理论力学-5-运动学基础

[例4—1—5] 在坑道施工中，广泛采用各种利用摩擦锁紧的装置——楔联结。

图4—1—25。

为坑道支柱中的楔联结结构装置。

它包括顶梁I、楔块Ⅱ、用于调节高度的螺旋Ⅲ及底座Ⅳ。

螺旋杆给楔块以向上的推力P。

楔块与上下支柱间的静摩擦系数均为f(或摩擦角φm)。

求楔块不致滑出所须顶角θ的大小。

[解] 以楔块为研究对象，其受力图如图4—1—25b所示。

楔块因有向左滑出的趋势，故除压力P和法向约束反力N外，还有朝右的静摩擦力F1及F2。

当楔块处于临界状态时，根据摩擦定律有同时，可写出平衡方程将式(1)、(2)代人式(3)、(4)，得由此得这就是θ的最大值。

因此，楔块不会滑出的条件为此题如用几何法求解，那么更能较清晰地看出结果。

如图4—1—26所示，当楔块平衡时，力P与F1的合力Rl，和力N与F2的合力R2：，应等值、反向、共线。

设Rl与P的夹角为φ1，R2与N的夹角为φ2，那么楔块不会滑出的条件，显然是根据图4—1—26的几何条件知所以这与解析法所求得的结果完全一致。

上述计算结果说明，不管主动力P的大小如何，只要楔块的顶角满足条件θ?2φm时，它总是可以保持平衡而不会滑出的，即楔块处于自锁状态八、重心无论将物体怎样放置，重力的作用线总是通过物体上一个确定的点，称此点为物体的重心。

〔一〕物体的重心坐标公式式中x c，y c、z c和x i、y i、z i分别表示物体和任一微小局部的重心的坐标；ω和ωi分别表示物体和任一微小局部的重量。

假设以r c表示物体重心C对坐标原点O的矢径，以r i表示任一微小局部的重心对坐标原点O的矢径，那么物体重心的坐标公式可表示为矢量形式，即〔二〕均质物体的重心的坐标公式均质物体的重心也就是该物体的几何形体的形心，其重心C的坐标公式如表4—1—8各式所列。

应当注意，在表4—1—8各式中的x i、y i、z i或x、y、z均表示相应的微小单元重心的坐标，根据所取的坐标系，它们可以是正值，也可以是负值。

第五章运动学基础一、是非题1．已知直角坐标描述的点的运动方程为X=f1（t），y=f2（t），z=f3（t），则任一瞬时点的速度、加速度即可确定。

（）2．一动点如果在某瞬时的法向加速度等于零，而其切向加速度不等于零，尚不能决定该点是作直线运动还是作曲线运动。

（）3．切向加速度只表示速度方向的变化率，而与速度的大小无关。

（）4．由于加速度a永远位于轨迹上动点处的密切面内，故a在副法线上的投影恒等于零。

（）5．在自然坐标系中，如果速度υ=常数，则加速度α=0。

（）6．在刚体运动过程中，若其上有一条直线始终平行于它的初始位置，这种刚体的运动就是平动。

（）7．刚体平动时，若刚体上任一点的运动已知，则其它各点的运动随之确定。

（）8．若刚体内各点均作圆周运动，则此刚体的运动必是定轴转动。

（）9．定轴转动刚体上点的速度可以用矢积表示为v=w×r，其中w是刚体的角速度矢量，r是从定轴上任一点引出的矢径。

（）10、在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。

（）二、选择题1、已知某点的运动方程为S=a+bt2（S以米计,t以秒计，a、b为常数），则点的轨迹。

①是直线；②是曲线；③不能确定。

2、一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量。

①平行；②垂直；③夹角随时间变化。

3、刚体作定轴转动时，切向加速度为，法向加速度为。

①r×ε②ε×r③ω×v④v×ω4、杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度α分别如图（a）、（b）、（c）所示。

则该瞬时的角速度为零，的角加速度为零。

①图（a）系统；②图（b）系统；③图（c）系统。

三、填空题1、点在运动过程中，在下列条件下，各作何种运动？①aτ=0，a n=0（答）：；②aτ≠0，a n=0（答）：；③aτ=0，a n≠0（答）：；④aτ≠0，a n≠0（答）：；2、杆O1B以匀角速ω绕O1轴转动，通过套筒A带动杆O2A绕O2轴转动，若O1O2=O2A=L，α=ωt，则用自然坐标表示（以O1为原点，顺时针转向为正向）的套筒A 的运动方程为s=。

