3.2.1圆的对称性(峄城 袁义)

湘教版数学九年级下册《2.1 圆的对称性》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级下册《2.1 圆的对称性》这一节的内容，主要介绍了圆的对称性质。

教材从生活中的实例出发，引导学生认识圆的对称性，并通过对称性来研究圆的性质。

这部分内容是九年级数学的重要知识点，也是高考的考点之一。

通过学习这一节内容，学生能够理解和掌握圆的对称性，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的几何知识，对图形的性质有一定的了解。

但是，他们对圆的对称性的理解和应用能力还不够强。

因此，在教学过程中，我需要引导学生从实际生活中发现问题，激发他们的学习兴趣，并通过实例来引导学生理解和掌握圆的对称性。

三. 说教学目标1.知识与技能：理解和掌握圆的对称性质，能够运用圆的对称性来解决问题。

2.过程与方法：通过观察实例，引导学生发现圆的对称性，培养学生的观察和思考能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们克服困难、探索真理的精神。

四. 说教学重难点1.重点：圆的对称性质的理解和运用。

2.难点：圆的对称性质在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。

利用问题驱动法，引导学生从实例中发现问题，激发他们的学习兴趣。

通过实例教学法，让学生直观地理解圆的对称性。

小组合作学习法能够培养学生的团队合作能力和解决问题的能力。

六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的实例，引导学生发现圆的对称性，激发他们的学习兴趣。

2.新课导入：介绍圆的对称性质，引导学生理解和掌握圆的对称性。

3.实例分析：通过具体的实例，让学生运用圆的对称性来解决问题。

4.总结提升：引导学生总结圆的对称性质，并思考如何运用到实际问题中。

5.课堂练习：设计一些练习题，让学生巩固所学知识。

6.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调圆的对称性的重要性和应用。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出圆的对称性质。

2.1 圆的对称性-湘教版九年级数学下册教案1. 学习目标1.1 知识目标： * 掌握圆及其部分的定义和性质。

* 掌握圆的对称轴、对称中心的定义和性质。

1.2 能力目标： * 运用圆的对称性解决具有对称性的问题。

1.3情感目标： * 提高对对称美感的认识和欣赏，培养对对称之美的感觉和爱好。

2. 教学重点2.1 圆的对称轴、对称中心的定义和性质。

2.2 运用圆的对称性解决具有对称性的问题。

3. 教学难点3.1 运用圆的对称性解决具有对称性的问题。

4. 学习内容4.1 圆及其部分的定义和性质圆：平面内与定点O距离相等的点的集合，称为以点O为圆心，以OA为半径的圆，记为圆O（O，OA）或⊙O（OA）。

圆的一些术语： * 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，一个圆的圆心只有一个。

* 半径：圆心到圆上任一点的距离，一个圆的半径只有一个。

* 直径：圆上的任意两点P、Q之间通过圆心的线段PQ的长度，等于圆的半径的两倍，一个圆的直径只有一个。

* 弧：圆上任意两点间的弧，简称为圆弧。

圆弧的度数由所对角所在圆心角的度数来测量。

* 扇形：由圆心O和圆上弧AB所围成的图形，是所有扇形中面积最大的一个。

扇形的度数等于所对圆心角的度数。

* 圆周角：取圆上任意一点P及圆心O，将圆周分为两段，所对圆心角的度数称为圆周角的度数，它的度数为360°。

4.2 圆的对称轴、对称中心的定义和性质定义：若一图形在某个平移、旋转等变换下，它和各自变换后的图形完全重合，则称这些图形具有对称性。

在一个圆中，若将圆沿着一条直线对折，将会出现何种情况？我们列举一下特殊情况，此条直线将通过圆心O： * 情况一：当将圆沿着通过圆心O的一条直线对折时，圆将重合，我们说这条直线是圆的中心对称轴，称圆O（O，OA）是以O为对称中心的图形。

* 情况二：当将度数不等于180°的圆周角所围部分沿着通过其所在圆O的圆心O的一条直线对折时，这个部分会重合。

学员编号：学员姓名：年级：九年级课时数：学科教师：3辅导科目：数学圆的对称性（第一课时）3.2课题授课时间：备课时间：新课程标准的总体目标，即：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观三位一体的目标，它们对人的成长、素养的形成与发展都具有十分重要的作用。

过程与方法和情感、态度与价值观的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习培养必须要以有利于其他目标的实现为前提。

（一）知识与技能目标1、通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性；2、运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理；3、拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明。

教学目标（二）过程与方法目标1、通过学生观察、思考、动手探索、分组讨论及总结，解决本节内容的相关问题及学生的疑问，使学生充分体会和掌握圆的轴对称性；2、通过理论与实践相结合，让学生在解决实际问题中进一步理解掌握圆的轴对称性及其应用。

（三）情感体验与价值观的要求通过教师的精心设计和引导，使学生在学习中合作，在合作中学习，让学生充分感受到团结的力量，培养学生实事求是的科学态度和积极参与、助人为乐的精神，同时使学生领会数学的严谨性和积极探索的精神教学重点：垂径定理及其逆定理重点、难点教学难点：垂径定理及其逆定理的证明充分掌握圆的轴对称性；把握圆中的垂径定理及其逆定理考点及考试要求教学内容运用多媒体：展示一组生活中圆的应用的图片和圆形残缺工件的复原动画；展示一组轴对称图形；在激发起学生学习的兴趣的同时，引导提问：（1）轴对称图形的定义是什么？（2）用什么方法可以研究轴对称图形？适时引入新课内容。

