高中数学人教A版选修2-2习题：第一章导数及其应用1.2.1-1.2.2

第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________；4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________． 解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ， 所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。

第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时过关·能力提升基础巩固1下列求导正确的是( )A.(x +1x )'=1+1x 2B.(lg x+x 3)'=1xln10+3x 2C.(3x +ln 3)'=3x ln 3+13D.(x 2cos x )'=-2x sin x解析(x +1x )'=1-1x 2,(3x +ln 3)'=3x ln 3,(x 2cos x )'=2x ·cos x-x 2·sin x.答案B2已知f (x )=ax 3+3x 2+2,若f'(-1)=4,则a 等于( )A.193B.163C.133D.103解析∵f'(x )=3ax 2+6x ,∴f'(-1)=3a-6=4.∴a=103.答案D3函数f (x )=(2x+1)2在x=1处的导数值是( )A.6B.8C.10D.12答案D4曲线y=x ln x 在点(1,0)处的切线方程为( )A.y=2x+2B.y=2x-2C.y=x-1D.y=x+1解析∵y=x ln x ,∴y'=ln x+1,曲线在点(1,0)处的切线的斜率k=y'|x=1=1.故切线方程为y=x-1.答案C5若曲线y=x+1x -1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2B.12C.-12D.-2 解析y=x+1x -1=1+2x -1, ∴y'=-2(x -1)2. ∴y'|x=3=-12.∴-a=2.∴a=-2.答案D6已知f (x )=sin α-cos x ,则f'(α)= .解析f'(x )=(sin α)'-(cos x )'=0+sin x=sin x ,则f'(α)=sin α.答案sin α7若f (x )=x e 2x ,则f'(1)= .解析∵f (x )=x e 2x ,∴f'(x )=x'·e 2x +x ·(e 2x )'=e 2x +2x e 2x .故f'(1)=e 2+2e 2=3e 2.答案3e 28曲线y=x 3-4x 在点(1,-3)处的切线的倾斜角α为 .解析y'=3x 2-4,∴k=y'|x=1=-1,即tan α=-1.∴α=3π4.答案3π4 9有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s (单位:m)关于时间t (单位:s)的函数为s=f (t )=5-√25-9t .求函数在t=715s 时的导数,并解释它的实际意义. 解函数s=5-√25-9t 可以看作函数s=5-√x 和x=25-9t 的复合函数,其中x 是中间变量.由导数公式可得s'x =-12x -12,x't =-9.故由复合函数求导法则得f'(t )=s't =s'x ·x't=(-12x -12)·(-9)=225-9t,将t=715代入f'(t ),得f'(715)≈0.987(m/s).它表示当t=715s 时,梯子上端下滑的速度约为0.987 m/s .能力提升1已知函数f (x )=lnx x ,则方程f'(x )=0的解为( )A.x=1B.x=eC.x=1eD.x=0解析f'(x )=1x ·x -lnx x 2=1-lnxx 2,∵f'(x )=0,∴1-ln x=0,解得x=e .答案B2已知函数f (x )=x 3+ax 2,以曲线y=f (x )上一点P (-1,b )为切点且平行于直线3x+y=0的切线方程为 () A.3x+y-1=0 B.3x+y+1=0C.3x-y+1=0D.3x+y-2=0解析y'=f'(x )=3x 2+2ax ,∴y'|x=-1=3-2a=-3.∴a=3,则b=(-1)3+3×(-1)2=2.∴切线方程为y-2=-3(x+1),即3x+y+1=0.答案B3若函数f (x )=12f'(-1)x 2-2x+3,则f'(-1)的值为 () A.0 B.-1 C.1 D.2解析∵f (x )=12f'(-1)x 2-2x+3,∴f'(x )=f'(-1)x-2.∴f'(-1)=f'(-1)×(-1)-2.∴f'(-1)=-1.答案B★4曲线y=e -2x +1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D.1解析由题意得y'=(e -2x +1)'=e -2x (-2x )'=-2e -2x ,则曲线在点(0,2)处的切线斜率为k=-2e 0=-2,所以切线方程为y=-2x+2.联立{y =-2x +2,y =x ,得C (23,23).所以切线y=-2x+2与y=0和y=x 围成的三角形如图所示,其面积为S △OBC =12|OB|×23=12×1×23=13.答案A5已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f'(x )为f (x )的导函数,若f'(1)=3,则a 的值为 . 解析因为f (x )=ax ln x ,所以f'(x )=a ln x+ax ·1x =a (ln x+1).由f'(1)=3得a (ln 1+1)=3,所以a=3.答案36已知y=sinx 1+cosx ,x ∈(-π,π),则当y'=2时,x= . 解析y'=(sinx )'(1+cosx )-sinx (1+cosx )'(1+cosx )2 =cosx (1+cosx )-sinx (-sinx )(1+cosx )2 =cosx+cos 2x+sin 2x (1+cosx )2=cosx+1(1+cosx )2 =11+cosx . 令11+cosx =2,则cos x=-12. 又x ∈(-π,π),故x=±2π3. 答案±2π37设函数f (x )=ax 3+bx+c (a>0)为奇函数,其图象在点(1,f (1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x )的最小值是-12,求a ,b ,c 的值.解∵f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),即-ax 3-bx+c=-ax 3-bx-c ,∴c=0.∵f'(x )=3ax 2+b 的最小值为-12,且a>0,∴b=-12.又f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直.∴f'(1)=3a+b=-6,∴a=2.综上可得,a=2,b=-12,c=0.