练8已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0，1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0，1]上的最大值和最小值.解(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x，依题意对任意x∈(0，1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0，1)有f′(x)＝(x2－1)e x<0，f(x)符合条件；当a＝0时，对任意x∈(0，1)，有f′(x)＝－x e x<0，f(x)符合条件；当a<0时，因f′(0)＝－a>0，f(x)不符合条件.故a的取值范围为0≤a≤1.(2)g(x)＝(－2ax＋1＋a)e x，g′(x)＝(－2ax＋1－a)e x.①当a＝0时，g′(x)＝e x>0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e.②当a＝1时，对于任意x∈(0，1)，有g′(x)＝－2x e x<0，g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a >0.a .若1－a 2a ≥1，即0＜a ≤13时，g (x )在[0，1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ， 在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e. b .若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g (1－a2a)＝122e aa a ，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ， g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ； 当e －1e ＋1<a <1时， g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.模板9 导数与函数零点、 不等式问题例9 (12分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围.评分细则(1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m＝0扣1分；两种情况只讨论正确的一种给2分；(3)确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分；(4)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分；(5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分.变式训练9 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R ). (1)设b ＝2－a ，求f (x )的零点的个数；(2)设a >0，且对于任意x >0，f (x )≥f (1)，试比较ln a 与－2b 的大小. 解 (1)∵b ＝2－a ，∴f ′(x )＝2ax ＋(2－a )－1x ＝(2x －1)(ax ＋1)x (x >0).①若a ≥0，则f (x )在(0，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数，又f (12)＝1－a4＋ln 2， ∴当0≤a ＜4(1＋ln 2)时，函数f (x )没有零点； 当a ＝4(1＋ln 2)时，函数f (x )有一个零点； 当a >4(1＋ln 2)时，函数f (x )有两个零点.②若a <0，当－2<a <0时，函数f (x )在(0，12)上递减，在(12，－1a )上递增，在(－1a ，＋∞)上递减， 又f (12)>0，∴函数f (x )只有一个零点.当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上递减，f (x )有一个零点.当a <－2时，f (x )在(0，－1a )上递减，在(－1a ，12)上递增，在(12，＋∞)上递减，f (x )只有一个零点.综上，0≤a ＜4(1＋ln 2)时无零点；a <0或a ＝4(1＋ln 2)时有一个零点；a >4(1＋ln 2)时有两个零点.(2)由a >0，且对于任意x >0，f (x )≥f (1)， 则函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由f ′(x )＝2ax ＋b －1x ＝0得－b ＋b 2＋8a 4a 是f (x )的唯一的极小值点，故－b ＋b 2＋8a 4a＝1，整理得2a ＋b ＝1即b ＝1－2a .令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1－4xx，令g ′(x )＝0得x ＝14.当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减.因此g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln 4<0，故g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 即ln a <－2b .。

谈高考数学中的得分策略------关于山东高考数学得分策略对于山东高考数学题，特点是压轴题，有很多同学抱着“回避”的态度，这种“回避”必然导致“起评分”降低----别人从“150分”的试题中得分，而你只能从“120分”的试题中得分。

因此，从某种意义上说，这种“回避”增加了考试的难度！因为,假如有些基础题你思维“短路”，立刻导致考试“溃败”。

其实，只要我们了解高考数学题的特点，并且掌握一定的答题技巧，注意评分的细则，相信同学们还是能够取得高分的。

下面，我谈一谈我的几点认识，供同学们参考。

1.评分标准对于所有认真复习迎考的同学而言，通过训练都能获得六道解答题的解题思路，但如何得全分，却需要下一定的功夫。

如果想得到全分，就需要对评分标准，特别是最近几年的阅卷的评分细则有一个大致的了解。

下面通过2015年高考的两道试题的评分细则做一下解读，通过细则的解读，希望同学们能减少失误，做到“一分不浪费。

”2015年山东高考第18题评分细则(18)(本小题满分12分)设数列}{n a 的前n 项和为n S . 已知.332+=n n S (1)求}{n a 的通项公式.(2)若数列}{n b 满足,log 3n n n a b a =求}{n b 的前n 和.n T 省标答案. 18. 解:（1） 因为332+=n n S ，所以3321+=a ，故31=a . .........................(1分） 当1>n 时，33211+=--n n S 此时1113233222---⨯=-=-=n n n n n n S S a即13-=n n a ， ..........................(5分)所以 ⎩⎨>=-1,31n a n n .........................(6分) （2） 因为n n n a b a 3log =，所以311=b .当1>n 时，n n n n n b ----==11313)1(3log 3，.........................(8分） 所以3111==b T ; 当1>n 时,)3)1(...3231(31...121321n n n n b b b b T ---⨯-++⨯+⨯+=++++= 所以)3)1(...3231(13210n n n T --⨯-++⨯+⨯+=, ……. ...........(10分） 两式相减，得,32366133)1(3131323)1()3...333(32211112210nn n n n n n n n T ⨯+-=⨯----+=⨯--+++++=------- 所以nn n T 34361213⨯+-=. 经检验，1=n 时也适合. 综上可得nn n T 34361213⨯+-=. .............(12分)18.（1）解法一： 因为332+=n n S ，所以3321+=a ，故31=a . .........................(1分） 当1>n 时，33211+=--n n S此时1113233222---⨯=-=-=n n n n n n S S a . .......................(3分) 即13-=n n a 23231--=n n ， ..........................(5分)所以 ⎩⎨>=-1,31n a n n .........................(6分) 解法二： 因为332+=n n S ，所以3321+=a ，故31=a . .........................(1分） 当1>n 时，33211+=--n n S ，即 232311+=--n n S 此时113322n n n n n a S S --=-=- (3)13n n a -=即13-=n n a ， ..........................(5分) 所以 ⎩⎨⎧>==-1,31,31n n a n n .........................(6分) 解法三： 因为332+=n n S ，所以3321+=a ，故31=a . .........................(1分） 当2=n 时，3,12)(2,33222122=∴=+∴+=a a a S ，当3=n 时，9,30)(2,332332133=∴=++∴+=a a a a S ，当4=n 时，27,84)(2,3324432144=∴=+++∴+=a a a a a S ，所以猜想⎩⎨⎧>==-1,31,31n n a n n ， ............................(2分) 验证猜想：当1=n 时，结论成立； .......... ..................(3分)当2=n 时，结论成立， ...........................(4分)假设(2)n k k ≤>时，结论成立，即13-=k k a ， 则当1+=k n 时， k k k k k k a a a S S a 3)()33(2121111=+++-+=-=+++ , ………………………………………………………..(6分） 解法四：因为332+=n n S ，所以3321+=a ，故31=a . .........................(1分） 当2=n 时，3,12)(2,33222122=∴=+∴+=a a a S ，当3=n 时，9,30)(2,332332133=∴=++∴+=a a a a S ，当4=n 时，27,84)(2,3324432144=∴=+++∴+=a a a a a S ，所以猜想⎩⎨⎧>==-1,31,31n n a n n ， ............................(2分) 则当1+=k n 时，111111(33)(33)22k k k k k a S S +-++=-=+-+,……………..(4分)13kk a +=,……………………………………………………..(6分）解法五 （1）33S 2n +=n)233S 21-n 1-n ≥+=∴n （ ①-②：)2(3233211≥⋅=-=--n a n n n n ...............................（2分）)2(31≥=∴-n a n n ............................................ …....（4分）又：633S 21=+= 621=∴a31=∴a 不适合 13-=n n a .................................（5分）⎩⎨⎧≥==∴-2,31,31n n a n n ...................................................（6分） （2）解法一：因为n n n a b a 3log =，所以311=b . ..........................(7分） 当1>n 时，n n n n n b ----==11313)1(3log 3，.........................(8分） 所以3111==b T ; 当1>n 时,)3)1(...3231(31...121321n n n n b b b b T ---⨯-++⨯+⨯+=++++= .....(9分） 所以)3)1(...3231(13210n n n T --⨯-++⨯+⨯+=, ...........(10分） 两式相减，得0122122(333...3)(1)33n n n T n ----=+++++--⨯...........(11分）111213(1)33131363,623n n nn n ----=+--⨯-+=-⨯ 所以nn n T 34361213⨯+-=. 经检验，1=n 时也适合. 综上可得n n n T 34361213⨯+-=. .............(12分) 解法二：因为n n n a b a 3log =，所以311=b . ..........................(7分）当1>n 时，n n n n n b ----==11313)1(3log 3， .........................(8分）所以3111==b T ; 当1>n 时,)3)1(...3231(31...121321n n n n b b b b T ---⨯-++⨯+⨯+=++++= .....(9分） 所以)3)1(...3231(913132n n n T ---⨯-++⨯+⨯+=, ..........(10分） 两式相减，得12122(33...3)(1)339n n n T n ----=++++--⨯.............(11分)11123(13)(1)39131321,1823n n n n n ----⨯-=+--⨯-+=-⨯ 所以nn n T 34361213⨯+-=. 经检验，1=n 时也适合. 综上可得nn n T 34361213⨯+-=. .............(12分) 注：1、等价的结果：233232311---=-=n n n n n a .11111363131131().1243122343122343n n n n n n n n n T ----+=-=--=-+⨯⨯⨯⨯⨯ 2. 从某一处错误，扣掉错误分数；后边得分不超过为错误处后边全部得分的一半。

