2019届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学(文)试题

城固一中2019届高三第一次月考 数学试题（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．02.已知集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{x |2<x <3} B ．{x |－1<x ≤0} C ．{x |0≤x <6} D ．{x |x <－1}3.若a ，b 都是实数，则“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．以上都不对5.如图给出的是计算12＋14＋16＋18＋…＋1100的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i ＜50？B ．i ＞50?C ．i ＜25?D ．i ＞25?6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 8＝1，S 16＝0，当S n 取最大值时n 的值为( ) A ．7B ．8C ．9D ．107.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为( ) A ．363(π＋2) B ．363(π＋2) C ．1083πD ．108(3π＋2)8.已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A ．78 B ．－14 C ．14D ．－789.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°10.已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]11.若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，过点(a ，b )作圆的切线， 则切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．612.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，f x ＋，x <0，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共计20分.13.设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝________；14.欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2 cm 的圆，中间有边长为0.5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为________15.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为_______米． 16.偶函数()f x 定义域为00,22ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，其导函数是()'f x ．当02x π<<时，有()()'cos sin 0f x x f x x +<，则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫⎪⎝⎭的解集为________三、解答题：共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋log 21a n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n －2n ＋1＋47<0成立的n 的最小值．18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二孩放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机 抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二孩放开”人数如下表：(1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对 “生育二孩放开”政策的支持度有差异；放开”的概率是多少？ 附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋d .19.如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°．(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值．20.设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．(1)求椭圆M 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋m 交椭圆M 于A ，B 两点，P (1，2)为椭圆M 上一点，求△P AB 面积的最大值．21.已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R)．(1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做选定的题目.如果多做，则按所做的第一题记分.22. (10分)选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1．直线l 经过点P (m,0)，且倾斜角为π6，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|P A |·|PB |＝1，求实数m 的值.23. (10分)选修4-5：不等式选讲(1)求不等式|x －5|－|2x ＋3|≥1的解集；(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤1.城固一中2019届高三第一次月考 （文科）数学参考答案一、选择题：DCAAB,BBDAA,CC三、填空题：13.10 14.14π 15.2 6 16.,00,44ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题：17.（12分）解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝a 3＋，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q 2＝3a 1q ， ①a 1q ＋q 3＝2a 1q 2＋4. ②由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝1或q ＝2． 当q ＝1时，不合题意，舍去；当q ＝2时，代入②得a 1＝2，所以a n ＝2·2n －1＝2n ．故所求数列{a n }的通项公式a n ＝2n (n ∈N *)． (2)因为b n ＝a n ＋log 21a n ＝2n ＋log 212n ＝2n －n ，所以S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝－2n 1－2－n ＋n 2＝2n ＋1－2－12n －12n 2． 因为S n －2n ＋1＋47<0，所以2n ＋1－2－12n －12n 2－2n ＋1＋47<0，即n 2＋n －90>0，解得n >9或n <－10．因为n ∈N *，所以使S n －2n ＋1＋47<0成立的正整数n 的最小值为10．18.（12分）[解] (1)2×2列联表如下：由数据得K 2＝10×40×32×18≈6.272＜6.635，所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二孩放开”政策的支持度有差异．(2)设年龄在[5,15)的被调查人中支持“生育二孩放开”的4人分别为a ，b ，c ，d ，不支持“生育二孩放开”的1人记为M ，则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取2人所有可能的结果有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，M )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，M )，(c ，d )，(c ，M )，(d ，M )，共10个基本事件，设“恰好这2人都支持‘生育二孩放开’”为事件A ，则事件A 所有可能的结果有： (a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6个， 所以P (A )＝610＝35.所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取2人进行调查，恰好这2人都支持“生育二孩放开”的概率为35.19.（12分）解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32．由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高． 又P A ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36．(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ．在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连接BM ．由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC ． 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ． 