★8已知向量a =(2cos x 2,tan (x 2+π4)),b =(√2sin (x 2+π4),tan (x 2-π4)),令f (x )=a ·b ,是否存在实数x ∈[0,π],使f (x )+f'(x )=0(其中f'(x )是f (x )的导函数)?若存在,求出x 的值;若不存在,请说明理由.分析先利用向量运算求f (x ),再利用三角公式化简f (x ),然后求f'(x ),最后令f'(x )+f (x )=0即可得结果. 解存在.f (x )=a ·b =2√2cos x 2·sin (x 2+π4)+tan (x 2+π4)·tan (x 2-π4)=2√2cos x 2(√22sin x 2+√22cos x 2)+1+tan x 21-tan x 2·tan x 2-11+tan x 2=2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2-1=sin x+cos x. 令f (x )+f'(x )=0,即f (x )+f'(x )=sin x+cos x+cos x-sin x=2cos x=0,可得x=π2+k π(k 为整数).因为x ∈[0,π],所以x=π2,即存在实数x=π2∈[0,π],使得f (x )+f'(x )=0.。

选修2-2 第一章 1.2 1.2.1一、选择题1．双曲线y ＝1x 在点(2，12)的切线方程是( ) A.14x ＋y ＝0 B.14x －y ＝0 C.14x ＋y ＋1＝0 D ．14x ＋y －1＝0 [答案] D[解析] ∵y ＝1x 的导数为y ′＝－1x 2， ∴曲线y ＝1x 在点(2，12)处的切线斜率k ＝－14， ∴切线方程是y －12＝－14(x －2)， 化简得，14x ＋y －1＝0，故选D. 2．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( )A ．0B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝3x 2，∴f ′(2)＝3×22＝12，故选D.3．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 [答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.4．一个物体的运动方程为s (t )＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 [答案] C[解析] v (t )＝s ′(t )＝－1＋2t ，∴v (3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.5．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4 C.π4D ．5π4[答案] C[解析] ∵y ＝13x 3，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.6．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] D[解析] 由导数的定义知lim x →0 f (1)－f (1－x )2x＝12lim x →0 f (1)－f (1－x )x ＝12lim －x →0 f (1－x )－f (1)－x＝12f ′(1)＝－1. 二、填空题7．已知①y ＝f (x )，②y ＝g (x )，③y ＝h (x )都是路程y 关于时间x 的函数，且f ′(x )＝1，g ′(x )＝2，h ′(x )＝3，则运动速度最快的是________(填序号).[答案] ③[解析] 由导数的几何意义知，y ＝f (x )的瞬时速度为1，y ＝g (x )的瞬时速度为2，y ＝h (x )的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.8．若曲线y ＝x 3的某一切线与直线y ＝12x ＋6平行，则切点坐标是________.[答案] (2,8)或(－2，－8)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 30)，因为y ′＝3x 2，所以切线的斜率k ＝3x 20，又切线与直线y ＝12x ＋6平行，所以3x 20＝12，解得x 0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．9．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________.[答案] 4[解析] y ′＝12x ，切线方程为y －a ＝12a(x －a )， 令x ＝0得，y ＝a 2，令y ＝0得，x ＝－a ， 由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 三、解答题10．求与曲线y ＝f (x )＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程.[解析] 因为y ＝3x 2，所以y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23x －13.所以f ′(8)＝23×8－13＝13，即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13.所以适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)，即3x ＋y －20＝0.一、选择题1．已知曲线y ＝x 3－1与曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为( ) A.33 B ．333C. 3 D ．393[答案] D[解析] 由导数的定义容易求得，曲线y ＝x 3－1在x ＝x 0处切线的斜率k 1＝3x 20，曲线y ＝3－12x 2在x ＝x 0处切线的斜率为k 2＝－x 0，由于两曲线在x ＝x 0处的切线互相垂直，∴3x 20·(－x 0)＝－1，∴x 0＝393，故选D. 2．曲线y ＝3x 上的点P (0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－xB ．x ＝0C ．y ＝0D ．不存在 [答案] B[解析] ∵y ＝3x ，∴Δy ＝3x ＋Δx －3x＝x ＋Δx －x(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2＝Δx(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2，∴Δy Δx ＝1(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2， ∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝13x 23. ∴曲线在点P (0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x ＝0.