2018年高考数学二轮复习专题4立体几何突破点9空间几何体表面积或体积的求解课件文

一．命题类型1.几何体的体积2.与球有关的面积问题3.空间几何体的体积、面积与函数的综合4.面积、体积的最值问题5.折、展、转等问题6.与三视图有关的几何体表面积和体积【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．3．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图．2.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．1.有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S 之间的关系是S′＝24S. (2)对于图形中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.2.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则.3.特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.二．命题类型举例及防陷阱措施1.几何体的体积例1. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如 “堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12A A A B ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A. 13B. 23C. 1D. 2【答案】D∴当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时， AC BC ==此时“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的体积： 1222V ⎛=⨯=⎝ 故选D练习1. 17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD 3”中的常数k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V ＝kD 3，其中，在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么，k 1∶k 2∶k 3＝( ) A. 4π∶6π∶1 B. 6π∶4π∶2 C. 1∶3∶12π D. 1∶32∶6π【答案】D【解析】球中， 33331144,33266D V R D k D k ππππ⎛⎫====∴= ⎪⎝⎭； 等边圆柱中， 23322,244D V D D k D k πππ⎛⎫=⋅==∴= ⎪⎝⎭； 正方体中， 3333,1V D k D k ==∴=； 所以12336::::11::642k k k πππ==.故选D. 练习2. 正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( ) A. 32 B. 92 C. 34 D. 94 【答案】B【解析】设原棱锥高为h ，底面面积为S ，则V ＝13Sh ，新棱锥的高为h 2，底面面积为9S ，∴V ′＝13·9S ·h 2，∴V V '＝92.选B. 练习3. 已知四棱锥P ABCD -的顶点都在半径R 的球面上，底面ABCD 是正方形，且底面ABCD 经过球心O ， E 是AB 的中点， PE ⊥底面ABCD ，则该四棱锥P ABCD -的体积等于__________．【答案】33R 【解析】画出如下图形，练习4．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E ， F ， 1F ， 1E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为_______.【答案】94【解析】因为E ， F ， 1F ， 1E 分别为所在棱的中点，所以棱柱1111EFBC E F B C -的体积393344EFBC ABC ABC V S S S ∆∆=⨯=⨯=，设甲中水面的高度为h ，则99,44ABC ABC S h S h ∆∆⨯=∴=，故答案为94. 练习5. 已知球O 的直径PQ ＝4，A ，B ，C 是球O 球面上的三点，△ABC 是等边三角形，且∠APQ ＝∠BPQ ＝∠CPQ ＝30°，则三棱锥P －ABC 的体积为________．【解析】设球心为M ，三角形ABC 截面小圆的圆心为O ，∵ABC 是等边三角形， 30APQ BPQ CPQ ∠=∠=∠=︒∴P 在面ABC 的投影O 是等边ABC 的重心（此时四心合一）PQ 是直径，9043030330PCQ PC cos PO cos OC ∴∠=︒∴=︒=∴=︒==︒．．O 是等边ABC 的重心23OC OH ∴=∴等边ABC的高2360OH AC sin ===︒． 三棱锥P ABC -体积1113333224ABC V PO S =⋅=⨯⨯⨯⨯=练习6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则三棱锥A －B 1D 1D 的体积为________ cm 3.【答案】3 【解析】长方体 1111ABCD A BC D -中的底面ABCD 是正方形．连接AC 交BD 于O ，则AC BD ⊥，又1D D BD ⊥，2.与球有关的面积问题例2. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上， 90BAC ∠=︒， BC ， PA = PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 163π B. 4π C. 323π D. 16π 【答案】C【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥ ，又因为90BAC ∠=︒，所以AB AC ⊥ ，所以三棱锥P ABC -的外接球就是以,,PA AB AC 为长宽高的长方体的外接球，所以外接球的直径等于长方体的对角线，可得(22222222415R PA AB AC PA BC =++=+=+=， 此三棱锥外接球的表面积为2415R ππ=，故选C.练习1. 18．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面0,90,4,ABC BAC AB AC PA PC ∠===== ，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A. 24π B. 28π C. 32π D. 36π【答案】D【解析】建系以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以A 点为原点，建系，球心一定在底面三角形ABC 的外心的正上方，设球心点坐标为O （2，2，z ）,P(0,3,1),C(0,4,0),根据球心的定义知|OC|=|OP|即()224+1+z-1=4+4+ 1.z z ⇒=- 故圆心为()2,2,1-，半径为OC=3表面积为36π.故答案为：D.【方法总结】：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。

空间几何体的表面积与体积【考点梳理】1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.考点一、空间几何体的表面积【例1】(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋2 2C．14＋2 2 D．15(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[答案](1)B (2)A[解析](1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为4＋22＋2＋2＝8＋22，两底面的面积和为2×12×1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.【类题通法】1.(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 【对点训练】1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81[答案]B[解析]由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.2．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8[答案]B[解析]如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.考点二、空间几何体的体积【例2】(1)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3D ．2π(2)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m 3.[答案](1)C (2)2[解析](1)过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示．由于V 圆柱＝π·AB 2·BC ＝π×12×2＝2π， V 圆锥＝13π·CE 2·DE ＝13π·12×(2－1)＝π3，所以该几何体的体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝2π－π3＝5π3.(2)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V ＝13Sh ＝13×2×1×3＝2. 【类题通法】1.若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． 2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解． 【对点训练】1．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.[答案]83π[解析]由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.2．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD．1＋26π[答案]C[解析]由三视图知，该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.故选C.考点三、多面体与球的切、接问题【例3】在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π3[答案]B[解析]由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，则r＝2.此时2r＝4＞3，不合题意．因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．由2R＝3，即R＝32.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.[变式1]若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．[解析]将直三棱柱补形为长方体ABEC-A′B′E′C′，则球O是长方体ABEC-A′B′E′C′的外接球，∴体对角线BC′的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13，故S球＝4πR2＝169π.[变式2]若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解析]如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16. 【类题通法】1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题． 【对点训练】已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π[答案]C[解析]如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O -ABC ＝V C -AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O -ABC 最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积V O-ABC最大为13×12R2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.。

【知识归纳梳理】一、空间几何体的结构特征 1。

多面体的结构特征 （1)棱柱错误! （2）棱锥错误!（3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，截面与底面之间的部分。

2。

旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到.(2）圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边旋转得到。

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。

（4）球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到。

[注意] (1)认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时，易忽视定义，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识。

（2）台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行. 二、空间几何体的三视图与直观图 1.空间几何体的三视图（1）空间几何体的三视图包括正（主）视图、侧(左）视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线。

（2）三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等。

②画法规则：正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽； ③看不到的线画虚线。

［注意] 若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线，在三视图中,要注意实、虚线的区别。

2.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测_画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴、y 轴，两轴相交于点O ,画直观图时，把它们画成对应的x ′轴、y ′轴，两轴相交于点O ′,且使∠x ′O ′y ′＝ 45°（或135°) .（2)已知图形中平行于x 轴、y 轴的线段,在直观图中分别平行于x ′轴、y ′轴。

(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半。

(4)在已知图形中过O 点作z 轴垂直于xOy 平面,在直观图中对应的z ′轴也垂直于x ′O ′y ′平面，已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中仍平行于z ′轴且长度不变.[注意］ 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系： S 直观图＝错误!S 原图形,S 原图形＝2错误!S 直观图. 三、空间几何体的表面积和体积 1.空间几何体的表面积当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥，由此可得： S 圆柱侧＝2πrl 错误!S 圆台侧＝π（r ＋r ′）l 错误!S 圆锥侧＝πrl ［注意］ 组合体的表面积应注意重合部分的处理。

