初中数学九年级下册正弦与余弦1

初中数学知识归纳三角函数的正弦与余弦关系正文：三角函数是数学中重要的概念之一，在初中数学学习中也占据着重要的位置。

而三角函数中，正弦函数和余弦函数的关系更是一项基础性的内容。

本文将对初中数学中三角函数的正弦与余弦关系进行归纳总结，帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、正弦与余弦的定义及性质首先，我们需要明确正弦与余弦的定义。

在直角三角形中，对于任意一个锐角θ，我们可以定义其正弦和余弦。

正弦函数sinθ的定义为：在直角三角形中，以θ为锐角的斜边与斜边的对边之比，即sinθ=对边/斜边。

余弦函数cosθ的定义为：在直角三角形中，以θ为锐角的斜边与斜边的邻边之比，即cosθ=邻边/斜边。

正弦与余弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π（或360°）。

即在一个周期内，它们的值会重复出现。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，其图像以坐标原点对称；余弦函数是偶函数，其图像以y轴对称。

3. 范围：正弦函数的值域为[-1, 1]，余弦函数的值域也为[-1, 1]。

二、正弦与余弦的关系正弦与余弦函数之间有着紧密的关联，它们之间的关系可以通过三角恒等式来表示。

三角恒等式即指两个不同的三角函数之间的等式关系。

1. 正弦定理：在任意三角形ABC中，abc分别表示三角形的三边，α、β、γ为三角形的对角，那么有以下关系成立：a/sinα = b/sinβ = c/sinγ该定理表明了三角形的三边与对应角的正弦值之间的关系。

2. 余弦定理：在任意三角形ABC中，abc分别表示三角形的三边，α、β、γ为三角形的对角，那么有以下关系成立：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosγ该定理表明了三角形的三边与对应角的余弦值之间的关系。

正弦定理和余弦定理为我们理解和计算三角形的边长和角度提供了重要的数学工具。

三、应用举例下面我们通过几个具体的例子来应用正弦与余弦关系。

例1：已知在直角三角形ABC中，∠ABC=30°，BC=5cm，求AC 的长度。

正弦定理与余弦定理的使用数学是一门需要掌握基本概念和公式的学科，而在初中数学中，正弦定理和余弦定理是非常重要的两个定理。

它们可以帮助我们解决各种与三角形相关的问题，比如求边长、角度等。

在本文中，我将详细介绍正弦定理和余弦定理的使用方法，希望能够帮助中学生及其家长更好地理解和应用这两个定理。

一、正弦定理的使用正弦定理是指在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。

具体公式如下：\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\]利用正弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知两边和夹角，求第三边长度例如，已知三角形ABC中，边AB=5cm，边AC=7cm，夹角BAC为60度，求边BC的长度。

根据正弦定理，我们可以得到：\[\frac{BC}{\sin 60^\circ}=\frac{5}{\sin B}\]进一步化简，得到：\[BC=\frac{5\sin 60^\circ}{\sin B}\]由此，我们可以利用三角函数表或计算器求得角B的正弦值，然后代入上式计算得到BC的长度。

2. 已知两边长度和夹角，求第三边夹角例如，已知三角形ABC中，边AB=3cm，边BC=4cm，夹角ABC为45度，求角BAC的度数。

根据正弦定理，我们可以得到：\[\frac{3}{\sin B}=\frac{4}{\sin 45^\circ}\]进一步化简，得到：\[\sin B=\frac{3\sin 45^\circ}{4}\]通过求解这个方程，我们可以得到角B的正弦值，然后利用反正弦函数求得角B的度数。

二、余弦定理的使用余弦定理是指在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。

具体公式如下：\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\]利用余弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知三边长度，求夹角的余弦值例如，已知三角形ABC中，边AB=5cm，边BC=7cm，边AC=9cm，求角B 的余弦值。

九年级l下册数学三角函数知识点九年级数学下册，我们将学习一些非常重要的数学知识——三角函数。

三角函数在数学中起着至关重要的作用，它不仅能够帮助我们解决几何问题，还可以应用到物理、工程等领域中。

一、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的两个三角函数。

它们是通过一个直角三角形的两条边的比值来定义的。

在一个直角三角形中，我们可以定义一个角，比如角A，然后用两条边的长度来表示正弦和余弦。

正弦函数（sin）定义为：sinA = 对边/斜边余弦函数（cos）定义为：cosA = 邻边/斜边其中，对边是指直角三角形中与角A相对的边，邻边是指直角三角形中与角A相邻的边，斜边是指直角三角形的斜边。

