光学成像系统的频率特性
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光学成像系统的频率特性(最全)word资料
光学成像系统的频率特性(最全)word资料第3章 光学成像系统的频率特性光学成像系统是一种最基本的光信息处理系统，它用于传递二维的光学图像信息。
光波携带输入图像信息（图像的细节、对比等）从光学系统物面传播到像面，输出的图像信息取决于光学系统的传递特性。
由于光学系统是线性系统，而且在一定条件下还是空间不变线性系统，因而可以用线性系统理论来研究它的性能。
对于相干与非相干照明的成像系统可以分别给出其本征函数，把输入信息分解为由本征函数构成的频率分量，考察这些空间频率分量在系统传递过程中，衰减、相移等等变化，研究系统空间频率特性即传递函数。
显然这是一种全面评价光学系统传递光学信息的能力的方法，也是一种评价光学系统成像质量的方法。
与传统的光学系统像质评定方法，如星点法和分辨率法相比，光学传递函数方法能够全面反映光学系统成像能力，有明显的优越性。
鉴于微型计算机以及高精度光电测试技术的发展，光学传递函数的计算和测量方法日趋完善，并已实用化，成为光学成像系统的频譜分析理论的一种重要应用。
同时光学成像系统的频譜分析作为光信息处理技术的理论基础，对于光信息处理技术在信息科学中日益广泛的应用起着极其重要的作用。
透镜是光学系统的最基本的元件，具有成象和光学傅里叶变换的基本功能。
本章将首先讨论透镜的成像和光学傅里叶变换性质，然后讨论光学成像系统的频率特性。
3.1 透镜的位相变换作用在衍射屏后面的自由空间观察夫琅和费衍射，其条件是相当苛刻的。
近距离观察夫琅和费衍射，则要借助会聚透镜来实现。
在单色平面波垂直照射衍射屏的情况下，夫琅和费衍射分布函数就是屏函数的傅里叶变换。
也就是说，透镜可以用来实现透过物体的光场分布的傅里叶变换。
而透镜之所以可以实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用。
首先研究如图3.1所示的无像差的正薄透镜对点光源的成像过程。
取z 轴为光轴，轴上单色点光源S 到透镜顶点1O 的距离为p ，不计透镜的有限孔径所造成的衍射，透镜将物点S 成完善像于S '点。
光学系统截止频率
光学系统截止频率1光学系统截止频率概述光学系统截止频率，顾名思义，是指光通过光学系统时系统能够有效传递的最高频率。
一般而言，光在通过光学系统时，由于系统中的不同元件（例如镜头、滤光片等）会引入不同的频率响应特性，导致系统整体的频率响应也发生改变，因此就存在一个截止频率。
这个截止频率的存在，意味着当光波的频率超过这个值时，系统几乎无法将对应的信息传递出去。
2光学系统截止频率的影响因素理解光学系统截止频率的影响因素是关键，通常包括如下几个方面：2.1系统中的元件特性任何一个光学系统中都包含了不同的光学元件，这些元件对光的频率响应有着各自的影响。
例如，在摄影中，不同的镜头有着不同的阻带和透过率，导致我的频率响应也不同。
因此，系统中不同元件的特性会直接影响系统的截止频率。
2.2光学器件的设计和制造工艺光学器件的设计和制造工艺也会对系统的截止频率产生影响。
例如，在通信领域，光纤的芯径尺寸、折射率、物质吸收等参数都会影响截止频率的大小。
因此，不同的设计和制造工艺会导致系统的截止频率发生变化。
2.3环境因素在光学系统的应用过程中，环境因素也会对系统的截止频率产生影响。
例如，在较高的温度下，光学元件的折射率和吸收性质都会发生变化，导致系统的截止频率产生变化。
因此，在实际应用过程中，需要考虑环境因素对系统截止频率产生的潜在影响。
3光学系统截止频率的应用光学系统截止频率的应用非常广泛。
通常，我们需要根据实际的应用需求来决定系统的截止频率。
例如，在一些数字影像处理领域中，我们需要对高分辨率的图像进行处理，而这就需要系统的截止频率高，才能有效传递这些高频信号。
此外，在某些图像处理和识别领域中，我们需要对光学系统的频率响应进行调整，以便更好地适应不同的应用场景。
另外，光学系统的截止频率还可以通过调整系统的设计和制造工艺来适应不同场景的需求。
例如，在微纳光学和光电子领域中，我们可以通过调整器件尺寸和结构，来实现不同的信号传输和处理效果，从而达到更高的截止频率。
信息光学-----第4章 光学成像系统的频率特性
只要傍轴条件满足，薄透镜就会以上述形式对Ul(x,y)进行相位变换。
§4-1 透镜的相位变换作用: 广义透镜
任何衍射屏，若其复振幅透过率可写为 的形式，都可看成一个焦距为 f 的透镜
exp
jk
x2 y2 2f
屏的复振幅透过率：
t ( x,
y)
t(r)
1 2
1 2
cos(ar
2
)circ
U (x, y) c
t(x0 ,
y0 ) exp
j2p
x
lf
x0
y
lf
y0 dx0dy0
c'
t(x0, y0 )
fx
x lf
,
f
y
y lf
c'T ( fx,
f )y
f
x
x lf
,
f
y
y lf
只要照明光源和观察平面满足共轭关系，衍射场的复振幅分 布是物函数的准确的傅里叶变换。观察面上空间频率与位置
)
从输入平面出射的光场传播到透镜平面P1，为菲涅耳衍射：
U l(x, y)
A0
jld0 0
t(x0 , y0 ) exp[ jk
x02 2( p
y02 ]exp[ d0 )
