山东省临沂市第一中学高一数学期中考试试题_新课标人教A版必修1

2021-2022学年山东省临沂一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M共有（）A．6个B．7个C．8个D．15个2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=−1x B．y＝﹣x3C．y＝x+1D．y＝x|x|3．已知x∈R且x≠0，则“x2＜1”是“1x＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中与函数y＝x2是同一函数的是（）A．u＝v2B．y＝x•|x|C．y=x3x D．y=(√x)45．已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x m2+m−3是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是递减的，则m的值为（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．36．已知函数f（x）={−x2−ax−5(x≤1)ax(x＞1)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0成立，则a的范围是（）A．﹣3≤a＜0B．﹣3≤a≤﹣2C．a≤﹣2D．a≤07．已知a，b，c满足c＜b＜a，且a+b+c＝0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．a＞0，c＜0B．c（b﹣a）＞0C．cb2＜ab2D．ab＞ac8．已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则m的最大值为（）A．1B．2C．3D．7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列叙述中正确的是（ ）A ．命题“∃x ∈R ，x 2+1＝0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≠0”B ．“xy ＞0”是“x +y ＞0”的充要条件C ．已知a ∈R ，则b a ＜a b 是a ＜b ＜0的必要不充分条件D ．若“1＜x ＜3”的必要不充分条件是“m ﹣2＜x ＜m +2”，则实数m 的取值范围是[1，3]10．已知不等式ax 2+bx +c ≥0的解集是{x |﹣2≤x ≤1}，则（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b +c ＞0C ．c ＞0D ．a +b ＝011．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ），下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的值域为[0，1]B ．f （x ）的定义域为RC ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1D ．任意一个非零有理数T ，f （x +T ）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立12．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1L 汽油，乙车最多可行驶5kmB ．甲车以80km /h 的速度行驶1h 消耗约8L 汽油C ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）．13．函数y =√x+2+(x −3)0的定义域为 ．14．若正数x ，y 满足xy ＝x +y +3，则x +y 的取值范围是 ．15．若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．16．对于任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f（x）＝2﹣x2，g（x）＝x，则集合{x|f（x）＝g（x）}＝；min{f（x），g（x）}的最大值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|﹣13≤2x﹣1≤7}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}．（1）a＝3时，求A∪B及（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝B时，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f(x)=x−1x+2，x∈[3，5]．（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）求函数f（x）的值域．19．（12分）已知f （x ）={−x(x +4)，x ≤0x ，x ＞0． （1）求f （f （﹣2））；（2）若f （a ）＞3，求a 的取值范围；（3）若其图像与y ＝b 有三个交点，求b 的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1，a∈R．（1）若f（x）在[1，2）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求关于x的不等式f（x）≤0的解集．21．（12分）春兰公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P．当△ADP 的面积最大时最节能．（1）设AB＝x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？22．（12分）已知函数h（x）＝x+1 x．（1）直接写出h（x）在[12，2]上的单调区间（无需证明）；（2）求h（x）在[12，a](a＞12)上的最大值；（3）设函数f（x）的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足：∀x1∈A，∃x2∈∁U A，使得f（x1）＝f（x2），则称区间A为f（x）的“Γ区间”．已知f（x）＝x+1x（x∈[12，2]），若A=[12，b)是函数f（x）的“Γ区间”，求实数b的最大值．2021-2022学年山东省临沂一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足∅⫋M ⊆{1，2，3}的集合M 共有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个解：满足∅⫋M ⊆{1，2，3}的集合M 有：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，[2，3}，{1，2，3}， 共7个．故选：B ．2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．y =−1xB ．y ＝﹣x 3C ．y ＝x +1D ．y ＝x |x |解：A ．函数为奇函数，在（﹣∞，0），（0，+∞）上分别为增函数，但在定义域上不是单调函数，不满足条件．B ．函数为奇函数，函数在定义域上是减函数，不满足条件．C ．y ＝x +1不过原点，不是奇函数，不满足条件．D ．设y ＝f （x ）＝x |x |，则f （﹣x ）＝﹣x |x |＝﹣f （x ），则f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2，为增函数，且f （x ）≥0，当x ＜0时，f （x ）＝﹣x 2，为增函数，且f （x ）＜0，则在R 上f （x ）为增函数，满足条件， 故选：D ．3．已知x ∈R 且x ≠0，则“x 2＜1”是“1x ＞1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：已知x ∈R 且x ≠0，由x 2＜1，可得﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1，由1x ＞1，可得0＜x ＜1， 因为（0，1）⫋（﹣1，0）∪（0，1），所以“x 2＜1”是“1x ＞1”的必要不充分条件． 故选：B ．4．下列函数中与函数y ＝x 2是同一函数的是（ ）x 3解：A．y＝x2的定义域为R，u＝v2的定义域为R，定义域和对应关系都相同，是同一函数；B．y＝x2与y＝x•|x|的对应关系不同，不是同一函数；C.y=x3x的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；D.y=(√x)4的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一函数．故选：A．5．已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）x m2+m−3是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是递减的，则m的值为（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．3解：由题意得：m2﹣m﹣1＝1，解得：m＝2或m＝﹣1，m＝2时，f（x）＝x3，递增，不合题意，m＝﹣1时，f（x）＝x﹣3，递减，符合题意，故选：A．6．已知函数f（x）={−x2−ax−5(x≤1)ax(x＞1)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0成立，则a的范围是（）A．﹣3≤a＜0B．﹣3≤a≤﹣2C．a≤﹣2D．a≤0解：对任意的x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2＞0成立，则函数f（x）={−x2−ax−5(x≤1)ax(x＞1)在R上为增函数，∴{−a2≥1a＜0a≥−1−a−5，∴﹣3≤a≤﹣2．故选：B．7．已知a，b，c满足c＜b＜a，且a+b+c＝0，那么下列选项中不一定成立的是（）A．a＞0，c＜0B．c（b﹣a）＞0C．cb2＜ab2D．ab＞ac解：对于A，∵a，b，c满足c＜b＜a，且a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0，故A正确，对于B，∵b＜a，∴b﹣a＜0，又∵c＜0，∴c（b﹣a）＞0，故B正确，对于C，令a＝1，b＝0，c＝﹣1时，满足c＜b＜a，且a+b+c＝0，但cb2＝ab2，故C错误，对于D，∵b﹣c＞0，∴ab﹣ac＝a（b﹣c）＞0，即ab＞ac，故D正确．故选：C．8．已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则m的最大值为（）A．1B．2C．3D．7解：因为a＞0，b＞0，a+2b＝ab，即1b +2a=1，所以2a+b＝（2a+b）（1b +2a）＝5+2ba+2a b≥5+2√2b a⋅2a b=9，当且仅当2ba=2ab且1b+2a=1，即a＝b＝3时取等号，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则（2a+b）min≥2m2﹣9，所以9≥2m2﹣9，解得﹣3≤m≤3，m的最大值为3．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列叙述中正确的是（）A．命题“∃x∈R，x2+1＝0”的否定是“∀x∈R，x2+1≠0”B．“xy＞0”是“x+y＞0”的充要条件C．已知a∈R，则ba ＜ab是a＜b＜0的必要不充分条件D．若“1＜x＜3”的必要不充分条件是“m﹣2＜x＜m+2”，则实数m的取值范围是[1，3]解：对于A：命题“∃x∈R，x2+1＝0”的否定是“∀x∈R，x2+1≠0，故A正确；对于B：“xy＞0”是“x+y＞0”既不充分也不必要条件，故B错误；对于C：由ba ＜ab不能推出a＜b＜0，但是由a＜b＜0⇒ba＜ab，故ba＜ab是a＜b＜0的必要不充分条件，故C正确；对于D：若“1＜x＜3”的必要不充分条件是“m﹣2＜x＜m+2”，则{m−2≤1m+2≥3，解得1≤m≤3，故D正确．故选：ACD．10．已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣2≤x≤1}，则（）A ．a ＜0B ．a ﹣b +c ＞0C ．c ＞0D ．a +b ＝0解：∵不等式ax 2+bx +c ≥0的解集是{x |﹣2≤x ≤1}，∴﹣2，1是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根，且a ＜0，∴﹣2+1=−b a ，﹣2×1=c a，∴a ＝b ，c ＝﹣2a ＞0，∴a ﹣b +c ＝﹣2a ＞0，a +b ＝2a ＜0，因此ABC 正确，D 不正确．故选：ABC ．11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数，称为狄利克雷函数，则关于f （x ），下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的值域为[0，1]B ．f （x ）的定义域为RC ．∀x ∈R ，f （f （x ））＝1D ．任意一个非零有理数T ，f （x +T ）＝f （x ）对任意x ∈R 恒成立解：因为函数f （x ）={1，x 为有理数0，x 为无理数， 所以f （x ）的定义域为R ，值域为{0，1}，故A 错误，B 正确；当x 为有理数时，f （x ）＝1，f （f （x ））＝f （1）＝1；当x 为无理数时，f （x ）＝0，f （f （x ））＝f （0）＝1，所以∀x ∈R ，f （f （x ））＝1，故C 正确；由于非零有理数T ，若x 是有理数，则x +T 是有理数；若x 是无理数，则x +T 也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f （x +T ）＝f （x ）对x 任意∈R 恒成立，故D 正确． 故选：BCD ．12．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L 汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1L 汽油，乙车最多可行驶5kmB ．甲车以80km /h 的速度行驶1h 消耗约8L 汽油C ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解：对于A ，由图可知，当乙车速度大于40km /h 时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km ，故A 错误，对于B ，甲车以80km /h 的速度行驶时，燃油效率为10km /L ，则行驶1h 消耗约8L 汽油，故B 正确， 对于C ，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，故C 错误，对于D ，在机动车最高限速80千米/小时相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，故更省油，故D 正确．故选：BD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）．13．函数y =|x−2|√x+2+(x −3)0的定义域为 （﹣2，3）∪（3，+∞） ． 解：要使原函数有意义，则{x +2＞0x −3≠0，即x ＞﹣2且x ≠3． ∴函数y =√x+2+(x −3)0的定义域为（﹣2，3）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣2，3）∪（3，+∞）．14．若正数x ，y 满足xy ＝x +y +3，则x +y 的取值范围是 [6，+∞） ．解：因为正数x ，y 满足x +y +3＝xy ≤（x+y 2）2，当且仅当x ＝y ＝3时取等号，解得，x +y ≥6或x +y ≤﹣2（舍），故答案为：[6，+∞）．15．若命题“∃x ∈R ，使得ax 2+ax +1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为 [0，4） ．解：∵命题“∃x ∈R ，使得ax 2+ax +1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a＝0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则{a＞0Δ=a2−4a＜0，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈[0，4），故答案为：[0，4）16．对于任意的实数x1，x2，min{x1，x2}表示x1，x2中较小的那个数，若f（x）＝2﹣x2，g（x）＝x，则集合{x|f（x）＝g（x）}＝{﹣2，1}；min{f（x），g（x）}的最大值是1．解：由题作出函数f（x），g（x）的图象，令f（x）＝g（x），即2﹣x2＝x，解得x＝﹣2，x＝1，则集合{x|f（x）＝g（x）}＝{﹣2，1}，由题意得min{f（x），g（x）}={2−x2，x＜−2 x，−2≤x≤1 2−x2，x＞1，由图象知，当x＝1时，min{f（x），g（x）}最大，最大值是1，故答案为：1．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|﹣13≤2x﹣1≤7}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}．（1）a＝3时，求A∪B及（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝B时，求实数a的取值范围．解：（1）∵a ＝3由a ﹣1≤x ≤2a +3得B ＝{x |2≤x ≤9}由可知A ＝{x |﹣6≤x ≤4}∴（∁R A ）＝{x |x ＜﹣6或x ＞4}∴A ∪B ＝{x |﹣6≤x ≤9}∴（∁R A ）∩B ＝{x |4＜x ≤9}（2）∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，分两种情况考虑：①B ＝∅时，a ﹣1＞2a +3，解得：a ＜﹣4；②B ≠∅时，则{a ≥−4a −1≥−62a +3≤4，解得：﹣4≤a ≤12，综合①②得，a 的取值范围为{a |a ≤12}．18．（12分）已知函数f(x)=x−1x+2，x ∈[3，5]． （1）判断函数f （x ）的单调性，并证明；（2）求函数f （x ）的值域．解：（1）函数f(x)=x−1x+2=1−3x+2，x ∈[3，5]，函数f （x ）是定义域[3，5]上的单调增函数，证明如下：任取x 1、x 2∈[3，5]，且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＝（1−3x 1+2）﹣（1−3x 2+2）=3(x 1−x 2)(x 1+2)(x 2+2)， 因为3≤x 1＜x 2≤5，所以x 1﹣x 2＜0，x 1+2＞0，x 2+2＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）是定义域[3，5]上的单调增函数；（2）因为函数f （x ）是定义域[3，5]上的单调增函数，且f （3）=3−13+2=25， f （5）=5−15+2=47；所以f （x ）的值域是[25，47]． 19．（12分）已知f （x ）={−x(x +4)，x ≤0x ，x ＞0． （1）求f （f （﹣2））；（2）若f （a ）＞3，求a 的取值范围；（3）若其图像与y ＝b 有三个交点，求b 的取值范围．解：（1）根据题意，f(x)={−x(x +4)，x ≤0x ，x ＞0，则f （﹣2）＝﹣（﹣2）×（﹣2+4）＝4，则f （f （﹣2））＝f （4）＝4；（2）对于f （a ）＞3，当a ＞0时，f （a ）＝a ＞3，即a ＞3，符合题意；当a ≤0时，a 2+4a +3＞0，解得﹣3＜a ＜﹣1；综上可得a ∈（﹣3，﹣1）∪（3，+∞）．（3）f(x)={−x(x +4)，x ≤0x ，x ＞0，其草图如图若其图像与y ＝b 有三个交点，必有0＜b ＜4，即b 的取值范围为（0，4）．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣1，a ∈R ．（1）若f （x ）在[1，2）上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求关于x 的不等式f （x ）≤0的解集．解（1）因为函数f （x ）的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线x =a 2，当f （x ）在[1，2）上单调递增时，所以a 2≤1，∴a ≤2； 综上a ∈（﹣∞，2]，（2）由f （x ）＝x 2﹣ax ﹣a ﹣1≤0得：（x +1）[x ﹣（a +1）]≤0，x 1＝﹣1或x 2＝a +1．①当a ＜﹣2时，a +1＜﹣1，不等式的解集是[a +1，﹣1]；②当a ＝﹣2时，a +1＝﹣1，不等式的解集是{﹣1}；③当a ＞﹣2时，a +1＞﹣1，不等式的解集是[﹣1，a +1]．综上，①当a ＜﹣2时，不等式的解集是[a +1，﹣1]；②当a ＝﹣2时，不等式的解集是{﹣1}；③当a＞﹣2时，不等式的解集是[﹣1，a+1]．21．（12分）春兰公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能．（1）设AB＝x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，AB＝x，BC＝2﹣x．因x＞2﹣x，故1＜x＜2，设DP＝y，则PC＝x﹣y．因△ADP≌△CB'P，故P A＝PC＝x﹣y．由P A2＝AD2+DP2，得（x﹣y）2＝（2﹣x）2+y2，即有y＝2（1−1x），1＜x＜2，（2）记△ADP的面积为S1，则S1＝（1−1x）（2﹣x）＝3﹣（x+2x）≤3﹣2√2，当且仅当x=√2∈（1，2）时，S1取得最大值．故设计薄板的长为√2，宽为2−√2时，最节能．22．（12分）已知函数h（x）＝x+1 x．（1）直接写出h（x）在[12，2]上的单调区间（无需证明）；（2）求h（x）在[12，a](a＞12)上的最大值；（3）设函数f（x）的定义域为I，若存在区间A⊆I，满足：∀x1∈A，∃x2∈∁U A，使得f（x1）＝f（x2），则称区间A 为f （x ）的“Γ区间”．已知f （x ）＝x +1x （x ∈[12，2]），若A =[12，b)是函数f （x ）的“Γ区间”，求实数b 的最大值．解：（1）h （x ）在区间[12，1]上单调递减；h （x ）在区间[1，2]上单调递增．（2）由题意知，ℎ(12)=ℎ(2)=52，①若12＜a ≤1，则h （x ）在[12，a]上单调递减，∴h （x ）的最大值为ℎ(12)=52； ②若1＜a ≤2，则h （x ）在[12，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增， ∵ℎ(a)≤ℎ(2)=ℎ(12)=52，∴h （x ）的最大值为ℎ(12)=52；③若a ＞2，则h （x ）在[12，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，∵ℎ(a)≥ℎ(2)=ℎ(12)，∴h （x ）的最大值为ℎ(a)=a +1a ，综上，若12＜a ≤2，则h （x ）的最大值为52；若a ＞2，则h （x ）的最大值为a +1a ． （3）由（1）（2）知①当12＜b ≤1时，f （x ）在[12，b)上的值域为(b +1b ，52]， f （x ）在[b ，2]上的值域为[2，52]，∵b +1b ≥2，∴(b +1b ，52]⊆[2，52]满足∀x 1∈[12，b)，∃x 2∈[b ，2]，使得f （x 1）＝f （x 2），∴此时[12，b)是f （x ）的“Γ区间”；②当1＜b ≤2时，f （x ）在[12，b)上的值域为[2，52]，f （x ）在[b ，2]上的值域为[b +1b ，52]，∵当x 1∈[1，b ）时，f(x 1)＜f(b)=b +1b ，∴∃x 1∈[1，b ），使得f(x 1)∉(b +1b ，52]，即∃x 1∈[1，b ），∀x 2∈[b ，2]，f （x 1）≠f （x 2）∴此时[12，b)不是f （x ）的“Γ区间”∴实数b 的最大值为1．。