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM ． 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32． 由MN ∥P A ，得PM MC ＝AN NC ＝13．20.（12分）解：(1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝22， 由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，得a ＝2，c ＝2，b ＝2，故椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1．(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得－22<m <22．且⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44，所以|AB |＝1＋2|x 1－x 2| ＝3·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝3·12m 2－m 2＋4 ＝3·4－m 22．又P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3， 所以S △P AB ＝12|AB |·d＝32·4－m 22·|m |3 ＝12⎝⎛⎭⎫4－m 22·m 2 ＝122m 2－m 2≤122·m 2＋－m 22＝2．当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号， 所以(S △P AB )max ＝2．21.（12分）解：(1)由已知得f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x(x ＞0)．当a ≤0时，f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点． 当a ＞0时，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜1a ，由f ′(x )＞0，得x ＞1a，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，即f (x )在x ＝1a 处有极小值． ∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上没有极值点， 当a ＞0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点． (2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，解得a ＝1，∴f (x )≥bx －2⇒1＋1x －ln xx ≥b ，令g (x )＝1＋1x －ln xx ，则g ′(x )＝ln x －2x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝e 2．则g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2， 故实数b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e 2． 22.(10分)解：(1)曲线C 的直角坐标方程为：(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，即ρ2＝2ρcos θ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入 x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0， 所以t 1t 2＝m 2－2m ，由题意得|m 2－2m |＝1， 解得m ＝1或m ＝1＋2或m ＝1－2．23. (10分)[解] (1)当x ≤－32时，－x ＋5＋2x ＋3≥1，解得x ≥－7，∴－7≤x ≤－32；当－32<x <5时，－x ＋5－2x －3≥1，解得x ≤13，∴－32<x ≤13；当x ≥5时，x －5－(2x ＋3)≥1，解得x ≤－9，舍去．综上，－7≤x ≤13. 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－7≤x ≤13. (2)证明：要证a ＋b ≤1，只需证a ＋b ＋2ab ≤1， 即证2ab ≤12，即证ab ≤14.而a ＋b ＝12≥2ab ，∴ab ≤14成立．∴原不等式成立．。

汉中中学2018-2019学年度2019届高三第一次模拟考试数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

分值150分，时间120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的试场、班级、姓名、学号、座位号填写在答题卷密封线栏内。

2、每小题选出答案后，把答案填写在答题卷上，不能答在试题部分。

3、考试结束后，只需将答题卷交回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 2．命题“x R ∈任意，2240x x -+≤”的否定为 ( )A ．x R ∈任意，2240x x -+≥B ．2,240x R x x ∉-+≤任意C ．x R ∈存在,2240x x -+>D ．x R ∉存在,2240x x -+> 3．下列函数中，与函数y =定义域相同的函数为（ ） A ．1sin y x=B ．ln xy x=C ． x y xe =D ．sin xy x=4．已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A ．±3B ．－3C ．3 D.1635. 若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则( )．A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a 6．函数y ＝log 2(|x |＋1)的图像大致是( )．7.已知函数，若，则实数的值为 （ ）A ．-1或B ．C ．-1D ．1或8.设()ln f x x x =，若02()f x '=，则（ ）A. B.C.D.9．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10. 已知sin α＝35且α为第二象限角，则)42tan(πα+ = ( )A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－173111.设()sin f x x x =-，则()f x （ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数12. 已知函数11,1(),4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩则方程()f x ax =恰有两个不同实数根时，实数a 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13. 已知命题．若命题是假命题，则实数的取值范围是 ．14．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________. 15.已知扇形的周长为8cm ，当它的半径为______ cm 时，扇形面积最大.16.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足(3)()f x f x +=，当x ∈(－32，0)时，12()log (1)f x x =-，则f (2017)＋f (2019)＝________．⎩⎨⎧≤>=)0(2)0(log )(2x x x x f x 21)(=a f a 222-0x =2e e ln 222:,20p x R x ax a ∃∈++≤p a三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019届陕西省高三上学期第一次月考（文）数学试卷一、单选题（共14小题）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．考点：集合的运算答案：B试题解析：集合，，.选B. 2．已知复数满足，则复数在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数综合运算答案：A试题解析：复数在复平面上对应的点的坐标为（2,1），故点在第一象限.选A.3．函数的定义域为（）A．B．C．D．考点：函数的定义域与值域答案：A试题解析：由题意可知，，解得，故选A.4．若向量，则实数的值为（）A．B．C．2D．6考点：平面向量坐标运算答案：D试题解析：由，可知，所以.选D.5．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充分条件与必要条件答案：B试题解析：充分性：若，此时无意义，故充分性不成立. 必要性：，可得,必要性成立.故选B.6．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A．B．C．D．考点：函数的奇偶性答案：C试题解析：对于函数，，所以为偶函数当时，.故选C.7．已知函数，若，则实数（）A．B．C．D．考点：分段函数，抽象函数与复合函数答案：D试题解析：当时，此时无解. 当，解得.故选D.8．下列各式中值为的是（）A．B．C．D．考点：倍角公式答案：B试题解析：A．，B．C．，D．，故选B.9．已知函数的导函数为，且满足，则（）A．B．－1C．D．考点：函数求导运算答案：A试题解析：由，可得，当时，，所以.故选A.10．在中，，，，那么等于（）A．B．C．D．考点：余弦定理答案：C试题解析：由余弦定理可知，所以,故选C.11．在等差数列中，，公差，若前项和取得最小值，则的值为（）A．7B．8C．7或8D．