专题四立体几何与空间向量第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ空间几何体的三视图及侧面展开问题·T71.“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)．2．考查一个小题时，此小题一般会出现在第4～8题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小题难度一般，另一个小题难度稍高，一般会出现在第10～16题的位置上，此小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查.空间几何体的截面问题·T12卷Ⅱ圆锥的侧面积·T16卷Ⅲ三视图的识别·T3三棱锥的体积及外接球问题·T102017卷Ⅰ空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7卷Ⅱ空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4卷Ⅲ球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T82016卷Ⅰ有关球的三视图及表面积的计算·T6卷Ⅱ空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T6卷Ⅲ空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T9直三棱柱的体积最值问题·T10空间几何体的三视图(基础型) 一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．由三视图还原到直观图的三个步骤(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．[注意]在读图或者画空间几何体的三视图时，应注意三视图中的实线和虚线．[考法全练]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：选A.由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5C．3 D．2解析：选B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N 的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.3．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为()A.12B.22C.24D.14解析：选D.由三棱锥C -ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C -ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C -ABD 的侧视图的面积为14，故选D.4．(2018·长春质量监测(二))如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为( )A ．2 B. 5 C ．2 2D ．3解析：选D.如图，三棱锥A -BCD 即为所求几何体，根据题设条件，知辅助的正方体棱长为2，CD ＝1，BD ＝22，BC ＝5，AC ＝2，AB ＝3，AD ＝5，则最长棱为AB ，长度为3.5．(2018·石家庄质量检测(一))如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面中，最小面的面积是( )A ．2 3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C.在正方体中还原该几何体，如图中三棱锥D -ABC 所示，其中正方体的棱长为2，则S △ABC ＝2，S △DBC ＝22，S △ADB ＝22，S △ADC ＝23，故该三棱锥的四个面中，最小面的面积是2，选C.空间几何体的表面积和体积(综合型)柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)． (2)S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)．(3)S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)． (2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)．(3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S ，S ′分别为上下底面面积，h 为高)(不要求记忆)．[典型例题]命题角度一 空间几何体的表面积(1)(2018·潍坊模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．4＋23B ．4＋4 2C ．6＋2 3D ．6＋4 2(2)(2018·合肥第一次质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．5π＋18B ．6π＋18C ．8π＋6D ．10π＋6【解析】 (1)由三视图还原几何体的直观图如图所示，易知BC ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥PC ，又AP ＝AC ＝BC ＝2，所以PC ＝22＋22＝22，又AB ＝22，所以S △PBC ＝S △P AB ＝12×2×22＝22，S △ABC ＝S △P AC ＝12×2×2＝2，所以该几何体的表面积为4＋4 2.(2)由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2×12×4π×12＋2×12×π×12＋2×3＋12×2π×1×3＝8π＋6. 【答案】 (1)B (2)C求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差得几何体的表面积．命题角度二 空间几何体的体积(1)(2018·武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.22C.33D.23(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8，则该圆锥的体积为________．【解析】 (1)由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中，截去一个三棱柱AA 1D 1­BB 1C 1和一个三棱锥C -BC 1D 后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥D -ABC 1D 1，四棱锥D -ABC 1D 1的底面积为S 四边形ABC 1D 1＝2×2＝22，高h ＝22，其体积V ＝13S 四边形ABC 1D 1h ＝13×22×22＝23.故选D.(2)由题意画出图形，如图，设AC 是底面圆O 的直径，连接SO ，则SO 是圆锥的高．设圆锥的母线长为l ，则由SA ⊥SB ，△SAB 的面积为8，得12l 2＝8，得l ＝4.在Rt △ASO 中，由题意知∠SAO ＝30°，所以SO ＝12l ＝2，AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.【答案】 (1)D (2)8π求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形，转化为易计算体积的几何体．[对点训练]1．(2018·洛阳第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.2．(2018·唐山模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．3 B.113 C ．7D.233解析：选B.由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为2，1，2，体积为4，切去的三棱锥的体积为13，故该几何体的体积V ＝4－13＝113.故选B.多面体与球(综合型)[典型例题]命题角度一 外接球(2018·南宁模拟)三棱锥P -ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，P A⊥PB ，三棱锥P -ABC 的外接球的体积为( )A.272π B.2732πC ．273πD ．27π【解析】 因为三棱锥P -ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，所以△P AB ≌△PBC ≌△P AC .因为P A ⊥PB ，所以P A ⊥PC ，PC ⊥PB .以P A ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P -ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P -ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝⎛⎭⎫3323＝2732π，故选B.【答案】 B解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．命题角度二 内切球已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A.7π6B.4π3C.2π3D.π2【解析】 当注入水的体积是该三棱锥体积的78时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x (各棱长都相等)，依题意，⎝⎛⎭⎫x 43＝18，得x ＝2.易得小三棱锥的高为263，设小球半径为r ，则13S 底面·263＝4·13·S 底面·r ，得r ＝66，故小球的表面积S ＝4πr 2＝2π3.故选C.【答案】 C求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．命题角度三 与球有关的最值问题(2018·高考全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3【解析】 如图，E 是AC 中点，M 是△ABC 的重心，O 为球心，连接BE ，OM ，OD ，BO .因为S △ABC ＝34AB 2＝93，所以AB ＝6，BM ＝23BE ＝23AB 2－AE 2＝2 3.易知OM ⊥平面ABC ，所以在Rt △OBM 中，OM ＝OB 2－BM 2＝2，所以当D ，O ，M 三点共线且DM ＝OD ＋OM 时，三棱锥D -ABC 的体积取得最大值，且最大值V max ＝13S △ABC ×(4＋OM )＝13×93×6＝18 3.故选B.【答案】 B多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题，二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问题．[对点训练]1．(2018·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )A.83π B.323π C ．16πD ．32π解析：选B.设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，R 2＝(3－R )2＋(3)2，解得R ＝2，所以所求球的体积V ＝43πR 3＝43π×23＝323π，故选B.2．(2018·洛阳第一次联考)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱均相切，则球O 的体积为( )A.823πB.833πC.863π D.1623π解析：选A.将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径为正方体的棱长22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π，故选A.3．已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋163，则球O 的体积等于( )A.42π3B.162π3C.322π3D.642π3解析：选D.由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥．因为该四棱锥的表面积等于16＋163，设球O 的半径为R ，则AC ＝2R ，SO ＝R ，如图，所以该四棱锥的底面边长AB ＝2R ，则有(2R )2＋4×12×2R × （2R ）2－⎝⎛⎭⎫22R 2＝16＋163，解得R ＝22，所以球O 的体积是43πR 3＝6423π.故选D.一、选择题1．(2018·长沙模拟)如图是一个正方体，A ，B ，C 为三个顶点，D 是棱的中点，则三棱锥A -BCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)( )解析：选A.正视图和俯视图中棱AD 和BD 均看不见，故为虚线，易知选A.2．(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝AB ＝P A ＝2，AB ⊥AD ，P A ⊥平面ABCD ，故△P AD ，△P AB 为直角三角形， 因为P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，且P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥PB ，所以△PBC 为直角三角形，容易求得PC ＝3，CD ＝5，PD ＝22， 故△PCD 不是直角三角形，故选C.3．(2018·沈阳教学质量监测(一))如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3解析：选A.由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.4．(2018·西安八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.4π3B.5π3 C ．2＋2π3D ．4＋2π3解析：选B.由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的半圆柱组合而成的组合体，故其体积V ＝23π×13＋12π×12×2＝5π3，故选B.5．(2018·长春质量检测(一))已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，AB ＝6，BC ＝23，且四棱锥O -ABCD 的体积为83，则R 等于( )A ．4B ．2 3 C.479D.13解析：选A.如图，设矩形ABCD 的中心为E ，连接OE ，EC ，由球的性质可得OE ⊥平面ABCD ，所以V O ­ABCD ＝13·OE ·S 矩形ABCD ＝13×OE×6×23＝83，所以OE ＝2，在矩形ABCD 中可得EC ＝23，则R ＝OE 2＋EC 2＝4＋12＝4，故选A.6．(2018·南昌调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.23 B.43 C ．2D.83解析：选A.由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A -BCD 所示，故该几何体的体积V ＝13×12×1×2×2＝23.7．(2018·辽宁五校协作体联考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是( )A ．8B ．16C ．24D ．48解析：选A.由三视图还原三棱锥的直观图，如图中三棱锥P ­ABC 所示，且长方体的长、宽、高分别为6，2，4，△ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝6，三棱锥P -ABC 的高为4，故其体积为13×12×6×2×4＝8，故选A.8．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A.π27B.8π27C.π3D.2π9解析：选B.如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，设V (r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，则V ′(r )＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫233＝8π27. 9．(2018·福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( )A ．14B ．10＋4 2 C.212＋4 2 D.21＋32＋4 2解析：选D.由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫22－12×1×1＋12×(22－12)＋12×22＋2×22＋12×32×(2)2＝21＋32＋42，故选D. 10．(2018·太原模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )A ．3 3B ．2 6 C.21D ．2 5解析：选B.由三视图得，该几何体是四棱锥P -ABCD ，如图所示，ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝3，平面P AD ⊥平面ABCD ，过点P 作PE ⊥AD ，则PE ＝4，DE ＝2，所以CE ＝22，所以最长的棱PC ＝PE 2＋CE 2＝26，故选B.11．(2018·南昌调研)已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，P A 为球O 的直径且P A ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为( )A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3解析：选B.取AB 的中点O 1，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC 所在小圆O 1是以AB 为直径的圆，所以O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1，又球O 的直径P A ＝4，所以OA ＝2，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2.12．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334B.233C.324D.32解析：选A.记该正方体为ABCD -A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′­AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×⎝⎛⎭⎫222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A. 二、填空题13．(2018·洛阳第一次联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是一个对角线长为2的正方形，底面积S ＝12×2×2＝2，高h ＝1，则该几何体的体积V ＝13Sh ＝23.答案：2314．(2018·福州四校联考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：在长、宽、高分别为3，33，33的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C -BAP ，其中底面BAP 是∠BAP ＝90°的直角三角形，AB ＝3，AP ＝33，所以BP ＝6，又棱CB ⊥平面BAP 且CB ＝33，所以AC ＝6，所以该几何体的表面积是12×3×33＋12×3×33＋12×6×33＋12×6×33＝27 3. 答案：27 315．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π16．(2018·潍坊模拟)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．解析：设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为r ，由题意知4πr 2＝12π，所以r 2＝3，又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12，所以a 2＝6－h 22，所以正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝⎝⎛⎭⎫6－h 22h ，则V ′＝6－32h 2，由V ′>0，得0<h <2，由V ′<0，得h >2，所以当h ＝2时，正四棱柱的体积最大，V max ＝8.答案：2。