人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷3（共30题）一、选择题（共10题）1. 下列命题中真命题的个数是 ( ) ①函数 y =sinx ，其导函数是偶函数；②“若 x =y ，则 x 2=y 2”的逆否命题为真命题； ③“x ≥2”是“x 2−x −2≥0”成立的充要条件；④命题 p:“存在 x 0∈R ，x 02−x 0+1<0”，则命题 p 的否定为：“对任意的 x ∈R ，x 2−x +1≥0”． A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 32. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (x +1)=f (x −1)，且当 x ∈[0,1] 时，f (x )=x 2，则关于 x 的方程 f (x )=12∣x ∣ 在 [−1,2] 上根的个数是 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 83. 设函数 f (x ) 的定义城为 A ，如果对于任意的 x 1∈A ，都存在 x 2∈A ，使得 f (x 1)+f (x 2)=2m （其中 m 为常数）成立，则称函数 f (x ) 在 A 上“与常数 m 相关联”．给定函数：① y =1x ；② y =x 3；③ y =(12)x；④ y =lnx ；⑤ y =cosx +1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是 ( ) A ．①②⑤ B ．①③ C ．②④⑤ D ．②④4. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]5. 已知 0<a <1，则方程 a ∣x∣=∣log a x ∣ 的实根个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．与 a 的值有关6. 集合 {x ∈N ∗∣ x −2<3} 的另一种表示形式是 ( ) A ． {0,1,2,3,4} B ． {1,2,3,4} C ． {0,1,2,3,4,5} D ． {1,2,3,4,5}7. 要得到函数 y =cos2x 的图象，只需将函数 y =cos (2x −π) 的图象 ( )A ．向左平移 π3个单位长度B ．向右平移 π3个单位长度C ．向左平移 π6 个单位长度D ．向右平移 π6 个单位长度8. 给出下列命题：①如 a >b ，则 ac 2>bc 2； ② sinx +1sinx ≥2； ③ x 2+2+1x 2+2≥2；④若 a >b >0，则 a −1a >b −1b ； ⑤若 x ≥0，则 t =2x x 2+1的最大值为 1．以上命题正确命题的个数为 ( ) A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 19. 已知函数 f (x )={∣2x −1∣,x ≤1log 2(x −1),x >1，若 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)（x 1，x 2，x 3 互不相等）则x 1+x 2+x 3 的取值范围是 ( ) A ． (0,8) B ． (1,3) C ． (3,4] D ． (1,8]10. k 为整数，化简 sin [(k+1)π+θ]⋅cos [(k+1)π−θ]sin (kπ−θ)⋅cos (kπ+θ)的结果是 ( )A ． ±1B ． −1C ． 1D ． tanθ二、填空题（共10题）11. 方程 ∣∣cos (x +π2)∣∣=∣log 18x ∣ 的解的个数为 （用数字作答）．12. 已知 k 为常数，函数 f (x )={x+2x+1,x ≤0∣lnx ∣,x >0，若关于 x 的方程 f (x )=kx +2 有且只有四个不同解，则实数 k 的取值构成的集合为 ．13. 已知函数 f (x )={∣log 2x ∣,0<x <2sin (π4x),2≤x ≤10，若存在实数 x 1，x 2，x 3，x 4 满足 x 1<x 2<x 3<x 4，且 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1x 2+x 3+x 4= ．14. 已知函数 f (x )=∣∣∣sinx1x 131∣∣∣，若 f (a )=2021，则 f (−a )= ．15. 已知 tanα，tanβ 是一元二次方程 x 2+3√3x +4=0 的两根，α,β∈(−π2,0)，则 cos (α+β)= ．16. 已知函数 f (x )={∣x 2+5x +4∣,x ≤0,2∣x −2∣,x >0,若函数 y =f (x )−a∣x∣ 恰有 4 个零点，则实数 a的取值范围为 ．17. 如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角形中较小的锐角为 α，则 tanα= ．18. 若函数 f (x )={−x +6,x ≤23+log a x,x >2（a >0 且 a ≠1）的值域为 [4,+∞)，则 f (1)= ；实数a 的取值范围为 ．19. 已知命题 p ：∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0，若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是 ．20. 已知函数 f (x )={log 2(−x ),x <0x −2,x ≥0，若函数 g (x )=a −∣f (x )∣ 有四个零点 x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则 ax 1x 2+x 3+x 4a的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 已知命题 p ：集合 M ={x∣ x <−3或x >5}，q ：集合 N ={x∣ −a ≤x ≤8}．(1) 若 M ∩N ={x∣ 5<x ≤8}，求实数 a 的取值范围； (2) 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=ln (x −1+a )．(1) 设 f −1(x ) 是 f (x ) 的反函数．当 a =1 时，解不等式 f −1(x )>0；(2) 若关于 x 的方程 f (x )+ln (x 2)=0 的解集中恰好有一个元素，求实数 a 的值；(3) 设 a >0，若对任意 t ∈[12,1]，函数 f (x ) 在区间 [t,t +1] 上的最大值与最小值的差不超过 ln2，求 a 的取值范围．23. 已知函数 f (x ) 的定义域为 D ，值域为 f (D )，即 f (D )={y∣ y =f (x ),x ∈D }．若 f (D )⊆D ，则称 f (x ) 在 D 上封闭．(1) 试分别判断函数 f (x )=2017x +log 2017x ，g (x )=x 2x+1 在 (0,1) 上是否封闭，并说明理由． (2) 函数 f (x )=√x +1+k 的定义域为 D =[a,b ]，且存在反函数 y =f −1(x )．若函数 f (x )在 D 上封闭，且函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上也封闭，求实数 k 的取值范围．(3) 已知函数 f (x ) 的定义域是 D ，对任意 x ，y ∈D ，若 x ≠y ，有 f (x )≠f (y ) 恒成立，则称 f (x ) 在 D 上是单射．已知函数 f (x ) 在 D 上封闭且单射，并且满足 f n (D )⫋D ，其中 f n+1(x )=f(f n (x ))，(n ∈N ∗)，f 1(x )=f (x )．证明：存在 D 的真子集 D n ⫋D n−1⫋⋯⫋D 3⫋D 2⫋D 1⫋D ，使得 f (x ) 在所有 D i (i =1,2,3,⋯n ) 上封闭．24. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在正实数 a ，使得对于任意 x ∈D ，有 x +a ∈D ，且f (x +a )>f (x )，则称 f (x ) 是 D 上的“a 距增函数”．(1) 判断函数 f (x )=2x −x 是否为 (0,+∞) 上的“1 距增函数”？说明理由；(2) 写出一个 a 的值，使得 f (x )={x +2,x <0√x x ≥0 是区间 (−∞,+∞) 上的“a 距增函数”；(3) 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x >0 时，f (x )=∣x −a ∣−a ．若 f (x ) 为R 上的“2021 距增函数”，求 a 的取值范围．25. 已知关于 x 的方程 x 2−2x +a =0．当实数 a 为何值时，(1) 方程的一个根大于 1，另一个根小于 1？(2) 方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内？ (3) 方程的两个根都大于零？26. 解答：(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象如何变化得到的？ (2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象．(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2，设M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4，请判断 M 的符号．27. 已知 −π<x <0，且 cos (π2+x)−cosx =−15．(1) 求 sinx −cosx 的值； (2) 求 tanx 的值．28. 已知函数 f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x ．(1) 求 f (x ) 的最小正周期和最大值； (2) 讨论 f (x ) 在 [π6,2π3] 上的单调性．29. 已知二次函数 y =x 2−(a +1a)x +1．(1) 当 a =12 时，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集； (2) 若 a >0，求关于 x 的不等式 y ≤0 的解集．30. 设 x >y >0，求证：x 2x y 2y >(xy )x+y ．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】①正确；因为函数 y =sinx ，所以 yʹ=cosx 是偶函数；②正确；因为命题“若 x =y ，则 x 2=y 2”是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③错误；当 x ≥2 时，x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 成立；当 x 2−x −2=(x +1)(x −2)≥0 时，有 x ≥2 或 x ≤−1．④正确；依据特称命题的否定的格式可知正确．【知识点】命题的概念与真假判断、全（特）称命题的概念与真假判断、全（特）称命题的否定2. 【答案】B【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布、函数的周期性3. 【答案】D【解析】若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f (x 1)+f (x 2)=2． ① y =1x 的定义域为 {x∣ x ≠0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 1x 1+1x 2=2，即1x 2=2−1x 1，当 x 1=12时，2−1x 1=2−2=0，此时1x 2=0 无解，不满足条件；② y =x 3 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (x 1)3+(x 2)3=2，即 x 2=√2−x 133唯一，满足条件；③ y =(12)x 定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 (12)x 1+(12)x 2=2，即 (12)x 2=2−(12)x 1，当 x 1=−2 时，(12)x 2=2−(12)x 1=2−4=−2，无解，不满足条件；④ y =lnx 定义域为 {x∣ x >0}，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 lnx 1+lnx 2=2，得 lnx 1x 2=2， 即 x 1x 2=e 2，x 2=e 2x 1，满足唯一性，满足条件；⑤ y =cosx +1 的定义域为 R ，由 f (x 1)+f (x 2)=2 得 cosx 1+cosx 2=2，得 cosx 2=2−cosx 1，当 x 1=π3 时，cosx 2=2−cosx 1=2−0=2，无解，不满足条件．故满足条件的函数是②④．【知识点】余弦函数的性质、对数函数及其性质、幂函数及其性质、指数函数及其性质4. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)． 故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．5. 【答案】A【解析】设y1=a∣x∣，y2=∣log a x∣，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a∣x∣=∣log a x∣有两个根．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】B【解析】由x−2<3，得x<5，又x∈N∗，所以x=1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}，故选B．【知识点】集合的表示方法7. 【答案】C【解析】y=cos(2x−π3)=cos2(x−π6)的图象，向左平移π6个单位长度可得函数y=cos2x的图象．【知识点】三角函数的图象变换8. 【答案】C【知识点】均值不等式的应用9. 【答案】C【解析】设f(x1)=f(x2)=f(x3)=a，作出函数f(x)的图象与直线y=a，如图．由图可知0<a≤1，不妨设x1<x2<x3，则x1+x2=1，log2(x3−1)=a，因此x3=2a+1，故x1+x2+x3=2+2a，又0<a≤1，所以1<2a≤2，因此3<x1+x2+x3≤4．【知识点】函数的零点分布10. 【答案】B【解析】当k为偶数时，设k=2n，n∈Z，则原式=sin[(2n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(2nπ−θ)⋅cos(2nπ+θ)=sin(π+θ)⋅cos(π−θ)−sinθ⋅cosθ=−sinθ⋅(−cosθ)−sinθ⋅cosθ=−1.当k为奇数时，设k=2n+1，n∈Z，则原式=sin[(2n+2)π+θ]⋅cos[(2n+2)π−θ]sin[(2n+1)π−θ]⋅cos[(2n+1)π+θ]=sin[2(n+1)π+θ]⋅cos[(2n+1)π−θ]sin(π−θ)⋅cos(π+θ)=sinθ⋅cosθsinθ⋅(−cosθ)=−1.综上，原式的值为−1．【知识点】诱导公式二、填空题（共10题）11. 【答案】12【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】{1e3}∪(−e,−1)【解析】作函数y=f(x)和y=kx+2的图象，如图所示，两图象除了(0,2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y=f(x)（x>1）相切，设切点(x0,lnx0)，则切线斜率为k=1x0，又 k =lnx 0−2x 0，则 1x 0=lnx 0−2x 0，解得 x 0=e 3，此时 k =1e 3，当 k <0 时，当 y =kx +2 与曲线 y =x+2x+1相切于点 (0,2) 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2的图象只有三个公共点，不符合题意，此时 k =−1，当 −1<k <0 时，函数 y =f (x ) 和 y =kx +2 的图象只有三个公共点，不符合题意， 当直线 y =kx +2 与 y =f (x )（0<x <1）相切时，两图象只有三个公共点， 设切点 (x 0,−lnx 0)，则切线的斜率 k =−1x 0，又 k =−lnx 0−2x 0，则 −1x 0=−lnx 0−2x 0，解得 x 0=e −1，此时 k =−e 不符合题意， 当 k <−e 时，两图象只有两个公共点，不合题意， 而当 −e <k <−1 时，两图象有 4 个公共点，符合题意， 所以实数 k 的取值范围是 {1e 3}∪(−e,−1)．【知识点】函数的零点分布、利用导数求函数的切线方程13. 【答案】 13【解析】作出函数 y =f (x ) 的图象如图所示：由于 f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=f (x 4)，则 x 1，x 2，x 3，x 4 可视为直线 y =k 与曲线 y =f (x ) 有四个交点时，四个交点的横坐标．由图象可知，∣log 2x 1∣=∣log 2x 2∣，由于 0<x 1<1<x 2<2，则 log 2x 1<0，log 2x 2>0， 所以，−log 2x 1=log 2x 2，即 log 2x 1+log 2x 2=log 2(x 1x 2)=0，得 x 1x 2=1， 由图象知，曲线 y =sin πx 4(2≤x ≤10) 的图象关于直线 x =6 对称，所以，x 3+x 4=12， 因此，x 1x 2+x 3+x 4=13， 故答案为 13．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 −2021【解析】 f (x )=sinx −x 13，为奇函数， 所以 f (−a )=−f (a )=−2021． 【知识点】函数的奇偶性15. 【答案】 −12【知识点】两角和与差的正切、两角和与差的余弦16. 【答案】(1,2)【解析】考查函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象的交点的情况，根据图象，得 a >0． 当 a =2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 3 个交点； 当 y =a ∣x ∣(x ≤0) 图象与 y =∣x 2+5x +4∣ 图象相切时，在整个定义域内，函数 y =f (x ) 图象与 y =a ∣x ∣ 图象有 5 个交点，此时，由 {y =−ax,y =−x 2−5x −4, 得 x 2+(5−a )x +4=0．由 Δ=0，解得 a =1 或 a =9（舍去）．故当 1<a <2 时，函数 y =f (x ) 与 y =a ∣x ∣ 图象有 4 个交点．【知识点】函数零点的概念与意义、函数图象17. 【答案】 34【解析】由题意得大正方形的边长为 10，小正方形的边长为 2， 所以 2=10cosα−10sinα， 即 cosα−sinα=15 ⋯⋯ ①， 两边同时平方得 (cosα−sinα)2=125，即 cos 2α+sin 2α−2sinαcosα=125，又因为 cos 2α+sin 2α=1， 所以 2sinαcosα=2425， 所以(cosα+sinα)2=cos 2α+sin 2α+2sinαcosα=1+2425=4925,已知 α 为锐角，所以 cosα+sinα=75 ⋯⋯ ②， 由①②得 cosα=45，sinα=35，所以 tanα=34．【知识点】同角三角函数的基本关系18. 【答案】 5 ； (1,2]【知识点】函数的值域的概念与求法19. 【答案】 [0,1)【解析】因为“∃x ∈R ，ax 2+2ax +1≤0”为假命题， 所以其否定“∀x ∈R ，ax 2+2ax +1>0”为真命题． 当 a =0 时，显然成立；当 a ≠0 时，ax 2+2ax +1>0 恒成立可化为：{a >0,4a 2−4a <0,解得 0<a <1．综上实数 a 的取值范围是 [0,1)．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断20. 【答案】 [4,+∞)【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) −5≤a≤3．(2) a≥3．【知识点】交、并、补集运算、充分条件与必要条件22. 【答案】(1) 当a=1时，f(x)=ln(x−1+1)，由y=ln(x−1+1)得x−1+1−=e y，所以x=1e y−1，因为f−1(x)是f(x)=ln(x−1+a)的反函数，所以f−1(x)=1e x−1，x≠0，由f−1(x)>0得1e x−1>0，所以：e x−1>0，解得：x>0，即不等式f−1(x)>0的解集为{x∣ x>0}；(2) 方程f(x)+ln(x2)=0即ln(x−1+a)+ln(x2)=0，所以x+ax2=1，① a=0，则x=1，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；② a≠0时，（i）若Δ=1+4a=0，解得a=−14，代入x+ax2=1，解得x=2，经过验证，满足关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素；(ii)若Δ=1+4a>0，则a>−14；当a>0时由1x +a>0解x>0或x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(−∞,−1a)∪(0,+∞)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为x=−1+√1+4a2a >2√a2a>0，所以为使关于x的方程f(x)+ln(x2)=0的解集中恰好有一个元素，只需−1−√1+4a2a ≥−1a，即1+√1+4a≤1，显然不成立；当−14<a<0时，由1x+a>0解得：0<x<−1a，即方程f(x)+ln(x2)=0的解要在(0,−1a)范围内，解方程x+ax2=1得x=−1±√1+4a2a，因为a<0，所以−1−√1+4a2a >0，−1+√1+4a2a>0，且−1+√1+4a2a >−1−√1+4a2a，因此只需−1+√1+4a2a <−1a<−1−√1+4a2a，即1−√1+4a2<1<1+√1+4a2，即{−√1+4a<1,√1+4a>1,解得：a>0，与−14<a<0矛盾，也不满足题意；综上，实数a的值为0或−14；(3) 由对数函数的单调性可得y=lnx单调递增，根据幂函数单调性可得y=x−1+a在(0,+∞)上单调递减，因为a>0，t∈[12,1]，所以，根据复合函数单调性，可得f(x)=ln(x−1+a)在区间[t,t+1]上单调递减，因此f(x)max=ln(t−1+a)，f(x)min=ln(1t+1+a)，又函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过ln2，所以ln(t−1+a)−ln(1t+1+a)≤ln2，即(at+1)(t+1)t(at+a+1)≤2，整理得a≥1−tt2+t即a≥1−tt2+t对任意的t∈[12,1]恒成立，令g(t)=1−tt2+t ，t∈[12,1]，任取12≤t1<t2≤1，则g (t 1)−g (t 2)=1−t 1t 12+t 1−1−t2t 22+t 2=(1−t 1)(t 22+t 2)−(1−t 2)(t 12+t 1)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 22+t 2−t 1t 22−t 1t 2)−(t 12+t 1−t 12t 2−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2),因为 12≤t 1<t 2≤1，所以 t 2−t 1>0，t 2+t 1+1−t 1t 2>0，(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，因此 g (t 1)−g (t 2)=(t 2−t 1)(t 2+t 1+1−t 1t 2)(t 12+t 1)(t 22+t 2)>0，即 g (t 1)>g (t 2)；所以 g (t )=1−t t 2+t 在 t ∈[12,1] 上单调递减， 所以 g (t )max =g (12)=23，因此，只需 a ≥g (t )max =23，故 a 的取值范围为 [23,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值、反函数23. 【答案】(1) 因为函数 f (x ) 的定义域为 (0,+∞)，值域为 (−∞,+∞)，（取一个具体例子也可），所以f (x ) 在 (0,1) 上不封闭． t =x +1∈(1,2)，g (x )=ℎ(t )=(t−1)2t=t +1t −2∈(0,12)⊆(0,1)，g (x ) 在 (0,1) 上封闭．(2) 函数 f (x ) 在 D 上封闭，则 f (D )⊆D . 函数 f −1(x ) 在 f (D ) 上封闭，则 D ⊆f (D )， 得到：D =f (D )．f (x )=√x +1+k 在 D =[a,b ] 单调递增．则 f (a )=a ，f (b )=b ⇔f (x )=√x +1+k =x 在 [−1,+∞) 两不等实根． g (x )=x 2−(2k +1)x +k 2−1=0({x ≥−1,x ≥k,)故 {(2k +1)2−4(k 2−1)>0,g (−1)≥0,g (k )≥0,2k+12>k,2k+12>−1,解得k∈(−54,−1]．另解：⇔f(x)=√x+1+k=x在[−1,+∞)两不等实根．令t=√x+1(t≥0)，k+1=t2−t在t∈[0,+∞)有两个不等根，画图，由数形结合可知，k+1∈(−14,0]，解得k∈(−54,−1]．(3) 如果f(D)=D，则f n(D)=D，与题干f n(D)⫋D矛盾．因此f(D)⫋D，取D1=f(D)，则D1⫋D．接下来证明f(D1)⫋D1．因为f(x)是单射，因此取一个p∈D∖D1，则p是唯一的使得f(x)=f(p)的根，换句话说f(p)∉f(D1)．考虑到P∈D∖D1，即D1∉D∖{p}．因为f(x)是单射，则f(D1)⫋f(D∖{p})=f(D)∖{f(p)}=D1∖{f(p)}⫋D1．这样就有了f(D1)⫋D1．接着令D n+1=f(D n)，并重复上述论证证明D n+1⫋D n．【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质、反函数24. 【答案】(1) 函数f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”，任意x∈(0,+∞)，有x+1∈(0,+∞)，且2x>1，所以f(x+1)−f(x)=2x+1−(x+1)−(2x−x)=2x−1>0，因此f(x)=2x−x是(0,+∞)上的“1距增函数”．(2) a=10（答案不唯一，不小于4即可）(3) f(x)={∣x−a∣−a,x>0 0,x=0−∣x+a∣+a,x≤0因为f(x)为R上的“2021距增函数”，∪）当x>0时，由定义∣x+2021−a∣−a>∣x−a∣−a恒成立，即∣x+2021−a∣>∣x−a∣恒成立，由绝对值几何意义可得a+a−2021<0，a<20212；∪）当x<0时，分两种情况：当x<−2021时，由定义−∣x+2021+a∣+a>−∣x+a∣+a恒成立，即∣x+2021+a∣<∣x+a∣恒成立，由绝对值几何意义可得−a−a−2021>0，a<−20212；当−2021≤x<0时，由定义−∣x+a∣+a<∣x+2021−a∣−a恒成立，即 ∣x +2021−a ∣+∣x +a ∣≥∣2021−2a ∣>2a 恒成立， 当 a ≤0 时，显然成立， 当 a >0 时，可得 0<a <20214； 综上，a 的取值范围为 (−∞,20214)．【知识点】函数的单调性25. 【答案】(1) 已知方程的一个根大于 1，另一个根小于 1，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），当 x =1 时的函数值小于 0，即 12−2+a <0，所以 a <1． 因此 a 的取值范围是 {a∣ a <1}．(2) 由方程的一个根在区间 (−1,1) 内，另一个根在区间 (2,3) 内，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），x 取 −1，3 时函数值为正，x 取 1，2 时函数值为负．即 {1+2+a >0,1−2+a <0,4−4+a <0,9−6+a >0,解得 −3<a <0．因此 a 的取值范围是 {a∣ −3<a <0}．(3) 由方程的两个根都大于零，结合二次函数 y =x 2−2x +a 的图象知（图略），判别式不小于 0，图象的对称轴在 y 轴右侧，且当 x =0 时，函数值为正，即 {Δ=4−4a ≥0,−−22>0,a >0,解得 0<a ≤1．因此 a 的取值范围是 {a∣ 0<a ≤1}． 【知识点】函数的零点分布26. 【答案】(1) 函数 y =log 2(x −1) 的图象是由 y =log 2x 的图象向右平移 1 个单位得到的．(2) 在下边的坐标系中作出 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象，如图所示；(3) 设函数 y =(12)x与函数 y =∣log 2(x −1)∣ 的图象的两个交点的横坐标分别为 x 1，x 2， 所以 M =x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=(x 1−2)(x 2−2)<0．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质、函数的图象变换27. 【答案】(1) 由已知，得 sinx +cosx =15，两边平方得 sin 2x +2sinxcosx +cos 2x =125， 整理得 2sinxcosx =−2425．因为 (sinx −cosx )2=1−2sinxcosx =4925，由 −π<x <0 知，sinx <0，又 sinxcosx =−1225<0， 所以 cosx >0，所以 sinx −cosx <0， 故 sinx −cosx =−75．(2) 故此 sinx =−35，cosx =45， 所以 tanx =−34．【知识点】同角三角函数的基本关系28. 【答案】(1)f (x )=sin (π2−x)sinx −√3cos 2x=cosxsinx −√32(1+cos2x )=12sin2x −√32cos2x −√32=sin (2x −π3)−√32,所以 f (x ) 的最小正周期为 π，最大值为 2−√32．(2) 当 x ∈[π6,2π3] 时，0≤2x −3≤π，所以当 0≤2x −π3≤π2，即 π6≤x ≤5π12时，f (x ) 单调递增，当π2≤2x −π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x ) 单调递减．综上，可知 f (x ) 在 [π6,5π12] 上单调递增，在 [5π12,2π3] 单调递减．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) 当 a =12 时，有 x 2−52x +1≤0，即 2x 2−5x +2≤0，解得 12≤x ≤2，故不等式y≤0的解集为{x∣ 12≤x≤2}．(2) y≤0⇔x2−(a+1a )x+1≤0⇔(x−1a)(x−a)≤0，①当0<a<1时，a<1a ，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；②当a=1时，a=1a=1，不等式的解集为{1}；③当a>1时，a>1a ，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．综上，当0<a<1时，不等式的解集为{x∣ a≤x≤1a}；当a=1时，不等式的解集为{1}；当a>1时，不等式的解集为{x∣ 1a≤x≤a}．【知识点】二次不等式的解法30. 【答案】由x>y>0，x2x y2y>(xy)x+y可等价变形为x2x y2y(xy)x+y >1，即要证(xy)x−y>1．因为xy >1，x−y>0，由幂的基本不等式，可知(xy)x−y>1．【知识点】幂的概念与运算。