展示一张精心设计的圆形图片，引导学生观察思考圆的对称性及对称轴。

让学生分组合作，互相帮助，画圆、剪圆，按轴对称图形的探究方法探究圆的轴对称性，并相互交流，互相评价。

师生合作，适时牵引学生的思维向垂径定理发展运用多媒体展示：圆的轴对称性的探究动画。

引导学生在探究所得的结论上掌握圆的轴对称性，知识升华到圆中的垂径定理及其逆定理。

山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.2.1圆的对称性》教案北师大版课第三章第二节第一课时课题课型新授课时时间节次第三节授课人1、通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性；教学2、运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理；目标3、拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．重点垂径定理及其逆定理难点垂径定理及其逆定理的证明教法、互动式探究教学法学法课前多媒体课件、圆规、圆形纸片、三角尺准备教学过程：一、创设情境，引入新课师：在古代人们将圆一分为二，画成了整齐而又深奥的太极图；在今天，人们又将轮胎方向盘等做成了圆形（同时多媒体出示相应的画面）．圆，究竟有什么样的奥秘，让人们对他如此的着迷，今天就让我们来揭开圆的神秘面纱，看看圆究竟有什么样的性质．同学们，请你想一想，在你们的认识当中，圆有什么样的性质？生：（看着自己手中的圆形纸片思考）圆有对称性．师：这也正是我们这节课要来研究的主要内容：板书课题：3.2圆有对称性（1）师：大家都知道圆是轴对称图形图形，既然它是轴对称图形，那它的对称轴在哪里？生：过圆心的一条直线．师：它有几条对称轴？生：无数条．师：我们就把圆的这一性质称为“圆的轴对称性”．课件出示：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线，它有无数条对称轴．学生阅读识记．设计意图：带领学生做好学习新课的知识准备，并逐步引入新课．在引入新课的同时，运用教具和学具（师生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿着直径对折，观察两部分重合．通过实验，相会交流，鼓励学生表达自己的想法．二、探究新知（一）知识准备——圆的有关概念师：下面我们要用圆的对称性解决一些问题，首先我们先学习几个与圆有关的几个概念． 课件出示并讲解： 圆的相关概念1．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．如图，以A ，B 两点为端点的弧，记作»AB ，读作“弧AB ”．2．连接圆上任意两点间的线段叫做弦．例如：弦AB ．3．经过圆心的弦叫做直径．例如：直径AC ． 师：那么请问大家：直径是弦吗？ 生：是．师：那弦是直径吗？ 生：不一定．师：很好！下面我们来看下面几个概念：4.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．5.小于半圆的弧叫做劣弧，如图记作：»AB （用两个字母表示）．6.大于半圆的弧叫做优弧，如图记作：¼ACB （用三个字母表示）．通过刚才的学习，我们了解了圆的轴对称性以及与圆有关的一些概念，下面我们就利用这些知识来进行第一个探究．设计意图：用直接教学法，是学生认识圆的有关概念，为下面的学习做好准备． （二）探究一——垂径定理师：首先请大家拿出你的圆形纸片，在纸片上按照如下要求作图，并回答这两个问题．如图，AB 是⊙O 的一条弦．做直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由． 学生在圆形纸片上进行操作，独立思考． 师：解决完以上问题的同学请举手． 生根据自己完成的情况举手示意老师． 师：那谁来说一下．生1：这个图形是轴对称图形，对称轴是CD 所在的直线．»AC =»BC ，AM =BM ． 师：还有没有？生2：»»AD BD =． 师：你是怎样得到这些结论的？生：我沿着CD 对折后，发现点A 和B 重合，»AC 和»BC 重合，»AD 和»BD 重合，于是»AC =»BC ，AM =BM ，»»AD BD =． 师：其他同学还有别的做法吗？有没有同学对此进行了严格的逻辑推理．再给同学们几分钟的时间讨论一下，生：连接OA，OB，则OA=OB．在RT△OAM和RT△OBM中，∵OA=OB，OM=OM∴RT△OAM≌RT△OBM∴AM=BM∴点A和点B关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A和点B重合，»AC和»BC重合，»AD和»BD重合∴»AC=»BC，AM=BM，»»AD BD=．师：推理非常严密，还有没有其他的证明方法．生：其他的地方都一样，只是我在证明AM=BM时用的是“三线合一”师：大家明白他的想法吗？行不行．生：可以．师：通过以上证明我们得到什么样的结论呢？大家能否用文字语言描述我们探究得到的结论呢？生：已知有一条直径与弦垂直，则这条直径平分这条弦，也平分弦所对的优弧和劣弧．师：很好．即“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．”这就是我们这节课要来学习的第一个重要定理——垂径定理．下面我们来分析一下垂径定理的条件和结论．谁来说一下？生：条件是“一条直径垂直于弦”，结论是“直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧”．其中弦所对的弧包括优弧和劣弧．师：那大家能用符号语言来描述这个定理吗？生：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AM=BM，»AC=»BC，»»AD BD=．师用课件出示“垂径定理”的三种语言——图形、文字、符号语言，并且做出提示：“垂径定理”是圆中的一个重要的结论．三种语言要相互转化，才能运用自如．设计意图：培养学生分组合作的能力，和自我探究思考，动手操作能力，体现由一般到特殊的探究问题的思想，给学生一定的时间去探索讨论，有利于创新意识的培养．师：现在请同学们来辨析一下：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？课件出示：（1）（2）（3）（4）生：（1）可以；（2）可以；（3）不能，因为 CD和AB不垂直；（4）不能，因为CD不是直径．师：通过这道题目我们要认识到只有同时满足“过圆心”和“垂直于弦”这两个条件，才能得到“平分弦”、“平分弦所对的优弧”和“平分弦所对的劣弧”这三个结论．设计意图：通过定理的应用：包含了线段、角相等、垂直等关系，是学生认识到在应用中一定要存在过圆心且垂直一弦的直线（包括线段）．（三）探究二——垂径定理的逆定理师：下面我们进行另外一个探究：如果我把垂径定理条件中的“CD⊥AB”和结论中“AM=BM”交换一下位置，那么能过得到什么样的结论呢？如图，AB是⊙O的一条弦，作一条平分AB 的直径CD，交AB于点M．右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？生：是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线．师：很好．你能发现图中有哪些等量关系？生：∠AMD=∠BMD=90°，»AC=»BC，»»AD BD=．师：能说一说你的理由吗？先给大家两分钟的时间，小组内互相说一说看看都有哪些说理的方法．生热烈讨论，师巡视倾听，并适时参与讨论．师：现在谁来说一下．生：连接OA，OB，则OA=OB．在△OAM和△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，AM=BM∴△OAM≌△OBM∴∠AMD=∠BMD又∵∠AMD+∠BMD=180°．