高三数学知识点综合复习检测25(良心出品必属精品)

核心素养测评三十九等比数列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满意的条件是 ( )A.{a|a≠1}B.{a|a≠0或a≠1}C.{a|a≠0}D.{a|a≠0且a≠1}【解析】选D.由等比数列定义可知a≠0且1-a≠0,即a≠0且a≠1.【变式备选】数列{a n}满意:a n+1=λa n-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{a n-1}是等比数列,则λ的值等于( )A.1B.-1C.D.2【解析】选D.由a n+1=λa n-1,得a n+1-1=λa n-2=λ(a n-).由于数列{a n-1}是等比数列,所以=1,得λ=2. 2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了闻名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处起先,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当竞赛起先后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍旧领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍旧领先他1米……所以阿基里斯恒久追不上乌龟.依据这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为( )A. B.C. D.【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5===.3.已知各项不为0的等差数列{a n}满意a6-+a8=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b2·b8·b11=( )A.1B.2C.4D.8【解析】选D.由等差数列的性质得a6+a8=2a7.由a6-+a8=0可得a7=2,所以b7=a7=2.由等比数列的性质得b2b8b11=b2b7b12==23=8.【变式备选】已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列,则等于( )A. B.或C. D.以上都不对【解析】选B.设a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根,不妨设a<c<d<b,则a·b=c·d=2,a=,故b=4,依据等比数列的性质,得到:c=1,d=2,则m=a+b=,n=c+d=3或m=c+d=3,n=a+b=,则=或=.4.已知等比数列{a n}的前n项和S n=a·3n-1+b,则= ( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.因为等比数列{a n}的前n项和S n=a·3n-1+b,所以a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a,因为等比数列{a n}中,=a1a3,所以(2a)2=(a+b)×6a,解得=-3.5.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的一个可能值为 ( )A. B. C. D.【解析】选C.设三角形的三边分别为a,aq,aq2,其中q>0.则由三角形三边不等关系知:当q>1时.a+aq>a·q2,即q2-q-1<0所以<q<,所以1<q<.当0<q<1时.a为最大边.aq+a·q2>a,则q2+q-1>0,所以q>或q<-,所以<q<1.当q=1时,满意题意,综上知,C满意题意.【变式备选】在递增的等比数列{a n}中,已知a1+a n=34,a3·a n-2=64,且前n项和S n=42,则n等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选A.因为{a n}为等比数列,所以a3·a n-2=a1·a n=64.又a1+a n=34,所以a1,a n是方程x2-34x+64=0的两根,解得或又因为{a n}是递增数列,所以由S n===42,解得q=4.由a n=a1q n-1=2×4n-1=32,解得n=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且a1+a3=,a2+a4=,则=________________.【解析】设{a n}的公比为q,因为所以由①②可得=2,所以q=,将q=代入①得a1=2,所以a n=2×=,所以S n==4,所以==2n-1.答案:2n-1【变式备选】在等比数列{a n}中,已知a1=-1,a4=64,则q=________________,S4=________________.【解析】因为a4=a1·q3,所以q3=-64,q=-4,S4===51.答案:-4 517.(2024·全国卷Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=________________.【解析】设等比数列的公比为q,由已知a1=,=a6,所以=q5,又q≠0,所以q=3,所以S5===.答案:【变式备选】等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8=________________.【解析】设等比数列{a n}的公比为q,则由S6≠2S3得q≠1,则S3==,S6==,解得q=2,a1=,则a8=a1q7=×27=32.答案:328.若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=________________.【解析】因为数列{a n}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,所以a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5,所以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.答案:50三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·全国卷Ⅲ)等比数列中,a1=1,a5=4a3.(1)求的通项公式.(2)记S n为的前n项和.若S m=63,求m.【解析】(1)设{a n}的公比为q,由题设得a n=q n-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故a n=(-2)n-1或a n=2n-1.(2)若a n=(-2)n-1,则S n=.由S m=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若a n=2n-1,则S n=2n-1.由S m=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.10.(2024·郑州模拟)已知等比数列{a n}的公比q>0,其前n项和为S n,且S5=62,a4,a5的等差中项为3a3.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)因为a4+a5=6a3,所以a1q3+a1q4=6a1q2,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).所以S5==31a1=62,a1=2,所以a n=2·2n-1=2n.(2)因为b n===,所以T n=b1+b2+…+b n====-.(15分钟35分)1.(5分)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主子要求赔偿5斗粟.羊主子说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主子说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”准备按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主子各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列推断正确的是( )A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=B.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=C.a,b,c成公比为的等比数列,且a=D.a,b,c成公比为的等比数列,且c=【解析】选D.由题意可得,a,b,c成公比为的等比数列,b=a,c=b,三者之和为50升,故4c+2c+c=50,解得c=.【变式备选】已知等比数列{a n}的公比q=2,前100项和为S100=90,则其偶数项a2+a4+…+a100为( )A.15B.30C.45D.60【解析】选D.S100=a1+a2+…+a100=90,设S=a1+a3+…+a99,则2S=a2+a4+…+a100,所以S+2S=90,S=30,故a2+a4+…+a100=2S=60.2.(5分)在等比数列{a n}中,a2,a16是方程x2-6x+2=0的根,则= ( )A.-B.-C. D.-或【解析】选D.由题意可得a2a16=2,又由等比数列的性质可知a2a16==2,所以a9=±,所以==a9=±.【变式备选】在等比数列{a n}中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则= ( )A.2B.2C.1D.-2【解析】选A.由题知,a3+a15=6>0,a3a15=8>0,则a3>0,a15>0,由等比数列的性质知a1a17=a3a15=8=⇒a9=±2.设等比数列{a n}的公比为q,则a9=a3q6>0,故a9=2,故==2.3.(5分)(2024·全国卷Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=________________.【解析】设等比数列的公比为q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0,解得q=-,所以S4===.答案:【变式备选】设{a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n项和,若{S n}是等差数列,则q为________________.【解析】若q=1,则S n=na1,所以{S n}是等差数列;若q≠1,则当{S n}是等差数列时,肯定有2S2=S1+S3,所以2·=a1+,即q3-2q2+q=0,故q(q-1)2=0,所以q=0或q=1,而q≠0,q≠1,所以此时不成立.综上可知,q=1.答案:14.(10分)已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,若a1=1,a2a4=16.(1)设b n=log2a n,求数列{b n}的通项公式.(2)求数列{a n·b n}的前n项和S n.【解析】(1)因为a1=1,a2·a4=16,由等比数列的性质可得,a2·a4==16且a n>0,所以a3=4,所以q2==4,所以q=2或q=-2(舍去),所以a n=2n-1,因为b n=log2a n=log22n-1=n-1,所以b n=n-1.(2)由(1)得a n·b n=(n-1)·2n-1,S n=0·20+1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1①2S n=0·21+1·22+…+(n-2)·2n-1+(n-1)·2n②①-②得-S n=2+22+23+…+2n-1-(n-1)·2n=-(n-1)·2n=2n(2-n)-2所以S n=(n-2)·2n+2.5.(10分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n=(n∈N*).(1)若数列{a n+t}是等比数列,求t的值.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)当n=1时,由a1==得a1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-n-2a n-1+(n-1),即a n=2a n-1+1,所以a2=3,a3=7.依题意得(3+t)2=(1+t)(7+t),解得t=1,当t=1时,a n+1=2(a n-1+1),n≥2,即{a n+1}为等比数列成立,故实数t 的值为1.(2)由(1)知当n≥2时,a n+1=2(a n-1+1),又因为a1+1=2,所以数列{a n+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以a n+1=2×2n-1=2n,所以a n=2n-1.【变式备选】1.已知在正项数列{a n}中,a1=2,点A n(,)在双曲线y2-x2=1上,数列{b n}中,点(b n,T n)在直线y=-x+1上,其中T n是数列{b n}的前n项和.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)求证:数列{b n}是等比数列.【解析】(1)由点A n在y2-x2=1上知a n+1-a n=1,所以数列{a n}是一个以2为首项,1为公差的等差数列,所以a n=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1.(2)因为点(b n,T n)在直线y=-x+1上,所以T n=-b n+1,①所以T n-1=-b n-1+1(n≥2).②①-②得b n=-b n+b n-1(n≥2),所以b n=b n-1,所以b n=b n-1(n≥2),在①式中令n=1,得T1=b1=-b1+1,所以b1=,所以{b n}是一个以为首项,以为公比的等比数列.2.已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)证明:S n+≤(n∈N*).【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以2S3=4S4-2S2,即S3=2S4-S2,即S4-S3=S2-S4,可得2a4=-a3,于是q==-.又a1=,所以等比数列{a n}的通项公式为a n=×=(-1)n-1·.(2)由(1)知,S n=1-,S n+=1-+=当n为奇数时,S n+随n的增大而减小,所以S n+≤S1+=.当n为偶数时,S n+随n的增大而减小,所以S n+≤S2+=.故对于n∈N*,有S n+≤.1.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从其次个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( )A. fB. fC. fD. f【解析】选D.这13个单音构成了一个以f为首项,为公比的等比数列,所以a n=a1q n-1=f·()n-1,即a8= f.2.(2024·郑州模拟)设首项为1的数列{a n}的前n项和为S n,且a n=若S m>2 020,则正整数m的最小值为( )A.15B.16C.17D.18【解析】选C.由题意知a2k=a2k-1+1,a2k+1=2a2k+1,所以a2k+1=2(a2k-1+1)+1=2a2k-1+3,即a2k+1+3=2(a2k-1+3).又a1+3=4,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列,所以a2k-1=4·2k-1-3,a2k=4·2k-1-2,所以S奇=a1+a3+…+a2k-1=-3k=2k+2-4-3k,S偶=a2+a4+…+a2k=2k+2-4-2k,所以S2k=S奇+S偶=2k+3-8-5k.当k=8时,S16=2 000<2 020.又a17=1021,所以S17=3 021>2 020,故正整数m的最小值为17.- 11 -。