送分专题(五)空间几何体的三视图、表面积与体积[全国卷3年考情分析]1．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于() A．1 B. 2C．2 D．2 2解析：选C依题意得，题中的长方体的正视图和侧视图的高都等于2，正视图的长是2，因此相应的正视图的面积等于2×2＝2.2.(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )解析：选B 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.3．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2解析：选B 在正方体中还原该四棱锥如图所示， 从图中易得最长的棱为AC 1＝AC 2＋CC 21＝(22＋22)＋22＝2 3.[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1.(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋(23)2＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.2．(2017·云南11校跨区调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选C 依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是直角边长分别为1,2的直角三角形，侧棱长为3，因此其体积为⎝⎛⎭⎫12×1×2×3＝3. 3．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析：选A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.4．若正三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AC ，且BC ＝1，则三棱锥A -BCD 的高为( ) A.66 B.33 C.22D.63解析：选A 设三棱锥A -BCD 的高为h .依题意得AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝AC ＝AD ＝22BC ＝22，△BCD 的面积为34×12＝34.由V A -BCD ＝V B -ACD 得13S △BCD ·h ＝13S △ACD·AB ，即13×34×h ＝13×12×⎝⎛⎭⎫222×22，解得h ＝66，即三棱锥A -BCD 的高h ＝66. 5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．60＋12 5C ．56＋12 5D ．30＋6 5解析：选D 如图，在长方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，还原该三棱锥P -BCD ，易得BD ＝PB ＝41，PD ＝25，∴S △PBD ＝12×25×(41)2－⎝⎛⎭⎫2522＝65， 又易得S △BCD ＝12×4×5＝10，S △BCP ＝12×BC ×PC ＝10，S △PCD ＝12×CD ×CC 1＝10，∴该三棱锥的表面积是30＋6 5.[准解·快解·悟通][题点·考法·全练]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π4解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以圆柱的体积V ＝34π×1＝3π4. 2．(2017·贵阳检测)三棱锥P -ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 依题意，设题中球的球心为O 、半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P -ABC 的高的最大值为5＋3＝8.3．半径为2的球O 中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)．当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是________．解析：依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a 、高为h ，则有16＝2a 2＋h 2≥22ah ，即4ah ≤162，该正四棱柱的侧面积S ＝4ah ≤162，当且仅当h ＝2a ＝22时取等号．因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4π×22－162＝16(π－2)．答案：16(π－2)[准解·快解·悟通][专题过关检测]一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：选D 先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确．2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．92C.32D ．3解析：选D 由三视图判断该几何体为四棱锥，且底面为梯形，高为x ，故该几何体的体积V ＝13×12×(1＋2)×2×x ＝3，解得x ＝3.3．(2017·广州综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为13×4×2＝83，满足条件，所以俯视图可以为一个直角三角形．选D.4．(2017·新疆第二次适应性检测)球的体积为43π，平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，则球心O 到平面α的距离为( )A ．1 B. 2 C. 3D. 6解析：选B 依题意，设该球的半径为R ，则有4π3R 3＝43π，由此解得R ＝3，因此球心O 到平面α的距离d ＝R 2－12＝ 2.5．(2018届高三·湖南十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为( )A ．45π＋96B ．(25＋6)π＋96C ．(45＋4)π＋64D ．(45＋4)π＋96解析：选D 几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，几何体的表面积为S ＝6×42＋π×22＋π×2×42＋22＝(45＋4)π＋96.6．(2018届高三·西安八校联考)某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )A.12B.24C.22D.32解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫a 2a 2＝22. 7．在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且BP PD 1＝12，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M -PBC 的体积为( )A ．1B ．32C.92D ．与M 点的位置有关解析：选B ∵BP PD 1＝12，∴点P 到平面BC 1的距离是D 1到平面BC 1距离的13，即为D 1C 13＝1.M 为线段B 1C 1上的点，∴S △MBC ＝12×3×3＝92，∴V M -PBC ＝V P -MBC ＝13×92×1＝32.8．(2017·贵州适应性考试)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P -BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D 正视图，底面B ，C ，D 三点，其中D 与C 重合，随着点P 的变化，其正视图均是三角形且点P 在正视图中的位置在边B 1C 1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a ，则S 正视图＝12a 2；设A 1C 1的中点为O ，随着点P 的移动，在俯视图中，易知当点P 在OC 1上移动时，S 俯视图就是底面三角形BCD 的面积，当点P 在OA 1上移动时，点P 越靠近A 1，俯视图的面积越大，当到达A 1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S 俯视图＝a 2，所以S 俯视图S 正视图的最大值为a 212a 2＝2.9．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时期的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④解析：选D 设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h2，则截面圆的面积为π⎝⎛⎭⎫R －h 22；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.10．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B -AD -C ，则三棱锥B -ACD 的外接球的表面积为( )A ．5πB ．203π C ．10πD ．34π解析：选D 依题意，在三棱锥B -ACD 中，AD ，BD ，CD 两两垂直，且AD ＝4，BD ＝CD ＝3，因此可将三棱锥B -ACD 补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R ＝32＋32＋42＝34，故三棱锥B -ACD 的外接球的表面积为4πR 2＝34π.11．(2017·郑州第二次质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A.π27B.8π27C.π3D.2π9解析：选B 如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，则V ′＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0，得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫233＝8π27. 12．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π解析：选C 取SC 的中点E ，连接AE ，BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S -ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA ＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，故球O 的表面积为4π×OA 2＝16π. 二、填空题13．(2016·四川高考)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由三视图可得三棱锥如图所示，则V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×23×1×1＝33.答案：3314．(2017·山东高考)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2. 答案：2＋π215．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接AO ，OB ，设球O 的半径为R ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，∴V S -ABC ＝V A -SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝⎛⎭⎫12×SC ×OB ×AO ， 即9＝13×⎝⎛⎭⎫12×2R ×R ×R ，解得 R ＝3， ∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.答案：36π16．某几何体的三视图如图所示，当xy 取得最大值时，该几何体的体积是________．解析：由题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD，CD＝y 2，AB＝y，AC＝5，CP＝7，BP＝x，∴BP2＝BC2＋CP2，即x2＝25－y2＋7，x2＋y2＝32≥2xy，则xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立．此时该几何体的体积V＝13×2＋42×3×7＝37.答案：37。

第1讲 空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题高考定位 1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π解析 由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π.答案 A2.(2017·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A.90πB.63πC.42πD.36π解析 法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.法二 (估值法)由题意知，12V 圆柱<V 几何体<V 圆柱，又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有63π符合. 答案 B3.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.π B.3π4 C.π2D.π4解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.答案 B4.(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________. 解析 如图，连接OA ，OB ，因为SA ＝AC ，SB ＝BC ，所以OA ⊥SC ，OB ⊥SC .因为平面SAC ⊥平面SBC ，平面SAC ∩平面SBC ＝SC ，且OA ⊂平面SAC ，所以OA ⊥平面SBC . 设球的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ， 所以V A －SBC ＝13×S △SBC ×OA ＝13×12×2r ×r ×r ＝13r 3，所以13r 3＝9⇒r ＝3，所以球的表面积为4πr 2＝36π.答案 36π考 点 整 合1.空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等. (2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体. 2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；③S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)；④S 球表＝4πR 2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.热点一空间几何体的三视图与直观图【例1】(1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )(2)(2017·泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于( )A.4 2B.34C.41D.5 2解析(1)由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.(2)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为5的三棱锥P－ABC(如图所示).棱锥最长的棱长PA＝25＋16＝41.答案(1)B (2)C探究提高 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练1】(1)(2017·兰州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之和为( )A.1B.2C.3D.4(2)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析(1)设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面C1CDD1的射影为P″，如图所示.∴三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图分别为△P ′AD 与△P ″CD ， 因此所求面积S ＝S △P ′AD ＋S △P ″CD ＝12×1×2＋12×1×2＝2. (2)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图①，故其侧视图为图②.答案 (1)B (2)B热点二 几何体的表面积与体积 命题角度1 空间几何体的表面积【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π(2)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A.10B.12C.14D.16解析 (1)几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由三视图知r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4. 所以l ＝22＋（23）2＝4. 故该几何体的表面积S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.(2)由三视图可画出直观图，该直观图各面内只有两个相同的梯形的面，S 梯＝12×(2＋4)×2＝6，S 全梯＝6×2＝12.答案 (1)C (2)B探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练2】 (2017·枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是13，则它的表面积是________.解析 由题设及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去4个三棱锥后剩余的内接正三棱锥B －A 1C 1D (如图所示).设正方体的棱长为a ，则几何体的体积是V ＝a 3－4×13×12a 2·a ＝13a 3＝13，∴a ＝1，∴三棱锥的棱长为2， 因此该三棱锥的表面积为S ＝4×34×(2)2＝2 3. 答案 2 3命题角度2 空间几何体的体积【例2－2】 (1)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( ) A.3 B.32 C.1D.32(2)(2017·山东卷)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________.解析 (1)如图，在正△ABC 中，D 为BC 中点，则有AD ＝32AB ＝3， 又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高.∴V A －B 1DC 1＝13S △B 1DC 1·AD ＝13×12×2×3×3＝1.(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2，1，1的长方体和两个半径为1，高为1的14圆柱体构成，所以V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案 (1)C (2)2＋π2探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【训练3】 (1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D.1＋26π(2)(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.60B.30C.20D.10解析 (1)由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π.(2)由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥A 1－BCD ，V A 1－BCD ＝13×12×3×5×4＝10.答案 (1)C (2)D热点三 多面体与球的切、接问题【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A.4πB.9π2 C.6πD.32π3解析 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. 2r ＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大.由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.答案 B【迁移探究】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积. 解 将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1， 则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球. ∴体对角线BC 1的长为球O 的直径. 因此2R ＝32＋42＋122＝13. 故S 球＝4πR 2＝169π.探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练4】 (2017·济南一中月考)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144πD.256π解析 因为△AOB 的面积为定值，所以当OC 垂直于平面AOB 时，三棱锥O －ABC 的体积取得最大值.由13×12R 2×R ＝36，得R ＝6.从而球O 的表面积S ＝4πR 2＝144π.答案 C1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4)求解几何体的表面积时要注意S 表＝S 侧＋S 底.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a 的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a ，a 2，22a .3.锥体体积公式为V ＝13Sh ，在求解锥体体积中，不能漏掉13.一、选择题1.(2017·北京燕博园研究中心)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.πB.2πC.3πD.8π解析 由三视图知，该几何体是一个圆柱挖去一个同底的圆锥. ∴该几何体的体积V ＝3×π×12－13·π×12×3＝2π.答案 B2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A.2B.92C.32D.3解析 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S 底＝12(1＋2)×2＝3.∴V ＝13x ·3＝3，解得x ＝3. 答案 D3.(2017·衡阳联考)如右图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为( )A. 6πB.23π＋ 3 C.4πD.2π＋ 3解析 此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球组合而成.表面积为S ＝4π2＋12×2×2π＝4π. 答案 C4.(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 解析 由三视图可知原几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为1，高为3，三棱锥的底面积为12×2×1＝1，高为3.故原几何体体积为：V ＝12×π×12×3×13＋1×3×13＝π2＋1.答案 A5.(2017·衡水中学调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球( )A.414148π B.414π C.4πD.4π3解析 由三视图知该几何体为四棱锥，侧面PBC 为侧视图，PE ⊥平面ABC ，E ，F 分别是对应边的中点，底面ABCD 是边长是2的正方形，如图所示.设外接球的球心到平面ABCD 的距离为h ， 则h 2＋2＝12＋(2－h )2，∴h ＝34，R 2＝4116.∴几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝414π.答案 B 二、填空题6.(2016·四川卷)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.解析 由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h ＝1，则体积V ＝13Sh ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×1＝33. 答案337.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________.解析 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，解得a ＝2.设球的半径为R ，则2R ＝3a ，即R ＝ 3.所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π. 答案 12π8.(2017·江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________.解析 设球半径为R ，则圆柱底面圆半径为R ，母线长为2R . 又V 1＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝2πR 343πR3＝32.答案 32三、解答题9.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示.(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 10.(2017·沈阳质检)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点.(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥C 1－ABC 的体积.(1)证明 因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ， 且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABC .(2)解 ∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离. 由(1)知A 1O ⊥平面ABC 且A 1O ＝AA 21－AO 2＝3， ∴V C 1－ABC ＝V A 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1.11.如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E －ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积. (1)证明 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥BE ，且BE ∩BD ＝B ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)解 设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD 知BE ⊥BG ， 故△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E －ACD 的体积V E －ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63.故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E －ACD 的侧面积为3＋2 5.。