∴∠AMD=∠BMD=90°，即CD⊥AB∵CD是直径，CD⊥AB∴»AC=»BC，»»AD BD=．师：太棒了．这位同学把我们刚刚学习的垂径定理用的非常恰当．通过刚才的观察我发现同学们当中还有其他的方法，比如用三线合一，或是证明A，B两点关于直线CD对称从而得到结论，我们就不一一的说了．好，现在我们来分析一下：如图，AB是⊙O的一条弦，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M，可以得到的等量关系有∠AMD=∠BMD=90°，»AC=»BC，»»AD BD=．这个结论一定成立吗？请思考一下：如果AB也是直径，上述结论是否成立？学生思考，小组讨论，达成共识．师：那位同学说一说你们小组的看法？生：不一定．两条直径一定互相平分，但却不一定垂直．师：是的．如图所示，大家一看就能明白．现在请同学们用语言来描述一下我们得到的第二个结论．生：如果一条直径平分一条不是直径的弦，那么这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧．师：简洁的说就是：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．这就是我们这节课要来学习的第二个重要内容——垂径定理的逆定理．同样的我们也要看看这个定理的符号语言应该怎样写：∵ CD 是直径，AB 是弦（不是直径），AM =BM∴CD ⊥AB ，»AC =»BC ，»»AD BD =． 设计意图：通过学生的独立探索，相互交流得出结论，认识并证明垂径定理的逆定理，并在这一过程中再次体会研究图形的多种方法．师：现在请同学们对比一下垂径定理及其逆定理，看看你有什么发现． 生思考，时间允许的情况下，同位之间、小组之内交流一下．生：二者都包含五个条件：①CD 是直径②CD ⊥AB ③AM =BM ④»AC =»BC ⑤»»AD BD =． 师：是的，实际上在数学中，对于这五个条件我们认识到其中的两个条件成立，那么其他的三个结论都成立．大家可以试着说一说，还有没有其他情况． 生：由②③得到①④⑤．师：是的．我们以后可以用这种方法来确定某段弧所在圆的圆心的位置．例如已知一条弧，我们任作它的两条弦，并且作出它们的垂直平分线，那么这两条直线的交点就是圆心所在位置．（师边说边做图．）设计意图：理解并掌握垂径定理及其逆定理，充分感受此定理在几何学习中的意义及价值．使学生在知识及能力方面达到新课程标准的要求并得以升华． 三、实际应用师：下面我们就用垂径定理及其逆定理来解决一些实际问题． （一）例题解析 课件出示： 例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ,点0是弧CD 的圆心），其中CD =600m ，E 为弧CD 上的一点，且OE 垂直于CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径． 学生独立思考的基础上，师生共同分析，最后课件展示完整的做法：解：连接OC ，设弯路的半径为R m,则OF =(R -90)m ． ∵ OE ⊥CD ∴CF =12C D =12×600=300(m). 根据勾股定理，得 222OC CF OF =+ 即 222300(90)R R =+-.解这个方程，得R =545.所以，这段弯路的半径为545m ．师：本题是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法去解决几何问题．这是我们在解决几何问题时常用到的方法．：同学们还要认识到，连接半径是解决圆的有关题目的常用辅助线．通过连接半径，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理，可以求半径、弦、弦心距、弓形的高中的任意一个未知量． （二）巩固练习课件出示题目，安排学生完成题目后，提问学生回答，特别是说明理由． 1、判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （）（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）（5）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两弦互相平行．（）2、1300年前，我国隋朝建造的赵州桥是圆弧形，它的跨度（及弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）．3、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？设计思路：理论与实践相结合，让学生充分感受所学知识的实用价值，学以致用的同时提升对所学知识的理解程度．四、课堂小结师：大家来回顾一下，这节课我们都学习了哪些内容呢？生1：圆是轴对称图形图形，它的对称轴是过圆心的一条直线．生2：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．生3：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．生4：我们可以用代数方法解决结合问题．师：同学们还要认识到，连接半径是解决圆的有关题目的常用辅助线．通过连接半径，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理，可以求半径、弦、弦心距、弓形的高中的任意一个未知量．设计思路：及时梳理所学内容，对学生来说是一个反思过程，能较好地反应思维的本质，提升思维的能力．五、检测题1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC ＝BD2、已知AB，CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离．3、已知：⊙O弦AB∥CD求证：»»AC BD（1） （2） （3） 4、已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长．5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥C D 交AB 于E ，DF ⊥CD 交AB 于F ，求证：AE ＝BF ．（4） （5）设计思路：这练习的过程中是学生感受到在圆中解决有关弦的问题时，常要作一条辅助线，它是圆心到弦的垂线段． 六、布置作业课本101页，第1、3题． 七、板书设计§3.2圆的对称性（一） 一、圆的轴对称性 圆是轴对称图形图形，它的对称轴是过圆心的一条直线． 二、圆的有关概念 优弧 弧 劣弧 半圆 弦 直径三、垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．四、垂径定理的逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．五、例题收获：1. 本教学设计侧重学生对新知识形成过程的认识和理解，采用通过实验、观察、猜想、验证的手法去探求几何定理．对培养学生的动手能力，直觉思维、逻辑思维有较大的帮助．2. 较好体现了学为主体，教为主导的教学策略，师生在该节课的教与学互动性会得到充分的展示，学生也会得到充分的发挥机会；另外通过创新探索的内容，会使学生进一步体会数学在生活中的应用，培养学生探索精神问题：本教学设计在实施过程中，时间会较为紧迫，因此，相应的练习并没有完全处理完，这样可能会影响了学生对新定理的应用的训练，同时教师要鼓励学困生敢于发表自己的看法，并帮助他们去记忆和运用垂径定理及其逆定理．改进：将课堂上没有处理完的题目布置为课堂作业，做到面批面改，针对学生出现的问题进行个别指导。

