高考数学一轮复习课时分层训练39平行关系文北师大版

学习资料汇编第三节平行关系[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．(2)性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．(3)符号与图形语言2.平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(2)性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．(3)符号与图形语言(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( )[答案] (1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)下列命题中，正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥αD[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]3．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为mα，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．平行[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]5．(2017·河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若mα，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上序号)．②[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或mβ，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．与β平行的直线．．．，则在α内不存在D．若m，n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能D[A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若mα，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．] [规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．[变式训练1] (2017·唐山模拟)若m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是( )A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αB ．若m α，n β，m ∥β，n ∥α，则α∥βC ．若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ∥nD ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，nβ，则n ∥βD [在A 中，若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α或n α，故A 错误．在B 中，若m α，n β，m ∥β，n ∥α，则α与β相交或平行，故B 错误．在C 中，若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误．在D 中，若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n β，则由线面平行的判定定理得n ∥β，故D 正确．](2016·南通模拟)如图7­3­1所示，斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1? (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．图7­3­1[解] (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1. 2分连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1. 4分 又∵OD 1平面AB 1D 1，BC 1平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. 6分 (2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O 得BC 1∥D 1O ，8分∴A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB， 又由题(1)可知A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，A 1OOB＝1， ∴DC AD ＝1，即AD DC＝1. 12分[规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用反证法(线面平行的定义)；(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a ∥b ⇒a ∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a ∥α⇒a ∥β)．2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．[变式训练2] (2014·全国卷Ⅱ)如图7­3­2，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．图7­3­2(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝3，三棱锥P ­ABD 的体积V ＝34，求A 到平面PBC 的距离． [解] (1)证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为四边形ABCD 为矩形， 所以O 为BD 的中点， 又E 为PD 的中点， 所以EO ∥PB . 3分 因为EO 平面AEC ，PB平面AEC ，所以PB ∥平面AEC . 5分 (2)由V ＝16PA ·AB ·AD ＝36AB ，又V ＝34，可得AB ＝32. 作AH ⊥PB 交PB 于点H . 7分 由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ， 故AH ⊥平面PBC .在Rt △PAB 中，由勾股定理可得PB ＝132，所以AH ＝PA ·AB PB ＝31313.所以A 到平面PBC 的距离为31313. 12分如图7­3­3所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .图7­3­3[证明] (1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，GH ∥B 1C 1. 2分 又∵B 1C 1∥BC ， ∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面. 5分(2)在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∴EF ∥BC . ∵EF平面BCHG ，BC 平面BCHG ，∴EF ∥平面BCHG . 7分 ∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形，则A 1E ∥GB . ∵A 1E平面BCHG ，GB 平面BCHG ，∴A 1E ∥平面BCHG . 10分 ∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EFA 1∥平面BCHG . 12分[迁移探究] 在本例条件下，若点D 为BC 1的中点，求证：HD ∥平面A 1B 1BA . [证明] 如图所示，连接HD ，A 1B ， ∵D 为BC 1的中点，H 为A 1C 1的中点， ∴HD ∥A 1B . 5分又HD平面A1B1BA，A 1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA. 12分[规律方法] 1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．[变式训练3] (2016·山东高考) 在如图7­3­4所示的几何体中，D是AC的中点，EF ∥DB.图7­3­4(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.[证明](1)因为EF∥DB，①所以EF与DB确定平面BDEF. 2分如图①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF. 4分因为FB平面BDEF，所以AC⊥FB. 5分②(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF. 8分又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH∥平面ABC. 12分[思想与方法]1．线线、线面、面面平行的相互转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．2．直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．3．平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.[易错与防范]1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．2．(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用．敬请批评指正。

