平面直角坐标系中的基本公式2．1.1数轴上的基本公式[新知初探]1．数轴(或直线坐标系)(1)数轴(直线坐标系)的定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．(2)数轴上的点P与实数x的对应法则依据这个法则，实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系．(3)数轴上点P的坐标如果点P与实数x 对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)．2．数轴上的向量及有关概念(1)向量的定义如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．(2)向量的描述的向量，记作AB叫做向量AB的起点，点AB的长叫做向量AB|AB| 3．数轴上的基本公式AC叫做位移AB BCAC AB＋BC1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数轴上的向量的坐标一定是一个实数( )(2)向量的坐标等于向量的长度( )(3)向量AB与向量BA的长度是一样的( )(4)如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．下列各组点中A点位于B点右侧的是( )A．A(－3)和B(－4) B．A(3)和B(4)C．A(－3)和B(4) D．A(－4)和B(－3)答案：A3．点A，B是数轴上两点，B点的坐标x B＝－6，且BA＝－4，那么点A的坐标为( ) A．－10 B．－2C．－10或－2 D．10答案：A[典例](1)若点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x的取值范围；(2)试确定点A(a)，B(b)的位置关系．[解](1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，所以－2<x<3.(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a，b的大小关系：当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a<b时，点A(a)位于点B(b)的左侧；当a＝b时，点A(a)与点B(b)重合．[活学活用]1．下列各组点中，点M位于点N左侧的是( )A．M(－2)，N(－3) B．M(2)，N(－3)C．M(0)，N(6) D．M(0)，N(－6)解析：选C A中，－2>－3，点M(－2)位于点N(－3)右侧；B中，2>－3，点M(2)位于点N(－3)的右侧；C中，0<6，点M(0)位于点N(6)的左侧；D中，0>－6，点M(0)位于点N(－6)的右侧．2．在如图所示的数轴上，A，B，C各点的坐标是什么？它们分别对应哪个实数？解：A点坐标为A(2)，对应实数2；B点坐标为B(－4)，对应实数－4；C点坐标为C(4.5)，对应实数4.5.[典例]已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3.(1)求向量OA，AB的坐标；(2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和．[解](1)∵点A与原点O的距离为3，∴点A的坐标为3或－3.①当点A的坐标为3时，∵A，B之间的距离为1，∴点B的坐标为2或4.此时OA的坐标为3，AB的坐标为－1或1；②当点A的坐标为－3时，∵A，B之间的距离为1，∴点B的坐标为－4或－2.此时OA的坐标为－3，AB的坐标为－1或1.(2)所有满足条件的点B到原点O的距离之和为2＋4＋4＋2＝12.熟练掌握一些条件变换，如－MQ QM[活学活用]已知数轴上的三点A(－1)，B(5)，C(x)．(1)当|AB|＋d(B，C)＝8时，求x；(2)当AB＋CB＝0时，求x；(3)当AB＝BC时，求x；(4)当AC＝1时，验证：AB＋BC＝AC.解：(1)由题意可知，|AB|＝|5－(－1)|＝6，d(B，C)＝|x－5|，当|AB|＋d(B，C)＝8时，有6＋|x－5|＝8，解得x＝3或x＝7.(2)由AB＋CB＝0，可知，5－(－1)＋5－x＝0，解得x＝11.(3)由AB＝BC可知，AB＝BC，故5－(－1)＝x－5，所以x－5＝6，解得x＝11.(4)当AC＝1时，有x－(－1)＝1，解得x＝0.所以AB＋BC＝5－(－1)＋0－5＝1＝AC.[典例] 已知数轴上点A ，B ，P 的坐标分别为－1,3，x .(1)当点P 与点B 的距离是点P 与点A 的距离的3倍时，求点P 的坐标x ；(2)若点P 到点A 和点B 的距离都是2，求点P 的坐标x ，此时点P 与线段AB 有着怎样的关系？ (3)在线段AB 上是否存在点P (x )，使得点P 到点A 和点B 的距离都是3？若存在，求出点P 的坐标x ；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意知|PB |＝3|PA |， 即|x －3|＝3|x ＋1|，则3(x ＋1)＝x －3 ①或3(x ＋1)＝－(x －3) ②， 解①得x ＝－3；解②得x ＝0. 所以点P 的坐标为－3或0. (2)由题意知|PA |＝|PB |＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|＝2，|x －3|＝2，解得x ＝1. 此时点P 的坐标为1，显然此时P 为线段AB 的中点． (3)不存在这样的点P (x )．因为d (A ，B )＝|3＋1|＝4，要使点P 在线段AB 上，且d (P ，A )＝d (P ，B )＝3，则d (A ，B )＝d (P ，A )＋d (P ，B )，这是不可能的．