人教A 版高一数学必修第一册全册复习测试题卷6（共30题）一、选择题（共10题）1. 设集合 A ={x∣ x >1}，B ={x∣ 0≤x <3}，则 A ∩B = ( ) A ． {x∣ 0≤x <3} B ． {x∣ 1≤x <3} C ． {x∣ 1<x <3}D ． {x∣ x ≥0}2. 已知 0<a <1，则方程 a ∣x∣=∣log a x ∣ 的实根个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ．与 a 的值有关3. 已知函数 f (x )=ln(√4x 2+1+2x)，则 ( ) A ． f (log 314)<f (1)<f (ln 12) B ． f (ln 12)<f (log 134)<f (1)C ． f (1)<f (ln2)<f (log 34)D ． f (ln 12)<f (1)<f (log 34)4. 在 [0,2π] 内，不等式 sinx <−√32的解集是 ( )A ． (0,π)B ． (π3,4π3) C ． (4π3,5π3) D ． (5π3,2π)5. ∀x,y,z ∈(0,+∞)，4x 2+y 2+1xy ≥−z 2+2z +m ，则 m 的取值范围为 ( ) A ． (−∞,2√2−1]B ． (−∞,3]C ． (−∞,2]D ． (−∞,4√2−1]6. 已知 f (x ) 是定义域为 R 的奇函数，且在 (0,+∞) 内的零点有 1003 个，则 f (x ) 的零点的个数为 ( ) A ． 1003 B ． 1004C ． 2006D ． 20077. 已知 α 是第二象限角，且 cosα=−35，则 cos (π4−α) 的值是 ( ) A ． √210B ． −√210C ．7√210D ． −7√2108. 下列函数是幂函数的是 ( )A ． y =2xB ． y =2x −1C ． y =(x +1)2D ． y =√x 239. 已知函数 f(x)={−x 2+2x +1,x <22x−2,x ≥2，且存在不同的实数 x 1，x 2，x 3，使得 f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则 x 1⋅x 2⋅x 3 的取值范围是 ( ) A ． (0,3) B ． (1,2) C ． (0,2) D ． (1,3)10. 函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14的定义域是全体实数，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (√5−1,2) B ． (√5−1,+∞)C ． (−2,2)D ． (−1−√5,−1+√5)二、填空题（共10题）11. 某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x = 吨．12. 函数 y =x 2+2x −1，当 x = 时有最 值为 ． 13. 计算 cot45∘+cot30∘1−cot45∘cot30∘= ．14. 已知函数 f (x )=∣∣∣log 2∣∣x −2x ∣∣∣∣∣−a (a >0)，其所有的零点依次记为 x 1，x 2，⋯，x i (i ∈N ∗)，则 x 1⋅x 2⋯x i = ．15. 已知 cos (α+π4)=13，则 sin2α= ．16. 求值：sin10∘−√3cos10∘cos40∘= ．17. 用二分法求图象连续不断的函数 f (x ) 在区间 [1,5] 上的近似解，验证 f (1)⋅f (5)<0，给定精度 ɛ=0.01，取区间 (1,5) 的中点 x 1=1+52=3，计算得 f (1)⋅f (x 1)<0，f (x 1)⋅f (5)>0，则此时零点 x 0∈ ．（填区间）18. 已知 f (x )={sinπx,x <0f (x −1)−1,x >0，则 f (−116)+f (116) 的值为 ．19. 设函数 f (x )=cos (ωx −π6)(ω>0)．若 f (x )≤f (π4) 对任意的实数 x 都成立，则 ω 的最小值为 ．20. 已知 a >0，函数 f (x )={x 2+2ax +a,x ≤0−x 2+2ax −2a,x >0．若关于 x 的方程 f (x )=ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是 ．三、解答题（共10题）21. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱 AB 与地面垂直，灯杆 BC 与灯柱 AB 所在的平面与道路走向垂，路灯 C 采用锥形灯罩，射出的光线与平面 ABC 的部分截面如图中阴影部分所示．已知 ∠ABC =23π，∠ACD =π3，路宽 AD =24 米．设 ∠BAC =θ(π12≤θ≤π6)．(1) 求灯柱 AB 的高 ℎ（用 θ 表示）；(2) 此公司应该如何设置 θ 的值才能使制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC 所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到 0.01 米）22. 请回答：(1) 若 f(√x +1)=x +2√x ，试求函数 f (x ) 的解析式；(2) 若 f (x ) 为二次函数，且 f (0)=3，f (x +2)−f (x )=4x +2，试求函数 f (x ) 的解析式．23. 如图所示，ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点 P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE =FB =x cm ．(1) 若广告商要求包装盒侧面积 S (cm 2)最大，试问 x 应取何值？(2) 若广告商要求包装盒容积 V (cm 3) 最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．24. 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价格最高为 8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元，而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知 5 月份销售价最高为 10 元，9 月份销售价最低为 6 元，假设某商店每月购进这种商品 m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．25. 已知函数 f (x )=x 2−mx +m ，m,x ∈R ．(1) 若关于 x 的不等式 f (x )>0 的解集为 R ，求 m 的取值范围；(2) 若实数 x 1，x 2 数满足 x 1<x 2，且 f (x 1)≠f (x 2)，证明：方程 f (x )=12[f (x 1)+f (x 2)] 至少有一个实根 x 0∈(x 1,x 2)；(3) 设 F (x )=f (x )+1−m −m 2，且 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，求实数 m 的取值范围．26. 已知 f (x )=log a x ，g (x )=2log a (2x +t −2)(a >0,a ≠1,t ∈R )．(1) 若 f (1)=g (2)，求 t 的值；(2) 当 t =4，x ∈[1,2]，且 F (x )=g (x )−f (x ) 有最小值 2 时，求 a 的值； (3) 当 0<a <1，x ∈[1,2] 时，有 f (x )≥g (x ) 恒成立，求实数 t 的取值范围．27. 设函数 f (x )=3x ，g (x )=√2−x ，求：(1) f (1)+g (1)； (2) f (2)+g (2)； (3) f (x )+g (x )．28. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数 t =f (N )，f (N )=−144lg (1−N90)，其中 t 表示达到某一英文打字水平（字/分）所需的学习时间（时），N 表示每分钟打出的字数（字/分）．(1) 计算要达到 20 字分、 40 字/分水平所需的学习时间．（精确到“时”） (2) 判断函数 t =f (N ) 的单调性，并说明理由．29. 设 x ∈R ，解方程 √10+x 4+√7−x 4=3．30. 设函数 f (x )={2x −a,x <14(x −a )(x −2a ),x ≥1．(1) 若 a =1，求 f (x ) 的最小值；(2) 若 f (x ) 恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】A【解析】设y1=a∣x∣，y2=∣log a x∣，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a∣x∣=∣log a x∣有两个根．【知识点】函数零点的概念与意义3. 【答案】D【解析】函数的定义域为R，且f(−x)+f(x)=ln(√4x2+1−2x)+ln(√4x2+1+2x)=ln(√4x2+1−2x)(√4x2+1+2x)=ln(4x2+1−4x2)=ln1=0,得f(−x)=−f(x)，即f(x)是奇函数，且f(x)在R上是增函数，因为ln12<1<log34，所以f(ln12)<f(1)<f(log34)．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性4. 【答案】C【解析】画出y=sinx，x∈[0,2π]的草图如下：因为sinπ3=√32，所以sin(x+π3)=−√32，sin(2π−π3)=−√32．即在[0,2π]内，满足sinx=−√32的值为x=4π3或x=5π3，可知不等式sinx<−√32的解集是(4π3,5π3)．故选C ．【知识点】三角方程与不等式5. 【答案】B【解析】因为 x,y ∈(0,+∞)，所以 4x 2+y 2+1xy ≥2√4x 2y 2+1xy =4xy +1xy ≥2√4=4（当且仅当 {4x 2=y 2,4xy =1xy时等号成立），又 (−z 2+2z +m )max =m +1， 所以 m +1≤4，即 m ≤3．故选B ． 【知识点】均值不等式的应用6. 【答案】D【解析】根据奇函数的图象关于原点对称可得 f (x ) 在 (−∞,0) 内的零点有 1003 个，又 f (0)=0，故选D ． 【知识点】函数的零点分布7. 【答案】A【知识点】两角和与差的余弦8. 【答案】D【解析】由幂函数的概念可知D 正确． 【知识点】幂函数及其性质9. 【答案】A【解析】 f(x)={−x 2+2x +1,x <22x−2,x ≥2的图象如图所示：设 x 1<x 2<x 3，又当 x ∈[2,+∞] 时，f(x)=2x−2 是增函数，当 x =3 时，f(x)=2，设f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=t ，1<t <2，即有 −x 12+2x 1+1=−x 22+2x 2+1=2x 3−2=t ，故x 1x 2x 3=(1−√2−t)(1+√2−t)(2+log 2t)=(t −1)(2+log 2t)，设 g(t)=(t −1)(2+log 2t)，1<t <2，可得 gʹ(t)=2+log 2t +t−1tln2>0，即 g(t) 在 (1,2) 上单调递增，又 g(1)=0，g(2)=3，可得 g(t) 的范围是 (0,3)． 【知识点】函数的零点分布10. 【答案】B【解析】函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14=√1mx 2+4x+m+24，因此，要使函数 y =(mx 2+4x +m +2)−14 的定义域为全体实数，需满足 mx 2+4x +m +2>0 对一切实数都成立，即 {m >0,42−4m (m +2)<0, 解得 m >√5−1．故选：B ．【知识点】恒成立问题、函数的定义域的概念与求法二、填空题（共10题） 11. 【答案】 20【解析】每次都购买 x 吨，则需要购买400x次．因为运费为 4 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元， 所以一年的总运费与总存储费用之和为 4×400x+4x 万元．因为4×400x +4x≥160，当且仅当4x=4×400x时取等号，所以x=20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．【知识点】均值不等式的实际应用问题12. 【答案】−1；小；−2【知识点】函数的最大（小）值13. 【答案】−2−√3【知识点】两角和与差的正切14. 【答案】16【解析】函数f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a(a>0)的零点，即f(x)=∣∣∣log2∣∣x−2x ∣∣∣∣∣−a=0，所以∣∣∣log2∣∣x−2x∣∣∣∣∣=a．去绝对值可得log2∣∣x−2x ∣∣=a或log2∣∣x−2x∣∣=−a，即2a=∣∣x−2x ∣∣或2−a=∣∣x−2x∣∣．去绝对值可得2a=x−2x 或−2a=x−2x，2−a=x−2x或−2−a=x−2x．当2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2a⋅x−2=0，设方程的根为x1，x2，由韦达定理可得x1⋅x2=−2；当−2a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2a⋅x−2=0，设方程的根为x3，x4，由韦达定理可得x3⋅x4=−2；当2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2−2−a⋅x−2=0，设方程的根为x5，x6，由韦达定理可得x5⋅x6=−2；当−2−a=x−2x，两边同时乘以x，化简可得x2+2−a⋅x−2=0，设方程的根为x7，x8，由韦达定理可得x7⋅x8=−2．综上可得所有零点的乘积为x1⋅x2⋅x3⋅x4⋅x5⋅x6⋅x7⋅x8=(−2)4=16．【知识点】对数函数及其性质、函数的零点分布15. 【答案】79【解析】因为cos(α+π4)=13，所以cos(α+π4)=√22cosα−√22sinα=13=√22(cosα−sinα)=13，所以cosα−sinα=√23，因为{cosα−sinα=√23,cos2α+sin2α=1⇒(cosα−sinα)2=cos2α+sin2α−2sinαcosα=1−2sinαcosα=29，所以sin2α=2sinα⋅cosα=1−29=79．【知识点】二倍角公式16. 【答案】−2【解析】sin10∘−√3cos10∘cos40∘=2(12sin10∘−√32cos10∘)cos40∘=2sin(10∘−60∘)cos40∘=−2sin50∘cos40∘=−2.【知识点】两角和与差的正弦17. 【答案】(1,3)【解析】由f(1)⋅f(5)<0，f(1)⋅f(x1)<0及f(x1)⋅f(5)>0可知f(1)与f(x1)异号，f(x1)与f(5)同号，则x0∈(1,x1)即x0∈(1,3)．【知识点】零点的存在性定理18. 【答案】−2【知识点】诱导公式19. 【答案】23【解析】结合余弦函数的图象得π4ω−π6=2kπ，k∈Z，解得ω=8k+23，k∈Z，又因为ω>0，所以当k=0时，ω取得最小值，最小值为23．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质20. 【答案】(4,8)【知识点】函数的零点分布三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 在△ACD中，∠CDA=θ+π6，由ADsin∠ACD =ACsin∠CDA，得AC=AD⋅sin∠CDAsin∠ACD=16√3sin(θ+π6)；在△ABC中，∠ACB=π3−θ，由ABsin∠ACB =ACsin∠ABC，得ℎ=AC⋅sin∠ACBsin∠ABC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)(π12≤θ≤π6)．(2) △ABC中，由BCsin∠BAC =ACsin∠ABC，得BC=AC⋅sin∠BACsin∠ABC=32sin(θ+π6)sinθ，所以AB+BC=32sin(θ+π6)sin(π3−θ)+32sin(θ+π6)sinθ=16sin2θ+8√3，因为π12≤θ≤π6，所以π6≤2θ≤π3，所以当θ=π12时，AB+BC取得最小值8+8√3≈21.86．故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．【知识点】三角函数模型的应用22. 【答案】(1) 令t=√x+1，则t≥1，x=(t−1)2，所以f(t)=(t−1)2+2(t−1)=t2−1，所以f(x)=x2−1，x∈[1,+∞)．(2) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，所以f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c，所以f(x+2)−f(x)=4ax+4a+2b=4x+2，所以{4a=4,4a+2b=2⇒{a=1,b=−1.又f(0)=3⇒c=3，所以f(x)=x2−x+3．【知识点】函数的解析式的概念与求法23. 【答案】(1) 设包装盒的高为ℎcm，底面边长为a cm，由已知得a=√2x，ℎ=√2=√2(30−x)，0<x<30，S=4aℎ=8x(30−x)=−8(x−15)2+1800，所以当x=15时，S取得最大值．(2) 由题意，可得V=a2ℎ=2√2(−x2+30x2)，则Vʹ=6√2x(20−x)，由Vʹ=0得x=0（舍去）或x=20，当x∈(0,20)时，Vʹ>0，V在(0,20)上单调递增；当x∈(20,30)时，Vʹ<0，V在(20,30)上单调递减，所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值，此时ℎa =12，即当x=20时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12．【知识点】函数模型的综合应用、利用导数处理生活中的优化问题24. 【答案】设月份为x，由条件可得：出厂价格函数为：y1=2sin(π4x−π4)+6，销售价格函数为：y2=2sin(π4x−3π4)+8，则每期的利润函数为：y=m(y2−y1)=m[2sin(π4x−3π4)+8−2sin(π4x−π4)−6]=m(2−2√2sinπ4x)，所以，当x=6时，y max=(2+2√2)m，即6月份盈利最大．【知识点】三角函数模型的应用25. 【答案】(1) 因为f(x)>0的解集为R，所以Δ=m2−4m<0，解得0<m<4．(2) 证明：令g(x)=f(x)−12[f(x1)+f(x2)]，易知g(x)在其定义域内连续，且g(x1)⋅g(x2)={f(x1)−12[f(x1)+f(x2)]}⋅{f(x2)−12[f(x1)+f(x2)]}=−14[f(x1)−f(x2)]2<0，则g(x)=f(x)−12[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)上有零点，即方程f(x)=12[f(x1)+f(x2)]至少有一个实根x0∈(x1,x2)．(3) F(x)=f(x)+1−m−m2=x2−mx+1−m2，Δ=m2−4(1−m2)=5m2−4，函数F(x)的对称轴为直线x=m2，①当 Δ=0 时，5m 2−4=0，即 m =±2√55， 若 m =2√55，则对称轴为 x =√55∈[0,1]，则在 [0,1] 上不单调递增，不满足条件；若 m =−2√55，则对称轴为 x =−√55<0，则在 [0,1] 上单调递增，满足条件； ②当 Δ<0 时，−2√55<m <2√55，此时 F (x )>0 恒成立，若 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，则 x =m 2≤0，即 m ≤0，此时 −2√55<m ≤0；③当 Δ>0 时，m <−2√55或 m >2√55，对称轴为 x =m2，当 m <−2√55时，对称轴为 x =m 2<0，要使 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，则只需要 F (0)≥0 即可，此时 F (0)=1−m 2≥0，得 −1≤m ≤1， 此时 −1≤m <−2√55；当 m >2√55时，对称轴为 x =m 2>0，则要使 ∣F (x )∣ 在 [0,1] 上单调递增，此时 F (0)=1−m 2≤0，且对称轴 m 2≥1，所以 m ≥2．此时 m ≥2； 综上，−1≤m ≤0 或 m ≥2．【知识点】二次函数的性质与图像、函数的单调性26. 【答案】(1) 因为 f (1)=g (2)， 所以 0=2log a (2+t )， 所以 t +2=1，即 t =−1． (2) 因为 t =4，F (x )=g (x )−f (x )=2log a (2x +2)−log a x =log a4(x+1)2x=log a 4(x +1x +2).又因为 y =x +1x 在 x ∈[1,2] 单调递增， 所以当 a >1 时，F (x ) 在 x ∈[1,2] 也单调递增， 所以 F (x )min =log a 16=2，解得 a =4，当 0<a <1 时，F (x ) 在 x ∈[1,2] 也单调递减， 所以 F (x )min =log a 18=2， 解得 a =√18=3√2（舍去）， 所以 a =4．(3) f (x )≥g (x )，即 log a x ≥2log a (2x +t −2)， 所以 log a x ≥log a (2x +t −2)2， 因为 0<a <1，x ∈[1,2]， 所以 x ≤(2x +t −2)2， 所以 √x ≤2x +t −2， 所以 √x −2x +2≤t ，所以 √x −2x +2≤t ，依题意有 (√x −2x +2)max ≤t ， 而函数 y =√x −2x +2=−2(√x −14)2+178，因为 x ∈[1,2]，√x ∈[1,√2]，y max =1， 所以 t ≥1．【知识点】函数的最大（小）值、对数函数及其性质27. 【答案】(1) f (1)+g (1)=4． (2) f (2)+g (2)=6．(3) 因为 f (x ) 的定义域是 R ，g (x ) 的定义域是 (−∞,2]，交集是 (−∞,2]， 所以 f (x )+g (x )=3x +√2−x ，定义域是 (−∞,2]． 【知识点】函数的相关概念28. 【答案】(1) t =f (20)≈16（时），t =f (40)≈37（时）；所以，要达到这两个水平分别需要学习 16 小时和 37 小时．(2) 任取 0≤N 1<N 2<90，f (N 1)−f (N 2)=144lg 90−N290−N 1，因为 0≤90−N 2<90−N 1，所以 f (N 1)−f (N 2)=144lg 90−N290−N 1<0，即 f (N 1)<f (N 2)，函数 t =f (N ) 在定义域内递增．【知识点】函数模型的综合应用29. 【答案】设 {√10+x 4=u,√7−x 4=v,则 {u +v =3,u 4+v 4=17,解得 {u =2,v =1或 {u =1,v =2, 即 x =−9 或 x =6．【知识点】幂的概念与运算30. 【答案】(1) 当 a =1 时，f (x )={2x −1,x <14(x −1)(x −2),x ≥1．当 x <1 时，f (x )∈(−1,1)，无最小值； 当 x ≥1 时，f (x )=4(x −32)2−1，所以函数 f (x ) 在 [1,32] 上单调递减，在 (32,+∞) 上单调递增．所以 f (x ) 的最小值为 f (32)=−1． 综上，当 x =32 时，f (x ) 取得最小值 −1． (2) 当 x <1 时，f (x )∈(−a,2−a )．①若 g (x )=2x −a 在 x <1 时与 x 轴有一个交点则 {a >0,g (1)=2−a >0,所以 0<a <2．ℎ(x )=4(x −a )(x −2a ) 与 x 轴有一个交点． 所以 2a ≥1 且 a <1， 所以 12≤a <1．②若 g (x ) 与 x 轴无交点，则 ℎ(x ) 在 x ≥1 时与 x 轴有两个交点，当 g (1)=2−a ≤0 时 a ≥2，ℎ(x )=4(x −a )(x −2a ) 与 x 轴有两交点且两交点均在 [1,+∞) 内．由上可知 12≤a <1 和 a ≥2．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．测试时间120分钟．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页. 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．不能答在试题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1.已知集合{}{}2|lg(4),|1,A x y x B y y ==-=>则A B =A ．{|21}x x -≤≤B ．{|12}x x <<C ．{|2}x x >D ．{|212}x x x -<<>或 2. 下列函数中,是偶函数又在区间(0,)+∞上递增的函数为 A ．3y x =B ．2log y x =C ．||y x =D ．2y x =-3．函数x x y 26ln +-=的零点一定位于的区间是 A ．（2，3）B ．（3，4）C ．（1，2）D ．（0，1）4. 已知12log 5=a ，2log 3=b ，1c =，0.53-=d ，那么A.<<<d a c bB.d c a b <<<C.a b c d <<<D.a d c b <<<5.已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+，且(1)f x +为偶函数，则实数a 的值可以是 A.23B.2C.4D.6 6. 如果幂函数222)33(--⋅+-=m mx m m y 的图象不过原点，则m 的取值范围是A ．21≤≤-m B.1=m 或2=m C.1-=m 或2=m D.1=m7. 函数()412x xf x +=的图象A ．关于原点对称B ．关于直线y x =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称8.已知函数31()()log 2xf x x =-，若实数0x 是方程0()0f x =的解，且100x x <<，则1()f x 的值A.等于0B.恒为负值C.恒为正值D.不能确定9.函数2()2x f x x =-的图象为10．设()f x 是R 上的偶函数, 且在[0+)∞，上递增, 若1()02f =，14(log )0f x <那么x的取值范围是 A ．122x << B ．2x > C ．112x << D ．1212x x ><<或 11.已知函数(31)4,(1)()log ,(1)aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足:对任意实数21,x x ,当12x x <时,总有12()()0f x f x ->,那么实数a 的取值范围是A.[11,)73B.1(0,)3C.11(,)73D.[1,1)712.定义域与值域相同的奇函数称为“八卦函数”，下列函数中是“八卦函数”的是A ．201320132x x y -+=B ．2014ln 2014x y x-=+ C ．13y x -= D ．y x =第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1．用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上，直接答在试题卷上无效． 2．答题前将答题纸密封线内的项目填写清楚．二、填空题：（本大题共4个小题.每小题4分；共16分．）13．设,R a b ∈，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则 =-a b ________． 14. 已知3()25f x x x =--，(2.5)0f >，用 “二分法”求方程0523=--x x 在区间(2,3)内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 .15.已知01a a >≠且，函数2)1(log +-=x y a 的图象恒过定点P ， 若P 在幂函数()f x 的图象上，则()8f =_________.16. 若对任意x A ∈,y B ∈, (A .R B ⊆)有唯一确定的(f x ,)y 与之对应,称(f x ,)y 为关于x ,y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x .y 的广义“距离”.(1)非负性:(,)0,f x y x y ≥=当且仅当时取等号； (2)对称性:(,)(,)f x y f y x =；(3)三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立.今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于x .y 的广义“距离”的序号:①(,)||f x y x y =-； ②2(,)()f x y x y =-； ③(,)f x y =能够成为关于的x .y 的广义“距离”的函数的序号是___________.三、解答题：本大题共6个小题. 共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分） 已知集合}24{<<-=x x A ,{}15>-<=x x x B 或，}11{+<<-=m x m x C .（1）求B A ,R ()AB ；（2）若∅=C B ，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）(1) 计算：421033)21(25.0)21()4(--⨯+--；(2) 解关于x 的方程：1)3(log )1(log 515=--+x x .19.（本小题满分12分）已知函数)(log )(3b ax x f +=的图象经过点A (2，1)、 B （5，2）.20.（本小题满分12分）已知函数229(0)8()log (1)mx x m f x x m x m ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩满足2()1f m =- （1）求常数m 的值；（2）解关于x 的方程()20f x m +=，并写出x 的解集.21.（本小题满分13分）为了预防甲型流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()16t a y -=（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．22. （本小题满分13分）已知函数2()131xf x =-+. （1）求函数()f x 的定义域并判断函数()f x 的 奇偶性；（2）用单调性定义证明:函数()f x 在其定义域上 都是增函数；（3）解不等式:()2(31)230f m m f m -++-<.高一数学参考答案 2013.11一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．BCADB BDCDA AC 二、填空题：本大题共4个小题.每小题4分；共16分． 13. 2 14. (2,2.5) 15. 22 16.① 三、解答题：本大题共6个小题. 共74分．17.解：（1）}24{<<-=x x A ,{}15>-<=x x x B 或，∴{|5A B x x =<-或}4->x ，又R {51}B x x =-≤≤，……………………4分 ∴(){41}U AB x x =-<≤；………………………6分（2）若BC =∅，则需 ⎩⎨⎧≤+-≥-1151m m ，解得⎩⎨⎧≤-≥04m m ， …………………10分 故实数m 的取值范围为]0,4[-.…………………………………………………12分 18. 解：(1)原式=41412--+⨯=－3；………………………………………6分 （2）原方程化为 5log )3(log )1(log 555=-++x x ，从而5)3)(1(=-+x x ,解得2-=x 或4=x ，经检验，2-=x 不合题意， 故方程的解为4=x .………………………………………………………………12分 19. 解：∵函数)(log )(3b ax x f +=的图象经过点A (2，1)、 B （5，2）， ∴ (2)1(5)2f f =⎧⎨=⎩ ，……………2分即 33log (2)1log (5)2a b a b +=⎧⎨+=⎩，∴ 2359a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得21a b =⎧⎨=-⎩，……………6分∴ 3()log (21)f x x =-，定义域为1(,)2+∞.……………………………………8分（2）1(14)2f f ⎛⎫÷=⎪⎪⎝⎭3log 27log ÷1362÷=.……………………12分20．解：（1）∵01m <<，∴20m m <<，即2()1f m = 得 2918m m ⋅-=- ∴12m =. ………………４分 （2）由（1）22191(0)282()1log (2)(1)2x x f x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，方程()20f x m +=就是()10f x +=，即10,2191028x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩或22112log (2)10,x x ⎧≤<⎪⎨⎪+=⎩解得1142x x ==或，…………11分 ∴方程()20f x m +=的解集是1142⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. ……………12分21．解：（1）依题意：当[0,0.1]t ∈时，设 (y kt k =为常数），由图可知，图象过点（0.1, 1），∴1=0.1k ， ∴10k =， ∴10y t = []0,0.1t ∈ ……3分 当()0.1,t ∈+∞时，1()16t a y-=（a 为常数）. 由图可知，图象过点（0.1,1），∴0.111=16a-（）， ∴0.1a =，综上：0.110[0,0.1]1()(0.1,)16t t t y t -∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩ ………………8分（2）依题意),1.0[+∞∈t ∴10.1211()0.25()1616t -<= ∵1()16xy =在R 上是减函数，∴0.10.5 t ->，即0.6t >∴至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室. …………13分22.解：（1）30x >，310x +≠，∴函数()f x 的定义域为R ，…………2分()f x 的定义域为R ，又231231()1313131x x x x x f x +--=-==+++ 1331133()()1331133xx x x x x xxf x f x -----∴-====-+++，∴()f x 是定义在R 上的奇函数.…4分（2）证明：任取12,x x R ∈，且12x x <，则()12()f x f x -=12131x --+22(1)31x -+ =2231x -+1231x +()()()()12122312313131x x x x +-+=++()()()12122333131x x x x -=++，…………………6分 12x x < ，∴1233x x <,∴12330x x -<,又12310,310x x +>+>,∴()12()0f x f x -<,即()12()f x f x <∴函数()f x 在其定义域上是增函数. ………………8分 （3）由()2(31)230f m m f m -++-<,得()2(31)23f m m f m -+<--,………………………………………………………9分 函数()f x 为奇函数，∴()()2332f m f m --=-，()()23132f m m f m -+<- 由（2）已证得函数()f x 在Ｒ上是增函数， ∴()()23132f m m f m -+<-23132m m m ⇔-+<-. ………………………………………………………12分即2320m m +-<，(32)(1)0m m -+<，∴21.3m -<<不等式()2(31)230f m m f m -++-<的解集为21.3m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭………………13分。