9.3 平行关系中心考点·精确研析考点一直线、平面平行的基本问题1. 如图 ,P 为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q 为 PA 的中点 ,O 为 AC与 BD的交点 , 下边说法错误的选项是()A.OQ∥平面 PCDB.PC∥平面 BDQC.AQ∥平面 PCDD.CD∥平面 PAB2. 已知 a,b 表示直线 , α, β, γ表示平面,则以下推理正确的选项是()A. α∩β =a,bα ? a∥ bB. α∩β =a,a ∥ b? b∥α且 b∥βC.a ∥β ,b ∥β ,aα,bα ?α∥βD.α∥β , α∩γ =a, β∩γ =b ? a∥ b3. 如图是长方体被一平面所截得的几何体, 四边形 EFGH为截面 , 则四边形EFGH的形状为.【分析】 1. 选 C. 由于 O为平行四边形 ABCD对角线的交点 , 所以 AO=OC,又 Q为 PA的中点 , 所以 QO∥PC.由线面平行的判断定理 , 可知 A、B 正确 , 又四边形 ABCD为平行四边形 , 所以 AB∥ CD,故 CD∥平面 PAB,故 D正确 .2. 选 D. 选项 A 中, α∩β =a,bα,则a,b可能平行也可能订交, 故 A 不正确 ;选项 B 中, α∩β =a,a ∥ b, 则可能 b∥α且 b∥β , 也可能 b 在平面α或β内 , 故 B 不正确 ;选项 C中,a ∥β ,b ∥β ,aα,bα,依据面面平行的判断定理, 再加上条件a∩b=A, 才能得出α∥β,故 C不正确 ;选项 D 为面面平行性质定理的符号语言.3. 由于平面ABFE∥平面 CDHG,又平面 EFGH∩平面 ABFE=EF,平面 EFGH∩平面 CDHG=HG,所以 EF∥ HG.同理 EH∥ FG,所以四边形EFGH是平行四边形 .答案 : 平行四边形直线、平面间平行的判断方法(1)关注能否切合判断定理与性质定理, 并注意定理中易忽略的条件 .(2)联合题意结构或绘制图形 , 联合图形作出判断 .(3)利用实物进行空间想象 , 比较判断 .(4)熟记一些常有结论 , 如垂直于同一条直线的两个平面平行等.【秒杀绝招】直接法解T1, 由于 Q是 AP 的中点 , 故 AQ∩平面 PCD =P,所以 AQ∥平面 PCD是错误的 .考点二直线、平面平行的判断与性质【典例】 1. 在三棱锥 S-ABC中 , △ ABC是边长为 6 的正三角形 ,SA=SB=SC=15,平面 DEFH分别与 AB,BC,SC,SA 交于 D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,假如直线SB∥平面 DEFH,那么四边形DEFH的面积为.2. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, △ ABC为正三角形 , 点 D在棱 BC上 , 且 CD=3BD,点 E,F 分别为棱AB,BB1的中点 .求证 :A 1C∥平面 DEF.【解题导思】序号联想解题1由直线 SB∥平面 DEFH,联想到利用线面平行的性质 , 判断四边形 DEFH的形状 , 从而获得其面积 .求证 A1C∥平面 DEF,只需想法在平面DEF上找到与A1C平行的直线即可, 由于 CD=3BD,故联想到2连结 A1B, 在△ BA1C 中由比率关系证明平行关系.【分析】 1. 取 AC的中点 G,连结 SG,BG.易知 SG⊥ AC,BG⊥ AC,SG∩ BG=G,故 AC⊥平面 SGB,所以 AC⊥ SB.又 D,E 分别为 AB,BC的中点 ,则 H,F 也为 AS,SC 的中点 ,从而得 HF∥AC∥ DE,且 HF= AC=DE,所以四边形DEFH为平行四边形 .又 AC⊥ SB,SB∥ HD,DE∥ AC,所以 DE⊥ HD,所以四边形DEFH为矩形 ,其面积 S=HF· HD=·=.答案 :2. 如图 , 连结 AB1,A 1B, 交于点 H,A1B 交 EF 于点 K, 连结 DK,由于 ABB1A1为矩形 , 所以 H 为线段 A1B 的中点 , 由于点 E,F 分别为棱AB,BB1的中点 , 所以点 K 为线段 BH的中点 , 所以 A1K=3BK,又由于 CD=3BD,所以 A1C∥ DK,又 A1C?平面 DEF,DK平面DEF,所以A1C∥平面DEF.1. 利用判断定理判断直线与平面平行, 重点是找平面内与已知直线平行的直线. 可先直观判断平面内能否已有 , 若没有 , 则需作出该直线, 常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线 .2.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义 ( 无公共点 ).(2) 利用线面平行的判断定理(a ?α,bα,a∥ b? a∥α ).(3)利用面面平行的性质 ( α∥β ,aα ? a∥β ;α∥β ,a ?β,a∥α ? a∥β ).1. 如下图 , 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, 点 E 为 AD的中点 , 点 F 在 CD上 . 若 EF∥平面 AB1C, 则线段 EF 的长度为.【分析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中 ,AB=2,所以 AC=2.又 E 为 AD中点 ,EF ∥平面 AB1C,EF平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,所以 EF∥ AC,所以 F 为 DC中点 ,所以 EF= AC=.答案 :2. 如下图 , 已知四棱锥P-ABCD,BC∥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为 PD的中点 .证明 :CE∥平面 PAB.【证明】设PA的中点为F, 连结 EF,FB.由于 E,F 分别为 PD,PA的中点 , 所以 EF∥AD,且 EF= AD.又由于 BC∥ AD,BC= AD,所以 EF∥ BC,且 EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形 , 所以 CE∥BF, 又 BF平面 PAB,CE?平面 PAB,所以 CE∥平面 PAB.【一题多解微课】解决此题还能够采纳以下方法 : 扫码听名师解说方法一 : 分别延伸AB,DC交于点 F, 连结 PF,BC= AD,则 FC=CD,又 ED=EP,则 EC∥PF, 由于 EC?平面 PAB,PF平面PAB,所以EC∥平面PAB.方法二 : 取 AD的中点 M,连结 EM,CM,EM∥ PA,EM?平面 PAB,PA平面PAB,EM∥平面PAB,又BC AD=AM,四边形 ABCM为平行四边形 ,则 CM∥ AB.CM?平面 PAB,AB平面PAB.CM∥平面 PAB,EM∩ CM=M,则平面 ECM∥平面 PAB,由于 CE平面 ECM,所以 CE∥平面 PAB.考点三面面平行的判断与性质及平行的综合问题命考察直线、平面平行的综合问1.考什么 : (1) 考察面面平行的判断与性质定理的应用.(2)题题 .(3) 考察直观想象、逻辑推理、数学运算的中心修养.精2.怎么考 : 以柱、锥等几何体为载体 , 考察证明线线、线面、面面平行 .解3.新趋向 : 考察作已知几何体的截面或求截面面积问题.读1. 证明面面平行的方法学(1) 面面平行的定义 .霸(2) 面面平行的判断定理 .好(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行.方(4) 两个平面同时平行于第三个平面, 那么这两个平面平行 .法(5) 利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的性质互相转变.2.交汇问题 : 常联系柱、锥等几何体命题 , 考察平行、垂直或空间角 .面面平行的判断与性质【典例】 1. 如下图 , 在三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.(2) 平面 EFA1∥平面 BCHG.【证明】 (1) 由于 G,H 分别是 A1B1,A 1C1的中点 ,所以 GH是△ A1B1C1的中位线 , 所以 GH∥ B1C1.又由于 B1C1∥ BC,所以 GH∥ BC,所以 B,C,H,G 四点共面 .(2) 由于 E,F 分别是 AB,AC 的中点 , 所以 EF∥ BC.由于 EF?平面 BCHG,BC平面BCHG,所以 EF∥平面 BCHG.又 G,E 分别为 A1B1,AB 的中点 ,A 1B1∥ AB且 A1B1=AB,所以 A1G∥ EB,A1G=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形 , 所以 A1E∥GB.又由于 A1E?平面 BCHG,GB平面BCHG,所以 A1E∥平面 BCHG.又由于 A1E∩EF=E,A1E,EF平面EFA1,所以平面EFA1∥平面 BCHG.2. 如图 , 在三棱柱 ABC-A1B1C1中 , ∠ B1A1A=∠ C1A1A,AA1=AC,P,Q 分别为棱 AA1,AC 的中点 . 在平面 ABC内过点A 作 AM∥平面 PQB1交 BC于点 M,写出作图步骤 , 但不要求证明 .【分析】如图 , 在平面 ABB1A1内 , 过点 A 作 AN∥ B1P 交 BB1于点 N, 连结 BQ,在△ BB1Q中 , 作 NH∥ B1Q交 BQ 于点 H, 连结 AH并延伸交 BC于点 M,则 AM为所求作的直线 .平行关系的综合应用【典例】如下图, 四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 a 的正方形 , 侧棱 PA⊥底面 ABCD,在侧面 PBC内, 有 BE ⊥ PC于 E, 且 BE= a, 试在 AB上找一点F, 使 EF∥平面 PAD.【分析】在平面PCD内 , 过 E 作 EG∥ CD交 PD于 G,连结 AG,在 AB 上取点 F, 使 AF=EG,由于 EG∥ CD∥ AF,EG=AF,所以四边形FEGA为平行四边形 , 所以 FE∥ AG.又 AG平面PAD,FE?平面PAD,所以EF∥平面PAD.所以 F 即为所求的点 . 又 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥ BC,又 BC⊥ AB,所以 BC⊥平面 PAB.所以 PB⊥ BC.所以222222 PC=BC+PB=BC+AB+PA.设 PA=x 则 PC=, 由 PB· BC=BE· PC得 :· a=·a,所以 x=a, 即 PA=a, 所以 PC= a.又 CE== a,所以=,所以==,即 GE= CD= a, 所以 AF= a.故点 F 是 AB上凑近 B 点的一个三平分点.1.如图 , 平面α∥平面β∥平面γ, 两条直线 a,b 分别与平面α, β, γ订交于点 A,B,C 和点 D,E,F. 已知AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm, 则 AC的长为 cm.【分析】由于平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b 分别与平面α,β,γ 订交于点A,B,C 和点 D,E,F,过 D 作直线平行于 a 交β于 M,交γ于 N. 连结 AD,BM,CN,ME,NF,所以 AD∥BM∥ CN,ME∥ NF,所以==,由于 AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,所以= , 解得 BC=cm,所以 AC=AB+BC=2+= (cm).答案 :2.如图 , 已知点 P 是平行四边形 ABCD所在平面外一点 , 点 M,N 分别是 AB,PC的中点 .(1) 求证 :MN∥平面 PAD.(2)在 PB上确立一个点 Q, 使平面 MNQ∥平面 PAD.【分析】 (1) 如图 , 取 PD的中点 H, 连结 AH,NH,由点 N 是 PC的中点 , 知 NH∥ DC,NH= DC.由点 M是 AB的中点 , 知 AM∥DC,AM= DC,所以 NH∥ AM,NH=AM,即四边形A MNH是平行四边形.所以 MN∥ AH.又由于 MN?平面 PAD,AH平面PAD,所以MN∥平面PAD.(2) 若平面 MNQ∥平面 PAD,则应有 MQ∥PA,由于点 M是 AB中点 , 所以点 Q是 PB的中点 .在四周体ABCD中 ,M,N 分别是面△ ACD、△ BCD的重心 , 则四周体的四个面中与MN平行的是________________.【分析】如图, 连结 AM并延伸交CD于 E, 连结 BN并延伸交CD于 F, 由重心性质可知,E,F 重合为一点 , 且该点为 CD的中点 E, 由== , 得 MN∥ AB,所以 ,MN∥平面 ABC且 MN∥平面 ABD.答案 : 平面 ABC、平面 ABD。