二、填空题3．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.[答案] 1[解析] 因为f (x )＝ax 3＋x ＋1，所以f (1)＝a ＋2，f ′(x )＝3ax 2＋1，f ′(1)＝3a ＋1，所以在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又因为切线过点(2,7)，所以7－(a ＋2)＝(3a ＋1)×(2－1)，解之得a ＝1.4．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________.[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴在点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题5．已知曲线C ：y ＝1t －x经过点P (2，－1)，求 (1)曲线在点P 处的切线的斜率．(2)曲线在点P 处的切线的方程．(3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程．[解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x. ∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx＝1(1－x －Δx )(1－x )， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1. (2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x . 6．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积.[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴k 1＝－1x2|x ＝1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2， ∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如图所示．∵两直线与x 轴交点分别为(2,0)，(12，0)． ∴S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.。

1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时过关·能力提升基础巩固1函数f(x)=0的导数是()A.0B.1C.不存在D.不确定答案A2已知f(x)=xα,f'(-1)=-4,则α=()A.4B.-4C.5D.-5解析∵f'(x)=(xα)'=αxα-1,∴f'(-1)=α(-1)α-1.又f'(-1)=-4,∴α(-1)α-1=-4.将各选项代入检验,知当α=4时等式成立.故选A.答案A3已知曲线y=f(x)=x3在某点处的切线的斜率等于9,则这样的点()A.有一个B.有两个C.多于两个D.不能确定解析∵f'(x)=3x2,∴令3x2=9,得x=±.∴可得切点坐标为(,3)和(-,-3).故满足条件的点有两个.答案B4y=cos x在x=处的切线斜率为()A. B.- C.- D.解析∵y'=(cos x)'=-sin x,∴y'=-sin=-.答案C5曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是,切线方程为.解析∵y'=(ln x)'=,∴y'|x=e=.∴切线方程为y-1=(x-e),即x-e y=0.答案x-e y=06若函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a=.解析∵f'(x)=,∴f'(1)==-1.∴ln a=-1.∴a=.答案7曲线y=sin x在点处的切线方程为.解析因为y'=(sin x)'=cos x,所以y'.所以切线方程为y-,即x-2y+=0.答案x-2y+=08求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=log4x;(3)y=.解(1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.(2)y'=(log4x)'=.(3)y'=()'=()'=.9若质点P的运动方程是s=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.分析求质点P在t=8 s时的瞬时速度,根据瞬时速度的概念以及幂函数导数的求法知,求瞬时速度即是求在t=8 s时的导数.解∵s'=()'=()'=,∴s'|t=8=×2-1=.故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.能力提升1下列结论正确的个数为()①若y=ln 2,则y'=;②若y=,则y'|x=3=-;③若y=2x,则y'=2x ln 2;④若y=log2x,则y'=.A.0B.1C.2D.3解析①y=ln 2为常数,所以y'=0,①错;②③④均正确,直接利用公式即可验证.答案D2曲线y=e x在(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B.2e2C.e2D.解析因为y'=e x,所以y'|x=2=e2.所以切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.当x=0时,y=-e2;当y=0时,x=1,所以所围成的三角形的面积S=×1×|-e2|=.答案D3若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案A4正弦曲线y=sin x(x∈(0,2π))上切线的斜率等于的切点坐标为.解析设切点坐标为(x0,y0)(x0∈(0,2π)),则由题意可得cos x0=,所以x0=,y0=或x0=,y0=-.故切点坐标为.答案5已知P,Q为抛物线x2=y上的两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过点P,Q分别作抛物线的切线,两条切线交于点A,则点A的纵坐标为.解析由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2),∵点P,Q在抛物线x2=y上,∴∴即P(4,16),Q(-2,4),如图所示.又抛物线为y=x2,∴y'=2x.∴过点P的切线斜率为y'|x=4=8.∴过点P的切线方程为y-16=8(x-4),即y=8x-16.又过点Q的切线斜率为y'|x=-2=-4,∴过点Q的切线方程为y-4=-4(x+2),即y=-4x-4.联立故点A的纵坐标为-8.答案-8★6设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,若a n=lg x n,则a1+a2+…+a99的值为.解析曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线斜率k=y'|x=1=(n+1)×1n=n+1,则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得x n=.∴a n=lg.∴a1+a2+…+a99=lg+lg+…+lg=lg=lg=-2.答案-2★7已知直线y=kx是曲线y=ln x的一条切线,试求k的值.解设直线y=kx与曲线y=ln x相切时的切点坐标为(x0,y0).∵y=ln x,∴y'=,∴y'=k.∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=ln x上,∴把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式得x0=e.∴k=.。