专题一 选择、填空题常用的10种解法 抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所供应的信息作出推断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排解后求解．解题时应认真审题、深化分析、正确推演运算、谨防疏漏． 题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的挨次排列.2.留意基本学问、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法机敏多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一 定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简洁地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8， 由已知可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10， 所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，则由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.故选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要留意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，机敏利用相关的定义求解．如[本例]中依据双曲线的定义和已知条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后依据椭圆定义求出其长轴长，最终就可依据离心率的定义求值． [技法体验]1．(2021·广州模拟)假如P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( ) A ．n ＋10 B ．n ＋20 C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2022·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二 特例法特例法，包括特例验证法、特例排解法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排解干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．[例2] (2022·高考浙江卷)已知实数a ，b ，c ( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排解法选择答案． 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，明显|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排解法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排解干扰选项． [技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12|＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排解A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排解C.综上，选B. 答案：B2．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最终的结果必定是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，明显，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.故选A.答案：A方法三 数形结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a 为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a 2－4a ≤6，即－1≤a ≤3， 故选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解． [技法体验]1．(2021·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，由于|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，由于点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等． [例4] (2021·天津红桥区模拟)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，由于焦点在y 轴上，故选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中已知椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，依据已知列方程求解． [技法体验]1．若等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，则前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，则前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，故选D.答案：D 方法五 估值法估值法就是不需要计算出代数式的精确 数值，通过估量其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要具体的过程，因此可以猜想、合情推理、估算而获得，从而削减运算量．[例5] 若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；由于sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .故选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较简单的计算，节省时间，是发觉问题、争辩问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要留意估算也要有依据，如[本例]是依据指数函数与对数函数的单调性估量每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较． [技法体验]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：由于函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.答案：A方法六 反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导冲突；(3)得结论，即说明命题成立．[例6] 已知x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.明显两者冲突，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较便利．其关键是依据假设导出冲突——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突．如[本例]中导出等式的冲突，从而说明假设错误，原命题正确． [技法体验]假如△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，明显该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D. 答案：D 方法七 换元法换元法又称帮助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为生疏的形式，把简单的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换争辩对象，将问题移至新对象的学问背景中去争辩，从而使非标准型问题标准化、简单问题简洁化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×yx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要依据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将已知条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其开放，通过构造基本不等式的形式求解最值． [技法体验]1．(2022·成都模拟)若函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减，∴t ＝0时，y max ＝1.答案：1 方法八 补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立大事，求出问题的结果，则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多． [例8]某学校为了争辩高中三个班级的数学学习状况，从三个班级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级不来自同一班级的概率为________． 解析：记高一班级中抽取的班级为a 1，高二班级中抽取的班级为b 1，b 2， 高三班级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的全部可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一班级”为大事A ，则大事A 为抽取的两个班级来自同一班级． 由题意，两个班级来自同一班级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种． 所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115. 所以两个班级不来自同一班级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，肯定要精确 把握所求问题的对立大事．如[本例]中，“两个班级不来自同一班级”的对立大事是“两个班级来自同一班级”，而高一班级只有一个班级，所以两个班级来自同一班级的可能性仅限于来自于高二班级，或来自于高三班级，明显所包含基本大事的个数较少． [技法体验]1．(2022·四川雅安中学月考)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，由于x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，明显函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九 分别参数法分别参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分别参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避开对参数进行分类争辩的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要留意该种方法仅适用于分别参数后能够求解相应函数的最值或值域的状况．[例9] 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________．解析：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分别参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于精确 分别参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分别参数时要留意参数系数的符号是否会发生变化，假如参数的系数符号为负号，则分别参数时应留意不等号的变化，否则就会导致错解． [技法体验]1．(2022·长沙调研)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立， 即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，由于y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案：C2．(2022·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析：若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1. 答案：1 方法十 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观看，深化的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵格外丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点实行相应的解决方法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来争辩另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等． [例10] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.由于x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 由于f (n )<f (m )，所以n <m .故选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，依据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。