核心素养测评·拓展拔高练一　集合(时间:45分钟　分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=( )A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}2.(5分)(2024·大连模拟)已知集合A={1,a2+4a,a-2},-3∈A,则a=( )A.-1B.-3C.-3或-1D.33.(5分)(2024·成都模拟)定义:若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身,则称这个数是自恋数.已知集合A={4,26,81,153,370},B={x∈A|x是自恋数},则B的子集个数为( )A.16B.8C.4D.24.(5分)(2024·沈阳模拟)设集合A={x|x(4-x)≥3},B={x|x>a},若A∩B=A,则a的取值范围是( )A.(-∞,1]B.(-∞,1)C.(-∞,3]D.(-∞,3)5.(5分)(多选题)方程组x+y=3x-y=-1的解集可表示为( )A.(x,y)|x+y=3 x-y=-1B.(x,y)|x=1y=2C.{1,2}D.{(1,2)}6.(5分)(多选题)(2024·佛山模拟)已知集合A={x|x2-2x-3<0},集合B={x|2x-4<0},则下列关系式正确的是( )A.A∩B={x|-1<x<2}B.A∪B={x|x≤3}C.A∪(∁R B)={x|x>-1}D.A∩(∁R B)={x|2≤x<3}7.(5分)(2024·运城模拟)若集合A={-1,1},B={x|ax=1},且B⊆A,则实数a取值的集合为__________.8.(5分)设集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},若A∩B={-1,2},则a的值为________.≥8},B={x|2-a≤x≤2a-1}.9.(10分)(2024·徐州模拟)已知a为实数,A={x|9-x3(1)若a=2,求A∩B, ∁A B;(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.【能力提升练】10.(5分)(多选题)设集合M={x|x=(a+1)2+2,a∈Z},P={y|y=b2-4b+6,b∈N*},则( )A.P⊂MB.1∉PC.M=PD.M∩P=⌀11.(5分)(多选题)(2024·南充模拟)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤7},B= {x|m+1≤x≤2m-1},则使A⊆∁U B成立的实数m的取值范围可能是( )A.{m|6≤m≤10}B.{m|-2<m<2}C.{m|-2<m<-1}2D.{m|5<m≤8}12.(5分)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合B={2,3,4,6},用如图所示的阴影部分表示的集合为__________.13.(5分)已知M,N为R的子集,若M∩(∁R N)=⌀,N={1,2},则满足题意的M的个数为________.14.(10分)(2024·深圳模拟)已知A={x|x2-x-6≤0},B={x|a-2<x<3a},全集U=R.(1)若a=2,求A∩(∁U B);(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.15.(10分)已知集合A={x∈N|3x2-13x+4<0},B={x|ax-1≥0}.时,求A∩B;(1)当a=12(2)若__________,求实数a的取值范围.请从①A∪B=B,②A∩B=⌀,③A∩(∁R B)≠⌀,这三个条件中选一个填入(2)中横线处,并完成第(2)问的解答.【素养创新练】16.(5分)(多选题)我们知道,如果集合A⊆S,那么S的子集A的补集为∁S A={x|x∈S且x∉A},类似地,对于集合A,B我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集,记作A-B,例如:A={1,2,3,4,5},B={4,5,6,7,8},则有A-B={1,2,3},B-A={6,7,8},下列正确的是( )A.已知A={4,5,6,7,9},B={3,5,6,8,9},则B-A={3,7,8}B.如果A-B=⌀,那么A⊆BC.已知全集、集合A、集合B关系如图中所示,则B-A⊆∁U BD.已知A={x|x<-1或x>3},B={x|-2≤x<4},则A-B={x|x<-2或x≥4}答案1.【解析】选B.B={x|0≤x≤2},故A∩B={1,2}.2.【解析】选B.因为-3∈A,所以-3=a2+4a或-3=a-2,若-3=a2+4a,解得a=-1或a=-3,当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,集合A={1,-3,-5},满足题意,故a=-3成立,若-3=a-2,解得a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去,综上所述,a=-3.3.【解析】选B.因为41=4,所以4是自恋数,因为22+62=40≠26,所以26不是自恋数;因为82+12=65≠81,所以81不是自恋数;因为13+53+33=153,所以153是自恋数;因为33+73+03=370,所以370是自恋数;所以B={4,153,370},则子集个数为23=8.4.【解析】选B.解不等式x(4-x)≥3,即x2-4x+3≤0,解得1≤x≤3,即A={x|1≤x≤3},因为A∩B=A,且B={x|x>a},则A⊆B,所以a<1.5.【解析】选ABD.方程组x+y=3x-y=-1的解为x=1y=2,所以方程组x+y=3x-y=-1的解集中只有一个元素,且此元素是有序数对,所以(x,y)|x=1y=2,(x,y)|x+y=3x-y=-1,{(1,2)}均符合题意.6.【解析】选ACD.由x2-2x-3<0,(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3,所以A={x|-1<x<3};由2x-4<0,解得x<2,所以B={x|x<2}.对于A,A∩B={x|-1<x<2},故A正确;对于B,A∪B={x|x<3},故B错误;对于C,∁R B={x|x≥2},A∪(∁R B)={x|x>-1},故C正确;对于D,由选项C可知∁R B={x|x≥2},A∩(∁R B)={x|2≤x<3},故D正确.7.【解析】由B⊆A,所以集合B可以是{-1},{1},⌀,当B={-1}时,则-a=1,解得a=-1;当B={1}时,可得a=1;当B=⌀时,可得a=0;所以a的取值的集合为{-1,1,0}.答案:{-1,0,1}8.【解析】由题知a+1=-1,a2-2=2,或a+1=2,a2-2=-1,解得a=-2或a=1.经检验,a=-2和a=1均满足题意.答案:-2或19.【解析】(1)因为a=2,由9-x3≥8,得x≤3,所以A={x|x≤3},B={x|0≤x≤3},所以A∩B={x|x≤3}∩{x|0≤x≤3}=[0,3],∁A B=(-∞,0).(2)因为A∩B=B,所以B⊆A,由(1)知,A={x|x≤3},当B=⌀时,2a-1<2-a,解得a<1;当B≠⌀时,2a -1≥2-a2a-1≤3,解得1≤a≤2,综上所述:实数a的取值范围是(-∞,2].10.【解析】选BC.因为a∈Z,所以a+1∈Z,且(a+1)2+2≥2,即M={x∈N*|x≥2},因为b∈N*,b2-4b+6=(b-2)2+2≥2,所以P={y∈N*|y≥2},所以1∉P且M=P.11.【解析】选BC.①当B=⌀时,令m+1>2m-1,得m<2,此时∁U B=R符合题意;②当B≠⌀时,m+1≤2m-1,得m≥2,则∁U B={x|x<m+1或x>2m-1},因为A⊆∁U B,所以m+1>7或2m-1<-2,解得m>6或m<-12,因为m≥2,所以m>6.综上,m的取值范围为{m|m<2或m>6}.12.【解析】因为全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合B={2,3,4,6},所以A∩B={2,4},A∪B={0,2,3,4,5,6},所以阴影部分的集合为∁(A∪B)(A∩B)={0,3,5,6}.答案:{0,3,5,6}13.【解析】因为M∩(∁R N)=⌀,所以M⊆N,又N={1,2},所以M={1}或M={2}或M=⌀或M={1,2},故满足题意的M的个数为4.答案:414.【解析】(1)因为A={x|x2-x-6≤0},所以(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤3,所以A=[-2,3],当a=2时,B=(0,6),∁U B=(-∞,0]∪[6,+∞),所以A∩(∁U B)=[-2,0];(2)因为B⊆A,所以当B=⌀时,a-2≥3a,解得a≤-1,当B≠⌀时,a-2≥-23a≤3a-2<3a,解得0≤a≤1,所以实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[0,1].15.【解析】(1)由题意得,A={x∈N|13<x<4}={1,2,3}.当a=12时,B=x|12x-1≥0={x|x≥2},所以A∩B={2,3}.(2)选择①:因为A∪B=B,所以A⊆B.当a=0时,B=⌀,不满足A⊆B,舍去;当a>0时,B=x|x≥要使A⊆B,则1≤1,解得a≥1;当a<0时,B=x|x≤此时1a<0,A∩B=⌀,舍去,综上,实数a的取值范围为[1,+∞).a选择②:当a=0时,B=⌀,满足A∩B=⌀;当a>0时,B=x|x≥要使A∩B=⌀,则1a>3,解得0<a<13;当a<0时,B=x|x≤此时1a<0,A∩B=⌀,综上,实数a的取值范围为(-∞,1).3选择③:当a=0时,B=⌀,A∩(∁R B)=A≠⌀,满足题意;当a>0时,B=x|x≥∁R B=x|x<要使A∩(∁R B)≠⌀,则1>1,解得0<a<1;a当a<0时,B=x|x≤∁R B=x|x>此时A∩(∁R B)=A≠⌀,满足题意,综上,实数a的取值范围为(-∞,1).16.【解析】选BD.对于A.由B-A={x|x∈B且x∉A},得B-A={3,8},故A错误;对于B.由A-B={x|x∈A且x∉B},A-B=⌀,得A⊆B,故B正确;对于C.由Venn图知:B-A如图阴影部分,所以B-A⊆(∁U A)∩B,故C错误;对于D.∁U B={x|x<-2或x≥4},则A-B=A∩∁U B={x|x<-2或x≥4},故D正确.。

一、单选题1. 已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（）A．B．C．D．2. 函数在上单调递减，则的最大值是（）A．1B．C．D．43. 欧拉公式（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将表示的复数记为z，则的值为（）A．B．C．D．4. 设集合，.若，则实数n的值为（）A．B．0C．1D．25. 如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，在处连续是在处可导的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6. 银行按“复利”计算利息，即把上一个月的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一个月的利息.某人在银行贷款金额为A元，采用的还款方式为“等额本息”，即每个月还款1次，每次还款的金额固定不变，直到贷款的本金和利息全部还完为止.若月利率p固定不变，按“复利”计算本息和，分n个月还清(贷款1个月后开始第1次还款)，则此人每月还款金额为（）A．元B．元C．元D．元7. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则前10项的和为A．10B．8C．6D．-88. 某学校、两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如图，①班数学兴趣小组的平均成绩高于班的平均成绩；②班数学兴趣小组成绩的众数小于班成绩的众数；③班数学兴趣小组成绩的极差大于班成绩的极差；④班数学兴趣小组成绩的中位数大于班成绩的中位数.其中正确结论的编号为二、多选题A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③9. 设全集为，，，那么集合等于（ ）A．B．C．D．10. 已知直线：与圆：相交于，两点，若，则圆的标准方程为A．B．C．D．11. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．12.已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．213. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．14.给定一组数据，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ）A．B．C．D．15. 在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，，则实数的最大值是（ ）A．B．C．D．16. 某电商为某次活动设计了“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖则他获得奖次的不同情形种数为 A ．9B ．12C ．18D ．2417.设函数向左平移个单位长度得到函数，若在上恰有2个零点，3个极值点，则下列说法正确的是（ ）A ．在上单调递减B ．的取值范围为C ．若的图象关于直线对称，则D ．在区间上存在最大值18.数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n 项和，则下列结论正确的是（ ）三、填空题四、解答题A ．数列的第项为B ．数列的第2023项为C ．数列的前项和为D．19.已知数列满足，，则（ ）A．B．C．D．20.已知函数的定义域为，，则（ ）．A．B．C ．是偶函数D ．为的极小值点21. 定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（ ）A ．对任意的，有B．存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立C．若与垂直，则与共线D．若与共线，则与的模相等22. 对于一个事件E ，用表示事件E 中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D 中，，，则（ ）A ．A 与D 不互斥B ．A 与B 互为对立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立23. 以下说法正确的有（ ）A ．经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点B ．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第三四分位数为9C ．已知，，，则D ．若随机变量，则取最大值的充分不必要条件是24. 命题：是的充要条件；命题：函数在不是单调函数，则下列命题是真命题的是（ ）A．B．C．D．25.已知向量，若，则__________．26.若曲线上的点P与曲线上的点Q 关于坐标原点对称，则称P ，Q 是，上的一组奇点.若曲线（且）与曲线有且仅有一组奇点，则的取值范围是___________.27. 已知球的半径等于1，则该球的体积等于______.28. 已知向量，（，），令（）.（1）化简，并求当时方程的解集；（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷五、解答题29. 已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.30. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；(2)当的值为多少时，能使平面？31. 已知，求下列各式的值(1)；(2)32.已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.33. 化简求值：（1）（2）已知，，求的值；34. 某中学高一期中考试结束后，从高一年级1000名学生中任意抽取50名学生，将这50名学生的某一科的考试成绩作为样本进行统计，并作出样本成绩的频率分布直方图（如图）．（1）由于工作疏忽，将成绩[130，140）的数据丢失，求此区间的人数及频率分布直方图的中位数；（结果保留两位小数）（2）若规定考试分数不小于120分为优秀，现从样本的优秀学生中任意选出3名学生，参加学习经验交流会．设X 表示参加学习经验交流会的学生分数不小于130分的学生人数，求X 的分布列及期望；（3）视样本频率为概率．由于特殊原因，有一个学生不能到学校参加考试，根据以往考试成绩，一般这名学生的成绩应在平均分左右．试根据以上数据，说明他若参加考试，可能得多少分？（每组数据以区问的中点值为代表）35. 一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据如下表所示：温度21232527293235产卵个数个711212466115325(1)画出散点图，根据散点图判断与哪一个适宜作为产卵数y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可､不必说明理由）；(2)根据（1）的判断结果及表中数据.建立关于的回归方程.（附：可能用到的公式，可能用到的数据如下表所示：27.43081.290 3.612147.7002763.764705.59240.180（对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.）36. 2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾， 5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元，距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如下频率分布直方图（图1）：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求抽出的2户居民损失均超过8000元的概率；（3）台风后区委会号召该小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如下表，在图2表格空白外填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额超过或不超过500元和自身经济损失是否超过4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30捐款不超过500元6合计附：临界值参考公式：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.82837. 每年的3月21日被定为“世界睡眠日”，拥有良好睡眠对人的健康至关重要，一夜好眠成为很多现代人的诉求．某市健康研究机构于2018年3月14日到3月20日持续一周，通过网络调查该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间（单位：小时），共有500人参加调查，其中年龄在区间的有200人，现将调查数据统计整理后，得到如下频数分布表：(1)根据上表，在给定坐标系中画出这500名市民日平均睡眠时间的频率分布直方图；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关；，其中．38. 已知国家某级大型景区对拥挤等级与每日游客数量（单位：百人）的关系有如下规定：当时，拥挤等级为“优”；当时，拥挤等级为“良”；当时，拥挤等级为“拥挤”；当时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：六、解答题（1）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；游客数量（单位：百人）天数1041频率（2）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的频率．39. 如图1所示，在边长为3的正方形中，将沿折到的位置，使得平面平面，得到图2所示的三棱锥．点分别在上，且，，．记平面与平面的交线为l．(1)在图2中画出交线l ，保留作图痕迹，并写出画法．(2)求二面角的余弦值．40. 如图，三棱柱中，为的中点,为的中点.（1）求证：直线平面；（2）若三棱柱是正三棱柱，,求到平面的距离.41. 函数是定义在上的奇函数，且．(1)求实数的值；(2)用定义证明函数在上是增函数；(3)解关于的不等式．42. 已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于两点，当直线过点时，点到的准线的距离之和为，线段的中点到轴的距离是4.(1)求抛物线的方程；(2)当时，设抛物线在点处的切线交于点，求证：.43. 已知函数.(1)当时，求的单调递增区间；(2)设直线l 为曲线的切线，当时，记直线l的斜率的最小值为，求的最小值；(3)当时，设，，求证：.七、解答题44.设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.45. 已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.46. 某中学为了响应国家双减政策，开展了校园娱乐活动．在一次五子棋比赛活动中，甲、乙两位同学每赛一局，胜者得1分，对方得0分，没有平局．规定当一人比另一人多得5分或进行完10局比赛时，活动结束．假设甲、乙两位同学获胜的概率都为，且两人各局胜负分别相互独立．已知现在已经进行了3局比赛，甲得2分，乙得1分，在此基础上继续比赛．(1)只有当一人比另一人多得5分时，得分高者才能获得比赛奖品，求甲获得比赛奖品的概率；(2)设X 表示该活动结束时所进行的比赛的总轮数，求X 的分布列及数学期望．47. 某村为巩固脱贫成果，积极引导村民种植一种名贵中药材，但这种中药材需加工成半成品才能销售，现有甲、乙两种针对这种中药材的加工方式可供选择，为比较这两种加工方式的优劣，村委会分别从甲、乙两种加工方式所加工的半成品中，各自随机抽取了件作为样本检测其质量指标值（质量指标值越大，质量越好），检测结果如下表所示：指标区间频数甲种生产方式乙种生产方式已知每件中药半成品的等级与纯利润间的关系如下表所示：指标区间等级二级一级特级纯利润（1）将频率视为概率，分别估计甲、乙两种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率；（2）从平均数的角度分析村民选择哪种中药材加工方式获利更多．48. 九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性九连环既能练脑又能练手，对开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处．同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少咸宜．据明代杨慎《丹铅总录》记载，曾以玉石为材料制成两个互贯的圆环，“两环互相贯为一，得其关换，解之为二，又合而为一”．后来，以铜或铁代替玉石．甲、乙两位同学进行九连环比赛，每局不存在平局．比赛规则规定，领先3局者获胜．若比赛进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜．已知甲同学每局获胜的概率为，且每局之间相互独立．现比赛已经进行了2局，甲同学2局全输．(1)由于某种原因，比赛规则改为“五局三胜制”，试判断新规则对谁更有利，并说明理由；(2)设比赛总局数为，求随机变量的分布列及期望．49. 某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；（Ⅱ）从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率.50. 为丰富社区群众的文化生活，某社区利用周末举办羽毛球比赛．经过抽签，甲乙两人进行比赛，比赛实行三局两胜制（若某人胜了两局则为获胜方，比赛结束）．根据以往数据统计，甲乙两人比赛时，甲每局获胜的概率为，每局比赛相互独立．(1)求甲获胜的概率；(2)比赛规则规定：比赛实行积分制，胜一局得3分，负一局得1分；若连胜两局，则还可获得5分的加分．用X表示甲乙比赛结束后甲获得的积分,求X的分布列和数学期望．51. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．。