课时课题：第三章第2节圆的对称性第1课时课型：新授课授课人：峄城区曹庄中学袁义授课时间：2013年2月26日星期二第1节课教学目标：1.了解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其逆定理，并能运用垂径定理及其逆定理进行计算和证明.3.经历探索圆的轴对称性及相关定理的证明过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 体会数学的严谨性和抽象性，培养学生勇于探索、实事求是的科学精神.同时也让学生感受几何图形的对称美. 培养学生独立思考的习惯，合作交流的意识及创新精神.教学重点与难点：重点：垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明．教法与学法指导：本节课的教学策略是通过学生自己动手折叠、思考、交流等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再者通过教师演示讲解认识圆的轴对称性和垂径定理，学习定理的推导和使用.课前准备：教师准备：多媒体课件．学生准备：自制的圆形纸片．教学过程：一、创设情境，引入新课[师]世界上因为有圆，万物才显得富有生机,请欣赏生活中美丽和谐的图案让我们一起走进圆的美丽世界.(学生在观察这些图案的同时，学习的兴趣也油然而生．)[师]这些图案蕴含着对称美，前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．[师]非常棒！那我们又是如何验证一个图形是轴对称图形？[生]折叠．[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．〖适时课题板书：3.2圆的对称性（1）．明确本节课的学习目标.（课件出示）〗（设计意图：从美丽和谐的图案出发，发现圆的对称美的同时，开门见山引入新课，具有明显对比的图片非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣，提高了学生的学习兴趣，同时也让学生体会到数学来源于生活，增强学好本节课的动力.）二、探索交流，汲取新知[师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？教师课件出示问题．[生](一学生走上讲台,在黑板上画出圆的直径并回答)圆是轴对称图形，这条直径是对称轴. 很快的另一学生说：“对称轴是直线”.[师]有同学提示对称轴是直线，不能说是直径.请第一个同学修改一下.[生]圆的对称轴是直线，而不是线段，应改为直径所在的直线是圆的对称轴.[师]很好，你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下．[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．（学生利用自制的圆形纸片边动手实验，边讲）把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．[师]说的非常好．（情绪饱满）〖教师板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．〗（设计意图：鼓励学生大胆表达自己的想法，这里我没有过早地去评判，把机会留给了学生，让他们在相互交流中形成正确认识.）[师]为了方便我们对圆深入的探索，下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．（引导学生借助图形进行理解）1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．如下图，以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．注意：1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACD(记作ACD)，劣弧ABD(记作AD)．2．请同学们弄清楚这几个名词的联系和区别：直径与弦，半圆与弧，半圆与劣弧、优弧.[生]直径是弦，但弦不一定是直径.半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.（设计意图：在读写认的过程中使学生熟悉基础概念感受优劣弧和弦的长短变化．)三、实践活动，探索新知下面我们一起来做一做：(出示投影片)按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD．3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．[师]老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作,整个过程采用合作学习的策略，鼓励学生亲身参与垂径定理的论证过程，目的在于加深学生对性质本身的理解和掌握．)[师]通过第一步，我们可以得到什么？[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．[师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？[生]我发现了，AM ＝BM ，AC BC =，AD BD =．[师]为什么呢？[生]因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．[师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？[师生共析]如图3-7所示，连接OA 、OB 得到等腰△OAB ，即OA ＝OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM ＝BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合．因此AM ＝BM ，AC =BC ，AD =BD ．[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述，进行方法和规范指导）.如图3-7，连结OA 、OB ，则OA ＝OB ．在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，∵OA ＝OB ，OM ＝OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ，∴AM ＝BM ．∴点A 和点B 关于CD 对称．∵⊙O 关于直径CD 对称，∴当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合． ∴AC =BC ，AD =BD ．（设计意图：通过折叠的方法和证明的方法，探索垂径定理.引导学生体会探索方式的多样性.定理的证明只要求学生理解，不要求所有的学生都掌握.） 图3-7[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：如图3－7，在⊙O 中，AM BM CD AD BD CD AB M AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩，是直径，于．四、联系生活，应用新知下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：例1 如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ，点O 是CD 的圆心)，其中CD ＝600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF ＝90m ，求这段弯路的半径．[师生共析]要求弯路的半径，连结OC ，只要求出OC 的长便可以了．因为已知OE ⊥CD ，所以CF ＝12CD ＝300cm ，OF ＝OE －EF ，此时就得到了一个Rt △CFO ，哪位同学能口述一下如何求解？[生]解：连结OC ，设弯路的半径为r m ，则OF ＝(r －90)m ，∵OE ⊥CD ，∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m)． 据勾股定理，得OC 2＝CF 2＋OF 2，即r 2＝3002＋(r －90)2解这个方程，得r ＝545．∴这段弯路的半径为545m ．[师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．、（及时向学生进行数学思想及方法的渗透）（设计意图：引导学生通过解决垂径定理在生活中的应用问题，感受解决此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解.教师点评学生在黑板上的解答，讲解时注意强调学生容易出错的地方．）五、实践活动，再探新知下面让我们来共同想一想：(出示多媒体课件)如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．[师]上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？[生齐声]它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．[师]很好．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？[生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点B重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，AC=BC，AD=BD．[师]大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下．（引导学生先分析命题的条件和结论，然后由学生到黑板板书，教师进行方法和规范指导）.[生]如上图．连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合，AD与BD重合．[师]在上述的探讨中，你会得出什么结论？[生]平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．[师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”？[生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．[师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．[师]同学们，你能写出它的证明过程吗？[生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．在等腰△OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB（等腰三角形的三线合一）．∵⊙O关于直径CD对称．∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合，AD与BD重合．∴AC=BC，AD=BD．（设计意图：在教学时，首先应鼓励学生独立探索，然后通过同学间的交流得出结论，在这一过程中使学生再次体会研究图形的多种方法.教学时还应鼓励有能力的学生书写证明过程.）六、课堂小结，拓展延伸由学生自我小结本节所学知识与方法.(提示：学生从4方面入手探究：一是学到了哪些知识；二是掌握了哪些数学思想和方法；三是还有哪些发现与猜想；四是还有哪些问题与困惑）.生1．本节课我们探索了圆的对称性．生2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．生3．垂径定理及其逆定理是证明线段相等、垂直，弧相等的重要依据，垂径定理常与勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．（设计意图：充分交流学习心得，可以从知识与技能，过程与方法，情感态度价值观等方面进行，有利于学生总结概括所学的知识，形成完整的知识体系，有利于学生相互交流，相互学习，达到共同提高的目的，有利于学生明确自身的优点与不足，便于今后扬长避短.)七、达标检测，反馈矫正1．（2012，泰安）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．CB=DB C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD2．如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则CD 的长是．3.（2012，珠海）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB =26，CD =24，那么sin ∠OCE = ．4.（2012，南通）如图，⊙O 的半径为17cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝30cm ，CD ＝16cm ，圆心O 位于AB 、CD 的上方，求AB 和CD 间的距离．(本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．训练学生的探究推理能力．)（设计意图：通过此环节让学生经历自主探究、合作交流的过程，自己获取知识，采取 “学生抢答”等形式，进一步理解垂径定理及其逆定理，也能提高学生的合作意识，培养学生团队合作精神和竞争意识.）八、布置作业，落实新知1.基础作业：（1）课本P101，习题3.2 第1、2题；（2）预习内容：P102～107.（预习引导：①圆是中心对称图形．②圆心角、弧、弦之间相等关系定理．）2.拓展作业：课本P101 习题3.2 第3、4题.板书设计：3.2 圆的对称性（1）一、圆是轴对称图形二、与圆有关的概念1.圆弧2.弦3.直径三、垂径定理 例1 1题图 2题图 O A BC D 3题图 4题图投 影 区学生板演区四、垂径定理逆定理教学反思：本课时主要是对圆轴对称图形的认识和圆的第一个性质定理：垂径定理（及逆定理）的探索．垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及到的条件和结论学生容易搞混肴，本节课采取了讲练结合动手操作的教学方法.课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，教学效果良好.建议教学时通过引导学生对垂径定理的特征图形的分析，培养学生抓特征图形的能力，让他们在以后的学习中，对图形可以进行更好的分析，同时提高应用图形的能力.教学中，后进生也参与了活动，但完成的质量不够高，费时较长，一定程度上影响了课堂进度，以后教学中应加强形式多样、效果显著地点拔指导.期待着能更好地引导和帮助学生进行有效的学习.。

