第四章 插值与拟合新修改第一部分(11.26)

第四章插值与拟合插值法插值法是一种古老的数学方法，早在一千多年前的隋唐时期定制历法时就广泛应用了二次插值。

刘焯将等距节点的二次插值应用于天文计算。

插值理论却是在17世纪微积分产生后才逐步发展起来的，Newton插值公式理论是当时的重要成果。

由于计算机的使用以及航空、造船、精密仪器的加工，插值法在理论和实践上都得到进一步发展，获得了广泛的应用。

§4.1 引言§4.2 拉格朗日插值§4.3 均差与牛顿插值公式§4.4 差分与等距节点插值§4.5 埃尔米特(Hermite)插值与分段插值§4.6 曲线拟合§4.1 引言问题的提出–函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b ]上给出一系列点的函数值y i = f (x i )–或者给出函数表y=f (x )y =p (x )x x 0x 1x 2……x n yy 0y 1y 2……y n插值法的基本原理设函数y =f (x )定义在区间[a,b ]上,是[a,b ]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知,即若存在一个f(x)的近似函数,满足则称为f (x )的一个插值函数, f (x )为被插函数, 点x i 为插值节点, 称(4.1)式为插值条件, 而误差函数R (x )=称为插值余项, 区间[a, b ]称为插值区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插n x x x ,,,10)(,),(),(10n x f x f x f )(i i x f y )(x ),,2,1()()(n i x f x i i )(x (4.1))()(x x f插值函数在n+1 个互异插值节点(i =0,1,…,n )处与相等,在其它点x 就用的值作为f (x ) 的近似值。

这一过程称为插值，点x 称为插值点。

换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。

数值分析中的插值和拟合数值分析是一门运用数学方法和计算机技术来解决实际问题的学科，其中的插值和拟合是其中的两个重要概念。

一、插值在数值分析中，插值是指在已知数据点的情况下，利用一定的数学方法来估计在此数据范围之外任意一点的函数值。

常用的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。

以拉格朗日插值为例，假设已知数据点(x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn) ，其中 xi 不相同，Lagrange 插值问题就是要找到一个函数p(x)，使得：p(xi) = yi (0 <= i <= n)并且 p(x) 在区间 [x0, xn] 上为连续函数。

然后，根据拉格朗日插值多项式的定义，拉格朗日插值多项式Lk(x) 可以定义为：$$ L_k(x) = \prod_{i=0, i \neq k}^n \frac{x - x_i}{x_k - x_i}$$然后，定义插值多项式 p(x) 为：$$ p(x) = \sum_{k=0}^n y_k L_k(x) $$这样，我们就可以通过计算插值多项式来估计任意一点 x 的函数值了。

二、拟合拟合是在给定一组离散数据点的情况下，通过一定的数学方法来找到一个函数 f(x)，使得该函数可以较好地描述这些数据点之间的关系。

拟合方法主要包括最小二乘法和非线性拟合等。

以最小二乘法为例，假设有 m 个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xm, ym) ，要找到一个函数 f(x)，使得该函数与这些数据点的误差平方和最小，即：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - f(x_i))^2 $$最小二乘法就是要找到一个函数 f(x)，使得 S 最小。

假设这个函数为：$$ f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n $$则 S 可以表示为：$$ S = \sum_{i=1}^m (y_i - a_0 - a_1 x_i - a_2 x_i^2 - ... - a_nx_i^n)^2 $$接下来，我们需要求解系数a0, a1, …, an，在满足式子 (2) 的情况下，使得 S 最小。

插值与拟合问题插值与拟合是数学和计算机科学领域中常见的问题，涉及到通过已知数据点来估计未知点的值或者通过一组数据点来逼近一个函数的过程。

在现实生活中，这两个问题经常用于数据分析、图像处理、物理模拟等领域。

本文将介绍插值与拟合的基本概念、方法和应用。

一、插值问题插值是通过已知的数据点来推断出未知点的值。

在插值问题中，我们假设已知数据点是来自于一个未知函数的取值，在这个函数的定义域内，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它经过已知的数据点，并且可以通过这个函数或者曲线来估计未知点的值。

