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南昌县2023-2024学年度第一学期期中考试九年级数学试题一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．下列图案中不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程的一次项系数是（ ）A ．3xB ．C ．3D ．3．抛物线的顶点坐标是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．已知三角形两边长分别为5和9，第三边长是方程的根，第三边长（）A ．1B ．6C ．8D ．95．若a ，b 是方程的两个实数根，则的值是（ ）．A ．2021B ．2022C ．2023D ．20246．如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x 轴交于点O ，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x 轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x 轴于点．…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m 的值为（ ）．A ．B ．3C ．D ．4二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．若点与点关于原点对称，则__________．8．如果将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是__________．9．已知点，在抛物线上，且，则__________．（填“”或22350x x -+=3x -3-22(3)4y x =++()3,4()3,4-()3,4-()3,4--2980x x -+=2220230x x +-=23a a b ++24(04)y x x x =-+≤≤1C 1A 1C 1A 180︒2C 2A 2C 2A 180︒3C 3A (2023,)M m 3-4-(1,2)A (,2)B m -m =22y x =+11(,)A x y 22(,)B x y 23y x =-120x x <<1y 2y <“”或“”）10．一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__________人．11．若二次函数的图象与x 轴只有一个公共点，则__________．12．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形是矩形，点A ，C 的坐标分别为，，点D 以2个单位长度/s 的速度从A 出发沿A 至O 方向向终点O 运动，点P 以1个单位长度/s 的速度从C 出发沿C 至B 方向向终点B 运动，当是以为一腰的等腰三角形时，点P 的坐标为__________．三、解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．解下列方程：（1）；（2）．14．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与x 轴一交点为，则由图象直接回答：（1）方程的解是__________；（2）当x__________时，y 随x 的增大而减小；（3）当x 满足________时，函数值大于0．15．如图，在正方形中，点M 是边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图（1）中，在边上求作一点N ，连接，使；（2）在图（2）中，在边上求作一点Q ，连接，使．16．《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、门宽、对角线的长各是多少（如图）？>=22y x x k =-+k =OABC (9,0)A (0,3)C ODP △OP 230x x -=28150x x ++=2y ax bx c =++1x =(3,0)A 20ax bx c ++=ABCD BC AB CN CN AM =AD CQ CQ AM∥17．如图所示，点D 是等边内一点，，，，将绕点A 逆时针旋转到的位置，求的周长．四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？19．已知：的两边，的长是关于x 的方程的两个实数根．（1）当m 为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若的长为2，那么的周长是多少？20．将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E 落在上，所在直线交直线于点F ．（1）求证：；（2）若将图1中绕点B 按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时、与之间的数量关系，并加以证明．ABC △13DA =19DB =21DC =ABD △ACE △DEC △ABCD AB AD 21024m x mx -+-=ABCD AB ABCD Rt ABC △Rt DBE △90ACB DEB ∠=∠=︒AB DE AC CF EF =DBE △AF EF DE五、解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是和边长，易知，这时我们把关于x 的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．22．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图①，点E ，F 分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．（1）【思路梳理】把绕点A 逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点F ，D ，G 共线，易证__________，故，，之间的数量关系为__________．（2）【类比引申】如图②，点E ，F 分别在正方形的边，的延长线上，．连接，试猜想，，之间的数量关系，并证明．ACDE Rt ABC △Rt BED△AE=20ax b +=20ax b +=1x =-20ax b ++=ACDE ABC △ABCD BC CD 45EAF ∠=︒EF EF BE DF ABE △90︒ADG △AB AD 90ADG B ∠=∠=︒180FDG ∠=︒AFG ≌△EF BE DF ABCD CB DC 45EAF ∠=︒EF EF BE DF六、解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．如图，抛物线与x 轴交于、两点，与y 轴交于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线轴于点D ，交直线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段的最大值；（3）当时，求点P 的坐标．南昌县2023-2024学年度第一学期期中考试九年级数学试题参考答案及评分标准说明：1．除本参考答案外，其它正确解法可根据评分标准相应给分。
江西初三初中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、单选题1.下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2.一元二次方程的根是（）A．1B．﹣1C．0.5D．±13.用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )A．B．C．D．4.如图，把菱形ABOC绕O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的是（）A．∠COF B．∠AOD C．∠BOF D．∠COE 5.根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0一个解的范围是( )A．3＜x＜3．23B．3．23＜x＜3．24C．3．24＜x＜3．25D．3．25＜x＜3．266.把抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（）A．B．C．D．二、填空题1.若x=2是一元二次方程x2﹣2a=0的一个根，则a=______．2.平面直角坐标系中，点P(1，-2)关于原点对称的点的坐标是______3.抛物线与x轴的交点坐标是____________4.将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置, 若∠AOD=110°，则∠BOC=_______。
5.如图所示，在直角坐标系中，△A′B′C′是由△ABC 绕点P 旋转一定的角度而得，其中A （1，4），B （0，2），C （3，0），则旋转中心点P 的坐标是______．6.如图,正方形ABCD 与等边三角形AEF 的顶点A 重合,将△AEF 绕顶点A 旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE 的大小可以是____________三、解答题1.解方程2.已知抛物线的最高点为P （3，4），且经过点A （0，1），求的解析式。
3.随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．宜春市2013年销售烟花爆竹20万箱，到2015年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求宜春市2013年到2015年烟花爆竹年销售量的平均下降率．4.已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，该抛物线与x 轴的一个交点（-1,0）为请回答以下问题（1）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标 （2）一元二次方程的解为 （3）不等式的解集是5.如图，△ABC 是直角三角形，延长AB 到点E ，使BE ＝BC ，在BC 上取一点F ，使BF ＝AB ，连接EF ，△ABC 旋转后能与△FBE 重合，请回答：(1)旋转中心是点______，旋转的最小角度是______度(2)AC 与EF 的位置关系如何，并说明理由。
江西省九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020七下·官渡期中) 下列计算正确的是（）A . =±3B . =﹣2C . =﹣3D .2. （2分） (2020八上·金山期中) 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A .B .C .D .3. （2分）关于x的一元二次方程：有两个实数根x1、x2，则 =（）A .B .C . 4D . ﹣44. （2分） (2020九上·孝感月考) 已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程﹣6x+k+2=0的两个根，则k的值等于（）A . 7B . 7或6C . 6或﹣7D . 65. （2分） (2020九上·兰州期末) 如果，那么＝（）A .B .C .D .6. （2分）(2014·宜宾) 如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1 ， A2 ，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A . nB . n﹣1C . （）n﹣1D . n7. （2分）如图，若A,B,C,P,Q,甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使，则点R应是甲，乙，丙，丁四点中的（）A . 丁B . 丙C . 乙D . 甲8. （2分）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan的值是（）A .B .C .D .9. （2分） (2020九上·镇海期中) 在中，∠C=90°，sinA= ，则tanA=（）A .B .C . 1D .10. （2分） (2019八上·武威月考) 若点A（－3，2）关于原点对称的点是点B，点B关于x轴对称的点是点C，则点C的坐标是（）A . （3，2）B . （－3，2）C . （3，－2）D . （－2，3）二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·南开模拟) 若使二次根式有意义，则x的取值范围是．12. （1分） (2018七上·海淀月考) 下列说法正确的是．①一个数的绝对值不可能是负数；②单项式2x2y的次数是2；③连接两点间的线段就叫做两点的距离；④一个锐角的补角比它的余角大90°13. （1分）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为.14. （1分） (2019九上·江都期末) 科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度约为（精确到）.15. （1分）如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC >BC,CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，若tan∠DCE=,则=．三、解答题 (共8题；共90分)16. （10分） (2021八下·临邑期末)（1）计算：（2）解方程：．17. （20分） (2019九上·宜兴月考) 解一元二次方程：（1） (x+1)2－144=0（2） x2－4x－32＝0（3） x（x﹣5）=2（x﹣5）（4）18. （10分） (2019九上·大丰月考) 某商场销售某种商品，每件成本为30元.经市场调研，售价为40元时，每月可销售200件；售价每涨1元，每月销售量将减少10件.该商场每月要在这种商品上盈利2160元的同时.尽可能的减少库存，那么这种商品售价应该定为多少元？（1）解：方法1：设这种商品的定价为元，由题意，得方程为：；方法2：设这种商品涨了元，由题意，得方程为：；（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程.19. （5分） (2018八下·灵石期中) 如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．20. （10分）(2018·永州) 如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．21. （10分）(2018·遵义模拟) 为纪念遵义会议80周年献礼，遵义市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB长60 米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．（1）若修建的斜坡BE的坡比为∶1，求休闲平台DE的长是多少米？（2）一座建筑物GH距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？22. （15分） (2020八上·郑州月考) 如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A®B运动，速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A运动，速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，DPQB第一次能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.23. （10分）(2020·汝南模拟) 如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接 .将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为 .（1）问题发现①当时，；②当时， .（2）拓展探究试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段的长.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共90分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、答案：17-4、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、第21 页共22 页答案：23-3、考点：解析：第22 页共22 页。
2020-2021学年江西省某校九年级第一学期期中数学试卷一、选择题1．（3分）下列函数是y关于x的反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．打开电视刚好在播放广告B．抛出的铁球会落地C．早上的太阳从西边升起D．雨后有彩虹3．（3分）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3，下列说法正确的是（）A．开口方向向上B．顶点坐标为（1，﹣2）C．与x轴有两个交点D．对称轴是直线x＝﹣1 4．（3分）如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为（）A．B．C．D．5．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（）A．图象关于原点对称B．y随x的增大而减小C．图象位于第二、四象限D．若点M（a，b）在其图象上，则ab＝﹣36．（3分）如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（）A．36πB．60πC．96πD．100π7．（3分）已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝﹣2（x+1）2C．y＝2（x﹣1）2D．y＝﹣2（x﹣1）28．（3分）如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O 过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是．10．（3分）已知点A、B关于原点对称，若点A的坐标为（1，2），则点B坐标是．11．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝度．12．（3分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转60°，得到线段CD．若∠BOC＝105°，则∠AOD＝．13．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0有一根是x ＝﹣1，则另外一根是．14．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得∠APB＝60°，则AP的长为．三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．（6分）解下列一元二次方程．（1）2x2+3＝7x；（2）（x+4）2＝5（x+4）．16．（6分）某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的压强P/（kPa）是气球体积V/（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当气球内气体的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球体积应该不小于多少立方米？17．（6分）复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，周五有甲、乙两位同学进校园．（1）求甲同学进校园时，从人工测温通道通过的概率；（2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．18．（6分）仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．（1）如图①，画出⊙O的一个内接矩形；（2）如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值．20．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．21．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝25°，求∠FGC的度数．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC＝60°，延长BA至点P使AP＝AC，作CD平分∠ACB交AB 于点E，交⊙O于点D．连结PC，BD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）求证：BD＝PA；（3）若PC＝6，求AE的长．23．（9分）如图，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B．（1）求b和k的值；（2）请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x 的不等式x+b＞的解集；（3）若点P在y轴上一点，当PA+PB最小时，求点P的坐标．六、探究题（本大题共1小题，共12分）24．（12分）已知抛物线y n＝﹣（x﹣a n）2+b n，（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）的顶点坐标为B n，与x轴的交点为A（0，0）和A n（∁n，0），∁n＝C n﹣1+2，当n＝1时，第1条抛物线y1＝﹣（x﹣a1）2+b1与x轴的交点为A（0，0）和A1（2，0），其他依此类推．（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式．（2）抛物线y3的顶点B3坐标为；依此类推，第n 条抛物线y n的顶点坐标B n为；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是；（3）探究：①是否存在抛物线y n，使得△AA n B n为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．②若直线x＝m（m＞0）与抛物线y，y2，…，y n，y n+1分别交于C1，C2，…，∁n，C n+1，则线段C n﹣1∁n与∁n C n+1的长有何数量关系？并说明理由．参考答案一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）下列函数是y关于x的反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣【分析】直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案．解：A、y＝是y与x+1成反比例，故此选项不合题意；B、y＝，是y与x2成反比例，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意；C、y＝﹣，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；D、y＝﹣是正比例函数，故此选项不合题意．故选：C．2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．打开电视刚好在播放广告B．抛出的铁球会落地C．早上的太阳从西边升起D．雨后有彩虹【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．解：A、打开电视刚好在播放广告是随机事件；B、抛出的铁球会落地是必然事件；C、早上的太阳从西边升起是不可能事件；D、雨后有彩虹是随机事件；故选：B．3．（3分）关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3，下列说法正确的是（）A．开口方向向上B．顶点坐标为（1，﹣2）C．与x轴有两个交点D．对称轴是直线x＝﹣1 【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（1，﹣2），对称轴是直线x＝1，故选项A、D不符合题意，选项B符合题意；当y＝0时，△＝22﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝﹣8＜0，则该抛物线与x轴没有交点，故选项C不符合题意；故选：B．4．（3分）如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为（）A．B．C．D．【分析】连接OB，根据菱形性质求出OB＝OC＝BC，求出△BOC是等边三角形，求出∠COB＝60°，根据弧长公式求出即可．