考试时间:100分钟,满分100分.一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．下列关系正确的是：A ．Q ∈2B ．}2{}2|{2==x x x C ．},{},{a b b a = D ．)}2,1{(∈∅2．已知集合}6,5,4,3,2,1{=U ，}5,4,2{=A ，}5,4,3,1{=B ，则)()(B C A C U U ⋃A ．}6,3,2,1{B ．}5,4{C ．}6,5,4,3,2,1{D ．}6,1{ 3．下列函数中，图象过定点)0,1(的是A ．x y 2=B ．x y 2log =C ．21x y = D ．2x y =4．若b a ==5log ,3log 22，则59log 2的值是： A ．b a -2B ．b a -2C ．b a 2D ．ba25．函数3log )(3-+=x x x f 的零点所在的区间是A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，+∞） 6．已知函数ax x x f +=2)(是偶函数，则当]2,1[-∈x 时，)(x f 的值域是： A ．]4,1[ B ．]4,0[ C ．]4,4[- D ．]2,0[8．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20％，则第四年造林 A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩9.设c b a ,,均为正数，且a a21log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛.则A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<10．已知函数()log a f x x =（0,1a a >≠），对于任意的正实数,x y 下列等式成立的是A ．()()()f x y f x f y +=B ．()()()f x y f x f y +=+C ．()()()f xy f x f y =D ． ()()()f xy f x f y =+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卷中的横线上.11．若幂函数()f x 的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()9f = _________12．函数()f x =的定义域是13． 用二分法求函数)(x f y =在区间]4,2[上零点的近似解，经验证有0)4()2(<⋅f f 。