一、单选题1. 已知，则（ ）A．B．C．D．2. 函数的大致图象为（ ）A．B．C．D．3.已知集合，集合满足，则集合的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．5. 在中，设，，若，则（ ）A．B．C．D．6. 如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为（）A ．4.00mB ．4.05mC ．4.10mD ．4.15m7. 生物实验小组的六位同学（编号分别为1，2，3，4，5，6）在甲、乙两种环境中种植同一种作物，记作物种子的发芽率（其折线图如下，其中左图为甲环境下，右图为乙环境下）的平均数和标准差分别为，和，，则（）①；②；③；④．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8. 若集合，，则集合（ ）2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷A．B．C．D．9. 雨滴在下落过程中，受到的阻力随速度增大而增大，当速度增大到一定程度时，阻力与重力达到平衡，雨滴开始匀速下落，此时雨滴的下落速度称为“末速度”．某学习小组通过实验，得到了雨滴的末速度v （单位：m/s ）与直径d （单位：mm ）的一组数据，并绘制成如图所示的散点图，则在该实验条件下，下面四个回归方程类型中最适宜作为雨滴的末速度v 与直径d 的回归方程类型的是（）．A．B．C．D．10.已知为椭圆短轴的一个端点，是该椭圆的两个焦点，则的面积为（ ）A．B ．2C ．4D．11.设复数，则（ ）A ．0B ．1C．D ．212. 已知，，则的值为（ ）A．B．C．D．13. 祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等.设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，则“恒成立”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14. 命题“，”的否定为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，15. 锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =2A，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．16. 云台阁，位于镇江西津渡景区，云台阁坐落于云台山北峰，建筑形式具有宋､元古建特征.如图，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB ，高为12，在它们的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）测得楼顶A ，云台阁顶部C 的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得阁顶部C 的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为（ ）（，，精确到1）2024高中数学高考高频考点经典题型练习卷二、多选题A ．42B ．45C ．51D ．5717. 已知函数，，则下列选项中正确的有（ ）A ．当时，函数和在处的切线互相垂直B ．若函数在内存在单调递减区间，则C ．函数在内仅有一个零点D ．若存在，使得成立，则18.已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（ ）A ．是递增数列B ．是数列中的项C．数列中的最小项为D ．数列是等差数列19. 有一组样本甲的数据，一组样本乙的数据，其中为不完全相等的正数，则下列说法正确的是（ ）A ．样本甲的极差一定小于样本乙的极差B ．样本甲的方差一定大于样本乙的方差C ．若样本甲的中位数是，则样本乙的中位数是D ．若样本甲的平均数是，则样本乙的平均数是20. 在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）A ．异面直线与所成的角大小为B．四面体的每个面都是直角三角形C ．二面角的大小为D ．正方体的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为21. 已知两组数据：第一组数据；第二组数据．其中，，，，第一组数据不全相同．将这两组数据相比，则下列说法中正确的是（ ）A ．平均数一定相等B ．中位数一定相等C ．极差一定相等D ．第一组数据的方差大于第二组数据的方差22. 在三棱锥中，已知，棱AC ，BC ，AD 的中点分别是E ，F ，G ，，则（ ）A ．过点的平面截三棱锥所得截面是菱形B．平面平面C ．异面直线互相垂直三、填空题四、解答题D．三棱锥外接球的半径为23.函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（）A．B．函数的最小正周期是C．函数的图象关于直线对称D．将函数的图象向左平移个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称24. 已知正数a ，b ，c 满足，，且，记，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则，都有B．若，则，都有C ．若，则，都有D ．若，则，都有25. 若椭圆的焦点在y 轴上，则实数k 的取值范围是___________.26. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，若直线的倾斜角为，则的值为_______．27. 设，为双曲线：（）的左、右焦点，点为双曲线上一点，，那么双曲线的离心率为______.28. 在长方体中，，．(1)在边上是否存在点，使得，为什么？(2)当存在点，使时，求的最小值，并求出此时二面角的正弦值．29.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；(2)在数列中，，求数列的前项和.30. 化简，并求函数的值域和最小正周期．31.已知函数（Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值32. 已知为锐角，，求的值.五、解答题33.已知，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．34. 已知函数．（1）在如图所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）直接写出函数的单调增区间及零点．35. 正六棱锥的高为，底面边长为．(1)按1∶1画出它的二视图；(2)求其侧面积；(3)求它的侧棱和底面的夹角．36. 如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，，，且.(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；(2)求直线与平面所成角的正弦值.37.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数与进店人数是否线性相关？（给出判断即可，不必说明理由）（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测进店人数为80时，商品销售的件数（结果保留整数）.参考数据：，，，，，.参考公式：回归方程，其中，.六、解答题38. 四川省凉山州各种特产、小吃尤其丰富，凉山州会理市羊肉粉早在清代中叶就名扬遐迩．凡来会理市品尝过会理市羊肉粉的人，无不交口称赞．尤其在冬季，吃一碗滚烫的羊肉粉，浑身暖和．羊肉粉的主要原料是羊肉和米粉制作有特殊的讲究，要选择山坡放养，体重在八九十斤左右的黑山羊宰杀，将羊头、羊腿、羊蹄、羊油、羊下水全部放进能装一、两百斤的大铁锅，掺上几里路运来优质山泉水，加上老姜、花椒、胡椒、白扣，等佐料，先要猛火烧开，用漏瓢捞出汤上面的泡沫，再用中火慢慢炖，时间达六、七个小时熬制呈乳白色米汤-样的原汤；羊肉粉的米线，是用会理农村本地产的稻谷跟大米制作出来，韧性好，饭粒不生硬，入口柔和，口味有大米的天然芳香；米粉要经过特殊处理：将水烧开，放入米粉，烧开捞起，放入冷水里（不停换水，直至冷却）．会理市某羊肉粉店每天早晨处理好当天的米粉，以12元碗的价格售出，每碗获利5元，当天卖不出的米粉则每碗亏损2元，该店记录了30天的日需求量（单位：碗），整理如下表：日需求量8090100110频数51078(1)以样本估计总体，求该店米粉日需求量的平均数；(2)以30天记录的日需求量的频率为概率，该店每天准备100碗米粉，记该店每天获得的利润为Y （单位：元），写出Y 的所有可能值，并估计Y 低于450元的概率．39.已知奇函数，(1)求实数m 的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间[－1,|a |－2]上单调递增，试确定a 的取值范围.40. 已知函数，曲线在处的切线也与曲线相切．(1)求实数的值；(2)若是的最大的极大值点，求证：．41. 已知函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.42. 已知函数．七、解答题(1)设是函数的极值点，求证： ；(2)设是函数的极值点，且恒成立，求实数的取值范围．常数满足.43. 已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设函数在上的最小值为m ，正数a ，b满足，求证：．44.已知函数．(1)若恒成立，求的值；(2)求证：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）．45.如图，点在以为直径的圆上，垂直于圆所在平面，为的重心.(1)求证：平面平面；(2)若，，求二面角的余弦值.46. 某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？47. 甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立.(1)求甲夺得冠军的概率；(2)比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.48. 甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐在圆桌的，，三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竞答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为，，且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到场，游戏结束，该选手为晋级选手．（1）求比赛进行了场且甲晋级的概率；（2）当比赛进行了场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望．49.某公司利用线上、实体店线下销售产品，产品在上市天内全部售完.据统计，线上日销售量、线下日销售量（单位：件）与上市时间天的关系满足：，产品每件的销售利润为(单位：元)（日销售量线上日销售量线下日销售量）.（1）设该公司产品的日销售利润为，写出的函数解析式；（2）产品上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于元？50. 某学校举行“英语风采”大赛，有30名学生参加决赛，评委对这30名同学分别从“口语表达”和“演讲内容”两项进行评分，每项评分均采用10分制，两项均为6分起评，两项分数之和为该参赛学生的最后得分，若设“口语表达”得分为，“演讲内容”得分为，比赛结束后，统计结果如下表：得分人数演讲人数6分7分8分9分10分口语表达6分110007分321208分123109分121110分011（1）从这30名学生中随机抽取1人，求这名学生的最后得分为15分的概率；（2）若“口语表达”得分的数学期望为．求：①，的值；②这30名参赛学生最后得分的数学期望．51. 某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，下表是该商场连续五天的日销售情况：温度温度变量12345销售量（万份）0.30.30.50.91其中，温度变量对应的销售量为.(1)建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在，（）区间时的该饮品的日销售量；（附：）(2)为了了解消费群体中男女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了2×2列联表为：喜欢一般合计女9020110男7040110合计16060220依据的独立性检验，能否认为喜欢程度与性别有关联？附：，.0.150.10.050.0250.010.001k2.0722.7063.8415.0246.63510.828(3)超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：百份）五组，并绘制了如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量.。