专题四立体几何建知识网络明内在联系高考点拨] 立体几何专题是高考中当仁不让热点之一，常以“两小一大〞呈现，小题主要考察三视图与空间几何体体积(特别是与球有关体积)与空间位置关系及空间角，一大题常考空间位置关系证明与空间角、距离探求．本专题主要从“空间几何体外表积或体积求解〞“空间中平行与垂直关系〞“立体几何中向量方法〞三大角度进展典例剖析，引领考生明确考情并提升解题技能．突破点10 空间几何体外表积或体积求解(1)(2)对于不规那么几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．(3)求解旋转体外表积与体积时，注意圆柱轴截面是矩形，圆锥轴截面是等腰三角形，圆台轴截面是等腰梯形应用.(1)可知其内切球与外接球球心一样，那么内切球半径r＝612a，外接球半径R＝64a.图10­1(2)正方体与球：设正方体ABCD­A1B1C1D1棱长为a，O为其对称中心，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1中点，J为HF 中点，如图10­1所示．①正方体内切球：截面图为正方形EFHG内切圆，故其内切球半径为OJ＝a2；②正方体棱切球：截面图为正方形EFHG外接圆，故其棱切球半径为OG＝2a 2；③正方体外接球：截面图为矩形ACC 1A 1外接圆，故其外接球半径为OA 1＝3a 2. 回访1 几何体外表积或体积1. (2021·全国甲卷)如图10­2是由圆柱与圆锥组合而成几何体三视图，那么该几何体外表积为( )图10­2A ．20πB ．24πC ．28πD ．32πC 由三视图可知圆柱底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥底面直径为4，高为23，所以圆锥母线长为232＋22S ＝16π＋4π＋8π＝28π.]2．(2021 ·全国甲卷)一个正方体被一个平面截去一局部后，剩余局部三视图如图10­3，那么截去局部体积与剩余局部体积比值为( )图10­3A.18B.17C.16D.15 D 由三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角〞后剩余局部，如下图，截去局部是一个三棱锥．设正方体棱长为1，那么三棱锥体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余局部体积V 2＝13－16＝56. 所以V 1V 2＝1656＝15，应选D.] 3．(2021·全国卷Ⅱ)如图10­4，网格纸上正方形小格边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出是某零件三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 圆柱体毛坯切削得到，那么切削掉局部体积与原来毛坯体积比值为( )图10­4A.1727B.59C.1027D.13C 由三视图可知几何体是如下图两个圆柱组合体．其中左面圆柱高为4 cm ，底面半径为2 cm ，右面圆柱高为2 cm ，底面半径为3 cm ，那么组合体体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm 3)，原毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)，那么所求比值为54π－34π54π＝1027.] 回访2 球与几何体外接与内切4．(2021 ·全国卷Ⅱ)A ，B 是球O 球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上动点．假设三棱锥O ­ABC 体积最大值为36，那么球O 外表积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256πC 如图，设球半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2. ∵V O ­ABC ＝V C ­AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 距离最大时，V O ­ABC 最大，∴当C 为与球大圆面AOB 垂直直径端点时，体积V O ­ABC 最大为13×12R 2×R ＝36， ∴R ＝6，∴球O 外表积为4πR 2＝4π×62＝144π.应选C.]5．(2021·全国卷Ⅰ)如图10­5，有一个水平放置透明无盖正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，那么球体积为( )图10­5A.500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3cm 3 A 如图，作出球一个截面，那么MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球半径为R cm ，那么R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．] 6．(2021·全国卷)三棱锥S ­ABC 所有顶点都在球O 球面上，△ABC 是边长为1正三角形，SC 为球O 直径，且SC ＝2，那么此棱锥体积为( ) A.26B ．36 C.23 D.22A 由于三棱锥S ­ABC 与三棱锥O ­ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 中点，因此三棱锥S ­ABC 高是三棱锥O ­ABC 高2倍，所以三棱锥S ­ABC 体积也是三棱锥O ­ABC 体积2倍．在三棱锥O ­ABC 中，其棱长都是1，如下图，S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝63， ∴V S ­ABC ＝2V O ­ABC ＝2×13×34×63＝26.]解时先根据条件确定几何体形状，再套用公式求解.(1)(2021·全国乙卷)如图10­6，某几何体三视图是三个半径相等圆及每个圆中两条互相垂直半径．假设该几何体体积是28π3，那么它外表积是( )图10­6A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(2)(2021·全国丙卷)如图10­7，网格纸上小正方形边长为1，粗实线画出是某多面体三视图，那么该多面体外表积为( )图10­7A ．18＋36 5B ．54＋185C ．90D ．81(1)A (2)B (1)由几何体三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球14，得到几何体如图．设球半径为R ，那么43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R 78×4πR 2＋34πR 2＝17π.应选A. (2)由三视图可知该几何体是底面为正方形斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，那么外表积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.应选B.]1．求解几何体外表积及体积技巧(1)求几何体外表积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥体积，等体积转化是常用方法，转化原那么是其高易求，底面放在几何体某一面上．(2)求不规那么几何体体积，常用分割或补形思想，将不规那么几何体转化为规那么几何体以易于求解．2．根据几何体三视图求其外表积与体积三个步骤(1)根据给出三视图判断该几何体形状．(2)由三视图中大小标示确定该几何体各个度量．(3)套用相应面积公式与体积公式计算求解．变式训练1] (1)(2021·平顶山二模)某几何体三视图如图10­8所示，那么该几何体体积为( )A.133＋π3B ．5＋π2C ．5＋π3 D.133＋π2图10­8(2)某几何体三视图(单位：cm)如图10­9所示，那么此几何体外表积是( )图10­9A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2图10­10(3)(名师押题)如图10­10，从棱长为6 cm 正方体铁皮箱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中别离出来由三个正方形面板组成几何图形．如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛水体积为________cm 3.(1)D (2)D (3)36 (1)由三视图知该几何体是由一个长方体，一个三棱锥与一个14圆柱组成，故该几何体体积为V ＝2×1×2＋13×12×1×1×2＋14×π×12×2＝133＋π2. (2)该几何体如下图，长方体长、宽、高分别为6 cm,4 cm,3 cm ，直三棱柱底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm,5 cm ，所以外表积S ＝2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5×3＋4×3＋2×12×4×3＝99＋39＝138(cm 2)． (3)最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C 1­CD 1B 1体积．又V 三棱锥C 1­CD 1B 1＝V 三棱锥C ­B 1C 1D 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12×6×6×6＝36(cm 3)，所以用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛36 cm 3体积水．]热点题型2 球与几何体切、接问题题型分析：与球有关外表积或体积求解，其核心本质是半径求解，这也是此类问题求解主线，考生要时刻谨记.先根据几何体三视图确定其构造特征与数量特征，然后确定其外接球球心，进而确定球半径，最后代入公式求值即可；也可利用球性质——球面上任意一点对直径所张角为直角，然后根据几何体构造特征构造射影定理求解.(1)(2021·南昌二模)一个几何体三视图如图10­11所示，其中正视图是正三角形，那么该几何体外接球外表积为( )图10­11A.8π3B.16π3C.48π3D.64π3(2)(2021·全国丙卷)在封闭直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 球．假设AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，那么V 最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD.32π3 (1)D (2)B (1)法一 由三视图可知，该几何体是如下图三棱锥S ­ ABC ，其中HS 是三棱锥高，由三视图可知HS ＝23，HA ＝HB ＝HC ＝2，故H 为△ABC 外接圆圆心，该圆半径为2.由几何体对称性可知三棱锥S ­ABC 外接球球心O 在直线HS 上，连接OB .设球半径为R ，那么球心O 到△ABC 外接圆距离为OH ＝|SH －OS |＝|23－R |，由球截面性质可得R ＝OB ＝OH 2＋HB 2＝|23－R |2＋22，解得R ＝433，所以所求外接球外表积为4πR 2＝4π×163＝64π3.应选D.法二 由三视图可知，该几何体是如下图三棱锥S ­ABC ，其中HS 是三棱锥高，由侧视图可知HS ＝23，由正视图与侧视图可得HA ＝HB ＝HC ＝2.由几何体对称性可知三棱锥外接球球心O 在HS 上，延长SH 交球面于点P ，那么SP 就是球直径，由点A 在球面上可得SA ⊥AP .又SH ⊥平面ABC ，所以SH ⊥AH .在Rt △ASH 中，SA ＝SH 2＋AH 2＝232＋22＝4.设球半径为R ，那么SP ＝2R ，在Rt △SPA 中，由射影定理可得SA 2＝SH ×SP ，即42＝23×2R ，解得R ＝433， 所以所求外接球外表积为4πR 2＝4π×163＝64π3.应选D. (2)由题意得要使球体积最大，那么球与直三棱柱假设干面相切．设球半径为R .因为△ABC 内切圆半径为6＋8－102＝2，所以RR ≤3，所以R ≤32，所以V max ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫323＝92π.应选B.] 解决球与几何体切、接问题关键在于确定球半径与几何体度量之间关系，这就需要灵活利用球截面性质以及组合体截面特征来确定．对于旋转体与球组合体，主要利用它们轴截面性质建立相关数据之间关系；而对于多面体，应抓住多面体构造特征灵活选择过球心截面，把多面体相关数据与球半径在截面图形中表达出来．变式训练2] (1)直三棱柱ABC ­A 1B 1C 16个顶点都在球O 球面上，假设AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，那么该三棱柱外接球体积为( ) 【导学号：85952037】A.40π3B ．4030π27 C.32030π27 D ．20π(2)(名师押题)一几何体三视图如图10­12(网格中每个正方形边长为1)，假设这个几何体顶点都在球O 外表上，那么球O 外表积是________．图10­12(1)B (2)20π (1)设△A 1B 1C 1外心为O 1，△ABC 外心为O 2，连接O 1O 2，O 2B ，OB ，如下图．由题意可得外接球球心O 为O 1O 2中点．在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos ∠BAC ＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，所以BC ＝7.由正弦定理可得△ABC 外接圆直径2r ＝2O 2B ＝BC sin 60°＝273，所以r ＝73＝213. 而球心O 到截面ABC 距离d ＝OO 2＝12AA 1＝1， 设直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1外接球半径为R ，由球截面性质可得R 2＝d 2＋r 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2132＝103，故R ＝303， 所以该三棱柱外接球体积为V ＝4π3R 3＝4030π27.应选B.(2)由三视图知该几何体是一个四棱锥，如下图，其底面ABCD是长、宽分别为4与2矩形，高为2，且侧面SDC与底面ABCD垂直，且顶点S在底面上射影为该侧面上底面边中点．由该几何体构造特征知球心在过底面中心O且与底面垂直直线上，同时在过侧面△SDC外接圆圆心且与侧面SDC垂直直线上．因为△SDC为直角三角形，所以球心就为底面ABCD中心O，所以外接球半径为R＝12AC＝5，故外接球外表积为4πR2＝20π.]。