学习资料汇编课时分层训练(三十八) 平行关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，nα，则“α∥β”是“m ∥β且n∥β”的( )【导学号：66482332】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若m，nα，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，nα，m∥β，且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．] 2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )图7­3­5A．①③B．②③C．①④D．②④C[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]3.(2017·山东济南模拟)如图7­3­6所示的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )图7­3­6A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能B [在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1. ∵AB 平面ABC ，A 1B 1平面ABC ，∴A 1B 1∥平面ABC .∵过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ， ∴DE ∥A 1B 1，∴DE ∥AB .]4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥αB [若m ∥α，n ∥α，则m ，n 平行、相交或异面，A 错；若m ⊥α，n α，则m ⊥n ，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n α，C 错；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能相交，可能平行，也可能n α，D 错．]5．给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l α，m β，则α∥β； ②若α∥β，l α，m β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0C [①中，当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中，l 与m 也可能异面；③中，⎩⎪⎨⎪⎧l ∥γ，l α，α∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．]二、填空题6．设α，β，γ为三个不同的平面，a ，b 为直线，给出下列条件：①a α，b β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥b .其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号)． ②④ [在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交． 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a ⊥α，a ∥b ⇒b ⊥α，从而α∥β，④满足．]7．如图7­3­7所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．图7­3­72 [在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.]8．(2016·衡水模拟)如图7­3­8，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.图7­3­8【导学号：66482333】平面ABC ，平面ABD [连接AM 并延长交CD 于E ，则E 为CD 的中点．由于N 为△BCD 的重心， 所以B ，N ，E 三点共线，且EM MA ＝EN NB ＝12，所以MN ∥AB . 于是MN ∥平面ABD 且MN ∥平面ABC .] 三、解答题9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图7­3­9所示． (1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论.【导学号：66482334】图7­3­9[解] (1)点F ，G ，H 的位置如图所示. 5分(2)平面BEG ∥平面ACH ，证明如下： 因为ABCD ­EFGH 为正方体， 所以BC ∥FG ，BC ＝FG . 7分又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ，于是四边形BCHE 为平行四边形，所以BE ∥CH . 9分 又CH 平面ACH ，BE 平面ACH ，所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH .又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH . 12分10．(2017·西安质检)如图7­3­10，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.图7­3­10求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.[证明] (1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC. 2分又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C. 5分(2)因为棱柱ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1. 7分因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC. 10分因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1. 在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是( )图7­3­11A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°C[因为截面PQMN是正方形，所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A，B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]2．如图7­3­12所示，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B ∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________.【导学号：66482335】图7­3­121[设BC1∩B1C＝O，连接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.]3．如图7­3­13所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC，设D，E分别为PA，AC的中点．图7­3­13(1)求证：DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．[解](1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点，∴DE∥PC. 2分又∵DE平面PBC，PC平面PBC，∴DE∥平面PBC. 5分(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行. 7分证明如下：取AB的中点F，连接EF，DF.由(1)可知DE∥平面PBC.∵点E是AC中点，点F是AB的中点，∴EF∥BC. 10分又∵EF平面PBC，BC平面PBC，∴EF∥平面PBC.又∵DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面PBC，∴平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行. 12分敬请批评指正。

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课时分层训练(三十八）平行关系A组基础达标（建议用时：30分钟)一、选择题1．设m，n是不同的直线，α,β是不同的平面，且m,nα，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（）【导学号：66482332】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[若m，nα,α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，nα，m∥β,且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．] 2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点,M，N，P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）图7­3。