单元过关检测六 数列一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 1＋a 3＋a 9＋a 11＝( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．162．已知等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 5＋a 8a 2＋a 5＝8，那么S 5的值是( ) A ．15 B ．31 C ．63 D ．643．已知数列{a n }满意a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝a n ＋1a n，则a 2 022＝( ) A ．12 B ．13 C ．32 D ．234．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若S 2＝3，S 4＝6，则S 6＝( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．105．在等差数列{a n }中，a 1，a 2，，，成公比为3的等比数列，则k 3＝( )A ．14B ．34C ．41D ．866．[2024·北京通州模拟]已知数列{a n }满意a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，记b n ＝a 2n －1，则数列{b n }的前n 项和为( )A ．n 2B ．(n ＋1)2C ．n （n ＋1）2D ．n (n ＋1)7．[2024·山东德州模拟]意大利闻名数学家斐波那契在探讨兔子繁殖问题时，发觉有这样一列数：1，1，2，3，5，…，从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ∈N *)，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”．记a 2 023＝m ，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 022＝( )A ．m －2B ．m －1C ．mD ．m ＋18．[2024·山东聊城模拟]若函数f (x )使得数列a n ＝f (n )，n ∈N *为递增数列，则称函数f (x )为“数列保增函数”．已知函数f (x )＝e x－ax 为“数列保增函数”，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，e 2－e) C ．(－∞，e) D ．(－∞，e]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若{a n }为等差数列，a 2＝11，a 5＝5，则下列说法正确的是( ) A ．a n ＝15－2nB ．－20是数列{a n }中的项C ．数列{a n }单调递减D ．数列{a n }前7项和最大10．若{a n }为等比数列，则下列数列中是等比数列的是( ) A ．{a 2n }B ．{k ·a n }(其中k ∈R 且k ≠0)C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n D ．{ln a n }11．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则下列结论正确的是( ) A ．a 2＋a 5＝2a 8 B ．a 3＋a 6＝2a 9 C ．a 28 ＝a 2·a 5 D ．a 29 ＝a 3·a 6 12．已知数列{a n }满意a n >0，a n ＋1n ＝a n a 2n ＋n －1(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是( )A ．a 1a 2＝1B ．a 1＝1C ．S 2 020·a 2 021＝2 020D ．S 2 020·a 2 021>2 020 [答题区]13．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝2，则a 4＋4a 5＋a 6＝________．14．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，a n ＋1＝S n ，n ∈N *，则a n ＝________． 15．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝2n3n －49，则使得S n 取得最小值时n 的值为________.16．[2024·新高考Ⅰ卷]某校学生在探讨民间剪纸艺术时，发觉剪纸时常常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20 dm×12 dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240 dm 2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm ，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180 dm 2.以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；假如对折n 次，那么∑k ＝1nS k ＝________ dm 2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)[2024·新高考Ⅱ卷]记S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝S 5，a 2a 4＝S 4.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求使S n >a n 成立的n 的最小值．18．(12分)[2024·新高考Ⅰ卷]已知数列{a n }满意a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数．(1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{}b n 的通项公式；(2)求{a n}的前20项和．19．(12分)[2024·新高考Ⅱ卷]已知{a n}为等差数列，{b n}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)证明：a1＝b1；(2)求集合{k|b k＝a m＋a1，1≤m≤500}中元素个数．20．(12分)[2024·河北唐山模拟]已知数列{a n}的各项均不为零，S n为其前n项和，且a n a n＋1＝2S n－1.(1)证明：a n＋2－a n＝2；(2)若a1＝－1，数列{b n}为等比数列，b1＝a1，b2＝a3.求数列{a n b n}的前2 022项和T2 022.21．(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝(2n－1)a n＋1＋1，a1＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n S n ，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n<32.22．(12分)[2024·辽宁大连模拟]已知数列{a n}是首项a1＝1的正项等比数列，{b n}是公差d＝2的等差数列，且满意b3＝2a2，a3＝b4＋1.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)若c n＝________，求{c n}的前n项和S n.请在①c n＝3a n＋(b n－1)；②c n＝b n－13a n这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并加以解答．单元过关检测六 数列1．答案：C解析：由题知S 11＝22，即S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6＝22，∴a 6＝2，∴a 1＋a 3＋a 9＋a 11＝4a 6＝8. 故选C. 2．答案：B解析：设等比数列的公比为q ，由题得q 4＋q 7q ＋q 4＝8，∴q 4（1＋q 3）q （1＋q 3）＝8，∴q 3＝8，∴q ＝2. 所以S 5＝1－251－2＝31.故选B. 3．答案：D 解析：由a n ＋2＝a n ＋1a n，a 1＝2，a 2＝3， 所以a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝323＝12，a 5＝a 4a 3＝1232＝13，a 6＝a 5a 4＝1312＝23，a 7＝a 6a 5＝2313＝2，即{a n }是周期为6的数列．因为2 022＝6×337，所以a 2 022＝a 6＝23.故选D. 4．答案：C解析：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列， ∴S 2＝3，S 4－S 2＝6－3＝3，∴S 6－S 4＝3，∴S 6＝3＋S 4＝3＋6＝9. 故选C. 5．答案：C解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a 1，a 2，，，成公比为3的等比数列，所以a 2a 1＝3，所以a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，所以d ＝2a 1， 所以a n ＝a 1＋（n －1）d ＝（2n －1）a 1， 又因为a 1，a 2，，，成公比为3的等比数列，所以＝a 1×34＝81a 1，因为＝（2k 3－1）a 1，所以2k 3－1＝81，解得k 3＝41. 故选C. 6．答案：A解析：由题知，∵a n ＋1＝a n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝1， ∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n ，故b n ＝a 2n －1＝2n －1， ∴b n －b n －1＝2，b 1＝1，所以{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 记{b n }的前n 项和为S n ， ∴S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n （1＋2n －1）2＝n 2.故选A. 7．答案：B解析：因为a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，所以a 2 023＝a 2 022＋a 2 021＝a 2 022＋a 2 020＋a 2 019＝…＝a 2 022＋a 2 020＋a 2 018＋…＋a 2＋a 1， 又因为a 1＝1，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 022＝a 2 023－a 1＝m －1.故选B. 8．答案：B解析：由题意，对∀n ∈N *，f （n ＋1）－f （n ）>0， 即[en ＋1－a （n ＋1）]－（e n －an ）＝（e －1）e n－a >0，即a <（e －1）e n，对∀n ∈N *恒成立， 由于y ＝e x 在R 上单调递增，故e n ≥e 1＝e ，故a <（e －1）e n ≤[（e －1）e n ]min ＝e （e －1）＝e 2－e. 即a ∈（－∞，e 2－e ）. 故选B. 9．答案：ACD解析：因为数列{a n }为等差数列，且a 2＝11，a 5＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝11a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，a n＝13＋（n －1）×（－2）＝－2n ＋15，故A 选项正确，由－20＝－2n ＋15，得n ＝352∉N *，故B 错误， 因为d <0，所以数列{a n }单调递减，故C 正确，由数列通项公式a n ＝15－2n 可知，前7项均为正数，a 8＝－1，所以前7项和最大，故D 正确．故选ACD.10．答案：ABC解析：因{a n }为等比数列，设其公比为q ，则有a n ＝a 1qn －1，对于A ，a 2n ＋1 a 2n＝（a n ＋1a n ）2＝q 2是常数，数列{a 2n }是等比数列，A 是；对于B ，k ∈R 且k ≠0，k ·a n ＋1k ·a n ＝a n ＋1a n＝q 是常数，数列{}k ·a n 是等比数列，B 是； 对于C ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q 是常数，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，C 是； 对于D ，明显a n ＝1，{a n }为等比数列，而ln a n ＝0，数列{ln a n }不是等比数列，D 不是． 故选ABC. 11．答案：AB解析：若公比q ＝1有S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，S 9＝9a 1， 此时2S 9≠S 3＋S 6，故公比q ≠1，由题意2S 9＝S 3＋S 6⇒2a 1（1－q 9）1－q ＝a 1（1－q 3）1－q ＋a 1（1－q 6）1－q ，化简有q ＋q 4＝2q 7，两边同时乘以a 1，可得：a 2＋a 5＝2a 8； 两边同时乘以a 1q ，可得a 3＋a 6＝2a 9， 故有a 2＋a 5＝2a 8或a 3＋a 6＝2a 9. 故选AB. 12．答案：AC 解析：由a n ＋1n ＝a n a 2n ＋n －1得n a n ＋1＝a n ＋n －1a n ，∴a n ＝n a n ＋1－n －1a n； 当n ＝1时，可得a 1a 2＝1，但a 1不肯定为1，∴A 正确，B 错误；S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝（1a 2－0a 1）＋（2a 3－1a 2）＋…＋（n a n ＋1－n －1a n ）＝na n ＋1，∴S n ·a n ＋1＝n .∴n ＝2 020时，S 2 020·a 2 021＝2 020，所以C 正确，D 错误．故选AC. 13．答案：6解析：依据等差数列的性质可得a 1＋a 9＝2a 5＝2， 所以a 5＝1， 又a 4＋a 6＝2a 5，所以a 4＋4a 5＋a 6＝6a 5＝6.14．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n，n ≥2，4，n ＝1，n ∈N解析：∵a n ＋1＝S n ，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n ， 得a n ＋1a n＝2，故数列{a n }从其次项起是等比数列， 又a 2＝S 1＝4， 当n ≥2时，a n ＝a 2×2n －2＝2n，又a 1＝4，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n，n ≥2，4，n ＝1，n ∈N *.15．答案：16解析：由a n ＝2n 3n －49得a n ＝23＋983×13n －49，当n ≤16时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫13n －49单调递减，且13n －49<0，当n ＝1时，a 1<0，故当n ≤16时，a n <0，当n ≥17时，13n －49>0，且a n >0，所以当n ＝16时，S n 最小． 16．答案：5 720－15()n ＋32n －4解析：（1）由对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm 三种规格的图形，所以对折三次的结果有：52×12，5×6，10×3，20×32，共4种不同规格（单位dm 2）；故对折4次可得到如下规格：54×12，52×6，5×3，10×32，20×34，共5种不同规格．（2）由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为120()dm 2，第n 次对折后的图形面积为120×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，对于第n 次对折后的图形的规格形态种数，依据（1）的过程和结论，猜想为n ＋1种（证明从略），故得猜想S n ＝120（n ＋1）2n －1， 设S ＝∑k ＝1nS k ＝120×220＋120×321＋120×422＋…＋120()n ＋12n －1， 则12S ＝120×221＋120×322＋…＋120n 2n －1＋120（n ＋1）2n， 两式作差得12S ＝240＋120⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－120()n ＋12n＝240＋60⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－120()n ＋12n＝360－1202n －1－120()n ＋12n ＝360－120()n ＋32n， 因此，S ＝720－240()n ＋32n ＝720－15()n ＋32n －4. 17．解析：（1）由等差数列的性质可得S 5＝5a 3，则a 3＝5a 3，∴a 3＝0， 设等差数列的公差为d ，从而有a 2a 4＝（a 3－d ）（a 3＋d ）＝－d 2，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝（a 3－2d ）＋（a 3－d ）＋a 3＋（a 3＋d ）＝－2d ，从而－d 2＝－2d ，由于公差不为零，故d ＝2， 数列的通项公式为a n ＝a 3＋（n －3）d ＝2n －6.（2）由数列的通项公式可得a 1＝2－6＝－4，则S n ＝n ×（－4）＋n （n －1）2×2＝n2－5n ，则不等式S n >a n 即n 2－5n >2n －6，整理可得（n －1）（n －6）>0， 解得n <1或n >6，又n 为正整数，故n 的最小值为7.18．解析：（1）由题设可得b 1＝a 2＝a 1＋1＝2，b 2＝a 4＝a 3＋1＝a 2＋2＋1＝5， 又a 2k ＋2＝a 2k ＋1＋1，a 2k ＋1＝a 2k ＋2，故a 2k ＋2＝a 2k ＋3即b n ＋1＝b n ＋3即b n ＋1－b n ＝3， 所以{b n }为等差数列，故b n ＝2＋（n －1）×3＝3n －1. （2）设{a n }的前20项和为S 20，则S 20＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20， 因为a 1＝a 2－1，a 3＝a 4－1，…，a 19＝a 20－1， 所以S 20＝2（a 2＋a 4＋…＋a 18＋a 20）－10＝2（b 1＋b 2＋…＋b 9＋b 10）－10＝2×（10×2＋9×102×3）－10＝300.19．解析：（1）证明：设数列{a n }的公差为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d －2b 1＝a 1＋2d －4b 1a 1＋d －2b 1＝8b 1－（a 1＋3d ），即可解得b 1＝a 1＝d 2，所以原命题得证．（2）由（1）知，b 1＝a 1＝d2，所以b k ＝a m ＋a 1⇔b 1×2k －1＝a 1＋（m －1）d ＋a 1，即2k －1＝2m ，亦即m ＝2k －2∈[1，500]，解得2≤k ≤10，所以满意等式的解k ＝2，3，4， (10)故集合{k |b k ＝a m ＋a 1，1≤m ≤500}中的元素个数为10－2＋1＝9.20．解析：（1）证明：因为a n a n ＋1＝2S n －1①，则a n ＋1a n ＋2＝2S n ＋1－1②， ②－①得a n ＋1（a n ＋2－a n ）＝2a n ＋1，又a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝2.（2）由a 1＝－1得a 3＝1，于是b 2＝a 3＝1，由b 1＝－1得{b n }的公比q ＝－1.所以b n ＝（－1）n ，a n b n ＝（－1）n a n .由a 1a 2＝2a 1－1得a 2＝3，由a n ＋2－a n ＝2得a 2 022－a 2 021＝a 2 020－a 2 019＝…＝a 2－a 1＝4，因此T 2 022＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4…－a 2 021＋a 2 022＝（a 2－a 1）＋（a 4－a 3）＋…＋（a 2 022－a 2 021）＝1 011×（a 2－a 1）＝1 011×4＝4 044.21．解析：（1）因为4S n ＝（2n －1）a n ＋1＋1，所以4S n －1＝（2n －3）a n ＋1（n ≥2）. 两式相减，得4a n ＝（2n －1）a n ＋1－（2n －3）a n （n ≥2），即（2n ＋1）a n ＝（2n －1）a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n ＝2n ＋12n －1， 在4S n ＝（2n －1）a n ＋1＋1中，令n ＝1，得a 2＝3，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3…a 3a 2·a 2a 1·a 1＝2n －12n －3·2n －32n －5·2n －52n －7…53·31·1＝2n －1（n ≥2），又a 1＝1满意，所以a n ＝2n －1，所以a n －a n －1＝（2n －1）－（2n －3）＝2（n ≥2），故数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，且a n ＝2n －1.（2）S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2， 所以b n ＝1a n S n ＝1（2n －1）n ＝22n （2n －1）<22n （2n －2）＝12n －2－12n， 当n ＝1时，T 1＝1a 1S 1＝1<32， 当n ≥2时，T n <（1＋12－14＋14－16＋…＋12n －2－12n ）＝32－12n <32， 所以T n <32. 22．解析：（1）设正项等比数列{a n }的公比为q ，则q >0，依据题意，由b 3＝2a 2，a 3＝b 4＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2a 1q a 1q 2＝b 1＋3d ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋4＝2q q 2＝b 1＋7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－6q ＝－1（舍）， 所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1，b n ＝b 1＋（n －1）d ＝2n .（2）选①由（1）可得c n ＝3n ＋2n －1，所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋...＋c n ＝（3＋32＋33＋ (3)）＋（1＋3＋5＋…＋2n －1）， 所以S n ＝3（1－3n ）1－3＋n 2（1＋2n －1）＝n 2＋3n ＋12－32. 选②由（1）可得c n ＝2n －13n ，所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝13＋332＋533＋…＋2n －13n ，① 则13S n ＝132＋333＋534＋…＋2n －13n ＋1，②①－②得23S n ＝13＋232＋233＋234＋…＋23n －2n －13n ＋1＝13＋232⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－（13）n －11－13－2n －13n ＋1＝13＋13[1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1]－2n －13n ＋1＝23－2（n ＋1）3n ＋1，所以S n ＝1－n ＋13n .。

课时过关检测(二十四) 三角函数的图象与性质(一)A 级——基础达标1．函数y ＝lg(tan 2x )的定义域是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z ) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z ) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，12k π＋π2(k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π，12k π＋π4(k ∈Z )解析：D 由函数y ＝lg(tan 2x )有意义得tan 2x >0，所以k π<2x <k π＋π2，k ∈Z ，所以k π2<x <k π2＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝lg(tan 2x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，k π2＋π4(k ∈Z )．故选D ．2．(2024·蚌埠月考)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的值域是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 解析：B 由0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，∴－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的性质知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1．故选B ． 3．(2024·黑龙江模拟)函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是( )解析：D y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，2sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，结合选项知，D 正确．4．已知α＝π4，a ＝sin α，b ＝log 2sin α，c ＝(sin α)－1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：D ∵α＝π4，∴0<sin α<1，∴0<a <1，b ＝log 2sin α<log 21＝0，c ＝(sin α)－1>1，∴b <a <c ．故选D ．5．(2024·衡水模拟)函数f (x )＝sin 2x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为( )A ．1B ．54C ．32D ．2解析：B 因为f (x )＝sin 2x ＋cos x ＝－cos 2x ＋cos x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122＋54，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2得cos x ∈[0,1]，所以当cos x ＝12时，f (x )max＝54．故选B ．6．(多选)(2024·临沂月考)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 C ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0对称 D ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增 解析：AD A 项，函数的最小正周期为T ＝2π|ω|＝2π，所以－2π是函数f (x )的一个周期，故本结论是正确的；B 项，当x ＝π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝0，该函数值不是函数的最值，故本结论是错误的；C 项，当x ＝－π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－π4＝－1≠0，故本结论是错误的； D 项，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，故本结论是正确的．故选A 、D ．7．(多选)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的可能值是( )A ．π4B ．π2C ．3π8D ．π解析：AC 由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0<m ≤3π8．故选A 、C ．8．(2024·潍坊一中质检)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴g (t )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋342＋178．又函数g (t )的图象的对称轴为直线t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，g (t )有最小值－4．即f (x )有最小值－4．答案：－49．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递减区间是________．解析：因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为π，即2πω＝π，解得ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，即函数f (x )的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π210．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R ． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)f (x )的最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π．令2k π≤2x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z ．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2，则2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈[－1， 2 ]，∴f (x )max ＝2，此时cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝1，即2x －π4＝0，即x ＝π8；f (x )min ＝－1，此时cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝－22，即2x －π4＝3π4，即x ＝π2． B 级——综合应用11．(2024·中山月考)已知函数f (x )＝cos x ，若A ，B 是锐角三角形的两个内角，则肯定有( )A ．f (sin A )>f (sinB ) B ．f (cos A )>f (cos B )C ．f (sin A )>f (cos B )D ．f (cos A )>f (sin B )解析：D ∵A ，B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，∴0<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B <sin A <1，又函数f (x )＝cos x 是定义在[0,1]上的减函数，∴f (cos B )>f (sin A )，同理f (cos A )>f (sin B )，所以C 错，D 对，因为角A ，B 的大小关系不确定，所以A 、B 项不正确．故选D ．12．(多选)(2024·金陵月考)若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3与g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4都在区间(a ，b )(0<a <b <π)上单调递减，则b －a 的可能取值为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．5π12解析：AB 当x ∈(0，π)时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，5π3，所以当2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，即x∈⎝⎛⎭⎪⎫5π12，11π12时，f (x )单调递减；当x ∈(0，π)时，x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，所以当x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4时，g (x )单调递减，因为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，11π12∩⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，3π4，所以5π12≤a <b ≤3π4，所以b －a ≤3π4－5π12＝π3，结合选项，所以b －a 可能为π6或π3．故选A 、B ．13．“快乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一．如图，假如以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，假如这些点恰好在函数y ＝4sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象上，且图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，2，相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，则函数的单调递增区间的是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π24C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π24，3π8D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，3π4解析：B ∵相邻最大值与最小值之间的水平距离为π2，∴12T ＝π2，则T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，即y ＝4sin(2x ＋φ)，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋φ＝12，∵|φ|<π2，∴φ＋π12＝π6，∴φ＝π12，即y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，令－π2＋2k π≤2x ＋π12≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－7π24＋k π≤x ≤5π24＋k π，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π24＋k π，5π24＋k π，k∈Z ，∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π24⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π24＋k π，5π24＋k π，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π24是函数的单调递增区间．故选B ． 14．(2024·潍坊模拟)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 对随意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析：∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 对随意的实数x 都成立，∴当x ＝π4时，f (x )取得最大值，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω－π6＝1，∴π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ，∴ω＝8k ＋23，k ∈Z ．∵ω>0，∴当k ＝0时，ω取得最小值23．答案：2315．设函数f (x )＝sin x ，x ∈R ．(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．解：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以对随意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ，故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0． 又θ∈[0,2π)，所以θ＝π2或3π2． (2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x＝1－32cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3．因此函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32．。