课时课题：第三章第2节圆的对称性第2课时课型：新授课授课人：峄城区吴林中学杨传华授课时间：2013年2月27日星期三第一节课教学目标：1．理解圆的旋转不变性；2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．教学重点与难点：重点：1.利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．2.理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．难点：利用所学知识解决问题时忽视“同圆”或“等圆”的条件.教法与学法指导：分组活动、交流研讨并进行归纳.在老师的启发引导下,学生经过观察、操作、猜测、推理论证、归纳等方法探究出新知.学生经过对圆的“轴对称美”的认知和学习后，教师引导学生进一步认识圆的“中心对称美”，通过实际操作体会圆的完美性，培养学生对美的感受，激发学习兴趣．课前准备：多媒体课件、自制两张半径相等且透明的圆形卡片.教学过程：一、知识链接，导入新课师：出示问题1.圆是轴对称图形，其对称轴是什么？2. 我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？3.圆是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？（学生回顾圆的轴对称性及中心对称图形的定义，并进行小组交流）生1：圆是轴对称图形，过圆心的任一条直线都是它的对称轴.生2：将一个图形绕某一个点旋转180°，如果能够和原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.生3：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.本节课我们继续利用圆的对称性探究圆的其它性质教师板书课题：§3.2 圆的对称性（2）设计意图：引导学生认识到圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，从而使学生较为自然地探讨圆的其他特性.二、师生合作，探究新知探究（一）圆的旋转不变性师：（出示问题）请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆.它们能重合吗？如果能重合，将它们的圆心固定，将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ?（学生用自制的两张全等的圆形纸片进行探究并进行归纳）.生：两个圆能重合；将它们的圆心固定在一起，将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆都能重合.师：根据学生的回答进行强调.圆的这一性质称作圆的旋转不变性，即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合. 圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.设计意图：引导学生在已有的认知基础上更深入理解圆的中心对称性是其旋转不变性的特例，激发学生的探究兴趣，为后面的探究学习做好铺垫.探究（二）通过师生共同实验，探究在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间相等关系.师：出示问题在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′,然后将两圆的圆心固定在一起.将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′重合.你能发现哪些等量关系？由此你能等到什么结论？BAO′OB ′A ′学生观察后猜想：AB = A ′B ′, 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 学生用叠合法验证自己的猜想：生：观察思考后动手操作验证自己的结论.师：深入小组进行指导，特别是引导学生注意在旋转使∠AOB 与∠A′O′B ′重合时一定要使OB 相对于O ′B ′的方向与OA 相对于O ′A ′的方向一致.（学生操作完成后教师出示定理）师：（板书）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. （多媒体展示）思考：命题“相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.”是真命题吗？若不是，举出反例.（学生独立思考后小组交流.） 生1：不是真命题.例如：如图，∠AOB =∠A′O′B ′，则AB A B ''=，AB ≠A ′B ′.生2：不是真命题.例如：如图，∠AOB =∠A′O′B ′，则AB A B ''=，AB ≠A ′B ′. 师：（强调）在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提.设计意图：通过实验得到圆的旋转不变性后，引导和帮助学生用叠合法说明该定理，在旋转使∠AOB 与∠A′O′B ′重合时，一定要使OB 相对于O′B ′的方向与OA 相对于O′A′的方向一致,否则当OA 与O′A′重合时, OB 与O′B ′不重合，同时借助举反例加深学生对A B = A ′B ′⌒ ⌒′“在同圆或等圆中”这一前提条件的重要性的认识，培养学生的数学严谨性，提高学生分析问题的能力.探究（三）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.师：出示问题1．在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗?你是怎么想的？2．在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？结论：（学生类比前面的学习先独立完成然后再小组交流）生1：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等，这两个圆心角也相等.学生到讲台运用叠合法进行演示说明.生2：在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，它们所对的弧相等.我也是运用叠合法验证说明的.师：结合前面的定理你能用一句话概括在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系吗？生：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.师：板书定理并作进一步强调.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推理格式：如图所示：BOA O′B′A′(1)∵⊙O和⊙O′是等圆,且∠AOB=∠A′O′B′,∴AB=A′B′，AB A B''=.（2）∵⊙O 和⊙O′是等圆,且AB A B''=,∴AB=A′B′，∠AOB=∠A′O′B′.（3）∵⊙O和⊙O′是等圆,且AB=A′B′,∴AB A B''=，∠AOB=∠A′O′B′.设计意图：进一步培养学生探索新知识的能力，利用圆的旋转不变性探索到圆心角、弧、弦之间相等关系定理，并能用叠合法说明其正确性.同时教师借助多媒体展示定理的推理格式对学生在今后学习中的应用起到规范作用.三、典例导航，引领示范例1 如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥AB重足分别为E，F．⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系？为什么？AB与CD的大小有什么关系？∠AOB与∠COD呢？解：(1)如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF.理由是：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD.∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=12AB,CF=12CD.∴AE=CF.又∵OA=OC,∴Rt△OAE≌Rt△OCF.∴OE=OF.(2) 如果OE=OF那么AB=CD,AB=CD, ∠AOB=∠COD.理由是：DCF OB AE∵OA=OC，OE=OF，∴Rt△OAE≌Rt△OCF. ∴AE=CF.又∵OE⊥AB，OF⊥CD∴AE=12AB,CF=12CD.∴AB=2AE，CD=2CF.∴AB=CD.∴AB=CD,∠AOB=∠COD.设计意图：通过例题的学习既能给学生一个示范，规范学生的解题过程，同时将定理扩充到在同圆或等圆中“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等”关系定理，引导学生结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系.四、巩固升华，拓展思维1.判断正误：（1）相等的圆心角所对弦相等. （）（2）相等的弦所对的弧相等. （）（3）相等的弧所对的圆心角相等. ( )2.⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．3.如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对4.一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为．5. 已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．设计意图：在练习设计中，充分体现学生的分层.分层次练习很好地尊重了学生的个体差异，满足了学生多样化的学习需求，充分体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念.通过练习使学生进一步巩固在同圆或等圆中“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等”关系定理，同时培养学生分析解决问题的能力，从而达到触类旁通的效果.五、课堂小结，反思提升议一议：本节课你有哪些收获？在学习的过程中你用到了哪些方法？生：利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理．在学习的过程中通过观察、猜测后运用叠合法说明结论的正确性，进而得出本节课的定理．设计意图：让学生有充分的时间进行交流，讨论.教师在当中要引导学生去归纳.如：折叠、轴对称、旋转、证明等方法.培养学生总结，归纳知识的能力，语言的表述能力.六、达标检测，反馈矫正1.在⊙O 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B = ．2、如图，AB 、CD 是⊙O 的直径OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，则∠EOD ∠BOF ， AC AE ，AC AE ．3.如图，AB 为⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB =10cm ，OP =5cm ，P A =4cm ，求⊙O 的半径．4.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E ，F ，且AE=BF . 求证：AC =BD .设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，落实目标必做题：课本 知识技能 第1、2题.选做题：如图，在⊙O 中，弦AB =CD ，AB 的延长线与CD3题图2题图4题图ANB PDMO CE的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E、F.你以为∠APE与∠CPE有什么大小关系？为什么？设计意图：分层布置作业，使不同层次的学生都有事可做，心中都有成就感，同时也能调动学生的学习积极性和主动性，相信自己也能完成选做题，培养学生不甘落后的上进意识.板书设计:教学反思:1．本节课师生及生生互动良好，课堂气氛活跃，学生学习激情较高.课堂上我先给学生留有充足的动手实验和思考的时间，在学生探究完成后利用多媒体进行动态演示，使探究的结论更加直观形象.同时，通过学生自己动手体验知识的形成过程，使学生获得成功的体验，学生的自信心很强，学生的观察、分析、归纳等能力都得到了进一步提升.通过解决相关的知识性的问题，让学生体会到数学的严谨美，从而达到教育他们要实事求是、思考问题要缜密的学习态度.在整个教学中我对学生只是一个在方法上的引导者，鼓励、帮助学生自己去发现问题、探究问题，学生在欢快的氛围中完成了本节课的学习目标.这是本节课的成功之处也是我以后的教学指向，相信长此以往一定会取得很好的效果的.2．在授课过程中发现有个别学生在课堂中根本没能能全部顺利的完成，也许会挫伤他们的学习积极性，所以在课后要做好学生的辅导工作.对该定理的文字表达方面，还要引起教师的重视，还应让学生深入发掘创新探究的内容，这样会帮助学生更好地运用整节书的重要知识，提高学生应用新知识的能力.3．学生知识的掌握并不代表能力的提高，很多学生眼高手低，在具体的几何逻辑推理中常常不能严谨的进行推理，或叙述不准确或定理不会运用，这都需要在今后的教学中要注意规范和引导的，同时在课堂教学设计上我会更加努力，力争打造愉快和谐的高效课堂.。