jk
(x
x0 )2 ( y' y0 )2 2d 0
]dx0 dy0
略去常数相位因子，Σ0为物函数所在的范围
P2 平面（紧靠透镜后）光场复振幅:
略去常数位相因子 透镜的复振幅透过率或相 位变换因子为：
Ul
' ( x,
y)
Aexp(
jkq) exp
j
k 2q
mtf光学系统成像质量评估方法 -回复
mtf光学系统成像质量评估方法-回复MTF（Modulation Transfer Function）光学系统成像质量评估方法是一种广泛应用于光学系统性能评价的方法。
MTF描述了光学系统在不同空间频率上对图像细节的传输特性，通过分析MTF曲线可以评估光学系统的分辨力和成像质量。
在本文中，我们将逐步介绍MTF光学系统成像质量评估方法的基本原理、实验测量方法以及其在光学系统设计和优化中的应用。
一、MTF成像质量评估方法的基本原理MTF是一种用于描述光学系统对图像细节的传输特性的函数，其数学定义为输入图像的复杂振幅频谱与输出图像振幅频谱之比的绝对值。
在频域中，MTF可以表示为系统输出的振幅响应与输入振幅响应之比的幅度。
MTF的数值表示了光学系统对不同空间频率对比度的传输能力，也就是描述了光学系统对不同细节大小的图像细节的传输特性。
通常，MTF曲线的高频段表示系统的分辨力，即系统在传输高频细节时的能力；而低频段表示系统的图像对比度传输能力，即系统在传输低频细节时的能力。
二、MTF成像质量评估方法的实验测量方法为了评估光学系统的成像质量，我们可以通过以下步骤进行MTF测量：1. 准备测试样品：选择一系列具有不同空间频率的测试图像作为输入样品，这些图像可以包含线条、圆圈、方格等具有不同细节大小的特征。
2. 实验装置搭建：搭建用于测量MTF的实验装置，包括一个光源、光学系统和一个用于接收光学系统输出图像的传感器（如CCD或CMOS器件）。
3. 测量过程：将测试样品置于光源和传感器之间，并通过光学系统进行成像。
根据实验装置的要求，可以调整光源的强度和光学系统的参数（如焦距、孔径等）来控制实验条件。
4. 数据处理与分析：利用图像处理软件分析输出图像的频域信息，计算每个空间频率下的系统传输函数。
根据传输函数，计算相应的MTF曲线。
5. 统计与比较：通过比较不同光学系统的MTF曲线，我们可以评估光学系统的成像质量。
通常，MTF曲线越高且越接近理论上界，表示光学系统的成像质量越好。
mtfsfr概念
若把光学系统看成是线性不变的系统，那么物体经过光学系统成像，可视为物体经光学系统传递后，其传递效果是频率不变，但其对比度下降，相位要发生推移，并在某一频率处截止，即对比度为零。
这种对比度的降低和相位推移是随频率不同而不同，其函数关系称为光学传递函数，表明各种频率传递情况的即是调制传递函数MTF。
SFR是空间频率，即1mm的宽度中所能分辨的线对数，单位是lp/mm。
每一个空间频率下对应一个MTF值，MTF介于0-1之间。
SFR（SpatialFrequency Response），是指成像装置对应于空间频率的振幅响应特性。
下面是更为详细的解释：MTF常用于光学系统，而SFR指成像系统，成像系统包含一个光学系统。
实际应用的差异：1、光学系统MTF的测量方向分为子午和弧矢方向，SFR测量成像的水平和垂直方向；2、MTF常用方波法，即一组黑白线对的对比度值来获取MTF特性；而SFR是通过边缘扩散函数ESF 计算传递特性（iso12233）3、MTF测量值为1-0区间（光学系统看成是线性），成像系统由于转换和信号处理，SFR测量结果最大值会超过1，并且易受噪声干扰影响准确性。
4、MTF图表较为多样，要注意横轴和纵轴的标示，常见的有特定空间频率的调制度y-像高x的特性图; SFR一般为调制度y-空间频率x特性图。
MTF，Modulation Transfer Functionmodulus of the optical transfer functionSFR，Spatial Frequency Responsemeasured amplitude response of an imaging system as a function ofrelative input spatial frequencyibm8727490 Post at 2008-8-7 17:13:08空间周期的倒数就是空间频率(SpatialFrequency)，单位是线对/毫米(lp/mm，linepairs/mm)。
各像素的mtf频率
各像素的MTF频率在现代摄影和图像处理领域，调制传递函数（Modulation Transfer Function，简称MTF）是一个用于描述光学系统性能的重要参数。
MTF 频率，作为其核心指标，反映了光学系统在不同空间频率下传递图像信息的能力。
本文将深入探讨各像素的MTF频率及其相关概念，旨在帮助读者更好地理解这一关键技术。
一、MTF频率概述MTF频率，即调制传递函数的频率特性，描述了光学系统（如镜头、相机传感器等）对不同空间频率的图像信号的传递能力。
简单来说，空间频率是指图像中细节变化的快慢程度，单位通常为线对/毫米（lp/mm）。
MTF频率越高，意味着光学系统能够传递的图像细节越丰富。
二、像素与MTF频率的关系在数字成像系统中，图像由无数个像素点组成。
每个像素点都有其对应的MTF频率特性。
像素的尺寸和排列方式直接影响到系统的MTF 频率响应。