专题七不等式、推理与证明、算法与复数时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．1或2D ．－1[答案] B[解析] ∵(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0a≠1，∴a ＝2.故选B.(理)(2011·福建理，1)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.2i∈S [答案] B[解析] i 2＝－1∈S ，故选B.2．(文)(2011·福建文，6)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) [答案] C[解析] “方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等实数根”⇔m 2－4>0，解得m>2或m<－2.(理)(2011·陕西文，3)设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a<b<ab<a ＋b2B ．a<ab<a ＋b2<bC ．a<ab<b<a ＋b2D.ab<a<a ＋b2<b[答案] B[解析] 取a ＝1，b ＝2，易排除A 、C 、D. 3．下列命题中正确的是( ) A ．若a ，b ，c ∈R ，且a>b ，则ac 2>bc 2 B ．若a ，b ∈R ，且a·b≠0，则a b ＋ba ≥2C ．若a ，b ∈R ，且a>|b|，则a n >b n (n ∈N *)D ．若a>b ，c>d ，则a d >bc[答案] C[解析] 当c ＝0时，A 不成立；当ab<0时，a b ＋ba ≤－2，B 不成立；若dc ＝0，a d >bc不成立，D 不成立，故选C.4．(2011·湖北理，8)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z)，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x|＋|y|≤1，则z 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．[－2,3]C ．[－3,2]D ．[－3,3] [答案] D[解析] ∵a ⊥b ，∴a·b＝0，即(x ＋z,3)·(2，y －z)＝0，∴z ＝2x ＋3y不等式|x|＋|y|≤1表示如图所示平面区域．作直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0过点A(0,1)时z 取最大值3. 平移l 0过点C(0，－1)时，z 取最小值－3， ∴z ∈[－3,3]．5．(2011·西安模拟)观察下列数表规律： 012345678910111213141516则从数2011到2012的箭头方向是( ) A ．2011 B ．2011 C ．2011 D ．2011[答案] D[解析] 由图可以看出，每隔4个数，箭头方向相同，可认为T ＝4，又2011＝502×4＋3，所以2011处的箭头方向同数字3处的箭头方向，故选D.6．(2011·重庆理，7)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5 [答案] C[解析] ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b2＝1，∴y ＝1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b 2a，∵a>0，b>0，∴2a b ＋b2a ≥22a b ·b2a＝2，当且仅当 2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23，b ＝43时取得等号， ∴y 的最小值是92，选C.7．(文)(2011·北京文，6)执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] C[解析] P ＝1，S ＝1―→P＝2，S ＝1＋12＝32―→P＝3，S ＝32＋13＝116―→P＝4，S ＝116＋14＝2512>2，所以输出P ＝4. (理)(2011·北京理，4)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．－3B ．－12C.13 D ．2[答案] D[解析] 由框图知得：i ：0→1→2→3→4，则s ：2→13→－12→－3→2.选D.8．(2011·新课标理，1)复数2＋i1－2i 的共轭复数是( )A ．－35iB.35i C ．－i D ．i [答案] C[解析] 依题意：2＋i1－2i ＝2i －1－＝－1i＝i ，∴其共轭复数为－i ，选C.9．(文)(2011·天津文，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为( )A．0.5 B．1C．2 D．4[答案] C[解析] 第1次循环：x＝－4，x＝|－4－3|＝7第2次循环：x＝7，x＝|7－3|＝4第3次循环：x＝4，x<|4－3|＝1，y＝21＝2.输出y.(理)(2011·天津理，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )A．3 B．4C．5 D．6[答案] B[解析] 第一次运行结束：i ＝1，a ＝2 第二次运行结束：i ＝2，a ＝5 第三次运行结束：i ＝3，a ＝16第四次运行结束：i ＝4，a ＝65，故输出i ＝4，选B.10．(2011·福建理，8)已知O 是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2][答案] C[解析] OA →·OM →＝(－1,1)·(x，y)＝y －x ，画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥2x≤1y≤2表示的平面区域如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点D(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C.11．(2011·四川理，9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4650元B ．4700元C ．4900元D ．5000元[答案] C[解析] 设派用甲车数x 辆，乙车数y 辆，由题意：约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤122x ＋y≤1910x ＋6y≥72x≤8y≤7，目标函数：z ＝450x ＋350y经平移9x ＋7y ＝0得过A(7,5)利润最大 z ＝450×7＋350×5＝4900元，故选C.12．(文)(2011·陕西二检)设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，AP →＝λAB →，若OP →·AB →≥PA →·PB →，则实数λ的取值范围是( )A.12≤λ≤1 B ．1－22≤λ≤1C.12≤λ≤1＋22 D ．1－22≤λ≤1＋22[答案] B[解析] 设P(x ，y)，则由AP →＝λAB →得，(x －1，y)＝λ(－1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－λy ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－λy ＝λ.若OP →·AB →≥PA →·PB →，则(x ，y)·(－1,1)≥(1－x ，－y)·(－x,1－y)， ∴x 2＋y 2－2y≤0，∴(1－λ)2＋λ2－2λ≤0， ∴1－22≤λ≤1＋22.又点P 是线段AB 上的一个动点，∴0≤λ≤1， ∴1－22≤λ≤1.故选B.(理)(2011·山西二模)已知函数f(x)＝－x 3＋px 2＋qx ＋r ，且p 2＋3q<0，若对x ∈R 都有f(m 2－sinx)≥f(m＋2＋cosx)成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[2，5]C ．[1，2]D ．[0，2][答案] A[解析] 由题知，f′(x)＝－3x 2＋2px ＋q ， 其判别式Δ＝4p 2＋12q ＝4(p 2＋3q)<0，∴f′(x)<0， ∴f(x)在R 上单调递减．又f(m 2－sinx)≥f(m＋2＋cosx)，∴m 2－sinx≤m＋2＋cosx ，即m 2－m －2≤sinx＋cosx. 记t ＝sinx ＋cosx ，则问题等价于m 2－m －2≤t min . 又t ＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)，x ∈R ，∴t min ＝－2，所以m 2－m －2≤－2，解得0≤m≤1， ∴实数m 的取值范围是[0,1]．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)13．(2011·山东潍坊三模)在各项为正数的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12(a n ＋1a n )，则a 3＝________，猜想数列{a n }的通项公式为________．[答案]3－ 2n －n －1[解析] (1)由S n ＝12(a n ＋1a n)可计算出a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－ 2.(2)由a 1，a 2，a 3可归纳猜想出a n ＝n －n －1.14．(文)(2011·浙江理，12)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．[答案] 5[解析] 第一次执行循环体时，k＝3，a＝44＝64，b＝34＝81，由于a<b，所以执行第二次循环．第二次执行循环体时，k＝4，a＝44＝256，b＝44＝256，由于a ＝b，所以执行第三次循环．第三次执行循环体时，k＝5，a＝45＝1024，b＝54＝625，由于a>b，退出循环结构，输出k＝5，应填：5.(理)(2011·山东理，13)执行下图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________．[答案] 68[解析] 依题意，l＝2，m＝3，n＝5，则l2＋m2＋n2≠0，∴y＝70×2＋21×3＋15×5＝278，又278>105∴y＝278－105＝173.又173>105，∴y＝173－105＝68<105.∴y＝68.15．(文)(2011·湖南理，10)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1 x2＋4y2)的最小值为________．[答案] 9[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋2×2＝9，当且仅当1x 2y2＝4x 2y 2时等号成立．(理)(2011·浙江文，16)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．[答案] 233[解析] 由x 2＋y 2＋xy ＝1可得，(x ＋y)2＝xy ＋1 而由均值不等式得xy≤(x ＋y 2)2∴(x ＋y)2≤(x ＋y 2)2＋1整理得，34(x ＋y)2≤1∴x ＋y ∈[－233，233]∴x ＋y 的最大值为233.16．(文)(2011·苏锡常镇三调)将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．[答案] n 22－n2＋3(n≥3)[解析] 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1(n≥3)行的最后一个数为－＋n －2＝n 22－n 2，则第n 行的第3个数为n 22－n2＋3(n≥3)．(理)(2011·福建二检)如图，点P 在已知三角形ABC 的内部，定义有序实数对(μ，υ，ω)为点P 关于△ABC 的面积坐标，其中μ＝△PBC 的面积△ABC 的面积，υ＝△APC 的面积△ABC 的面积，ω＝△ABP 的面积△ABC 的面积；若点Q 满足BQ →＝13BC →＋12BA →，则点Q 关于△ABC的面积坐标为________．[答案] (12，16，13)[解析] 由点Q 满足BQ →＝13BC →＋12BA →可知Q 到BC 、AC 、AB 三边的距离分别是三边相应高的12，16，13，所以S △QBC ＝12s ，S △AQC ＝16s ，S △AQB＝13s(s 为△ABC 的面积)．故点Q 关于△ABC 的面积坐标为(12，16，13)． 三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数f(x)＝4x ＋a·2x ＋a ＋1有零点，求实数a 的取值范围．[解析] 解法一：令2x ＝t ，f(x)有零点，即方程t 2＋at ＋a ＋1＝0，在(0，＋∞)内有解．变形为a ＝－1＋t 21＋t ＝－[(t ＋1)＋2t ＋1]＋2≤2－22，∴a 的范围是(－∞，2－22]．解法二：t 2＋at ＋a ＋1＝0在(0，＋∞)内有解，①有两解，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－＋，－a>0，a ＋1>0，得－1<a≤2－2 2.②有一解，令g(t)＝t 2＋at ＋a ＋1，，则g(0)<0 ∴a≤－1.∴a 的范围是(－∞，2－22]．18．(本小题满分12分)(2011·上海理，19)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.[解析] (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i ，∵z 1z 2∈R ，∴4－a ＝0，即a ＝4，∴z 2＝4＋2i.19．(本小题满分12分)(2011·安徽理，19)(1)设x≥1，y≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy.(2)1≤a≤b≤c，证明log a b ＋log b c ＋log c a≤log b a ＋log c b ＋log a c.[证明] (1)由于x≥1，y≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x ＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得 (y ＋x ＋(xy)2)－(xy(x ＋y)＋1) ＝((xy)2－1)－(xy(x ＋y)－(x ＋y)) ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y)(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log a b ＝1y ，log a c ＝xy.于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，其中x ＝log a b≥1，y ＝log b c≥1. 故由(1)立知所要证明的不等式成立．20．(本小题满分12分)写出求满足1×3×5×7×…×n>50000的最小正整数n 的算法并画出相应的程序框图．[解析] 算法如下： S1 S ＝1，i ＝3.S2 如果S≤50000，则执行S3，否则执行S5. S3 S ＝S×i.S4 i ＝i ＋2，返回执行S2. S5 i ＝i －2. S6 输出i. 程序框图如图所示：21．(本小题满分12分)观察下表：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，……问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2012是第几行的第几个数？(4)是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵第n＋1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝n－1＋2n－n－12＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，∴2012在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989个数．(4)设第n行的所有数之和为a n，第n行起连续10行的所有数之和为S n.则a n ＝3·22n －3－2n －2，a n ＋1＝3·22n －1－2n －1， a n ＋2＝3·22n ＋1－2n ，…，a n ＋9＝3·22n ＋15－2n ＋7，∴S n ＝3(22n －3＋22n －1＋…＋22n ＋15)－(2n －2＋2n －1＋…＋2n ＋7)＝3·22n －310－4－1－2n －210－2－1＝22n ＋17－22n －3－2n ＋8＋2n －2，n ＝5时，S 5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n ＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.22．(本小题满分14分)(文)(2011·四川文，20)已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S i 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a i ＋k 也成等差数列．[解析] (1)若公比q ＝1，则S 1＝a ，S 3＝3a ，S 4＝4a ，而2S 3＝6a≠S 1＋S 4≠5a∴不满足S 1，S 3，S 4成等差数列，∴q≠1 若q≠1，由前n 项和公式知，S n ＝－q n1－q，∵S 1，S 3，S 4成等差数列 ∴2S 3＝S 1＋S 4，即－q 31－q＝a ＋－q 41－q即2a(1－q 3)＝a(1－q)＋a(1－q 4)∵a ≠0，∴2(1－q)(q 2＋q ＋1)＝(1－q)＋(1－q)(1＋q)(1＋q 2) 又∵1－q≠0∴2(1＋q ＋q 2)＝1＋(1＋q 2)(1＋q) 即q 2＝q ＋1⇒q 2－q －1＝0，∴q ＝1±52(2)若公比q ＝1，则a m ＋k ＝a n ＋k ＝a i ＋k ＝a ， ∴a m ＋k ，a n ＋k ，a i ＋k 成等差数列若公比q≠1，由S m ，S n ，S i 成等差数列得S m ＋S i ＝2S n 即－q m1－q＋－q i1－q＝－q n1－q∴2q n ＝q m ＋q i 又2a n ＋k ＝2a·q n ＋k －1而a m ＋k ＋a i ＋k ＝a·q m ＋k －1＋a·q i ＋k －1＝a·q k －1(q m ＋q i )＝a·q k －1·2q n ＝2a·q n ＋k －1∴a m ＋k ＋a i ＋k ＝2a n ＋k ，∴a m ＋k ，a n ＋k ，a i ＋k 也成等差数列．(理)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求证：在数列{a n }中对于任意的n ∈N *，都有a n ＋1<a n ； (3)设c n ＝(2)b n ，试问数列{c n }中是否存在三项，它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)证明：因为b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝2－14a n－1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2(n ∈N *)．所以数列{b n }是等差数列．(2)证明：要证a n＋1<a n，只要证a n＋1－a n<0.因为a1＝1，所以b1＝22a1－1＝2，所以b n＝2＋(n－1)×2＝2n.由b n＝22a n－1，得2a n－1＝2b n＝1n(n∈N*)，所以a n＝n＋1 2n，所以a n＋1－a n＝n＋2＋－n＋12n＝－1＋<0，所以在数列{a n}中对于任意的n∈N*，都有a n＋1<a n.(3)c n＝(2)b n＝2n，设{c n}中存在三项c m，c n，c p(m<n<p，m，n，p∈N*)成等差数列，则2·2n＝2m＋2p，所以2n＋1＝2m＋2p,2n－m＋1＝1＋2p－m，因为m<n<p，m，n，p∈N*，所以n－m＋1，p－m∈N*,2n－m＋1为偶数，1＋2p－m为奇数，所以2n－m＋1与1＋2p－m不可能相等，所以数列{c n}中不存在可以构成等差数列的三项．。