常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和牛顿插值。

线性插值是通过已知的两个数据点之间的直线来估计未知点的值，它简单而直观。

拉格朗日插值则通过构造一个关于已知数据点的多项式来估计未知点的值，这个多项式经过每一个已知数据点。

牛顿插值和拉格朗日插值类似，也是通过构造一个多项式来估计未知点的值，但是它使用了差商的概念，能够更高效地处理数据点的添加和删除。

不仅仅局限于一维数据点的插值问题，对于二维或者更高维的数据点，我们也可以使用类似的插值方法。

例如，对于二维数据点，我们可以使用双线性插值来估计未知点的值，它利用了四个已知数据点之间的线性关系。

插值问题在实际应用中非常常见。

一个例子是天气预报中的气温插值问题，根据已知的气温观测站的数据点，我们可以估计出其他地点的气温。

另一个例子是图像处理中的像素插值问题，当我们对图像进行放大或者缩小操作时，需要通过已知像素点来估计未知像素点的值。

二、拟合问题拟合是通过一组数据点来逼近一个函数的过程。

在拟合问题中，我们假设已知的数据点是来自于一个未知函数的取值，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它能够与已知的数据点尽可能地接近。

常见的拟合方法包括多项式拟合、最小二乘拟合和样条拟合。

多项式拟合是通过一个多项式函数来逼近已知的数据点，它的优点是简单易用，但是对于复杂的函数形态拟合效果可能不好。

最小二乘拟合则是寻找一个函数，使得它与已知数据点之间的误差最小，这个方法在实际应用中非常广泛。

第四章 插值与拟合插值与拟合是来源于实际，又广泛应用于实际的两种重要的方法。

随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，他们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色。

在测量上观测值不等间隔和后续值的预测及观测值的曲线拟合，都需要插值与拟合来完成。

本节将对插值法中重要的LAGRANGE 插值，分段线性插值，HERMITE 插值及三次洋条插值做介绍，说明利用MATLAB 处理此类问题的方法。

另外还对拟合中最为重要的最小二乘法拟合和快速FURIER 变换加以介绍。

第一节 插值运算（一）LAGRANGE 插值1．方法介绍对给定的N 个插值节点x1，x2，x3……，xn 及对应的函数值y1,y2,y3……,yn,利用(n-1)次LAGRANGE 插值多项式公式,则对插值区间内的任意X 的函数值Y 可通过下式求得.Y(x)=∑=nk Yk 1( ∏≠=nkj j ,1xx x x --)2．MATLAB 的实现 Lagrange.mFunction y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0;for j=1;nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end3．题目举例例: 给出F(x)=ln(x)的数值表,用LAGRANGE插值计算ln0.54的近似值解: 在MATLAB命令窗口中输入x=[0.4:0.1:0.8];y=[-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144];lagrange(x,y,0.54)ans=-0.616143说明:同精确解ln(0.54)=-0.616186比较起来,误差还是可以接受的,特别是在工程应用之中.（二）RUNGE现象的产生和分段线性插值1．方法介绍上面根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式ln(x)近似值，一般总认为ln(x)的次数越高逼近f(x)的精度就越好。

插值与拟合算法分析在数学与计算机科学领域，插值与拟合算法是两种常用的数据处理技术。

插值算法通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值，而拟合算法则通过求取最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。