高考数学解答题评分标准
高考数学解答题的评分标准主要分为两部分：选择题和解答题。

对于选择题，每题4分，答案正确得4分，答案错误扣4分，不扣负分。

对于解答题，通常占总分的30%左右，评分标准为：每小题得分1-2分，算法错误扣1分，单位不对扣0.5分，少换算一次扣0.5-1分。

此外，对于思维能力题的评分标准如下：
1. 证明类题型：正确证明每小问得2-5分，符号正确、过程详细可加0.5-1分，错误过程至少扣1分，没有有用思路不得分。

2. 应用类题型：正确答案较少得1-2分，保留正确的中间过程可加0.5-1分，过程错误扣1-2分，没有有用思路不得分。

3. 分析类题型：正确答案得2-4分，分析思路正确可加0.5-1分，错误思路至少扣1分，没有有用思路不得分。

2020高考评分细则参考一、数学阅卷流程二、阅卷基本准则高考数学阅卷对知识点和步骤的把握,公正客观,本着给分有理扣分有据的原则,寻找得分点,否则写再多也是徒劳的.但是也并非完全无情,比如有少数考生答题错位,会被要求作为异常试卷提交,由专家组特殊处理,而不是直接判了零分等.为此,总结如下解题中需要把握的准则:1.阅卷速度以秒计,规范答题少丢分高考阅卷评分标准非常细,按步骤、得分点给分,评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤,有则给分,无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写.阅卷中强调关注结果,过程可采用不同的方法阐述.2.不求巧妙用通法,通性通法要强化高考评分细则只对主要解题方法,也是最基本的方法,给出详细得分标准,所以用常规方法往往与参考答案一致,比较容易抓住得分点.阅卷中把握见点得分,踩点得分,上下不牵连的原则.3.干净整洁保得分,简明扼要是关键若书写整洁,表达清楚,一定会得到合理或偏高的分数,若不规范可能就会吃亏.若写错需改正,只需划去,不要乱涂乱划,否则易丢分.4.狠抓基础保成绩,分步解决克难题(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确,数学语言要规范,仔细计算,争取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(1)问一般难度不大,要保证得分,第(2)问若不会,也要根据条件或第(1)问的结论推出一些结论,可能就是得分点.三、题目类型展示题型一三角形解答题(2017全国1,理17)(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为a 23sinA.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.(一)评分标准展示——看细节由题设得12bc sin A=a 23sinA,即bc=8.2分由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 1分得b 2+c 2-bc=9,即(b+c )2-3bc=9,得b+c=√33. 1分故△ABC 的周长为3+√33.1分公式的准确性很重要!此处公式若写成cos(B-C )后面就没有分数了.“给值求角“问题要注意角的范围求得角A 后再次选择面积公式,进而找到bc ,公式正确,计算错误扣1分.写出余弦定理给1分 公式正确,计算错误扣1分.利用完全平方式过渡,才有整体思想求解b+c ; 最后下结论,不写扣1分.(二)一题多解鉴赏——扩思路(1)解法一 由S △ABC =12ac sin B ,得12ac sin B=a 23sinA ,即12c sin B=a3sinA .根据正弦定理,得12c ·b2R=a 3·a 2R(R 为△ABC外接圆的半径),即bc=8R 23.再由正弦定理,得sin B sin C=23.(2)解法二 由(1)得sin B sin C=23,cos B cos C=16,cos(B+C )=cos B cos C-sin B sin C=-12,又0<B+C<π,所以B+C=2π,A=π.由余弦定理得9=b 2+c 2-bc.①由cos B cos C=16,结合余弦定理得a 2+c 2-b22ac·a 2+b 2-c 22ab=16.化简得81-(b+c )2(b-c )2=6bc. ②由①和②式得81-(3bc+9)(-bc+9)=6bc. 即b 2c 2-8bc=0,解得bc=8.所以b 2+c 2=17,(b+c )2=b 2+c 2+2bc=33. 所以b+c=√33,故△ABC 的周长为3+√33.解法三 由已知易得cos(B+C )=cos B cos C-sin B sin C=-12,所以B+C=2π3,A=π3. 而cos 2B cos 2C=136,即(1-sin 2B )(1-sin 2C )=136,也即1-sin 2B-sin 2C+sin 2B sin 2C=1.由(1)得sin B sin C=23,所以1-sin 2B-sin 2C+(23)2=136.所以sin 2B+sin 2C=1712.即(sin B+sinC )2-2sin B sin C=1712.所以sin B+sin C=√112.由正弦定理得b+c=asinA (sin B+sin C )=3sin60°×√112=√33.故△ABC 的周长为3+√33. (三)阅卷老师提醒——明原因三角函数题目属于高考题中的低中档题,但每年考生的得分情况都不理想,如公式记忆不清、解题方法不明、解题方法选择不当等问题屡屡出现,不能保证作答“会而对,对而全,全而美”.下面就以2017年高考数学全国卷Ⅰ理科第17题为例进行分析说明.1. 知识性错误数学需要记忆,许多学生因为不能正确记忆公式导致解题错误,如在第(1)问中把S △ABC =12ac sin B ,写成S △ABC =12ab sin A 或S △ABC =12ac sin A 等;正弦定理为a sinA=b sinB =csinC =2R (R 为△ABC 外接圆的半径),而在应用时写成a=sin A ,b=sin B ,c=sin C ,在第(1)问的解答中所得答案和正确答案相同,但在第(2)问中,sin B sin C=23化为bc=23,答案出现错误;又如在第(2)问中,由于对诱导公式记忆不请,不少的学生出现cos A=cos(π-B-C )=cos(B+C )=-12的错误,不管最后答案正确与否,都属于知识性错误.2. 策略性错误3.在前面,第(1)(2)问都展示了多种解法,两问的解法二显然比解法一麻烦,问题在于学生不能正确把握解题方向.如在第(1)问中,在得到12c sin B=a3sinA 后,求sin B sin C 的值,没有将c ,a 用sin C ,sin A 表示,而是将sin B ,sin A 用边b ,a 表示,可谓是跟着感觉走,解题目标不明确;在第(2)问中,在解得∠A 后,直接由题设得12bc sin A=a 23sinA ,然后解得bc=8非常方便简捷,而解法二运用第(1)问的结论,sin B sin C=23,再借助正弦定理将式子用边b ,c 表示,显然走了弯路,运算量增大.在第(2)问中,出现的问题是:不少的学生能求得bc=8,往下就无从入手了;也有的学生用余弦定理将6cos B cos C=1用边b ,c 表示,得6cos B cos C=(9+c 2-b 2)(9+b 2-c 2)bc=1.因为式子比较冗长,接下来不知该怎么做,导致解题失败(参考解法三的过程).(四) 新题好题演练——成习惯(2018贵州适应性考试)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知a cos C=(2b-c )cos A.(1)求角A 的大小;(2)若a=2,D 为BC 的中点,AD=2,求△ABC 的面积. 解 (1)∵a cos C=(2b-c )cos A ,∴sin A cos C=2sin B cos A-sin C cos A. ∴sin A cos C+sin C cos A=2sin B cos A. ∴sin(A+C )=2sin B cos A.