第一章 1.1 1.1.3A 级 基础巩固一、选择题1．(2018·海市校级期末)已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)的值等于( C )A ．1B ．52C ．3D ．0[解析] 由已知点M (1，f (1))在切线上，所以f (1)＝12＋2＝52，切点处的导数为切线斜率，所以f ′(x )＝12，即f (1)＋f ′(1)＝3，故选C ．2．曲线y ＝x 3＋x －2在P 点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则切线方程为( D ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x －8 D ．y ＝4x 或y ＝4x －4[解析] y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 [(x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2]－(x 3＋x －2)Δx ＝lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2＋1] ＝3x 2＋1．由条件知，3x 2＋1＝4，∴x ＝±1，当x ＝1时，切点为(1,0)，切线方程为y ＝4(x －1)， 即y ＝4x －4．当x ＝－1时，切点为(－1，－4)，切线方程为y ＋4＝4(x ＋1)， 即y ＝4x ．3．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( D ) A ．0B ．2C ．4D ．6[解析] Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6Δx ＋6(Δx )2＋(Δx )3，lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0[(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D ．4．(2018·济宁高二检测)设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( A )A ．1B ．12C ．－12D ．－1[解析] ∵y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx ＝lim Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1．5．(2017·汉中高二检测)曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( B ) A ．1 B ．π4C ．5π4D ．－π4[解析] ∵y ′＝lim Δx →0 [13(x ＋Δx )3－2]－(13x 3－2)Δx ＝lim Δx →0[x 2＋x Δx ＋13(Δx )2]＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1． ∴切线的倾斜角为π4，故应选B ．6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( B ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交[解析] 由导数的几何意义知B 正确，故应选B ． 二、填空题7．已知f (x )＝x 2＋3x ，则f ′(2)＝7．[解析] f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋3(x ＋Δx )－(x 2＋3x )Δx ＝lim Δx →02x ＋Δx ＋3＝2x ＋3， ∴f ′(2)＝7．8．曲线y ＝x 3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为54． [解析] 因为f ′(3)＝lim Δx →0 (3＋Δx )3－33Δx ＝27， 所以在点(3,27)处的切线方程为y －27＝27(x －3)， 即y ＝27x －54．此切线与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)． 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12×2×54＝54． 三、解答题9．求曲线y ＝1x－x 上一点P ⎝⎛⎭⎫4，－74处的切线方程． [解析] ∵y ′＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －(x ＋Δx －x )Δx＝lim Δx →0－Δxx (x ＋Δx )－Δxx ＋Δx ＋xΔx＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1x (x ＋Δx )－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x ．∴y ′|x ＝4＝－116－14＝－516， ∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎫4，－74处的切线方程为： y ＋74＝－516(x －4)． 即5x ＋16y ＋8＝0．10．已知曲线f (x )＝x ＋1x 上一点A (2，52)，用导数定义求函数f (x )：(1)在点A 处的切线的斜率；(2)在点A 处的切线方程． [解析](1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －(2＋12)＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx ，Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )＋ΔxΔx ＝－12(2＋Δx )＋1， ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[－12(2＋Δx )＋1]＝34， 故点A 处的切线的斜率为34．