人教版高三数学第二学期数列多选题单元 期末复习测试综合卷检测试题一、数列多选题1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

高三数学下册知识点总结及考试习题(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高三数学下册知识点总结及考试习题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高三数学下册知识点总结及考试习题(word版可编辑修改)的全部内容。

1高三数学下册知识点总结及考试习题高中数学第九章—立体几何考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．2多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．(3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理;掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．(4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．3（5）会用反证法证明简单的问题．（6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图．（9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．（B）．直线、平面、简单几何体考试内容:平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．4平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．5考试要求:（1）掌握平面的基本性质.会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。

人教版高三数学第二学期数列多选题单元 期末复习测试综合卷检测一、数列多选题1．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B ．若()21nn a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”C ．若(),2n ra n r r n*=+∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知22021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则54t -<≤-【答案】BCD 【分析】利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误. 【详解】选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；选项B 中，()()()()()21212111n kn n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣⎦-=⎣⎦⎣⎦，当n 是奇数时，()211kn k n a a k +=---+，则存在1k时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211kn k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；选项C 中，()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛⎫⎛⎫++-+=+=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02k -<，故2()f n n kn r =+-在n *∈N 时单调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，又k *∈N ，2k ≥，,2r r *∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；选项D 中，因为22021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则()()()2222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦++，即20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.2．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ）A ．n n n ABC 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bSS c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.3．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+【答案】CD 【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误；B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确； 故选：CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.4．（多选题）数列{}n a 满足()2*1n n n a a a n N+=-+∈，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则以下说法正确的为（ ） A ．10n n a a +<<B ．22221231n a a a a a +++⋅⋅⋅+<C ．对任意正数b ，都存在正整数m 使得12311111111mb a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立 D ．11n a n <+ 【答案】ABCD 【分析】对于A ，结合二次函数的特点可确定正误；对于B ，将原式化简为111n a a a +-<，由10n a +>得到结果； 对于C ，结合1a 范围和A 中结论可确定12111111nn a a a ++⋅⋅⋅+>---，由此判断得到结果；对于D ，利用数学归纳法可证得结论.【详解】对于A ，2211124n n n n a a a a +⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，若10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则110,4n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知0n a >，10n a +>， 又210n n n a a a +-=-<，10n n a a +∴<<，A 正确； 对于B ，由已知得：21n n n a a a +=-，()()()2221212231111n n n n a a a a a a a a a a a a ++∴++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-<，B 正确；对于C ，由110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及A 中结论得：1112na <-<，1121na <<-， 12111111nn a a a ∴++⋅⋅⋅+>---，显然对任意的正数b ，在在正整数m ，使得m b >，此时12311111111mb a a a a +++⋅⋅⋅+>----成立，C 正确； 对于D ，（i ）当1n =时，由已知知：112a <成立， （ii ）假设当()n k k N*=∈时，11n a n <+成立， 则222111112411n n n n a a a a n n +⎛⎫⎛⎫=-+=--+<-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 又()()()221111012121n n n n n -+-=-<+++++，即()2111121n n n -+<+++， 112n a n +∴<+， 综上所述：当n *∈N 时，112n a n +<+，D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键在于能够熟练应用不等式的性质与函数的性质进行化简辨析，同时对于数列中的不等式证明问题，可采用数学归纳法进行证明.5．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，且112n n n S a a +=⋅-，则（ ）A ．12d =B ．11a =C ．数列{}n a 中可以取出无穷多项构成等比数列D ．设(1)nn n b a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2n T n =【答案】AC 【分析】利用已知条件可得11212n n n S a a +++=-与已知条件两式相减，结合{}n a 是等差数列，可求d的值即可判断选项A ，令1n =即可求1a 的值，可判断选项B ，分别计算{}n a 的通项即可判断选项C ，分别讨论两种情况下21212n n b b -+=，即可求2n T 可判断选项D. 【详解】 因为112n n n S a a +=-，所以11212n n n S a a +++=-， 两式相减，得()11212n n n n n a a a a da ++++=-=， 因为0d ≠，所以21d =，12d =，故选项 A 正确； 当1n =时，1111122a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，易解得11a =或112a =-，故选项B 不正确；由选项A 、B 可知，当112a =-，12d =时，()1111222n na n =-+-⨯=-，{}n a 可取遍所有正整数，所以可取出无穷多项成等比数列，同理当()()1111122n a n n =+-⨯=+时也可以取出无穷多项成等比数列，故选项C 正确； 当()112n a n =+时，()221212n n b a n ==+，()212112112n n b a n n --=-=--+=-， 因为21221212n n n n b b a a --+=-+=，所以()()()212342122n n n n T b b b b b b -=++++++=， 当12n n a =-时，2212112n n b a n n ==⨯-=-，2121213122n n n b a n ---⎛⎫=-=--=-⎪⎝⎭， 所以22131122n n b b n n -+=-+-=， 此时()()()22212223212n n n n n nT b b b b b b ---=++++++=， 所以2n T n ≠，故选项D 不正确． 故选：AC. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.6．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()12n n n S += C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】 由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．7．已知数列{}n a ，{}n b 满足，11a =，11n n n a a a +=+，1(1)n n b n a =+，若23100100122223100b b b T b =++++，则（ ） A ．n a n = B ．1n n b n =+ C ．100100101T =D ．10099100T =【答案】BC 【分析】 先证明数列1n a 是等差数列得1n a n =，进而得1(1)1n nn b n a n ==++，进一步得()211111n b n n n n n ==-++，再结合裂项求和得100100101T =. 【详解】 解:因为11nn n a a a +=+,两边取倒数得: 1111n n a a +=+,即1111n na a ,所以数列1n a 是等差数列,公差为1,首项为111a ,故()1111n n n a =+-⨯=,所以1n a n=, 所以1(1)1n n nb n a n ==++，故()211111n b n n n n n ==-++， 所以31002100122211112310022334100101b b b T b =++++=++++⨯⨯⨯11111111100122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故BC 正确，AD 错误； 故选：BC 【点睛】本题考查数列通项公式的求解，裂项求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明数列1na 是等差数列，进而结合裂项求和求解100T .8．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列B ．满足100n S <的n 的最大值是9C ．n S 除以4的余数只能为0或1D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得()*21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()111n n na n a +-+=，故等式两边同除以()1n n +得：()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()12111221211n n a a n n n n n n --=------=--，，2111121122a a =-⨯-= 故根据累加法得：()11121n a a n nn =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故()*21n a n n N=-∈所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()21212n n n S n +-==，故2100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确；对于C 选项，当*21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正确；对于D 选项，222n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n na2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．10．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式1122n nn a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB 【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.。

2024年北京市第二十五中学数学高三第一学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-2．已知ABC 是边长为3的正三角形，若13BD BC =，则AD BC ⋅=A ．32- B ．152 C ．32D ．152-3．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2或233B ．2或3C ．3或62D ．233或624．若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12a e e λ=-，且3a =，则实数λ=（ ）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－15．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．6423πD ．2053π6．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭7．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．23C ．32D ．49．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（ ）A ．212B ．9C ．172D ．712．已知数列满足，且 ，则数列的通项公式为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