又A+B+C=π,∴sin B=2sin B cos A , 又sin B>0.∴cos A=12,A ∈(0,π).∴A=π3.(2)∵∠ADB+∠ADC=π,∴cos ∠ADC+cos ∠ADB=0.∴1+4-b24+1+4-c 24=0.∴b 2+c 2=10. 又b 2+c 2-2bc cos A=a 2,b 2+c 2-bc=4,∴bc=6.∴S=12bc sin A=12×6×√32=3√32. 题型二 数列解答题(2016全国,文17)(本小题满分12分)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n+1=nb n .(1)求{a n }的通项公式;(2)求{b n }的前n 项和. (一) 评分标准展示——看细节规范解答评分细则和解答指导(二)一题多解鉴赏——扩思路解法二(1)由a n b n+1+b n+1=nb n ,则a n =nb n -b n+1b n+1,当n=1时,b 1=1,b 2=13,a 1=b 1-b 2b 2,∴a 1=2. ∵{a n }是公差为3的等差数列,∴a n =3n-1.(2)∵a n =3n-1和a n b n+1+b n+1=nb n ,∴3n b n+1=nb n .∴b n+1n=1.∴{b n }是首项为1,公比q=1的等比数列.设{b n }前n 项和为S n ,则S n =1+13+(13)2+…+(13)n -1, ①1S n =1+(1)2+…+(1)n -1+(1)n ,②由①-②知2S n =1-(1)n,∴S n =32[1-(13)n]=32−12×3n -1=3n -12×3n -1.(三) 阅卷老师提醒——明原因 (四)1.牢记等差、等比数列的定义:在判断数列为等差或等比数列时,应根据定义进行判断,所以熟练掌握定义是解决问题的关键,如本题第(2)问,要根据定义判断bn+1b n=13. 2.注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题即是在第(1)问的基础上求得b n+1与b n 的关系.3.写全得分关键:写清解题过程的关键点,有则给分,无则没有分,同时解题过程中计算准确,是得分的根本保证.如本题第(1)问要写出a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=1,才能得出a 1,并指出数列{a n }的性质,否则不能得全分.第(2)问中一定要写出求b n +1=b n的步骤并要指明{b n }的性质;求S n 时,必须代入求和公式而不能直接写出结果,否则要扣分.(四)新题好题演练——成习惯(2018河北石家庄一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足2S n =2n+1+m (m ∈R ). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =1(2n+1)log 2(a n ·a n+1),求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)方法一:由2S n =2n+1+m (m ∈R ),得2S n-1=2n +m (m ∈R ),n ≥2.所以2a n =2S n -2S n-1=2n ,即a n =2n-1(n ≥2),所以a 2=2,q=2.又a 1=S 1=2+m2,又{a n }是等比数列,所以a 1·q=a 2,解得m=-2,所以通项公式为a n =2n-1. 方法二:由2S n =2n+1+m (m ∈R ),得{S 1=2+m2,S 2=4+m2,S 3=8+m 2(m ∈R ).从而有a 2=S 2-S 1=2,a 3=S 3-S 2=4,所以等比数列公比q=a3a 2=2,首项a 1=1,因此通项公式为a n =2n-1.(2)由(1)可得log 2(a n ·a n+1)=log 2(2n-1·2n )=2n-1,∴b n=1(2n+1)(2n-1)=12(12n-1-12n+1).∴T n=b1+b2+…+b n=1 2(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=n2n+1.题型三概率与统计解答题(2017全国2,文19)(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:旧养殖法新养殖法(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;箱产量<50箱产量≥50(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.附:,K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ).(一)评分标准展示——看细节规范解答评分细则和解答指导解 (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62. 3分 因此,事件A 的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图列联表箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 6238新养殖法34 66此处要注意把原始数据代入公式要充分完整展示,否则一旦最后结果错误,全部没分.公式正确,计算错扣1分.独立性检验要先列出2×2列联表,数据错一个扣1分,直到扣完为止.此处计算要准确,掌握化简技巧,需运算两遍进行复查,注意保留小数点后三位.计算K 2的值与2分K2=200×(62×66-34×38)2100×100×96×104≈15.705.2分由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.1分(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间,旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间,1分且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,1分因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.2分结论各给1分.根据平均数(中位数)和方差进行判断,需要准确说明产量较高且稳定两个角度,缺少一个角度扣1分.(二)阅卷老师提醒——明原因1.正确阅读理解,弄清题意:与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景,且常考常新,而解决问题的关键是理解题意,弄清本质,将实际问题转化为数学问题求解.2.对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定所给事件的关系.3.用频率分布直方图解决相关问题时,应正确理解图表中各个量的意义,识图掌握信息是解决该类问题的关键.4.某些数据的变动对中位数可能没有影响.中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.平均数与方差都是重要的数字特征,是对总体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差描述其波动大小.5.独立性检验的注意事项(1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定,不可混淆.K2的观测值k的计算公式很复杂,在解题中易混淆一些数据的意义,代入公式时出错,而导致整个计算结果出错.(2)对判断结果进行描述时,注意对象的选取要准确无误,应是对假设结论进行的含概率的判断,而非其他.(三)新题好题演练——成习惯(2018四川凉山诊断性检测)为了解男性家长和女性家长对高中学生成人礼仪式的接受程度,某中学团委以问卷形式调查了50位家长,得到如下统计表:(1)据此样本,能否有99%的把握认为“接受程度”与家长性别有关?