8或9考点：等差数列答案：C试题解析：，对称轴为，因为,所以的值为7或8 .故选C.12．已知函数，对区间上的任意，，且，都有成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．考点：导数的概念和几何意义答案：B试题解析：由题意可知，对区间上的任意，，，当，即.令，因为在区间上，，所以.故选B.二、填空题（共2小题）13．等比数列中，，，则的前项和为．考点：等比数列答案：120试题解析：，所以.根据.所以.14．求值：．考点：对数与对数函数答案：-1试题解析：15.若满足约束条件则的最小值为．考点：线性运算答案：7试题解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（3，1）将A（3，1）的坐标代入目标函数，得z=7．即的最小值为7．16.如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则= ．考点：导数的概念和几何意义答案：2试题解析：由图可知，所以=2.三、解答题（共7小题）17.已知函数，记的导数为．（1）若曲线在点处的切线斜率为，且=2时取极值，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数在［-1，1］上的最大值和最小值．考点：导数的综合运用答案：见解析试题解析：（1）由题意，得解得，所以（2）由（1）知，当时在是增函数，当时在是减函数，∴在［-1，1］上的最大值为1，最小值为-3．18.已知函数（1）求的最小正周期；（2）求函数在上的值域．考点：恒等变换综合答案：见解析试题解析：（Ⅰ），∴最小正周期（Ⅱ）因为，所以所以在上的值域是．19.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，E是PC的中点．（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：BC DE．考点：立体几何综合答案：见解析试题解析：证明：（1）连结AC交BD于O，连结EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在中，E是PC的中点,所以EO是中位线，∴PA // EO而平面EDB且平面EDB，所以，PA // 平面EDB（2）∵底面ABCD且BC底面ABCD，∴又∵底面ABCD是正方形，有②其中∴．又∵平面PDC，∴．20.设椭圆: 过点（0，4），离心率为．（1）求的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．考点：椭圆答案：见解析试题解析：（1）将点（0，4）代入的方程得,∴b=4,又得，即，∴∴的方程为（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与Ｃ的交点为，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，， AB的中点坐标，，即所截线段的中点坐标为．21.已知函数（1）当时，求的极值;（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．考点：导数的综合运用答案：见解析试题解析：（1）函数的定义域为∵当a=0时，，则令得∴的变化情况如下表∴当时，的极小值为，函数无极大值．（2）由已知，得若，由得，显然不合题意若∵函数区间是增函数∴对恒成立，即不等式对恒成立即恒成立，故而当，函数的最大值为3，∴实数的取值范围为另解: ∵函数区间是增函数对恒成立，即不等式对恒成立设，若，由得，显然不合题意若，由，，无解，显然不合题意若，，故，解得∴实数的取值范围为22.在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）直线与曲线交于两点，求．考点：参数和普通方程互化答案：见解析试题解析：（1）直线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为;（2）解法一、曲线：是以点（0,2）为圆心，2为半径的圆，圆心（0,2）到直线的距离，则.解法二、由可解得两点的坐标为，由两点间距离公式可得.解法三、设两点所对应的参数分别为将代入并化简整理可得，从而因此，.23.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若对于任意的实数恒有成立，求实数的取值范围．考点：绝对值不等式答案：见解析试题解析：（1）不等式，即为，等价于或，或，解得.因此，原不等式的解集为.（2）要使对任意实数成立，须使，解得：实数的取值范围是.。

陕西省2019届高三第一次大检测数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±13．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．1 B．C．D．4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．与k的取值有关6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4B．4 C．6D．68．等差数列{a n}和等比数列{b n}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b =（）A．64 B．32 C．256 D．40969．函数f （x ）=lnx +e x 的零点所在的区间是（ ） A ．（） B ．（）C ．（1，e ）D ．（e ，∞）10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．双曲线的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2=2px （p＞0）的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．212．定义在[0，+∞）的函数f （x ）的导函数为f ′（x ），对于任意的x ≥0，恒有f ′（x ）＞f （x ），a=，b=，则a ，b 的大小关系是（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．无法确定第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

2019年陕西省汉中市第一中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合则( )A. B. C.D.参考答案：D略2. 在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列所给图象中可能正确的是（）参考答案：D略3. 如果实数x、y满足条件那么z=4x·2-y的最大值为A．1 B．2 C． D．参考答案：4. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是A．，B．C．D．8，8参考答案：B略5. 已知，则“”是“”的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件参考答案：A略6. 已知函数，，则的值为A．2 B．-2 C．6 D．-6参考答案：B试题分析：，故函数为奇函数，，故答案为B．考点：奇函数的应用．7. 函数的图象大致是 ( ）参考答案：C8. 双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，则双曲线的离心率为( )A．2 B．C．4 D．参考答案：D考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，可得=4，即可求出双曲线的离心率．解答：解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵渐近线被圆M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦长为6，∴=4，∴a2=3b2，∴c2=4b2，∴e==．故选：D．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．9. 已知实数满足，则的最小值为A、2B、3C、4D、5参考答案：A10. 给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，是真命题的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：根据面面垂直的判定定理，可判断①；根据平面与平面平行的判定定理，可判断②；根据空间直线夹角的定义，可判断③；根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断④．解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故①正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故②错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即③正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故④正确．故真命题有①③④三个．故选：C．点评：本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将长度为的线段分成段，每段长度均为正整数，并要求这段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当时，只可以分为长度分别为1,1,2的三段，此时的最大值为3；当时，可以分为长度分别为1,2,4的三段或长度分别为1,1,2,3的四段，此时的最大值为4．则：（1）当时，的最大值为________；（2）当时，的最大值为________．参考答案：（1）；（2）（注：第一问2分，第二问3分）12. 已知：数列满足，，则的最小值为______参考答案：7略13. （几何证明选讲选做题）中，，，于，于，于，则．参考答案：略14. （2009江苏卷）若复数其中是虚数单位，则复数的实部为。