人教A版高中数学必修1全册练习题高中数学必修1练习题集第一章、集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示例1.用符号和填空。

⑴设集合A是正整数的集合，则0_______A，________A，______A；⑵设集合B是小于的所有实数的集合，则2______B，1+______B；⑶设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A，美国_____A，印度_____A，英国____A例2.判断下列说法是否正确，并说明理由。

⑴某个单位里的年轻人组成一个集合；⑵1，，，，这些数组成的集合有五个元素；⑶由a，b，c组成的集合与b，a，c组成的集合是同一个集合。

例3.用列举法表示下列集合：⑴小于10的所有自然数组成的集合A；⑵方程x=x的所有实根组成的集合B；⑶由1～20中的所有质数组成的集合C。

例4.用列举法和描述法表示方程组的解集。

典型例题精析题型一集合中元素的确定性例1.下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（）A.2B.3C.4D.5题型二集合中元素的互异性与无序性例2.已知x{1，0，x}，求实数x的值。

题型三元素与集合的关系问题1.判断某个元素是否在集合内例3．设集合A={x∣x=2k,kZ}，B={x∣x=2k+1,kZ}。

若aA，bB，试判断a+b与A，B的关系。

2.求集合中的元素例4.数集A满足条件，若aA，则A，（a≠1），若A，求集合中的其他元素。

3.利用元素个数求参数取值问题例5.已知集合A={x∣ax+2x+1=0,aR}，⑴若A中只有一个元素，求a的取值。

⑵若A中至多有一个元素，求a的取值范围。

题型四列举法表示集合例6.用列举法表示下列集合⑴A={x∣≤2，xZ}；⑵B={x∣=0}⑶M={x+y=4，xN，yN}.题型五描述法表示集合例7.⑴已知集合M={xN∣Z}，求M；⑵已知集合C={Z∣xN}，求C.例8.用描述发表示图（图-8）中阴影部分（含边界）的点的坐标的集合。

高一数学（必修1·人教A版）学业水平测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知集合A={x|x2-5x+6≤0},集合B={x||2x-1|>3},则集合A∩B=( )A. {x|2≤x≤3}B. {x|2≤x<3}C. {x|2<x≤3}D. {x|-1<x<3} 2．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图像的是（）3.若偶函数f(x)在(-∞,1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．f(2) <f(-32)<f(-1) B．f(-1) <f(-32)<f(2)C．f(2)<f(-1)< f(-32) D．f(-32)<f(-1)<f(2)4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260 f(1.4375)=0.162 f(1.40625)=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解（精确到0.1）为（）A. 1.2B. 1.3C. 1.4D. 1.55. 下列命题中，正确的是（）A.当α=0时，函数y=αx的图像是一条直线；B.幂函数的图像都过点（0，0）和（1，1）；C.若幂函数y=x α为奇函数，则y=αx是定义域上的增函数；D.幂函数的图像不可能出现在第四象限.6. 某商店某种商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售商品的月利润最高，应将该商品每件定价为( )A ．70元B ．65元C ．60元D ．55元 7.函数⎩⎨⎧≥<+-=)0()0(3)(x a x a x x f x(a>0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A. (0,1)B. [13 ,1 )C.(0, 13 ]D.(0, 23]8.已知奇函数f(x)对任意的正实数x 1,x 2(x 1≠x 2),恒有（x 1-x 2）(f(x 1)-f(x 2))>0,则一定正确的是（ ）A.f(4)>f(-6)B.f(-4)<f(-6)C.f(-4)>f(-6)D.f(4)<f(-6) 9.定义两种运算：a ⊕b=a 2-b 2 ,a ⊙b=(a-b)2,则f(x)=2⊕x 2-(x ⊙2) 是 （ ）A.奇函数B. 偶函数C. 既奇又偶函数D.非奇非偶函数 10.函数f(x)=-3x 2+bx+c 对任意的实数x 都有f(2+x)=f(2-x),则（ ）A.f(2)<f(0)<f(6)B. f(6)<f(0)<f(2)C. f(6)<f(2)<f(0)D. f(0)<f(2)<f(6) 11. 已知函数f(x)=|lgx|-(12)x有两个零点x 1,x 2,则有（ ）A.x 1x 2<0B. x 1x 2=1C.x 1x 2>1D. 0<x 1x 2<112.已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x R ∈，都有(4)()f x f x +=；②对于任意的12,x x R ∈，且1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是 A ．(4.5)(7)(6.5)f f f << B ．(7)(4.5)(6.5)f f f << C ．(7)(6.5)(4.5)f f f << D ．(4.5)(6.5)(7)f f f <<第Ⅱ卷(非选择题 90分)注意事项： 1.第Ⅱ卷用0.5mm 黑色签字笔直接答在试卷的答题卡上. 2.答卷前将密封线内项目填写清楚.二、填空题（每题4分，共16分.把答案填在答题纸的横线．．．．．．．．上）13．已知函数f(x)是R 上的奇函数，且x ∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),则函数 f(x)=14.已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ,那么f[f(14 )]= .15．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽 次.(参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771) 16． 给出下列四个命题：①函数||x y =与函数2)(x y =表示同一个函数； ②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； ③函数2)1(3-=x y 的图像可由23x y =的图像向右平移1个单位得到；④若函数)(x f 的定义域为]2,0[，则函数)2(x f 的定义域为]4,0[； ⑤设函数()x f 是在区间[]b a ,上图像连续的函数，且()()0<⋅b f a f ，则方程()0=x f 在区间[]b a ,上至少有一实根．其中正确命题的序号是三、解答题：（本题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤） 17．（本题满分12分）设A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}．(1)若A ∪B ＝A ∩B ，求实数a 的值；(2)若A ∩B ≠∅，且A ∩C ＝∅，求实数a 的值； (3)若A ∩B ＝A ∩C ≠∅，求实数a 的值．18.（本题满分12分）已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．评卷人 得分评卷人 得分评卷人 得分19.(本题满分12分)已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-（1）当a=-1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数20. (本题满分12分)设21()12x xa f x ∙-=+是R 上的奇函数. （1）求实数a 的值；（2）判定()f x 在R 上的单调性.21．(本题满分12分)设函数kx g x x x f =--=)(|,54|)(2（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像; （2）若函数)(x f 与)(x g 有3个交点，求k 的值； （3）试分析函数k x x x ---=|54|)(2ϕ的零点个数.22.(本题满分14分)某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )＝5x －x 22(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？ (3)年产量是多少时，工厂才不亏本？评卷人得分评卷人 得分评卷人 得分评卷人 得分高一数学（必修1·人教A 版）学业水平测试题号 填空题计算题 总分13∽1617 18 19 20 2122分数二、（共16分，请将答案填在相应的横线上）13 14 15 16 三、（共76分，请将解答过程和结果写在相应的位置）评卷人得分17.（12分） 县区 学校 年级 班级 姓名 考号评卷人得分18.（12分）评卷人得分19.（12分）评卷人得分20.（12分）评卷人得分21.（12分）评卷人得分22.（14分）高一数学（必修1·人教A 版）学业水平测试参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CCACDABCABDA1.C 提示：据题意知A={x|2≤x ≤3},B={x|x>2或x<-1},结合数轴得：A ∩B={x|2<x ≤3}.2.C 提示：C 不符合函数的定义.3.A 提示：∵f(x)为偶函数，∴f(-2)=f(2),又因为f(x)在(-∞,1]上是增函数，所以f(2)=f(-2)<f(-32)<f(-1),故选A.4.C 提示：f(1.4375) f(1.40625)<0，且|1.4375-1.40625|<0.1.5. D 提示：当α=0时，函数y=αx 的图像是两条射线；y=αx (a<0)不过点（0，0）；y=x -1是奇函数，但在定义域上不是增函数.故选D.6.A 提示：设该商品每件单价提高x 元，销售该商品的月利润为y 元，则y ＝(10＋x)(500－10x)＝－10x 2＋400x ＋5 000＝－10(x －20)2＋9 000 ∴当x ＝20时，y max ＝9 000，此时每件定价为50＋20＝70元，故选A.7.B 提示：分段函数为减函数的条件为:⎩⎨⎧><<0310aa a ,解得13≤a<1. 8.C 提示：（x 1-x 2）(f(x 1)-f(x 2))>0恒成立可知，函数f(x)在（0，+∞）为增函数，又因为f(x)为奇函数，f(-4)=-f(4),f(-6)=-f(6),∵f(4)<f(6),∴f(-4)>f(-6). 9.A 提示：2⊕x=4-x 2,x ⊙2=(x-2)2,所以f(x)=4-x 22-(x-2)2错误！未定义书签。