一般来说，像素尺寸越小，系统的空间分辨率越高，能够捕捉到的图像细节也就越多。
同时，像素的排列方式（如拜耳阵列）也会影响到系统的色彩还原和细节表现。
三、MTF频率的测量与评估MTF频率的测量通常通过实验方法进行。
在实验室环境下，使用标准测试图表（如斜边图、星芒图等）对光学系统进行拍摄，然后通过分析拍摄结果中图像信号的传递情况来计算MTF频率。
评估MTF频率时，主要关注其在不同空间频率下的数值表现。
一般来说，MTF频率曲线越接近1（即完美传递），说明光学系统的性能越好。
四、影响MTF频率的因素实际应用中，多种因素会影响到光学系统的MTF频率表现。
首先是光学元件（如镜头）的设计制造精度。
高精度的光学元件能够减少像差，提高MTF频率。
其次是传感器技术。
先进的传感器技术能够提供更小的像素尺寸和更高的信噪比，从而改善MTF频率表现。
此外，环境因素（如光照条件、抖动等）也会对MTF频率产生一定影响。
五、MTF频率在摄影中的应用了解并掌握MTF频率对于摄影师和图像处理专家具有重要意义。
光学成像系统的频率特性
1 U x, y 2 qd0
0 p
k t x0 , y0 exp j x y dx0 dy0 dx ' dy ' 2
式中
由于我们需要的是输入面和观察面的关系， 所以先对x’，y’积分。 k U p exp j x y dx ' dy '
通过透镜后的场分布为：
2 2 x ' y ' ' U l x ', y ' U l x ', y ' P x ', y ' exp jk 2 f
其中P为光瞳函数 观察面上及光源的共轭面上的场分布为：
x x ' 2 y y ' 2 x '2 y '2 U l x, y U l x ', y ' exp jk exp jk dx ' dy ' j q 2f 2q p 1
当一单位振幅平面波垂直照明p1时
U1 ( x, y) 1
k 2 2 U 1 ( x, y) U1 ( x, y )t ( x, y) exp[ j ( x y )] 2f
'
P2平面的复振幅分布则为：
f>0时，上式为一会聚球面波，表明平面波
经过正透镜后会聚于像方焦点。
f<0时，上式为一 发散球面波，表明平面波
x0 2 y0 2 A0 exp jk 2 p d0
在输入面上的光场为
2 2 x0 y0 A0t x0 , y0 exp jk 2 p d0
光学成像系统的频率特性(1)
fy
sin
yf
f
f
f
所以 能在透镜的后焦面上得到物体的频谱分布。
35
3.1 透镜的傅里叶变换性质
透镜的渐晕效应
0 l L f0 2d 0
36
3.1 透镜的傅里叶变换性质
37
3.1 透镜的傅里叶变换性质
fM
M lL 2d 0
1, 透镜孔径内 P x, y 0， 其它
k 2 2 tl x, y exp j x y 2f
Px, y
12
3.1.2 透镜的傅里叶变换性质
一定方向的平面波经过凸透镜后能够会 聚于焦点，说明该点与该平面波两者之 间的振幅和位相密切相关，且该点的位 置与平面波的传播方向对应，因而透镜 后焦面上的复振幅分布与入射波前的角 谱存在确定的关系。 透镜的傅里叶变换性质的根源是它对入 射波前的位相调制能力。 本节的讨论分为三种情形。 所有讨论在衍射理论的基础上展开。
23
3.1 透镜的傅里叶变换性质
透镜后焦面上的光场分布正比于物体的傅立叶 变换； 后焦面上的位相分布于物体频谱的位相分布并 不相同； 透镜后焦面上的强度分布为：
I f xf , yf
A f
xf yf T f , f
39
总结
用光学方法实现傅里叶变换，对物体做 频谱分析，较之计算机处理速度快，信 息容量大，装置简单。 物体越小，频谱越展宽，衍射图样的尺 寸就越大，因而光学频谱分析可以用来 对微小物体做尺寸分析。 光学频谱分析同样可以用来做图像分析。
《信息光学》教学大纲
《信息光学》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程简介信息光学是应用光学、计算机和信息科学相结合而发展起来的一门新的光学学科，是信息科学的一个重要组成部分，也是现代光学的核心。
本课程主要介绍信息光学的基础理论及相关的应用，内容涉及二维傅里叶分析、标量衍射理论、光学成像系统的频率特性、部分相干理论、光学全息照相、空间滤波、相干光学处理、非相干光学处理、信息光学在计量学和光通信中的应用等。
三、课程目标本课程是光电信息科学与工程专业的主要专业课程之一，设置本课程的目的是让学生掌握信息光学的基本概念、基础理论及光信息处理的基本方法，了解光信息处理的发展近况和运用前景。
为今后从事光信息方面的生产，科研和教学工作打下基础。
四、教学内容及要求第一章信息光学概述（2学时）1.信息光学的基本内容和发展方向2.光波的数学描述和基本概念3.相干光和非相干光4.从信息论看光波的衍射要求：1.了解信息光学的内容和发展方向2.掌握相干光和非相干光的特点3.掌握从信息论的观点看光波的衍射。
重点：空间频率，等相位面。
从信息光学看衍射的基本观点。
难点：空间频率，光波的数学描述。
第二章二维傅里叶分析（8+2学时）1．光学常用的几种非初等函数2．卷积与相关3．傅里叶变换的基本概念4．线性系统分析5．二维采样定理要求：1．了解光学中常用非初等函数的定义、性质，熟悉它们的图像及在光学中的作用2．了解卷积与相关的定义及基本性质3．熟悉傅里叶变换的基本原理，性质和几何意义4．熟悉系统的基本概念及线性系统分析的基本理论5．了解二维采样定理及其应用6．本章强调概念的物理意义理解，以定性和应用为主。