解：连接OB，∵四边形OABC是菱形，∴OC＝BC＝AB＝OA＝4，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°，∴劣弧的长为＝π，故选：D．5．（3分）关于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（）A．图象关于原点对称B．y随x的增大而减小C．图象位于第二、四象限D．若点M（a，b）在其图象上，则ab＝﹣3【分析】反比例函数y＝（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质并结合其对称性对各选项进行判断．解：∵反比例函数y＝﹣中﹣3＜0，∴图象在二、四象限内y随着x的增大而增大，图象关于原点对称，∴A、C正确，不符合题意；B错误，符合题意；∵若点M（a，b）在其图象上，∴﹣＝b，∴ab＝﹣3，∴D选项正确，不符合题意，故选：B．6．（3分）如图，圆锥的底面半径为6，母线长为10，则圆锥的侧面积是（）A．36πB．60πC．96πD．100π【分析】首先求得底面周长，即展开得到的扇形的弧长，然后利用扇形面积公式即可求解．解：底面周长是：2×6π＝12π，则圆锥的侧面积是：×12π×10＝60π．故选：B．7．（3分）已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（）A．y＝2（x+1）2B．y＝﹣2（x+1）2C．y＝2（x﹣1）2D．y＝﹣2（x﹣1）2【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，然后对各选项进行判断．解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y 随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝2（x﹣1）2满足条件．故选：C．8．（3分）如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O 过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线D．若BE＝EC，则AC是⊙O的切线【分析】A、如图1，连接OE，根据同圆的半径相等得到OB＝OE，根据等边三角形的性质得到∠BOE＝∠BAC，求得OE∥AC，于是得到A选项正确；B、由于EF是⊙O的切线，得到OE⊥EF，根据平行线的性质得到B选项正确；C、根据等边三角形的性质和圆的性质得到AO＝OB，如图2，过O作OH⊥AC于H，根据三角函数得到OH＝AO≠OB，于是得到C选项错误；D、如图2根据等边三角形的性质和等量代换即可得到D选项正确．解：A、如图，连接OE，则OB＝OE，∵∠B＝60°∴∠BOE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BOE＝∠BAC，∴OE∥AC，∵EF⊥AC，∴OE⊥EF，∴EF是⊙O的切线∴A选项正确B、∵EF是⊙O的切线，∴OE⊥EF，由A知：OE∥AC，∴AC⊥EF，∴B选项正确；C、∵∠B＝60°，OB＝OE，∴BE＝OB，∵BE＝CE，∴BC＝AB＝2BO，∴AO＝OB，如图，过O作OH⊥AC于H，∵∠BAC＝60°，∴OH＝AO≠OB，∴C选项错误；D、如图，∵BE＝EC，∴CE＝BE，∵AB＝BC，BO＝BE，∴AO＝CE＝OB，∴OH＝AO＝OB，∴AC是⊙O的切线，∴D选项正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是．【分析】找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7；能组成三角形的结果有2个（2、6、7，4、6、7，），则能构成三角形的概率为＝．故答案为：．10．（3分）已知点A、B关于原点对称，若点A的坐标为（1，2），则点B坐标是（﹣1，﹣2）．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．解：∵点A、B关于原点对称，若点A的坐标为（1，2），∴点B坐标是（﹣1，﹣2）．故答案是：（﹣1，﹣2）．11．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝36 度．【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；解：如图，连接OC，OD．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CFD＝∠COD＝36°，故答案为：36．12．（3分）如图，将线段AB绕点O顺时针旋转60°，得到线段CD．若∠BOC＝105°，则∠AOD＝15°．【分析】利用旋转不变性解决问题即可．解：∵∠BOD＝∠AOC＝60°，∴∠AOD＝∠BOD+∠AOC﹣∠BOC＝120°﹣105°＝15°，故答案为15°．13．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0有一根是x ＝﹣1，则另外一根是 5 ．【分析】根据根与系数的关系作答．解：设方程的另一根为x2，则﹣1•x2＝﹣5．故x2＝5．故答案是：5．14．（3分）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得∠APB＝60°，则AP的长为4或4或8 ．【分析】取CD中点P，连接AP，BP，由勾股定理可求AP ＝BP＝4，即可证△APB是等边三角形，可得∠APB＝60°，过点A，点P，点B作圆与AD交于点P′，与BC交于点P″，即这样的P点一共3个，分别求出AP的长即可．解：如图，取CD中点P，连接AP，BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°，∵点P是CD中点，∴CP＝DP＝2，∴AP＝＝＝4，BP＝＝＝4，∴AP＝PB＝AB，∴△APB是等边三角形，∴∠APB＝60°，过点A，点P，点B作圆与AD交于点P′，与BC交于点P″，连接BP′，AP″，此时∠AP′B＝∠APB＝60°，∠AP″B＝60°，∴AP′＝＝4，AP″＝＝8，故答案为：4或4或8．三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．（6分）解下列一元二次方程．（1）2x2+3＝7x；（2）（x+4）2＝5（x+4）．【分析】（1）整理为一般式，再利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）整理，得：2x2﹣7x+3＝0，∴（x﹣3）（2x﹣1）＝0，则x﹣3＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝0.5；（2）∵（x+4）2﹣5（x+4）＝0，∴（x+4）（x﹣1）＝0，则x+4＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1．16．（6分）某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的压强P/（kPa）是气球体积V/（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当气球内气体的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球体积应该不小于多少立方米？【分析】（1）设函数解析式为P＝，把点（1.6，60）的坐标代入函数解析式求出k值，即可求出函数关系式；（2）依题意P≤120，即≤120，解不等式即可．解：（1）设P与V的函数关系式为P＝，则＝60，解得k＝96，∴函数关系式为P＝；（2）当P＞120KPa时，气球将爆炸，∴P≤120，即≤120，解得V≥0.8（m3）．故为了安全起见，气体的体积应不小于0.8（m3）．17．（6分）复工复学后，为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温．某校开通了两种不同类型的测温通道共三条．分别为：红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道）．在三条通道中，每位同学都可随机选择其中的一条通过，周五有甲、乙两位同学进校园．（1）求甲同学进校园时，从人工测温通道通过的概率；（2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：（1）∵共有三个通道，分别是红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道），∴从人工测温通道通过的概率是；（2）根据题意画树状图如下：共有9种等可能的情况数，其中甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的有4种情况，则甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率是．18．（6分）仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．（1）如图①，画出⊙O的一个内接矩形；（2）如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．【分析】（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形；（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形．解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求；（2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0①有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12+x22的值．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；（2）将k＝1代入方程，由韦达定理得出x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，代入到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2可得．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0，解得：k＞﹣；（2）当k＝1时，方程为x2+3x+1＝0，∵x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝9﹣2＝7．20．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，于是得到结论；（2）连接CD，OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠ABC＝30°，即可求得∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，根据垂径定理得出＝，从而得出∠COD＝∠AOC＝60°，求得∠AOD＝120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE＝ED，（2）解：连接CD，OD，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，∵OC⊥AD，∴＝，∴∠COD＝∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，∵OA＝OB，AE＝ED，∴OE＝＝，∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．21．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝25°，求∠FGC的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明△ABC≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF ＝BC；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣60°×2＝60°，那么∠FAG＝60°．由△ABC ≌△AEF，得出∠F＝∠C＝25°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠F＝85°．【解答】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝60°，∴∠BAE＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠FAG＝∠BAE＝60°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝25°，∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝60°+25°＝85°．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC＝60°，延长BA至点P使AP＝AC，作CD平分∠ACB交AB 于点E，交⊙O于点D．连结PC，BD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）求证：BD＝PA；（3）若PC＝6，求AE的长．【分析】（1）连接OC，根据三角形的内角和和切线的判定定理即可得到结论；（2）连结AD．根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD＝45°．求得AD＝BD．推出△ACO为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；（3）根据勾股定理即可得到结论．解：（1）连接OC，∵∠BAC＝60°，且OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝60°．∵AP＝AC，且∠P+∠PCA＝∠BAC＝60°，∴∠P＝∠PCA＝30°．∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝90°．∴PC为切线；（2）连结AD．∵CD平分∠ACB，且∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCD＝45°．∴AD＝BD．∵在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2．∴AD＝BD＝AB，又∵OA＝OC，∠CAO＝60°，∴△ACO为等边三角形，∴AC＝CO＝AO．∴PA＝AC＝AO＝AB．∴BD＝PA；（3）∵∠PCE＝∠PCA+∠ACD＝75°，∠P＝30°，∴∠PEC＝75°，∴PC＝PE＝6．又在Rt△PCO中，OP＝OA+PA＝2OC，PO2＝PC2+CO2，∴CO＝6，PO＝12．∴OE＝OP﹣PE＝12﹣6，∴AE＝OA﹣OE＝OC﹣OE＝6﹣（12﹣6）＝6﹣6．23．（9分）如图，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B．（1）求b和k的值；（2）请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x 的不等式x+b＞的解集；（3）若点P在y轴上一点，当PA+PB最小时，求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．（3）作点A关于y轴对称点A′，设出直线A′B的解析式为y＝mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y 的值，即可得出结论．解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入两个解析式得：2＝×（﹣1）+b，2＝﹣k，解得：b＝，k＝﹣2；（2）联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，解得：或，∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．观察函数图象可知：关于x的不等式x+b＞的解集x为﹣4＜x＜﹣1或x＞0．（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，此时点P即是所求，如图所示．∵点A′与点A关于y轴对称，∴点A′的坐标为（1，2），设直线A′B的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线A′B的解析式为y＝x+．令x＝0，则y＝，∴点P的坐标为（0，）．六、探究题（本大题共1小题，共12分）24．（12分）已知抛物线y n＝﹣（x﹣a n）2+b n，（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）的顶点坐标为B n，与x轴的交点为A（0，0）和A n（∁n，0），∁n＝C n﹣1+2，当n＝1时，第1条抛物线y1＝﹣（x﹣a1）2+b1与x轴的交点为A（0，0）和A1（2，0），其他依此类推．（1）求a1，b1的值及抛物线y2的解析式．（2）抛物线y3的顶点B3坐标为（3，9）；依此类推，第n条抛物线y n的顶点坐标B n为[（n+1，（n+1）2] ；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x2；（3）探究：①是否存在抛物线y n，使得△AA n B n为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．②若直线x＝m（m＞0）与抛物线y，y2，…，y n，y n+1分别交于C1，C2，…，∁n，C n+1，则线段C n﹣1∁n与∁n C n+1的长有何数量关系？并说明理由．【分析】（1）将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，解得，进而求解；（2）同理可得：a3＝3，b3＝9，故点B的坐标为（3，9），依此推出：点B[（n+1，（n+1）2]，进而求解；（3）①点A（0，0），点A n（2n，0）、点B n（n，n2），则△AA n B n为等腰直角三角形，则AA n2＝2AB n2，即（2n）2＝2（n2+n4），即可求解；②y Cn﹣1＝﹣（m﹣n+1）2+（n﹣1）2，y Cn＝﹣（m﹣n）2+n2，则C n﹣1∁n＝y Cn﹣y Cn﹣1＝﹣（m﹣n）2+n2+（m﹣n+1）2﹣（n﹣1）2＝2m，进而求解．解：（1）A1（2，0），则C1＝2，则C2＝2+2＝4，将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，解得，则点A2（4，0），将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2＝2，b2＝4；故y2＝﹣（x﹣a2）2+b2＝﹣（x﹣2）2+4；（2）同理可得：a3＝3，b3＝9，故点B的坐标为（3，9），依此推出：点B[（n+1，（n+1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y＝x2，故答案为：（3，9）；[（n+1，（n+1）2]；y＝x2；（3）①存在，理由：∵点A（0，0），点A n（2n，0）、点B n（n，n2），∴△AA n B n为等腰直角三角形，则AA n2＝2AB n2，即（2n）2＝2（n2+n4），解得：n＝1（不合题意的值已舍去），抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+1；②∵y Cn﹣1＝﹣（m﹣n+1）2+（n﹣1）2，y Cn＝﹣（m﹣n）2+n2，∴C n﹣1∁n＝y Cn﹣y Cn﹣1＝﹣（m﹣n）2+n2+（m﹣n+1）2﹣（n﹣1）2＝2m，m，同理可得∁n C n+1＝2故C n﹣1∁n＝∁n C n+1．。
2020-2021学年江西省九江市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.一元二次方程x2−9=0的根是()A. x=9B. x=±9C. x=3D. x=±32.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有60个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，则口袋中白色球的个数很可能是()个．A. 12B. 24C. 36D. 483.下列几何图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. 等边三角形B. 平行四边形C. 菱形D. 对角线相等的四边形4.为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表．由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如图，如果大视力表中“E”的高度是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高度是()A. 3cmB. 2.5cmC. 2.3cmD. 2.1cm5.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为()A. 1.24米B. 1.38米C. 1.42米D. 1.62米6.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为()A. 485B. 325C. 245D. 125二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.顺次连接一个对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是______形．8.现有四张正面分别标有数字−1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m，n.则点P(m,n)在第二象限的概率为______．9.已知一元二次方程x2−x+k=0的一根为1，则另一根为______．10.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点P为AC中点，经过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有______条．11.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是______．12.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=12，∠B=120°，E是BC的中点，点P在平行四边形ABCD的边上，若△PBE为等腰三角形，则EP的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）13.(1)用配方法解方程x2+4x−5=0；(2)用因式分解法解方程(x−3)2+4x(x−3)=0．四、解答题（本大题共10小题，共78.0分）14.在图1、2中，点E是矩形ABCD边AD上的中点，现要求仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．[保留画(作)图痕迹，不写画(作)法](1)在图1中，以BC为一边画△PBC，使△PBC面积=矩形ABCD面积；(2)在图2中，以BE、ED为邻边作▱BEDK．15.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE=DF.求证：∠BAE=∠DAF．16.已知关于x的方程x2−(m+1)x+2(m−1)=0(1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．17.小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀)．(1)小红的爸爸被分到B组的概率是______；(2)某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？(请用画树状图或列表的方法写出分析过程)18.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC；(2)若BC=12，AFFC =12，求线段BE的长．19.某商店将进价为30元的商品按每件40元出售，每月可出售600件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，这种商品每件的销售价每提高1元，其销售量就减少10件，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使每月总利润为10000元，那么此时每件商品售价应为多少元？20.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF=∠DEF．21.