第二章随机变量及其分布§2.1 随机变量§2.2 离散型随机变量§2.3 连续型随机变量§2.4 随机变量函数的分布一、随机变量的概念§2.1 随机变量观察下列随机试验：例1(见教材P44){123456},,,,,.Ω=试验1掷一个骰子，观察其出现的点数.记掷出的点数为X .样本空间注X 的取值依随机试验的结果而确定，这个结果是数.分析§2.1 随机变量观察下列随机试验：例1(见教材P44)试验2 掷一枚均匀的硬币，观察是否出现正面.样本空间H 表示出现正面，T 表示出现{H T},Ω=，1,0X ⎧=⎨⎩出现正面，，出现反面.注X 的取值不是数，它依随机试验的结果而确定，具有随机性.反面. 令分析1. 随机变量的定义2) 随机变量通常用大写英文字母X 、Y 、Z 等表示, 小写字母x,y,z 等表示随机变量所取的值.注1) 随机变量实质是一个定义在样本空间Ω上，取值为实数的函数；设Ω是随机试验E 的样本空间,如果对于∀ω∈Ω,都有定义1唯一确定的实数X (ω)与之对应,则称X (ω)为随机变量，简记为X .2.用随机变量表示随机事件例2(见教材P45)分析掷一枚均匀的硬币,观察是否出现正面.X 是随机变量,用H 表示出现正面,T 表示出现反面.样本空间为记{H T},Ω=，1,0X ⎧=⎨⎩出现正面，，出现反面.出现反面,{0}X =表示出现正面.{1}X =表示例3 (见教材P45)分析掷一枚均匀的硬币两次,观察出现正面、用H表示出现正面,T表示出现反面.样本空间为：{HH,HT,TH,TT}Ω=记X为出现正面的次数,则X是一个随机变量,{0}X=={TT}，{1}X=={HT,TH}，{2}X=={TT}反面情况.例4(见教材P45)分析掷一个骰子, 观察其出现的点数.样本空间为：{1,2,3,456}Ω=，，，记掷出的点数为X,则X是一个随机变量,而且(),Xωω={1}X=表示事件“掷出的点数是1点”,即{ω| X(ω)= 1}={1}. {4}X≤表示事件“掷出的点数不超过4”,即{ω| 1≤X(ω)≤4}={1,2,3,4}.例5(见教材P45)分析测试某灯泡的使用寿命(单位：小时).样本空间为：{0}t |t Ω=≥，记灯泡的使用寿命为X ,则X 是一个随机变量,(),0,X t t t =≥{1000}X >表示事件“该灯泡的使用寿命超过1000小时”;{100400}X ≤≤表示事件“该灯泡的使用寿命大于等于100小时但不超过400小时”,{100≤X ≤400}={t |100≤X (t )≤400}=[100，400].二、分布函数设X 为随机变量,则称定义在全体实数上的函数为X 的分布函数.注(1){X ≤x }是事件{ω| X (ω)≤x }的简写形式；1. 分布函数的定义定义2F (x ) =P {X ≤x }, -∞< x < +∞,分布函数:F (x ) =P {X ≤x }, -∞< x < +∞xX ≤]0x 122121{}{}{}()()P x X x P X x P X x F x F x <≤=≤-≤=-x 1x 2xX o 注(3)若把x 看作数轴上的点，则随机变量X 的分布函数F (x )的函数值就是X 的可能取值落在区间(-∞, x ]上的概率.第二章随机变量及其分布§2.1随机变量(1) 0≤F (x ) ≤1;(2) 单调不减，即对于任何x 1<x 2,有F (x 1) ≤F (x 2);(3) 右连续,对任何实数x ,有F (x+0)=F (x );2. 分布函数的性质(4)()lim ()0,()lim () 1.x x F F x F F x →-∞→+∞-∞==+∞== 注若一个函数F (x )满足上面的4条性质,则函数F (x )一定可以作为某一个随机变量的分布函数.因此,这4条性质可作为判别某个函数是否为分布函数的充要条件.第二章随机变量及其分布§2.1随机变量若F 1(x ),F 2(x ),…,F n (x )均是分布函数,下列函数是否为分布函数?1(1)()n i i i a F x =∑=a 1F 1(x )+a 2F 2(x )+…+a n F n (x )；1(1,n i i i a a ==∑≥0,i =1,2,…,n )1(2)()n ii F x =∏=F 1(x )F 2(x )…F n (x );拓展问题1(3)1[1()].ni i F x =--∏详细分析见75页“重要补存及扩展问题”中一.例6(见教材P46)分析下列函数中,可以作为随机变量分布函数的是( ).(A) F (x )=21.1x+(B) F (x )=3142π+arctan x.(C) F (x )=0,0,,0.1x x x x ≤⎧⎪⎨>⎪+⎩(D) F (x )=2πarctan x+1.(A)中，F (+∞)=0≠1；(B)中，F (-∞)=12≠0；(D)中，F (+∞)=2≠1；可验证(C)满足分布函数的4条性质.C(1) P {X ≤b }=F (b ); P {a <X ≤b }=F (b )-F (a );(2) P {a ≤X ≤b }=F (b )-F (a )+P {X =a};3. 用分布函数表示相关事件的概率设X 的分布函数为F (x )，则(3) P {X <b }=F (b -0),其中; (0)lim ()x bF b F x -→-=(4) P {a ≤X <b }=F (b -0)-F (a -0),P {a < X <b }=F (b -0)-F (a );(5) P {X =b }=F (b )-F (b -0).例7 (见教材P47)解已知随机变量X 的分布函数为,0()0,0λx A Be x F x x -⎧+>=⎨≤⎩，，其中λ>0. 求(1) A , B ；(2) P {−1< x < 1}.(1) 由1=F (+∞)= =A ,以及分布函数右连续有lim ()λx x A Be -→+∞+00lim ()lim ()λx x x F x A Be ++-→→=+=A +B =F (0)=0，故A =1,B =−1.(2) P {−1< x < 1} =F (1−0) − F (−1) +λA Be -=. 1.λe -=-第二章随机变量及其分布§2.1随机变量注求分布函数F(x)中的未知参数一般可利用其右连续性以及F(-∞)=0,F(+∞)=1.拓展问题分布函数能唯一确定随机变量?详细分析见75页“重要补存及扩展问题”中的一.第二章随机变量及其分布§2.1随机变量离散型随机变量随机变量§2.2连续型随机变量§2.3非离散型也非连续型随机变量详见75页“重要补存及扩展问题”中的3。