本文将对插值与拟合算法进行详细分析，并比较它们在不同应用中的优缺点。

一、插值算法插值算法主要用于通过已知数据点之间的内插来估算未知数据点的值。

常用的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。

这些算法根据插值函数的不同特点，适用于不同类型的数据处理。

1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于代数多项式的插值方法。

它通过构造一个全局多项式函数来拟合已知数据点，并推导出未知数据点的估算值。

拉格朗日插值算法具有简单易懂、计算效率高等优点，但在处理大量数据点时可能会出现龙格现象，导致插值结果有一定误差。

2. 牛顿插值牛顿插值是一种基于差商的插值方法。

它通过计算差商的递推关系，构造一个分段多项式函数来拟合已知数据点。

相比于拉格朗日插值，牛顿插值算法具有更高的数值稳定性和精度，并且可以方便地进行动态插值。

3. 样条插值样条插值是一种基于分段函数的插值方法。

它将整个数据区间划分为若干小段，并使用不同的插值函数对每一段进行插值。

样条插值算法通过要求插值函数的高阶导数连续，能够更好地逼近原始数据的曲线特征，因此在光滑性较强的数据处理中常被使用。

二、拟合算法拟合算法主要用于通过最佳拟合曲线或函数来逼近已知数据点。

常用的拟合算法包括最小二乘拟合、多项式拟合、非线性拟合等。

这些算法可以使拟合曲线与已知数据点尽可能地接近，从而进行更精确的数据分析和预测。

1. 最小二乘拟合最小二乘拟合是一种通过最小化残差平方和来求取最佳拟合曲线的方法。

它利用数据点与拟合曲线的差异来评估拟合效果，并通过求取最小残差平方和的参数值来确定拟合曲线的形状。

最小二乘拟合算法广泛应用于线性回归和曲线拟合等领域。

2. 多项式拟合多项式拟合是一种通过多项式函数来逼近已知数据点的方法。

插值与拟合方法插值和拟合是数学中常用的方法，用于根据已知数据点的信息，推断出未知数据点的数值或函数的形式。

插值和拟合方法是经典的数学问题，应用广泛，特别是在数据分析、函数逼近和图像处理等领域。

1.插值方法：插值方法是通过已知数据点的信息，推断出两个已知数据点之间的未知数据点的数值。

插值方法的目的是保证插值函数在已知数据点处与实际数据值一致，并且两个已知数据点之间的连续性良好。

最常用的插值方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。

拉格朗日插值法根据已知数据点的横纵坐标，构造一个多项式函数，满足通过这些数据点。

拉格朗日插值法可以用于任意次数的插值。

牛顿插值法是使用差商的概念进行插值。

差商是指一个多项式在两个数据点之间的斜率。

牛顿插值法通过迭代计算得到与已知数据点一致的多项式。

插值方法的优点是可以精确地经过已知数据点，但是在两个已知数据点之间的插值部分可能会出现震荡现象，从而导致插值结果不准确。

2.拟合方法：拟合方法是通过已知数据点的信息，找出一个函数或曲线，使其能够最好地拟合已知数据点。

拟合方法的目标是寻找一个函数或曲线，尽可能地逼近已知数据点，并且能够在未知数据点处进行预测。

最常用的拟合方法是最小二乘法。

最小二乘法是通过求解最小化残差平方和的问题来进行拟合。

残差是指已知数据点与拟合函数的差异。

最小二乘法的目标是找到一个函数，使得所有数据点的残差平方和最小。

拟合方法的优点是可以得到一个光滑的函数或曲线，从而可以预测未知数据点的数值。

但是拟合方法可能会导致过拟合问题，即过度拟合数据点，导致在未知数据点处的预测结果不准确。

除了最小二乘法，还有其他的拟合方法，如局部加权回归和样条插值等。

局部加权回归是一种基于最小二乘法的拟合方法，它通过赋予不同的数据点不同的权重，来实现对未知数据点的预测。

样条插值是一种基于多项式插值的拟合方法，它将整个数据集分段拟合，并且在分段部分保持连续性和光滑性。

总结：插值和拟合方法是数学中的经典方法，用于根据已知数据点的信息，推断出未知数据点的数值或函数的形式。