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．22.已知x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k−2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．23.如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF=AB．(1)求证：BD⊥EC；(2)若AE=2，求AB的长；(3)如图2，连接AG，请探究线段EG、AG、DG之间的数量美系，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：x2−9=0，移项得：x2=9，两边直接开平方得：x=±3，故选：D．首先把−9移到方程的右边，然后两边直接开平方即可．此题主要考查了直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a(a≥0)的形式，利用数的开方直接求解．2.【答案】B【解析】解：∵小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在0.15和0.45，∴估计摸到红色、黑色球的概率分别为0.15和0.45，∴摸到白球的概率为1−0.15−0.45=0.4，∴口袋中白色球的个数为60×0.4=24，即口袋中白色球的个数很可能24个．故选B．根据频率估计概率得到摸到红色、黑色球的概率分别为0.15和0.45，则摸到白球的概率为0.4，然后利用概率公式计算即可．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．3.【答案】C【解析】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、菱形即是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D、对角线相等的四边形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.【答案】D【解析】解：由题意得：CD//AB，∴CDAB =DEBE，∵AB=3.5cm，BE=5m，DE=3m，∴CD3.5=35，∴CD=2.1cm，故选：D．直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，根据平行相似或平行线分线段成比例定理列比例式，可以计算出结果．5.【答案】A【解析】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴ab=0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．故选：A．根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a 的值．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．6.【答案】C【解析】解：∵AB=6，BC=8，∴矩形ABCD的面积为48，AO=DO=12AC=5，∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD=S△AOE+S△DOE，即12=12AO×EO+12DO×EF，∴12=12×5×EO+12×5×EF，∴5(EO+EF)=24，∴EO+EF=245，故选：C．依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD=S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．7.【答案】矩【解析】解：矩形．理由如下：∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD，(三角形的中位线平行于第三边)∴四边形EFGH是平行四边形，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)∵AC⊥BD，EF//AC，EH//BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．本题考查的是矩形的判定方法，常用的方法有三种：①一个角是直角的平行四边形是矩形．②三个角是直角的四边形是矩形．③对角线相等的平行四边形是矩形．8.【答案】316【解析】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中点P(m,n)在第二象限的结果数为3，．所以点P(m,n)在第二象限的概率=316．故答案为316画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P(m,n)在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了点的坐标．9.【答案】0【解析】解：设方程的另一个根是x2，则：1+x2=1，解得x2=0．所以另一根为0，故答案为0．根据根与系数的关系由两根之和可以求出另一个根．是解题的关键．本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和等于−ba10.【答案】3【解析】解：过点P作PE//AB交AB于点E，△CPE∽△CAB．过点P作PF//BC交AB于点F，△APF∽△ACB．过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA．故满足条件的直线有3条，故答案为：3．根据相似三角形的判定方法，画出图形判断即可．本题考查相似三角形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11.【答案】8√5【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF=2，∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE=DF=BE=BF，=2，∵AC=BD=8，OE=OF=8−42由勾股定理得：DE=√OD2+OE2=√42+22=2√5，∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2√5=8√5，故答案为：8√5．连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．12.【答案】6或6√3或√57【解析】解：当P点在BA上，BP=BE=6，作BH⊥PE于H，如图1，则PH=EH，∵∠B=120°，∴∠BPE=∠BEP=30°，在Rt△BEH中，BH=1BE=3，EH=√3BH=23√3，∴PE=2EH=6√3；当P点在AD上，BP=PE，作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，则BF=EF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∵∠ABC=120°，∴∠A=60°，AB=4，BG=√3AG=4√3，在Rt△ABG中，AG=12∴PF=4√3，在Rt△PEF中，PE=√32+(4√3)2=√57；当点P在CD上，如图3，EB=EP=6，综上所述，PE的长为6或6√3或√57．故答案为6或6√3或√57．当P点在BA上，BP=BE=6，作BH⊥PE于H，如图1，根据等腰三角形的性质得PH=EH，再计算出∠BPE=∠BEP=30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH，从而得到此时的PE的长；当P点在AD上，BP=PE，作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，所以BF=EF=3，先求出BG=4√3，从而得到PF=4√3，然后利用勾股定理计算出此时PE的长；当点P在CD上，如图3，EB=EP=6．本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．平行线间的距离处处相等．也考查了等腰三角形的性质．13.【答案】解：(1)x2+4x=5．∴x2+4x+4=9，∴(x+2)2=9，∴x+2=±3，∴x1=−5，x2=1；(2)原方程因式分解得：(x−3)(5x−3)=0，∴x−3=0或5x−3=0，∴x1=3,x2=3．5【解析】(1)利用配方法求解即可．(2)利用因式分解法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14.【答案】解：(1)如图所示，△PBC即为所求；(2)如图所示，平行四边形BEDK即为所求．【解析】(1)连接CE并延长，交BA的延长线于P，根据△APE≌△DCE，可得△PBC面积=矩形ABCD面积；(2)连接矩形ABCD的对角线，交于点O，可得BO=DO，再连接EO并延长，交BC于K，根据△BOK≌△DOE，可得EO=KO，连接DK，即可得到▱BEDK．本题主要考查了复杂作图，平行四边形的判定，矩形的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题时注意：对角线互相平分的四边形是平行四边形．15.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=AD，在△ABE和△ADF中，{AB=AD ∠B=∠D BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF．【解析】根据菱形的性质可得∠B=∠D，AB=AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE=∠DAF．本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．16.【答案】解：(1)证明：∵Δ=[−(m+1)]2−4×2(m−1)=m2−6m+9=(m−3)2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；(2)若腰长为4，将x=4代入原方程，得：16−4(m+1)+2(m−1)=0，解得：m=5，∴原方程为x2−6x+8=0，解得：x1=2，x2=4．组成三角形的三边长度为2、4、4；若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，∴Δ=0，即m=3，此时方程为x2−4x+4=0，解得：x1=x2=2，由于2+2=4，不能构成三角形，舍去；所以三角形另外两边长度为4和2．【解析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；(2)代入x=4求出m值．(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=(m−3)2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；(2)分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得．17.【答案】13【解析】解：(1)共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，因此被分到“B ；组”的概率为13(2)用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，∴P(他与小红爸爸在同一组)=39=13．(1)共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率．(2)用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率．本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提．18.【答案】证明：(1)∵DE//AC，∴∠DEB=∠FCE，∵EF//AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC；(2)∵EF//AB，∴BEEC =AFFC=12，∵EC=BC−BE=12−BE，∴BE12−BE =12，解得：BE=4．【解析】(1)由平行线的性质可得∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，可得结论；(2)由平行线分线段成比例可得BEEC =AFFC=12，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定是本题的关键．19.【答案】解：设每件商品售价应为x元，每月的销量为[600−10(x−40)]件，由题意，得[600−10(x−40)](x−30)=10000，解得：x1=50，x2=80．当x=50时，600−10(50−40)=500件，销售成本为：500×30=15000>10000舍去，当x=80时，600−10(80−40)=200件，销售成本为：200×30=6000<10000舍去，答：此时每件商品售价应为80元．【解析】设每件商品售价应为x元，根据利润=售价−进价建立方程求出其解并检验即可．本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，利润率问题的数量关系的运用，解答时根据利润=售价−进价建立方程是关键．20.【答案】证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF//AB，DE//AC，∴四边形ADEF是平行四边形；(2)∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．【解析】(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//AB，DE//AC，再根据平行四边形的定义证明即可；(2)根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，∵E是AD的中点，AD，∴AE=OE=12∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE//FG，∵OG//EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴四边形OEFG是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，AD=5；∴OE=AE=12由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5，∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．AD，推【解析】(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=12出OE//FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；AD=5；由(1)知，(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=12四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2−2x+k+2=0有两个实数根，∴△=(−2)2−4×1×(k+2)≥0，解得：k≤−1．(2)∵x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1x2=k+2．∵1x1+1x2=k−2，∴x1+x2x1x2=2k+2=k−2，∴k2−6=0，解得：k1=−√6，k2=√6．又∵k≤−1，∴k=−√6．∴存在这样的k值，使得等式1x1+1x2=k−2成立，k值为−√6．【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，(1)根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=2，x1x2=k+2，结合1x1+1x2=k−2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合(1)即可得出结论．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，∴∠EAF=∠DAB=90°，又∵AE=AD，AF=AB，∴△AEF≌△ADB(SAS)，∴∠AEF=∠ADB，∴∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°，即∠EGB=90°，故BD⊥EC；(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AE//CD，∴∠AEF=∠DCF，∠EAF=∠CDF，∴△AEF∽△DCF，∴AECD =AFDF，即AE⋅DF=AF⋅DC，设AE=AD=a(a>0)，则有a⋅(a−1)=1，化简得a2−a−1=0，解得a=√5−1或a=−√5−1(舍去)，∴AB=√5−1；(3)如图，在线段EG上取点P，使得EP=DG，在△AEP与△ADG中，AE=AD，∠AEP=∠ADG，EP=DG，∴△AEP≌△ADG(SAS)，∴AP=AG，∠EAP=∠DAG，∴∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°，∴△PAG为等腰直角三角形，∴EG−DG=EG−EP=PG=√2AG．【解析】(1)证明△AEF≌△ADB(SAS)，则∠AEF=∠ADB，∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°，即可求解；(2)证明△AEF∽△DCF，则AECD =AFDF，设AB=a(a>0)，则有22−2a=a2，即可求解；(3)证明△AEP≌△ADG(SAS)，则△PAG为等腰直角三角形，故EG−DG=EG−EP= PG=√2AG．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．。
2022-2023学年江西省南昌市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝3x2+2x+c与y轴的交点坐标是（0，2c﹣1），则c＝（）A．1B．2C．D．﹣13．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定4．若x＝m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，则2m2+4m﹣3＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．25．二次函数y＝（x﹣2）（x﹣4）+6的顶点坐标是（）A．（2，6）B．（4，6）C．（3，﹣5）D．（3，5）6．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+2x﹣4＝0的一个正根．如图，一张边长为2的正方形的纸片ABCD，先折出AB，CD的中点E，F，再沿过点B的直线折叠，使点A落在线段BF上（即H处），折痕为BG，点G在边AD上，连接GH，GF，则长度恰好是方程x2+2x﹣4＝0的一个正根的线段为（）A．GA B．GD C．GF D．FC二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．某一元二次方程的两个实数根为x1＝x2＝﹣4，则该一元二次方程可以是．8．如图，将其绕着某点旋转α（0°＜α＜180°），能与自身重合，则α＝°．第8题第10题9．抛物线y＝x2﹣2x+1向下平移1个单位得到新抛物线，则新抛物线解析式为．10．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是．11．直线y＝x+1绕着点（﹣1，0）顺时针旋转45°后得到直线l，则直线l为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，D，E分别是AC，AB的中点．将线段DE绕着点E逆时针能转角α（0°＜α≤180°）得到线段ED'，连接BD′，若△D'BE 是直角三角形，则α＝°．三、解答鼴（本大愿共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）解一元二次方程：x2+x＝0；（2）用配方法将二次函数y＝2x2+4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式．14．（6分）为促进米粉经济，某市举办了“中国米粉节”展销会活动．参加这次米粉展销会的每两家公司之间都签订了一份合同，若所有x家公司共签订了y份合同．（1）写出y与x的关系式；（2）当所有公司共签订了55份合同时，求参加此次展销会的公司的数量．15．（6分）抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线最高点到x轴的距离为4．求该抛物线的解析式．16．（6分）活动；在平面直角坐标系中，把点P（x，y）绕着原点顺时针旋转90°得到点Q（m，n）．（1）填表：P（x，y）（1，0）（2，4）（﹣3，﹣5）Q（m，n）（0，﹣1）（﹣5，3）（﹣1，﹣6）（2）发现：用x，y表示Q点坐标．17．（6分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝FC＝CE，线段AF与线段CD关于点O对称，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（1）在图1中画出点O；（2）在图2中画线段OM，使OM∥AF且OM＝AF．四、解答题（本大厦共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，将△ABC绕着点B逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△A′BC′，若点C′恰好落在边AC上，A′B∥AC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）连接AA'，已知AC＝4cm，当α＝30°时．求四边形AA′BC的面积．19．（8分）匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程s，时间t的关系为s＝•t．现有一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止运动．（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？（2）小球滚动5m约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41）？20．（8分）如图1，是某种音乐喷泉，其形状如抛物线，图2是它的示意图，喷头A到地面BC的距离AO为5m，抛物线AEB与AFC关于AO对称，点D在抛物线AFC的最高处，离地面BC的距离为6m．到AO的距离为1m，已知喷泉的落地点中，B，C间距离最远．（1）请建立恰当的平面直角坐标系，求抛物线AEB的解析式；（2）要使喷出的水落到圆形水池内，建造水池时，水池的直径d必须满足什么条件？五、（本大题共1小题，共10分）21．（10分）[课本再现]（1）我们知道，平移、轴对称和旋转都属于全等变换，如图1，是4×4正方形网格，A，D，C均是格点，B，E分别在CD和AC上，∠ACB＝90°，△ABC≌△DEC，请你判断△ABC是通过怎样的变换得到△DEC的？填：．[深入探究]（2）在图1中，AB与网格线的交点用F表示，连接CF，如图2，探究CF与DE的关系；[柘展延伸]（3）将图2中的点B，E绕着点C同时旋转得到点B′，E′，连接AB′，DE′，作AB′的中点F'，连接CF′，如图3，猜想CF′与DE′的关系，并进行证明．2022-2023学年江西省南昌市九年级（上）期中数学试卷答案1．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．2．【分析】令x＝0，求出相应的y的值，得到抛物线y＝3x2+2x+c与y轴的交点坐标，进而即可得到c＝2c﹣1，解得即可．【解答】解：∵二次函数y＝3x2+2x+c，∴当x＝0时，y＝c，∵二次函数y＝3x2+2x+c与y轴的交点坐标是（0，2c﹣1），∴c＝2c﹣1，∴c＝1故选：A．3．【分析】先求出根的判别式Δ的值，再判断出其符号即可得到结论．【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4，∵m2≥0，∴m2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．4．【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2+2m＝1，再把2m2+4m﹣3变形为2（m2+2m）﹣3，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x＝m是方程x2+2x﹣1＝0的一个根，∴m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴2m2+4m﹣3＝2（m2+2m）﹣3＝2×1﹣3＝﹣1．故选：B．5．