说明理由;(2)学校决定从男性家长中按分层抽样方法选出5人参加今年的高中学生成人礼仪式,并从中选2人交流发言,求发言人中至多一人持“赞成”态度的概率.参考数据P(K2≥k)0.050.010k3.8416.635参考公式K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)解(1)由题:a=12,b=14,c=18,d=6,∴K2=50(12×6-14×18)2≈4.327<6.635,所以,没有99%的把握认为“接受程度”与家长性别有关.(2)选出的5人中持“赞成”态度的人数为12×530=2.持“无所谓”态度的人数为3.设持“赞成”态度的人分别为a1,a2,持“无所谓”态度的人分别为b1,b2,b3.基本事件总数为(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共10种.其中至多一人持“赞成”态度的有9种,∴p=910.或:其中两人持“赞同”态度的人有1种,故至多一人持“赞成”态度的事件概率p=1-110=910题型四立体几何解答题(2017全国3,文19)(本小题满分12分)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:AC⊥BD;(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.(一)评分标准展示——看细节规范解答评分细则和解答指导必须展示作辅助线的过程,仅在图中体现辅助线但过程中无体现的减1分.此处说明了线面垂直的判定的条件.要注意强调“DO∩BO=O”,否则减1分.(1)证明 取AC 的中点O ,连接DO ,BO. 因为AD=CD ,所以AC ⊥DO. 2分 又由于△ABC 是正三角形, 所以AC ⊥BO. 又因为DO ∩BO=O ,所以AC ⊥平面DOB ,故AC ⊥BD.2分(2)解法一 连接EO ,由(1)及题设知∠ADC=90°, 所以DO=AO.2分在Rt △AOB 中,BO 2+AO 2=AB 2,又AB=BD ,所以BO 2+DO 2=BO 2+AO 2=AB 2=BD 2,故∠DOB=90°.1分 由题设知△AEC 为直角三角形,所以EO=12AC.又△ABC 是正三角形,且AB=BD ,所以EO=12BD.1分故E 为BD 的中点,则E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12.1分四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12, 1分 即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.2分必须展示作辅助线的过程,仅在图中体现辅助线但过程中无过程的减1分.此处写出直角三角形的勾股定理及其逆定理的应用.要注意等量关系的转化!此处写出点到平面的距离的合理转化,不写清点的位置关系和转化过程要减2分.(二)一题多解鉴赏——扩思路(2)解法二 可证DO ⊥OB ,EO=12BD ,所以E 为BD 的中点,四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1∶1.解法三 设AB=BD=2,DE=x ,可证△ACE 为等腰直角三角形,则AD=AE=√2.在△ABD 与△ABE中,cos ∠DBA=22+22-22×2×2=34,cos ∠DBA=22+(2-x )2-22×2×(2-x )=34,所以x=1或x=0(舍).故E 是BD 的中点,四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1∶1. (三)阅卷老师提醒——明原因1.证明线面垂直时,不要忽视“面内两条直线为相交直线”这一条件,如第(1)问中,学生易忽视“DO ∩BO=O ”,导致条件不全而减分;2.求四面体的体积时,要注意“等体积法”的应用,即合理转化四面体的顶点和底面,目的是底面积和顶点到底面的距离容易求得;3.注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题中,由(1)及题设知∠ADC=90°.4.要注意书写过程规范,计算结果正确.书写规范是计算正确的前提,在高考这一特定的环境下,学生更要保持规范书写,力争一次成功,但部分学生因平时习惯,解答过程中书写混乱,导致失误过多.(四)新题好题演练——成习惯(2018江西新余二模)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ,D 是AC 的中点.(1)求证:B 1C ∥平面A 1BD ;(2)若∠A 1AB=∠ACB=60°,AB=BB 1,AC=2,BC=1,求三棱锥C 1-ABD 的体积. (1)证法一 连接AB 1交A 1B 于点O ,则O 为AB 1的中点,∵D 是AC 的中点,∴OD ∥B 1C.又OD ⊂平面A 1BD ,B 1C ⊄平面A 1BD ,∴B 1C ∥平面A 1BD.(2)解法一 ∵AC=2,BC=1,∠ACB=60°,∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos ∠ACB=3. ∴AB=√3.取AB 中点M ,连接A 1M ,∵AB=BB 1=AA 1,∠A 1AB=60°, ∴△ABA 1为等边三角形. ∴A 1M ⊥AB ,且A 1M=32.又∵平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ,平面AA 1B 1B ∩平面ABC=AB ,A 1M ⊂平面AA 1B 1B ,∴A 1M ⊥平面ABC.∵S △ABD =12S △ABC =√34,∴V C 1-ABD =V A 1-ABD =13S △ABD ·A 1M=√38.(1)证法二 取A 1C 1中点D 1,连接B 1D 1,CD 1,DD 1,∵A 1D 1=12A 1C 1,CD=12AC ,A 1C 1 AC ,∴A 1D 1 CD. ∴四边形A 1DCD 1为平行四边形.∴CD 1∥A 1D.又A 1D ⊂平面A 1BD ,CD 1⊄平面A 1BD ,∴CD 1∥平面A 1BD. ∵BB 1 AA 1 DD 1,∴四边形D1DBB1为平行四边形.∴B1D1∥BD.又BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD,∴B1D1∥平面A1BD.又CD1∩B1D1=D1,∴平面B1CD1∥平面A1BD.又B1C⊂平面B1CD1,∴B1C∥平面A1BD.(2)解法二∵AC=2,BC=1,∠ACB=60°,∴AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=3.∴AB=√3.∴AC2=AB2+BC2.∴BC⊥AB.又∵平面AA1B1B⊥平面ABC,平面AA1B1B∩平面ABC=AB, ∴BC⊥平面AA1B1B.∵∠A1AB=60°,AB=BB1=AA1,∴AA1=√3.∴S△A1AB =12AB·AA1·sin∠A1AB=3√34.∵D是AC中点,∴V C1-ABD =V A1-ABD=V D-A1AB=12V C-A1AB=12×13S△A1AB·BC=√38.题型五解析几何解答题(2017全国1,文20)(本小题满分12分)设A,B为曲线C:y=x 24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.(一)评分标准展示——看细节(二)一题多解鉴赏——扩思路(2)解法二设切线方程为y=x+b0,与曲线C:x2=4y联立,得x2-4x-4b0=0.则M点的横坐标为A,B的横坐标的平均数,进而M(2,1).将坐标系按向量(2,1)平移,则抛物线方程变为C':(x'+2)2=4(y'+1),即x'2+4x'-4y'=0.设新坐标系下直线A'B'的方程为m (x'-y')=1, 则化齐次联立可得x'2+(4x'-4y')·m (x'-y')=0. 