(2)切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0．B 级 素养提升一、选择题1．(2018·开封高二检测)已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( B )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定[解析] 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B ．2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( A )A ．[－1，－12]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[12，1][解析] 考查导数的几何意义．由导数的定义可得y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1， ∴－1≤x ≤－12．二、填空题3．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝－2．[解析] 由导数的概念和几何意义知， lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2．4．(2018·全国卷Ⅱ理，13)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ． [解析] ∵ y ＝2ln(x ＋1)，∴ y ′＝2x ＋1．令x ＝0，得y ′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，∴ 切线方程为y ＝2x ．三、解答题5．(2016·天津联考)设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．[解析] ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2． 当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9． 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9， ∴f ′(x 0)＝3(x 0＋a 3)2－9－a 23．当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23．∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12． ∴－9－a 23＝－12．解得a ＝±3．又a <0，∴a ＝－3．6．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标． [解析] 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x ，∴k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0．由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为(－23，4927)或(2,3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，解得a ＝12127．当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5． ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点坐标为(2,3)．C 级 能力拔高已知曲线f (x )＝x 2＋1和g (x )＝x 3＋x 在其交点处两切线的夹角为θ，求cos θ．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y ＝x 3＋x ，得x 3－x 2＋x －1＝0，即(x －1)(x 2＋1)＝0，解得x ＝1， 所以交点P (1,2)．因为f′(1)＝limΔx→0(1＋Δx)2＋1－2Δx＝2，所以其切线l1的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x．因为g′(1)＝limΔx→0(1＋Δx)3＋1＋Δx－(1＋1)Δx＝4，所以其切线l2的方程为y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2．取切线l1的方向向量为a＝(1,2)，切线l2的方向向量为b＝(1,4)，则cosθ＝a·b|a||b|＝95×17＝985＝98585．。

选修第一章一、选择题．如果质点按照规律＝运动，则在＝时的瞬时速度为( )．．．．[答案][解析]∵()＝，＝，∴Δ＝(＋Δ)－()＝(＋Δ)－·＝Δ＋(Δ)∴＝＋Δ.∴＝(＋Δ)＝，故应选.．设函数()＝＋，若′()＝，则等于( )．．－．．－[答案][解析]∵′()＝＝＝，∴′()＝＝.．(·郑州高二检测)若可导函数()的图象过原点，且满足＝－，则′ ()＝( ) ．－．－．．[答案][解析]∵()图象过原点，∴()＝，∴′()＝＝＝－，∴选.．质点的运动规律为＝＋，则质点在＝时的速度为( )．＋．．＋．＋[答案][解析]Δ＝(＋Δ)－()＝(Δ)＋Δ＋Δ，＝Δ＋＋，＝(Δ＋＋)＝＋.．已知()＝，且′()＝－，则的值等于( )．－．．－．±[答案][解析]′()＝＝－，于是有－＝－，＝，解得＝±.．某物体做直线运动，其运动规律是＝＋(的单位是秒，的单位是米)，则它在秒末的瞬时速度为( )米秒．米秒．米秒．米秒[答案][解析]∵＝＝＝Δ＋－.∴＝－＝.二、填空题．函数＝＋在＝处的导数是[答案][解析]∵Δ＝－＝Δ－＋＝，∴＝.∴′＝＝＝.．已知＝，则′＝＝[答案][解析]由题意知Δ＝－＝－，∴＝.∴′＝＝＝＝.．某物体做匀速运动，其运动方程是＝＋，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是[答案]相等[解析]＝＝＝＝＝.三、解答题．设()在上可导，求(－)在＝处与()在＝－处的导数之间的关系[解析]设(－)＝()，则(－)在处的导数为′()，于是′()＝＝。