【分析】把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论．【解答】解：∵二次函数可化为y ＝（x ﹣3）2+5，∴二次函数y ＝（x ﹣2）（x ﹣4）+6的顶点坐标是（3，5），故选：D ．6．【分析】设AG ＝m ，则DG ＝2﹣m ，由折叠的性质可知：△ABG ≌△HBG ，F 是CD 的中点，则AG ＝GH ＝m ，FC ＝1，再由勾股定理得BF ＝，然后由S 正方形＝S △CBF +S △ABG +S△BGF+S △DGF ，求出m ＝﹣1，即可解决问题．【解答】解：设AG ＝m ，则DG ＝2﹣m ，由折叠的性质可知：△ABG ≌△HBG ，F 是CD 的中点，∴AG ＝GH ＝m ，FC ＝1，根据勾股定理得：BF ＝＝，∵S 正方形＝S △CBF +S △ABG +S △BGF +S △DGF ，∴2×2＝×2×1+×2×m +××m +×1×（2﹣m ），解得：m ＝﹣1，∵x 2+2x ﹣4＝0的解为：x ＝﹣1±，∴取正值为x ＝﹣1，∴这条线段是线段GA ，故选：A ．7．【分析】先计算出x 1+x 2＝﹣8，x 1x 2＝16，然后利用根与系数的关系写出二次项系数为1的一元二次方程即可．【解答】解：∵x 1＝x 2＝﹣4，∴x 1+x 2＝﹣8，x 1x 2＝16，∴以x 1、x 2为根的一元二次方程可以为x 2+8x +16＝0．故答案为：x 2+8x +16＝0．8．【分析】根据旋转对称图形的性质判断即可．【解答】解：如图：由题意，，故该图形围绕点O旋转能与自身重合，则旋转角最小为120°，故答案为：120．9．【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，根据该顶点坐标写出新抛物线解析式即可．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，它的顶点坐标是（1，0）．将其向下平移1个单位得到新抛物线，则新抛物线解析式的顶点坐标是（1，﹣1），所以新抛物线的解析式是：y＝（x﹣1）2﹣1．故答案为：y＝（x﹣1）2﹣1．10．【分析】首先求得（﹣1，0）关于x＝1的对称点，求y≥0时x的取值范围，就是函数图象在x轴上或在x轴上边时对应的x的范围．【解答】解：（﹣1，0）关于x＝1的对称点是（3，0）．则x的取值范围是：﹣1≤x≤3．故答案为：﹣1≤x≤3．11．【分析】由直线解析式即可求得直线y＝x+1与x轴的夹角为45°，故直线y＝x+1绕着点（﹣1，0）顺时针旋转45°后得到直线y＝0．【解答】解：∵直线y＝x+1中k＝1，∴直线y＝x+1与x轴的夹角为45°，∴直线y＝x+1绕着点（﹣1，0）顺时针旋转45°后得到直线l，则直线l为y＝0，故答案为：y＝0．12．【分析】由直角三角形的性质得∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，再由三角形中位线定理得DE∥BC，则∠ED'B＝∠DED'＝α，分情况讨论，①当∠D'EB＝90°时，②当∠ED'B＝90°时，分别求解即可．【解答】解：如图1，∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，∵D，E分别是AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，AE＝BE，∴DE∥BC，∴∠ED'B＝∠DED'＝α，分情况讨论：①当∠D'EB＝90°时，∠ED'B＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°；②当∠ED'B＝90°时，a、如图2，由旋转的性质得：ED'＝ED，∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠C＝90°，又∵AE＝BE，∴Rt△BD'E≌Rt△ADE（HL），∴∠BED'＝∠AED＝90°﹣∠A＝30°，∴α＝180°﹣∠BED'﹣∠AED＝180°﹣30°﹣30°＝120°；，b、如图3，同理得：Rt△BD'E≌Rt△ADE（HL），∴∠BED'＝∠AED，∴D、E、D'三点共线，∴α＝180°；综上所述，α＝60°或120°或180°；故答案为：60°或120°或180°．13．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）根据配方法的步骤可得．【解答】解：（1）x2+x＝0，x（x+1）＝0，∴x＝0或x+1＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1；（2）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8．14．【分析】（1）根据每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，得出总合同数y与x的函数解析式；（2）令（1）中的y＝55，得到关于x的一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）每家公司与其他（x﹣1）家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了y＝份合同，∴y与x的关系式为y＝x（x﹣1）；（2）当y＝55时，则x（x﹣1）＝55，解得x1＝11，x2＝﹣10（舍去），∴x＝11，答：参加此次展销会的公司共有11家．15．【分析】（1）根据抛物线的对称性和与x轴交点坐标即可求解；（2）首先把抛物线解析式化为顶点式，然后结合已知条件即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），∴这条抛物线的对称轴为直线x＝＝1；（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∵该抛物线最高点到x轴的距离为4，∴抛物线开口向下，∴最高点的纵坐标为4或﹣4，当最高点的纵坐标为4时，﹣4a＝4，∴a＝﹣1；当最高点的纵坐标为﹣4时，﹣4a＝﹣4，∴a＝1＞0，不合题意，舍去；∴y＝﹣x2+2x+3．16．【分析】（1）根据旋转的性质即可得到结论；（2）根据（1）的规律即可得到结论．【解答】解：（1）填表：P（x，y）（1，0）（2，4）（﹣3，﹣5）（6，﹣1）Q（m，n）（0，﹣1）（4，﹣2）（﹣5，3）（﹣1，﹣6）（2）用x，y表示Q点坐标为（y，﹣x）．17．【分析】（1）连接AD交BC于点O，点O即为所求；（2）连接BD，AD，延长AF交BD于点Q，连接DF，CQ交于点T，连接RT，延长RT 交AD于点K，交CD于点J，连接CK，延长CK交BD于点R，连接RO，延长RO交AC于点M，线段OM即为所求．【解答】解：（1）如图1中，点O即为所求；（2）如图2中，线段OM即为所求．18．【分析】（1）由旋转的性质可得BC＝BC'，∠ABC＝∠A'BC'，由平行线的性质可得AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；（2）由直角三角形的性质可求BH的长，即可求解．【解答】（1）证明：∵将△ABC绕着点B逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△A′BC′，∴△ABC≌△A'BC'，∴BC＝BC'，∠ABC＝∠A'BC'，∴∠C＝∠BC'C，∵A'B∥AC，∴∠A'BC'＝∠BC'C，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵A'B∥AC，∴∠BAC＝∠ABA'＝30°，∵BH⊥AC，AB＝AC＝4cm，∴BH＝AB＝2cm，＝×AC•BH＝4cm2，∴S△ABC∴四边形AA′BC的面积＝2×4＝8cm2．19．【分析】（1）由题意列式计算即可；（2）设小球滚动5m约用了x秒，由时间×速度＝路程，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）小球的滚动速度平均每秒减少：5÷4＝1.25（m/s），答：小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s；（2）设小球滚动5m约用了x秒，由题意得：x•＝5，整理得：x2﹣8x+8＝0，解得：x＝4﹣2或x＝4+2（不符合题意舍去），∴x＝4﹣2≈1.2，答：小球滚动5m约用了1.2秒．20．【分析】（1）建立坐标系，用待定系数法求函数解析式；（2）令（1）中解析式y＝0，解关于x的一元二次方程即可．【解答】解：（1）以O为原点，以BC所在直线为x轴，以AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：由题意知，A（0，5），D（1，6），∵抛物线AEB与AFC关于AO对称，∴抛物线AEB的顶点坐标为（﹣1，6），设抛物线AEB的解析式为y＝a（x+1）2+6，把A（0，5）代入解析式得：5＝a（0+1）2+6，解得a＝﹣1，∴抛物线AEB的解析式为y＝﹣（x+1）2+6；（2）令y＝0，则﹣（x+1）2+6＝0，解得x1＝﹣1+（舍去），x2＝﹣1﹣，∴BC＝2OB＝2+2．答：要使喷出的水落到圆形水池内，建造水池时，水池的直径d必须大于2+2．21．【分析】（1）由轴对称图形的性质进行判断即可；（2）设AC与格点的交点为G，DE与CF的交点为H，先得到FG是线段AC的垂直平分线，能够得到CF＝BF，则∠FBC＝∠FCB，再由∠FCB+∠CDE＝90°，得到∠DHC ＝90°，即可判断出DE⊥CF；（3）延长F'C与DE'交于点H，延长CF'至G，使GF'＝CF'，连接AG，连接B'E'与DC 的延长线交于M点，先证明△AF'G≌△CF'B'（SAS），得到AG∥CB'，再证明△ACG≌△CDE'（SAS），得到CG＝DE'＝2CF'，又由∠DCH+∠ACG＝90°，∠CDH+∠CDH＝90°，得到∠DHC＝90°，即可推理出CF'⊥DE'．【解答】解：（1）如图1，△ABC与△CDE是轴对称图形，故答案为：轴对称；（2）设AC与格点的交点为G，DE与CF的交点为H，∵G是AC的中点，FG⊥AC，∴FG是线段AC的垂直平分线，∴AF＝FC＝BA，∴BF＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，∵∠FBC+∠BAC＝90°，∠BAC＝∠CDE，∴∠FCB+∠CDE＝90°，∴∠DHC＝90°，∴DE⊥CF；∵AB＝DE，∴DE＝2FC；（3）延长F'C与DE'交于点H，延长CF'至G，使GF'＝CF'，连接AG，连接B'E'与DC 的延长线交于M点，∵F'是AB'的中点，∴AF'＝B'F，∵CF'＝GF'，∠AF'G＝∠CF'B'，∴△AF'G≌△CF'B'（SAS），∴∠G＝∠F'CB'，AG＝CB'，∴AG∥CB'，由旋转可得CB'＝CB＝CE＝CE'，∵∠ACB'+∠B'CM＝∠B'CM+∠MCE'＝90°，∴∠ACB'＝∠MCE'，∵∠GAC+∠ACB'＝180°，∠DCE'+∠MCE'＝180°，∴∠GAC＝∠DCE'，∵CD＝AC，AG＝CE'，∴△ACG≌△CDE'（SAS），∴CG＝DE'＝2CF'，∠ACG＝∠CDH，∵∠BCE＝90°，∴∠DCH+∠ACG＝90°，∴∠CDH+∠CDH＝90°，∴∠DHC＝90°，∴CF'⊥DE'，综上所述：CF'⊥DE'，DE'＝2CF'．。
江西省抚州市临川九年级上期中数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】B【解析】试题分析：利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．考点：命题与定理．【题文】下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）x2﹣a=0；（5）=x﹣1，一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】试题分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．①ax2+bx+c=0的二次项系数可能为0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1是一元二次方程；③x+3=不是整式方程；④（a2+a+1）x2﹣a=0整理得[（a+）2+]x2﹣a=0，由于[（a+）2+]＞0，故（a2+a+1）x2﹣a=0是一元二次方程；⑤=x﹣1不是整式方程．考点：一元二次方程的定义．【题文】如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．【答案】B【解析】试题分析：首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠B=∠D=60°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，∴AE=AF，∵∠B=60°，∴∠BAD=120°，∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4，∴BE=2，∴AE==2，∴EF=AE=2，过A作AM⊥EF，∴AM=AE•sin60°=3，∴△AEF的面积是： EF•AM=×2×3=3．考点：菱形的性质．【题文】在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是： =．考点：列表法与树状图法．【题文】如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定【答案】C【解析】试题分析：因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．连接AR．因为E、F分别是AP、RP的中点，则EF为△APR的中位线，所以EF=AR，为定值．所以线段EF的长不改变．考点：三角形中位线定理．【题文】如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】试题分析：根据AB∥CD∥EF，再利用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形，即可得出正确答案．∵AB∥CD∥EF，∴=， =，，；考点：平行线分线段成比例．【题文】某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（）A．2x2=9.5 B．2（1+x）=9.5C．2（1+x）2=9.5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5【答案】D【解析】试题分析：增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元即可得出方程．设教育经费的年平均增长率为x，则2014的教育经费为：2（1+x）万元，2015的教育经费为：2（1+x）2万元，那么可得方程：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．【题文】根据下列表格对应值：x3.243.253.26ax2+bx+c﹣0.020.010.03判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28【答案】B【解析】试题分析：观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24＜x＜3.25之间．由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x ＜3.25．考点：估算一元二次方程的近似解．【题文】若关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，那么m的取值范围是（）A．m＞ B．m≥ C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2【答案】D【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义以及方程有解，结合根的判别式即可得出关于m的一元二次不等式组，解不等式即可得出结论．∵关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，∴，解得：m≥且m≠2．考点：根的判别式．【题文】如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为（）A． B． C． D．不确定【答案】B【解析】试题分析：根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1=A C，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的，依此类推可得四边形AnBnCnDn的面积．∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴A1B1∥AC，A1B1=AC，∴△BA1B1∽△BAC，∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，又四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积是16，∴SA1B1C1D1=×16，∴四边形AnBnCnDn的面积=16×=．考点：(1)、三角形中位线定理；(2)、菱形的判定与性质；(3)、矩形的判定与性质．【题文】如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【答案】AC⊥BD【解析】试题分析：根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．考点：(1)、矩形的判定；(2)、三角形中位线定理．【题文】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= cm．【答案】9【解析】试题分析：先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．在Rt△ABC中，AC=10cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，EF=OD=BD=AC=cm，AF=AD=BC=4cm，AE=AO=AC=cm，∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．考点：(1)、三角形中位线定理；(2)、矩形的性质．【题文】若，则的值为．【答案】【解析】试题分析：先由，根据分式的基本性质得出===，再根据等比性质即可求解．∵，∴===，∴=．考点：比例的性质．【题文】已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则的值为．【答案】10【解析】试题分析：先根据根与匇的关系得到x1+x2=﹣6，x1x2=3，再运用通分和完全平方公式变形得到=，然后利用整体代入的方法计算．考点：根与系数的关系．【题文】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．【答案】【解析】试题分析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE 是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(2)、正方形的性质．【题文】在比例尺为1：5 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离约为25厘米，则甲、乙两地的实际距离约为千米．【答案】1250【解析】试题分析：根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式直接求解即可．设甲、乙两地的实际距离是x厘米，则： 1：5 000 000=25：x，∴x=125 000 000，∵125 000 000厘米=1250千米，∴两地的实际距离是1250千米．考点：比例线段．【题文】现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得．【答案】x2﹣70x+825=0【解析】试题分析：本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．试题解析：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500整理得：x2﹣70x+825=0考点：由实际问题抽象出一元二次方程．【题文】如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【答案】【解析】试题分析：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．延长AB至M，使BM=AE，连接FM，∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°∴AB=AD，∠A=60°，∵BM=AE，∴AD=ME，∵△DEF为等边三角形，∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，∴∠MEF=∠ADE，∴△DAE≌EMF（SAS），∴AE=MF，∠M=∠A=60°，又∵BM=AE，∴△BMF是等边三角形，∴BF=AE，∵AE=t，CF=2t，∴BC=CF+BF=2t+t=3t，∵BC=4，∴3t=4，∴t=考点：(1)、菱形的性质；(2)、全等三角形的判定与性质；(3)、等边三角形的性质．【题文】解下列方程（1）25x2+10x+1=0（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．【答案】(1)x1=x2=﹣； (2)y=﹣或y=．【解析】试题分析：(1)因式分解法求解可得；(2)直接开平方法求解可得．试题解析：(1)∵（5x+1）2=0，∴5x+1=0，解得：x1=x2=﹣；(2)∵y+2=±（3y﹣1），即y+2=3y﹣1或y+2=﹣3y+1，解得：y=﹣或y=．考点：解一元二次方程-因式分解法．【题文】已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．【答案】(1)证明过程见解析；(2)；(3)5.【解析】试题分析：(1)利用根的判别式求出△的符号进而得出答案；(2)利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案；(3)将AB=2代入方程解得m=，进而得出x的值．试题解析：(1)∵关于x的方程x2﹣mx+﹣=0，△=m2﹣2m+1=（m﹣1）2∵无论m取何值（m﹣1）2≥0∴无论m取何值方程总有两个实数根；(2)∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC即（m﹣1）2=0，∴m=1代入方程得：∴∴x1=x2=，即菱形的边长为；(3)将AB=2代入方程x2﹣mx+﹣=0，解得：m=，将代入方程，x2﹣mx+﹣=0，解得：x1=2，x2=，即BC=，故平行四边形ABCD的周长为5．考点：(1)、平行四边形的性质；(2)、根的判别式；(3)、菱形的判定．【题文】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．【答案】△ABC是直角三角形．【解析】试题分析：令=k．根据a+b+c=12，得到关于k的方程，求得k值，再进一步求得a，b，c的值，从而判定三角形的形状．试题解析：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．考点：勾股定理的逆定理．【题文】小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？为什么？若不公平，请设计一种公平的游戏规则．【答案】(1)、答案见解析；(2)、不公平，理由见解析.【解析】试题分析：(1)、用列表法列举出所以出现的情况，再用概率公式求出概率即可．(2)、游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．试题解析：(1)、467811+4=51+6=71+7=81+8=922+4=62+6=82+7=92+8=1033+4=73+6=93+7=103+8=1155=4=95+6=115+7=125+8=13由上表可知，两张牌数字相加和的所有可能出现的结果共有16种．(2)、不公平．因为上述16种结果出现的可能性相同，而和为偶数的结果有6种，和为奇数的结果有10种，即小莉去的概率为： =，哥哥去的概率为： =，∵＜，∴小莉去的概率低于哥哥去的概率．可把小莉的数字5的牌与哥哥数字4的牌对调，使两人去的概率相同，即游戏公平．考点：(1)、游戏公平性；(2)、列表法与树状图法．【题文】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC ，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】(1)证明过程见解析；(2)菱形；理由见解析；(3)∠A=45°，理由见解析【解析】试题分析：(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；(2)求出四边形BECD 是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；(3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．