2022-2023学年山东省临沂市临沂第一中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2,Z A x x k k ==∈，{}21,Z B x x m m ==+∈，{}41,Z C x x n n ==+∈，若a A ∈，b B ∈，则必有（ ） A ．a b A +∈ B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于集合A 、B 、C 中的任何一个【答案】B【分析】设出,a b 的表示形式，计算a b +后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设2a k =，21b m =+，其中,k m 都是整数，则2212()1a b k m k m +=++=++，其中k m +是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴a b B +∈， 故选：B ．2．设集合{}2,,0A a a =-，{}2,4B =，若{}4A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A ．2±B ．2或-4C ．2D ．-4【答案】B【分析】根据给定条件可得4A ∈，由此列出方程求解，再验证即可得解． 【详解】因{}4A B ⋂=，则4A ∈，即4a =-或24a =， 当4a =-时，{}16,4,0A =，{}4A B ⋂=，符合题意， 当24a =时，解得2a =或2a =-，若2a =，则{}2,4,0A =-，{}4A B ⋂=，符合题意， 若2a =-，则{}2,4,0A =，{}2,4A B =，不符合题意， 于是得2a =或4a =-， 所以实数a 的值为2或4-． 故选：B3．如果集合(){}2120M x m x mx =--+=有且仅有两个子集，则实数m 的所有可能值的和为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．0【答案】A【分析】由题得集合M 只有一个元素，再对m 分两种情况讨论得解.【详解】解：因为集合(){}2120M x m x mx =--+=有且仅有两个子集，所以集合M 只有一个元素. 当1m =时，{2}M =，满足题意；当1m ≠时，由题得22=8(1)0,880,4m m m m m ∆--=∴-+=∴=±所以实数m的所有可能值的和为1449++-. 故选：A 4．“14a =”是“对任意的正数x ，()10ax a x +≥>恒成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对任意的正数x ，()10ax a x +≥>恒成立，只要()min 10a x a x ⎛⎫+≥> ⎪⎝⎭即可，利用基本不等式求出min a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而可求得参数a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】解：对任意的正数x ，()10ax a x+≥>恒成立， 只要()min 10a x a x ⎛⎫+≥> ⎪⎝⎭即可，a x x +≥= 当且仅当ax x=，即x =所以min a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则1≥，解得1a 4≥， 所以“14a =”是“对任意的正数x ，()10ax a x +≥>恒成立”的充分不必要条件.故选：A.5．已知函数()()2,05,0xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2022f 的值是( )A ．4B ．14C ．8D ．18【答案】D【分析】注意到202240452=⨯+，根据该分段函数x ＞0时的周期性即可求得()()()2022202240452f f f =-⨯=．【详解】∵202240452=⨯+，∴()()()()312022202240452328f f f f -=-⨯==-==． 故选：D ．6．若关于x 不等式20ax bx c ++≥的解集为[2,3]-，则关于x 不等式20cx bx a ++≥的解集为（ ） A ．11[,]23-B ．11[,]32-C ．11(,][,)23-∞-+∞D ．11(,][,)32-∞-+∞【答案】C【分析】结合一元二次不等式的解集，用a 分别表示b 和c ，并判断a 的符号，然后求解一元二次不等式即可.【详解】因为不等式20ax bx c ++≥的解集为[2,3]-， 则a<0，且2-和3是20ax bx c ++=的两个根，所以22(2)(3)6ax bx c a x x ax ax a ++=+-=--，即=-b a ，6c a =-，故()()()222266106131210cx bx a ax ax a a x x x x x x ++=--+=-+-≥⇔+-=-+≥，解得12x ≤-或13x ≥，从而关于x 不等式20cx bx a ++≥的解集为][11,,23∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.故选：C.7．已知函数22()1ax bxf x x +=+在其定义域内为偶函数，且()112f =，则111(1)(2)(2022)202220212f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．0 B ．2021 C ．40452D ．40432【答案】D【分析】先由偶函数的性质求得0b =，再由()112f =求得1a =，由此得到()f x 的解析式，观察所求式子容易考虑()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，求之可解得结果.【详解】因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，即222211ax bx ax bxx x -+=++，解得0b =， 所以22()1ax f x x =+，又因为()112f =，所以122a =，解得1a =，所以22()1x f x x =+．因为()2222222111111111x x x f x f x x x xx ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭+， 所以111(1)(2)(2022)202220212f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111(2022)(2021)(2)(1)202220212f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦14043202122=+=．故选：D ．8．设 1.10.80.80.8,0.8, 1.1a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b<c<a B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C【分析】利用指数函数的单调性结合中间量法即可得解. 【详解】解：因为函数0.8x y =为减函数， 所以 1.10.810.80.8<<，即1a b <<， 又0.811.1c =>， 所以a b c <<. 故选：C.二、多选题 9．2()xf x x a=+图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】BD【分析】根据()f x 的奇偶性，以及分00a ,a a ，=0分别根据定义域以及图象的变化趋势即可求解. 【详解】由()2()xf x f x x a--==-+，所以()f x 是奇函数，故排除A, 当0a >时，()f x 经过坐标原点，且当x 值越来越大时，()f x 的值越来越小，最终趋向于0，此时B 符合，当0a =时，21()=x f x x x=，此时D 满足 当a<0时，()f x 不经过坐标原点，当x 值越来越大时，()f x 的值越来越小，最终趋向于0，此时C 不符合， 故选：BD ．10．下列说法中不正确的是（ ）A ．已知函数()223f x x ax =-+，若x ∀∈R ，有()()11f x f x -=+成立；则实数a 的值为4.B ．若关于x 的不等式2680kx kx k -++>恒成立，则k 的取值范围为01k <<C ．命题“32R,10x x x ∃∈-+≤”的否定是“32R,10x x x ∀∈-+≤”.D ．函数()f x x =函数()2g x =值域相同.【答案】BC【分析】每一个选项分别判断即可.【详解】选项A ：由题可知()f x 关于1x =对称，所以14a=，得4a =，故选项A 正确；选项B ：当0k =时，得80>，满足题意，故该选项错误；选项C ：命题“32R,10x x x ∃∈-+≤”的否定是“32R,10x x x ∀∈-+>”，故C 错误；选项D ：()f x x =与()2g x =的值域均为[)0,∞+，故D 正确. 故选：BC11．集合{|22}X x x =-<<，集合{|2}Y y y =≤则集合{|||2}Z z z =≥可表示为（ ） A ．R R ()()X Y B ．RX C ．R()XYD ．R()XY【答案】ABC【分析】化简集合Z ，结合集合的运算判断各选项的对错.【详解】不等式2z ≥的解集为{|2z x ≥或}2x ≤-，所以{}{|2|2Z z z z x =≥=≥或}2x ≤-，因为{|22}X x x =-<<，所以{R|2X x x =≤-或}2x ≥，B 正确，{}R |2Y y y =>，则{R R ()()|2X Y x x ⋃=≤-或}2x ≥，A 正确，{}22X Y x x ⋂=-<<，又R()XY ={|2z x ≥或}2x ≤-， C 正确，{}2X Y x x ⋃=≤，{}R()2X Y x x ⋃=>，故D 错误.故选：ABC12．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上单调递增，若()10f =，则下列说法正确的是（ ）A ．x ∀∈R ，M ∃∈R ，使()f x M ≥B ．若()()13f x f -<，则(),4x ∈-∞C ．若()0xf x <，则()(),10,1x ∈-∞-⋃D ．()f x 的解析式可以为()223f x x x =+-【答案】ACD【分析】取()0M f ≤可判断A 选项；利用函数()f x 的单调性与奇偶性解不等式()()13f x f -<，可判断B 选项；分0x <、0x >解不等式()0xf x <，可判断C 选项；验证()223f x x x =+-满足题干中的条件，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上单调递增，若()10f =， 故函数()f x 在(],0-∞上单调递减，故()()min 0f x f =，故x ∀∈R ，M ∃∈R ，当()0M f ≤时，()f x M ≥恒成立，A 对； 对于B 选项，若()()13f x f -<，且函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以，()()13f x f -<，可得13x -<，即313x -<-<，解得24-<<x ，B 错； 对于C 选项，由题意可知()()110f f -==.当0x <时，由()0xf x <，可得()()01f x f >=-，所以，1x <-； 当0x >时，由()0xf x <，可得()()01f x f <=，所以，01x <<. 若()0xf x <，则()(),10,1x ∈-∞-⋃，C 对；对于D 选项，若()223f x x x =+-，则该函数的定义域为R ，()()()222323f x x x x x f x -=-+--=+-=，即函数()223f x x x =+-为偶函数，当0x ≥时，()223f x x x =+-，则函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()10f =，故()f x 的解析式可以为()223f x x x =+-，D 对.故选：ACD.三、填空题13．函数()f x =________． 【答案】[)()1,33,⋃+∞【分析】根据定义域的定义，建立不等式组，利用对数函数的单调性，可得答案.【详解】由题意，2log 030x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得13x x ≥⎧⎨≠⎩，故函数定义域为[)()1,33,⋃+∞.故答案为：[)()1,33,⋃+∞.14．已知函数()21()1m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数在第一象限是增函数，则m 的值是__________． 【答案】1【分析】根据幂函数的定义即可求出m 的值.【详解】由已知()21()1m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数在第一象限是增函数得：21110m m m ⎧+-=⎨+>⎩解得1m = 故答案为：1 15．已知函数()12mx f x x -=-，对任意()()1212,2,x x x x ∈+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-，则实数m 的取值范围是____________. 【答案】1(,)2-∞【分析】结合已知条件求出()f x 在(2,)+∞的单调性，然后对()f x 分离常数并结合反比例函数性质即可求解.【详解】因为任意()()1212,2,x x x x ∈+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增， 因为121()22mx m f x m x x --==+--， 所以由反比例函数性质，210m -<，即12m <. 故实数m 的取值范围是1(,)2-∞.故答案为：1(,)2-∞.16．已知2a ≥-，0b >，若1414a b+=+，则a b +的最小值等于________． 【答案】5【分析】变形得()14444a b a b a b ⎛⎫+=+++-⎪+⎝⎭，展开，利用基本不等式求最值即可. 【详解】2,0a b ≥->，40a ∴+>()()44144411544a a b a b a b a b b +⎛⎫∴+=+++-=++≥= ⎪++⎝⎭,当且仅当()4441414a b a ba b⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩，即1,6a b =-=时等号成立a b ∴+的最小值等于5故答案为：5四、解答题17．已知关于x 的不等式2730ax x -+>的解集为{<x x b 或}>3x . (1)求a ，b 的值；(2)求关于x 的不等式()21202ax c b x c -++<的解集.【答案】(1)12,2a b ==； (2)答案见解析【分析】（1）将不等式的解集转化为方程的两个根，结合韦达定理求出a ，b 的值；（2）在（1）的前提下，对不等式变形为()()10x c x --<，对c 分类讨论，求解不等式的解集. 【详解】（1）易知0a ≠，由题意得b ，3是关于x 的方程2730ax x -+=的两个不相等的实数根，所以237?3+3=07+3=a b a -⎧⎪⎨⎪⎩， 解得：=21=2a b ⎧⎪⎨⎪⎩，所以12,2a b ==.（2）由（1）得()()()2110x c x c x c x -++=--<，当=1c 时，不等式无解； 当1c <时，解得：1c x <<； 当1c >时，解得：1x c <<.综上，当=1c 时，不等式的解集为∅； 当1c <时，不等式的解集为{}|1x c x <<； 当1c >时，不等式的解集为{}|1x x c <<.18．设集合{}()(){}22{32},0,2110A x x B x x ax b C x x m x m m =-<=++≥=-+++<．(1)若,[4,5)A B A B ==R ，求实数a ，b 的值；(2)若“x A ∈”是“x C ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)5a =-，4b = (2)[]1,4【分析】（1）由集合的运算结果得B ，由韦达定理求解， （2）由题意列不等式组求解，【详解】（1）{15}A x x =<<，设方程20x ax b ++=的两根分别为()1212,x x x x <， 由,[4,5)A B A B ==R 得：(,1][4,,)B =-∞+∞，即121,4x x ==． 所以145a -=+=，即5a =-，144b =⨯=． （2）{1}C x m x m =<<+，若“x A ∈”是“x C ∈”的必要不充分条件，则C 是A 的真子集，115m m ≥⎧⎨+<⎩或115m m >⎧⎨+≤⎩，解得m 的取值范围是[]1,4．19．已知函数2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-． (1)用定义法证明：函数()f x 在(2,2)-上单调递增； (2)求不等式()(12)0f t f t +->的解集． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)112t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）取值，作差，判号，得到相应结论； （2）先得到2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案.【详解】（1）任取12,(2,2)x x ∈-，且12x x <，()()()()()()()()()()()()()()221221121212121212122222222212111111444444444444x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--+-=-===--------，因为12,(2,2)x x ∈-，且12x x <，故120x x -<，()124,4x x ∈-，1240x x +>，2140x ->，2140x ->，所以()()()()121222114044xxx x x x -+<--，()()120f x f x -<，故函数()f x 在(2,2)-上单调递增； （2）(2,2)x ∈-，定义域关于原点对称， 且()()22()44x xf x f x x x --==-=----， 所以2()4xf x x =-为奇函数， ()(12)0f t f t +->变形为()()(12)21f t f t f t >--=-， 则要满足22122221t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪>-⎩，解得：112t -<<，故不等式的解集为112t t ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20．己知函数2()2,()5f x x x a g x ax a =-+=+-. (1)若8a =，解不等式()()0f x g x +<；(2)若对任意的1[1,3]x ∈-，总存在2[1,3]x ∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)(5,1)--；(2)(),62,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣.【分析】（1）解一元二次不等式即得解；（2）将问题转化为两个函数值域的包含关系问题，列不等式组解不等式组得解.【详解】（1）由题得2288580x x x -+++-<，即2650,(1)(5)0,51x x x x x ++<∴++<∴-<<-. 所以不等式的解集为(5,1)--.（2）记函数()22f x x x a =-+，[1,3]x ∈-的值域为集合A ，()5g x ax a =+-，[1,3]x ∈-的值域为集合B .则对任意的[]11,3x ∈-，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立⇔A B ⊆.因为()y f x =的图象开口向上，对称轴为1x =，所以当[1,3]x ∈-，min max ()(1)1,()(3)3f x f a f x f a ==-==+，得{|13}A y a y a =-≤≤+.当0a =时，()g x 的值域为{5}，显然不满足题意；当0a >时，()g x 的值域为{|5252}B y a y a =-≤≤+，因为A B ⊆，所以521523a a a a -≤-⎧⎨+≥+⎩，解得2a ≥； 当a<0时，()g x 的值域为{|5252}B y a y a =+≤≤-，因为A B ⊆，所以521523a a a a +≤-⎧⎨-≥+⎩，解得6a ≤-. 综上，实数a 的取值范围为(),62,⎤⎡-∞-⋃+∞⎦⎣21．为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本36万元，且后续的其他成本总额y （单位：万元）与前()x x +∈N 年的关系式近似满足2y ax bx =+．已知小李第一年的其他成本为3万元，前两年的其他成本总额为8万元，每年的总收入均为22万元．(1)小李承包的土地到第几年开始盈利？(2)求小李承包的土地的年平均利润的最大值．【答案】(1)第3年(2)最大为8万元【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，设小李承包的土地到第x 年的利润为()f x 万元，求出函数()f x 的解析式，然后解不等式()0f x >，可得出结论； （2）设年平均利润为()g x 万元，可得出()()f x g x x=，利用基本不等式求出()g x 的最大值及其对应的x 值，即可得出结论. 【详解】（1）由题意得3428a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以22y x x =+． 设小李承包的土地到第x 年的利润为()f x 万元，则()()22222362036f x x x x x x x +=---=-+-∈N ，由220360x x -+->，得220360x x -+<，解得218x <<．故小李承包的土地到第3年开始盈利．（2）设年平均利润为()g x 万元，则()()36362020208f x g x x x x x x ⎛⎫==--+=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当6x =时，等号成立．故当小李承包的土地到第6年时，年平均利润最大，最大为8万元．22．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()12x f x g x ++=．(1)求函数()f x ，()g x 的解析式；(2)若对任意[1,)x ∈+∞，不等式(2)()2f x mg x -≥-恒成立，求实数m 的最大值；【答案】(1)()22x x f x -=+，()22x x g x -=-；(2)4.【分析】（1）根据给定条件，利用函数的奇偶性、方程的思想求解作答.（2）由（1）的结论，对于不等式恒等变形，分离参数构造函数，求出函数的最小值作答.【详解】（1）函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，又()()12x f x g x ++=，则()()12x f x g x -+-+-=，即()()12x f x g x -+-=，于是得()22x x f x -=+，()22x x g x -=-，所以函数()f x ，()g x 的解析式分别为()22x x f x -=+，()22x x g x -=-.（2）由（1）知，()22x x f x -=+，()22x x g x -=-，显然函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，当[1,)x ∈+∞时，3()(1)2g x g ≥=， 222(2)()2(22)222(22)(22)4x x x x x x x x f x mg x m m -----≥-⇔-≤++⇔-≤-+， 则有4(22)22x x x x m --≤-+-，依题意，对任意[1,)x ∈+∞，4(22)22x x x xm --≤-+-恒成立，而3222x x --≥，于是得4(22)422x x x x ---+≥=-，当且仅当42222x x x x ---=-取等号，由42222x x x x ---=-得：222x x --=，即222210x x -⋅-=，解得21x =，即2log 1)x =，因此当2log 1)x =时，4(22)22x x x x ---+-取得最小值4，则有4m ≤， 所以实数m 的最大值是4.。