习 题5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R ，绕轴O 转动，转角t ωϕ=（ω为常量），偏心距e OC =，偏心轮带动顶杆AB 沿铅垂直线作往复运动。

试求顶杆的运动方程和速度。

图5-13)(cos )sin(222t e R t e y ωω-+=)(cos 2)2sin()[cos(222t e R t e t e yv ωωωω-+==5-2 梯子的一端A 放在水平地面上，另一端B 靠在竖直的墙上，如图5-14所示。

梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。

已知点A 的速度为常值v 0，M 为梯子上的一点，设MA = l ，MB = h 。

试求当梯子与墙的夹角为θ时，试点M 速度和加速度的大小。

图5-14A M x hl hh x +==θsin θcos l y M = 0cos v h l h x h l h h xA M +=+== θθ 得 θθcos )(0h l v +=θθθθθt a n)(c o s )(s i n s i n 00h l lv h l v l l yM +-=+⨯-=-= 0=M xθθθθθ322002020cos )(cos )(sec )(sec )(h l lv h l v h l lv h l lv y M +-=+⨯+-=+-=θ3220cos )(h l lv a M+=5-3 已知杆OA 与铅直线夹角6/πt =ϕ（ 以 rad 计，t 以s 计），小环M 套在杆OA 、CD 上，如图5-15所示。

铰O至水平杆CD 的距离h =400 mm 。

试求t = 1 s 时，小环M 的速度和加速度。

图5-15ϕtan h x M = ϕϕϕ22sec 6π400sec ⨯== h xM ϕϕϕϕϕϕϕs i n s e c 9π200s i n s e c 6π3π400)s i n s e c 2(6π4003233=⨯⨯=⨯⨯= M x当s 1=t 时6π=ϕmm/s 3.2799π800346π400)6π(sec 6π4002==⨯==Mv 223232mm/s 8.168327π80021)32(9π200)6πsin()6π(sec 9π200==⨯⨯=⨯⨯=Ma5-4 点M 以匀速u 在直管OA 内运动，直管OA 又按t ωϕ=规律绕O 转动，如图5-16所示。