3.2 圆的对称性1．理解圆的旋转不变性；(重点)2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；(重点)3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．(难点)一、情境导入我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．将图中的扇形AOB(阴影部分)绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？二、合作探究探究点：圆心角、弧、弦之间的关系【类型一】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等如图，M为⊙O上一点，MA︵＝MB︵，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求证：MD＝ME.解析：连接MO，根据等弧对等圆心角，则∠MOD＝∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD＝ME.证明：连接MO，∵MA︵＝MB︵，∴∠MOD＝∠MOE，又∵MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，∴MD＝ME.方法总结：圆心角、弧、弦之间相等关系的定理可以用来证明线段相等．本题考查了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型二】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明弧相等如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：BD︵＝BE︵.解析：首先连接OE，由CE∥AB，可证得∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，然后由OC＝OE，可得∠C＝∠E，继而证得∠DOB＝∠BOE，则可证得BD︵＝BE︵.证明：连接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E.∵OC＝OE，∴∠C＝∠E，∴∠DOB＝∠BOE，∴BD︵＝BE︵.方法总结：此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题【类型三】综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E.求AD︵、DE︵的度数．解析：连接CD，由直角三角形的性质求出∠A的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD及∠DCE的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出AD︵、DE︵的度数．解：连接CD，∵△ABC是直角三角形，∠B＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.∵AC＝DC，∴∠ADC＝∠A＝54°，∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72°，∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18°.∵∠ACD、∠BCD分别是AD︵，DE︵所对的圆心角，∴AD︵的度数为72°，DE︵的度数为18°.方法总结：解决本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】有关圆心角、弧、弦之间关系的探究性问题如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点(与圆心O不重合)，直线CP与⊙O相交于点Q.是否存在点P，使得QP＝QO？若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．解析：点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段OA有三种位置关系：点P在线段OA上，点P在OA的延长线上，点P在OA的反向延长线上．分这三种情况进行讨论即可．解：当点P在线段OA上(如图①)，在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP.在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.又∵∠AOC＝30°.∴∠QPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30°.在△OPQ中，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，即(∠OCP＋30°)＋(∠OCP＋30°)＋∠OCP＝180°，整理得3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°；当P在线段OA的延长线上(如图②)，∵OC＝OQ，∴∠OQP＝(180°－∠QOC)×12＝90°－12∠QOC.∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝(180°－∠OQP)×12＝45°＋14∠QOC.在△OQP中，30°＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180°，∴30°＋∠QOC＋90°－12∠QOC＋45°＋14∠QOC＝180°，∴∠QOC ＝20°，则∠OQP ＝80°，∴∠OCP ＝100°；当P 在线段OA 的反向延长线上(如图③)，∵OC ＝OQ ，∴∠OCP ＝∠OQC ＝(180°－∠COQ )×12＝90°－12∠COQ .∵OQ ＝PQ ，∴∠OPQ ＝∠POQ ＝12∠OQC ＝45°－14∠COQ .∵∠AOC ＝30°，∴∠COQ＋∠POQ ＝150°，∴∠COQ ＋45°－14∠COQ ＝150°，∴∠COQ ＝140°，∴∠OCP ＝(180°－140°)×12＝20°.方法总结：本题通过同圆的半径相等，将圆的问题转化为等腰三角形的问题，是一种常见的解题方法，还要注意分类讨论思想的运用．三、板书设计圆的对称性1．圆心角、弧、弦之间的关系2．应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、趣味性.。