5A．①③B．②③C．①④D．②④C［对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP;对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]3。

(2017·山东济南模拟)如图7­3。

6所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是（）图7.3。

6A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能B［在三棱柱ABC。

[基础题组练 ]1．若直线l 不平行于平面α，且l?/ α，则( )A ．α内的全部直线与l 异面B．α内不存在与l 平行的直线C．α与直线l 起码有两个公共点D．α内的直线与l 都订交分析：选 B. 由于l?/ α ，直线l 不平行于平面α，因此直线l 只好与平面α订交，于是直线 l 与平面α只有一个公共点，因此平面α内不存在与l 平行的直线．(2．(2020 ) 陕·西华阴模拟)已知直线l ，m，平面α，β，γ，则以下条件能推出l∥ m 的是A ． l α，m β，α∥βB．α∥β，α∩γ＝ l，β∩γ＝ mC．l ∥α， m αD． l α，α∩β＝m分析：选 B. 选项 A 中，直线l， m 也可能异面；选项 B 中，依据面面平行的性质定理，可推出l∥ m， B 正确；选项 C 中，直线l ， m 也可能异面；选项 D 中，直线l ， m 也可能相交，应选 B.3． (2020 ·徽芜湖一致模拟考试安)设a， b，c 表示不一样直线，α，β 表示不一样平面，下列命题：①若a∥ c，b∥ c，则a∥ b；②若a∥ b，b∥α，则a∥ α；③若a∥ α，b∥α，则a∥ b；④若 a α，b β，α ∥β，则a∥ b.真命题的个数是( )A ． 1 B． 2C．3 D． 4分析：选 A. 由题意，关于①，依据线线平行的传达性可知①是真命题；关于②，依据a∥ b，b∥α，能够推出a∥ α或 aα，故②是假命题；关于③ ，依据a∥ α，b∥α，能够推出 a 与 b 平行、订交或异面，故③是假命题；关于④，依据 aα，bβ.α∥β，能够推出a∥b或 a 与 b 异面，故④是假命题，因此真命题的个数是1，应选 A.4.如下图，在空间四边形ABCD 中， E， F 分别为边 AB，AD 上的点，且 AE∶ EB＝ AF∶ FD ＝ 1∶ 4，又 H，G 分别为 BC，CD 的中点，则()A ． BD∥平面 EFGH ，且四边形EFGH 是矩形B．EF ∥平面C．HG ∥平面D． EH∥平面BCD，且四边形EFGH 是梯形ABD ，且四边形EFGH 是菱形ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形分析：选 B. 由 AE∶ EB＝ AF∶ FD ＝ 1∶ 4 知 EF 綊1BD，又 EF?/ 平面 BCD，因此 EF∥5平面 BCD .又 H， G 分别为 BC， CD 的中点，因此HG 綊1BD，因此 EF∥ HG 且 EF≠ HG. 2因此四边形 EFGH 是梯形．5．在正方体 ABCD -A B C D 中，E 是 DD1 的中点，则 BD 与平面 ACE 的地点关系为1 1 1 1 1________．分析：如图，连结 AC，BD 交于 O 点，连结 OE，由于 OE∥BD 1，而 OE 平面 ACE，BD ?/ 平面 ACE，因此 BD ∥平面 ACE.1 1答案：平行6.如图，正方体ABCD -A1B1C1D 1中， AB＝ 2，点 E 为 AD 的中点，点F在CD上．若EF ∥平面 AB1 C，则线段 EF 的长等于 ________．分析： 由于 EF ∥ 平面 AB 1C ，EF平面 ABCD ，平面 ABCD ∩平面 AB 1C ＝AC ，因此EF ∥ AC ，因此 F 为 DC 的中点．1故EF ＝2AC ＝ 2.答案： 27．在三棱柱 ABC-A 1 B 1C 1 中，已知侧棱与底面垂直， ∠ CAB ＝90°，且 AC ＝1，AB ＝ 2，2E 为 BB 1 的中点， M 为 AC 上一点， AM ＝3AC.2(1)若三棱锥 A 1- C 1ME 的体积为 6 ，求 AA 1 的长；(2)证明： CB 1∥平面 A 1EM .解： (1)设 AA 1＝ h ，由于 VA 1- C 1ME ＝ VE- A 1C 1M ，S △ A 1C 1 M ＝1A 1C 1× h ＝ h，三棱锥 E-A 1C 1M 的高为 2，2 2 因此 VE- A 111× h×2＝ 2，解得 h ＝ 2，即 AA 12C M ＝3262＝ 2 .(2)证明： 如图 ，连结 AB交 A E 于点 F ，连结 MF.11由于 E 为 BB1的中点，因此 AF＝23AB1，2又 AM ＝3AC，因此 MF∥ CB1，又 MF平面A1EM，CB1?/平面A1EM，因此 CB 1∥平面 A1EM .8．(2020 南·昌市摸底调研 )如图，在四棱锥 P-ABCD 中，∠ABC＝∠ ACD＝ 90°，∠ BAC ＝∠ CAD ＝60°， PA⊥平面 ABCD ， PA＝ 2， AB＝ 1.设 M， N 分别为 PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面 PAB；(2)求三棱锥P-ABM 的体积．解： (1)证明：由于 M， N 分别为 PD ， AD 的中点，因此 MN ∥ PA，又 MN?/ 平面 PAB， PA平面PAB，因此 MN∥平面 PAB.在 Rt△ACD 中，∠ CAD ＝60°， CN＝AN，因此∠ACN＝ 60° .又∠ BAC＝ 60°，因此CN∥ AB.由于 CN ?/ 平面 PAB， AB平面PAB，因此CN∥ 平面PAB.又 CN∩ MN＝ N，因此平面 CMN ∥平面 PAB.(2)由 (1) 知，平面 CMN ∥平面 PAB，因此点 M 到平面 PAB 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离．由于 AB ＝ 1，∠ ABC＝ 90°，∠ BAC ＝ 60°，因此 BC＝3，因此三棱锥 P-ABM 的体积 V＝ V M-PAB＝ V C-PAB＝ V P-ABC＝1×1×1×3× 2＝3.3 2 3[ 综合题组练 ]1．如图，在四周体 ABCD 中，若截面 PQMN 是正方形，则在以下说法中，错误的为 ()A． AC⊥ BDB．AC＝ BDC．AC∥截面 PQMND．异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°分析：选B. 由于截面PQMN 是正方形，因此 PQ ∥MN ， QM∥ PN，则 PQ∥平面 ACD ，QM ∥平面 BDA ，因此 PQ ∥AC， QM ∥BD ，由 PQ⊥ QM 可得 AC ⊥BD，故 A 正确；由 PQ∥ AC 可得 AC∥截面 PQMN ，故 C 正确；由 BD∥PN，因此∠MPN 是异面直线PM 与 BD 所成的角，且为 45°， D 正确；由上边可知：BD∥PN ，MN ∥ AC.因此PNBD＝ADAN，MNAC＝DNAD，而 AN≠ DN，PN＝ MN ，因此 BD ≠AC.B 错误．应选 B.2．在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中， O 为底面 ABCD 的中心， P 是 DD 1的中点，设 Q 是 CC1上的点，则点Q 知足条件时，有平面 D1BQ∥平面 PAO.分析：如下图，设 Q 为 CC1 的中点，由于 P 为 DD 1的中点，因此 QB∥ PA.连结 DB，由于 P，O 分别是 DD 1， DB 的中点，因此 D1B∥ PO，又 D 1B?/ 平面 PAO， QB?/ 平面 PAO，PO 平面 PAO，PA 平面 PAO，因此 D 1B∥平面 PAO，QB∥平面 PAO，又 D1B∩QB＝ B，因此平面 D 1BQ∥平面 PAO.故 Q 为 CC1的中点时，有平面 D1BQ∥平面 PAO.答案： Q 为 CC1的中点3．如图，四边形ABCD 与 ADEF 为平行四边形，M， N， G 分别是 AB， AD ， EF 的中点．(1)求证： BE∥平面 DMF ；(2)求证：平面BDE ∥平面 MNG .证明： (1)如图，连结 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连结 MO ，则 MO 为△ ABE 的中位线，因此 BE∥ MO ，又 BE?/ 平面 DMF ， MO 平面 DMF ，因此 BE∥平面 DMF .(2)由于 N，G 分别为平行四边形ADEF 的边 AD ，EF 的中点，因此 DE ∥GN，又 DE ?/平面 MNG ， GN平面MNG，因此 DE ∥平面 MNG .又 M 为 AB 的中点，因此 MN 为△ABD 的中位线，因此BD ∥MN，又 BD?/ 平面MNG ，MN 平面MNG ，因此BD ∥平面MNG ，又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条订交直线，因此平面BDE∥平面 MNG .4． (2020 ·昌二模南 )如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB∥ CD， AB ⊥AD ，AB＝ 2CD ＝ 2AD ＝ 4，侧面 PAB 是等腰直角三角形，PA＝ PB，平面 PAB⊥平面 ABCD ，点 E， F 分别是棱 AB， PB 上的点，平面 CEF ∥平面 PAD .(1)确立点 E， F 的地点，并说明原因；(2)求三棱锥 F -DCE 的体积．解： (1)由于平面CEF ∥平面 PAD ，平面 CEF∩平面 ABCD ＝CE，平面 PAD∩平面 ABCD ＝ AD ，因此 CE ∥AD，又 AB∥ DC ，因此四边形AECD 是平行四边形，1因此 DC ＝ AE＝2AB，即点 E 是 AB 的中点．由于平面 CEF ∥平面 PAD，平面 CEF∩平面 PAB＝EF ，平面 PAD∩平面 PAB＝ PA，因此 EF ∥PA，又点 E 是 AB 的中点，因此点 F 是 PB 的中点．综上，E， F 分别是 AB， PB 的中点．(2)连结 PE，由题意及 (1)知 PA＝ PB， AE＝ EB，因此 PE ⊥ AB，又平面 PAB⊥平面 ABCD ，平面 PAB∩平面 ABCD ＝ AB，因此 PE ⊥平面 ABCD .又 AB∥ CD，AB ⊥ AD，1 1 1 1 2因此 V F-DEC＝ V P-DEC＝ S△DEC× PE＝×× 2×2× 2＝ .2 6 6 2 3。