二、正切函数和余切函数除了正弦函数和余弦函数，我们还有两个非常重要的三角函数——正切函数和余切函数。

正切函数（tan）定义为：tanA = 对边/邻边余切函数（cot）定义为：cotA = 邻边/对边通过正切函数和余切函数，我们可以更好地理解角度和比值之间的关系。

这对于计算机图形学、物理学等领域来说都非常重要。

三、三角函数的性质与应用除了定义和计算，三角函数还有一些非常有用的性质和应用。

1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π。

这意味着在一个周期内，函数的值会重复出现。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

奇函数的性质是：f(-x) = -f(x)，即关于坐标原点对称。

偶函数的性质是：f(-x) = f(x)，即关于y轴对称。

3. 反函数：对于三角函数来说，我们可以定义它们的反函数，即反正弦函数、反余弦函数、反正切函数。

通过反函数，我们可以将角度转化为比值。

4. 应用：三角函数广泛应用于几何、物理和工程中。

比如在测量高楼的高度时，我们可以利用正切函数来解决问题。

在音乐和光学领域中，三角函数也有着重要的应用。

四、三角函数的扩展除了前面介绍的基本三角函数，我们在学习过程中还会遇到其他扩展的三角函数。

初中数学中常见的余弦定理与正弦定理题解题技巧余弦定理和正弦定理是初中数学中经常用到的重要定理，它们在解决三角形相关问题时起着重要的作用。

掌握这两个定理的使用技巧，可以帮助我们更好地解题。

本文将介绍一些常见的余弦定理与正弦定理题解题技巧。

一、余弦定理余弦定理是解决三角形中边长与角度之间关系的定理。

对于一个三角形 ABC，假设边长分别为 a、b、c，对应的内角为 A、B、C，则余弦定理可以表示为：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC在解题过程中，我们可以利用余弦定理求解未知边长或角度大小。

下面以几个实例来说明如何利用余弦定理解题。

例1：已知一个三角形 ABC，边长分别为 AB = 5，BC = 8，AC = 9，求角 A 的大小。

解：根据余弦定理，AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB·BCcosA9^2 = 5^2 + 8^2 - 2·5·8cosA81 = 25 + 64 - 80cosAcosA = (25 + 64 - 81) / (2·5·8) = 0由于 A 是一个内角，所以其范围为 0°~180°。

所以 cosA = 0，意味着 A = 90°。

因此，角 A 的大小为 90°。

二、正弦定理正弦定理是解决三角形中边长与角度之间关系的另一个定理。

对于一个三角形ABC，假设边长分别为a、b、c，对应的内角为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC在解题过程中，我们可以利用正弦定理求解未知边长或角度大小。

下面以几个实例来说明如何利用正弦定理解题。

例2：已知一个三角形 ABC，已知边长分别为 AB = 5，AC = 8，角B 的大小为 30°，求边 BC 的长度。

解：根据正弦定理，BC/sinB = AC/sinCBC/sin30° = 8/sinCBC/(1/2) = 8/(√3/2) （sin30° = 1/2, sinC = √3/2）BC = 8√3/√3 = 8因此，边 BC 的长度为 8。