根据三视图求几何体的表面积与体积【空间几何体的三视图】光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，叫做几何体的侧视图；从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，叫做几何体的俯视图。

几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图。

【柱、锥、台和球的侧面积和体积】【几何体的表面积】(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和【求组合体的两种方法】(1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图． (2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值。

【多面体的面积和体积公式】【旋转体的面积和体积公式】【2017年高考全国II卷,理4】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为A．B．C．D．【答案】B【考点】三视图、组合体的体积【点拨】求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要从三个视图综合考虑,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图为主,结合侧视图进行综合考虑．答题思路【命题意图】高考对本部分内容的考查以读图、识图能力以及空间想象能力为主,重点考查根据几何体的三视图确定其体积或表面积,在考查三视图的同时,又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力．【命题规律】从近几年的高考试题来看,三视图是高考的热点,题型多为选择题、填空题,难度中、低档．高考对三视图的考查主要考查由三视图得出几何体的直观图,求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；试题难度逐年有所增加,近几年组合体、几何体的切割及非正常状态下放置的棱锥的三视图成为高考考查的热点.【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下三步：第一步：观察三视图,确定几何体形状观察三视图,确定该几何体是一个组合体,下半部分是一个圆柱,上半部分是圆柱的一半；第二步：由三视图确定相关数据根据三视图,可知圆柱的底面半径为3,下半高为4,上半部分高为6；第三步：利用公式求表面积体积借助圆柱的体积计算公式,分别求出两部分的体积,再相加.【方法总结】1.空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形.他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度.2.三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等3．由三视图还原几何体时,要遵循以下三步：(1)看视图,明关系；(2)分部分,想整体；(3)综合起来,定整体．4.画三视图应注意的问题(1)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法．(2)确定正视、侧视、俯视的方向,观察同一物体方向不同,所画的三视图也不同．5.解答三视图题目时：(1)可以从熟知的某一视图出发,想象出直观图,再验证其他视图是否正确；(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么,要分辨清楚；(3)视图之间的数量关系：正俯长对正,正侧高平齐,侧俯宽相等．6.由三视图求几何体体积的步骤(1)应先根据三视图得到几何体的直观图；(2) 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7.由三视图求几何体表面积应注意的问题以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．注意多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．8．从能力上来看,三视图着重考查空间想象能力,即空间形体的观察分析和抽象的能力,要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面),作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形,想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力.9.易错警示(1)不能正确把握投影方向、角度致误；不能正确确定点、线的投影位置；不能正确应用实虚线区分可见线与非可见线．是解决三视图问题常出现的错误(2) 求组合体的表面积时,要忽视重叠部分不再是组合体表面积的一部分．(3)底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆．(4)当三视图都在全等的正方形内时,常通过构造正方体,把几何体放到正方体内求解.1.【2017年高考全国Ⅰ卷，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．16【答案】B【解析】由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面()S=+⨯÷=24226梯S=⨯=6212全梯故选B2.【2017年高考北京卷，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）（B）C）（D）2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图l==，红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，故选B.【考点】三视图【点拨】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题.3．【2017年高考浙江卷，理3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π 【答案】A【解析】【考点】 三视图【点拨】思考三视图中·华.资*源%库 还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．4.【2017年高考山东卷，理13】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为.【答案】【解析】试题分析：该几何体的体积为．【考点】1.三视图.2.几何体的体积.【点拨】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．3.利用面积或体积公式计算.5.【2017黑龙江大庆三模】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图可知,该几何体为三棱锥,如下图所示,根据上图计算可得三棱锥的表面积为.故选择D.6．【2017辽宁省实验中学考前模拟】某几何体的三视图如图所示,其体积为A. B. C. D.【答案】B7．【2017吉林吉大附中6月模考】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π,则r＝A. B. C. D.【答案】B8．【2017黑龙江虎林最后冲刺】如图所示,这是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知：该几何体分为上下两部分,下半部分是长、宽、高分别为的长方体,上半部分为底面半径为1,高为2的两个半圆柱,故其体积为,故选A.9．【2017辽宁鞍山最后一次模】如图是某四棱锥的三试图,且该四棱锥的顶点都在同一球面上,则该四棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】如图四棱锥就是题中的几何体,它是正方体中的一部分,正方体棱长为10.记正方体棱长为,四棱锥外接球半径为,则,解得,所以,故选C．11.【2017辽宁沈阳三模】已知一个三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为A. 9B. 21C. 25D. 34【答案】B12．【2017内蒙古鄂尔多斯三拟】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为A. 1B.C.D.【答案】D8．【2017甘肃省肃南5月联考】若某几何体的三视图（单位：）如图所示,则此几何体的侧面积等于A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图知：几何体是圆锥,其中圆锥的母线长为5,底面直径为6,∴圆锥的侧面积（cm2）,故选C.9．【2017黑龙江哈尔滨三模】北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术,所谓隙积,即“积之有隙”者,如累棋、层坛之类,这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n层,上底由个物体组成,以下各层的长、宽依次各增加一个物体,最下层（即下底）由个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示,则该垛积中所有小球的个数为A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意知：,故选A.13．【2017青海西宁二模】某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是A. 8B.C. 4D.【答案】D14.【2016年高考全国Ⅱ卷,理6】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为A.20B.24C.28D.32【答案】C【考点】三视图,空间几何体的表面积【点拨】空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积要注意各几何体重叠部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．【方法】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题,也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图．15.【2016年高考全国Ⅰ卷,理6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,即该几何体是78个球，设球的半径为R ，则37428ππR 833V =⨯=，解得R 2=，所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和,即22734π2π217π84⨯⨯+⨯⨯=，故选A ． 【考点】三视图及球的表面积与体积【点拨】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.16.【2016年高考全国Ⅲ卷,理9】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(A)18+54+【答案】B【解析】 试题分析：由三视图知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积为2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．【考点】空间几何体的三视图及表面积．17.【2016年高考四川卷,理13】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是.【解析】试题分析：由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为1，底面边长为2,2，所以，该三棱锥的体积为1122132V =⨯⨯⨯=. 【考点】三视图，几何体的体积【点拨】本题考查三视图和几何体的体积，考查学生的识图能力．解题时要求我们根据三视图想象出几何体的形状，由三视图得出几何体的尺寸，为此我们必须掌握基本几何体（柱、锥、台、球）的三视图以及各种组合体的三视图．。