高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A=[1，2]，B={x∈Z|x2-2x-3＜0}，则A∩B=（）A. [1，2]B. （-1，3）C. {1}D. {1，2}2.z=（i是虚数单位）则z的共轭复数为（）A. 2-iB. 2+iC. -2-iD. -2+i3.已知向量满足，则=（）A. 4B. -4C. 0D. 24.已知sin（）=2sinα，则tan2α的值为（）A. B. C. D.5.函数y=的图象大致是（）A. B.C. D.6.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A. B. C. D.7.已知函数，则=（）A. B. C. D. 58.地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A. AB. BC. DD. E9.已知函数的最小正周期为π，若f（x）在x∈[0，t）时函数值没有最小值，则实数t的范围是（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，，且时，f（x）=log2（-3x+1），则f（2020）=（）A. 4B. log27C. 2D. -211.若双曲线的一条渐近线被曲线（x-2）2+y2=2所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=x2++a（x＜0），g（x）=ln x（x＞0），其中a∈R．若f（x）的图象在点A（x1，f（x1））处的切线与g（x）的图象在点B（x2，g（x2））处的切线重合，则a的取值范围是（）A. （-1+ln2，+∞）B. （-1-ln2，+∞）C. D. （ln2-ln3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x3-2x+4在（1，3）处的切线的倾斜角为______ ．14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，b-c=2，cos A=-，则a的值为______．15.正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果V P-ABCD=，则球O的体积是______．16.已知函数f（x）=log a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+4=0上，其中mn＞0，则的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a4=7，2a3+a5=19．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）设{b n-a n}是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n}通项公式及前n项和T n．18.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数a（a的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5，7，5），[7.5，8.5）的学生中抽取9名参加座谈会．（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：．2.072 2.7063.841 5.024 6.63519.如图，在四面体PABC中，PA=PC=AB=BC=5，AC=6，PB=4，线段AC，AP的中点分别为O，Q．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）求四面体POBQ的体积．20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的倍，焦距为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C，D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．21.已知函数f（x）=ln x+ax-1（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与x轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有．22.在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=3sinθ．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）设点P（0，2），直线C1交曲线C2于M，N两点，求|PM|2+|PN|2的值．23.已知函数f（x）=|x-2|+|x-3|．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A=[1，2]，B={x∈Z|x2-2x-3＜0}={x∈Z|-1＜x＜3}={0，1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：D．先求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵z==，∴．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：向量满足，所以：，故选：A．利用向量的数量积，化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．4.【答案】A【解析】解：由sin（）=-cosα=2sinα，可得：tanα=-，故tan2α==-．故选：A．由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tanα=-，根据二倍角的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x→-∞时，y→+∞，排除B，当x→+∞时，x3＜3x-1，此时y→0，排除D，故选：C．根据函数的定义域，取值范围和取值符号，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别，根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题.确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论.【解答】解：红、黄、白、紫记为1，2，3，4，两个花坛彼此不相同，由列举法可得，有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12）基本事件，其中红色和紫色步骤同一花坛的种法有4种，则P==.故选C.7.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，又由log2=-log25，则-3＜log2=-log25＜-2，则f（log2）=f（-log25）=f（2-log25）=f（4-log25）=f（log2）===，故选：A．根据题意，由对数的运算性质分析可得-3＜log2=-log25＜-2，据此结合函数的解析式计算可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．【解答】解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．故选：C．9.【答案】D【解析】解：由题意，，得ω=2．∴f（x）=．当x∈[0，t）时，2x+∈[，2t+），∵f（x）在[0，t）上没有最小值，∴＜2t+≤，∴＜t≤，∴t的取值范围为：（，]，故选：D．由函数周期求得ω，得到函数解析式，由x∈[0，t）得2x+∈[，2t+），再由f（x）在[0，t）上没有最小值，可得＜2t+≤，求解得答案．本题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想与转化思想，属中档题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，f（x）满足，即f（x+3）=f（x），函数f（x）是周期为3的周期函数，则f（2020）=f（1+2019）=f（1），又由f（x）为奇函数，则f（1）=-f（-1）=-log2（3+1）=-2，故选：D．根据题意，分析可得f（x+3）=f（x），函数f（x）是周期为3的周期函数，进而可得f （2020）=f（1+2019）=f（1），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的解析式以及函数值的计算，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：双曲线的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x-2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，双曲线的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=2所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=1=，==1，解得：e==，故选：B．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力．12.【答案】A【解析】解：由题意知，x1＜0＜x2，当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为y-（x12+x1+a）=（x1+）（x-x1）；当x2＞0时，函数g（x）在点B（x2，g（x2））处的切线方程为y-ln x2=（x-x2）．