运动学研究的对象是：点和刚体。

运动学单独研究物体运动的几何性质（轨迹、运动方程、速度、加速度），而不涉及引起运动的原因。

第二篇运动学静力学：研究作用在刚体上的力系的平衡条件。

物体不平衡，其运动状态将发生变化。

位移、速度、加速度。

运动学：研究物体在空间的位置随时间的变化。

研究物体运动的几何性质的科学。

（主要讲平面运动）车轮运动车轮上一点的运动一种运动状态的两种运动形式。

物体的运动是相对的，研究物体的运动必须指明参考体和参考系。

参考体通常是一个大小有限的物体，与参考体固联的坐标系称为参考系，参考系是整个坐标空间，又分为定参考系和动参考系。

运动学的重点为：点的运动规律、点的速度合成、点的加速度合成、刚体平面运动分析中的基点法和瞬心法。

注意问题：矢径、位移、速度、加速度等参数是变矢量，注意矢量分析、矢量计算。

注意瞬时的概念。

第五章点的运动学点：几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。

空间中运动的一点M ，如何确定其位置、位移、运动轨迹、速度、加速度？点的运动学：研究点相对于某一个参考系的的几何位置随时间变化的规律。

是研究一般物体运动的基础。

注意掌握三种坐标表示：1、矢径（矢量法），2、直角坐标系（直角坐标法），3、自然坐标系*。

就是列出动点的轨迹方程。

§5-1 矢量法体验放风筝的感觉。

一线在手，知道飞得有多高、多远。

MOr原点矢径动点运动轨迹矢端曲线()r r t= 当动点M 运动时,矢径r 随时间而变化，并且是时间的单值连续函数, 即----这是以矢量表示的点的运动方程。

矢径r 的矢端曲线就是动点M 的运动轨迹。

MO r矢径动点矢端曲线运动轨迹一、矢径（位置矢量）：注意：参考坐标系的原点在轨迹外。

矢径r 是变矢量。

用一条矢线就可以确定动点的运动规律。

二、速度矢：什么是速度？单位时间的位移？0lim t r v t →= r0lim t r dr v t dt→==v r= 点的速度是矢量。

动点的速度矢等于它的矢径r 对时间的一阶导数。

理论力学运动学知识点总结第一篇：理论力学运动学知识点总结运动学重要知识点一、刚体的简单运动知识点总结1.刚体运动的最简单形式为平行移动和绕定轴转动。

2.刚体平行移动。

·刚体内任一直线段在运动过程中，始终与它的最初位置平行，此种运动称为刚体平行移动，或平移。

·刚体作平移时，刚体内各点的轨迹形状完全相同，各点的轨迹可能是直线，也可能是曲线。

·刚体作平移时，在同一瞬时刚体内各点的速度和加速度大小、方向都相同。

3.刚体绕定轴转动。

• 刚体运动时，其中有两点保持不动，此运动称为刚体绕定轴转动，或转动。

• 刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。

• 角速度ω表示刚体转动快慢程度和转向，是代数量，以用矢量表示。

，当α与ω。

角速度也可• 角加速度表示角速度对时间的变化率，是代数量，同号时，刚体作匀加速转动；当α 与ω异号时，刚体作匀减速转动。

角加速度也可以用矢量表示。

• 绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系：。

速度、加速度的代数值为。

• 传动比。

一、点的运动合成知识点总结1.点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。

• 绝对运动：动点相对于定参考系的运动；• 相对运动：动点相对于动参考系的运动；• 牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。

2.点的速度合成定理。

• 绝对速度：动点相对于定参考系运动的速度；• 相对速度：动点相对于动参考系运动的速度；• 牵连速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的速度。

3.点的加速度合成定理。

• 绝对加速度：动点相对于定参考系运动的加速度；• 相对加速度：动点相对于动参考系运动的加速度；• 牵连加速度：动参考系上与动点相重合的那一点相对于定参考系运动的加速度；• 科氏加速度：牵连运动为转动时，牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。

• 当动参考系作平移或 = 0，或与平行时，= 0。

一、判断题：1. 在自然坐标系中，如果速度v = 常数，则加速度a = 0。

（ ） 2、在分析点的合成运动时，动点的绝对速度一定不能恒等于零。

( ) 3、对于平动刚体，任一瞬时，各点速度大小相等而方向可以不同。

( )4、在刚体运动过程中，若刚体内任一平面始终与某固定平面平行，则这种运动就是刚体的平面运动。

( )5、加速度d d v t 的大小为d d vt。

（ ） 6、点的法向加速度与速度大小的改变率无关。

( ) 7、速度瞬心的速度为零，加速度也为零。

（ ）8、火车在北半球上自东向西行驶，两条铁轨的磨损程度是相同的。

( ) 9、平动刚体上各点运动状态完全相同。

( )10、某瞬时动点的加速度等于零，则其速度可能为零。

( ) 11、不论点作什么运动，点的位移始终是一个矢量。

( )12、某动点如果在某瞬时法向加速度为零，而切向加速度不为零，则该点一定做直线运动。

（ ）13、在研究点的合成运动时，所选动点必须相对地球有运动（ ）14、已知自然法描述的点的运动方程为S=f(t)，则任意瞬时点的速度、加速度即可确定。

（ ）15、科氏加速度的大小等于相对速度与牵连角速度之大小的乘积的两倍。

（ ） 16、作平面运动的平面图形可以同时存在两个或两个以上的速度瞬时中心。

( ) 17、在自然坐标系中，如果速度v = 常数，则加速度0a 。

（ ） 18、在有摩擦的情况下，全约束力与法向约束力之间的夹角称为摩擦角。

（ ） 19、在分析点的合成运动时，动点的绝对速度一定不能恒等于零。

( ) 20、若动系的牵连运动为定轴转动，则肯定存在哥氏加速度C a。

( )21、在直角坐标系中，如果一点的速度v 在三个坐标上的投影均为常数，其加速度a 必然为零。

（ ）22、刚体平行移动时，其上各点的轨迹一定是相互平行的直线。

二.填空题1.点M 沿螺旋线自外向内运动，如图所示。

它走过的弧长与时间的一次方成正比。

试分析它的加速度越来越__________ (填大或小)2．图所示平板绕AB 轴以匀角速度ω定轴转动，动点M 在板上沿圆槽顺时针运动，运动方程为t v s ⋅=0。

理论力学知识点总结关键信息项：1、静力学受力分析力系简化平衡方程2、运动学点的运动学刚体的平动与转动点的合成运动3、动力学牛顿定律动量定理动量矩定理动能定理11 静力学111 受力分析受力分析是理论力学的基础，它的主要任务是确定研究对象所受的外力。