试题解析：(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD ；(2)四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB 中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；(3)当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．考点：(1)正方形的判定；(2)平行四边形的判定与性质；(3)菱形的判定．【题文】西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？【答案】0.3元【解析】试题分析：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元l考点：一元二次方程的应用．【题文】如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明过程见解析；(2)PG=OG+BP；理由见解析；(3)y=x﹣3；(4)（0，﹣3）或（2，3）．【解析】试题分析：(1)由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出△AOG≌△ADG即可．(2)首先根据三角形全等的判定方法，判断出△ADP≌△ABP，再结合△AOG≌△ADG，可得∠DAP=∠BAP，∠1=∠DAG；然后根据∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，求出∠PAG的度数；最后判断出线段OG、PG 、BP之间的数量关系即可．(3)首先根据△AOG≌△ADG，判断出∠AGO=∠AGD；然后根据∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，判断出当∠1=∠2时，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，求出∠1=∠2=30°；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式．(4)根据题意，分两种情况：①当点M在x轴的负半轴上时；②当点M在EP的延长线上时；根据以M、A、G 为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可．试题解析：(1)在Rt△AOG和Rt△ADG中，（HL）∴△AOG≌△ADG．(2)在Rt△ADP和Rt△ABP中，∴△ADP≌△ABP，则∠DAP=∠BAP ；∵△AOG≌△ADG，∴∠1=∠DAG；又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，∴2∠DAG+2∠DAP=90°，∴∠DAG+∠DAP=45°，∵∠PAG=∠DAG+∠DAP，∴∠PAG=45°；∵△AOG≌△ADG，∴DG=OG，∵△ADP≌△ABP，∴DP=BP，∴PG=DG+DP=OG+BP．(3)解：∵△AOG≌△ADG，∴∠AGO=∠AGD，又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，∴∠AGO=∠PGC，又∵∠AGO=∠AGD，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°，∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°；在Rt△AOG中，∵AO=3，∴OG=AOtan30°=3×=，∴G点坐标为（，0），CG=3﹣，在Rt△PCG中，PC===3（﹣1），∴P点坐标为：（3，3﹣3 ），设直线PE的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴直线PE的解析式为y=x﹣3．(4)①如图1，当点M在x轴的负半轴上时，，∵AG=MG，点A坐标为（0，3），∴点M坐标为（0，﹣3）．②如图2，当点M在EP的延长线上时，，由（3），可得∠AGO=∠PGC=60°，∴EP与AB的交点M，满足AG=MG，∵A点的横坐标是0，G点横坐标为，∴M的横坐标是2，纵坐标是3，∴点M坐标为（2，3）．综上，可得点M坐标为（0，﹣3）或（2，3）．考点：几何变换综合题．。
2021-2022学年江西省南昌市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.方程(x+1)(x−2)=0的两根分别为()A. x1=1，x2=2B. x1=−1，x2=−2C. x1=1，x2=−2D. x1=−1，x2=22.方程x2+2x−1=0的两根分别为x1，x2，则下列结论正确的是()A. x1+x2=2，x1⋅x2=1B. x1+x2=2，x1⋅x2=−1C. x1+x2=−2，x1⋅x2=−1D. x1+x2=−2，x1⋅x2=−13.二次函数y=3x2+2x+1与y轴的交点坐标是()A. (0,1)B. (0,2)C. (0,3)D. (0,−1)4.二次函数y=3(x−2)2−1的图象顶点坐标是()A. (−2,1)B. (−2,−1)C. (2,1)D. (2,−1)5.在《今日头条》的每一篇文章最后都有如图标：其中属于中心对称图形的是()A. B.C. D.6.点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°后得到的点P坐标是()A. (−2,−3)B. (3,−2)C. (−3,−2)D. (2、−3)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.若x2−2x−3=(x−1)2+n，则n=______．8.《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索(绳索头与地面接触)退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，则绳索长是______．9.将抛物线y=2x2向右平移1个单位，所得抛物线的解析式为______．10.表格中是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的一些对应值，则抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线______．x…0123…y…5212…=ax2+bx+c11.如图，直线MN过▱ABCD的中心点O，交AD于点M，交BC于点N，已知S▱ABCD=4，则S阴影=______．12.如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α(0°<α<180°)得到线段AD′，连接BD′、CD′.若△D′BC是等腰三角形，则α=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）13.(1)解一元二次方程：x2+20x−21=0；(2)已知抛物线y=(x−1)(x−3)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．求△ABC的面积．四、解答题（本大题共8小题，共58.0分）14.如图，已知：A(c,d)，B(e,f)，连接AB，将线段AB绕原点旋转180°得到线段AB′．(1)已知经过A、B两点的直线是y=kx+m，则经过A′、B两点的直线是y=______(用含k、m式子表示)；(2)已知经过O、A、B三点的抛物线是y=ax2+bx，则经过O、A′、B′三点的抛物线是y=______(用含a、b式子表示)．15.请仅用无刻度直尺按下列要求分别作图(保留作图痕迹，不要求与作法)．(1)如图1，线段AB绕点O旋转180°得到线段A′B′，作出旋转中心点O；(2)如图2，正方形ABCD绕点O旋转180°得到正方形A′B′C′D′、作出旋转中心点O并补全正方形A′B′C′D′．16.如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y=2x2上，点C，点D在x轴上．(1)求点A的坐标；(2)连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．17.已知二次函数y=x2−4x+c．(1)写出它的开口方向，对称轴；(2)若它与坐标轴有且只有两个交点，求c的值．18.如图，点O为矩形ABCD内部一点，过点O作EF//AD交AB于点E，交CD于点F，过点O作GH//AB交AD于点G，交BC于点H，设CH=x，BH=8−2x，CF=x+2，DF=3x−3．(1)矩形BCFE的周长等于______；(2)x的取值范围是：______<x<______，若矩形ABCD的面积为42，求x的值；(3)求矩形OFCH的面积S的取值范围．19.已知：二次函数y=a(x−1)(x−2)+x．(1)该二次函数一定经过的两个点的坐标为A(______，______)，B(______，______)；(2)若不同于A、B的点P(m,n)也在该二次函数图象上，则以下判断正确的是______；①m≠n；②m≠1：③m≠2(只要填写序号即可)，并就其中一正确的判断说明理由；(3)当△PAB是等腰直角三角形时，求a的值．20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)如图3，在(2)的条件下，连结DE，写出DE、CE和BC之间的等量关系．21.【课本再现】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．(1)①共有______场比赛；②设比赛组织者应邀请x个队参赛，每个队要与其他______个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛______场，列方程：______．【小试牛刀】(2)参加一次聚会的每两人都要握手一次，所有人共握手了10次，有多少人参加聚会？【综合运用】(3)将A1，A2，A3，…A n，共n个点每两个点连一条线段共得到y1条线段，将B1，B2，B3，…，B2n共2n个点每两个点连一条线段共得到y2条线段，问y2 y1能否为整数？写出你的结论，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：x+1=0或x−2=0，所以x1=−1，x2=2．故选：D．利用因式分解法把方程化为x+1=0或x−2=0，然后解两个一次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．2.【答案】C【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2=−2，x1x2=−1．故选：C．直接利用根与系数的关系进行判断．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca．3.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=3x2+2x+1，∴当x=0时，y=1，即抛物线y=3x2+2x+1与y轴的交点坐标是(0,1)，故选：A．令x=0，求出相应的y的值，即可得到抛物线y=3x2+2x+1与y轴的交点坐标．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与y轴交点，就是求出当x=0时y的值．4.【答案】D【解析】解：∵二次函数y=3(x−2)2−1，∴该函数图象的顶点坐标为(2,−1)，故选：D．根据题目中函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5.【答案】D【解析】解：选项A、B、C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：D．根据中心对称图形的概念判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6.【答案】B【解析】解：如图，点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°后得到的点P′的坐标为(3,−2)，故选：B．利用旋转变换的性质作出图形，可得结论．本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是学会利用图象法解决问题．7.【答案】−4【解析】解：∵x2−2x−3=(x−1)2+n，x2−2x−3=x2−2x+1−4=(x−1)2−4，∴(x−1)2+n=(x−1)2−4，则n=−4．故答案为：−4．已知等式左边配方后确定出n的值即可．此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8.【答案】736【解析】解：设绳索长为x尺，根据题意得：x2−(x−3)2=82，，解得：x=736答：绳索长为73尺，6．故答案为：736设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.【答案】y=2(x−1)2【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=2x2右平移1个单位，所得函数解析式为：y=2(x−1)2．故答案为：y=2(x−1)2．直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．10.【答案】x=2【解析】解：根据表格信息，对称轴为直线x=1+32=2；故答案为：x=2．观察表格中的数据，得到x=1和x=3时，y值相等都为2，即可得到对称轴为直线x=2．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．11.【答案】1【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM//CN，OA=OC，∴∠MAO=∠NCO，∵∠AOM=∠CON，∴△AOM≌△CON(ASA)，∴S△AOM=S△CON，∴S阴=S△AOM+S△BON=S△BOC=14S平行四边形ABCD=1，故答案为：1．证明△AOM≌△CON(ASA)，推出S△AOM=S△CON，推出S阴=S△AOM+S△BON=S△BOC=1 4S平行四边形ABCD=1，本题考查中心对称，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．12.【答案】30°或60°或150°【解析】解：如图，当D′B=BC时，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD，由旋转的性质得AD′=AD=AB=BC=DB′，∠DAB=90°，∴△ABD′是等边三角形，∴∠BAD′=60°，∴∠DAD′=150°，即a=150°；如图，当D′B=BC时，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=AD，由旋转的性质得AD′=AD=AB=BC=DB′，∠DAB=90°，∴△ABD′是等边三角形，∴∠BAD′=60°，∴∠DAD′=30°，即a=30°；如图，当D′B=D′C时，连接DD′，∴D′在线段BC的垂直平分线上，∴D′D=AD′，由旋转的性质得AD′=AD=DD′，∴△ADD′是等边三角形，∴∠DAD′=60°，即a=60°，当CD′=BC=AD时，此种情况不存在，综上所述，a的值为：30°或60°或150°，故答案为：30°或60°或150°．分D′B=BC或D′B=BC或D′B=D′C，三种情形，分别画出图形，利用正方形和等腰三角形的性质即可得出答案．本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．13.【答案】解：(1)x2+20x−21=0，(x+21)(x−1)=0，x1=−21，x2=1；(2)∵y=(x−1)(x−3)与x轴交于A、B两点，∴令y=0，(x−1)(x−3)=0，解得x1=1，x2=3，∴A(1,0)，B(3,0)，AB=2，令x=0，y=3，∴C(0,3)，∴OC=3，∴S△ABC=1⋅AB⋅OC=3．2【解析】(1)用因式分解法解一元二次方程；(2)令y=0，求出A、B两点的坐标，求出AB长，x=0，求出C点的坐标，表示OC的长，根据三角形面积公式求出△ABC的面积．本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握这四个知识点的综合应用，其中一元二次方程解法的选择及点A、B、C坐标的确定是解题关键．14.【答案】kx−m−ax2+bx【解析】解：(1)∵经过A、B两点的直线是y=kx+m，将线段AB绕原点旋转180°得到线段AB′．∴经过A′、B两点的直线是−y=k⋅(−x)+m，即y=kx−m，故答案为：kx−m；(2)∵抛物线y=ax2+bx关于原点对称的抛物线x、y均互为相反数，得−y=a(−x)2+ b(−x)=ax2−bx，即y=−ax2+bx，故答案为：−ax2+bx．(1)根据关于原点对称的点的坐标特征即可求得；(2)根据关于原点对称的点的坐标特征即可求得．本题考查了二次函数图象与几何变换．需要掌握点与函数的关系，还有点的对称性问题．15.【答案】解：(1)如图1中，点O即为所求；(2)如图2中，点O和正方形A′B′C′D′即为所求．【解析】(1)连接AA′，BB′交于点O，点O即为所求；(2)连接AA′，BB′交于点O，点O即为所求，再作出C，D关于点O的对应点C′，D′，连接A′D，C′D′，B′C′即可．本题考查作图−旋转变换，平移变换，勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．16.【答案】解：(1)由题意可设A(a,2a)，则B(−a,2a)，∵点A 在抛物线y =2x 2上， ∴2a =2a 2，∴a =1或a =0(舍去)， ∴A(1,2)；(2)设直线BD 的解析式y =kx +b ， ∵B(−1,2)，D(1,0)， ∴{−k +b =2k +b =0，解得{k =−1b =1，∴直线BD 为y =−x +1，由{y =−x +1y =2x 2解得{x =−1y =2或{x =12y =12， ∴P 点的坐标为(12,12).【解析】(1)根据题意设A(a,2a)，则B(−a,2a)，代入抛物线的解析式即可求得a =1，得到A(1,2)；(2)根据待定系数法求得直线BD 的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可求得P 点的坐标．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵y =x 2−4x +c =(x −2)2+c −4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x =2． (2)∵抛物线顶点坐标为(2,c −4)且开口向上， ∴c −4=0时图象与x 轴有1个交点，与y 轴有1个交点． ∴c =4．当抛物线经过原点时，c =0， 抛物线与坐标轴有2个交点， 综上所述，c =4或0．【解析】(1)将二次函数解析式化为顶点式求解．(2)根据抛物线开口方向和顶点坐标求解．本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．18.【答案】2014【解析】解：(1)[(8−2x)+x+(x+2)]×2=10×2=20．故答案为：20．(2)∵{8−2x>03x−3>0，∴1<x<4．依题意得：[(8−2x)+x]⋅[(x+2)+(3x−3)]=42，整理得：4x2−33x+50=0，(不合题意，舍去)．解得：x1=2，x2=254答：x的值为2．故答案为：1；4．(3)依题意得：S=x(x+2)=x2+2x．∵1>0，且二次函数S=x2+2x的对称轴为直线x=−1，∴当1<x<4时，S随x的增大而增大．当x=1时，S=1+2×1=3；当x=4时，S=16+2×4=24．∴矩形OFCH的面积S的取值范围为3<S<24．(1)利用矩形的周长=(长+宽)×2，即可求出结论；(2)由BH及DF为正值，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，根据矩形ABCD的面积为42，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；(3)利用矩形的面积=长×宽，即可得出S关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可得出“当1<x<4时，S随x的增大而增大”，分别代入x=1及x=4求出S的值，进而可得出矩形OFCH的面积S的取值范围．本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用以及矩形的性质，解题的关键是：(1)利用矩形的周长计算公式，求出矩形的周长；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)利用二次函数的性质，找出S的取值范围．19.【答案】1122①②③【解析】解：(1)∵y=a(x−1)(x−2)+x，∴当x=1时，y=1；当x=2时，y=2，∴二次函数一定经过点(1,1)，(2,2)，故答案为：(1,1)，(2,2)；(2)当m=1时，n=1，则P(1,1)，此时P点与A点重合；当m=2时，n=2，则P(2,2)，此时P点与B点重合；当m=n时，n=a(m−1)(m−2)+m，∴a(m−1)(m−2)=0，∴m=1或m=2，∴P(1,1)或(2,2)；综上所述：m≠n，m≠1，m≠2，故答案为：①②③；(3)∵A(1,1)，B(2,2)，∴AB=√2，∴AB所在的直线解析式为y=x，如图1，当∠PAB=90°时，∵AP=AB，∴AP=√2，∵OA=√2，∴P(0,2)，∵P点在二次函数y=a(x−1)(x−2)+x上，∴a=1；如图2，当∠PBA=90°时，过点P作x轴的垂线PG交于点G，∵PB=AB=√2，OG=AG=1，∴PG=3，∴P(3,1)，∵P点在二次函数y=a(x−1)(x−2)+x上，∴a=−1；如图3，当∠APB=90°时，∵PA=PB，∴AP=1，∴P(1,2)或(2,1)，∵P点在二次函数y=a(x−1)(x−2)+x上，∴P(1,2)或(2,1)均不在抛物线上；综上所述：a=1或−1．(1)当x=1时，y=1；当x=2时，y=2，即可求点的坐标；(2)分别对m=1，m=2，m=n进行讨论即可求解；(3)分三种情况讨论：当∠PAB=90°时，P(0,2)，a=1；当∠PBA=90°时，过点P作x轴的垂线PG交于点G，P(3,1)，a=−1；当∠APB=90°时，P(1,2)或(2,1)，均不在抛物线上．本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用等腰直角三角形的性质，数形结合解题是关键．20.【答案】(1)解：∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=12(180°−∠A)=90°−12α，∵∠ABD=∠ABC−∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°−12α；(2)△ABE是等边三角形，证明：如图2，连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∴△BCD为等边三角形，∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°−∠DBE=∠EBC=30°−12α，在△ABD与△ACD中，{AB=AC AD=AD BD=CD，∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12α，∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°−(30°−12α)−150°=12α=∠BAD，在△ABD和△EBC中，{∠BEC=∠BAD ∠EBC=∠ABD BC=BD，∴△ABD≌△EBC(AAS)，∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；(3)∵△BCD为等边三角形，∴∠BCD=60°，BC=CD，∴∠DCE=90°，∴DE2=DC2+CE2=BC2+CE2．【解析】(1)求出∠ABC的度数，即可求解；(2)由旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°−12α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12α，求出∠BEC=12α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；(3)先求出∠DCE=90°，由勾股定理可求解．本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．21.【答案】28 (x −1)x(x−1)2x(x−1)2=28【解析】解：(1)①由题意可得， 7×4=28(场)， 即共有28场比赛， 故答案为：28；②设比赛组织者应邀请x 个队参赛，每个队要与其他(x −1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛x(x−1)2场，列方程：x(x−1)2=28，故答案为：(x −1)，x(x−1)2，x(x−1)2=28；(2)设有x 人参加聚会，x(x−1)2=10，解得x 1=5，x 2=−4(舍去)， 答：有5人参加聚会； (3)y2y 1能为整数，理由：由题意可得y 1=n(n−1)2，y 2=2n(2n−1)2=n(2n −1)，∴y 2y 1=n(2n−1)n(n−1)2=4n−2n−1=4(n−1)+2n−1=4+2n−1，∴n 为正整数，∴当n =2或3时，y 2y 1为整数，当n ≥4时，y 2y 1不能为整数．(1)①根据题目中的数据，可以计算出共有多少场比赛；②根据题意，可以用含x 的代数式表示出每个队要与其他队伍比赛的场数，全部比赛的场数，并列出相应的方程；(2)根据题意，可以写出相应的方程，然后求解即可；(3)根据题意，可以分别表示出y 1和y 2，然后即可得到使得y 2y 1为整数时n 的值．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的单循环问题．。