两直线重合的充要条件是=x1+①，ln x2-1=-x12+a②，得a=ln x2+（）2-1=-ln+（）2-1，令t=，由①及x1＜0＜x2知，则0＜t＜，且a=t2-t-ln t，设h（t）=t2-t-ln t（0＜t＜），则h′（t）=2t-1-==，当t∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）在（0，）为减函数，则h（t）＞h（）=ln2-1，又t→0时，h（t）→+∞．∴a＞ln2-1，则a的取值范围是（ln2-1，+∞）．故选：A．由题意知，x1＜0＜x2，分别求出函数f（x）在点A处的切线方程与g（x）在点B处的切线方程，整理后由斜率相等且在y轴上的截距相等可得a=ln x2+（）2-1=-ln+（）2-1，令t=，则t＞0，且a=t2-t-ln t，然后利用导数求h（t）=t2-t-ln t的最小值，则答案可求．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．13.【答案】45°【解析】解：y′=3x2-2，切线的斜率k=3×12-2=1．故倾斜角为45°．故答案为：45°．欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．14.【答案】【解析】解：由于cos A=-，则，利用sin2A+cos2A=1，解得，由于△ABC的面积为，所以，解得bc=8．由于b-c=2，所以（b-c）2=4，整理得b2+c2=20，所以a2=b2+c2-2bc cos A=，解得a=2．故答案为：直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的正弦值，进一步利用三角形面积的应用求出bc的值，最后利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】π【解析】解：如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，∴PO⊥底面ABCD，PO=R，S ABCD=2R2，VP-ABCD=，∴•2R2•R=，解得：R=2，球O的体积：V=πR3=π，故答案为：π．由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的体积．本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题．16.【答案】【解析】解：由f（x）=log a（x+3）-1知，f（x）过定点A（-2，-1）．因为点A在直线mx+ny+4=0上，所以2m+n=4，又mn＞0，所以m＞0，n＞0，所以=≥=，当且仅当，即m=，n=3时取等号，所以的最小值为．故答案为：．由f（x）的解析式得到定点A，将A点代入直线mx+ny+4=0中，可得2m+n=4，再由=利用基本不等式求出最小值．本题考查了函数过定点问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）设公差为d,∵a4=7，2a3+a5=19．，解得d=2，a1=1，故a n=2n-1，（Ⅱ）∵{b n-a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∵b n-a n=2n，∴b n=2n+2n-1，∴T n=（2+22+…+2n）+[1+3+…+（2n-1）]，=，=2n+1+n2-2.【解析】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式及等比数列通项公式，考查了分组求和方法的应用，属于中档题.（1）利用等差数列的通项公式建立关于d，a1的方程，求解即可；（2）由等比数列的通项公式先求出b n-a n，然后结合等差与等比数列的求和公式利用分组求和即可求解．18.【答案】解：（1）该组数据的平均数因为0.03+0.1+0.2+0.35=0.68＞0.5，所以中位数a∈[8.5，9.5），由0.03+0.1+0.2+（a-8.5）×0.35=0.5，解得；（2）（i）每周阅读时间为[6，5，7.5）的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5，8.5）的学生中抽取6名．理由：每周阅读时间为[6，5，7.5）与每周阅读时间为[7.5，8.5）是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1：2进行名额分配．（ii）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×（0.03+0.1+0.2）=66人，超过8.5小时的共有200-66=134人．于是列联表为：K2的观测值，所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．【解析】本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K2的观测值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可,（2）完成列联表，计算K2的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可.19.【答案】（1）证明：因为PA=PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，在Rt△PAO中，PA=5，OA=3，且PA为直角三角形的斜边，由勾股定理，得PO=4，因为BA=BC，O是AC的中点，所以BO⊥AC．在Rt△BAO中，因为BA=5，OA=3，由勾股定理，得BO=4．因为PO=4，OB=4，PB=4，有PO2+OB2=PB2，则PO⊥OB，且BO∩AC=O，BO，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，而PO⊂平面PAC，故平面PAC⊥平面ABC．（2）解：由（1）可知平面PAC⊥平面ABC．因为平面ABC∩平面PAC=AC，BO⊥AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面PAC，因为在△AOP中，Q是AP的中点所以S△PQO=S△PAO=3，所以V P-OBQ=V B-POQ=S△PQO•BO=×S△PAO×4=×3×4=4．【解析】（1）证明PO⊥AC，PO⊥OB，然后推出PO⊥平面ABC，即可证明平面PAC⊥平面ABC．（2）通过V P-OBQ=V B-POQ，转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（1）依题意，解得∴椭圆方程是；（2）假若存在这样的k值，由得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∴△=（12k）2-36（1+3k2）＞0①设C（x1，y1），D（x2，y2），则②而；要使以C为直径的圆过点E（-1，0），即CE⊥DE，则，即y1y2+（x1+1）（x2+1）=0；∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0③将②式代入③整理解得，经验证，，使①成立．故存在，使得以CD为直径的圆过点E．【解析】（1）由条件有，可解得a，b；（2）以CD为直径的圆过E点，即CE⊥DE，则，方程联立韦达定理代入可解得k值；本题考查椭圆方程的简单几何性质，圆的性质，直线的垂直与斜率的关系，方程联立韦达定理的应用，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；……………………………（2分）当a＜0时，由f'（x）=0，得．若，f'（x）＞0，f（x）单调递增；若，f'（x）＜0，f（x）单调递减综合上述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减．…………………（4分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不满足条件．当a＜0时，f（x）的极大值为，由已知得-ln（-a）=0，故a=-1，此时f（x）=ln x-x+1．………………………（6分）不妨设0＜x1＜x2，则等价于，即证：…………………（8分）令，…………………………………………………………（10分）故g（x）在（1，+∞）单调递减，所以g（x）＜g（1）=0＜x2-x1．所以对于任意互不相等的正实数x1，x2，都有成立．……（12分）【解析】（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不满足条件．当a＜0时，f（x）的极大值为，由已知得-ln（-a）=0，故a=-1，此时f（x）=ln x-x+1．不妨设0＜x1＜x2，则，等价于，即证：．令，利用导数研究其单调性极值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）直线C1的参数方程为（其中t为参数），消去t可得．由ρcos2θ=3sinθ，得ρ2cos2θ=3ρsinθ，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，得曲线C2的直角坐标方程为x2=3y；（2）将直线C1的参数方程代入x2=3y，得，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2=-18，∴．【解析】（1）直接把直线C1的参数方程中的参数消去，可得C1的普通方程；把ρcos2θ=3sinθ两边同时乘以ρ，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，得曲线C2的直角坐标方程；（2）将直线C1的参数方程代入x2=3y，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合参数t的几何意义求解|PM|2+|PN|2的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】解：（1）f（x）=，由f（x）＜2，解得，即不等式f（x）＜2的解集是；（2）f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，即当x∈[3，5]时不等式恒成立，当x∈[3，5]时，f（x）=2x-5，f（x）≥a|2x+1|，即2x-5≥a（2x+1），因为2x+1＞0，所以，令，x∈[3，5]，易知g（x）在[3，5]上单调递增，所以g（x）的最小值为，因此，即a的取值范围为．【解析】（1）写出分段函数的解析式，求出即可；（2）f（x）≥a|2x+1|的解集包含[3，5]，即当x∈[3，5]时不等式恒成立，参数分离a，构造g（x）求出最小值，即求出a的范围．考查绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，参数分离法，构造函数求最值等，综合性较高，难度较大．。