高考数学一轮复习：第七章立体几何第四节平行关系课时规范练A组——基础对点练1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是()A．平行于同一平面的两个平面一定平行B．平行于同一直线的两条直线一定平行C．垂直于同一直线的两条直线一定平行D．垂直于同一平面的两条直线一定平行解析：垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明．答案：C2．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为()A．10B．20C．8 D．4解析：设截面四边形为EFGH，F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG ＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.答案：B3.(2020·安徽毛坦厂中学月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．有无数条B．有2条C．有1条D．不存在解析：因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1，所以两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条，故选A.答案：A4．(2020·陕西西安模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，H ，G 分别是BC ，CD 的中点，则 ( ) A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形 B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形 C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形解析：如图，由条件知，EF ∥BD ，EF ＝15BD ，HG ∥BD ，HG ＝12BD ，∴EF ∥HG ，且EF ＝25HG ，∴四边形EFGH 为梯形．∵EF ∥BD ，EF平面BCD ，BD平面BCD ，∴EF ∥平面BCD .∵四边形EFGH 为梯形，∴线段EH 与FG 的延长线交于一点，∴EH 不平行于平面ADC .故选B. 答案：B5．(2020·蚌埠联考)过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有( ) A ．4条 B ．6条 C ．8条D ．12条解析：作出如图的图形，E ，F ，G ，H 是相应棱的中点，故符合条件的直线只能出现在平面EFGH 中．由此四点可以组成的直线有：EF ，GH ，FG ，EH ，GE ，HF 共有6条．答案：B6. (2020·郑州市高三质量预测)如图，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH的内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为()A．2 B．2πC．2 3 D．4解析：连接MF，FH，MH(图略)，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4，故选D.答案：D7．(2020·四川成都模拟)已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是()A．若a∥α，bα，则a∥bB．若a⊥α，bα，则a⊥bC．若a，b与α所成的角相等，则a∥bD．若a∥α，b∥α，则a∥b解析：对于A，若a∥α，bα，则a∥b或a与b异面，故A错误；对于B，利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，bα，则a⊥b，故B正确；对于C，若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错误；对于D，由a∥α，b∥α，得a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错误．答案：B8．(2020·湖南长沙模拟)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，给出下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若aα，bβ，α∥β，则a∥b.其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或aα，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行、相交或异面，故③是假命题；对于④，根据a α，b β，α∥β，可以推出a ∥b 或a 与b 异面，故④是假命题．所以真命题的个数是1.故选A. 答案：A9．(2020·沧州七校联考)有以下三种说法，其中正确的是 ________． ①若直线a 与平面α相交，则α内不存在与a 平行的直线；②若直线b ∥平面α，直线a 与直线b 垂直，则直线a 不可能与α平行； ③若直线a ，b 满足a ∥b ，则a 平行于经过b 的任何平面．解析：对于①，若直线a 与平面α相交，则α内不存在与a 平行的直线，是真命题，故①正确；对于②，若直线b ∥平面α，直线a 与直线b 垂直，则直线a 可能与α平行，故②错误；对于③，若直线a ，b 满足a ∥b ，则直线a 与直线b 可能共面，故③错误． 答案：①10．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .答案：平面ABC 和平面ABDB 组——素养提升练11．(2020·安徽安庆模拟)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、Q 分别是棱D 1C 1、A 1D 1、BC 的中点，点P 在BD 1上且BP ＝23BD 1.由以下四个说法：(1)MN ∥平面APC ； (2)C 1Q ∥平面APC ； (3)A 、P 、M 三点共线； (4)平面MNQ ∥平面APC . 其中说法正确的是________．解析：(1)连接MN ，AC ，则MN ∥AC ，连接AM 、CN ，易得AM 、CN 交于点P ，即MN平面P AC ，所以MN ∥平面APC 是错误的；(2)由(1)知M 、N 在平面APC 上，由题易知AN ∥C 1Q ， 所以C 1Q ∥平面APC 是正确的； (3)由(1)知A ，P ，M 三点共线是正确的； (4)由(1)知MN 平面APC ，又MN平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面APC 是错误的．答案：(2)(3)12. (2020·河南安阳二模)如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝1.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST ，其中O ，P 分别为AD ，CD 的中点，B 1S ＝12，则AT ＝________．解析：设AT ＝x ，A 1T ＝y ，则x ＋y ＝1.由题意易知该截面六边形的对边分别平行，即OP ∥SR ，OT ∥QR ，PQ ∥TS ，则△DOP ∽△B 1SR .又因为DP ＝DO ＝1，所以B 1S ＝B 1R ＝12，所以A 1S ＝C 1R ＝32.由△ATO ∽△C 1QR ，可得AO AT ＝C 1R C 1Q ，所以C 1Q ＝32x .由△A 1TS ∽△CQP ，可得CQ CP ＝A 1T A 1S ，所以CQ ＝23y ，所以32x ＋23y ＝x ＋y ＝1，可得x ＝25，y ＝35，所以AT ＝25.答案：2513．(2020·河南安阳三模)如图所示，四棱锥A -BCDE 中，BE ∥CD ，BE ⊥平面ABC ，CD ＝32BE ，点F 在线段AD 上．(1)若AF ＝2FD ，求证：EF ∥平面ABC ；(2)若△ABC 为等边三角形，CD ＝AC ＝3，求四棱锥A -BCDE 的体积． 解析：(1)证明：取线段AC 上靠近C 的三等分点G ，连接BG ，GF . 因为AG AC ＝AF AD ＝23，则GF ＝23CD ＝BE .而GF ∥CD ，BE ∥CD ，故GF ∥BE . 故四边形BGFE 为平行四边形，故EF ∥BG . 因为EF平面ABC ，BG平面ABC ，故EF ∥平面ABC .(2)因为BE ⊥平面ABC ，BE 平面BCDE ，所以平面ABC ⊥平面BCDE .所以四棱锥A -BCDE 的高即为△ABC 中BC 边上的高．易求得BC 边上的高为32×3＝332. 故四棱锥A -BCDE 的体积V ＝13×12×(2＋3)×3×332＝1534.14．(2020·湖南雅礼中学联考)如图，在等腰梯形ABCD 中，已知BC ∥AD ，AB ＝2，BC ＝1，AD ＝3，BP ⊥AD ，垂足为P ，将△ABP 沿BP 折起，使平面ABP ⊥平面PBCD ，连接AD ，AC ，M 为棱AD 的中点，连接CM .(1)试分别在PB ，CD 上确定点E ，F ，使平面MEF ∥平面ABC ； (2)求三棱锥A -PCM 的体积．解析：(1)E ，F 分别为BP ，CD 的中点时，可使平面MEF ∥平面ABC ，证明如下： 取BP 的中点E ，CD 的中点F ，连接ME ，MF ，EF . ∵M ，F 分别为AD ，CD 的中点，∴MF ∥AC .又E 为BP 的中点，且四边形PBCD 为梯形，∴EF ∥BC . ∵MF ∩EF ＝F ，AC ∩BC ＝C ， ∴平面MEF ∥平面ABC .(2)∵平面ABP ⊥平面PBCD ，平面ABP ∩平面PBCD ＝BP ，AP ⊥BP ，∴AP ⊥平面PBCD ， 取PD 的中点E ′，连接AE ′，ME ′，E ′C . 易知ME ′∥AP ，PE ′＝1，CE ′＝1，AP ＝1， ∴V M -APC ＝V E ′­APC .又V A -PCM ＝V M -APC ，且V A -PCE ′＝V E ′­APC ，∴V A -PCM ＝V A -PCE ′＝13S △PCE ′·AP ＝13×12PE ′·E ′C ·AP ＝16， ∴三棱锥A -PCM 的体积为16.。