正弦和余弦【基础知识精讲】1.基本概念Rt △ABC ，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA.把∠A 的邻边和斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA,即，sinA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠.如图6-1，sinA=c a ,cosA=cb.注意：正弦、余弦是一种比值，当∠A 确定时，这个比值是不变的.2.取值范围由于直角三角形中斜边大于直角边，从而有：0＜c a ＜1，0＜cb＜1，所以当∠A 为锐角时，0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1.3.特殊角的正、余弦的数值由直角三角形的有关性质及正、余弦定义，可以推出：sin30°=21,sin45°=22, sin60°=23;cos30°=23,cos45°=22,cos60°=214.互余角的正、余弦函数之间的关系 由图6-1知，sinA=c a ,cosB=ca,从而可得：sinA=cosB.同理可证：cosA=sinB ，又A+B= 90°，∴sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A)(A 为锐角).5.在0°—90°之间正、余弦值的变化情况从正、余弦表中可以看出：当角度在0°—90°是变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的减小(或增大)而增大(或减小). 【重点难点解析】本节的重点是理解正弦函数和余弦函数的概念，熟记特殊三角函数值.难点在于搞清sinA 、ocsA 的意义，它提示了直角三角形边角之间内在联系，是后面解直角三角的基础.例1 如图6-2，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=4. (1)求sinA 、cosA 的值；(2)sin 2A+cos 2A 的值；(3)比较sinA 与cosB 的大小.例2 求下列各式的值(1)sin30°·sin45°+cos30°·cos45° (2)2sin45°+sin30°·cos60°例3 已知sin35°=0.5736,sin67°18′=0.9225,求cos60°cos55°-2cos22°42′的值. 例4 不查表，比较sin46°与cos46°的大小例5 已知Rt △ABC 中∠C=90°，∠B=60°，a+b=6,求a 、b 、c 2 已知sinA=54，求cosA 的值.(∠A 为锐角) 【典型热点考题】例1 计算：(2+1)0-|sin60°-1|-(213+)-1+(-1)3(2000年武汉市中考题)例2 在斜边为10的Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边a 、b 是方程x 2-mx+3m+6=0的两个根.(1)求m 的值；(2)求两个锐角的正弦值.(1997年济南市中考题)例3 已知△ABC 的边AC=2，∠A=45°，cosA 、cosB 是方程4x 2-2(1+2)x+m=0的两根，求∠B 的度数.(1998年呼和浩特市中考题)【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分)一、填空(6分×5=30分)(1)若sinB=21，则∠B= 度；sinA=23，则∠A= 度. (2)当α为锐角时，2)1(sin -α= .(3)2)145(sin -︒+|1-cos60°|= .(4)已知2sin α-3=0，则α= . (5)在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=2，则sinA= ，sinB= ,cosA= .二、选择题(6分×5=30分)(1)已知α为锐角，且sin α=m,则m 的取值范围是( )A.一切实数B.m ＞0C.0＜m ＜1D.m ＞1(2)已知cosA(A 为锐角)是方程3x 2-43x+3=0的实根，则cosA 等于( )A.3B.33C. 3或33D.m ＞1(3)已知锐角∠AOB ，P 是OB 边上任一点，过P 作PQ ⊥OA 于Q ，设OQ=x ，QP=y,OP=r ，则比值yx x y r x r y ,,,的大小与点P 及∠AOB 的关系是( )A.由P 点的位置决定，与∠AOB 的大小无关B.由∠AOB 的大小决定，与点P 位置无关C.由∠AOB 的大小和点P 位置决定D.与∠AOB 的大小和点P 位置无关(4)中△ABC 中，∠C=90°，sinA=53,则cosB=( ) A.53B.54C.2516D.259 (5)已知Q 为锐角，则下列等式中，可能成立的是( ) ①sinQ=3 ②sinQ+cosQ=0③cosQ=a+11(a ＞0) ④sinQ-cosQ=0A.①②B.②③C.③④D.①④ 三、解答题(8分×5=40分)(1)已知三角形三边长分别是5，12，13.①判断此三角形的形状 ②求最小角的正弦和余弦值(2)在Rt △ABC 中，∠C=90°，a:b=4:5，求sinA 、cosA 的值(3)计算2)170(cos +︒-22)60sin 60(cos ︒+︒+|sin20°-1|(4)计算sin45°·cos45°-cos 245°+sin 230°(5)已知sin75°=426+，求︒︒+︒30sin 15cos 75sin 的值.【素质优化训练】1.设cosQ+sin 2Q=1,Q 为锐角，下而的结论正确的是( )A.sinQ+sin 2Q ＞1B.sinQ+sin 2Q=1C.sinQ+sin 2Q ＜1D.sinQ+sin 2Q 与1的大小关系不能确定2.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，且sinA 和cosB 是方程4x 2+px+1=0的两根，(1)求证：p+4=0;(2)求∠A 和∠B 的度数.3.已知17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且A 、B 都是锐角，求2A+B 的值.【生活实际运用】一般向正东方向航行，上午十时在灯塔的西南方58.4海里处，到上午十二时船到达灯塔的正南方，求船航行的速度.参考答案【同步达纲练习】一、(1)30°、60°(2)1-sin α (3)2-2122- (4)60°(5)515,515,510 二、C B B A C 三、(1)Rt △，sinA=135，cosA=1312 (2)设a=4k ，则b=5k,∴c=41k,∴sinA=41414.cosA=41415(3)1-3 (4)41 (5)∵sin75°=cos15°,∴原式=26+【素质优化训练】1．D2．∵A+B=90°∴sinA=cosB, ∴方程4x 2+px+1=0有两个实根，∴△=p 2-16=0，p=±4当p=4时，x=-21,此时sinA ＜0，舍去，当p=-4时，x=21，即sinA=cosB=21 ∴∠A=30°∠B=60°，p+4=0.3．作△ABC 中，使AB=AC=13，过C 作CD ⊥AB 于D.，中CD=17，sinA=13cosB,AD=17cosA,BD=13cosB,且17cosA+13cosB=AB=17,则在△ABC 中，∠A 、∠B 符合题目条件，又∠A+2∠B=180°，∴2A+B=90° 【生活实际运用】AC=AB ·cos45°=58.4×22=29.22，∴速度V=2AC =14.62海里/时。