避免与《信号与系统》课程重复。
重点：δ函数的意义和运算特性，傅里叶变换性质、定理，相关和卷积的意义及运算，线性空间不变系统的特性。
难点：卷积，傅里叶变换、系统分析。
第三章标量衍射理论（6+2学时）1．基尔霍夫衍射理论2．菲涅耳衍射和夫琅和费衍射3．夫琅和费衍射计算实例4．菲涅尔衍射计算实例5．衍射的巴俾涅原理要求：1．了解基尔霍夫衍射理论2．熟悉菲涅耳- 基尔霍夫衍射公式及其物理意义3．熟悉菲涅耳衍射与夫琅和费衍射4．掌握常见夫琅和费衍射光场的分析与计算5．了解菲涅耳衍射光场的分析和计算6．了解巴俾涅原理及其应用重点：如何用二维傅里叶变换来分析和计算夫琅和费衍射。
07光学系统成像质量评价
07光学系统成像质量评价光学系统成像质量评价是指对光学系统的成像效果进行客观评估和定量描述。
光学系统成像质量是指光学系统对物体的成像能力，即像质的好坏。
好的光学系统成像质量表现为高分辨率、高对比度、低像差等特点。
成像质量评价主要包括分辨力评价、像差评价和对比度评价等。
分辨力是评价光学系统成像质量的重要指标之一、它是指能够分辨清晰的最小细节的能力。
分辨力的大小与光学系统的光学特性、入射光的波长、传感器的像素大小等有关。
常用的分辨力评价方法有MTF （Modulation Transfer Function）方法和空间频率方法。
MTF是光学系统传递像差的度量，通过测量光系统对一定空间频率的输入信号的传输量来表示光学系统对物体微细特征的分辨能力。
空间频率方法则是通过分析物体不同空间频率成分的能量来评价分辨能力。
像差评价是针对光学系统中各种像差对成像质量的影响进行评价。
光学系统中常见的像差包括球差、散光、像散、畸变等。
球差是由于球面透镜成像能力不完全而产生的像差，它导致透镜焦距与入射光位置有关。
散光是由于透镜折射率随距离而变化引起的像差，散光会导致成像点模糊。
像散是在光学系统中，不同波长的光会聚焦在不同位置形成不同的像点，从而导致色差。
畸变则是指光学系统成像时物体真实尺寸与其等效尺寸之间的变化。
像差评价的方法很多，包括通过测试物体进行目测、使用CCD 相机进行像差测量等。
对比度评价是用来描述光学系统成像能力的指标之一、对比度是指在光学系统中被成像物体的亮度差异。
对比度的好坏会直接影响到物体的细节清晰度和图像的视觉效果。
对比度评价的方法多样，可以通过测量物体亮度的标准差、计算图像的峰值信噪比等方法来评价对比度。
总之，光学系统成像质量评价可以通过分辨力评价、像差评价和对比度评价等方法来进行。
这些方法可以客观地评估光学系统成像质量的好坏，为光学系统设计和优化提供依据。
光学成像系统的频率特性(精)
正薄透镜的成像
• 物面上 ( x0 , y0 ) 点的单位脉冲在透镜前表面上的光场分布为 （近轴光线）
Ul 1 jk jk x y exp[ .( x0 2 y0 2 )].exp[ .( x 2 y 2 )].exp[ jk ( x0 y0 )] j d 0 2d0 2d0 d0 d0
3.2 透镜的傅里叶变换性质
物在透镜后
1 jk U ( x, y ) exp[ jk (q d 0 )]exp[ ( x 2 y 2 )] j (q d 0 ) 2(q d 0 ) 1 t ( x0 , y0 ).exp[ jk ( xx0 yy0 )]dx0 dy0 (q d 0 ) jk C exp[ ( x 2 y 2 )].F{t ( x0 , y0 )} 2(q d 0 ) f x x / (q d 0 ), f y y / (q d 0 )
x f
fx q f d0 fd0 x f
准 傅 里 叶 变 换
d0处
2 q f d0
k 2f
k 2q
k f d0
x fd
0
2
y2
紧靠透镜
p
后焦面
q pf p f
x
x
2
y2
y
2
d0 =0
物在透镜前
f d0 jk U ( x, y ) C exp[ . ( x 2 y 2 )]. 2 q( f d 0 ) fd 0 f t ( x0 , y0 ).exp[ jk ( xx0 yy0 )]dx0 dy0 q( f d 0 ) fd 0 f d0 jk =C exp[ . ( x 2 y 2 )] F{t ( x0 , y0 )} 2 q( f d 0 ) fd 0 f x f y fx , fy [q( f d 0 ) fd 0 ] [q( f d 0 ) fd 0 ]
第三章 光学成像系统的频率特性
H(u, v)
v c
c
沿x和y或u和v方向上的截止频率
均为：
c
l
2 d i
系统的最大截止频率在450方向上，
u 为：
c max
2l
2 d i
中国石油大学（华东）
信息光学及应用
3.6.1 非相干成像系统的光学传递函数
Ii ( xi , yi )
I g ( xo , yo )hI ( xi xo , yi yo )d xod yo
x
div
• S(u,v)
diu P(x+diu, y+div)
中国石油大学（华东）
信息光学及应用 3) OTF是光瞳重叠面积的归一化，即：
S(u, v) H (u, v)
S0 重叠面积取决于两个错开的光瞳的相对位置， 即：与频率(u,v)有关。
中国石油大学（华东）