课时分层训练(三十九)平行关系A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m∥α，n∥α，则m∥nB．m∥n，m∥α，则n∥αC．m⊥α，m⊥β，则α∥βD．α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC[对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或nα，故B不正确；对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．] 2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()图7­4­6A．①③B．②③C．①④D．②④C[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．]3．如图7­4­7所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB 的位置关系是()图7­4­7A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能B [在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1. ∵AB 平面ABC ，A 1B 1平面ABC ，∴A 1B 1∥平面ABC ．∵过A 1B 1的平面与平面ABC 交于DE ， ∴DE ∥A 1B 1，∴DE ∥AB ．]4．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥αB [若m ∥α，n ∥α，则m ，n 平行、相交或异面，A 错；若m ⊥α，nα，则m ⊥n ，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n α，C 错；若m ∥α，m ⊥n ，则n 与α可能相交，可能平行，也可能nα，D错．]5．给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，l α，m β，则α∥β； ②若α∥β，l α，m β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为() A ．3 B ．2 C ．1D ．0C [①中，当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中，l 与m 也可能异面；③中，⎩⎪⎨⎪⎧l ∥γ，l α，α∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．]二、填空题6．设α，β，γ为三个不同的平面，a ，b 为直线，给出下列条件：①a α，b β，a ∥β，b ∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a ⊥α，b ⊥β，a ∥B ．其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号)． ②④[在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交． 由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a ⊥α，a ∥b ⇒b ⊥α，从而α∥β，④满足．]7．如图7­4­8所示，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．图7­4­82[在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2， ∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ADC ， 平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点， ∴EF ＝12AC ＝ 2.]8．如图7­4­9，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．图7­4­9平面ABC ，平面ABD [连接AM 并延长交CD 于E ，则E 为CD 的中点．由于N 为△BCD 的重心，所以B ，N ，E 三点共线，且EM MA ＝EN NB ＝12，所以MN ∥AB ． 于是MN ∥平面ABD 且MN ∥平面ABC ．]三、解答题9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图7­4­10所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.图7­4­10[解](1)点F，G，H的位置如图所示. 5分(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG. 7分又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH. 9分又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH. 12分10．如图7­4­11所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE＝90°，AF ∥DE，DE＝DA＝2AF＝2.(1)求证：AC∥平面BEF；(2)求四面体BDEF的体积．图7­4­11[解](1)证明：设AC ∩BD ＝O ，取BE 中点G ，连接FG ，OG ， 所以，OG ∥DE ，且OG ＝12DE .因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ， 所以AF ∥OG ，且OG ＝AF ，从而四边形AFGO 是平行四边形，FG ∥OA ． 3分因为FG 平面BEF ，AO平面BEF ，所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF .6分(2)因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF .因为AF ∥DE ，∠ADE ＝90°，DE ＝DA ＝2AF ＝2 所以△DEF 的面积为S △DEF ＝12×ED ×AD ＝2，9分 所以四面体BDEF 的体积V ＝13·S △DEF ×AB ＝43.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1.在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是()图7­4­12A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° C [因为截面PQMN 是正方形， 所以MN ∥PQ ，则MN ∥平面ABC ， 由线面平行的性质知MN ∥AC ， 则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ， 则AC ⊥BD ，故A ，B 正确．又因为BD ∥MQ ，所以异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，即为45°，故D 正确．]2．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、Q 分别是棱D 1C 1、A 1D 1、BC 的中点，点P 在BD 1上且BP＝23BD 1.则以下四个说法： (1)MN ∥平面APC ； (2)C 1Q ∥平面APC ； (3)A 、P 、M 三点共线； (4)平面MNQ ∥平面APC ．其中说法正确的是________．(填序号)(2)(3)[(1)连接MN ，AC ，则MN ∥AC ，连接AM 、CN ， 易得AM 、CN 交于点P ，即MN平面PAC ，所以MN ∥平面APC 是错误的；(2)由(1)知M 、N 在平面APC 上，由题易知AN ∥C 1Q ， 所以C 1Q ∥平面APC 是正确的；(3)由(1)知A ，P ，M 三点共线是正确的； (4)由(1)知MN 平面PAC ，又MN 平面MNQ ，所以平面MNQ ∥平面APC 是错误的．]3．如图7­4­13，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，PD ⊥底面ABCD ，∠ADC ＝90°，AD ＝2BC ，Q 为AD 的中点，M 为棱PC 的中点．(1)证明：PA ∥平面BMQ ；(2)已知PD ＝DC ＝AD ＝2，求点P 到平面BMQ 的距离．图7­4­13[解](1)证明：连结AC 交BQ 于N ，连结MN ，因为∠ADC ＝90°，Q 为AD 的中点，所以N 为AC 的中点．当M 为PC 的中点，即PM ＝MC 时，MN 为△PAC 的中位线，故MN ∥PA ，又MN 平面BMQ ，所以PA ∥平面BMQ .(2)由(1)可知，PA ∥平面BMQ ，所以点P 到平面BMQ 的距离等于点A 到平面BMQ 的距离，所以V P ­BMQ ＝V A ­BMQ ＝V M ­ABQ ，取CD 的中点K ，连结MK ，所以MK ∥PD ，MK ＝12PD ＝1，又PD ⊥底面ABCD ，所以MK ⊥底面ABCD ．又BC ＝12AD ＝1，PD ＝CD ＝2，所以AQ ＝1，BQ ＝2，MN ＝12PA ＝2，所以V P ­BMQ ＝V A ­BMQ ＝V M ­ABQ ＝13·12·AQ ·BQ ·MK ＝13S △BQM ＝12·BQ ·MN ＝2，则点P 到平面BMQ 的距离d ＝3V P ­BMQ S △BMQ ＝22.。

l
α
是三个不同的平面，下列命题中正确的
EF平面
平面∩平面，
平面EFGH，CD CD∥平面
平面EFGH，所以该三棱锥与平面
二、填空题
是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m γ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①β；②γ.
可以填入的条件有
由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥γ
的中
平面
1
AC＝
2
B平面
D 1中，
E ，
F ，
G ，H
，则OE 綊1DC ， 平面平面1平面BD 平面，且B 1D 1∩BF ＝B ，∴平面BDF ∥平面
平面
OM⊥平面
AB⊥平面
平面
∥平面
法一：由
平面
平面平面
⊥平面
＝BC＝BCD是等边三角形，
项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD
QD与平面MNQ相交，
相交．
项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
平面平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
平面平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.
项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，
平面平面
如图所示，透明塑料制成的长方体容器
灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，
1FG平面
的一个截面，若截
平面
∥平面
EF平面
ABD∩平面
∥AB，又∵
平面
AB∥平面
同理可证，。