1.1.3 导数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1已知函数y=f (x )的图象如图所示,则f'(x A )与f'(x B )的大小关系是( )A.f'(x A )>f'(x B )B.f'(x A )<f'(x B )C.f'(x A )=f'(x B )D.不能确定解析由题图知f (x )在点A ,B 处的切线斜率k A ,k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义,得f'(x A )<f'(x B ).答案B2已知曲线y=f (x )=12x 2-2上一点P (1,-32),则曲线在点P 处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.135°D.165° 解析∵y=12x 2-2,∴y'=lim Δx →012(x+Δx )2-2-(12x 2-2)Δx=lim Δx →012(Δx )2+x ·Δx Δx=lim Δx →0(x +12Δx)=x. ∴y'|x=1=1.∴曲线在点P (1,-32)处切线的斜率为1,即切线的倾斜角为45°.故选B.答案B3若曲线y=f (x )=x 2在点P 处的切线斜率为k ,则当k=2时点P 的坐标为( )A.(-2,-8)B.(-1,-1)C.(1,1)D.(-12,-18) 解析设点P 的坐标为(x 0,y 0),则k=f'(x 0)=lim Δx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=lim Δx→0(x0+Δx)2-x02Δx=limΔx→0(Δx+2·x0)=2x0,即2x0=2.所以x0=1,此时y0=x02=12=1.故点P的坐标为(1,1).故选C.答案C4已知曲线y=f(x)=2x2+4x在点P处的切线斜率为16,则点P的坐标为.解析设P(x0,2x02+4x0),则f'(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=lim Δx→02(Δx)2+4x0Δx+4ΔxΔx=4x0+4.∵f'(x0)=16,∴4x0+4=16.∴x0=3.故点P的坐标为(3,30).答案(3,30)5已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的图象如图所示:其对应导数的图象如图①②③:则曲线y=f'(x)对应图象;曲线y=g'(x)对应图象;曲线y=h'(x)对应图象.(只填序号)解析由导数的几何意义,知y=f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,则曲线y=f'(x)对应图象②;y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故曲线y=g'(x)对应图象③;y=h(x)上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故曲线y=h'(x)对应图象①.答案②③①6若曲线y=f(x)=2x2-4x+p与直线y=1相切,则p=.解析设切点坐标为(x0,1),∵f'(x0)=lim Δx→02(x0+Δx)2-4(x0+Δx)+p-(2x02-4x0+p)Δx=lim Δx →02(Δx )2+(4x 0-4)Δx Δx =lim Δx →0(2·Δx+4x 0-4)=4x 0-4, 由题意知4x 0-4=0,∴x 0=1,即切点坐标为(1,1).∴1=2-4+p.∴p=3.答案37若直线l 与曲线C 满足下列两个条件:(1)直线l 在点P (x 0,y 0)处与曲线C 相切;(2)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C.下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).①直线l :y=0在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=x 3②直线l :x=-1在点P (-1,0)处“切过”曲线C :y=(x+1)2③直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=sin x④直线l :y=x 在点P (0,0)处“切过”曲线C :y=tan x⑤直线l :y=x-1在点P (1,0)处“切过”曲线C :y=ln x答案①③④8求证:函数f (x )=x+1x 图象上各点处的切线的斜率小于1.证明∵f'(x )=lim Δx →0f (x+Δx )-f (x )Δx =lim Δx →0(x+Δx+1x+Δx )-(x+1x )Δx =1-1x 2<1, ∴f (x )=x+1x 图象上各点处的切线的斜率小于1.9已知曲线y=f (x )=1t -x 上的两点P (2,-1),Q (-1,12). 求:(1)曲线在点P 、点Q 处的切线的斜率;(2)曲线在点P 、点Q 处的切线方程.分析由导数的几何意义,可知求曲线在点P 、点Q 处的切线斜率即求曲线在x=2,x=-1处的导数,求出斜率就易求切线方程了.解把P (2,-1)代入y=1t -x ,得t=1,即y=11-x . 所以y'=lim Δx →0f (x+Δx )-f (x )Δx =limΔx →011-(x+Δx )-11-x Δx =lim Δx →0Δx [1-(x+Δx )](1-x )Δx=lim Δx →01(1-x -Δx )(1-x )=1(1-x )2. (1)曲线在点P 处的切线斜率为y'|x=2=1(1-2)2=1, 曲线在点Q 处的切线斜率为y'|x=-1=14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q 处的切线方程为y-12=14[x-(-1)],即x-4y+3=0. 能力提升1曲线y=x 3+11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标为( )A.-9B.-3C.9D.15解析由已知得切线的斜率k=y'|x=1=3,所以切线方程为y-12=3(x-1),即3x-y+9=0.令x=0,得y=9,所以切线与y 轴交点的纵坐标为9.答案C2下列说法正确的是( )A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.过曲线上一点作曲线的切线,这点一定是切点C.若f'(x 0)不存在,则曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处无切线D.若曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f'(x 0)不一定存在解析当切线平行(或重合)于y 轴时,切线斜率不存在,则f'(x 0)不存在.答案D★3已知a>0,f (x )=ax 2+bx+c ,曲线y=f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P 到曲线y=f (x )的对称轴的距离的取值范围是( )A.[0,1a ]B.[0,12a ] C.[0,|b 2a |] D.[0,|b -12a |] 解析f'(x )=lim Δx →0f (x+Δx )-f (x )Δx =lim Δx →0[a (x+Δx )2+b (x+Δx )+c ]-(ax 2+bx+c )Δx =lim Δx →02ax ·Δx+bΔx+a (Δx )2Δx =2ax+b. 