•3.1空间向量及其运算•3.1.3空间向量的数量积运算自主学习新知突破目标导航•1.掌握空间向量的数量积的概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律.•2.能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直.入门答疑•为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为5 000 kg,在它的顶点处分别受大小相同的力件，F2,耳并且每两个力之间的夹角都是60°.（其中g=10N/kg）•［问题1］向量“和一巧夹角为多少？•［提示1］120°.•［问题2］每个力最小为多少时，才能提起这+41汩宦丄土皿片o块混凝土构件？［提示2］每个力大小为IFol,合力为IFI, .•.IFI2=(F1+F2+F3)-(F1+F2+F3)=(F1+F2+F3)2=6IF O I2・•・ \F\=y［6\F0\走进教材空间向量的夹角互相垂直日丄b•如果〈°,方〉=,那么向量a, b ___________ 记作❹思维启迪〕对空间向量夹角的认识⑴通常规定OW〈a, b) W TT,这样两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a, b) = {b, a}.(2)作向量。
与〃的夹角时，必须使力，亦为同起点的向量，例如：在正四面体ABCD中，＜AB, AC) =60°,而〈赢BC) =120°.空间向量的数量积❶思维启迪〕•对空间向量的数量积的理解-(1)数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零；•(2＞力二Ooa丄〃(a , 〃为非零向量)；•(3)向量a , 〃的夹角(a f b)与点的坐标(a z 6不同；•(4)a力的几何意义:a与方的数量积等于a的长度⑷与〃在a的方向上的投影血cos 0的乘积・自主练习1.下列各命题中，不正确的命题的个数为（②加(加)•方=(mX)a・b(m,久W R)；③a・(b+c) = e+c)・a；®(Tb—lra.A・4 B・3C・2D・1•解析:•答案:命题①②③正确/④不正确•2・在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是（）A.历与dZB.石与cFC.布与4彷D.旋与B G解析：<AB, A f C f ) = {AB, AC) =45°,〉=180°- <AB, AC) =135°,〈赢4'力〉=〈赢AD) =90°,〈赢B f~A f〉= 180°・答案：B7T 7T3.设a丄b,〈a, c} =y {b, c) =g,且lal=l, I方1=2, lcl = 3,则向量a+b+c的模是 __________________ .解析：因为la+b+cF = (a+b+c)2= \a\2-\-\b\2~\~\c\2-\-2(a-b~\~a-c-\~b-c)( 1 、问)= l+4+9 + 2^0+lX3X-+2X3X^j= 17 + 6^3, 所以la+b+cl =寸17+6寸§.答案：寸17+6帝• 4・如图所示，平行六面^ABCD-A i B i C i D i 中，AB=l, AD=2, AA] = 3, ABAD—90° ,/BAA]=z£>AAi=60° ,求AC】的长.解析：因^AC X=AB+M)+AA X,所以AC\=(^+AD+AA^=葫+必+荷+2(ikib+葫萬+巫彼). 因为ZBAD=90°, ZBAAi = ZDAAi = 60。