高中数学人教新课标A 版必修1第二章2.2.1对数与对数运算同步练习一、选择题 (共17题；共34分)1．（2分）方程 3log 2x ＝ 127的解是( ) A ．x ＝ 18B ．x ＝ √22C ．x ＝ √2D ．x ＝82．（2分）下面四个等式中，一定成立的是( )A ．log 2(16－8)＝log 216－log 28B ．log 216log 28＝log 216＋log 28C ．log 216log 28=log 2168 D ．log 216＝4log 223．（2分）在n ＝log (m －3)(6－m)中，实数m 的取值范围是( )A ．m>6或m <3B ．3< m <6C ．3< m <4或4< m <6D ．4< m <54．（2分）已知lg3＝a ，lg4＝b ，则log 312等于( )A ．a+b aB ．a+b bC ．a a+bD ．b a+b5．（2分）(13)−1+log 134的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．156．（2分）已知log 169＝a ，log 25＝b ，则lg 3等于( ) A ．a b−1B ．2a b−1C ．2a b+1D ．2(a−1)b7．（2分）已知log 23＝a ，2b ＝5，用a ，b 表示 log 2√30 为（ ）A ．12b +12aB ．12b +12a +12C ．12b +12a −12D ．12b −12a +18．（2分）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v m s ⁄ 和燃料的质量 M kg 、火箭（除燃料外）的质量 m kg 的函数关系是 v =2 000ln(1+Mm) .当燃料质量是火箭质量的_______倍时，火箭的最大速度可达 4ln21 km s ⁄ .（ ） A ．440B ．441C ．442D ．4529．（2分）当 a >0,且a ≠1 时，下列说法正确的是（ ）①若M=N ，则log a M=log a N ； ②若log a M=log a N ，则M=N ； ③若log a M 2=log a N 2，则M=N ；④若M=N ，则log a M 2=log a N 2. A ．①与②B ．②与④C ．②D ．①②③④10．（2分）若log a √b 7=c ，(a ＞0，且a≠1，b ＞0)，则有（ ） A ．b=a 7cB ．b 7=a cC ．b=7a cD ．b=c 7a11．（2分）在 b =log 3a−1(3−2a) 中，实数a 的取值范围是（ ）A ．a >32 或 a <13B ．13<a <23 或 23<a <32C ．13<a <32D ．23<a <3212．（2分）若 xlog 34=1 ，则 4x +4−x = （ ）A ．1B ．2C ．83D ．10313．（2分）设 f(x)={2e x−1,x <2log 3(x 2−1),x ≥2 ，则f[f(2)]的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．314．（2分）设2a =5b =m ，且 1a +1b=2 ，则m=（ ） A ．√10 B ．10 C ．20 D ．10015．（2分）若log a x=2，log b x=3，log c x=6，则log (abc)x=（ ）A ．16B ．0C ．13D ．116．（2分）已知方程x 2＋xlog 26＋log 23=0的两个实数根为α、β，则 (14)α⋅(14)β等于（ ）A ．136B ．36C ．−6D ．617．（2分）已知 b >0 ， log 5b =a ， lgb =c ， 5d =10 ，则下列等式一定成立的是（ ）A ．d =acB ．a =cdC ．c =adD ．d =a +c二、填空题 (共7题；共14分)18．（2分）化简： log 312+log 323+log 334+⋯+log 38081= .19．（2分）已知log 3[log 2(log 5x)]＝0，那么 x −12 ＝ .20．（2分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 v =12log 3O100，单位是 m s ⁄ ，其中 O 表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为 1.5 m/s 时，这条鲑鱼的耗氧量是 个单位.21．（2分）已知4a =2，lgx=a ，则x= ． 22．（2分）若lgx−lgy=a ，则 lg(x 2)3−lg(y2)3= .23．（2分）方程lgx+lg(x+3)=1的解是x=.24．（2分）已知lg 9=a，10b=5，则用a，b表示log3645为．三、解答题 (共6题；共60分)25．（10分）求下列各式的值：(1)(2)（1）（5分）log540＋2log12√2－log5150－log516；（2）（5分）(lg 5)2＋lg 2·lg 50.26．（10分）设log23·log36·log6m＝log416，求m；（1）（5分）设log23·log36·log6m＝log416，求m；（2）（5分）已知log153＝a，用a表示log√35.27．（5分）若a、b是方程2(lg x)2－lg x6＋3＝0的两个实根，求lg(ab)·(log a b＋log b a)的值．28．（15分）计算：（1）（5分）(log3312)2+log0.2514+9log5√5−log√31；（2）（5分）lg25+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2；（3）（5分）2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8.29．（10分）计算：（1）（5分）(log23+log49+log827+⋯+log2n3n)×log9√32n；（2）（5分）设lg2=a，lg3=b，求log512. 30．（10分）已知x，y，z为正数，3x=4y=6z，且2x=py.（1）（5分）求p的值；（2）（5分）求证：1z−1x=12y.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】∵3log 2x ＝ 127 ＝ 3−3 ，∴log 2x ＝－3，∴x ＝ 2−3 ＝ 18. 故答案为：A【分析】利用指数值与对数式的互化关系式log a N=b ⇔a b =N 计算出结果即可。

2012-2013学年度上学期期中模块检测高一数学试题 2012.11第Ⅰ卷一选择题（本大题共12个小题，每题5分共60分）1.设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）=（ ）A .(1,4)B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 2．设a ＝π0.3，b ＝log π3，c ＝30，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．b ＞a ＞c D ．a ＞c ＞b3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1y x=D. ||y x x = 4. 若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．与m 有关5.若函数⎩⎨⎧>≤+=1,lg 1,1)(2x x x x x f ，则f(f(10)= （ ）A.lg101B.1C.2D.06 设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ）A 奇函数B 偶函数C 既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数7 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A 1B 1或32C 1，32或3± D 38．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或a ＝3B ．a ＝－1C ．a ＝3D ．a 不存在9 下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ）A 2x y = B xx y 2= C )10(log ≠>=a a a y x a 且 D xa a y log =10、偶函数)(x f y =在区间[0，4]上单调递减，则有（ ）A 、)()3()1(ππ->>-f f fB 、)()1()3(ππ->->f f fC 、)3()1()(ππf f f >->-D 、)3()()1(ππf f f >->-11、若函数)(x f 满足)()()(b f a f ab f +=，且n f m f ==)3(,)2.(，则)72(f 的值为（ ） A 、n m +B 、n m 23+C 、n m 32+D 、23n m +12．当0<a <1时，函数①y ＝a |x |与函数②y ＝log a |x |在区间(－∞，0)上的单调性为( )A ．都是增函数B ．都是减函数C ．①是增函数，②是减函数D ．①是减函数，②是增函数二填空题（本大题共4小题，每题4分共16分）13．函数y ＝(13)x －3x在区间[－1,1]上的最大值为________．14.化简11410104848++的值等于_________15．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝________.16．函数y ＝lg x ＋1x －1的定义域为________．三、解答题（本大题共6个题，17-21题每题12分，22题14分共74分，要求写出必要的过程）17（本小题12分）设A={x }01)1(2{,04222=-+++==+a x a x x B x x ,其中x ∈R,如果A ⋂B=B ，求实数a 的取值范围。

人教A版高中数学必修一《函数的基本性质》试题【夯实基础】一、单选题1.（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】直接由二次函数的单调性求解即可.【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.故选：B.2.（2022·全国·高一课时练习）定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可.【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，所以的单调递减区间为.故选：B3.（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】利用二次函数单调性，列式求解作答.【详解】函数的单调递增区间是，依题意，，所以，即实数的取值范围是.故选：D4.（2022·全国·高一）已知在为单调函数，则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】求出的单调性，从而得到.【详解】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，故选：D5.（2022·湖北武汉·高一期末）已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】结合图像讨论对称轴位置可得.【详解】由题知，当或，即或时，满足题意.故选：A6.（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由单调性可直接得到，解不等式即可求得结果.【详解】在上单调递增，，，解得：，实数的取值范围为.故选：C.7.（2022·全国·高一课时练习）下列四个函数在是增函数的为（）A. B.C. D.【答案】D【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可【详解】对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对.对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对.对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对.对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对.故选：D8.（2021·河南南阳·高一阶段练习）已知函数，对于任意的恒成立，则实数的最小值是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】利用换元法将函数的最值转化为二次函数的最值，即可求得实数的最小值.【详解】对于任意的使恒成立，令（），则，即，设，则，故，即实数m的最小值是.故选：.二、多选题9.（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】AD【分析】画出各选项的函数图像，利用函数的图象来研究函数的单调性判断即可.【详解】画出函数图象如图所示，由图可得A，D中的函数在上单调递增，B，C中的函数在上不单调.故选:AD.10.（2021·江西·高一期中）如图是函数的图象，则函数在下列区间单调递增的是( )A. B. C. D.【答案】BC【分析】根据单调性的定义即可由图知道f(x)的增区间﹒【详解】图像从左往右上升的区间有：(－6，－4)，(－1，2)，(5，8)，∴f(x)在(－6，－4)，(－1，2)，(5，8)上单调递增﹒故选：BC﹒三、填空题11.（2022·全国·高一课时练习）写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意可得函数在为减函数，且再写出即可.【详解】因为对任意，都有，所以函数在上减函数.又，故函数可以为.（注：满足题目条件的函数表达式均可.）故答案为：（答案不唯一）12.（2022·浙江丽水·高一开学考试）设函数，其中，.若在上不单调，则实数的一个可能的值为______.【答案】内的任意一个数.【分析】由对勾函数的性质判断出函数的单调区间，假设在上单调，即可求出的取值范围，其补集即为在上不单调时实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，由对勾函数的性质可得函数在和上是单调递增，在和上是单调递减，若在上单调，则或，解得或，则在上不单调，实数的范围是,故答案为：内的任意一个数.13.（2022·全国·高一课时练习）函数的单调减区间为__________.【答案】##【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.【详解】函数是由函数和组成的复合函数，，解得或，函数的定义域是或，因为函数在单调递减，在单调递增，而在上单调递增，由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间.故答案为：.四、解答题14.（2022·全国·高一）已知，函数.(1)指出在上的单调性（不需说明理由）；(2)若在上的值域是，求的值.【答案】(1)在上是增函数(2)2【分析】（1）由于，利用反比例函数的性质，即可得到结果；（2）根据（1）的函数单调性，可知，，解方程即可求出结果.(1)解：因为，所以在上是增函数.(2)解：易知，由（1）可知在上为增函数.，解得，由得，解得.15.（2022·湖南·高一课时练习）设函数的定义域为，如果在上是减函数，在上也是减函数，能不能断定它在上是减函数？如果在上是增函数，在上也是增函数，能不能断定它在上是增函数？【分析】根据反例可判断两个结论的正误.【详解】取，则在上是减函数，在上也是减函数，但，，因此不能断定在上是减函数.若取，则在上是增函数，在上也是增函数，但，，因此不能断定在上是增函数.16.（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为.(1)求的定义域；(2)对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）的定义域可以求出，即的定义域；（2）令，若，使得成立，即可转化为成立，求出即可.（1）∵的定义域为，∴.∴，则.（2）令，，使得成立，即大于在上的最小值.∵，∴在上的最小值为，∴实数的取值范围是.【能力提升】一、单选题1.（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【分析】根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为，最后利用的单调性判断即可.【详解】因为，所以，因此，即，所以在上单调递减，又因为，所以，又因为，所以，所以.故选：B.2.（2021·江苏·盐城市大丰区新丰中学高一期中）函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】探讨函数的定义域、单调性，再逐一分析各选项判断作答.【详解】函数的定义域为，选项C，D不满足，因，则函数在，上都单调递增，B不满足，则A满足.故选：A【点睛】方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.3.（2022·全国·高一课时练习）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据函数关系式可知，由此可确定在上的解析式，并确定每段区间上的最小值；由时，可确定在此区间内的两根，结合函数图象可确定的范围.【详解】由知：，；当时，，则；当时，，，则；当时，，，则；令，解得：或；作出函数的大致图象如图所示.对任意恒成立，，则，即实数的取值范围为.故选：B.二、多选题4.（2021·安徽·高一期中）下列命题正确的是（）A.的定义城为，则的定义域为B.函数的值域为C.函数的值域为D.函数的单调增区间为【答案】AB【分析】根据抽象函数的定义域求法，可判断A;利用换元法求得函数值域，可判断B;利用基本不等式可判断C;单调区间之间不能用并集符号，可判断D.【详解】对于A选项，由于函数的定义域为，对于函数，，解得，所以函数的定义域为，A选项正确；对于B选项，令，则，，且时，取得等号，所以函数的值域为，B选项正确；对于C选项，，当且仅当时，即等号取得，但等号取不到，所以C选项错误；对于D选项，，所以函数的单调增区间为和，单调区间之间不能用并集符号，D选项错误，故选：AB.5.（2021·辽宁实验中学高一期中）下列命题，其中正确的命题是（）A.函数在上是增函数B.函数在上是减函数C.函数的单调区间是D.已知在上是增函数，若，则有【答案】AD【分析】根据函数单调性的定义和复合函数单调性法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A选项，函数的对称轴为，开口向上，所以函数在上单调递增，故A正确；对于B选项，因为当时，，当时，，所以函数在上不是减函数，故B错误；对于C选项，解不等式得，函数的定义域为，故C错误；对于D选项，由得，由于在上是增函数，故，所以，故D正确.故选：AD6.（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（）A.B.函数在上是减函数C.D.不等式的解集为【答案】ABD【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.【详解】对于A，令，得，所以，故A正确；对于B，令，得，所以，任取，且，则，因为，所以，所以，所以在上是减函数，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，且，所以，所以，所以等价于，又在上是减函数，且，所以，解得，故D正确,故选:ABD.7.（2022·广东深圳·高一期末）（多选）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如.已知，，则函数的值可能为（）A.0B.1C.2D.3【答案】BCD【分析】利用常数分离法知，根据x的取值范围结合不等式的性质求出的取值范围，进而得到函数的值.【详解】，当时，，，，此时的取值为1；当时，，，，此时的取值为2，3.综上，函数的值可能为.故选：BCD.三、填空题8.（2022·全国·高一专题练习）点、均在抛物线（，a、b为常数）上，若，则t的取值范围为________.【答案】【分析】根据，可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为，当P、Q 两点关于抛物线对称轴对称时，可求出，根据根据，，即可求出t的取值范围.【详解】根据，可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为，则有时，y随x的增大而增大；当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，则有，解得，∵，，又∵时，y随x的增大而增大；∴可知当P、Q在对称轴的左侧是肯定满足要求，P、Q均在对称轴的右侧时肯定不满足要求，当P、Q分别在对称轴x=1的两侧时，随着P、Q向x轴正向移动，P的纵坐标在逐渐增大，Q的纵坐标逐渐减小，当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时有，继续正方向移动，则有，∴满足的t的取值范围：，故答案为：.四、解答题9.（2022·全国·高一课时练习）已知函数，判断并证明在区间上的单调性.【答案】单调递增，证明见解析【分析】利用单调性的定义证明，先任取，，且，然后作差，变形，判断符号，即可得结论. 【详解】在区间上单调递增，理由如下：任取，，且，.因为，所以，，，所以所以，所以，即，所以函数在区间上单调递增.10.（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，.求证：函数是上的增函数.【分析】任取、，且，可得出，结合已知条件可出、的大小关系，即可证得结论成立.【详解】证明：任取、，且，则.因为，所以，所以，即，所以函数是上的增函数.11.（2022·全国·高一课时练习）画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)；(2).【答案】(1)图象见解析;单调递增区间为和，无单调递减区间(2)图象见解析;单调递增区间为，单调递减区间为和【分析】（1）根据函数的解析式可作出其图象，即可得单调区间；（2）化简函数的解析式为，结合二次函数性质可作出其图象，即可得单调区间.（1）画出的图象如图所示，可得其单调递增区间为和，无单调递减区间.（2），作出该函数的图象如图所示，观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.12.（2020·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）已知函数.(1)求证：在上是增函数；(2)当时，求不等式的解集.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；（2）将代入，然后求解不等式即可（1）任取，且，则，所以，所以，所以在区间上单调递增；（2）当时，，由可得，解得，故不等式的解集为13.（2021·广东广雅中学花都校区高一期中）设函数.（1）当时，求函数的单调递减区间；（2）若函数在R上单调递增，求a的取值范围；（3）若对，不等式恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）去掉绝对值符号后根据一次函数、二次函数的单调性可得所求的单调减区间. （2）去掉绝对值符号可得，根据函数在R上单调递增可得关于的不等式组，从而可得其取值范围.（3）等价于且恒成立，前者可分类讨论，后者可结合一次函数的图象和性质，两者结合可得a的取值范围.【详解】（1）时，，故在上为增函数，在上为减函数，在为增函数，故函数的单调递减区间为.（2）因为函数在R上单调递增，故，解得.（3）等价于且恒成立，先考虑恒成立，则，故.再考虑恒成立，又，故，故，解得，综上，的取值范围为.【点睛】方法点睛：对于含绝对值符号的函数，可先去掉绝对值符号，从而把问题题转化为常见的一次函数、二次函数在给定范围上的恒成立问题，注意先讨论简单的一次函数的性质，从而参数的初步范围后再讨论二次函数的性质.14.（2021·重庆市清华中学校高一阶段练习）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“黄金区间”.（1）请证明：函数不存在“黄金区间”.（2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”.（3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证；（2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”；（3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值.【详解】解：（1）证明：由为上的增函数，则有，∴，无解，∴不存在“黄金区间”；（2）记是函数的一个“黄金区间”，由及此时函数值域为，可知而其对称轴为，∴在上必为增函数，令，∴，∴故该函数有唯一一个“黄金区间”；（3）由在和上均为增函数，已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增，则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根，又，则只要，∴或，而由韦达定理知，，所以，其中或，所以当时，取得最大值.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决.15.（2022·广东·普宁市第二中学高一期中）已知函数，，. 若不等式的解集为(1)求的值及；(2)判断函数在区间上的单调性，并利用定义证明你的结论.(3)已知且，若.试证：.【答案】(1)；(2)函数在区间上的单调递增，证明见解析(3)见解析【分析】（1）根据二次不等式的解集可以得到二次函数的零点，回代即可求出参数的值（2）定义法证明单调性，假设，若，则单调递增，若，则单调递减（3）单调性的逆应用，可以通过证明函数值的大小，反推变量的大小，难度较大(1)，即，因为不等式解集为，所以，解得：，所以(2)函数在区间上的单调递增，证明如下：假设，则因为，所以，所以，即当时，，所以函数在区间上的单调递增(3)由（2）可得：函数在区间上的单调递增，在区间上的单调递减，因为，且，，所以，，证明，即证明，即证明，因为，所以即证明，代入解析式得：，即，令，因为在区间上的单调递增，根据复合函数同增异减的性质可知，在区间上的单调递减，所以单调递增，即，所以在区间上恒成立，即，得证：【点睛】小问1求解析式，较易；小问2考察定义法证明单调性，按照常规方法求解即可；小问3难度较大，解题过程中应用到以下知识点：（1）可以通过证明函数值的大小，结合函数的单调性，反推出变量的大小，即若，且单减，则；解题过程（2）单调性的性质，复合函数同增异减以及增函数减去减函数为增函数16.（2021·江苏·高一单元测试）已知函数，(1)对任意的，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；(2)对任意的，若不等式任意（）恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，结合对勾函数的单调性与最值情况求参数范围；（2）由题意不等式可转化为函数在上单调递增，结合分段函数的单调性，分情况讨论. (1)由，由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，又函数在区间上的最大值为，所以，即，解得，所以；(2)不等式任意（）恒成立，即，设，在上单调递增，即在上单调递增，当时，，①当时，单调递增，成立；②当时，单调递增，成立，③当时，只需，即，当时，，①当时，在上递减，所以不成立；②当时，在上递减，所以不成立；③当时，只需，即，综上所述，.17.（2021·全国·高一专题练习）已知函数对一切实数都有成立，且(1)求的解析式；(2)，若存在，使得，有成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）赋值法，令y＝1，求出，进而求出；（2）根据题干中的条件，只需，先求出函数的最大值，然后利用二次函数的性质求最值，进而求出a的取值范围.(1)∵函数对一切实数都有成立，且，令y＝1，则，(2)由题意，有，则，对于g(x)，当x＝0时，g(0)＝0，当时，，设，则在（0，1）单调递减，在单调递增，在x＝1处取到最小值，所以，所以，综上，，当且仅当x＝1时取到，所以；设，则h(x)为开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，下面通过对称轴的位置对h(x)的最值情况进行分类讨论：当时，对称轴距离区间右侧x＝2更远，故，∴，即；2）当时，对称轴距离区间左侧x＝－1更远，故，∴，即；综上，.。