2019届陕西省汉中市高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共50分，每个小题只有一个正确选项）1．已知集合A={x|x （x ﹣2）≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A ∩B=（ ）A ．{﹣2，﹣1}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}2．已知复数z 满足（z+3i ）（2﹣i 3）=10i 5，则复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数f （x ）=+的定义域为（ ）A ．（﹣3，0]B ．（﹣3，1]C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0]D ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1]4．若向量=（3，m ），=（2，﹣1），⊥，则实数m 的值为（ ）A ．﹣B ．C ．2D ．65．“x ＜0”是“ln （x+1）＜0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）A ．y=x 3B ．y=cosxC ．D ．y=ln|x|7．已知函数f （x ）=．若f （a ）+f （1）=0，则实数a 的值等于（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1D ．38．下列各式中，值为的是（ ）A ．2sin15°cos15°B ．cos 215°﹣sin 215°C ．2sin 215°﹣1D ．sin 215°+cos 215°9．已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）=2xf ′（e ）+lnx ，则f ′（e ）=（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣e ﹣1D ．﹣e10．在△ABC 中，∠C=60°，AC=2，BC=3，那么AB 等于（ ）A ．B ．C ．D ．11．在等差数列{a n }中，a 1=﹣28，公差d=4，若前n 项和S n 取得最小值，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．8或912．已知函数f （x ）=ax ﹣x 3，对区间（0，1）上的任意x 1，x 2，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．[4，+∞）C ．（0，4]D ．（1，4]二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{a n }中，a 2=9，a 5=243，则{a n }的前4项和为 ．14．计算的值为．15．已知x、y满足约束条件，则z=2x+y的最小值为．16．（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= ．三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1，记f（x）的导数为f′（x）．（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x=2时y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：BC⊥DE．20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．21．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间[，2]上是增函数，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半的极坐标方程为ρ=4sinθ．轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的直角坐标方程；（I）写出直线l的普通方程和曲线C2（II）直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．2[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＞5的解集；（2）若对于任意的实数x恒有f（x）≥|a﹣1|成立，求实数a的取值范围．2019届陕西省汉中市高三上学期第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共50分，每个小题只有一个正确选项）1．已知集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简A，再由交集运算得答案．【解答】解：∵A={x|x（x﹣2）≤0}={x|0≤x≤2}，B={﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B={0，1}．故选：B．2．已知复数z满足（z+3i）（2﹣i3）=10i5，则复数z在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：（z+3i）（2﹣i3）=10i5，∴（z+3i）（2+i）=10i，∴（z+3i）（2+i）（2﹣i）=10i（2﹣i），∴5（z+3i）=10（2i+1），∴z=4i+2﹣3i=2+i．则复数z在复平面上对应的点（2，1）在第一象限．故选：A．3．函数f（x）=+的定义域为（）A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1] 【考点】函数的定义域及其求法．【分析】从根式函数入手，根据负数不能开偶次方根及分母不为0求解结果，然后取交集．【解答】解：根据题意：，解得：﹣3＜x≤0∴定义域为（﹣3，0]故选：A．4．若向量=（3，m），=（2，﹣1），⊥，则实数m的值为（）A．﹣ B．C．2 D．6【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用⊥⇔=0即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=6﹣m=0，解得m=6．故选：D．5．“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．6．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=x3B．y=cosx C．D．y=ln|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性．【解答】解：A．函数y=x3为奇函数，在（0，+∞）上单调递增，所以A不合适．B．函数y=cosx为偶数，但在（0，+∞）上不单调，所以B不合适．C．函数y=为偶函数，在（0，+∞）上单调递减，所以C不合适．D．函数y=ln|x|为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，所以D合适．故选D．7．已知函数f（x）=．若f（a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数f（x）=，我们易求出f（1）的值，进而将式子f（a）+f（1）=0转化为一个关于a的方程，结合指数的函数的值域，及分段函数的解析式，解方程即可得到实数a的值．【解答】解：∵f（x）=∴f（1）=2若f（a）+f（1）=0∴f（a）=﹣2∵2x＞0∴x+1=﹣2解得x=﹣3故选A8．下列各式中，值为的是（ ）A ．2sin15°cos15°B ．cos 215°﹣sin 215°C ．2sin 215°﹣1D ．sin 215°+cos 215°【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】这是选择题特殊的考法，要我们代入四个选项进行检验，把结果是要求数值的选出来，在计算时，有三个要用二倍角公式，只有最后一个应用同角的三角函数关系．【解答】解：∵故选B9．已知函数f （x ）的导函数为f ′（x ），且满足f （x ）=2xf ′（e ）+lnx ，则f ′（e ）=（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣e ﹣1D ．﹣e【考点】导数的运算．【分析】首先对等式两边求导得到关于f'（e ）的等式解之．【解答】解：由关系式f （x ）=2xf ′（e ）+lnx ，两边求导得f'（x ）=2f'（x ）+，令x=e 得f'（e ）=2f'（e ）+e ﹣1，所以f'（e ）=﹣e ﹣1；故选：C ．10．在△ABC 中，∠C=60°，AC=2，BC=3，那么AB 等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理即可求值得解．【解答】解：∵∠C=60°，AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB===．故选：C ．11．