核心素养测评四十五平行关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知直线a,b,平面α,β,aα,bα,则a∥β,b∥β是α∥β的( )A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.因为直线a,b不一定相交,所以a∥β,b∥β时α,β不一定平行,而α∥β时平面α内任意直线都平行平面β,即a∥β,b∥β,因此a∥β,b∥β是α∥β的必要但不充分条件.2.给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题:①若l与m为异面直线,lα,mβ,则α∥β;②若α∥β,lα,mβ,则l∥m;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数为( )A.3B.2C.1D.0【解析】选C.①中当α与β不平行时,也可能存在符合题意的l,m.②中l与m也可能异面.③中⇒l∥m,同理l∥n,则m∥n,正确.3.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中,下列判断正确的是( )A.平面BME∥平面AB.AF∥C.BM∥平面EFDD.BE与AN相交【解析】选A.作出如图所示的正方体.易知AN∥BM,AC∥EM,所以AN∥平面BEM,AC∥平面BEM,又AN∩AC=A,所以平面A∥平面BEM.4.在三棱锥P-ABC中,点D在PA上,且PD=DA,过点D作平行于底面ABC的平面,交PB,PC于点E,F,若△ABC的面积为9,则△DEF的面积是( )A.1B.2C.4D.【解析】选A.由于平面DEF∥底面ABC,因此DE∥AB,DF∥AC,EF∥BC,所以==,所以△DEF∽△ABC,所以=,而S△ABC=9,所以S△DEF=1.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点, 在平面ADD1A1内且与平面D1EF 平行的直线世纪金榜导学号( )A.不存在B.有1条C.有2条D.有无数条【解析】选D.由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,CD,AB均与平面EFGH平行,E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为.【解析】因为CD∥平面EFGH,而平面EFGH∩平面BCD=EF,所以CD∥EF.同理HG∥CD,所以EF∥HG.同理HE∥GF,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为CD⊥AB,所以HE⊥EF,所以平行四边形EFGH为矩形.答案:矩形7.已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为.【解析】根据题意可得到如图两种情况:可求出BD的长分别为或24.答案:24或8.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;③如果α∥β,mα,那么m∥β;④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的序号)【解析】当m⊥n,m⊥α,n∥β时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④均正确,故正确命题为②③④.答案:②③④三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为线段A1B,AC1的中点.求证:MN∥平面BB1C1C.【证明】如图,连接A1C.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C为平行四边形.又因为N为线段AC1的中点,所以A1C与AC1相交于点N,即A1C经过点N,且N为线段A1C的中点.因为M为线段A1B的中点,所以MN∥BC.又因为MN⊈平面BB1C1C,BC平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:世纪金榜导学号(1)直线EG∥平面BDD1B1.(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【证明】(1)连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又因为SB平面BDD1B1,EG ⊈平面BDD1B1,所以直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FG∥SD.又因为SD平面BDD1B1,FG⊈平面BDD1B1,所以FG∥平面BDD1B1,且EG平面EFG,FG平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B1.(15分钟35分)1.(5分)下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】选B.①中易知NP∥AA′,MN∥A′B,所以平面MNP∥平面AA′B,可得出AB∥平面MNP(如图).④中,NP∥AB,能得出AB∥平面MNP.2.(5分)如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P 是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=.【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以MN∥PQ.因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,AP=,所以CQ=,从而DP=DQ=,所以PQ= a.答案: a3.(5分)空间四边形ABCD的两条对棱AC,BD的长分别为5和4,则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中,周长的取值X围是.【解析】设==k,所以==1-k,所以GH=5k,EH=4(1-k),所以周长=8+2k.又因为0<k<1,所以周长的X围为(8,10).答案:(8,10)4.(10分)如图所示的一块木料中,棱BC平行于平面A′B′C′D′.(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系?并证明你的结论.【解析】(1)过点P作B′C′的平行线,交A′B′,C′D′于点E,F,连接BE,CF;作图如下:(2)EF∥平面ABCD.证明如下:易知BE,CF与平面ABCD相交,因为BC∥平面A′B′C′D′,又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′=B′C′,所以BC∥B′C′,因为EF∥B′C′,所以EF∥BC,又因为EF⊈平面ABCD,BC平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.5.(10分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形. 世纪金榜导学号(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,证明:B1D1∥l.【证明】(1)由题设知BB1∥DD1且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.又BD⊈平面CD1B1,B1D1平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B⊈平面CD1B1,D1C平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B=B,BD,A1B平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,平面ABCD∩平面A1BD=直线BD,所以直线l∥直线BD,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形,所以B1D1∥BD,所以B1D1∥l.1.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值X围是( )世纪金榜导学号A. B.C. D.[,]【解析】选B.取B1C1的中点M,BB1的中点N,连接A1M,A1N,MN,可以证明平面A1MN∥平面AEF,所以点P位于线段MN上.因为A1M=A1N==,MN==,所以当点P位于M,N点时,A1P最大,当点P位于MN中点O时,A1P最小,此时A1O==,所以≤|A1P|≤,所以线段A1P长度的取值X围是.2.如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出五个结论: 世纪金榜导学号①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数有( )A.1B.2C.3D.4【解析】选C.矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点,所以O为BD的中点.在△PBD中,M 是PB的中点,所以OM是中位线,OM∥PD,可得OM∥平面PCD,OM∥平面PDA.因为M∈PB,所以OM 与平面PBA、平面PBC相交.。

第四节平行关系[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．(对应学生用书第101页)[基础知识填充]1．直线与平面平行的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)若直线l平面α，直线lα，l∥α，则l∥α性质定理如果一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与已知平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)若直线l∥平面α，l平面β，α∩β＝b，则l∥b2. 面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)若直线a平面β，直线bβ，a平面α，b平面α，a∩b＝A，并且a∥β，b∥β，则α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行若平面α∥平面β，平面γ∩α＝a，β∩γ＝b，则a∥b(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(4)两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行，即α∥β，mα，则m∥β.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．( )(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)下列命题中，正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥αD[根据线面平行的判定与性质定理知，选D．]