已知点A (a )[活学活用]已知数轴上的两个点A (a )，B (5)，当a 为何值时： (1)两点间的距离等于5； (2)两点间的距离小于3.解：数轴上两点A ，B 之间的距离为|AB |＝|a －5|，(1)根据题意|a－5|＝5，可解得a＝0或a＝10.(2)根据题意|a－5|＜3，即－3＜a－5＜3，∴2＜a＜8.层级一学业水平达标1．若点P到原点的距离为2，点P在原点的左侧，则点P的坐标为( )A．2 B．－2C．±2 D．不确定解析：选B设点P的坐标为x，则|x|＝2，由点P在原点的左侧，可知x＝－2.2．数轴上三点A，B，C，已知AB＝2.5，BC＝－3，若A点坐标为0，则C点坐标为( ) A．0.5 B．－0.5C．5.5 D．－5.5解析：选B由x B－0＝2.5得x B＝2.5，由x C－x B＝－3得x C＝－0.5.3．已知数轴上两点A，B，若点B的坐标为3，且A，B两点间的距离d(A，B)＝5，则点A的坐标为( )A．8 B．－2C．－8 D．8或－2解析：选D记点A(x1)，B(x2)，则x2＝3，d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|＝5，即|3－x1|＝5，解得x1＝－2或x1＝8.4．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(1)，再同向延长同样的长度到C，则点C的坐标为( ) A．13 B．0C．4 D．－2解析：选C如下图所示，故C(4)为所求．5. 在数轴上，已知任意三点A，B，O，下列关系中，不正确的是( )A．AB＝OB－OA B．AO＋OB＋BA＝0C ．AB ＝AO ＋OBD ．AB ＋AO ＋BO ＝0解析：选D ∵OB －OA ＝OB ＋AO ＝AO ＋OB ＝AB ，∴AB ＝OB －OA ，故选项A 正确；选项B 、C 显然正确；AB ＋AO ＋BO ＝2AO ≠0，故选项D 不正确．6．已知数轴上点A ，B 的坐标分别为x 1，x 2，若x 2＝－1，且|AB |＝5，则x 1的值为________．解析：|AB |＝|x 2－x 1|＝5，即|x 1＋1|＝5，解得x 1＝－6或x 1＝4. 答案：－6或47．已知数轴上一点P (x )，它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)的距离的2倍，则x ＝________.解析：由题意，得d (P ，A )＝2d (P ，B )， ∴|－8－x |＝2|－4－x |，解得x ＝0或x ＝－163.答案：0或－1638．在数轴上，已知点B 的坐标为3，AB ＝4，则点A 的坐标为________；已知点N 的坐标为2，|MN |＝1，则点M 的坐标为________．解析：设点A 坐标为x .∵AB ＝3－x ＝4，∴x ＝－1.设M 点坐标为y .∵|MN |＝|2－y |＝1，∴y ＝1或y ＝3.答案：－1 1或39．在数轴上，讨论点A (3a ＋1)与点B (1－2a )的位置关系．解：当3a ＋1＞1－2a ，即a ＞0时，点A 在点B 右侧； 当3a ＋1＝1－2a ，即a ＝0时，点A 与点B 重合； 当3a ＋1＜1－2a ，即a ＜0时，点B 在点A 右侧．10．已知M ，N ，P 是数轴上三点，若|MN |＝5，|NP |＝2，求d (M ，P )．解：因为M ，N ，P 是数轴上三点，|MN |＝5，|NP |＝2.(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)． d (M ，P )＝|MN |－|NP |＝5－2＝3. (2)当点P 在点M ，N 之外时(如图所示)．d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋2＝7.综上所述：d(M，P)＝3或d(M，P)＝7.层级二应试能力达标1．在数轴上，已知A，B，C三点的坐标分别为x,2x,3－x，若使AB＋CB＞AC，则实数x的取值范围是( )A．x＞2 B．x＞1C．x＜3 D．x＜1解析：选B∵AB＋CB＞AC，∴由向量坐标公式，得(2x－x)＋[2x－(3－x)]＞(3－x)－x，解得x＞1，故选B.2. 如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且d－2a＝10，那么数轴的原点应是( )A．A点B．B点C．C点D．D点解析：选B用排除法，如原点为A，则a＝0，d＝7，d－2a＝7≠10，排除A，同样的方法，排除C、D；当B为原点时，a＝－3，d＝4，d－2a＝4－2×(－3)＝10，满足条件，故选B. 3．数轴上点P，M，N的坐标分别为－2,8，－6，则在①MN＝NM；②MP＝－10；③PN＝－4中，正确的表示有( )A. 0个B．1个C．2个D．3个解析：选C数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN＝NM不正确，MP＝－10，PN＝－4正确．4．设数轴上三点A，B，C，点B在A，C之间，则下列等式成立的是( )A．|AB－CB|＝|AB|－|CB|B．|AB＋CB|＝|AB|＋|CB|C．|AB－CB|＝|AB|＋|CB|D．|AB＋CB|＝|AB－CB|解析：选C根据A，B，C三点的相对位置可知，|AB－CB|＝|AB＋BC|＝|AC|＝|AB|＋|CB|，故C成立．5．已知数轴上两点A(a)，B(5.5)，并且d(A，B)＝7.5，则a＝________，若AB＝7.5，则a＝_______ _.解析：∵d(A，B)＝7.5，∴|5.5－a|＝7.5，解得a＝－2或a＝13.若AB＝7.5，则5.5－a＝7.5，解得a＝－2.答案：－2或13 －26．在数轴上，已知A，B，C三点的坐标分别为－3,7,9，则AB＋BC＋CA＝__________，|AB|＋|BC |＋|CA|＝__________.