信息光学及应用
4） 存在截止频率。当(u,v)足够大，两光瞳完全错开，重叠面 积为零，此时H(u,v)=0。即在截止频率以外的信息成分，其 OTF为0，不能通过系统到达像面。
所以，非相干照明时的截止频率，2c
l
di
H (u, v)
H(u, v)
v
v
2c
2c
u
c u
c
中国石油大学（华东）
信息光学及应用
例3.4.2：衍射受限系统的出瞳是直径为D的圆孔，求此系统的 光学传递函数OTF。
解：由于是圆形光瞳，OTF应该是圆对称的。只要沿u轴计算
H(u,v)即可。如图所示是在x轴方向移动diu后交叠面积的情
jk
xi di
x0 d0
x
yi di
y0 d0
第三章 光学成像系统的频率特性
Ho ( ,) HI ( ,) / HI (0,0)
hI xi , yi
hI (xi , yi )dxidyi
h~(xi , yi ) 2 h~(xi , yi ) 2 dxidyi
自相关定理
H c (, )H c ( , )dd
帕色伐定理
H c (, ) 2 dd这一结论对有
l l
Ho (
fx,
fy)
s(
fx, s0
fy)
2
fx fcut
2
fx fcut
fcut:
相干截止频率
OTF的截止频率是CTF的两倍
§ 3.4 衍射受限系统的非相干传递函数
3 、衍射受限的OTF
例2: 出瞳是直径为D的圆形孔径
沿fx轴计co算s: =difx/D
Ho (
fx,
fy)
s(
fx, s0
Ho ( fx , f y )
P(x, y)dxdy
对于光瞳函数只有1和0两个值的情况，分母中的P2可以写成P。
上式表明衍射受限系统的OTF是光瞳函数的自相关归一化函数。
衍射受限的OTF:
Px,
yP x di fx , y di
Px, ydxdy
fy
dxdy
衍射受限的相干成像系统
物通过衍射受限系统后的像的复振幅分布是___理__想__像___和
_点__扩__散__函__数_的卷积
H c ( f x , f y ) P(di f x , di f y )
相干照明下衍射受限成像系统的脉冲响应为光__瞳__函__数__的__傅__里__叶变换
相干传递函数记作__C_T__F_, 在反射坐标系下它就等于_光__瞳__函__数__
第5章-光学成像系统的频率特性讲解学习
1、透镜的成像性质
则利用卷积定理有
U ixi,yiM 1U 0 M xi ,M yi h % xi,yi
M 1U 0 M x % 0, M y % 0 h % x i x % 0 ,y i y % 0d x % 0 d y % 0
根据光波传播的线性性质，Ui可由下述叠加积分表示
1、透镜的成像性质
✓ 本节只讨论最简单的情况：单色光照明下，一个薄的无像差的正透 镜对透射物体成实像。
分析思路： 按照光波的传播方向，逐面确定光场分布，从而确定出系统的 输入—输出关系，即
U 0 x 0 , y 0 U l, U l , U i x i , y i
1、透镜的成像性质
输出光场为
U ix i,y i U gx i,y i* h % x i,y i
像的光场分布是几何光学理想像和系统脉冲响应的卷积。
*** 因此整个成像过程可描述为下图：前一过程实现图像的缩放，后一 过程实现卷积运算，会损失信息。
(产生放大或缩小的几何像）
1、透镜的成像性质
（1）上述卷积关系表明，由透镜构成的成 像系统可看作是线性空间不变系统，其输入 物和输出像之间的关系由卷积积分确定。
尺寸经过缩放。
1、透镜的成像性质
实际上，必须考虑透镜有限孔径产生的衍射效应，此时
h % x i x % 0 ,y i y % 0 P ,e x p j2 d i x i x % 0 y i y % 0 d d
显然，脉冲响应就等于透镜孔径的夫琅和菲衍射图样，其中心位于理想像点 x%0 , y%0
Step 1：
利用菲涅耳衍射公式，可得
U l,j1 d0expjkd0exp j2k d0
22
U 0x0,y0exp j2k d0 x0 2y0 2 exp j2d 0x0y0 dx0dy0
第三章 光学成像系统的频率特性
第三章 光学成像系统的频率特性 习题[3.1]/ 一个衍射屏具有下述圆对称的振幅透过函数： ()()211c o s c i r c 2r t r r l α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭式中，22y x r +=，l 为圆形衍射屏的半径。
问：（1） 这个屏的作用在什么方面像一个透镜？（2） 给出此屏的焦距的表达式。
（3） 若用它做成像元件，有什么缺点？解： (1) 此衍射屏的复振幅如附图3.1所示，也可把它表示为如下的直角坐标形式：()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++-l y x e e y x t y x i y x i 22circ 414121,2222αα 式中，中括号内的第一项仅仅是使直接投射光的振幅衰减，其他两个指数项与透镜相位变换因子()222y x fk ie+-比较，形式相同。
当用平面波垂直照射时，这两项的作用是分别产生会聚球面波和发散球面波。
因此在成像性质和傅里叶变换性质上该衍射屏都类似于透镜。
因子⎪⎪⎭⎫⎝⎛+l y x 22circ 表明，该屏具有半径为l 的圆形孔径。