3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βα∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为mα，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．]4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．平行[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]5．(2017·河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若mα，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中是真命题的是________(填上序号)．【导学号：00090247】②[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或mβ，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．](对应学生用书第102页)与线、面平行相关命题真假的判断N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )A[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB．∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A．][规律方法] 1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．[变式训练1] (1)(2018·唐山模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是( ) 【导学号：00090248】A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥nD．若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则n∥β(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1其中推断正确的序号是( )图7­4­1A．①③B．①④C．②③D．②④(1)D(2)A[(1)在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或nα，故A错误．在B中，若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n ∥m，nβ，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．(2)∵在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF ∥A 1C 1，A 1C 1与平面BC 1D 1相交，∴EF 与平面BC 1D 1相交，故②错误； ∵E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点， ∴FG ∥BC 1，∵FG平面BC 1D 1，BC 1平面BC 1D 1，∴FG ∥平面BC 1D 1，故③正确；∵EF 与平面BC 1D 1相交，∴平面EFG 与平面BC 1D 1相交，故④错误．]直线与平面平行的判定与性质(2016·南通模拟)如图7­4­2所示，斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．(1)当A 1D 1D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1； (2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．图7­4­2[解] (1)如图所示，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1D 1C 1＝1. 2分连接A 1B ，交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质知，四边形A 1ABB 1为平行四边形， ∴点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O ，D 1分别为A 1B ，A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.4分又∵OD 1平面AB 1D 1，BC 1平面AB 1D 1，∴BC 1∥平面AB 1D 1. ∴当A 1D 1D 1C 1＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1. 6分(2)由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O 得BC 1∥D 1O ，8分同理AD 1∥DC 1，∴A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB，A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，又∵A 1OOB ＝1， ∴DC AD ＝1，即ADDC＝1.12分[规律方法] 1.判断或证明线面平行的常用方法有： (1)利用反证法(线面平行的定义)； (2)利用线面平行的判定定理(aα，b α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a α⇒a ∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a ∥α⇒a ∥β)．2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．[变式训练2] (2018·西安模拟)如图7­4­3，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点，设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1；【导学号：00090249】图7­4­3[证明] 法一：取A 1B 1的中点为F 1，连接FF 1，C 1F 1，由于FF 1∥BB 1∥CC 1，所以F 1∈平面FCC 1，因此平面FCC 1即为平面C 1CFF 1.连接A 1D ，F 1C ，由于A 1F 1綊D 1C 1綊CD ，所以四边形A 1DCF 1为平行四边形，因此A 1D ∥F 1C ． 又EE 1∥A 1D ，得EE 1∥F 1C ，而EE 1平面FCC 1，F 1C 平面FCC 1，故EE 1∥平面FCC 1.法二：因为F 为AB 的中点，CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ，所以CD 綊AF ，因此四边形AFCD 为平行四边形，所以AD ∥FC ．又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ，FC 平面FCC 1，CC 1平面FCC 1，所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1，又EE 1平面ADD 1A 1，所以EE 1∥平面FCC 1.平面与平面平行的判定与性质如图ABC A1B1C1E F G H AB AC A1B1，A1C1的中点，求证：图7­4­4(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明](1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1. 2分又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面. 5分(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC．∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG. 7分∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB．∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG. 10分∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG. 12分[母题探究] 在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA．[证明]如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B．5分又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA．12分[规律方法] 1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理．(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．2．面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行；(2)判断线线平行．线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．[变式训练3] (2016·山东高考)在如图7­4­5所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．图7­4­5(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．[证明](1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF. 2分如图①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC．同理可得BD⊥AC．又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF. 4分因为FB平面BDEF，所以AC⊥FB．5分①(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF. 8分又EF∥DB，所以GI∥DB．在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC．又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC．因为GH平面GHI，所以GH∥平面ABC．12分②。