解析：AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0；|AB|＋|BC|＋|CA|＝|7－(－3)|＋|9－7|＋|－3－9|＝24.答案：0 247．数轴上A，B两点的坐标分别为x1＝a＋b，x2＝a－b，分别求向量AB―→的坐标，BA，d(A，B)，d(B，A)．解：向量AB的坐标AB＝x2－x1＝(a－b)－(a＋b)＝－2b，BA＝x1－x2＝(a＋b)－(a－b)＝2b或BA＝－AB＝－(－2b)＝2b.d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|＝|－2b|＝2|b|，d(B，A)＝d(A，B)＝2|b|.8．已知数轴上的点A，B，C的坐标分别为－1,3,5.(1)求AB，BA，|AB|，|BC|，|AC|；(2)若数轴上还有两点E，F，且AE＝8，CF＝－4，求点E，F的坐标．解：(1)AB＝3－(－1)＝4；BA＝－AB＝－4；|AB|＝|3－(－1)|＝4；|BC|＝|5－3|＝2；|AC|＝|5－(－1)|＝6.(2)设E，F点的坐标分别为x E，x F.∵AE＝8，∴x E－(－1)＝8，得x E＝7.∵CF＝－4，∴x F－5＝－4，得x F＝1.故E，F两点坐标分别为7,1.2．1.2平面直角坐标系中的基本公式[新知初探]1．两点的距离公式两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离表示为d(A，B)＝|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(1)当AB平行于x轴时，d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|.(2)当AB平行于y轴时，d(A，B)＝|AB|＝|y2－y1|.(3)当B点是原点时，d(A，B)＝|AB|＝x21＋y21.2．中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝x1＋x2 2，y＝y1＋y22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)A，B两点的距离与A，B的顺序无关( )(2)中点坐标公式中两点位置没有先后顺序( )答案：(1)√(2)√2．设A(3,4)，在x轴上有一点P(x,0)，使得|PA|＝5，则x等于( ) A．0 B．6C．0或6 D．0或－6答案：C3．点P(2，－1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为( ) A．(1,5) B．(4,9)C．(5,3) D．(9,4)答案：B[典例] (1)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，则△ABC的周长为( )A．4 2 B．8 2C．12 2 D．16 2(2)若A(－5,6)，B(a，－2)两点的距离为10，则a＝__________.[解析](1)∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，∴|AB|＝(－3－4)2＋(2－1)2＝50＝52，|BC|＝[0－(－3)]2＋(5－2)2＝18＝32，|AC＝(0－4)2＋(5－1)2＝32＝4 2.∴△ABC的周长为|AB|＋|BC|＋|AC|＝52＋32＋42＝12 2.(2)∵|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(－5－a)2＋(6＋2)2＝10，∴a＝1或－11.[答案](1)C (2)1或－11[活学活用]已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |，并求|PA |的值． 解：由已知设所求点P 的坐标为(x,0)，于是有|PA |＝d (P ，A )＝(x ＋1)2＋(0－2)2＝x 2＋2x ＋5，|PB |＝d (P ，B )＝(x －2)2＋(0－7)2＝x 2－4x ＋11，由|PA |＝|PB |，得x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11， 解得x ＝1.所以，所求点为P (1,0)，且|PA |＝d (P ，A )＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.[典例] (1)已知三点A (x,5)，B (－2，y )，C (1,1)，且点C 是线段AB 的中点，求x ，y 的值； (2)求点M (4,3)关于点N (5，－3)的对称点．[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －22＝1，5＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3.(2)设所求点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋42＝5，y ＋32＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－9，故所求对称点的坐标为(6，－9)．[活学活用] 已知▱ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对角线的交点为E (－3,4)，求另外两个顶点C ，D 的坐标．解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， ∵E 为AC 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝x 1＋42，4＝y 1＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－10，y 1＝6.