第1讲-集合及其运算-专项训练（原卷版）一、单项选择题1．若集合M ＝{x |x ＜4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝()A ．{x |0≤x ＜2}B |13≤x ＜C ．{x |3≤x ＜16}D |13≤x ＜2．设全集U ＝{0，1，2，4，6，8}，集合M ＝{0，4，6}，N ＝{0，1，6}，则M ∪(∁U N )＝()A ．{0，2，4，6，8}B ．{0，1，4，6，8}C ．{1，2，4，6，8}D ．U3．已知集合A ＝{0，1，2}，B B ⊆A ，则实数x ＝()A ．12B ．1C ．12或1D ．04．设集合A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∩B 的子集个数为()A ．2B ．3C ．4D ．65．已知集合A ＝{x |3x －1＞8}，B ＝{x |x ≤10}，则A ∩B ＝()A ．(10，＋∞)B ．(3，10)C ．(3，10]D ．[10，＋∞)6．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |－1＜x ＜2}，则{x |x ≥2}＝()A ．∁U (M ∪N )B ．N ∪(∁U M )C ．∁U (M ∩N )D ．M ∪(∁U N )7．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a －1，a 2＋2}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为()A ．0B ．1C ．2D ．38．能正确表示集合M ＝{x |0≤x ≤2}和集合N ＝{x |x 2－2x ＝0}的关系的Venn 图是()ABC D9．若集合A ＝x |x ＝k 6＋1，k ∈Z，B ＝x |x ＝k 3＋12，k ∈Z，C ＝x |x ＝2k 3＋12，k ∈Z()A ．A ⊆B ⊆C B ．A ⊆C ⊆B C ．C ⊆B ⊆AD ．C ⊆A ⊆B10．某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为()A ．36B ．35C ．34D ．33二、多项选择题11．已知集合A ＝{x |log 2x ≤0}，B y |y ＋1y －1≥0D z |3z ≥19()A ．A ∪D ＝RB ．A ∩B ＝∅C ．∁R (A ∪B )DD ．∁R D B12．若非空集合M ，N ，P 满足M ∩N ＝N ，M ∪P ＝P ，则()A ．P ⊆MB ．M ∩P ＝MC ．N ∪P ＝PD ．M ∩(∁P N )＝∅13．已知M ，N 均为实数集R 的子集，且N ∩(∁R M )＝∅，则下列结论正确的是()A ．M ∩(∁R N )＝∅B ．M ∪(∁R N )＝RC ．(∁R M )∪(∁R N )＝∁R MD ．(∁R M )∩(∁R N )＝∁R M14．我们知道，如果集合A ⊆S ，那么A 的补集为∁S A ＝{x |x ∈S 且x ∉A }．类似地，对于集合A ，B ，我们把集合{x |x ∈A 且x ∉B }叫做集合A 和B 的差集，记作A －B .例如：A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{4，5，6，7，8}，则有A －B ＝{1，2，3}，B －A ＝{6，7，8}．下列选项正确的是()A ．已知A ＝{4，5，6，7，9}，B ＝{3，5，6，8，9}，则B －A ＝{3，7，8}B ．如果A －B ＝∅，那么A ⊆BC ．已知全集U ，集合A ，集合B 的关系如图所示，则B －A ＝A ∩(∁U B )D ．已知A ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，B ＝{x |－2≤x ＜4}，则A －B ＝{x |x ＜－2或x ≥4}三、填空题15．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋2x －3＜0}，B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，则A ∩B ＝________．16．已知集合A ＝{x |ax 2－2x ＋a ＝0}中至多含有一个元素，则实数a 的取值范围是_______．17．已知集合A ＝[1，6]，B ＝{x |y ＝x －a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是_________．18．已知集合A ＝{－2，0，2，4}，B ＝{x ||x －3|≤m }，若A ∩B ＝A ，则m 的最小值为________．19．若x ∈A ，1x∈A ，则称A 是伙伴关系集合，集合M ＝1，0，13，12，1，2，3，________．第1讲-集合及其运算-专项训练（解析版）一、单项选择题1．若集合M ＝{x |x ＜4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝(D )A ．{x |0≤x ＜2}B |13≤x ＜C ．{x |3≤x ＜16}D |13≤x ＜【解析】M ＝{x |0≤x ＜16}，N |x M ∩N x |13≤x ＜2．设全集U ＝{0，1，2，4，6，8}，集合M ＝{0，4，6}，N ＝{0，1，6}，则M ∪(∁U N )＝(A )A ．{0，2，4，6，8}B ．{0，1，4，6，8}C ．{1，2，4，6，8}D ．U【解析】由题得∁U N ＝{2，4，8}，所以M ∪(∁U N )＝{0，2，4，6，8}．3．已知集合A ＝{0，1，2}，B B ⊆A ，则实数x ＝(A )A ．12B ．1C ．12或1D ．0【解析】因为集合A ＝{0，1，2}，B B ⊆A ，所以由集合元素的互异性及子集的概念可知1x ＝2，解得x ＝12.4．设集合A ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∩B 的子集个数为(C)A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】由题可知A ＝{－1，0，1}，所以A ∩B ＝{0，1}，所以其子集分别是∅，{1}，{0}，{0，1}，共有4个子集．5．已知集合A ＝{x |3x －1＞8}，B ＝{x |x ≤10}，则A ∩B ＝(C )A ．(10，＋∞)B ．(3，10)C ．(3，10]D ．[10，＋∞)【解析】如图，将集合A ＝{x |3x －1＞8}＝{x |x ＞3}和集合B 标在数轴上，由图可知C 正确．6．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |－1＜x ＜2}，则{x |x ≥2}＝(A )A ．∁U (M ∪N )B ．N ∪(∁U M )C ．∁U (M ∩N )D ．M ∪(∁U N )【解析】由题意可得M ∪N ＝{x |x ＜2}，则∁U (M ∪N )＝{x |x ≥2}，故A 正确；∁U M ＝{x |x ≥1}，则N ∪(∁U M )＝{x |x ＞－1}，故B 错误；M ∩N ＝{x |－1＜x ＜1}，则∁U (M ∩N )＝{x |x ≤－1或x ≥1}，故C 错误；∁U N ＝{x |x ≤－1或x ≥2}，则M ∪(∁U N )＝{x |x ＜1或x ≥2}，故D 错误．7．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a －1，a 2＋2}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为(C)A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】因为A ＝{1，2}，B ＝{a －1，a 2＋2}，且A ∩B ＝{1}，又a 2＋2≠1，所以a －1＝1，即a ＝2，此时B ＝{1，6}，符合题意．8．能正确表示集合M ＝{x |0≤x ≤2}和集合N ＝{x |x 2－2x ＝0}的关系的Venn 图是(B)A B C D【解析】由x 2－2x ＝0，解得x ＝2或x ＝0，则N ＝{0，2}．又M ＝{x |0≤x ≤2}，则N ⊆M ，故M 和N 对应的Venn 图如B 所示．9．若集合A ＝x |x ＝k 6＋1，k ∈，B ＝x |x ＝k 3＋12，k ∈，C ＝x |x ＝2k 3＋12，k ∈(C )A ．A ⊆B ⊆C B ．A ⊆C ⊆B C ．C ⊆B ⊆AD ．C ⊆A ⊆B【解析】依题意，A x |x ＝k ＋66，k ∈x |x ＝(k ＋3)＋36，k ∈B ＝x |x ＝2k ＋36，k ∈C x |x ＝4k ＋36，k ∈x |x ＝2×2k ＋36，k ∈集合C 中的任意元素都是集合B 中的元素，即有C ⊆B ，集合B 中的任意元素都是集合A 中的元素，即B ⊆A ，所以C ⊆B ⊆A .10．某学校举办了第60届运动会，期间有教职工的趣味活动“你追我赶”和“携手共进”．数学组教师除5人出差外，其余都参与活动，其中有18人参加了“你追我赶”，20人参加了“携手共进”，同时参加两个项目的人数不少于8人，则数学组教师人数至多为(B)A ．36B ．35C ．34D ．33【解析】如图，设两个项目都参加的有x 人，“你追我赶”为集合A ，“携手共进”为集合B ，则数学组共有5＋18－x ＋x ＋20－x ＝43－x (x ≥8)人，显然43－x ≤35.二、多项选择题11．已知集合A ＝{x |log 2x ≤0}，B y |y ＋1y －1≥D z |3z 则(BCD )A ．A ∪D ＝RB ．A ∩B ＝∅C ．∁R (A ∪B )DD ．∁R D B【解析】由log 2x ≤0，得0＜x ≤1，所以A ＝{x |0＜x ≤1}．由y ＋1y －1≥0，得(y ＋1)(y －1)≥0且y －1≠0，得y ≤－1或y ＞1，所以B ＝{y |y ≤－1或y ＞1}．由3z ≥19＝3-2，得z ≥－2，所以D ＝{z |z ≥－2}．对于A ，A ∪D ＝{x |x ≥－2}≠R ，所以A 错误；对于B ，A ∩B ＝∅，所以B 正确；对于C ，因为A ∪B ＝{x |x ≤－1或x ＞0}，所以∁R (A ∪B )＝{x |－1＜x ≤0}D ，所以C 正确；对于D ，因为D ＝{z |z ≥－2}，所以∁R D ＝{z |z ＜－2}．因为B ＝{y |y ≤－1或y ＞1}，所以∁R D B ，所以D正确．12．若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则(BC)A．P⊆M B．M∩P＝MC．N∪P＝P D．M∩(∁P N)＝∅【解析】由M∩N＝N可得N⊆M.由M∪P＝P，可得M⊆P，推不出P⊆M，故A错误；由M⊆P可得M∩P＝M，故B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确；由N⊆M可得M∩(∁P N)不一定为空集，故D错误．13．已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁R M)＝∅，则下列结论正确的是(BD)A．M∩(∁R N)＝∅B．M∪(∁R N)＝RC．(∁R M)∪(∁R N)＝∁R MD．(∁R M)∩(∁R N)＝∁R M【解析】因为N∩(∁R M)＝∅，所以N⊆M.若N是M的真子集，则M∩(∁R N)≠∅，故A错误；由N⊆M，得M∪(∁R N)＝R，故B正确；由N⊆M，得(∁R N)⊇(∁R M)，故C错误，D正确．14．我们知道，如果集合A⊆S，那么A的补集为∁S A＝{x|x∈S且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫做集合A和B的差集，记作A－B.例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}．下列选项正确的是(BD)A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8} B．如果A－B＝∅，那么A⊆BC．已知全集U，集合A，集合B的关系如图所示，则B－A＝A∩(∁U B)D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4}【解析】对于A，由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，知B－A＝{3，8}，A错误；对于B，由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A－B＝∅，知A⊆B，B正确；对于C，由韦恩图知B－A如图中阴影部分所示，则B－A＝B∩(∁U A)，C错误；对于D，∁R B＝{x|x＜－2或x≥4}，则A－B＝A∩(∁R B)＝{x|x＜－2或x≥4}，D正确．三、填空题15．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，则A∩B＝__{－2，0}__．【解析】由x2＋2x－3＜0，解得－3＜x＜1，所以A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|x ＝2k，k∈Z}，B是偶数集，所以A∩B＝{－2，0}．16．已知集合A＝{x|ax2－2x＋a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围是__(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}__．【解析】由题意，原问题转化为方程ax2－2x＋a＝0至多只有一个根．当a ＝0时，方程为－2x＝0，解得x＝0，此时方程只有一个实数根，符合题意；当a≠0时，方程ax2－2x＋a＝0为一元二次方程，所以Δ＝4－4a2≤0，解得a≤－1或a≥1.综上，实数a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}．17．已知集合A＝[1，6]，B＝{x|y＝x－a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是__(－∞，1]__．【解析】由x－a≥0，得x≥a，所以B＝[a，＋∞).因为A＝[1，6]，且A⊆B，所以a≤1，所以实数a的取值范围是(－∞，1].18．已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m 的最小值为__5__．【解析】由A∩B＝A，知A⊆B.由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有≤m＋3，2≥－m＋3，≥1，≥5，即m≥5，故m的最小值为5.19．若x∈A，1x∈A，则称A是伙伴关系集合，集合M＝1，0，13，12，1，2，3，__15__．【解析】因为1∈A ，11＝1∈A ；－1∈A ，1－1＝－1∈A ；2∈A ，12∈A ；3∈A ，13∈A ，所以所求集合即为由1，－1，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.。

一、单选题1. 设，则的大小关系是（）A．B．C．D．2. 已知函数，下列命题：①关于点对称；②的最大值为2；③的最小正周期为；④在区间上递增.其中正确命题的个数是A．0B．1C．2D．33. 圭表，是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成.圭表和日晷一样，也是利用日影进行测量的古代天文仪器.所谓高表测影法，通俗的说，就是垂直于地面立一根杆，通过观察记录它正午时影子的长短变化来确定季节的变化.垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图1，利用正午时太阳照在表上，表在圭上的影长来确定节令．已知某地夏至和冬至正午时，太阳光线与地面所成角分别约为，，如图2，若影长之差尺，则表高AB为（）尺．A．B．C．D．4. 设a，，函数，若函数有四个零点，则（）A．，B．，C．，D．，5. 已知正项等比数列中，，数列满足，则使得不等式成立的的最小值为（）A．2023B．2024C．2025D．20266. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，…为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的表面积为（）A．B．C．D．7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为A．B．C．D．二、多选题8. 从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除的概率为 （ ▲ ）A．B．C．D．9.的展开式中项的系数是（ ）A ．3B ．12C ．17D ．3510. 设集合，则下列关系中正确的是A ．M="P"B．C．D．11. 已知集合则为A．B．C．D．12.已知集合，，则中元素的个数为A ．0B ．1C ．2D ．313. 已知球的直径，，是该球球面上的两点，，，则棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．14. 已知在中，角的对边分别为则边上的高为（ ）A ．1B．C．D ．215.在的展开式中，常数项为（ ）A ．210B ．252C ．462D ．67216.已知数列满足，则数列的前10项和是（ ）A．B．C．D．17. 已知直线：与圆：相切，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．18. 已知正数x ，y满足，则下列结论正确的是（ ）A．的最大值是1B ．的最小值是4C ．的最大值是2D ．的最小值是19.为得到函数的图象，只需把的图象（ ）A ．向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）B．所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），然后将所得图象向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后将所得图象向左平移个单位长度20. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）三、填空题A ．，B．数列是等比数列C ．数列是等比数列D．的数学期望21. 如图，正方体的棱长为2，E ，F ，G ，H分别是所在棱上的点，且满足，则（）A．若四边形为矩形，则B．若四边形为菱形，则E ，G 或F ，H 为所在棱中点C．若四边形为菱形，则四边形的周长取值范围为D ．当且仅当E ，F ，G ，H 均为所在棱中点时，四边形为正方形22.如图，过抛物线的焦点F 作倾斜角为的直线l ，l 与抛物线及其准线依次交于点A ，B ，C ，令，则（）A．B．C ．当时，D ．当时，23. 已知函数，则（ ）A．函数的图像关于直线对称B．函数的图像关于点对称C ．函数在上单调递减D ．函数的值域是24. 在三棱锥中，，，则（ ）A．B．三棱锥的体积为C．三棱锥外接球半径为D ．异面直线与所成角的余弦值为25.在的展开式中，的系数为________．26. 设表示不超过的最大整数，如.若函数，则的值域为________________.27.设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则__________．四、解答题五、解答题28. 求值.（1）；（2）.29.设，化简：．30. （1）求值：；（2）已知，求的值.31.如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC =60°，AE ⊥平面 ABCD ，AB =AE =2DF ，AE DF.(1)证明：平面AEC ⊥平面 CEF ；(2)求平面ABE 与平面CEF 夹角的余弦值.32. 化简：．33. （1）求曲线和曲线围成图形的面积；（2）化简求值：．34.如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点．(1)在侧棱上作出点，满足平面，并给出证明；(2)求二面角的余弦值及点到平面的距离．35. 某校为了深入学习宣传贯彻党的二十大精神，引导广大师生深入学习党的二十大报告，认真领悟党的二十大提出的新思想、新论断，作出的新部署、新要求，把思想统一到党的二十大精神上来，把力量凝聚到落实党的二十大作出的各项重大部署上来．经研究，学校决定组织开展“学习二十大奋进新征程”的二十大知识竞答活动．本次党的二十大知识竞答活动，组织方设计了两套活动方案：方案一：参赛选手先选择一道多选题作答，之后都选择单选题作答；方案二：参赛选手全部选择单选题作答．其中每道单选题答对得2分，答错不得分；多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项不得分．为了提高广大师生的参与度，受时间和场地的限制，组织方要求参与竞答的师生最多答3道题．在答题过程中如果参赛选手得到4分或4分以六、解答题上则立即停止答题，举办方给该参赛选手发放奖品．据统计参与竞答活动的师生有500人，统计如表所示：男生女生总计选择方案一10080选择方案二200120总计(1)完善上面列联表，据此资料判断，是否有90%的把握认为方案的选择与性别有关？(2)某同学回答单选题的正确率为0.8，各题答对与否相互独立，多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3；如果你是这位同学，为了获取更好的得分你会选择哪个方案？请通过计算说明理由．附：，．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82836.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.（1）求出函数在上的解析式；（2）画出函数的图像，并写出单调区间；（3）若与有3个交点，求实数的取值范围.37. 中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量x （单位：克）与药物功效（单位：药物功效单位）之间具有关系.(1)估计该味中药的最佳用量与功效；(2)对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准差为2，估计这批合成药的药物功效的平均值.38. 设某幼苗从观察之日起，第x 天的高度为y cm ，测得的一些数据如下表所示：第x 天14916253649高度y cm479111213作出这组数据的散点图发现：y （cm ）与x （天）之间近似满足关系式，其中a ，b 均为大于0的常数．(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于x 的经验回归方程；(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的2个点，求这2个点中幼苗的高度大于的点的个数恰为1的概率．附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．39. 已知函数，(且)的图象经过点．（1）求的值，并在直角坐标系中画出的图象;（2）若在区间上是单调函数，求的取值范围．40.如图，在三棱柱中，平面为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点.七、解答题(1)求证：平面平面；(2)取的中点，连接，求二面角的余弦值.41. 已知椭圆E ：经过点，且离心率为．F 为椭圆E 的左焦点，点P 为直线l ：上的一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AB ，AF ，BF ．(1)求证：直线AB 过定点M ，并求出定点M 的坐标；(2)记△AFM 、△BFM 的面积分别为和，当取最大值时，求直线AB 的方程．参考结论：点为椭圆上一点，则过点Q的椭圆的切线方程为．42. 已知．（1）讨论的单调性；（2）已知函数有两个极值点，求证：．43. 在三棱锥中，，，为直角，点，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若在线段上，且，求证：平面.44. 如图，三棱柱中，底面为等边三角形，平面，且，点为的中点，点为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.45. 已知F 1（－，0），F 2（，0）为双曲线C 的焦点，点P （2，－1）在C 上．(1)求C 的方程；(2)点A ，B 在C 上，直线PA ，PB 与y 轴分别相交于M ，N 两点，点Q 在直线AB 上，若＋，＝0，证明：存在定点T ，使得|QT |为定值．46. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得分，否则得0分．已知学生甲能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若学生甲先回答A类问题，，，，，记X为学生甲的累计得分，求X的分布列和数学期望．(2)从下面的两组条件中选择一组作为已知条件．学生甲应选择先回答哪类问题，使得累计得分的数学期望最大？并证明你的结论．①，；②，．47. 随着科技的发展，移动互联已进入全新的时代，远程实时遥控已成为现实.某无人机生产厂家计划在年将新技术应用到生产中去，经过市场调研分析，生产某种型号的无人机全年需投入固定成本万元，每生产千台无人机，需投入成本万元，且由市场调研知，每台无人机售价为万元，且全年内生产的无人机当年能全部售完.(1)求出年的利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式（利润销售额成本）；(2)年产量为多少时，该厂家所获利润最大？最大利润为多少？48. 某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：消费次数第1次第2次第3次不少于4次收费比例10.950.900.85该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员并统计他们的消费次数，得到数据如下：消费次数1次2次3次不少于4次频数6025105假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元.根据所给数据，回答下列问题：(1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率：(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的所有会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X，求X的分布列和均值.49. 2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（Alpine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目，冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项目．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目，现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛，现已知每位参赛运动员水平相当．(1)从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；(2)从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．50. 某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标处，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标处，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．(1)求选手甲在射击中得0分的概率；(2)设选手甲在比赛中的得分为，求的分布列和数学期望．51. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟（WTT）支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分．在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球．(1)甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；(2)求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望．。