江西初三初中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x+a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．1或﹣1D ．﹣1或02.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．123.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c ＜0；④若，是抛物线上两点，则y 1＜y 2其中结论正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③④4.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．y=﹣2x 2B ．y=2x 2C ．y=﹣x 2D ．y=x 25.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，CD=6，AE=1，则⊙O 的直径为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题1.关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+5﹣a=ax+1的一次项系数为4，则常数项为：．2.已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= ．3.抛物线y=2x2+3x﹣1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是．4.如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为．5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是．三、解答题1.自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x2﹣5x＞0．解：设x2﹣5x=0，解得：x1=0，x2=5，则抛物线y=x2﹣5x与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x2﹣5x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣5x＞0，所以，一元二次不等式x2﹣5x＞0的解集为：x＜0或x＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式x2﹣5x＜0的解集为．（3）用类似的方法写出一元二次不等式的解集：x2﹣2x﹣3＞0．．2.解方程：（1）x2﹣2x﹣2=0；（2）（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0．3.先化简，再求值：，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．5.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．6.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）和点A 1．画出△ABC 关于点A 1的中心对称图形．7.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 12+x 22=6x 1x 2时，求m 的值．8.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y 与x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？9.如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于点A （﹣3，0）和点B ，交y 轴于点C （0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在抛物线上，且S △AOP =4S BOC ，求点P 的坐标；（3）如图b ，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DQ 长度的最大值．10.把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当△CBD 是等边三角形时，旋转角a 的度数是 （a 为锐角时）；（3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG=CG 时，求点G 的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．11.（1）如图①，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数．（2）如图②，在Rt △ABD 中，∠BAD=90°，AB=AD ，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．12.如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．13.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC与EF的交点，连接PQ、PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．14.如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求AD的长；（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D 时，点M也停止运动．是否存在t，使得？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．江西初三初中数学期中考试答案及解析一、选择题1.关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x+a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．1或﹣1D ．﹣1或0【答案】A【解析】将x=0代入关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x+a 2﹣1=0即可求得a=±1．注意，二次项系数a ﹣1≠0．解得a=﹣1.故选A ．【考点】一元二次方程的解2.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．12【答案】B【解析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是4和2，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是4，底是2，然后可以求出三角形的周长是：4+4+2=10．故选：B ．【考点】1、解一元二次方程-因式分解法；2、三角形三边关系；3、等腰三角形的性质3.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c ＜0；④若，是抛物线上两点，则y 1＜y 2其中结论正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③④【答案】C【解析】由抛物线开口方向得到a ＜0，有对称轴方程得到b=﹣2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则abc ＜0，所以①错误；由b=﹣2a 可得2a+b=0，所以②正确；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=2时，y ＞0，于是4a+2b+c ＞0，所以③错误；通过比较点（﹣）与点（）到对称轴的距离，可得y 1＜y 2，所以④正确． 故选C ．【考点】二次函数图象与系数的关系4.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．y=﹣2x 2B ．y=2x 2C ．y=﹣x 2D ．y=x 2【答案】C【解析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a，解得a=-，那么y=﹣x2．故选：C．【考点】根据实际问题列二次函数关系式5.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误；C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误；D、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；故选：A．【考点】1、中心对称图形；2、轴对称图形6.已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】连接OC，根据题意OE=OC﹣1，CE=3，结合勾股定理，可求出OC=5，即可求出直径的长度AB=10．故选C．【考点】1、垂径定理；2、勾股定理二、填空题1.关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+5﹣a=ax+1的一次项系数为4，则常数项为：．【答案】﹣1【解析】移项得，x2+（2a﹣1）x+5﹣a﹣ax﹣1=0，x2+（a﹣1）x+4﹣a=0，∵一次项系数为4，∴a﹣1=4，解得a=5，所以，常数项为4﹣a=4﹣5=﹣1．【考点】一元二次方程的一般形式2.已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= ．【答案】6【解析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m=3，所以可得2m2﹣4m=6．【考点】一元二次方程的解3.抛物线y=2x2+3x﹣1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是．【答案】y=2（x﹣）2+【解析】根据配方法可得y=2x2+3x﹣1=2（x+）2﹣，其顶点坐标为（﹣，﹣）．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后的顶点坐标为（，），得到的抛物线的解析式是y=2（x ﹣）2+．【考点】二次函数图象与几何变换4.如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为．【答案】（4，4）【解析】由勾股定理求出AB的长=，由圆周角定理得出AB为直径，求出半径和圆心C的坐标（，5），过点C作CF∥OA，过点P作ME⊥OA于E交CF于F，作CN⊥OE于N，设ME=x，得出OE=x，在△CMF中，根据勾股定理得出方程，得：（ x﹣）2+（5﹣x）2=（2）2，解得：x=4或x=0（舍去），解得OE=x=4，答案为：（4，4）．【考点】1、三角形的外接圆与外心；2、坐标与图形性质5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是．【答案】2+2【解析】首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=60°，故△ACE是等边三角形，设BE与AC相交于点F，如下图所示，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE=45°，∠AEB=30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后在△ABF中，∠BFA=180°﹣45°﹣45°=90°可得∠AFB=∠AFE=90°在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=AF==2，又在Rt△AFE中，∠AEF=30，°∠AFE=90°，FE=AF=2，BE=BF+FE=2+2.【考点】旋转的性质三、解答题1.自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x 2﹣5x ＞0．解：设x 2﹣5x=0，解得：x 1=0，x 2=5，则抛物线y=x 2﹣5x 与x 轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x 2﹣5x 的大致图象（如图所示），由图象可知：当x ＜0，或x ＞5时函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即x 2﹣5x ＞0，所以，一元二次不等式x 2﹣5x ＞0的解集为：x ＜0或x ＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号） ①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想（2）一元二次不等式x 2﹣5x ＜0的解集为 ．（3）用类似的方法写出一元二次不等式的解集：x 2﹣2x ﹣3＞0． ．【答案】（1）①，③（2）0＜x ＜5（3）x ＜﹣1或x ＞3【解析】（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的①和③；故答案为：①，③；（2）由图象可知：当0＜x ＜5时函数图象位于x 轴下方，此时y ＜0，即x 2﹣5x ＜0，∴一元二次不等式x 2﹣5x ＜0的解集为：0＜x ＜5；故答案为：0＜x ＜5．（3）设x 2﹣2x ﹣3=0，解得：x 1=3，x 2=﹣1，∴抛物线y=x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）．画出二次函数y=x 2﹣2x ﹣3的大致图象（如图所示），由图象可知：当x ＜﹣1，或x ＞3时函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即x 2﹣2x ﹣3＞0，∴一元二次不等式x 2﹣2x ﹣3＞0的解集为：x ＜﹣1或x ＞3．故答案为x ＜﹣1或x ＞3【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x 轴的交点2.解方程：（1）x 2﹣2x ﹣2=0；（2）（x ﹣2）2﹣3（x ﹣2）=0．【答案】（1）x 1=1+，x 2=1-（2）x 1=2，x 2=5【解析】（1）用配方法解方程，首先移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方式，右边是常数，即可求解；（2）用提公因式法解方程，方程左边可以提取公因式x ﹣2，即可分解，转化为两个式子的积是0的形式，从而转化为两个一元一次方程求解．试题解析：（1）x 2﹣2x+1=3（x ﹣1）2=3x ﹣1=±∴x 1=1+，x 2=1﹣．（2）（x ﹣2）（x ﹣2﹣3）=0x ﹣2=0或x ﹣5=0∴x 1=2，x 2=5．【考点】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-因式分解法3.先化简，再求值：，其中，a是方程x2+3x+1=0的根．【答案】，【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a代入方程求出a2+3a的值，代入计算即可求出值．试题解析：====，∵a是方程x2+3x+1=0的根，∴a2+3a=﹣1，则原式=﹣．【考点】1、分式的化简求值；2、一元二次方程的解4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．【答案】（1）20（2）30°【解析】（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；试题解析：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．【考点】1、垂径定理；2、勾股定理；3、圆周角定理5.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．试题解析：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；方程为x 2+x ﹣=0，即2x 2+x ﹣3=0，设另一根为x 1，则1•x 1=﹣，x 1=﹣． （2）∵△=a 2﹣4（a ﹣2）=a 2﹣4a+8=a 2﹣4a+4+4=（a ﹣2）2+4＞0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系6.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线的交点）和点A 1．画出△ABC 关于点A 1的中心对称图形．【答案】作图见解析【解析】延长AA 1到A′，使A1A′=AA 1，则点A′为A 的对应点，同样方法作出B 、C 的对应点B′、C′，从而得到△A′B′C′．试题解析：如图，△A′B′C′为所作．【考点】作图-旋转变换7.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 12+x 22=6x 1x 2时，求m 的值．【答案】（1）m≤2；（2）【解析】（1）根据一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系求出x 1+x 2，x 1•x 2的值，代入x 12+x 22=6x 1x 2求解即可．试题解析：（1）∵原方程有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（m ﹣1）≥0，整理得：4﹣4m+4≥0，解得：m≤2；（2）∵x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ﹣1，x 12+x 22=6x 1x 2，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=6x 1•x 2，即4=8（m ﹣1），解得：m=． ∵m=＜2，∴符合条件的m 的值为． 【考点】1、根与系数的关系；2、根的判别式8.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．（1）请直接写出y 与x 的函数关系式；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣2x+80（2）25（3）28,192【解析】（1）设y=kx+b ，根据题意，利用待定系数法确定出y 与x 的函数关系式即可；（2）根据题意结合销量×每本的利润=150，进而求出答案；（3）根据题意结合销量×每本的利润=w ，进而利用二次函数增减性求出答案．试题解析：（1）设y=kx+b ，把（22，36）与（24，32）代入得：，解得：， 则y=﹣2x+80；（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x 元，根据题意得：（x ﹣20）y=150，则（x ﹣20）（﹣2x+80）=150，整理得：x 2﹣60x+875=0，（x ﹣25）（x ﹣35）=0，解得：x 1=25，x 2=35（不合题意舍去），答：每本纪念册的销售单价是25元；（3）由题意可得：w=（x ﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x 2+120x ﹣1600=﹣2（x ﹣30）2+200，此时当x=30时，w 最大，又∵售价不低于20元且不高于28元，∴x ＜30时，y 随x 的增大而增大，即当x=28时，w 最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．【考点】1、二次函数的应用，2、一元二次方程的应用，3、待定系数法求一次函数解析式9.如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于点A （﹣3，0）和点B ，交y 轴于点C （0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在抛物线上，且S △AOP =4S BOC ，求点P 的坐标；（3）如图b ，设点Q 是线段AC 上的一动点，作DQ ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DQ 长度的最大值．【答案】（1）y=﹣x 2﹣2x+3（2）（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）（3）【解析】（1）把点A 、C 的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设P 点坐标为（x ，﹣x 2﹣2x+3），根据S △AOP =4S △BOC 列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而得到点P 的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线AC 的解析式为y=x+3，再设Q 点坐标为（x ，x+3），则D 点坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），然后用含x 的代数式表示QD ，根据二次函数的性质即可求出线段QD 长度的最大值．试题解析：（1）把A （﹣3，0），C （0，3）代入y=﹣x 2+bx+c ，得，解得．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．∵S△AOP =4S△BOC，∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1±2．则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得．即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．【考点】1、待定系数法求二次函，2、一次函数的解析式，3、二次函数的性质，4、三角形面积，5、线段长度问题10.把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．【答案】（1）E（4，2）（2）60°（3）（4）点H不在此抛物线上【解析】（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E．（2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°．（3）设CG=x，则EG=x，FG=6﹣x，根据勾股定理求出CG的值．（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2，把点A的坐标代入求出a值．当x=7时代入函数解析式可得解．试题解析：（1）E（4，2）（2）60°（3）设CG=x，则EG=x，FG=6﹣x，在Rt△FGC中，∵CF2+FG2=CG2，∴42+（6﹣x）2=x2解得，即∴（4）设以C 为顶点的抛物线的解析式为y=a （x ﹣4）2，把A （0，6）代入，得6=a （0﹣4）2．解得a=．∴抛物线的解析式为y=（x ﹣4）2∵矩形EDCF 的对称中心H 即为对角线FD 、CE 的交点， ∴H （7，2）．当x=7时，∴点H 不在此抛物线上．【考点】二次函数综合题11.（1）如图①，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数．（2）如图②，在Rt △ABD 中，∠BAD=90°，AB=AD ，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°至△ADH 位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG ，MN 的长．【答案】（1）45°（2）MN 2=ND 2+DH 2（3）【解析】（1）根据高AG 与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．