在等差数列{a n }中，a 1=﹣28，公差d=4，若前n 项和S n 取得最小值，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由题意可得等差数列{a n }的通项公式，进而可得数列{a n }中前7项为负值，第8项为0，从第9项开始全为正值．可得数列的前7或8项和最小．【解答】解：由题意可得等差数列{a n }的通项公式为：a n =a 1+（n ﹣1）d=4n ﹣32，令4n ﹣32≥0可得n ≥8，故等差数列{a n }中前7项为负值，第8项为0，从第9项开始全为正值．故数列的前7或8项和最小，故选C12．已知函数f （x ）=ax ﹣x 3，对区间（0，1）上的任意x 1，x 2，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．[4，+∞）C ．（0，4]D ．（1，4]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先确定函数f （x ）在区间（0，1）上f ′（x ）＞1，再求导函数，利用分离参数法，即可求实数a 的取值范围．【解答】解：∵对区间（0，1）上的任意x 1，x 2，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2成立， ∴函数f （x ）在区间（0，1）上f ′（x ）＞1∵f （x ）=ax ﹣x 3，∴f ′（x ）=a ﹣3x 2，∴a ﹣3x 2≥1在区间（0，1）上恒成立∴a ≥4故选：B ．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{a n }中，a 2=9，a 5=243，则{a n }的前4项和为 120 ．【考点】等比数列；等比数列的前n 项和．【分析】根据a 2=9，a 5=243求得a 1和q ，最后利用等比数列的求和公式求得前4项的和．【解答】解：q 3==27∴q=3∴a 1==3∴S 4==120故答案为12014．计算的值为 ﹣1 ．【考点】对数的运算性质．【分析】本题中的代数式是一个多处有对数式的一个分数数型的数，由对数的运算公式对其化简求值．【解答】解：由题意=故答案为﹣115．已知x 、y 满足约束条件，则z=2x+y 的最小值为 7 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出A点的坐标，将z=2x+y变形为y=﹣2x+z，从而求出z的最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（3，1），由z=2x+y得：y=﹣2x+z，显然直线过A（3，1）时z最小，z的最小值是：7，故答案为：7．16．（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= 2 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论．【解答】解：由题意，f（5）=﹣5+8=3，f′（5）=﹣1∴f（5）+f′（5）=2故答案为：2三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1，记f（x）的导数为f′（x）．（1）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x=2时y=f（x）有极值，求函数f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求导函数，利用曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x=2时，y=f（x）有极值，建立两个方程，即可求函数f（x）的解析式；（2）确定函数的极值点，利用函数的最值在极值点处及端点处取得，即可得到结论．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，（1）由题意，得f′（1）=3+2a+b=﹣3，f′（2）=12+4a+b=0，解得a=﹣3，b=0，∴f（x）=x3﹣3x2+1；（2）由（1）知，f′（x）=3x2﹣6x=0，解得x=0或x=2．当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函数，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是减函数，f（0）=1，f（1）=﹣1，f（﹣1）=﹣3，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，最小值为﹣3．18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2﹣2cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）化简可得f（x）=sin（2x﹣），可得周期为π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，解x的范围可得单调递增区间；（Ⅱ）由x的范围可得2x的范围，进而可得2x﹣的范围，由正弦函数的知识可得sin（2x﹣）的范围，进而可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2x﹣2cos2x=1+sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）故函数f（x）的最小正周期为T==π，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x∈，∴2x﹣∈，故sin（2x﹣）∈，所以sin（2x﹣）∈，故函数f（x）在上的值域为：19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：BC⊥DE．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，证明PA∥EO，然后证明PA∥平面EDB．（2）证明PD⊥BC，DC⊥BC，推出BC⊥平面PDC．然后证明BC⊥DE．【解答】证明：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO．…∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO …而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以，PA∥平面EDB …（2）∵PD⊥底面ABCD且BC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC ①又∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC ②其中PD∩DC=D∴BC⊥平面PDC．…又∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．…20．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），可求b ，利用离心率为，求出a ，即可得到椭圆C 的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），代入椭圆C 方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，… ∴椭圆C 的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），…设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2﹣3x ﹣8=0，…由韦达定理得x 1+x 2=3，y 1+y 2=（x 1﹣3）+（x 2﹣3）=（x 1+x 2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB 中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…21．已知函数f （x ）=ax 2+2x ﹣lnx ．（1）当a=0时，求f （x ）的极值；（2）若f （x ）在区间[，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）因为当函数的导数为0时，函数有极值，所以当a=0时，必须先在定义域中求函数f （x ）的导数，让导数等于0，求x 的值，得到极值点，在列表判断极值点两侧导数的正负，根据所列表，判断何时有极值．（2）因为当函数为增函数时，导数大于0，若f （x ）在区间上是增函数，则f （x ）在区间上恒大于0，所以只需用（1）中所求导数，令导数大于0，再判断所得不等式当a 为何值时，在区间上恒大于0即可．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）∵当a=0时，f （x ）=2x ﹣lnx ，则∴当时，f （x ）的极小值为1+ln2，函数无极大值．（2）由已知，得若a=0，由f'（x ）＞0得，显然不合题意若a ≠0∵函数f （x ）区间是增函数∴f'（x ）≥0对恒成立，即不等式ax 2+2x ﹣1≥0对恒成立即恒成立 故而当，函数，∴实数a 的取值范围为a ≥3．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ． （I ）写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； （II ）直线l 与曲线C 2交于A 、B 两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I ）利用坐标互化的方法写出直线l 的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（II ）利用参数的几何意义，求|AB|．【解答】解：（I ）直线l 的普通方程为x ﹣y+1=0，曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2=4； … （II ）设A 、B 两点所对应的参数分别为t A ，t B将代入x 2+y 2﹣4y=0并化简整理可得，从而，因此，．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＞5的解集；（2）若对于任意的实数x恒有f（x）≥|a﹣1|成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）问题转化为解不等式组问题，求出不等式的解集即可；（2）要使f（x）≥|a﹣1|对任意实数x∈R成立，得到|a﹣1|≤3，解出即可．【解答】解：（1）不等式f（x）＞5即为|x+2|+|x﹣1|＞5，等价于或或，解得x＜﹣3或x＞2，因此，原不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞2}；（2）f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|（x+2）﹣（x﹣1）|=3，要使f（x）≥|a﹣1|对任意实数x∈R成立，须使|a﹣1|≤3，解得：﹣2≤a≤4．。