圆的对称性教案教学目标：1．理解圆的旋转不变性；2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．教学重点与难点：重点：1.利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．“同圆”或“等圆”的前提条件．难点：利用所学知识解决问题时忽视“同圆”或“等圆”的条件.教法与学法指导：分组活动、交流研讨并进行归纳.在老师的启发引导下,学生经过观察、操作、猜测、推理论证、归纳等方法探究出新知.学生经过对圆的“轴对称美”的认知和学习后，教师引导学生进一步认识圆的“中心对称美”，通过实际操作体会圆的完美性，培养学生对美的感受，激发学习兴趣．课前准备：多媒体课件、自制两X半径相等且透明的圆形卡片.教学过程：一、知识，导入新课师：出示问题1.圆是轴对称图形，其对称轴是什么？2. 我们研究过中心对称图形，我们是用什么方法来研究它的，它的定义是什么？3.圆是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？（学生回顾圆的轴对称性及中心对称图形的定义，并进行小组交流）生1：圆是轴对称图形，过圆心的任一条直线都是它的对称轴.生2：将一个图形绕某一个点旋转180°，如果能够和原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.生3：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.本节课我们继续利用圆的对称性探究圆的其它性质教师板书课题：§3.2 圆的对称性（2）设计意图：引导学生认识到圆是一个特殊的图形，既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形，从而使学生较为自然地探讨圆的其他特性.二、师生合作，探究新知探究（一）圆的旋转不变性师：（出示问题）请同学们观察屏幕上两个半径相等的圆.它们能重合吗？如果能重合，将它们的圆心固定，将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗 ?（学生用自制的两X全等的圆形纸片进行探究并进行归纳）.生：两个圆能重合；将它们的圆心固定在一起，将上面的圆旋转任意一个角度，两个圆都能重合.师：根据学生的回答进行强调.圆的这一性质称作圆的旋转不变性，即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合. 圆的中心对称性是其旋转不变性的特例.设计意图：引导学生在已有的认知基础上更深入理解圆的中心对称性是其旋转不变性的特例，激发学生的探究兴趣，为后面的探究学习做好铺垫.探究（二）通过师生共同实验，探究在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间相等关系. 师：出示问题在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′,然后将两圆的圆的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′重合.你能发现哪些等量关系？由此你能等到什么结论？学生观察后猜想：AB = A ′B ′, 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.学生用叠合法验证自己的猜想：生：观察思考后动手操作验证自己的结论.师：深入小组进行指导，特别是引导学生注意在旋转使∠AOB 与∠A′O′B ′重合时一定要使OB 相对于O ′B ′的方向与OA 相对于O ′A ′的方向一致.（学生操作完成后教师出示定理）师：（板书）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. （多媒体展示）思考：命题“相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.”是真命题吗？若不是，举出反例.（学生独立思考后小组交流.）生1：不是真命题.例如：如图，∠AOB =∠A′O′B ′，则AB A B ''=，AB ≠A ′B ′. 生2：不是真命题.例如：如图，∠AOB =∠A′O′B ′，则AB A B ''=，AB ≠A ′B′.师：（强调）在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提.设计意图：通过实验得到圆的旋转不变性后，引导和帮助学生用叠合法说明该定理，在旋转使∠AOB 与∠A′O′B ′重合时，一定要使OB 相对于O′B ′的方向与OA 相对于A B = A ′B ′ ⌒ ⌒O′A′的方向一致,否则当OA与O′A′重合时,OB与O′B′不重合，同时借助举反例加深学生对“在同圆或等圆中”这一前提条件的重要性的认识，培养学生的数学严谨性，提高学生分析问题的能力.探究（三）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.师：出示问题1．在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗?你是怎么想的？2．在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？结论：（学生类比前面的学习先独立完成然后再小组交流）生1：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等，这两个圆心角也相等.学生到讲台运用叠合法进行演示说明.生2：在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，它们所对的弧相等.我也是运用叠合法验证说明的.师：结合前面的定理你能用一句话概括在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系吗？生：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.师：板书定理并作进一步强调.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推理格式：如图所示：(1)∵⊙O和⊙O′是等圆,且∠AOB=∠A′O′B′,∴AB=A′B′，AB A B''=.（2）∵⊙O 和⊙O′是等圆,且AB A B''=,∴AB=A′B′，∠AOB=∠A′O′B′.（3）∵⊙O和⊙O′是等圆,且AB=A′B′,∴AB A B''=，∠AOB=∠A′O′B′.设计意图：进一步培养学生探索新知识的能力，利用圆的旋转不变性探索到圆心角、弧、弦之间相等关系定理，并能用叠合法说明其正确性.同时教师借助多媒体展示定理的推理格式对学生在今后学习中的应用起到规X作用.三、典例导航，引领示X例1 如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥AB重足分别为E，F．⑴如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？⑵如果OE=OF那么AB与CD的大小有什么关系？为什么？AB与CD的大小有什么关系？∠AOB与∠COD呢？解：(1)如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF.理由是：∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD.∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=12AB,CF=12CD.∴AE=CF.又∵OA=OC,∴Rt△OAE≌Rt△OCF. ∴OE=OF.(2) 如果OE=OF那么AB=CD,AB=CD, ∠AOB=∠COD.理由是：∵OA=OC，OE=OF，∴Rt△OAE≌Rt△OCF.∴AE=CF.又∵OE⊥AB，OF⊥CD∴AE=12AB,CF=12CD.∴AB=2AE，CD=2CF.∴AB=CD.∴AB=CD,∠AOB=∠COD.设计意图：通过例题的学习既能给学生一个示X，规X学生的解题过程，同时将定理扩充到在同圆或等圆中“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等”关系定理，引导学生结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系.四、巩固升华，拓展思维1.判断正误：（1）相等的圆心角所对弦相等. （）（2）相等的弦所对的弧相等. （）（3）相等的弧所对的圆心角相等. ( )2.⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．3.如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对1：3两部分，则弦所对的圆心角为．5. 已知A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，试确定四边形OACB的形状，并说明理由．设计意图：在练习设计中，充分体现学生的分层.分层次练习很好地尊重了学生的个体差异，满足了学生多样化的学习需求，充分体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”巩固在同圆或等圆中“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等”关系定理，同时培养学生分析解决问题的能力，从而达到触类旁通的效果.五、课堂小结，反思提升议一议：本节课你有哪些收获？在学习的过程中你用到了哪些方法？生：利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理．在学习的过程中通过观察、猜测后运用叠合法说明结论的正确性，进而得出本节课的定理．设计意图：让学生有充分的时间进行交流，讨论.教师在当中要引导学生去归纳.如：折叠、轴对称、旋转、证明等方法.培养学生总结，归纳知识的能力，语言的表述能力.六、达标检测，反馈矫正⊙O中，AB=AC，∠A=40°，则∠B=．2、如图，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD∠BOF，AC AE，ACAE．3.如图，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．4.如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E，F，且AE=BF.求证：AC=BD.设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．七、布置作业，落实目标必做题：课本知识技能第1、2题.选做题：如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O 于点E、F.你以为∠APE与∠CPE有什么大小关系？为什么？AN设计意图：分层布置作业，使不同层次的学生都有事可做，心中都有成就感，同时也能调动学生的学习积极性和主动性，相信自己也能完成选做题，培养学生不甘落后的上进意识. 板书设计:教学反思:1．本节课师生及生生互动良好，课堂气氛活跃，学生学习激情较高.课堂上我先给学生留有充足的动手实验和思考的时间，在学生探究完成后利用多媒体进行动态演示，使探究的结论更加直观形象.同时，通过学生自己动手体验知识的形成过程，使学生获得成功的体验，学生的自信心很强，学生的观察、分析、归纳等能力都得到了进一步提升.通过解决相关的知识性的问题，让学生体会到数学的严谨美，从而达到教育他们要实事求是、思考问题要缜密的学习态度.在整个教学中我对学生只是一个在方法上的引导者，鼓励、帮助学生自己去发现问题、探究问题，学生在欢快的氛围中完成了本节课的学习目标.这是本节课的成功之处也是我以后的教学指向，相信长此以往一定会取得很好的效果的.2．在授课过程中发现有个别学生在课堂中根本没能能全部顺利的完成，也许会挫伤他们的学习积极性，所以在课后要做好学生的辅导工作.对该定理的文字表达方面，还要引起教师的重视，还应让学生深入发掘创新探究的内容，这样会帮助学生更好地运用整节书的重要知识，提高学生应用新知识的能力.3．学生知识的掌握并不代表能力的提高，很多学生眼高手低，在具体的几何逻辑推理中常常不能严谨的进行推理，或叙述不准确或定理不会运用，这都需要在今后的教学中要注意规X和引导的，同时在课堂教学设计上我会更加努力，力争打造愉快和谐的高效课堂.。