(2) 把衍射屏复振幅透过率中的复指数项与透镜的位相变换因子221()2k ix y f e-+作比较，便得相应的焦距，即对于()2241y x i e +-α项，令12f k=α，则有021>==λαπαk f ，相当于会聚透镜。
对于()2241y x i e +α项，令12f k-=α，则有021<-=-=λαπαk f ，相当于发散透镜。
对于21这一项，平行光直接透过，仅振幅衰减，可视为∞=3f 。
(3) 由于该衍射屏具有三重焦距，当用作成像装置时，便可对同一物体形成三个像。
例如对无穷远的点光源，将分别在屏的两侧对称位置形成实像和虚像，而另一个像在无穷远（直接透射光）。
当观察者观察其中一个像时，会同时看到另外的离焦像，无法分离开。
若用接收屏来接收，则在任何一个像面上都会有离焦像形成的背景干扰。
zemaxotf曲线截止频率
一、概念解释概念概述zemaxotf曲线截止频率指的是光学系统中OTF（Optical Transfer Function）的一个重要特性，它反映了系统的分辨能力和成像质量。
在zemax光学设计软件中，用于显示系统的MTF（Modulation Transfer Function）曲线，可以直观地看出系统的截止频率，通过分析截止频率可以进行系统设计的优化和性能的合理评估。
MTF和OTF的关系MTF描述了光学系统对不同空间频率的调制信号的传递特性，它是频率域的概念。
而OTF描述了系统对物体空间频率的传递特性，在频域上是MTF的傅里叶变换。
zemaxotf曲线截止频率可以直接从MTF 曲线中得到。
二、截止频率的理论意义1. 分辨能力虽然在理论上，zemax光学系统可以无限制地传递空间频率，但实际上，由于光学系统的制造和其他因素的限制，光学系统对高空间频率的信息会发生严重损失，从而导致图像的分辨能力下降。
截止频率即为在空间频率到达一定值时，系统对这一频率的传递函数下降到零的频率点。
2. 成像质量截止频率也反映了光学系统成像质量的上限，超出截止频率的空间频率将无法被系统正确传递，从而影响成像的清晰度和细节。
3. 设计与评估通过分析zemaxotf曲线截止频率，光学工程师可以根据系统的应用需求，进行系统设计的优化，包括参数的调整和镜片的优化；同时也可以通过对截止频率的评估，对光学系统的成像性能进行合理的分析和预测。
三、截止频率的影响因素1. 光学系统的结构光学系统的结构对截止频率有较大影响，包括镜头的类型、组合方式、镜片的材料等都会影响系统的光学传递函数。
2. 光学系统的制造工艺制造工艺对光学元件表面的精度和光学涂层的质量等都会影响系统对高频传递的性能。
3. 光学系统的环境因素温度、湿度等环境因素也会对光学系统的截止频率产生一定的影响。
四、截止频率的优化方法1. 系统设计在光学系统的设计过程中，可以对系统的构成元件进行合理的选择和配置，通过优化的设计，提高系统的截止频率。
光学表面空间频率的概念
光学表面空间频率的概念光学表面空间频率是描述光学表面形貌的一个重要参数。
在光学领域中，光学表面的形貌和光学性能之间存在着密切的关系，表面形貌的变化会影响到光学系统的成像质量。
光学表面空间频率是用来描述表面形貌的一个尺度，它反映了表面形貌变化的频率特性。
在介绍光学表面空间频率之前，我们先了解一下空间频率的概念。
空间频率是用来描述信号变化的频率特性的，它表示单位空间内变化了多少个周期。
在光学领域中，我们常用的是线性空间频率，用来描述表面形貌的周期性变化。
光学表面空间频率是用来描述光学表面形貌的周期性变化的一个参数。
它通常以单位距离内的周期数来表示，单位一般是赫兹（Hz）或周期每毫米（周期/mm）。
光学表面空间频率可分为低空间频率和高空间频率两部分。
低空间频率一般指表面形貌的微弱变化，其周期较长，变化较为缓慢；高空间频率则指表面形貌的快速变化，其周期较短，变化较为剧烈。
在光学系统中，低空间频率决定了系统的低频传递特性，即低频部分的信号是否能够通过系统传递，影响了系统的分辨率和成像质量；而高空间频率则决定了系统的高频传递特性，即高频部分的信号是否能够通过系统传递，影响了系统的细节还原能力。
对于光学表面形貌的测量和评价来说，光学表面空间频率也起到了重要的作用。
通过测量光学表面的空间频率分布，可以了解表面形貌的变化情况，进而评估表面的质量和性能。
常用的光学表面测量技术中，例如激光干涉仪、扫描电子显微镜等，都可以通过测量表面的空间频率分布来获得表面形貌的信息。
光学表面空间频率的具体计算方法和表示方式有多种，其中常用的有傅里叶变换法、功率谱法等。
傅里叶变换法是将表面形貌信号进行傅里叶变换，得到其频谱分布，并从中提取出空间频率的信息。
功率谱法则是将表面形貌信号进行功率谱分析，得到频率与功率之间的关系，从中获得表面形貌的空间频率分布。
在实际应用中，光学表面空间频率的选择和控制非常重要。
对于光学元件的制造和加工而言，低空间频率的表面形貌变化可能会导致光学系统的像差等问题，需要通过精细的加工和调控来解决；而对于某些光学元件而言，高空间频率的表面形貌变化可能会导致散射、反射等问题，需要通过研磨、抛光等方法来控制。
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第3章 光学成像系统的频率特性光学成像系统是一种最基本的光信息处理系统，它用于传递二维的光学图像信息。