第1页，总20页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………陕西省汉中市2019届高三上学期文数教学质量第一次检测考试试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共11题)1. 已知集合 ， ，则 （ ） A . B .C .D .2. 在区间内随机取一个实数 ，则满足 的概率为（ ）A .B .C .D .3. 若 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）A . 4B . 8C . 2D . 64. 已知等比数列满足，，则（ ）A . 7B . 14C . 21D . 265. 已知函数 ，则 等于（ ）答案第2页，总20页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 8B . 10C . 6D .6. 已知双曲线 的离心率为 ， 则 的渐近线方程为（ ）A .B .C .D .7. 函数的部分图象如图所示，则向量与的数量积为（ ）A .B . 5C . 2D . 68. 命题 ：复数 对应的点在第二象限；命题 ： ，使得 ，则下列命题中为真命题的是（ ） A .B .C .D .9. 我国有一道古典数学名著——两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直），大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚16尺，如图是源于该题思想的一个程序框图，则输出的 （ ）。

陕西省汉中市2019届高三第一次检测考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先写出A的补集，再根据交集运算求解即可.【详解】因为，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于容易题.2.在区间内随机取一个实数，则满足的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数不等式可解得，由几何概型的概率公式即可求解.【详解】因为，所以，根据几何概型的概率公式知：，故选B.【点睛】本题主要考查了指数不等式，几何概型的概率，属于中档题.3.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故，即，故渐近线方程为.【学科网考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.4.命题：复数对应的点在第二象限；命题：，使得，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断p,q的真假，根据含逻辑联结词且或非命题的真假判定即可.【详解】因为对应的点在第一象限，所以命题p是假命题，作出与的图象可知，存在唯一交点，所以命题q是真命题.所以是真命题，是真命题，故选C.【点睛】本题主要考查了命题，复合命题真假的判定，属于中档题.5.函数的部分图象如图所示，则向量与的数量积为（）A. B. 5 C. 2 D. 6【答案】D【解析】【分析】根据解析式可求出点A,B的坐标，写出向量与，计算即可.【详解】根据图象，由可得，由，可得，所以,=,=,所以=6故选D.【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质，数量积的坐标运算，属于中档题.6.若满足约束条件，则的最大值为（）A. 4B. 8C. 2D. 6【答案】B【解析】【分析】为可行域内的点到原点距离的平方，作出可行域，数形结合即可求解.【详解】作出可行域如图：由解得，显然最大，故选B.【点睛】本题主要考查了线性规划有关的问题，涉及数形结合的思想，属于中档题.7.已知，（其中为自然对数的底数），函数，则等于（）A. 4B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据定积分计算，再利用分段函数计算即可求解.【详解】因为, 所以，又，所以，所以,故选A.【点睛】本题主要考查了定积分的计算，分段函数求值，属于中档题.8.我国有一道古典数学名著——两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直），大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚16尺，如图是源于该题思想的一个程序框图，则输出的（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】程序执行第一次后，，执行第二次后，，，执行第3次后，，，执行第4次后，，跳出循环，输出，程序结束，故选B.【点睛】本题主要考查了循环结构的框图，属于中档题.9.已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，，，则有下面四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中所有正确的命题是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ①②③④【答案】A【解析】【分析】根据线面、面面位置关系逐项分析即可.【详解】①因为，，所以，由可知，故正确，②，，可能在内或与平行，推不出，故错误，③，可推出,又，所以，故正确, ④若相交交线为m,则，推不出，故错误.综上可知选A.【点睛】本题主要考查了线线、线面、面面平行垂直的判定与性质，属于中档题.10.已知函数，则下列结论不正确的是（）A. 最大值为2B. 把函数的图象向右平移个单位长度就得到的图像C. 最小正周期为D. 单调递增区间是，【答案】B【解析】【分析】化简函数解析式得，根据正弦型函数性质即可求解.【详解】因为，根据正弦型函数性质可知，最大值为2，最小正周期为，把的图象向右平移个单位长度可得，错误，令解得，故单调递增区间是，正确，综上选B.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.11.在中，角的对边分别是，若角成等差数列，且直线平分圆的周长，则面积的最大值为（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】根据角成等差数列可知,利用直线平分圆的周长可知直线过圆心，可知，利用三角形面积公式及均值不等式即可求出最值.【详解】因为角成等差数列,所以，又直线平分圆的周长，所以直线过圆心，即，三角形面积，根据均值不等式，当且仅当时等号成立，可知面积的最大值为，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列，三角形面积公式，均值不等式，属于中档题.12.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A. B. C. D.【分析】根据奇函数满足，可知其周期为，一条对称轴为，可作出函数在上的图象，再作出在上的图象，根据图象知两函数关于成中心对称，所以四个零点关于成中心对称，所以零点之和为.【详解】根据奇函数满足，可知其周期为，一条对称轴为,可由向右平移个单位得到，在同一坐标系作出与的图象如图：由图象可知与都关于成中心对称，所以四个零点也关于成中心对称，设从小到大四个零点为，则，所以四个零点之和为，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数的图像，函数的周期性和对称性，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，若，则实数________.【答案】【解析】【分析】根据垂直向量的充要条件得，根据数量积坐标运算求得m即可.【详解】因为，所以，解得，故填.【点睛】本题主要考查了向量垂直的充要条件，数量积的坐标运算，属于中档题.14.在中，若，，且，则________.【答案】根据半角公式可得，再利用余弦定理即可求出.【详解】因为，所以，由余弦定理知，所以，故填.【点睛】本题主要考查了余弦的半角公式，余弦定理，属于中档题.15.展开式中的常数项为________.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据题意，只需求的常数项和含的项即可得出的常数项.【详解】因为的通项公式，令，，令，所以的常数项为，故填.【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式的通项公式，求二项展开式的特定项，属于中档题.16.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为__________．【答案】【解析】试题分析：由于圆C的方程为（x-4）2+y2=1，由题意可知，只需（x-4）2+y2=4与直线y=kx-2有公共点即可。