1 2月19日 空间几何体的表面积和体积
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是
A ．31π6
B ．31π8
C ．481π64
D ．
3131π48 【参考答案】
C
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图以及外接球的表面积，重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.。

专题四立体几何建知识网络明内在联系[高考点拨]立体几何专题是浙江新高考中当仁不让的热点之一，常以“两小一大”呈现，小题主要考查三视图与空间几何体的体积(特别是与球有关的体积)和空间位置关系及空间角，一大题常考空间位置关系的证明与空间角、距离的探求．本专题主要从“空间几何体表面积或体积的求解”“空间中的平行与垂直关系”“立体几何中的向量方法”三大角度进行典例剖析，引领考生明确考情并提升解题技能．突破点8 空间几何体表面积或体积的求解(对应学生用书第29页)[核心知识提炼]提炼1 求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.提炼2 球与几何体的外接与内切(1)正四面体与球：设正四面体的棱长为a，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径r＝612a，外接球的半径R＝64a.(2)正方体与球：设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，O为其对称中心，E，F，H，G分别为AD，BC，B1C1，A1D1的中点，J为HF的中点，如图8­1所示．图8­1①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆，故其内切球的半径为OJ＝a 2；②正方体的棱切球：截面图为正方形EFHG的外接圆，故其棱切球的半径为OG＝2a 2；③正方体的外接球：截面图为矩形ACC1A1的外接圆，故其外接球的半径为OA1＝3a 2.[高考真题回访]回访1 空间几何体的结构及三视图1．(2015·浙江高考)如图8­2，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是( )图8­2A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支C[因为∠PAB＝30°，所以点P的轨迹为以AB为轴线，PA为母线的圆锥面与平面α的交线，且平面α与圆锥的轴线斜交，故点P的轨迹为椭圆．]2．(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图8­3所示，则该几何体的体积是( )图8­3A ．72 cm 3B ．90 cm 3C ．108 cm 3D ．138 cm 3B [该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V ＝V 三棱柱＋V 长方体＝12×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm 3)．]3．(2013·浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图8­4所示，则该几何体的体积是( )图8­4A ．108 cm 3B ．100 cm 3C ．92 cm 3D ．84 cm 3B [此几何体为一个长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1被截去了一个三棱锥A ­DEF ，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm 3)．三棱锥的三条棱AE 、AF 、AD 的长分别为4、4、3，故其体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×3×4＝8(cm 3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm 3)．]回访2 几何体的表面积或体积4．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图8­5所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )图8­5A.π2＋1 B.π2＋3 C.3π2＋1 D.3π2＋3 A [由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A.]5．(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图8­6所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )图8­6A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403cm 3C [由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．] 6．(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图8­7所示，则此几何体的表面积是( )图8­7A ．90 cm 2B ．129 cm 2C ．132 cm 2D ．138 cm 2D [该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm ，4 cm ，3 cm ，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm,5 cm ，所以表面积S ＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5×3＋4×3＋2×12×4×3＝99＋39＝138(cm 2)．]7．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图8­8所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.图8­880 40 [由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是4，高为2；上面正方体的棱长为2.所以该几何体的表面积为(4×4＋2×4＋2×4)×2＋2×2×4＝80(cm 2)；体积为4×4×2＋23＝40(cm 3)．]8．(2013·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图8­9所示，则此几何体的体积等于________cm 3.图8­924 [由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示．三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V 1＝12×3×4×5＝30(cm 3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V 2＝13×12×3×4×3＝6(cm 3)，所以所求几何体的体积为30－6＝24(cm 3)．](对应学生用书第31页)热点题型1 几何体的表面积或体积题型分析：解决此类题目，准确转化是前提，套用公式是关键，求解时先根据条件确定几何体的形状，再套用公式求解.【例1】 (1)如图8­10，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图8­10A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(2)如图8­11，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ) 【导学号：68334098】图8­11A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81(1)A (2)B [(1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A. (2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.][方法指津]1．求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状．(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量．(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．[变式训练1] (1)某几何体的三视图如图8­12所示，则该几何体的体积为( )图8­12A.133＋π3B ．5＋π2C ．5＋π3 D.133＋π2(2)(2017·温州市普通高中4月高考模拟考试12)某几何体的三视图如图8­13所示，则此几何体的体积是________，表面积是________.【导学号：68334099】图8­13(1)D (2)836＋22＋25 [(1)由三视图知该几何体是由一个长方体，一个三棱锥和一个14圆柱组成，故该几何体的体积为V ＝2×1×2＋13×12×1×1×2＋14×π×12×2＝133＋π2. (2)由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面是边长为2的正方形，高为2，所以该几何体的体积V ＝13×22×2＝83，表面积S ＝2×2＋12×2×2＋12×2×22＋2×12×2×5＝6＋22＋2 5.]热点题型2 球与几何体的切、接问题题型分析：与球有关的表面积或体积求解，其核心本质是半径的求解，这也是此类问题求解的主线，考生要时刻谨记.先根据几何体的三视图确定其结构特征与数量特征，然后确定其外接球的球心，进而确定球的半径，最后代入公式求值即可；也可利用球的性质——球面上任意一点对直径所张的角为直角，然后根据几何体的结构特征构造射影定理求解.【例2】 (1)一个几何体的三视图如图8­14所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )图8­14A.8π3B.16π3C.48π3D.64π3(2)在封闭的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) 【导学号：68334100】A ．4πB.9π2 C ．6π D.32π3(1)D (2)B [(1)法一 由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ­ ABC ，其中HS 是三棱锥的高，由三视图可知HS ＝23，HA ＝HB ＝HC ＝2，故H 为△ABC 外接圆的圆心，该圆的半径为2.由几何体的对称性可知三棱锥S ­ABC 外接球的球心O 在直线HS 上，连接OB .设球的半径为R ，则球心O 到△ABC 外接圆的距离为OH ＝|SH －OS |＝|23－R |，由球的截面性质可得R ＝OB ＝OH 2＋HB 2＝|23－R |2＋22，解得R ＝433，所以所求外接球的表面积为4πR 2＝4π×163＝64π3.故选D.法二 由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ­ABC ，其中HS 是三棱锥的高，由侧视图可知HS ＝23，由正视图和侧视图可得HA ＝HB ＝HC ＝2.由几何体的对称性可知三棱锥外接球的球心O 在HS 上，延长SH交球面于点P ，则SP 就是球的直径，由点A 在球面上可得SA ⊥AP .又SH ⊥平面ABC ，所以SH ⊥AH .在Rt △ASH 中，SA ＝SH 2＋AH 2＝32＋22＝4.设球的半径为R ，则SP ＝2R ，在Rt △SPA 中，由射影定理可得SA 2＝SH ×SP ，即42＝23×2R ，解得R ＝433， 所以所求外接球的表面积为4πR 2＝4π×163＝64π3.故选D. (2)由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R .因为△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，所以R ≤2.又2R ≤3，所以R ≤32，所以V max ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.故选B.] [方法指津]解决球与几何体的切、接问题的关键在于确定球的半径与几何体的度量之间的关系，这就需要灵活利用球的截面性质以及组合体的截面特征来确定.对于旋转体与球的组合体，主要利用它们的轴截面性质建立相关数据之间的关系；而对于多面体，应抓住多面体的结构特征灵活选择过球心的截面，把多面体的相关数据和球的半径在截面图形中体现出来.[变式训练2] (1)已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )【导学号：68334101】A.40π3B.4030π27C.32030π27 D ．20π(2)(名师押题)一几何体的三视图如图8­15(网格中每个正方形的边长为1)，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是________．图8­15(1)B (2)20π [(1)设△A1B 1C 1的外心为O 1，△ABC 的外心为O 2，连接O 1O 2，O 2B ，OB ，如图所示．由题意可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点．在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos ∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，所以BC ＝7.由正弦定理可得△ABC 外接圆的直径2r ＝2O 2B ＝BC sin 60°＝273，所以r ＝73＝213. 而球心O 到截面ABC 的距离d ＝OO 2＝12AA 1＝1， 设直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的外接球半径为R ，由球的截面性质可得R 2＝d 2＋r 2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2132＝103，故R ＝303，所以该三棱柱的外接球的体积为V ＝4π3R 3＝4030π27.故选B.(2)由三视图知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其底面ABCD是长、宽分别为4和2的矩形，高为2，且侧面SDC 与底面ABCD 垂直，且顶点S 在底面上的射影为该侧面上的底面边的中点．由该几何体的结构特征知球心在过底面中心O 且与底面垂直的直线上，同时在过侧面△SDC 的外接圆圆心且与侧面SDC 垂直的直线上．因为△SDC 为直角三角形，所以球心就为底面ABCD的中心O ，所以外接球的半径为R ＝12AC ＝5，故外接球的表面积为4πR 2＝20π.]。