一、单选题1. 已知集合，则（）A．B．C．D．2. 中国气象局规定：一天里的降雨的深度当作日降水量，通常用毫米表示降水量的单位，的降水量是指单位面积上水深.如图，这是一个雨量筒，其下部是直径为､高为的圆柱，上部承水口的直径为.某同学将该雨量筒放在雨中，雨水从圆形容器口进入容器中，后，测得容器中水深，则该同学测得的降水量约为（）A．B．C．D．3. 下列数中最大的是（）A．B．C．D．4. 若复数（为虚数单位，）的实部与虚部互为相反数，则A．B．C．D．5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（）A．若，则B．若，则C．若，则∥D．若，则6. 已知向量，，且，则（）A．B．C．D．7. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，若在上恰有3个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．8. 已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得弦长为（）A．B．1C．D．29. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线的方程为，若在圆上至少存在三点到直线的距离为1，则实数的取值范围是二、多选题A．B．C．D．10.设正项等比数列的前项和为，，．记，下列说法正确的是（ ）A ．数列的公比为B．C ．存在最大值，但无最小值D．11.已知点为双曲线的右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若(点为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．12. 若则下列结论正确的有（ ）①②③④A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13. 若实数，满足，则点到直线的距离的取值范围是（ ）A．B．C．D．14.若函数满足，且，则的解集是A．B．C．D．15.已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．16. 已知函数为定义在R上的奇函数，，且，，则下列说法正确的个数为（ ）①②③④A ．1B ．2C ．3D ．417. 若直线∥平面，直线，则与的位置关系可以是（ ）A ．与相交B．C．D ．与异面18.已知圆：与圆：外切，则的值可以为（ ）A．B．C．D．19. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A．B．C．D．20. 已知α，β为两个不重合的平面，m ，n 为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）A ．若，，则B．若，，，则C ．若，，，则三、填空题D ．若，，，则21.如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（）A ．是直角三角形B ．异面直线与所成的角为C ．当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值D ．平面平面22.已知椭圆，双曲线．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）A．椭圆的离心率B．双曲线的离心率C ．椭圆上不存在点使得D ．双曲线上存在点使得23. 下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．24. 已知实数，满足方程.则下列选项正确的是（ ）A ．的最大值是B．的最大值是C ．过点作的切线，则切线方程为D ．过点作的切线，则切线方程为25. 为了解某小区居民的家庭年收入（万元）与年支出（万元）的关系，随机调查了该小区的10户家庭，根据调查数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．若该小区某家庭的年收入为30万元，则据此估计，该家庭的年支出为____万元．26.若复数，中是虚数单位，则复数的模为_____________.27. 过原点的直线与圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为______．28. 已知一个圆锥的主视图（如图所示）是边长分别为，，的三角形，则该圆锥的侧面积为_____．四、解答题29.已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，若的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则________________．30. 已知的外接圆的半径为1，若，则面积的最大值为______．31. 已知椭圆C ：的两个焦点为，，P 为椭圆上任意一点，点为的内心，则的最大值为______.32. 设函数，记，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是________.33. 已知的内角的对边分别为，且，(1)求的大小；(2)若，求的面积．34. （1）已知角终边上一点，求的值；（2）化简求值：35. 对于数列，，的前n 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n ，n ＋1项有一定关系，即第n 项的后一部分与第n ＋1项的前一部分和为零②不妨将，也转化成第n ，n ＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n 项和；(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．36.已知函数．（1）化简并求函数的最小正周期；（2）求使函数取得最大值的集合．37. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；(2)当的值为多少时，能使平面？38. 已知椭圆，直线过的左顶点与上顶点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为1．五、解答题(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，（异于点）是椭圆上不同的两点，且，过作的垂线，垂足为，求到直线的距离的最大值．39. 对哈尔滨市某高校随机抽取了100名大学生的月消费情况进行统计，并根据所得数据画出如下频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点）（1）请根据频率直方图估计该学生月消费的中位数和平均数；（2）根据频率分布直方图，现采用分层抽样的方法，在月消费不少于3000元的两组学生中抽取4人，若从这4人中随机选取2人，求2人不在同一组的概率．40. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年月日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了名学生，得到如下统计表：时间人数(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)用分层抽样的方法从使用手机时间在和的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人来自不同组的概率．41. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深/米4.56.54.52.54.56.54.52.54.5（1）已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数，，画出函数图象，并求出函数解析式.（2）现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.2米的间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？参考数据：42. 经过多年的努力，炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的黄桃树上随机摘下了100个黄桃进行测重，其质量分布在区间内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：六、解答题（1）按分层抽样的方法从质量落在，的黄桃中随机抽取5个，再从这5个黄桃中随机抽2个，求这2个黄桃质量至少有一个不小于400克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的黄桃树上大约还有100000个黄桃待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有黄桃均以20元/千克收购；B.低于350克的黄桃以5元/个收购，高于或等于350克的以9元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.（参考数据：）43. 随着城镇化的不断发展，老旧小区的改造及管理已经引起了某市政府的高度重视，为了了解本市甲，乙两个物业公司分别管理的､小区住户对其服务的满意程度，现从他们所服务的小区中随机选择了40个住户，根据住户对其服务的满意度评分，得到小区住户满意度评分的频率分布直方图和小区住户满意度评分的频数分布表.B 小区住户满意度评分的频数分布表：满意度评分分组频数4610128（1）在图2中作出小区住户满意度评分的频率分布直方图，并通过频率分布直方图计算两小区住户满意度评分的平均值及分散程度(其中分散程度不要求计算出具体值，给出结论即可)；（2）根据住户满意度评分，将住户满意度分为三个等级：满意度评分低于70分，评定为不满意；满意度评分在70分到89分之间，评定为满意；满意度评分不低于90分，评定为非常满意.试估计哪个小区住户的满意度等级为不满意的概率大？若要选择一个物业公司来管理老旧小区的物业，从满意度角度考虑，应该选择哪一个物业公司？说明理由.44.若动点到定点与定直线的距离之和为4.（1）求点的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线，问曲线上关于点（）对称的不同点有几对？请说明理由.45. 在图1中，四边形为梯形，，，，，过点A 作，交于．现沿将折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，在图2中解答下列两问：(1)求四棱锥的体积；(2)若F在侧棱上，，求证：二面角为直二面角．46. 如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.(1)设平面与平面的交线为，求证：；(2)在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由.47. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AC与BD相交于点O，，，，，M为线段PD的中点.(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)若直线OM与平面ABCD所成角为60°，求三棱锥O-ABM的体积.48. 如图，已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设为原点，椭圆的左、右两个顶点分别为、，点椭圆上与、不重合的任意一点，点和点关于轴对称，直线与直线交于点，求证：，两点的横坐标之积为定值．49. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，，，，M为棱的中点．七、解答题(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．50. 对任意一个非零复数z ，定义集合．(1)设a 是方程的一个根，试用列举法表示集合．若在中任取两个数，求其和为零的概率P ；(2)设复数，求证：．51. 某商品定货单价为40元，若按50元一个销售，能卖出500个，如果销售单价每涨5元，销售量就减少50个，为获得最大利润，此商品的销售价应为每个多少元？52. 《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：分组（年龄）频数（人）（1）用分层抽样的方法从“百人团”中抽取人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；（2）在（1）中抽出的人中，任选人参加一对一的对抗比赛，求这人来自同一年龄组的概率．53. 某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线与修建景观路（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域内沿直线将与接通，已知，，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥部分的修建费用为每米2万元.（1）若景观桥长时，求桥与河道所成角的大小；（2）如何设计景观桥的位置，使矩形区域内的总修建费用最低？最低总造价是多少？54. 手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A ，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.55. 某鲜花店每天制作、两种鲜花共束，每束鲜花的成本为元，售价元，如果当天卖不完，剩下的鲜花作废品处理.该鲜花八、解答题店发现这两种鲜花每天都有剩余，为此整理了过往100天这两种鲜花的日销量（单位：束），得到如下统计数据：种鲜花日销量48495051天数25352020两种鲜花日销量48495051天数40351510以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率，假设这两种鲜花的日销量相互独立.（1）记该店这两种鲜花每日的总销量为束，求的分布列.（2）鲜花店为了减少浪费，提升利润，决定调查每天制作鲜花的量束.以销售这两种鲜花的日总利润的期望值为决策依据，在每天所制鲜花能全部卖完与之中选其一，应选哪个？56. 甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立．(1)若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；(2)当时，（i ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及期望E （X ）的最大值；（ii ）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程．57. 为了调查某校高二学生是否需要学校提供学法指导，用简单随机抽样的方法从该校高二年级调查了55名学生，结果如下：男女需要2010不需要1015(1)估计该校高二年级学生中，需要学校提供学法指导的学生的比例；（用百分数表示，保留两位有效数字）(2)能否有95%的把握认为该校高二年级学生是否需要学校提供学法指导与性别有关？参考公式：，．参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.4815.0246.6357.87910.82858. 2021年11月，江西省出台了新规落实“双减”政策，在加强学生作业管理方面《若干措施》提出，要控制书面作业总量，小学一、二年级不得布置家庭书面作业，小学三至六年级每天书面作业总量平均完成时间不超过60分钟，初中每天书面作业总量平均完成时间不超过90分钟．某中学为了了解七年级学生的家庭作业用时情况，从本校七年级随机抽取了一批学生进行调查，并绘制了学生家庭作业用时的频率分布直方图，如图所示．(1)求频率分布直方图中的值，并估算学生家庭作业用时的中位数（精确到0.1）；(2)作业用时不能完全反映学生学业负担情况，这与学生自身的学习习惯有很大关系．如果作业用时50分钟之内评价等级为优异，70分钟以上评价等级为一般，其它评价等级为良好．现从等级优异和等级一般的学生里面用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人被评价为等级一般学生的概率．59. 已知是等差数列，是公比不为的等比数列，，且，，.(1)求数列与的通项公式；(2)求数列的前项和为.60. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为：（为参数），，为直线上距离为的两动点，点为曲线上的动点且不在直线上．（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程．（2）求面积的最大值．61.在某市高中某学科竞赛中，某一个区名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取名考生，记成绩分的考生人数为，求.（精确到）附：①，；②，则，；③.不超过62. 设函数．(1)若函数在上不单调，求a 的取值范围；(2)对任意，都存在，使得成立，求a 的取值范围．。

一、单选题1. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（ ）A．B．C ．8D ．﹣82. 将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则的一个对称中心为（ ）A．B．C．D．3. 已知双曲线：的两条渐近线与圆：的4个公共点按照逆时针方向依次为，，，，且点，在第一象限，若，则（ ）A．B．C．D．4.已知，则（ ）A．B．C．D．5. 药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度（单位：）随时间t （单位：h ）的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数（单位：），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进入麻醉状态，测得其血药浓度为，当患者清醒时测得其血药浓度为，则该患者的麻醉时间约为（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，，，则（ ）A．B．C．D．7. 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为（）①在中点时，平面平面②异面直线所成角的余弦值为③在同一个球面上④，则点轨迹长度为A ．0B ．1C ．2D ．38. 我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍.已知#的频率为，的频率为，则（ ）北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(高频考点版)北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(高频考点版)二、多选题三、填空题四、解答题A．B．C．D．9. 已知，则下列说法正确的是（ ）A．的最小值为B ．的最小值为C．的最大值为D．的最大值为10.如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（）A ．平面平面B．平面C ．异面直线与所成角的取值范围是D ．三棱锥的体积不变11. 给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9；第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18.则这两组数据的（ ）A ．平均数相等B ．中位数相等C ．极差相等D ．方差相等12.已知偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）．A ．函数是以2为周期的周期函数B ．函数是以4为周期的周期函数C ．函数为奇函数D ．函数为偶函数13. 已知，则__________．14. 正数，，满足，则的取值范围是______.15. 在△ABC 中，当取最大值时，△ABC 内切圆的半径为___.16. 如图，在三棱锥中，，，，，分别是，的中点，在上且.（I）求证：；（II）求直线与平面所成角的正弦值；（III）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.17. 已知函数.（1）若且函数为奇函数，求实数；（2）若试判断函数的单调性；（3）当，，时，求函数的对称轴或对称中心.18. 已知函数，是常数．（1）求曲线在点处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；（2）证明：时，有两个零点、，且．19. 在△中，，．（1）若点M是线段BC的中点，，求边的值；（2）若，求△的面积．20. 已知正方形的边长为2，点分别是，的中点，沿把折起得到几何体.（1）当时，求证：.（2）当平面平面时，求三棱锥的体积.21. 如图，点是的边上一点，且，．（1）求；（2）若的外接圆的半径为，求的面积．。

一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（ ）A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．众数2. 学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是（ ）A．B．C．D．3. 命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）A ．0B ．2C ．3D．5. 已知集合，则下列式子中正确的是（ ）A．B．C．D．6. 已知是上的奇函数，且当时，.若在上是增函数，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 已知点A （2,0），圆，圆上的点P 满足，则a 的取值可能是（ ）A ．1B ．-1C．D ．08.数列的通项公式为，前项和为，下列结论中正确的是（ ）A．的最小值为B．存在正整数，使得C ．存在正整数，使得D．记，则数列有最小项9.已知中心在坐标原点的椭圆的一个焦点为，且过点，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于、两点，则弦长的取值范围为_________．10. 已知P 是双曲线上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于_______________11.满足的集合M 共有________个.12. 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为______.（不用计算，写出表达式即可）13.已知函数为偶函数.北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(高频考点版)北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(高频考点版)(1)求实数的值；(2)求不等式的解集.14. 如图，在平面四边形中，，，，．(1)求；(2)若的面积为，求．15. 已知为数列的前项和，且（，为常数），若，．求：(1)数列的通项公式；(2)的最值．16. 已知，，且与夹角为，求：(1)；(2)与的夹角的余弦值.。