因为曲线在点P (x 0,f (x 0))处的切线的倾斜角的取值范围为[0,π4],所以0≤2ax 0+b ≤1,又点P 到曲线y=f (x )的对称轴的距离为|x 0+b 2a |=|2ax 0+b |2a . 所以|x 0+b 2a |∈[0,12a]. 答案B 4已知曲线y=f (x )=13x 3上一点P (2,83),则f (x )在点P 处的切线的斜率为 ,在点P 处的切线方程为 .解析由导数的定义易得f'(x 0)=x 02,所以f (x )在(2,83)处的切线的斜率为4. 所以切线方程为y-83=4(x-2),即12x-3y-16=0.答案4 12x-3y-16=05如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图象,则f (2)+f'(2)= .解析由题意可得f (x )在点P 处的切线方程为x 4+y 4.5=1,其斜率k=-4.54=-98. 又点P (2,f (2))为切点,∴f'(2)=-98,且24+f (2)4.5=1,解得f (2)=94. ∴f (2)+f'(2)=98.答案986已知曲线y=f (x )=x 3在点(a ,a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x=a 所围成的三角形的面积为16,则a= .解析因为f'(a )=lim Δx →0(a+Δx )3-a 3Δx =3a 2, 所以曲线在点(a ,a 3)处的切线方程为y-a 3=3a 2(x-a ),切线与x 轴的交点坐标为(23a ,0).所以三角形的面积为12|a -23a|·|a 3|=16,解得a=±1.答案±1★7已知函数y=f (x )=x 2a -1(a>0)的图象在x=1处的切线为l ,求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值. 分析先求出f (x )在x=1处的切线l 的方程,再求得l 与两坐标轴围成的三角形的面积,利用不等式求面积的最小值.解∵Δy=(x+Δx )2a -1-x 2a +1=2x ·Δx+(Δx )2a , ∴Δy Δx =2x+Δx a. 当Δx 无限趋近于0时,Δy Δx 趋近于2x a, 即f'(x )=2x a .∴f'(1)=2a .又f (1)=1a-1, ∴f (x )在x=1处的切线l 的方程是y-1a +1=2a (x-1).令x=0,得y=-1a -1.令y=0,得x=a+12. ∴l 与两坐标轴围成的三角形的面积为S=12|-1a -1|·|a+12| =14(a +1a +2)≥14×(2+2)=1. 当且仅当a=1a ,即a=1时,直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小,且最小值为1.。

选修第一章一、选择题．(·泉州高二检测)若()＝－，则′(α)等于( )．α．α．＋α．＋α[答案][解析]∵()＝－，∴′()＝，∴′(α)＝α，故选.．设函数()＝＋的导数为′()＝＋，则数列{}(∈*)的前项和是( )．．[答案][解析]∵()＝＋的导数为′()＝＋，∴＝，＝，∴()＝＋，∴()＝＋＝(＋)，∴数列{}(∈*)的前项和为：＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝，故选.．(·邯郸高二检测)已知二次函数()的图象如图所示，则其导函数′()的图象大致形状是( )[答案][解析]依题意可设()＝＋(<，且>)，于是′()＝，显然′()的图象为直线，过原点，且斜率<，故选.．已知函数()的导函数为′()，且满足()＝′()＋，则′()＝( )．－．－．－－．－[答案][解析]∵()＝′()＋，∴′()＝′()＋，∴′()＝′()＋，解得′()＝－，故选.．曲线＝在点处的切线与轴、直线＝π所围成的三角形的面积为( )．π．π．(＋π)[答案][解析]曲线＝在点处的切线方程为＝－，所围成的三角形的顶点为()，(π，)，(π，－π)，∴三角形面积为.．已知()＝(>)的导函数是′()，记＝′()，＝(＋)－()，＝′(＋)，则( )．>> ．>>．>> ．>>[答案][解析]记(，())，(＋，(＋))，则由于＝(＋)－()＝，表示直线的斜率，＝′()表示函数()＝在点处的切线斜率；＝′(＋)表示函数()＝在点处的切线斜率．所以，>>.二、填空题．(·全国卷Ⅲ文，)已知()为偶函数，当≤时，()＝－－－，则曲线＝()在点()处的切线方程是[答案]＝[解析]当>时，－<，则(－)＝－＋.又()为偶函数，所以()＝(－)＝＋，所以当>时，′()＝－＋，则曲线＝()在点()处的切线的斜率为′()＝，所以切线方程为－＝(－)，即＝.．(·太原高二检测)设函数()＝(＋φ)(＜φ＜π)，若()＋′()是奇函数，则φ＝[答案][解析]′()＝－(＋φ)，()＋′()＝(＋φ)－(＋φ)＝.若()＋′()为奇函数，则()＋′()＝，即＝，∴φ＋＝π(∈)．又∵φ∈(，π)，∴φ＝.．已知直线＝－与曲线＝(＋)相切，则的值为[答案]。

导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。

01第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课时过关·能力提升基础巩固1已知函数y=f(x)=x2+1,则当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44解析∵x=2,Δx=0.1,∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.答案B2当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A.在区间[x0,x1]上的平均变化率B.在x=x0处的变化率C.在x=x1处的变化量D.在区间[x0,x1]上的导数答案A3若函数f(x)在x0处可导,则limℎ→0f(x0+h)-f(x0)h的值()A.与x0,h都有关B.仅与x0有关,而与h无关C.仅与h有关,而与x0无关D.与x0,h均无关解析由导数的概念可知,limh→0f(x0+ℎ)-f(x0)ℎ=f'(x0),仅与x0有关,与h无关.故选B.答案B4已知函数f(x)=2x+1,则函数f(x)从x0变化到x0+Δx的平均变化率为()A.-2B.2C.3D.不确定解析f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)+1-2x0-1=2Δx,故平均变化率为f(x0+Δx)-f(x0)Δx =2ΔxΔx=2.答案B5已知某质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是()A.-3B.3C.6D.-6解析由平均速度和瞬时速度的关系可知,s'|t=1=limΔt→0(-3Δt-6)=-6.答案D6如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于.