试题解析：（1）在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，AB=AG ，AE=AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AGE （HL ）． ∴∠BAE=∠GAE ．同理，∠GAF=∠DAF ．∴．（2）MN 2=ND 2+DH 2．∵∠BAM=∠DAH ，∠BAM+∠DAN=45°， ∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°． ∴∠HAN=∠MAN ．又∵AM=AH ，AN=AN ，∴△AMN ≌△AHN ． ∴MN=HN ． ∵∠BAD=90°，AB=AD ， ∴∠ABD=∠ADB=45°． ∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．∴NH 2=ND 2+DH 2．∴MN 2=ND 2+DH 2．（3）由（1）知，BE=EG ，DF=FG ．设AG=x ，则CE=x ﹣4，CF=x ﹣6．在Rt △CEF 中，∵CE 2+CF 2=EF 2，∴（x ﹣4）2+（x ﹣6）2=102．解这个方程，得x 1=12，x 2=﹣2（舍去负根）．即AG=12．在Rt △ABD 中，∴．在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，∴MN2=ND2+BM2．设MN=a，则．即a 2=（9﹣a）2+（3）2，∴．即MN=5．【考点】1、正方形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、勾股定理12.如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．（1）求b、c的值；（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR①求证：PG=RQ；②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．【答案】（1）b=﹣2，c=3（2）（﹣，）（3）①证明见解析②（﹣，）【解析】（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题．（2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M．（3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM=求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题．试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，∴解得，∴b=﹣2，c=3．（2），对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，∴点C坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D坐标（﹣1，0），∵BE=2ED，∴点E坐标（﹣，1），设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到解得，∴直线CE为y=﹣x+，由解得，∴点M坐标（﹣，）．（3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形，∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP，在△QAR和△GAP中，，∴△QAR≌△GAP，∴QR=PG．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q坐标（﹣6，3），在RT△QCN中，QN=3，CN=7，∠QNC=90°，∴QC=，∵sin∠ACM=，∴AM=，∵△APR是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=，∴AP=，PM=RM=∴MC==，∴PC=CM﹣PM=，∵，∴CK=，PK=，∴OK=CK﹣CO=，∴点P坐标（﹣，）．∴PA+PC+PG的最小值为2，此时点P的坐标（﹣，）．【考点】1、二次函数综合题，2、等边三角形的性质,3、全等三角形的判定和性质,4、勾股定理13.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE=DF，点P是AF的中点，点Q是直线AC 与EF的交点，连接PQ、PD．（1）求证：AC垂直平分EF；（2）试判断△PDQ的形状，并加以证明；（3）如图2，若将△CEF绕着点C旋转180°，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）△PDQ是等腰直角三角形（3）成立【解析】（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，由BE=DF，得出CE=CF，△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90°，即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD=AF，PQ=AF，得出PD=PQ，再证明点A、F、Q、P四点共圆，由圆周角定理得出∠DPQ=2∠DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠DCA=45°，∵BE=DF，∴CE=CF，∴AC垂直平分EF；（2）解：△PDQ是等腰直角三角形；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∴∠DAP=∠ADP，∵AC垂直平分EF，∴∠AQF=90°，∴PQ=AF=PA，∴∠PAQ=∠AQP，PD=PQ，∵∠DPF=∠PAD+∠ADP，∠QPF=∠PAQ+∠AQP，∴∠DPQ=2∠PAD+∠PAQ=2（∠PAD+∠PAQ）=2×45°=90°，∴△PDQ是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点P是AF的中点，∠ADF=90°，∴PD=AF=PA，∵BE=DF ，BC=CD ，∠FCQ=∠ACD=45°，∠ECQ=∠ACB=45°， ∴CE=CF ，∠FCQ=∠ECQ ， ∴CQ ⊥EF ，∠AQF=90°，∴PQ=AF=AP=PF ，∴PD=PQ=AP=PF ， ∴点A 、F 、Q 、P 四点共圆， ∴∠DPQ=2∠DAQ=90°， ∴△PDQ 是等腰直角三角形．【考点】1、正方形的性质，2、等腰直角三角形的判定与性质，3、直角三角形斜边上的中线的性质,4、四点共圆，5、圆周角定理14.如图，在△ABC 中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD ⊥BC 于点D ，动点P 从点A 出发以每秒1厘米的速度在线段AD 上向终点D 运动．设动点运动时间为t 秒．（1）求AD 的长；（2）当△PDC 的面积为15平方厘米时，求t 的值；（3）动点M 从点C 出发以每秒2厘米的速度在射线CB 上运动．点M 与点P 同时出发，且当点P 运动到终点D 时，点M 也停止运动．是否存在t ，使得？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12（2）详见解析（3）详见解析【解析】①根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；②根据直角三角形面积求出PD×DC×=15即可求出t ；③根据题意列出PD 、MD 的表达式解方程组，由于M 在D 点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．试题解析：（1）∵AB=AC=13，AD ⊥BC ，∴BD=CD=5cm ，且∠ADB=90°，∴AD 2=AC 2﹣CD 2∴AD=12cm ．（2）AP=t ，PD=12﹣t ，又∵由△PDM 面积为PD×DC=15， 解得PD=6，∴t=6．（3）假设存在t ，使得S △PMD =S △ABC ． ①若点M 在线段CD 上，即时，PD=12﹣t ，DM=5﹣2t ， 由S △PMD =S △ABC ， 即，2t 2﹣29t+50=0解得t 1=12.5（舍去），t 2=2．（2分）②若点M 在射线DB 上，即．由S △PMD =S △ABC 得， 2t 2﹣29t+70=0解得，．（2分）综上，存在t 的值为2或或，使得S △PMD =S △ABC ．【考点】1、勾股定理；2、三角形的面积。
2021-2022学年江西省赣州市章贡区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是()A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，将抛物线y=2(x−1)2+3先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为()A. y=2(x+1)2+2B. y=2(x−3)2+2C. y=2(x+1)2+4D. y=2(x−3)2+43.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A1B1C，连接AA1，若∠AA1B1=15°，则∠B的度数是()A. 75°B. 60°C. 50°D. 45°4.若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2−9x+20=0的根，则△ABC的周长是()A. 9B. 10C. 9或10D. 7或105.若关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x−1=0有实数根，则m的取值范围是()A. m>−2B. m≥−2C. m>−2且m≠−1D. m≥−2且m≠−16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对称轴为直线x=2，系列结论：(1)4a+b=0；(2)4a+c>2b；(3)5a+3c>0；(4)方程a(x−1)2+b(x−1)+c=0的两根是x1=0，x2=6.其中正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.点(4,−1)关于原点对称的点的坐标是______．8.已知m是方程x2−2x−1=0的一个根，则代数式2m2−4m+2020的值为______．9.若点A(−2,y1)、B(1,y2)和C(4,y3)是二次函数y=x2−4x−3图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为______．10.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)(x−4)2+3，由此可知铅球推出的距离是______m.之间的关系为y=−11211.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点B恰好落在AB边上D处，则∠1=______°.12.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.当α为______度时，△AOD是等腰三角形？三、解答题（本大题共12小题，共92.0分）13.解方程：(x−5)2=2x−10．14.如图，P是正方形ABCD内一点，△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置．(1)旋转的角度是多少度？(2)若BP=3cm，求线段PE的长．15.已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+m=0(m为常数)．(1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数m的值．16.如图，已知在△ABC中，∠A=60°，∠C=90°，将△ABC绕点B顺时针旋转150°，得到△DBE.请仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，在图中标出字母，并在图下方表示出所画图形)．(1)在图①中，画一个等边三角形；(2)在图②中，画一个等腰直角三角形．17.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．(1)求口罩日产量的月平均增长率；(2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？18.如图，已知一次函数y1=−x+m与二次函数y2=ax2+bx−3的图象交于A(−1,0)、B(2,−3)两点．(1)求m的值和二次函数的表达式．(2)当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围．19.如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE=CE，连接DE．(1)求证：△BDE≌△BCE；(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由．20.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2−2bx+(a−c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．(1)如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．21.在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A(2,−4)，B(4,−2).C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．(1)填空：C点的坐标是______，△ABC的面积是______；(2)将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？______．(3)请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.某矩形工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．(1)若丝绸花边的面积为768cm2，求丝绸花边的宽度．(2)已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，根据销售经验，销售单价每降低2元，每天可多售出40件，设销售单价降低x元/件(x为偶数)，每天的销售量为y件．①直接写出y与x的函数关系式．②设每天的销售利润为W元，为了让利于顾客，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？23.如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．24.如图，直线y=x−3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=−x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．(1)求3m+n的值；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y=x+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A【解析】解：∵抛物线y=2(x−1)2+3的顶点坐标为(1,3)，∴平移后抛物线的顶点坐标为(−1,2)，∴平移后抛物线的解析式为y=2(x+1)2+2．故选：A．找出抛物线的顶点坐标，将其按要求平移后可得出新抛物线的顶点坐标，进而即可得出抛物线的解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换，通过平移顶点找出平移后抛物线的解析式是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A1B1C，∴AC=A1C，∴△ACA1是等腰直角三角形，∴∠CAA1=15°，∴∠A1B1C=∠1+∠CAA1=15°+45°=60°，由旋转的性质得∠B=∠A1B1C=60°，故选：B．根据旋转的性质可得AC=A1C，然后判断出△ACA1是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA1=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A1B1C，然后根据旋转的性质可得∠B=∠A1B1C.本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：x2−9x+20=0，则(x−4)(x−5)=0，∴x−4=0或x−5=0，则x1=4，x2=5，∵2+3=5，∴第三边的长为4，∴△ABC的周长=2+3+4=9，故选：A．利用因式分解法解出方程，根据三角形的三边关系确定第三边的长，根据三角形的周长公式计算，得到答案．本题考查的是一元二次方程的解法、三角形的三边关系，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：根据题意得m+1≠0且△=(−2)2−4(m+1)×(−1)≥0，解得m≥−2且m≠−1．故选：D．利用二元一次方程的定义和判别式的意义得到m+1≠0且△=(−2)2−4(m+1)×(−1)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．6.【答案】C=2，即b=−4a，【解析】解：由对称轴为直线x=2，得到−b2a∴4a+b=0，故(1)正确；当x=−2时，y=4a−2b+c<0，即4a+c<2b，故(2)错误；当x=−1时，y=a−b+c=0，∴b=a+c，∴−4a=a+c，∴c=−5a，∴5a+3c=5a−15a=−10a，∵抛物线的开口向下∴a<0，∴−10a>0，∴5a+3c>0；故(3)正确；∵方程ax2+bx+c(a≠0)=0的两根为x1=−1，x2=5，∴方程a(x−1)2+b(x−1)+c=0的两根是x1=0，x2=6，故(4)正确．故选：C．根据对称轴可判断(1)；根据当x=−2时y<0可判断(2)；由图象过点(−1,0)知a−b+c=0，即c=−a+b=−a−4a=−5a，从而得5a+3c=5a−15a=−10a，再结合开口方向可判断(3)；方程ax2+bx+c(a≠0)=0的两根为x1=−1，x2=5，可判断(4)．本题主要考查二次函数图象与系数的关系，掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，③常数项c决定抛物线与y轴交点，④抛物线与x轴交点个数是解题的关键．7.【答案】(−4,1)【解析】解：点(4,−1)关于原点对称的点的坐标为：(−4,1)．故答案是：(−4,1)．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P′(−x,−y)，进而得出答案．此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．8.【答案】2022【解析】解：∵m是方程x2−2x−1=0的一个根，∴m2−2m−1=0，∴m2−2m=1，∴2m2−4m+2020=2(m2−2m)+2020=2+2020=2022．故答案为：2022．根据一元二次方程的解的定义得到m2−2m=1，再把2m2−4m表示为2(m2−2m)，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．9.【答案】y1>y3>y2【解析】解：∵二次函数y=x2−4x−3=(x−2)2−7，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=2．∵点A(−2,y1)、B(1,y2)和C(4,y3)是二次函数y=x2−4x−3图象上的三点，而三点横坐标离对称轴x=2的距离按由远到近为：A、C、B，∴y1>y3>y2．故答案为：y1>y3>y2．二次函数抛物线向上，且对称轴为x=2.根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴．10.【答案】10(x−4)2+3中，y=0，【解析】解：令函数式y=−112(x−4)2+3，0=−112解得x1=10，x2=−2(舍去)，即铅球推出的距离是10m．故答案为：10．根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．11.【答案】100【解析】解：∵AB=AC，∠B=70°，∴∠ACB=∠B=70°，∴∠A=180°−70°−70°=140°，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，∴∠CDE=∠B=70°，BC=CD，∴∠B=∠BDC=70°，∴∠ADE=180°−70°−70°=40°，∴∠1=180°−40°−40°=100°，故答案为：100．根据等腰三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．12.【答案】110、125、140【解析】解：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD=60°，OC=CD，∠ADC=α，∴△COD是等边三角形OCD，∴∠COD=60°，∠CDO=60°，∠ADO=∠ADC−∠CDO=α−60°，∵∠AOD=360°−110°−60°−α=190°−α，∴∠OAD=180°−(∠AOD+∠ADO)=180°−(190°−α+α−60°)=50°；∵△AOD为等腰三角形，当AO=OD时，∠AOD+2∠ODA=180°，即190°−α+2×(α−60°)=180°，解得α=110°，当AO=AD时，∠AOD=∠ODA，即190°−α=α−60°，解得α=125°，当OD=AD时，2×(190°−α)+α−60°=180°，解得α=140°所以当α为110°、125°、140°时，△AOD是等腰三角形；故答案为：110、125、140．根据旋转前后图形不发生变化，得出三角形COD是等边△OCD，从而表示出∠AOD与∠ADO，进而求出∠OAD，再根据等腰三角形的性质，分别假设AO=AD，OA=OD，OD=AD，从而求出α．此题主要考查了等边三角形的性质，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．13.【答案】解：移项得：(x−5)2−2(x−5)=0，分解得：(x−5)(x−5−2)=0，所以x−5=0或x−7=0，解得：x1=5，x2=7．【解析】方程移项后分解因式，根据ab=0，得到a=0或b=0，求出解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．14.【答案】解：(1)∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，∴∠ABC为旋转角，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，即旋转的角度是90度；(2)∵△ABP绕着点B旋转后能到达△CBE的位置，∴BP=BE=3cm，∠PBE=∠ABC=90°，∴PE=√BP2+BE2=√32+32=3√2cm．故答案为：(1)90°，(2)3√2cm．【解析】(1)找出对应边AB、BC的夹角的度数就是旋转角的度数；(2)根据旋转变换的性质可知BP=BE，∠PBE=∠ABC，再根据勾股定理列式求解即可得到PE的长度．本题主要考查了旋转变换的性质，根据对应边的夹角的度数就等于旋转角的度数求解是解题的关键．15.【答案】解(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，∵无论m为何值时m2≥0，∴m2+4≥4>0，即Δ>0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)∵关于x的方程x2−(m+2)x+m=0有两个实数根x1，x2∴x1+x2=m+2，x1x2=m．∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=16+x1x2，∴(m+2)2−2m=16+m，即m2+m−12=0，解得：m=−4或m=3∴实数m的值为−4或3．【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=(m+1)，x1⋅x2=m，结合x12+x22=16+ x1x2可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合(1)的结论即可确定m 的值．本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有实数根”；(2)根据根与系数的关系结合x12+x22=16+x1x2，找出关于m的一元二次方程．16.【答案】解：(1)如图①中，延长EB交AC的延长线于F.△ABF即为所求．(2)如图②中，延长AB交ED的延长线于H，连接FH，△EFH即为所求．【解析】(1)如图①中，延长EB交AC的延长线于F.△ABF即为所求．