通过对物体的约束和接触情况进行分析，画出受力图。

常见的约束类型包括柔索约束、光滑面约束、铰链约束等。

112 力系简化力系简化的目的是将复杂的力系用一个简单的力系等效替代。

通过力的平移定理，可以将力系向一点简化，得到主矢和主矩。

113 平衡方程对于平衡的物体或系统，其合力和合力矩都为零。

根据不同的约束条件，可以列出相应的平衡方程，如平面力系的平衡方程、空间力系的平衡方程。

12 运动学121 点的运动学描述点在空间中的位置随时间的变化规律。

可以用直角坐标法、自然法和弧坐标法来表示点的运动方程。

122 刚体的平动与转动刚体的平动是指刚体上各点的运动轨迹相同，速度和加速度也相同。

刚体的转动则是围绕某一固定轴的旋转运动，其角速度和角加速度描述了转动的快慢和变化。

123 点的合成运动研究一个点相对于不同参考系的运动之间的关系。

通过牵连运动、相对运动和绝对运动的分析，运用速度合成定理和加速度合成定理求解问题。

13 动力学131 牛顿定律牛顿第一定律指出物体具有保持原有运动状态的惯性；牛顿第二定律阐明了力与加速度的关系；牛顿第三定律说明了作用力与反作用力的大小相等、方向相反且作用在同一直线上。

132 动量定理物体的动量变化等于作用在物体上的冲量。

通过动量定理可以解决涉及力的时间累积效应的问题。

133 动量矩定理对于绕定轴转动的刚体，其动量矩的变化等于作用于刚体上的外力矩的冲量矩。

134 动能定理合外力对物体做功等于物体动能的变化。

动能定理常用于分析物体的能量变化和运动状态的改变。

14 达朗贝尔原理引入惯性力，将动力学问题转化为静力学问题来求解。

15 虚位移原理利用虚功的概念，通过分析系统在虚位移上的功来确定系统的平衡条件。

对理论力学的运动学进行总结，其目的是为大家的理论力学期末考试提供参考。

我们通过依次回答三个问题，从而对运动学进行总结。

问题1：运动学的基本问题是什么？答案：运动学的基本问题是，对于一个机构，当原动件的运动（一般是速度或加速度）已知后，我们希望知道某从动件（或者其上某点）的运动如何？例如：下图所示的结构，已知OA匀速逆时针转动，要求此时CD杆的速度与加速度。

这是典型的运动学问题。

问题2: 如何求解运动学问题？答案：有两种方法。

第一种，使用运动方程的方法。

例如对于上述问题，写出CD上C点的横坐标与时间的关系，此即C点的运动方程，然后连续两次求导数，就可以得到CD上C点的速度和加速度。

由于CD杆在做平移，CD上C点的速度和加速度就等于整根杆件的速度和加速度。

第二种，使用运动链的方法。

（1）根据OA杆的定轴转动，求出OA上A点的运动（速度或加速度）（2）在AB上根据A点的运动，求出B点的运动（AB杆做平面运动，需要根据平面运动刚体上点之间的速度或加速度关系来求取）（3）根据B点的运动推出BE杆的运动（角速度或者角加速度）（4）由于CD杆和BE杆之间是移动副，需要使用合成运动的分析方法，取C(CD)点为动点，而BE为动系，从而基于速度合成定理或者加速度合成定理，推出C(CD)的速度或者加速度。

问题3：上面这两种方法各有什么优缺点，有什么适用范围？答案：第一种方法，求解的关键是首先要写出运动方程，至于后面的求导数以得到速度或加速度是很容易的事情。

那么如何写出运动方程？实际上，就是要写出CD上C点的横坐标与角度BOA 的关系，这是边与角的关系，是纯粹的几何学问题。

能否正确写出这种关系，取决于解题人的几何学水平如何。

如果能够写出该方程，那么后面的求解过程只是一个纯粹的求导问题。

第二种方法，是运动学中的重点。

使用这种方法，思路很清晰，就是从原动件开始，经过运动副，一步一步，直到求出最后的未知数。

这种连续的求解过程，实际上是两种计算形式的反复使用（A）在同一个构件上根据一个点的运动推出另外一个点的运动，或者推出整个刚体的运动；或者根据刚体的运动推出刚体上一个点的运动。