由于此时A'M'⊥B'M',因此1+4m+4m=0. 解得m=-18,直线A'B':x'-y'+8=0.回到原坐标系,直线AB 方程为(x-2)-(y-1)+8=0.则x-y+7=0.解法三 设M (x 0,x 024),由y=x 24的导函数y'=x 2知C 在M 处的切线斜率为k=x02=1,所以x 0=2,故M (2,1).因为AM ⊥BM ,易知AM ,BM 的斜率存在且不为0,因此k AM ·k BM =-1,即x 124-1x 1-2·x 224-1x 2-2=14(x 1+2)(x 2+2)=116[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]=-1. (*)设直线AB 的方程为y=x+b ,与抛物线联立得14x 2-x-b=0,所以Δ=1+b>0,故b>-1,由根与系数的关系知{x 1+x 2=4,x 1x 2=-4b ,代入(*)式得116(-4b+12)=-1,解得b=7,符合题意,因此直线AB 的方程为y=x+7. (三)阅卷老师提醒——明原因(1)审题忙中出错丢分.有的考生对审题重视不够,匆匆一看便急于下笔,以至于题目的条件和要求没有看清.如将条件C :y=x 24看成焦点在x 轴上从而计算出错.(2)书写不规范、笔误丢分.考生字迹偏小、不清、书写不工整、版面布局不合理,会导致阅卷教师不好辨认从而极可能导致考生得分点被遗漏,造成丢分.甚至有的考生出现严重的笔误,如第(1)问中,将x 1+x 2=4误写成y 1+y 2=4,虽然后面的过程正确,也会扣掉1分.(3)“会而不对”丢分.许多考生忽视将解题策略转化为得分点,因此,卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况.由于第(2)问的解答步骤较多,很多考生分不清主要步骤和次要步骤,一些必不可少的步骤是不能省略的,导致该写的得分点没有写上,阅卷中得不到相应的分数.(4)策略性错误丢分.许多考生解题方向上出现偏差,造成思路受阻或解题长度过大.如第(2)问中,直接设出C 在M 处的切线方程,思路过于曲折、存在多余的思维回路,最终只能猜出答案或者复杂计算得出答案,费时费事.(5)思维严谨性不够丢分.第(2)问中表现突出,如设直线没有对参数进行讨论或说明;做出结果的考生,只关注于结果而忽略了结果的完整性,缺少“当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2√m+1.”这一条件的说明等.(6)计算技能不过关丢分.圆锥曲线问题的解答过程一般来说对考生的计算能力要求都比较高,阅卷中发现考生计算能力差处处都有表现,如联立方程、韦达定理的代入化简等环节出错,导致最终半途而废.(四)新题好题演练——成习惯(2018湖南益阳调研)已知抛物线C1的方程为x2=2py(p>0),过点M(a,-2p)(a为常数)作抛物线C1的两条切线,切点分别为A,B.(1)过焦点且在x轴上截距为2的直线l与抛物线C1交于Q,N两点,Q,N两点在x轴上的射影分别为Q',N',且|Q'N'|=2√5,求抛物线C1的方程;(2)设直线AM,BM的斜率分别为k1,k2.求证:k1·k2为定值.(1)解因为抛物线C1的焦点坐标是(0,p2),所以过焦点且在x轴上截距为2的直线方程是x2+y p2=1,即R2+2yp=1.联立{x2=2py,x2+2yp=1,消去y并整理,得x2+p 22x-p2=0,设点Q(x Q,y Q),N(x N,y N),则x Q+x N=-p 22,x Q x N=-p2.则|Q'N'|=|x Q-x N|=√(x Q+x N)2-4x Q x N=√(-p22)2-4×(-p2)=√p44+4p2=2√5,解得p=2.所以抛物线C1的方程为x2=4y.(2)证明设点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0,x2<0).依题意,由x2=2py(p>0),得y=x 22p ,则y'=xp.所以切线MA的方程是y-y1=x1p(x-x1),即y=x1p x-x12 2p.又点M(a,-2p)在直线MA上,于是有-2p=x1p ×a-x122p,即x12-2ax1-4p2=0.同理,有x22-2ax2-4p2=0, 因此,x1,x2是方程x2-2ax-4p2=0的两根,则x1+x2=2a,x1x2=-4p2.所以k1·k2=x1p ·x2p=x1x2p2=-4p2p2=-4.故k1·k2为定值得证.题型六函数与导数解答题(2017全国2,文21)(本小题满分12分)设函数f(x)=(1-x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.(一)评分标准展示——看细节(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=√5-4a-1,则x0∈(0,1),2分2(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.1分,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)·(1+x0)2=1≥ax0+1.当a≤0时,取x0=√5-12综上所述,a的取值范围是[1,+∞).1分利用分类讨论思想解决问题时,要首先明确分类的依据和标准,且讨论不重不漏.此处要结合前面讨论的过程,给出a的取值范围,否则减1分.(二)一题多解鉴赏——扩思路解法二设g(x)=(x2-1)e x+ax+1,x≥0,则g(x)≥0恒成立.g'(x)=(x2+2x-1)e x+a.g″(x)=(x2+4x+1)·e2>0,g'(x)在区间[0,+∞)内单调递增.当a≥1时,g'(x)≥g'(0)=-1+a>0,此时g(x)在区间[0,+∞)内单调递增,g(x)≥g(x)=0,符合题意.当a<1时,g'(0)=-1+a<0,当x≥1时,x2+2x-1≥2,取x1=ln(e+a),则g'(x1)≥2(e+|a|)+a=2e+|a|+(|a|+a)>0,故存在x0>0,使得g'(x0)=0,且当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,此时g(x)单调递减,g(x)<g(0)=0,不符合题意.综上所述,a的取值范围是[1,+∞).解法三构造函数g(x)=(1-x2)e x-ax-1,则g'(x)=(-x2-2x+1)e x-a.因为g(0)=0,故一定存在x0>0,使得x∈[0,x0]时,g'(x)≤0.(若不然,即任意x0>0,x∈[0,x0]时g'(x)>0,则x∈(0,x0),g(x)>0时,不符合题意).从而有g'(0)=1-a≤0,即a≥1.下面证明a=1时,g(x)=(1-x2)e x-x-1≤0(x≥0)恒成立.由于g'(x)=(-x2-2x+1)e x-1,g″(x)=(-x2-4x-1)e x<0,知g'(x)在[0,+∞)内单调递减,且g'(0)=0,故g'(x)≤0,[g(x)]max=g(0)=0≤0,故a的取值范围是[1,+∞).(也可直接证明a≥1时,g(x)=f(x)-ax-1≤0成立)(三)阅卷老师提醒——明原因1.利用导数研究函数或不等式问题时,正确求导是第一步,也是关键一步,而学生往往开始求导就出现错误,后面的运算全部变成了无用功;2.分类讨论解决问题时,首先要明确分类的依据和标准;分类讨论思想是高中数学中的一种重要思想,也是学生的难点,关键要搞清“为什么要讨论?”“如何去讨论”,如本题中,需要讨论a与0,1的大小关系.3.要注意书写过程规范,计算结果正确.书写规范是计算正确的前提,在高考这一特定的环境下,学生更要保持规范书写,力争一次成功,但部分学生因平时习惯,解答过程中书写混乱,导致失误过多.(四)新题好题演练——成习惯(2018河北保定一模)已知函数f(x)=x+ax.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)设函数g(x)=ln x+1,证明:当x∈(0,+∞),且a>0时,f(x)>g(x).