高考数学二轮复习考点知识讲解与练习第45讲空间几何体的表面积和体积考点知识：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．知识梳理1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l3.名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR31．正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2．长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.3．正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方．( )(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.( )答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确．(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确．2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．32cm答案 B解析设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl ＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．答案1∶47解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝13×12×12a×12b×1 2c＝148abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－148abc＝4748abc.所以V1∶V2＝1∶47.4．(2022·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．12π B．24π C．36π D．144π答案 C解析 设球的半径为R ，由题意知球的直径2R ＝(23)2＋(23)2＋(23)2，得R ＝3，该球的表面积S ＝4πR 2＝36π.故选C.5．(2022·全国Ⅲ卷)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．6＋4 2B ．4＋4 2C ．6＋2 3D ．4＋2 3 答案 C解析 由三视图知，该几何体为从同一点出发的三条棱两两垂直的三棱锥P －ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝AP ＝2，所以PB ＝PC ＝BC ＝22，故其表面积S ＝S △PAB ＋S △PAC ＋S △ABC ＋S △PBC ＝3S △PAB ＋S △PBC ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2＋12×22×22×32＝6＋2 3.故选C.6．(2022·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__________． 答案 1解析 如图，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积S 侧＝πrl ＝2π，即r ·l ＝2.由于侧面展开图为半圆，可知12πl2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.考点一空间几何体的表面积与侧面积1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A．122π B．12π C．82π D．10π答案 B解析由题意知，圆柱的轴截面是一个面积为8的正方形，则圆柱的高与底面直径均为2 2.设圆柱的底面半径为r，则2r＝22，得r＝ 2.所以圆柱的表面积S圆柱＝2πr2＋2πrh＝2π(2)2＋2π×2×22＝4π＋8π＝12π. 2．(2022·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )A．6＋ 3 B．6＋2 3 C．12＋ 3 D．12＋2 3答案 D解析由三视图知该几何体为正棱柱，且底面是边长为2的正三角形，高为2，则表面积为S＝2S底＋S侧＝2×34×22＋3×22＝23＋12.故选D.3．(2021·成都诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是( )A.23π B．324π C．223π D．22π答案 C解析如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D.AE＝23AD，AD＝32，∴AE ＝23×32＝33，∴PE ＝PA 2－AE 2＝63.设圆柱底面半径为r ，则r ＝AE ＝33， ∴圆柱的侧面积S ＝2πr ·PE ＝2π×33×63＝22π3. 感悟升华 空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量． 考点二 空间几何体的体积角度1 简单几何体的体积【例1】 (1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．324(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________． 答案 (1)B (2)π4解析 (1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27. 因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.(2)由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半．因为四棱锥的底面正方形的边长为2，所以底面正方形对角线长为2，所以圆柱的底面半径为12.又因为四棱锥的侧棱长均为5，所以四棱锥的高为(5)2－12＝2，所以圆柱的高为1. 所以圆柱的体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫122×1＝π4.感悟升华 1.求规则几何体的体积，主要利用“直接法”代入体积公式计算．第(2)题求解的关键在于两点：(1)圆柱的高恰为圆锥高的一半；(2)圆柱的底面圆的直径恰是四棱锥底面正方形对角线的一半．2．若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解．【训练1】(1)(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________．(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案(1)10 (2)16 3π解析(1)设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，∴V E－BCD＝13×12ab×12c＝112abc＝10.(2)由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个同底等高的圆锥，其体积为π×22×2－13π×22×2＝163π.角度2 不规则几何体的体积【例2】如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．答案23解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH .则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱．依题意，三棱锥E －ADG 的高EG ＝12，直三棱柱AGD －BHC 的高AB ＝1.则AG ＝AE 2－EG 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.取AD 的中点M ，则MG ＝22， 所以S △AGD ＝12×1×22＝24，∴V 多面体＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23. 感悟升华 1.求不规则几何体的体积：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算． 2．本题利用“割”的方法把几何体分割成易求体积的三棱锥、三棱柱(也可分割成四棱锥)．另外，经常考虑把棱锥补成棱柱，把台体补成锥体，把三棱锥补成四棱锥，把三棱柱补成四棱柱，把不规则几何体补成规则几何体，补一个同样的几何体等．【训练2】(2022·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A.73B．143C．3 D．6答案 A解析由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥组成的组合体，它们的公共面是等腰直角三角形，如图所示．由三视图知，三棱柱ABC－A′B′C′的高为2，三棱锥P－A′B′C′的高为1，又S△ABC＝12×2×1＝1，所以该几何体体积V＝V三棱锥P－A′B′C′＋V棱柱ABC－A′B′C′＝13×1×1＋1×2＝73(cm3)．考点三多面体与球的切、接问题【例3】(经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是________． 答案92π解析 由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r .则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. 2r ＝4＞3，不合题意．球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大． 由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.【迁移】 本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.感悟升华 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．【训练3】(1)(2022·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(2)(2021·济南质检)已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝22，点D是PB的中点，且CD＝7，则球O的表面积为( )A.28π3B．14π3C.2821π27D．16π3答案(1)2π3(2)A解析(1)当球为圆锥的内切球时，球的半径最大．如图为圆锥内球半径最大时的轴截面图．其中球心为O，设其半径为r，AC＝3，O1C＝1，∴AO1＝AC2－O1C2＝2 2.∵OO1＝OM＝r，∴AO＝AO1－OO1＝22－r，又∵△AMO∽△AO1C，∴OMO1C＝AOAC，即r1＝22－r3，解得r＝22.∴该圆锥内半径最大的球的体积V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝2π3.(2)依题意，由PA ＝AC ＝2，CP ＝22，得AP ⊥AC .连接AD ，由点D 是PB 的中点且PA ＝AB ＝PB ＝2，得AD ＝3， 又CD ＝7，AC ＝2，可知AD ⊥AC ，又AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAB ，AD ⊂平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB .以△PAB 为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球，球心O 到底面△PAB 的距离d ＝12AC ＝1.由正弦定理得△PAB 的外接圆半径r ＝PA2sin 60°＝23，所以球O 的半径R ＝d 2＋r 2＝73. 故球O 的表面积S ＝4πR 2＝28π3.空间几何体的实际应用“强调应用”也是高考卷命题的指导思想，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念，既有利于培养考生的探究意识和创新精神，又能够很好地提升考生的数学综合素养，因而成为高考试卷中的一道亮丽的风景线．如全国Ⅲ卷第16题是以学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型为背景创设的与空间几何体的体积有关的问题．考查运用空间几何求解实际问题的能力．【典例】(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后所得的几何体．其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g. 答案118.8解析由题意得，四棱锥O－EFGH的底面积为4×6－4×12×2×3＝12(cm2)，其高为点O到底面EFGH的距离，为3 cm，则此四棱锥的体积为V1＝13×12×3＝12(cm3)．又长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2＝4×6×6＝144(cm3)，所以该模型的体积V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3)，因此模型所需原材料的质量为0.9×132＝118.8(g)．素养升华 1.题目以“3D打印”技术制作模型为背景考查数学应用，有利于培养学生的创新意识．2．掌握长方体、四棱锥的结构与体积公式是解题的基础，题目突出数学建模，直观想象与数学运算等核心素养．【训练】(2021·潍坊联考)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC ＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为( )A．32π3，4 B．9π2，3 C．6π，4 D．32π3，3答案 D解析依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大．易知AC＝AB2＋BC2＝10.设健身手球的最大半径为R，则12×(6＋8＋10)×R＝12×6×8，解得R＝2，则健身手球的最大直径为4.因为AA1＝13，所以最多可加工3个健身手球．于是一个健身手球的最大体积V＝43πR3＝43π×23＝32π3.A级基础巩固一、选择题1．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．12π B．323π C．8π D．4π答案 A解析设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝3a，即R ＝ 3.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.2．(2021·郑州调研)现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为( )A．3π B．3π2C．5π2D．5π答案 D解析设底面圆的半径为R，圆柱的高为h，依题意2R＝h＝2，∴R＝1.∴圆锥的母线l＝h2＋R2＝22＋1＝5，因此S圆锥侧＝πRl＝1×5π＝5π.3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )A．3 B．32C．1 D．32答案 C解析由题意可知，AD⊥平面B1DC1，即AD为三棱锥A－B1DC1的高，且AD＝32×2＝3，易求得S△B1DC1＝12×2×3＝3，所以V A －B 1DC 1＝13×3×3＝1.4．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172 B ．210 C ．132D ．310 答案 C解析 将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1， 则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球． ∴体对角线BC 1的长为球O 的直径． 因此2R ＝32＋42＋122＝13，则R ＝132. 5．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B ．3π4 C ．π2 D ．π4答案 B解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心．球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.6．(2022·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) A. 3 B ．32 C ．1 D ．32答案 C解析 如图所示，过球心O 作OO 1⊥平面ABC ，则O 1为等边△ABC 的中心．设△ABC 的边长为a ，则34a 2＝934，解得a ＝3(负值舍去)， ∴O 1A ＝23×32×3＝ 3.设球O 的半径为r ，则由4πr 2＝16π，得r ＝2，即OA ＝2. 在Rt △OO 1A 中，OO 1＝OA 2－O 1A 2＝1， 即O 到平面ABC 的距离为1.7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为98π，则它的表面积是( )A.92π B ．9π C ．454π D ．544π 答案 C解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱挖去了一个半径等于圆柱底面半径的半球体，其中圆柱的高等于半球的半径r ，所以该几何体的体积V ＝πr 2×r －12×43πr 3＝13πr 3＝98π，∴r 3＝278，又知r >0，∴r ＝32，∴该几何体的表面积S ＝πr 2＋2πr ×r ＋12×4πr 2＝5πr 2＝5π×94＝454π.8．(2021·安庆调研)已知在四面体PABC 中，PA ＝4，BC ＝26，PB ＝PC ＝23，PA ⊥平面PBC ，则四面体PABC 的外接球的表面积是( )A ．160πB ．128πC ．40πD ．32π 答案 C解析 ∵PB 2＋PC 2＝12＋12＝24＝BC 2，∴PB ⊥PC ， 又PA ⊥平面PBC ，∴PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，即PA ，PB ，PC 两两垂直，以PA ，PB ，PC 为从同一顶点出发的三条棱补成长方体，所以该长方体的体对角线长为PA 2＋PB 2＋PC 2＝12＋12＋16＝210， 故该四面体的外接球半径为10.于是四面体P －ABC 的外接球的表面积是4π(10)2＝40π.二、填空题9.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．答案3 2解析设圆柱内切球的半径为R，则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，故V1V2＝πR2·2R43πR3＝32.10.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________．答案1 3解析因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，所以矩形BB1D1D的长和宽分别为2，1，因为四棱锥A1－BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1面对角线长的一半，即为22.故V 四棱锥A 1－BB 1D 1D ＝13×1×2×22＝13.11．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)为________．答案 6解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6.12．(2021·太原质检)已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足△SAB 为等边三角形，且面积为43，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为________． 答案82π解析 设圆锥的母线长为l ，由△SAB 为等边三角形，且面积为43，所以12l 2sin π3＝43，解得l ＝4；又设圆锥底面半径为r ，高为h ， 则由轴截面的面积为8，得rh ＝8；又r2＋h2＝16，解得r＝h＝22，所以圆锥的侧面积S＝πrl＝π·22·4＝82π.B级能力提升13．(2022·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为( )A．64π B．48π C．36π D．32π答案 A解析如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以ABsin 60°＝2r，解得AB＝23，故OO1＝23，所以R2＝OO21＋r2＝(23)2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A.14．已知四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，则四面体ABCD的体积为________．答案10113解析取BD中点O，AC中点E，连接AO，CO，OE，∵四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，∴AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，AO ＝CO ＝25－254＝532， ∵AO ∩CO ＝O ，∴BD ⊥平面AOC ， 又OE ⊥AC ，∴S △AOC ＝12×8×754－16＝211， V A －BCD ＝2V B －AOC ＝2×13×52×211＝10113. 15．(2021·贵阳调研)如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC 中，AB ＝3， ∠ACB ＝60°，∠BCD ＝90°，AB ⊥CD ，CD ＝22，则该球的体积为________．答案 43π解析 以△ABC 所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为12·3sin 60°＝1.依题意得CD ⊥平面ABC ， 故球心到截面的距离为12CD ＝2，则球的半径为12＋(2)2＝3， 所以球的体积为43·π·(3)3＝43π.16．(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为______．答案40解析如图所示棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1，去掉四棱柱MQD1A1－NPC1B1(其底面是一个上底为2，下底为4，高为2的直角梯形)所得的几何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为43－12×(2＋4)×2×4＝40.。