光波携带输入图像信息（图像的细节、对比等）从光学系统物面传播到像面，输出的图像信息取决于光学系统的传递特性。
由于光学系统是线性系统，而且在一定条件下还是空间不变线性系统，因而可以用线性系统理论来研究它的性能。
对于相干与非相干照明的成像系统可以分别给出其本征函数，把输入信息分解为由本征函数构成的频率分量，考察这些空间频率分量在系统传递过程中，衰减、相移等等变化，研究系统空间频率特性即传递函数。
显然这是一种全面评价光学系统传递光学信息的能力的方法，也是一种评价光学系统成像质量的方法。
与传统的光学系统像质评定方法，如星点法和分辨率法相比，光学传递函数方法能够全面反映光学系统成像能力，有明显的优越性。
鉴于微型计算机以及高精度光电测试技术的发展，光学传递函数的计算和测量方法日趋完善，并已实用化，成为光学成像系统的频譜分析理论的一种重要应用。
同时光学成像系统的频譜分析作为光信息处理技术的理论基础，对于光信息处理技术在信息科学中日益广泛的应用起着极其重要的作用。
透镜是光学系统的最基本的元件，具有成象和光学傅里叶变换的基本功能。
本章将首先讨论透镜的成像和光学傅里叶变换性质，然后讨论光学成像系统的频率特性。
3.1 透镜的位相变换作用在衍射屏后面的自由空间观察夫琅和费衍射，其条件是相当苛刻的。
近距离观察夫琅和费衍射，则要借助会聚透镜来实现。
在单色平面波垂直照射衍射屏的情况下，夫琅和费衍射分布函数就是屏函数的傅里叶变换。
也就是说，透镜可以用来实现透过物体的光场分布的傅里叶变换。
而透镜之所以可以实现傅里叶变换的原因是它具有位相变换的作用。
首先研究如图3.1所示的无像差的正薄透镜对点光源的成像过程。
取z 轴为光轴，轴上单色点光源S 到透镜顶点1O 的距离为p ，不计透镜的有限孔径所造成的衍射，透镜将物点S 成完善像于S '点。
S '点到透镜顶点2O 的距离为q 。
过透境两顶点1O 和2O ，分别垂直于光轴作两参考平面1P 和2P 。
由于考虑的是薄透镜，光线通过透镜时入射和出射的高度相同。
从几何光学的观点看，图3.1所示的成像过程是点物成点像；从波面变换的观点看，透镜将一个发散球面波变换成一个会聚球面波。
图3.1 透镜的位相变换作用为了研究透镜对入射波面的变换作用，引入透镜的复振幅透过率),(y x t ，它定义为),(),(),(11y x U y x U y x t '=（3.1）式中，),(y x U 1和),(y x U 1'分别是1P 和2P 平面上的光场复振幅分布。
在傍轴近似下，位于S 点的单色点光源发出的发散球面波在1P 平面上造成的光场分布为)](2ex p[)ex p(),(221y x pkjjkp A y x U += （3.2）式中，A 为常数，表明在傍轴近似下，平面1P 上的振幅分布是均匀的，发生变化的只是相位。
此球面波经透镜变换后向S '点会聚，忽略透镜的吸收，它在2P 平面上造成的复振幅分布为()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2--=221y x q k j exp jkq exp A y x U ,'（3.3）在（3.2）和（3.3）中的相位因子)exp(jkp 和()jkp exp -仅表示常数相位变化，它们并不影响1P 和2P 平面上相位的相对分布，分析时可略去。
把公式（3.2）和（3.3）代入（3.1）式，得到透镜的复振幅透过率或相位变换因子为)]11)((2ex p[),(),(),(2211qp y x k j y x U y x U y x t ++-='=由透镜成像的高斯公式可知fp q 111=+ （3.4）式中，f 为透镜的像方焦距。
于是透镜的相位变换因子可简单地表为)](2ex p[),(22y x fkjy x t +-= （3.5）以上结果表明，通过透镜的位相变换作用。
把一个发散球面波变换成了会聚球面波。
当一个单位振幅的平面波垂直于1P 面入射时，它在1P 面上造成的复振幅分布1=1),(y x U ，在2P 平面上造成的复振幅分布)](2ex p[),(),(),('2211y x fkjy x t y x U y x U +-== 在傍轴近似下，这是一个球面波的表达式。
对于正透镜0>f ,上式所表示的是一个向透镜后方f 处的焦点F '会聚的球面波。
对于负透镜0<f ，这是一个由透镜前方f -处的虚焦点F '发出的发散球面波。
如果考虑透镜孔径的有限大小，用()y x P ,表示孔径函数（或称光瞳函数），其定义为⎩⎨⎧=其他透镜孔径内,0,1),(y x P （3.6）于是透镜的相位变换因子可写做)](2ex p[),(),(22y x fkjy x P y x t +-= （3.7）透镜对光波的相位变换作用，是由透镜本身的性质决定的，与入射光波复振幅),(y x U 1的具体形式无关。
),(y x U 1可以是平面波的复振幅，也可以是球面波的复振幅，还可以是某种特定分布的复振幅，只要傍轴条件满足，薄透镜就会以（3.5）或(3.7)的形式对),(y x U 1进行相位变换。
3.2 透镜的傅里叶变换性质透镜除了具有成像性质外，还能作傅里叶变换，正因如此，傅里叶分析方法在光学中得到广泛而成功的应用。
前面已经说明，单位振幅平面波垂直照明衍射屏的夫琅和费衍射，恰好是衍射屏透过率函数),(y x t 的傅里叶变换（除一相位因子外）。