(1)解因为f'(x)=1-ax2=x2-ax2(x≠0),①若a≤0,f'(x)>0,∴f(x)在(-∞,0),(0,+∞)为增函数;②若a>0,则f'(x)>0⇒x2-a>0⇒x<-√a或x>√a, f'(x)<0⇒x2-a<0⇒-√a<x<√a(a≠0),∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-√a),(√a,+∞), 单调递减区间为(-√a,0),(0,√a);(2)证明 令h (x )=f (x )-g (x )=x+a x -ln x-1(x>0),h'(x )=1-ax2−1x=x 2-x -ax 2, 设p (x )=x 2-x-a=0的正根为x 0,所以x 02-x 0-a=0,∵p (1)=1-1-a=-a<0, ∴x 0>1.h (x )在(0,x 0)上为减函数,在(x 0,+∞)上为增函数, h (x )min =h (x 0)=x 0+ax 0-ln x 0-1=x 0+x 02-x 0x 0-ln x 0-1 =2x 0-ln x 0-2,令F (x )=2x-ln x-2(x>1), F'(x )=2-1x =2x -1x >0恒成立, 所以F (x )在(1,+∞)上为增函数, 又∵F (1)=2-0-2=0,∴F (x )>0,即h (x )min >0,所以,当x ∈(0,+∞)时,f (x )>g (x ). 题型七 参数方程与极坐标解答题(2017全国3,文22)(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为{x =2+t ,y =kt(t 为参数),直线l 2的参数方程为{x =-2+m ,y =m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-√2=0,M为l3与C的交点,求M的极径.(一)评分标准展示——看细节(二)一题多解鉴赏——扩思路解法二 (1)消去参数t 得l 1的普通方程y=k (x-2),消去参数m 得l 2的普通方程y=1k (x+2). 由{y =k (x -2),y =x+2k ,得k (x-2)=x+2k ,即k 2=x+2x -2. 将k 2=x+2x -2代入y 2=k 2(x-2)2,化简可得C 的普通方程为x 2-y 2=4(y ≠0).(2)l 3的普通方程为x+y=√2.故x ,√22,y 成等差数列.令x=√22+d ,y=√22-d ,代入C 的方程有(√22+d)2−(√22-d)2=4,解得d=√2.因此x=3√22,y=-√22,因此M 的极径为ρ=√(3√22)2+(-√22)2=√5.(三)阅卷老师提醒——明原因1.基本的定义、公式,方法要掌握牢固:本题第(1)问考查消参求轨迹方程的问题,属于基本问题,第二问求解点在极坐标系下的极径,属于基础概念的考查,但是要求对基本的概念和公式能够熟练理解和掌握.2.注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题即是在第(1)问的基础上进行计算求解极径问题.3.写全得分关键:写清解题过程的关键点,有则给分,无则没有分,同时解题过程中计算准确,是得分的根本保证.如本题第(1)问要写出直角坐标方程,注意所得的轨迹方程不包括y 轴上的点.第(2)问中方程的思想很重要,联立极坐标方程求解极径、极角体现出方程思想的无处不在.(四)新题好题演练——成习惯(2018江西新余二模)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=4sin θ,直线l 的参数方程为{x =-√32t ,y =2+t2(t 为参数),直线l 和圆C 交于A ,B 两点.(1)求圆心的极坐标;(2)直线l 与x 轴的交点为P ,求|PA|+|PB|.解 (1)由ρ=4sin θ,得ρ2=4ρsin θ,故得x 2+y 2=4y ,所以圆C 的普通方程为x 2+y 2-4y=0. 所以圆心坐标为(0,2),圆心的极坐标为(2,π2).(2)方法一:把{x =-√32t ,y =2+t2 化为普通方程得y=-√33x+2,令y=0得点P 坐标为P (2√3,0),故直线的参数方程可化为{x =2√3-√32t ',y =t '2,代入x 2+y 2-4y=0整理得t'2-8t'+12=0,所以点A ,B 对应的参数分别为t 1'=2,t 2'=6,所以|PA|+|PB|=|t 1'|+|t 2'|=6+2=8.方法二:把{x =-√32t ,y =2+t 2化为普通方程得y=-√33x+2, 令y=0得点P 坐标为P (2√3,0),又因为直线l 恰好经过圆C 的圆心,故|PA|+|PB|=2|PC|=2√(2√3-0)2+(0-2)2=8.题型八不等式选讲解答题(2017全国3,文23)(本小题满分10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.(一)评分标准展示——看细节(二)一题多解鉴赏——扩思路解法二 (1)|x+1|-|x-2|≥1,有|x+1|≥|x-2|+1得x+1≥|x-2|+1,即|x-2|≤x , ① 或x+1≤-|x-2|-1,即|x-2|≤-x-2. ②解①式有-x ≤x-2≤x 得x ≥1, 解②式有x+2≤x-2≤-x-2,x 无解. 所以不等式f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}.(2)易知f (x )={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.设g (x )=x 2-x+m=(x -12)2+m-14,则g'(x )=2x-1.画出函数g (x )及f (x )的图象,观察图象可知直线y=2x-1为抛物线y=g (x )的切线时, 在切线上方有g (x )>f (x ).设切点为(x 0,y 0),则由2x 0-1=2得x 0=32,y 0=2×32-1=2,m=y 0-x 02+x 0=54.所以不等式f (x )≥x 2-x+m 的解集非空时,m 的取值范围是(-∞,54]. (三)阅卷老师提醒——明原因1.基本的定义、公式、方法要掌握牢固:本题第(1)问考查绝对值不等式的解法,属于基本问题,第(2)问求解参数的取值范围,要求同学们能够结合恒成立的条件进行灵活变形处理.2.注意利用第(1)问的结果:在题设条件下,如果第(1)问的结果第(2)问能用得上,可以直接用,有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决,如本题即是将原问题转化为求解最值的问题来确定参数的取值范围.3.写全得分关键:写清解题过程的关键点,有则给分,无则没有分,同时解题过程中计算准确,是得分的根本保证.如本题第(1)问要写出分段函数的形式,分段求解不等式的解集.第(2)问中转化的思想很重要,将原问题转化为求解最值的问题即可,转化的思想是高中数学的重要数学思想之一.(四)新题好题演练——成习惯(2018湖北荆州质检)设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A. (1)求集合A ;(2)若∀m ∈A ,不等式mx 2-2x+1-m<0恒成立,求实数x 的取值范围. 解 (1)令f (x )=|x+1|-|x-1|={2(x ≥1),2x (-1<x <1),-2(x ≤-1),由|f (x )|<2得|2x|<2,解得-1<x<1.∴A={x|-1<x<1}.(2)由不等式mx 2-2x+1-m<0,得(x 2-1)m-2x+1<0, 令g (m )=(x 2-1)m-2x+1(-1<x<1), 要使g (m )<0,则{g (-1)=(R 2-1)×(-1)-2x +1≤0,g (1)=(x 2-1)×1-2x +1≤0,整理得{x 2+2x -2≥0,x 2-2x ≤0,∴{x ≤-1-√3或x ≥√3-1,0≤x ≤2.解得√3-1≤x ≤2.∴实数x 的取值范围是[√3-1,2].。