又∵E 为BD 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝5＋x22，4＝7＋y 22.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－11，y 2＝1.∴C 点的坐标为(－10,6)，D 点的坐标为(－11,1)．[典例]在△ABC 中，D 为BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |.求证：△ABC 为等腰三角形．[证明] 如图，作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d ，0)(b <d <c )． 因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |， 所以，由两点的距离公式可得 b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )， 即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )． 又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c . 所以|AB |＝|AC |， 即△ABC 为等腰三角形．[活学活用]已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：如图所示，以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c )．因为点M 是BC 的中点，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋b 2，0＋c 2，即⎝⎛⎭⎫b 2，c 2. 由两点间距离公式得 |BC |＝(0－b )2＋(c －0)2＝b 2＋c 2，|AM |＝⎝⎛⎭⎫b 2－02＋⎝⎛⎭⎫c 2－02＝12b 2＋c 2.所以|AM |＝12|BC|.层级一 学业水平达标1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－6解析：选A 由(－3)2＋(4－b )2＝5，解得b ＝0或8.2．点A (2，－3)关于坐标原点的中心对称点是( )A ．(3，－2)B ．(－2，－3)C ．(－2,3)D ．(－3,2)解析：选C 设所求点的坐标为B (x ，y )，则由题意知坐标原点是点A ，B 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝0，－3＋y 2＝0，解得x ＝－2，y ＝3.故选C.3．若点P (x ，y )到两点M (2,3)，N (4,5)的距离相等，则x ＋y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．不确定 解析：选C 由两点距离公式，得(x －2)2＋(y －3)2＝(x －4)2＋(y －5)2，两边平方，得x ＋y＝7，故选C.4．已知A (x,5)关于C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则P (x ，y )到原点的距离为( )A ．4 B. 13 C. 15D. 17解析：选D 由题意知点C 是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝2，2y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴|OP |2＝17，∴|OP |＝17. 5．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形解析：选B 根据两点的距离公式， |AB |＝(1－5)2＋(5－1)2＝42， |AC |＝(1＋9)2＋(5＋9)2＝296， |BC |＝(5＋9)2＋(1＋9)2＝296，∴|AC |＝|BC |≠|AB |，∴△ABC 为等腰三角形．6．已知A (a,6)，B (－2，b )，点P (2,3)平分线段AB ，则a ＋b ＝________.解析：由中点公式知2＝a －22，b ＋62＝3，∴a ＝6，b ＝0，∴a ＋b ＝6. 答案：67．设P 点在x 轴上，Q 点在y 轴上，PQ 的中点是M (－1,2)，则|PQ |等于________．解析：设P (a,0)，Q (0，b )，由中点坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋02＝－1，0＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，∴|PQ |＝a 2＋b 2＝20＝2 5.答案：2 58．若x 轴正半轴上的点M 到原点的距离与到点(5，－3)的距离相等，则点M 的坐标为________．解析：设M (x,0)(x ＞0)， 则x 2＋02＝(x －5)2＋(0＋3)2， 解得x ＝175，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫175，0. 答案：⎝⎛⎭⎫175，09．已知△ABC 的顶点坐标为A (1,2)，B (－2，－2)，C (3,4)，求BC 边上的中线AM 的长．解：由中点公式，得BC 边的中点M 的坐标为 －2＋32，－2＋42，即M ⎝⎛⎭⎫12，1.∴d (A ，M )＝⎝⎛⎭⎫1－122＋(2－1)2＝ 14＋1＝52， 即BC 边上的中线AM 的长为52. 10．