人教A版高一数学必修第一册全册复习测试题卷5（共30题）一、选择题（共10题）1.设实数x，y满足x+2y+1=0，则2x+4y的最小值是( )A．√2B．2√2C．3√2D．4√22.设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a3.设a，b，c依次为方程x+3=log13x，(13)x=log13x，(13)x=x+3的实根，则有( )A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．c<a<b4.已知全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={0,1}，B={1,2}，则∁U(A∪B)=( )A．{1,2}B．{0,1,2}C．{−2,−1,3}D．{−2,−1,0,3}5.函数f(x)=x a满足f(2)=4，那么函数g(x)=∣log a(x+1)∣的图象大致为( )A．B．C．D．6.若a<1，b>1，则下列命题中正确的是( )A．1a >1bB．ba>1C．a2<b2D．ab<a+b−17.设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于( )A．S∩T B．S C．∅D．T8.已知集合A={1,2,4}，B={2,4,8}，则A∩B=( )A．{1,4}B．{2,4}C．{2,4,8}D．{1,2,4,8}9.函数y=x2+4∣x∣+5在定义域内有( )A．最小值1B．最大值1C．最小值5D．最大值510. 函数 y =xln∣x∣∣x∣的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共10题）11. 已知集合 A ={1,2}，集合 B 满足 A ∪B ={1,2,3}，则集合 A 的子集个数有 个；这样的集合 B 有 个．12. 已知 cos (π6−α)=13，则 cos (5π6+α)= ，sin (2π3−α)= ．13. 将函数 f (x )=sin (4x −π6) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数y =g (x ) 的图象，则 g (x ) 的最小正周期是14. 函数 y =cosx 在区间 [−π,a ] 上为增函数，则 a 的取值范围是 ．15. 若集合 A ={x∣ ∣ x∣ <2}，B ={x ∣ 1x+1>0}，则 A ∩B = ．16. 函数 f (x )=x −12 的定义域为集合 ．17. 下列命题中，是全称量词命题的是 ；是存在量词命题的是 ．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．18.设a，b为正实数，有下列命题：①若a2−b2=1，则a−b<1；②若1b −1a=1，则a−b<1；③若∣∣√a−√b∣∣=1，则∣a−b∣<1．其中正确的命题为（写出所有正确命题的序号）．19.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x−4)=f(x)，且在区间[0,2]上f(x)=x，若关于x的方程f(x)=log a x有三个不同的实根，则a的取值范围为．20.已知全集U={x∣ 1≤x≤5}，A={x∣ 1≤x<a}，若∁U A={x∣ 2≤x≤5}，则a=．三、解答题（共10题）21.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由．(1) 与定点A，B等距离的点；(2) 高中学生中的游泳能手．22.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b2x+1+a是奇函数．求a，b的值．23.画出下列函数的图象，观察其变化规律：(1) f(x)=x．①从左至右图象上升还是下降？；②在区间上，随着x的增大，f(x)的值随之．(2) f(x)=−2x+1．①从左至右图象上升还是下降？；②在区间上，随着x的增大，f(x)的值随之．(3) f(x)=x2．①在区间上，f(x)的值随着x的增大而；②在区间上，f(x)的值随着x的增大而；24.求下列函数的定义域．(1) y=log2(x2−4x−5)；(2) y=√log0.5(4x−3)．≤1,x∈R}，集合B={x∣ ∣x−a∣≤1,x∈R}．25.已知集合A={x∣∣ 2x−1x+1(1) 求集合A；(2) 若B∩∁R A=B，求实数a的取值范围．26.在平面直角坐标系中，用阴影部分表示下列集合．(1) {α∣ 30∘+k⋅360∘≤α≤60∘+k⋅360∘,k∈Z}；(2) {α∣ 30∘+k⋅180∘≤α≤60∘+k⋅180∘,k∈Z}．27.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，x>0时，f(x)=1．求：x2+1(1) y=f(x)的解析式；(2) y=f(x)的值域．28.求下列函数的定义域．(1) y=√x2−x−2．．(2) y=√4−x+1∣x∣−1．(3) y=0√∣x∣−x29.子集（1）对于两个集合A和B，如果集合A中都属于集合B（若a∈A，则a∈B），那么集合A叫做集合B的子集，记作或，读作“ ”或“ ”．可用文氏图表示为（2）子集的性质：①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集；②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．问题：集合A是集合B的子集的含义是什么？30.回答下列问题．(1) 已知f(x)是奇函数，定义域为D，g(x)是偶函数，定义域也是D．设F(x)=f(x)g(x)，判断函数F(x)的奇偶性；(2) 已知f(x)，g(x)的定义域都是D，若F(x)=f(x)g(x)是偶函数，研究f(x)和g(x)的奇偶性．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【知识点】均值不等式的应用2. 【答案】C【解析】因为函数y=0.6x在R上单调递减，所以b=0.61.5<a=0.60.6<1．又c=1.50.6>1，所以b<a<c．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】D【知识点】函数的零点分布4. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】C【知识点】对数函数及其性质、幂函数及其性质6. 【答案】D【解析】由a<1，b>1，得a−1<0，b−1>0，所以(a−1)(b−1)<0，即ab<a+ b−1．【知识点】不等式的性质7. 【答案】B【解析】因为(S∩T)⊆S，所以S∪(S∩T)=S．【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】B【解析】因为集合A={1,2,4}，B={2,4,8}，所以A∩B={1,2,4}∩{2,4,8}={2,4}．【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】C【知识点】函数的最大（小）值10. 【答案】B【解析】易知函数y=xln∣x∣∣x∣为奇函数，故排除A，C；当x>0时，y=lnx，只有B项符合．【知识点】函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共10题）11. 【答案】4；4【知识点】交、并、补集运算12. 【答案】−13；13【知识点】诱导公式13. 【答案】π【解析】依题意可得g(x)=sin(2x−π6)，故T=2π2=π．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】(−π,0]【解析】∵y=cosx在[−π,0]上是增函数，在[0,π]上是减函数，∴只有−π<a≤0时满足条件，故a∈(−π,0]．【知识点】余弦函数的性质15. 【答案】(−1,2)【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】x∈(0,+∞)【解析】f(x)=x−12=√x f(x)有意义，则x>0，故f(x)=x−12的定义域为x∈(0,+∞)．【知识点】函数的定义域的概念与求法17. 【答案】①②③；④【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题.【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断18. 【答案】①【解析】对于①，由题意a，b为正实数，则a2−b2=1⇒a−b=1a+b⇒a−b>0⇒a>b>0，故a+b>a−b>0．若a−b≥1，则1a+b≥1⇒a+b≤1≤a−b，这与a+b>a−b>0矛盾，故a−b<1成立．对于②，取特殊值，a=3，b=34，则a−b>1；对于③，取特殊值，a=9，b=4时，∣a−b∣>1．【知识点】不等式的性质19. 【答案】(√6,√10)【解析】由f(x−4)=f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x−4)=f(x)= f(4−x)，所以函数图象关于x=2对称，且f(2)=f(6)=f(10)=2，要使方程f(x)=log a x有三个不同的根，则满足{a>1,log a6<2, log a10>2,如图，解得√6<a<√10．故a的取值范围是(√6,√10)．【知识点】函数的零点分布20. 【答案】2【解析】因为A={x∣ 1≤x<a}，∁U A={x∣ 2≤x≤5}，所以A∪(∁U A)=U={x∣ 1≤x≤5}，且A∩(∁U A)=∅，所以a=2．【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 是，即线段 AB 的垂直平分线．(2) 不是，因为游泳能手与不是能手没有具体的划分标准．【知识点】集合的概念22. 【答案】因为 f (x ) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (0)=0，即 −1+b 2+a=0，解得 b =1．从而 f (x )=−2x +12x+1+a，又由 f (−1)=−f (1)，即 −12+11+a=−−2+14+a，解得 a =2．【知识点】函数的奇偶性23. 【答案】(1) 上升；(−∞,+∞)；增大 (2) 下降；(−∞,+∞)；减小 (3) (−∞,0)；减小；(0,+∞)；增大 【知识点】函数图象、函数的单调性24. 【答案】(1) 要使函数有意义，需 x 2−4x −5>0， 即 (x −5)(x +1)>0， 所以 x <−1 或 x >5，故所求函数的定义域为 (−∞,−1)∪(5,+∞)．(2) 要使函数有意义，需 log 0.5(4x −3)≥0， 即 log 0.5(4x −3)≥log 0.51， 故 0<4x −3≤1， 解得 34<x ≤1，故所求函数的定义域为 (34,1]．【知识点】函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质25. 【答案】(1) 由2x−1x+1≤1，得 x−2x+1≤0，所以 A =(−1,2]．(2) ∁R A =(−∞,−1]∪(2,+∞)，B =[a −1,a +1]，由 B ∩∁R A =B ，得 B ⊆∁R A ，所以 a +1≤−1 或 a −1>2， 所以 a 的取值范围为 (−∞,−2]∪(3,+∞)． 【知识点】分式不等式的解法、交、并、补集运算26. 【答案】(1) (2)【知识点】任意角的概念27. 【答案】(1) f (x )={1x 2+1,x >00,x =0−1x 2+1,x <0． (2) (−1,1)．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的值域的概念与求法、函数的奇偶性28. 【答案】(1) 由 x 2−x −2≥0 得 x ≤−1或≥2． 所以定义域为 (−∞,−1]∪[2,+∞)．(2) 因为 {4−x ≥0,∣x ∣−1≠0⇒{x ≤4,x ≠±1,所以所求定义域为 (−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,4]． (3) 由 {x +1≠0,∣x ∣−x >0⇒{x ≠−1,x <0,所以所求定义域为 (−∞,−1)∪(−1,0)． 【知识点】函数的定义域的概念与求法29. 【答案】（1）任何一个元素；A ⊆B ；B ⊇A ；A 包含于 B ；B 包含 A（2）集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，即由 x ∈A 能推出 x ∈B ．例如 {0,1}⊆{−1,0,1}，则由 0∈{0,1} 能推出 0∈{−1,0,1}． 【知识点】包含关系、子集与真子集30. 【答案】(1) 奇函数，(2) f (x ) 和 g (x ) 同是奇函数或同是偶函数，则 F (x ) 为偶函数；若 f (x ) 和 g (x ) 都是非奇非偶函数，F (x ) 也可以为偶函数，比如 f (x )=x +1，g (x )=x −1．【知识点】函数的奇偶性11。

高一数学1第一章测试题班别_________姓名_________成绩_________一、选择题。

（共10题，每题4分）1、已知集合{0,1,2,3}A =，{0}B =，∅为空集，并有以下9个关系式：B A ∈①，A ≠⊂②B ，A A ≠⊂③，A A ⊆④，A ∈⑤0，B ∈⑥{0}，B ∅∈⑦，}B ∅=⑧{，∅⊆∅⑨，其中正确的关系式的个数是（ ）A ．4；B ．5；C ．6；D ．7 2、集合{},,a b c 的非空真子集的个数是（ ） A ．8； B ．7； C ．6； D ．53、设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，则 ()UA AA ＝（ ）A ．{1,2,3}；B ．{1,2,3,4,5,6}；C ．{1,3,5}；D ．{2,4,6} 4、已知{|3,}A x x x N =>∈，*S N =，则SA ＝（ ）A ．{1,2,3}；B ．{0,1,2,3}；C ．{1,2}；D ．以上都不对 5、已知{,,}A a b c =，{0,1}B =，则从A 到B 的映射的个数是（ ） A ．6； B ．7； C ．8； D ．96、函数221xy x =+的定义域是（ ）A ．(,0)(0,)-∞+∞；B ．(,1)(1,)-∞+∞；C ．∅；D ．(,)-∞+∞7、下列哪个不是函数的图像（ ）A ．B ．C ．D ．8、在区间(0,)+∞上不是增函数的是（ ） A ．21y x =+； B ．231y x =+； C ．2y x=； D ．221y x x =++ 9、下列各组函数中()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ）A ．2(),()1x xf x xg x x -==-； B ．(),()f x x g x ==；C ．22(),()(1)f x x g x x ==+； D ．(),()f x x g x ==10、已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()f x ＝（ ）A ．()(1)f x x x =--；B ．()(1)f x x x =+；C ．()(1)f x x x =-+；D ．()(1)f x x x =- 二、填空题。