高考数学阅卷场评分细则.谈高考数学中的得分策略---- 关于山东高考数学得分策略对于山东高考数学题，特点是压轴题，有很多同学抱着“回避”的态度，这种“回避”必然导致“起评分”降低别人从“ 150 分”的试题中得分，而你只能从“ 120分”的试题中得分。

因此，从某种意义上说，这种“回避”增加了考试的难度！因为 , 假如有些基础题你思维“短路”，立刻导致考试“溃败”。

其实，只要我们了解高考数学题的特点，并且掌握一定的答题技巧，注意评分的细则，相信同学们还是能够取得高分的。

下面，我谈一谈我的几点认识，供同学们参考。

1.评分标准对于所有认真复习迎考的同学而言，通过训练都能获得六道解答题的解题思路，但如何得全分，却需要下一定的功夫。

如果想得到全分，就需要对评分标准，特别是最近几年的阅卷的评分细则有一个大致的了解。

下面通过2015 年高考的两道试题的评分细则做一下解读，通过细则的解读，希望同学们能减少失误，做到“一分不浪费。

”第二步:(1).由一彳+ 2Λτr≤ IX <-+2kπ.Λ∈Z,∏J?-—+ Λπ≤x≤ - + kπy k € Z;2 2 4 4或—+ 2kπ <2x< —+ 2kτr, * G Z,可得—^kTr <x< g="" kπ9="" p="" r="" z;<="" —+="">2 2 4 4(2).由兀 + IkIr < IX < —+ 2kπ9 RwZ,可得匹+ Rτr SxS —- + k, k &Z2 2 4 4或一当+%τrS2rS一￡+%兀Λ∈Z, ∏T?--+Aπ≤x≤--+ Aπ, Λ ∈Z;2 2 4 4第二步：所以(a)./(x)的单调递增区间是或(b)?∕(x)的单调递减区间是或7Γ7Γ[-- + Λπ, - + Λπ] (Λ∈Z)4 4[―-+ Arπ,÷Λπ]伙WZ)；4 4[￡ + 知，辛+ M]伙WZ) 4 4[-—+ ? -- + Λπ]伙GZ)4 4说明：1.不管区间端点情形，即开区间、闭区间、半开半闭全部算对;2.第一步/(x)的化简结果错了，则第二步不给分；3.只给不等式表示或集合形式，不给区间表示，则不给分；4.区间表示式中不标岀斤WZ不扣分，但不加M的不给分；5.第二步不得分，即：如果没有第二步，第三步对了，给2分. 方法二：第一步：由题意知/(x) =Sin XCOS X-cos2(x+—) (6分)4=SinXCOSX-(―sin2(x) + 丄cos"X)-SinXCOSX) .................... (2 分) =2SinXeoSX-* ................................................ (3 分) = sin2X——............................... - ................... (4 分)说明：1.在上面的化简过程中，一个二倍角公式，两角和的余弦公式，一个平方和公式，各给1分;2.余下的说明及步骤同上.方法三：第一步：由题意知（2分）=cos(2 x) + sin(2 x+ —) ................... . ............ （3分）=2cos(2x) ................................................ （4分）说明：1 ?两个求导公式各1分，两个二倍角公式1分.2.余下的说明同上第二步：(1)由厂(x) = 2cos(2x)>0可得，+ 2Λπ < Ix <- + 2kπ. k WZ、进而得一兰+ kτr < X < —+ Λπ, k QZ?2 2 4 4或—+ 2kπ <2x < —+ 2kπy k EZ、RΓ?-+ Λπ <x<="" k="" p="" λπ,="">2 2 4 4(2)由∕,(x) = 2cos(2x)< 0 可得,—+ 2kπ < IX < —+ 2?π, k EZ y进而得兀+ kπ <="" ez.<="" k="" kπ^="" p="" —+="">2 2 4 4或—^+2^7Γ<2V<-+2^π, Λ∈Z,—+ Λτr<x< -="" p="" z;<="" λ="" λrπ,="" —+="" ∈="">2 2 4 4说明：余下步骤同上.（II）评分细则方法一：第一步：由f（―） = sin /1 —丄=0.得SiiM =丄....... ... ........ （ 7 分）由题意知A为锐角，所以COSA =厚（或者A = 30*或者A = —）r .................................................. （8 分:6第二步：由余弦定理/ =6'+c'-2bccos力，.....................（9分）可得? + 43hc = b2+c2>2bc9即δc≤2 + √3 ,且当b = c时等号成立..............（10分）因此丄hcsxnA<^^- (115)2 4所以面积的最大值为柱迴.............................（12分）4说明：1.第一步SinJ = A没给，但给出了COS心半（或者J = 30u或者"P，给2分；62.第一步sin M = 2给出，没有COS A =—（或者/1 = 30°或者/ =三）2 2 6 给出，但第二步用了C OS^ = 则不扣分，否则扣1分.23.第一步结果错误，第二步若有公式：余弦定理公式和面积公式,则各给1分；4.第二步中,10分得分点后，如果用到了表示（?）πm=2÷√3,或者S maX = — bcsinA,且结论沁正确，则不扣最后的结论得分；2 45.第二步中没有给出b = c,只要结果正确不扣分。

2020高考数学"评分细则"
每到高考前，清北助学团队除了为同学们总结高考必考题型，还会把前一年的高考评分细则当做最重要的资料来推送。

无论复习的如何，会做还是不会做，最快帮你提升分数上限，在高考中避免失分的，就是评分细则了。

高考大题秉承按步骤作答、按步骤给分的原则，哪些步骤是有分可拿的？哪些步骤是可以省略的？如果题目不会做，如何通过步骤多得几分？一切尽在评分细则！
当然，为了避免争议，高考命题组不会发布当年的评分细则，但清北助学团队的学霸每年都会依据阅卷经验，推演出当年的评分细则参考，本文即由此而来。

同学们务必要认真哦
2020高考数学评分细则参考
一、数学阅卷流程
二、分题型展示
题型一、三角形解答题
高考真题：
(一)评分标准展示——看细节
(二)一题多解鉴赏——扩思路
(三)阅卷老师提醒——明原因
三角函数题目属于高考题中的低中档题,但每年考生的得分情况都不理想,如公式记忆不清、解题方法不明、解题方法选择不当等问题屡屡出现,不能保证作答“会而对,对而全,全而美”.下面就以2017年高考数学全国卷Ⅰ理科第17题为例进行分析说明.
1.知识性错误
2.策略性错误
(四)新题好题演练——成习惯
题型二、数列解答题
(2016全国,文17)(本小题满分12分)已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.
(1)求{an}的通项公式;(2)求{bn}的前n项和.
(一)评分标准展示——看细节
(二)一题多解鉴赏——扩思路解法二
(三)阅卷老师提醒——明原因。

高考数学二轮复习答题技巧与规范答题方法为了关心考生更好的进行复习，查字典数学网整理了高考数学二轮复习答题技巧，请考生及时查看学习。

一、调整好状态，操纵好自我。

(1)保持清醒。

数学的考试时刻在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。

(2)提早进入角色，考前做好预备.按清单带齐一切用具，提早半小时到达考区，一方面能够排除紧张、稳固情绪、镇定进场，另一方面也留有时刻提早进入角色让大脑开始简单的数学活动，进入单一的数学情境。

如：1.清点一下用具是否带齐(笔、橡皮、作图工具、身份证、准考证等)。

2.把一些差不多数据、常用公式、重要定理在脑子里过过电影。

3.最后看一眼难记易忘的知识点。

4.互问互答一些不太复杂的问题。

5.注意上厕所。

(3)按时到位。

今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时刻应在开考前5分钟内。

建议同学们提早15~20分钟到达考场。

二、扫瞄试卷，确定考试策略一样提早5分钟发卷，涂卡、填密封线内部分和座号后扫瞄试卷：试卷发下后，先利用23分钟时刻迅速把试卷扫瞄一遍，检查试卷有无遗漏或差错，了解考题的难易程度、分值等概况以及试题的数目、类型、结构、占分比例、哪些是难题，同时依照考试时刻分配做题时刻，做到心中有数，把握全局，做题时心绪平定，得心应手。

三、巧妙制定答题顺序在扫瞄完试卷后，对答题顺序差不多上做到心中有数，然后尽快做出答题顺序，排序要注意以下几点：1.依照自己对考试内容所把握的程度和试题分值来确定答题顺序。

2.依照自己认为的难易程度，按先易后难先小后大先熟后生的原则排序。

四、提高解选择题的速度、填空题的准确度。

数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。

因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法尽显威力。

12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。

由于选择题的专门性，由此提出解选择题要求快、准、巧，忌讳小题大做。

模板1 三角问题规范——解答题的5个解题模板及得分说明1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分．关键步骤，有则给分，无则没分．所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写．2．不求巧妙用通法，通性通法要强化高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点．3．干净整洁保得分，简明扼要是关键若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏．若写错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分．4．狠抓基础保成绩，分步解决克难题(1)基础题争取得满分．涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3个解答题不丢分．(2)压轴题争取多得分．第(Ⅰ)问一般难度不大，要保证得分，第(Ⅱ)问若不会，也要根据条件或第(Ⅰ)问的结论推出一些结论，可能就是得分点.【训练1】 已知函数f (x )＝cos x sin (x ＋π3)－3cos 2 x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值与最小值． 解 (1)f (x )＝cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34 ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14， 所以函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。