突破点9 空间几何体表面积或体积的求解[核心知识提炼]提炼1 求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用. 提炼2 球与几何体的外接与内切(1)正四面体与球：设正四面体的棱长为a ，由正四面体本身的对称性，可知其内切球和外接球的球心相同，则内切球的半径r ＝612a ，外接球的半径R ＝64a .图9­1(2)正方体与球：设正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，O 为其对称中心，E ，F ，H ，G 分别为AD ，BC ，B 1C 1，A 1D 1的中点，J 为HF 的中点，如图9­1所示．①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，故其内切球的半径为OJ ＝a2；②正方体的棱切球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，故其棱切球的半径为OG ＝2a 2； ③正方体的外接球：截面图为矩形ACC 1A 1的外接圆，故其外接球的半径为OA 1＝3a 2. [高考真题回访]回访1 几何体的表面积或体积1．(2017·全国卷Ⅱ)如图9­2，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )图9­2A ．90πB ．63πC ．42πD ．36πB [方法1：(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.方法2：(估值法)由题意，知12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V 几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合． 故选B.]2.(2016·全国卷Ⅱ)如图9­3是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )图9­3A ．20πB ．24πC ．28πD ．32πC [由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为23，所以圆锥的母线长为32＋22＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S ＝16π＋4π＋8π＝28π.]3．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图9­4，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()图9­4A.18 B ．17 C.16D ．15D [由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.]回访2 球与几何体的外接与内切4．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π4B [设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形． ∴r ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32. ∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ­ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C.144πD ．256πC [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O ­ABC ＝V C ­AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ­ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ­ABC 最大为13×12R 2×R ＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C.]6．(2013·全国卷Ⅰ)如图9­5，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )图9­5A.500π3cm 3B.866π3cm 3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3A [如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5，∴V 球＝43π×53＝5003π(cm 3)．]热点题型1 几何体的表面积或体积题型分析：解决此类题目，准确转化是前提，套用公式是关键，求解时先根据条件确定几何体的形状，再套用公式求解．【例1】(1)(2017·黄山二模)一个几何体的三视图如图9­6所示，则该几何体的体积为( ) 【导学号：04024087】图9­6A ．4 3B ．4 2C ．4D.433(2)(2016·全国卷Ⅲ)如图9­7，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )图9­7A ．18＋36 5B ．54＋18 5C ．90D ．81(1)C (2)B [(1)由三视图可知该几何体为四棱锥P ­ABCD ，其中PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝4，AD ⊥AB ，AP ＝2，AB ＝2，∴该几何体的体积V ＝13×2＋42×2×2＝4.故选C.(2)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×35)×2＝54＋18 5.故选B.] [方法指津]1．求解几何体的表面积及体积的技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．2．根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状． (2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量． (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．[变式训练1] (1)(2017·平顶山二模)某几何体的三视图如图9­8所示，则该几何体的体积为( )A.133＋π3B ．5＋π2C ．5＋π3D.133＋π2图9­8(2)(2017·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图9­9所示，则该几何体的表面积是( )图9­9A ．48＋πB ．48－πC ．48＋2πD ．48－2π(3)(名师押题)如图9­10，从棱长为6 cm 的正方体铁皮箱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形．如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为________cm 3.图9­10(1)D (2)A (3)36 [(1)由三视图知该几何体是由一个长方体，一个三棱锥和一个14圆柱组成，故该几何体的体积为V ＝2×1×2＋13×12×1×1×2＋14×π×12×2＝133＋π2. (2)该几何体是正四棱柱中挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S ＝2×2×2＋2×4×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.(3)最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C 1­CD 1B 1的体积．又V 三棱锥C 1­CD 1B 1＝V 三棱锥C ­B 1C 1D 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×6×6＝36(cm 3)，所以用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛36 cm 3体积的水．]热点题型2 球与几何体的切、接问题题型分析：与球有关的表面积或体积求解，其核心本质是半径的求解，这也是此类问题求解的主线，考生要时刻谨记．先根据几何体的三视图确定其结构特征与数量特征，然后确定其外接球的球心，进而确定球的半径，最后代入公式求值即可；也可利用球的性质——球面上任意一点对直径所张的角为直角，然后根据几何体的结构特征构造射影定理求解．【例2】 (1)(2016·南昌二模)一个几何体的三视图如图9­11所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )图9­11A.8π3 B.16π3 C.48π3 D.64π3(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．(1)D (2)36π [(1)由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ­ ABC ，其中HS 是三棱锥的高，由三视图可知HS ＝23，HA ＝HB ＝HC ＝2，故H 为△ABC 外接圆的圆心，该圆的半径为2.由几何体的对称性可知三棱锥S ­ABC 外接球的球心O 在直线HS 上，连接OB . 设球的半径为R ，则球心O 到△ABC 外接圆的距离为OH ＝|SH －OS |＝|23－R |， 由球的截面性质可得R ＝OB ＝OH 2＋HB 2＝|23－R |2＋22，解得R ＝433，所以所求外接球的表面积为4πR 2＝4π×163＝64π3.故选D.(2)如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，∴三棱锥S ­ABC 的体积 V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33，即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π.] [方法指津]解决球与几何体的切、接问题的关键在于确定球的半径与几何体的度量之间的关系，这就需要灵活利用球的截面性质以及组合体的截面特征来确定．对于旋转体与球的组合体，主要利用它们的轴截面性质建立相关数据之间的关系；而对于多面体，应抓住多面体的结构特征灵活选择过球心的截面，把多面体的相关数据和球的半径在截面图形中体现出来．[变式训练2] (1)(2017·江西七校联考)如图9­12，ABCD 是边长为23的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，若四面体PAEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是( )图9­12A ．6πB ．12πC ．18πD ．92π(2)已知直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )【导学号：04024088】A.40π3B.4030π27C.32030π27D ．20π(1)C (2)B [(1)因为∠APE ＝∠EPF ＝∠APF ＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA ，PE ，PF 是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R ，由题意知2R ＝32＋32＋32＝32，故该球的表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎫3222＝18π，故选C. (2)设△A 1B 1C 1的外心为O 1，△ABC 的外心为O 2，连接O 1O 2，O 2B ，OB ，如图所示．由题意可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点．在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos ∠BAC ＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7， 所以BC ＝7.由正弦定理可得△ABC 外接圆的直径2r ＝2O 2B ＝BC sin 60°＝273，所以r ＝73＝213.而球心O 到截面ABC 的距离d ＝OO 2＝12AA 1＝1，设直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的外接球半径为R ，由球的截面性质可得R 2＝d 2＋r 2＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫2132＝103，故R ＝303， 所以该三棱柱的外接球的体积为V ＝4π3R 3＝4030π27.故选B.]。