答案-17函数y=f(x)=x+1x在x=2处的导数是.解析f'(2)=limΔx→0f(2+Δx)-f(2)=lim Δx→02+Δx+12+Δx-(2+12)Δx=lim Δx→0(1-12(2+Δx))=34.答案348航天飞机发射后的一段时间内,t时刻的高度h=f(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.(1)f(0),f(1)分别表示什么?(2)求第1 s内高度的平均变化率;(3)求第1 s时高度的瞬时变化率,并说明它的意义.分析先确定f(0),f(1)的含义,再利用平均变化率和瞬时变化率的定义求解.解(1)f(0)表示航天飞机未发射时的高度,f(1)表示航天飞机发射1 s时的高度.(2)ΔℎΔt =f(1)-f(0)1-0=80,即第1 s内高度的平均变化率为80 m/s.(3)f'(1)=limΔt→0ΔhΔt=limΔt→0f(1+Δt)-f(1)Δt=limΔt→0[5(Δt)2+45Δt+120]=120,即第1 s时高度的瞬时变化率为120 m/s.它说明在第1 s附近,航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加.9已知质点做直线运动,且位移s是时间t的函数:s=s(t)=3t2+2t+1.(1)求从t=2到t=2+Δt的平均速度,并分别求当Δt=1,Δt=0.1与Δt=0.01时的平均速度;(2)求当t=2时的瞬时速度.分析(1)根据平均变化率的概念可求平均速度;(2)即求位移s在t=2处的导数.解(1)从t=2到t=2+Δt的平均速度为Δs Δt=s(2+Δt)-s(2)Δt=3(2+Δt)2+2(2+Δt)+1-3×4-2×2-1=14Δt+3(Δt)2=14+3Δt.当Δt=1时,平均速度为14+3×1=17;当Δt=0.1时,平均速度为14+3×0.1=14.3;当Δt=0.01时,平均速度为14+3×0.01=14.03.(2)当t=2时的瞬时速度为v=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0(14+3Δt)=14.能力提升1已知函数y=f(x)=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则limΔx→0ΔyΔx等于()A.2B.2xC.2+ΔxD.2+(Δx)2解析∵邻近一点的坐标为(1+Δx,2+Δy),∴2+Δy=f(1+Δx)=(1+Δx)2+1=2+2Δx+(Δx)2.∴Δy=(Δx)2+2Δx.∴ΔyΔx=2+Δx.∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(2+Δx)=2.故选A.答案A2已知一个物体的运动方程为s=s(t)=1-t+t2,其中位移s的单位是m,时间t的单位是s,则物体在第3 s时的瞬时速度是()A.7 m/sB.6 m/sC.5 m/sD.8 m/s解析s'(3)=limΔt→0s(3+Δt)-s(3)Δt=lim Δt→0[1-(3+Δt)+(3+Δt)2]-(1-3+32)Δt=limΔt→0(5+Δt)=5.答案C3已知函数f(x)=ax+3,若f'(1)=3,则a的值为() A.2 B.-2C.3D.-3解析∵f'(1)=limΔx→0f(1+Δx)-f(1)=lim Δx→0a(1+Δx)+3-(a+3)=a,∴f'(1)=a=3.答案C4函数y=-√x在点x=4处的导数是()A.18B.-18C.1 16D.-116解析∵Δy=-√4+Δx +√4=1 2−√4+Δx=√4+Δx-2√4+Δx=2√4+Δx(√4+Δx+2),∴ΔyΔx =2√4+Δx(√4+Δx+2).∴limΔx→0ΔyΔx=limΔx→2√4+Δx(√4+Δx+2)=2×√4×(√4+2)=116.∴y'|x=4=116.答案C5已知质点运动规律s=12gt 2,则在时间区间[3,3+Δt ]内的平均速度等于 (g=10 m/s 2). 答案30+5Δt6已知成本c 与产量q 的函数关系式为c=4q 2+q-6,求当产量q=10时的边际成本.(注:边际成本是指在一定产量水平下,增加或减少一个单位产量所引起成本总额的变动数) 分析由题意知当q=10时的边际成本即为函数c=4q 2+q-6在q=10处的导数. 解∵Δc=4(10+Δq )2+(10+Δq )-6-(4×102+10-6)=4(Δq )2+80Δq+Δq=4(Δq )2+81Δq ,∴Δc Δq=4(Δq )2+81ΔqΔq=4Δq+81. ∴边际成本为lim Δq →0Δc Δq=lim Δq →0(4Δq+81)=81.故当产量q=10时的边际成本为81.7路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度从路灯在地面上的射影点C 处沿某直线离开路灯.(1)求身影的长度y 与人和路灯间的水平距离x 之间的关系式; (2)求人离开路灯后,在0 s 到10 s 内身影的平均变化率.分析(1)画出示意图,根据平面几何知识,可求y 与x 之间的关系;(2)由求平均变化率的步骤即可得解. 解(1)如图,设人从点C 运动到B 处的路程为x m,AB 的长度为身影的长度,AB 的长度为y m .由于CD ∥BE ,则AB AC=BE CD, 即yy+x =1.68,所以y=14x.(2)84 m/min =1.4 m/s,当从0 s 到10 s 时,身影的长度增加了14×1.4×10-14×1.4×0=72(m),身影的平均变化率为7210-0=720(m/s),即人离开路灯后,在0 s 到10 s 内身影的平均变化率为720 m/s . ★8柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠液体状.如果开始加热后第x h 沥青的温度(单位:℃)为y=f (x )={80x 2+20,0≤x ≤1,-2049(x 2-2x -244),1<x ≤8.求开始加热后第15 min 和第4 h 沥青温度变化的瞬时速度,并说明它们的意义.解∵15 min =0.25 h,且当0≤x ≤1时,f (x )=80x 2+20,∴ΔyΔx =f (0.25+Δx )-f (0.25)Δx=80(0.25+Δx )2+20-(80×0.252+20) =80[0.5Δx+(Δx )2]=40+80Δx. ∴f'(0.25)=lim Δx →0(40+80Δx )=40.又当1<x ≤8时,f (x )=-2049(x 2-2x-244),∴当x=4时,Δy Δx= -2049[(4+Δx )2-2(4+Δx )-244]+2049(42-2×4-244)Δx=-2049[6Δx+(Δx )2]Δx =-2049(6+Δx ). ∴f'(4)=limΔx →0Δy Δx =lim Δx →0[-2049(6+Δx )] =-2049×6=-12049. 在第15 min 与第4 h,沥青温度的瞬时变化率分别为40与-12049,说明在第15 min 附近,沥青的温度大约以40 ℃/h 的速率上升;在第4 h 附近,沥青温度大约以12049℃/h 的速率下降.。