另外，在会聚光照明下的菲涅耳衍射，通过会聚中心的观察屏上的菲涅耳衍射场分布，也是衍射屏透过率函数),(y x t 的傅里叶变换（除一相位因子外）。
这两种途径的傅里叶变换都能用透镜比较方便地实现。
第一种情况可在透镜的后焦面（无穷远照明光源的共轭面）上观察夫琅和费衍射；第二种情况可在照明光源的共轭面上观察屏函数的夫琅和费衍射图样。
下面分别就透明片（物）放在透镜之前和之后两种情况进行讨论。
3.2.1物在透镜之前如图3.2所示，要变换的透明片置于透镜前方0d 处，其复振幅透过率为),(00y x t ，这个位置称为输入面。
由于是薄透镜，这里把1P 和2P 平面画在一起了，位于光轴上的单色点光源S 与透镜的距离为p 。
点光源的共轭像面),(y x 与透镜的距离为q ，它是输出面。
按信息光学中的习惯，不使用应用光学中的符号规则，这里的p ，q 和0d 均用正值，并假设薄透镜孔径不受限制，即抽象认为孔径是无穷大。
图3.2 物在透镜之前的变换在傍轴近似下，由单色点光源发出的球面波在物的前表面上造成的场分布为])(2exp[020200d p y x jk A -+透过物体，从输入面上出射的光场为])(2exp[),(02020000d p y x jk y x t A -+从输入平面出射的光场到达透镜平面，按菲涅耳衍射公式（2.52），其复振辐分布为0002020********]2)'()(ex p[])(2ex p[),(),(0dy dx d y y x x jk d p y x jk y x t d j A y x U ⎰⎰∑-+-'-+=''λ这里略去了常数相位因子，Σ0为物函数所在的范围。
通过透镜后的场分布为)2exp(),(),(),(22fy x jk y x P y x U y x U '+'-''''='''式中()y x P '',为（3.6）式所定义的光瞳函数。
这样一来在输出面上，即光源S 的共轭面上的光场分布为y d x d qy y x x jk f y x jk y x U qj y x U p''∑2'-+'-2'+'-''1=⎰⎰2222])()(ex p[)ex p(),(),( λ式中pΣ为光瞳函数所确定的范围。
现将),(y x U '' 的表达式代入上式得⎰⎰⎰⎰∑''+2∑-=00000200py d x d dy dx kj y x t qd A y x U y x )]ΔΔ(ex p[),(),(λ（3.8）式中qx x f x d x x d p x x 22020020)()('-+'--'+-=∆qx x d x x q x f q d x d d p x '-'-+-+'++-=22)111()11(002020020qx x d x x q x fq d fd d f q x fd d f q d fqx '-'-++-'++-=22])([])([002000200020 +⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-++-'-+-=20000000000])([)(])([fd d f q q fd x fq d fd d f q x fd d f q d fq x000020)(2)()(fd d f q xfx fd d f q x d f +--+--+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-++-'-+-=∆20000000000])([)(])([fd d f q q fd y fq d fd d f q y fd d f q d fq y y000020)(2)()(fd d f q yfy fd d f q y d f +--+-- 在上面的化简中，应用了物像共轭关系的高斯公式f q p 1=1+1。
公式（3.8）要分别对物平面和光瞳平面积分。
我们首先完成对光瞳平面的积分：⎰⎰∑''∆+∆=py d x d kj U y x p )](2exp[由于不考虑透镜有限孔径的影响，对pΣ积分可扩展到无穷。
做变量代换，令00)(fd d f q +-=α )(000x q fd x fq d x d fq x ααα+'-=-)(000y q fd y fqd y d fq y ααα+'-=- y d fqd y d x d fqd x d '-='-=00,αα于是p U 的积分简化成⎰⎰∞∞-+⨯+-+-=yd x d y x k j y y x x f jk y x d f jk fqd U p )](2exp[)](exp[)](2)(exp[22002200ααα利用积分公式⎰∞∞--=adx e axπ2可将p U 积出)](exp[)](2exp[002200y y x x fjk y x d f jkfqd j U p +-+-=αααλ 将以上结果代入（3.8）式得⎰⎰∞∞-+-+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+-'=0000000000220])()(exp[),(])([2))((exp ),(dy dx fd d f q y y x x f jk y x t fd d f q y x d f jk c y x U （3.9） 这就是输入平面位于透镜前，计算光源共轭面上场分布的一般公式。