1．理解圆的旋转不变性；2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．教学重点与难点:重点：1.利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．2.理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．难点：利用所学知识解决问题教法与学法指导：类比学习法。

学生的知识技能基础：学生经过前面的学习，对于圆的已经有了初步的认识，类比圆的轴对称性进行学习。

课前准备：多媒体课件学习过程:一、知识链接，导入新课1、圆是轴对称图形，其对称轴是 .2.垂径定理：3、自学，完成下列问题.（1）.圆的旋转不变性：一个圆饶着它的旋转，都能与重合。

（2）.圆是对称图形，对称中心为二、合作探究探究一师：出示问题在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角∠A O B和∠A′O′B′,然后将两圆的圆心固定在一起。

将其中的一个圆旋转一个角度，使得O A与O′A′重合。

你能发现哪些等量关系？1．2．结论：生：独立完成后，小组交流。

结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

探究二 师：出示问题1．在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗?你是怎么想的？2．在同圆或等到圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？它们所对的弧相等吗？你是怎么想的？结论： 生：完成后，小组交流。

结论:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

三、典例导航例1 如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥AB 重足分别为E ，F ．⑴如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？⑵如果OE=OF 那么AB 与CD 的大小有什么关系？为什么？ A B = C D 的大小有什么关系？∠ AOB 与∠ COD 呢？四、巩固升华，拓展思维1、判断正误：（1）相等的圆心角所对弦相等 （ ） （2）相等的弦所对的弧相等 （ ）2、⊙O 中，弦AB 的长恰等于半径，则弦AB 所对圆心角是________度．3、如果两条弦相等，那么（ ）A ．这两条弦所对的弧相等B ．这两条弦所对的圆心角相等C ．这两条弦的弦心距相等D ．以上答案都不对4、一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 ．5. 课本p107数学理解3.CA FBEOD五、反思总结议一议：在得出本节结论的过程中你用到了哪些方法？讨论归纳出：利用折叠法研究了圆是轴对称图形；利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理。