已知A (6,1)，B (0，－7)，C (－2，－3)．(1)求证：△ABC 是直角三角形； (2)求△ABC 的外心的坐标．解：(1)证明：|AB |2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100， |BC |2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20， |AC |2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80， 因为|AB |2＝|BC |2＋|AC |2，所以△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°.(2)因为△ABC 为直角三角形，所以其外心是斜边AB 的中点，所以外心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋02，1－72，即(3，－3)．层级二 应试能力达标1．已知△ABC 的两个顶点A (3,7)，B (－2,5)，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，则C 点的坐标是 ( )A ．(－3，－7)B ．(－3，－7)或(2，－5)C ．(3，－5)D ．(2，－7)或(－3，－5)解析：选D 设C (x ，y )，显然AC ，BC 的中点不同在一条坐标轴上．若AC 的中点在x 轴上，BC 中点在y 轴上，则有y ＋7＝0，－2＋x ＝0，即C (2，－7)；若AC 中点在y 轴上，BC 中点在x 轴上，则有3＋x ＝0,5＋y ＝0，即C (－3，－5)．2．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2,10), 则从A 到B 的光线的距离为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点B (2,10)关于x 轴的对称点为B ′(2，－10)，由光线的对称性可知，从A 到B 的光线的距离就是线段AB ′的长度，∴|AB ′|＝[2－(－3)]2＋(－10－5)2＝510.3．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则 ( )A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上 解析：选D 由a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0得a 2＋b 2＝c 2＋d 2，即A ，B 两点到坐标原点的距离相等，故选D.4．已知点A (2,0)，B (4,2)，若|AB |＝2|AC |，则C 点坐标为( )A ．(－1,1)B ．(－1,1)或(5，－1)C ．(－1,1)或(1,3)D ．无数多个解析：选D 设C (x ，y )，由|AB |＝2|AC | 得(2－4)2＋(0－2)2＝4(2－x )2＋4y 2， 即(x －2)2＋y 2＝2，∴存在无数多个C 点．5．等腰三角形ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．解析：|BD |＝12|BC |＝2，|AD |＝(5－3)2＋(4－0)2＝2 5.在Rt △ADB 中， 由勾股定理得腰长|AB |＝ 22＋(25)2＝2 6.答案：2 66．已知点 A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，则当|AB |取得最小值时，实数a 等于________．解析：|AB |2＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值． 答案：127．已知四边形ABCD 的顶点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，求CE ，DE ，AF ，DF 的长度．解：设线段AB 的中点E 的坐标为(x ，y )， 则x ＝－4＋22＝－1，y ＝3＋52＝4，则d (E ，C )＝(－1－6)2＋(4－3)2＝52，d (E ，D )＝[－1－(－3)]2＋(4－0)2＝25，即CE ，DE 的长度分别为52，2 5. 设线段BC 的中点F 的坐标为(m ，n )， 则m ＝2＋62＝4，n ＝5＋32＝4，则d (F ，A )＝[4－(－4)]2＋(4－3)2＝65，d (F ，D )＝[4－(－3)]2＋(4－0)2＝65，即AF ，DF 的长度都为65.8．已知：以点A (－3，y )与点B (x,2)为端点的线段的中点C 在x 轴上，O 为原点，(1)若|OC |＝1，求点C 的坐标；(2)当|AC |取最小值时，求点A 关于点C 的对称点坐标．解：由中点公式，点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，y ＋22，由于点C 在x 轴上，所以y ＝－2，即A (－3, －2)． (1)∵|OC |＝1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32＝1，解得x ＝5或1，即点C 的坐标为(－1,0)或(1,0)．(2)∵|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋32＋(0＋2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋4， ∴当x ＝－3时，|AC |有最小值2，2017-2018学年高中数学（人教B版）必修二名师讲义：第二章2.1 平面直角坐标系中的基本公式∴C(－3,0)．∴点A关于点C的对称点坐标为(－3,2)．21 / 21。