(2)如图②中，延长AB交ED的延长线于H，连接FH，△EFH即为所求．本题考查作图−旋转变换，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，依题意得：30000(1+x)2=36300，解得：x1=−2.1(不合题意，舍去)，x2=0.1=10%．答：口罩日产量的月平均增长率为10%．(2)36300×(1+10%)=39930(个)．答：预计4月份平均日产量为39930个．【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．(1)设口罩日产量的月平均增长率为x，利用3月份的平均日产量=1月份的平均日产量×(1+月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出口罩日产量的月平均增长率为10%；(2)利用4月份平均日产量=3月份的平均日产量×(1+月平均增长率)，即可预计出4月份平均日产量．18.【答案】解：(1)将点A(−1,0)代入y1=−x+m，则m=−1，∴y1=−x−1，将点A(−1,0)、B(2,−3)代入y2=ax2+bx−3，∴a=1，b=−2，∴y2=x2−2x−3；(2)由图象可得，y1>y2时，−1<x<2．【解析】(1)将点A(−1,0)、B(2,−3)代入y2=ax2+bx−3，将点A(−1,0)代入y1=−x+ m分别求解即可；(2)由图象可得，y1>y2时，−1<x<2．本题考查二次函数和一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．19.【答案】(1)证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠DBE=∠CBE=30°，在△BDE和△BCE中，∵{DB=CB∠DBE=∠CBE BE=BE，∴△BDE≌△BCE(SAS)；(2)四边形ABED为菱形；由(1)得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA=BE，AD=EC=ED，又∵BE=CE，∴四边形ABED为菱形．【解析】(1)根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；(2)根据(1)以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形．本题考查了旋转的性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，涉及知识点较多，难度较大．20.【答案】解：(1)把x=1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以△ABC为等腰三角形；(2)根据题意得△=(−2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；(3)∵△ABC为等边三角形，∴a=b=c，∴方程化为x2−x=0，解得x1=0，x2=1．【解析】(1)把x=1代入方程得a+c−2b+a−c=0，整理得a=b，从而可判断三角形的形状；(2)根据判别式的意义得△=(−2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；(3)利用等边三角形的性质得a=b=c，方程化为x2−x=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．21.【答案】(1,−1)4矩形【解析】解：(1)根据题意点C坐标为(1,−1)，如图1．S△ABC=3×3−12×3×1−12×3×1−12×2×2=4．故答案为：(1,−1)，4(2)如图2，∵将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，∴A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C=AC，B1C=BC，∴四边形AB1A1B是平行四边形，∵AC=BC，∴A1A=B1B，∴平行四边形AB1A1B是矩形，故答案为：矩形；(3)存在．由(1)知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8.同(1)中的方法得S△ABO=16−4−4−2=6；当P在x轴负半轴时，S△APO=2，高为4，那么底边长为1，所以P(−1,0)；当P在y轴负半轴时，S△APO=2，高为2，所以底边长为2，此时P(0,−2)；而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；故点P的坐标为(−1,0)，(0,−2)．(1)根据题意点C在线段AB的垂直平分线上，且腰长为无理数，所以C(1,−1)，利用分割法求出△ABC的面积即可；(2)如图2，根据旋转的性质得到A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C=AC，B1C=BC，推出四边形AB1A1B是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；(3)由(1)知S△ABC=4，则S四边形ABOP=8.同(1)中的方法得S△ABO=16−4−4−2=6；当P在x轴负半轴时，当P在y轴负半轴时，而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；于是得到结论．本题考查了中心对称，三角形的面积的计算，矩形的判定，正确的画出图形是解题的关键．22.【答案】解：(1)设丝绸花边的宽度为x cm，由题意得：(60−2x)(40−x)=40×60−768，即x2−70x+384=0，解得x=6或x=64(舍去)，答：丝绸花边的宽度为6cm；(2)①根据题意得，y=200+20x；②依题意得每天的销售利润为W=(200+20x)(100−40−x)=−20(x−25)2+ 24500，故当x=25时，最大销售利润为W=24500，∵x为偶数，∴当x=24或x=26时，有最大利润，为了让利于顾客，∴x=26，符合题意，此时w=24480，故销售单价定为100−26=74，答：每件商品的销售单价定为74元时，每天获得的利润最大，最大利润是24480元．【解析】(1)设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；(2)根据题意即可得到结论；②依题意得每天的销售利润，根据二次函数的性质即可得到结论．此题考查了二次函数的应用，以及一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．23.【答案】解：(1)PM=PN；PM⊥PN (2)△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同(1)的方法得，PM//CE，∴∠DPM=∠DCE，同(1)的方法得，PN//BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；(3)方法1：如图2，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE//BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2√2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5√2，∴MN最大=2√2+5√2=7√2，∴S△PMN最大=12PM2=12×12MN2=14×(7√2)2=492．方法2：由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=12PM2=12×72=492．【解析】【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解(1)的关键是判断出PM=12CE，PN=12BD，解(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE，解(3)的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．(1)利用三角形的中位线得出PM=12CE，PN=12BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同(1)的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM=PN，同(1)的方法即可得出结论；(3)方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN 最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，△PMN 的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出结论．【解答】解：(1)∵点P ，N 是BC ，CD 的中点，∴PN//BD ，PN =12BD ，∵点P ，M 是CD ，DE 的中点，∴PM//CE ，PM =12CE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴BD =CE ，∴PM =PN ，∵PN//BD ，∴∠DPN =∠ADC ，∵PM//CE ，∴∠DPM =∠DCA ，∵∠BAC =90°，∴∠ADC +∠ACD =90°，∴∠MPN =∠DPM +∠DPN =∠DCA +∠ADC =90°，∴PM ⊥PN ，故答案为：PM =PN ，PM ⊥PN ；(2)(3)见答案 24.【答案】解：(1)直线y =x −3，令y =0，则x =3，令x =0，则y =−3， 故点B 、C 的坐标分别为(3,0)、(0,−3)，将点B 、C 的坐标分别代入抛物线表达式得：{n =−30=−9+3m −n ，解得：{m =4n =−3， 则抛物线的表达式为：y =−x 2+4x −3，则点A 坐标为(1,0)，顶点P 的坐标为(2,1)， 3m +n =12−3=9；(2)①当CP =CQ 时，C 点纵坐标为PQ 中点的纵坐标相同为−3，故此时Q 点坐标为(2,−7)；②当CP =PQ 时，同理可得：点Q 的坐标为(2,1−2√5)或(2,1+2√5)；同理可得：过该中点与CP 垂直的直线方程为：y =−12x −12，当x =2时，y =−32，即点Q 的坐标为(2,−32)；③当CQ=PQ时，)，同理可得：点Q的坐标为(2,−32)或(2,−7)；故：点Q的坐标为(2,1−2√5)或(2,1+2√5)或(2,−32(3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2,−1)，①在如图所示的位置时，直线y=x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时C、P′、B三点共线，b=−3；②当直线y=x+b与翻折后的图象只有一个交点时，此时，直线y=x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；即：x2−4x+3=x+b，△=52−4(3−b)=0，解得：b=−13．4．即：b=−3或−134【解析】(1)求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；(2)分CP=PQ、CP=CQ、CQ=PQ，分别求解即可；(3)分两种情况，分别求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，难点在于(3)，关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度不大．。
九年级上学期数学期中试卷一、单项选择题1.以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔〕A. B. C. D.2. ，是方程的两个实数根，那么的值是( )A. 2023B. 2021C. 2021D. 20213.在平面直角坐标系中，点G的坐标是，连接，将线段绕原点O旋转，得到对应线段，那么点的坐标为〔〕A. B. C. D.4.如图，将绕点逆时针旋转70°到的位置，假设，那么〔〕A. 45°B. 40°C. 35°D. 30°5.将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为〔〕.A. ；B. ；C. ；D. .6.二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a〔a≠0〕，关于此函数的图象及性质，以下结论中不一定成立的是〔〕A. 该图象的顶点坐标为〔1，﹣4a〕B. 该图象在x轴上截得的线段的长为4C. 假设该图象经过点〔﹣2，5〕，那么一定经过点〔4，5〕D. 当x＞1时，y随x的增大而增大二、填空题7.解方程：x〔x﹣2〕＝x﹣2 ．8.抛物线的对称轴为直线：．9.中国古代数学家杨辉的?田亩比数乘除减法?中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，那么依题意列方程为________．10.抛物线y=ax2+bx+c的局部图象如下列图，那么当y＞0时，x的取值范围是________11.如图，将的斜边AB绕点A顺时针旋转得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转得到AF，连结EF.假设，，且，那么________.12.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上，边BC在第一象限，且点A〔0，3〕、B 〔5，3〕，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转α〔0°＜α＜180°〕，假设点B的对应点B′恰好落在坐标轴上，那么点C的对应点C′的坐标为．三、解答题13.〔1〕解方程：2x2+1＝3x；〔2〕将二次函数配方成y＝a〔x﹣h〕2+k的形式．14.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三点，求这个二次函数的解析式．15.定义运算：m*n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4*2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．试判断方程1*x＝0的根的情况，并说明理由．16.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量到达24200个．〔1〕求口罩日产量的月平均增长率；〔2〕按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？17.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC, 将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△DEF，点A,B,C的对应点分别是点D,E,F.请仅用无刻度直尺分别在下面图中按要求画出相应的点〔保存画图痕迹〕．〔1〕如图1，当点O为AC的中点时，画出BC的中点N；〔2〕如图2，旋转后点E恰好落在点C,点F落在AC上,点N是BC的中点,画出旋转中心O.18.关于x的方程有实数根．〔1〕求的取值范围；〔2〕假设该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值．19.如图，在正方形ABCD内部有一点P，假设∠APD＝135°，探究图中线段PA，PB，PD之间的数量关系．解法探究：小慧同学通过思考，得到如下解题思路：将△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP'，连接PP'．先证明△APP'是等腰直角三角形，再证明△PP'B是直角三角形，从而可得结论．请先写出小慧同学得出的结论，并在小慧的解题思路的提示下，写出所得结论的理由．20.抛物线与轴有两个不同的交点.〔1〕求的取值范围；〔2〕假设抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由. 21.物价问题涉及民生，关系全局，为保证市场秩序稳定，某超市积极配合市场运作，诚信经营．据了解，该超市每天调运一批本钱价为8元/千克的大蒜，以不超过12元/千克的单价销售，且每天销售大蒜的数量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕之间的关系如下列图．〔1〕求出每天销售大蒜的数量y〔千克〕与销售单价x〔元/千克〕之间的关系式；〔2〕该超市将大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润可到达318元；〔3〕求该超市大蒜销售单价定为多少元时，每天销售大蒜的利润最大，并求出最大利润．22.如图①，正方形ABCD的边长为4，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转α〔0°＜α≤90°〕得到正方形AEFG，连接BE并延长交CF于点O，连接AC，AF．〔1〕旋转角α与∠OBC的数量关系是________，∠OBC与∠OEF的数量关系是________；〔2〕猜想：在旋转过程中，OC与OF的数量关系是什么？请证明你的结论；〔3〕如图②，当α＝45°时，求△BCH的面积．23.抛物线C1：y1＝x2﹣1﹣2t〔x﹣1〕〔t≠1〕与x轴交于A，B两点〔点A在点B的左侧〕．〔1〕①填空：当t＝﹣2时，点A的坐标为________，点B的坐标为________；当t＝0时，点A的坐标为________ ，点B的坐标为________；②随t值的变化，抛物线C1是否会经过某一个定点，假设会，请求出该定点的坐标；假设不会，请说明理由________；〔2〕假设将抛物线C1经过适当平移后，得到抛物线C2：y2＝〔x﹣t〕2+t﹣1，A，B的对应点分别为D〔m，n〕，E〔m+2，n〕，求抛物线C2的解析式；〔3〕设抛物线C1的顶点为P，当t＞0，△APB为直角三角形时，求方程x2﹣1﹣2t〔x﹣1〕＝0〔t≠1〕的根________．答案解析局部一、单项选择题1.【答案】 C【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故答案为：C．【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的局部能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。
墨香阁绝密★启用前2016-2017学年度学九年级上学期数学期中考试卷考试范围：与期中考试相同；考试时间：100分钟；命题人：刘小明题号一二三四五总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或02．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8=0的根，则该三角形的周长为（）A．8 B．10 C．8或10 D．123．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．①③④4．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x25．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．6．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6 B．8 C．10 D．12第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）7．关于x的一元二次方程2(21)51x a x a ax+-+-=+的一次项系数为4，则常数项为：.8．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=______．9．抛物线y=2x2+3x﹣1向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是．10．如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，10），M是△AOB外接圆⊙C上的一点，且∠AOM=30°，则点M的坐标为______．11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是．12．自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：25x x-＞0．解：设25x x-=0，解得：1x=0，2x=5，则抛物线y=25x x-与x轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=25x x-的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0，或x＞5时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即25x x-＞0，所以，一元二次不等式25x x-＞0的解集为：x＜0或x＞5．通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和．（只填序号）①转化思想②分类讨论思想③数形结合思想（2）一元二次不等式25x x-＜0的解集为．（3）用类似的方法写出一元二次不等式的解集：223x x--＞0．__________。
2022届九年级上册期中考试数学考试完整版（江西省赣州市宁都县）选择题下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可.A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C.是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C选择题如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（）.A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°【答案】C【解析】试题分析：先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA=÷2=25°．故选：C．选择题抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【答案】B【解析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：∵y＝x2，∴平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位。
故选B。
选择题已知关于x 的一元二次方程x2﹣3x+c=0 中c＜0，该方程的根的情况是（）A. 方程没有实数根B. 总有两个不相等的实数根C. 有两相等实数根D. 方程的根的情况与c 有关【答案】B【解析】由c0，根据根与判别式的关系即可得出答案.x2﹣3x+c=0，△=（﹣3）2﹣4×1×c=9﹣4c，∵c＜0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．选择题在直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横、纵坐标间的对应值如表：则下列结论正确的是（）A. 抛物线的开口向下B. 抛物线的顶点坐标为（2.5，﹣8.75）C. 当x＞4 时，y 随x 的增大而减小D. 抛物线必经过定点（0，﹣5）【答案】D【解析】根据二次函数的对称性可知对称轴为x=2，可知顶点坐标，根据二次函数的增减性可判断开口方向及x>4时函数的增减性，根据图像经过（4，-5）及对称轴是x=2可判断抛物线必经过定点（0，﹣5）.由表中信息可知：当x＜2 时y 随x 的增大而减小，当x＞2 时，y 随x 的增大而减小，∴抛物线的开口向上，故①错误；由x=1 时y=﹣8，x=3 时y=﹣8 知抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，n），故②错误；∵x＞2 时，y 随x 的增大而增大，∴当x＞4 时，y 随x 的增大而增大，故③错误；∵抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线过点（4，﹣5），∴抛物线必经过定点（0，﹣5），故④正确；故选：D．选择题在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距 6 个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+m，则m 的值是（）A. 1 或7B. ﹣1 或7C. 1 或﹣7D. ﹣1 或-7【答案】D【解析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得．∵一条抛物线的函数表达式为y=-x2+4x+m，∴这条抛物线的顶点为（2，m+4），∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，-m-4），∵它们的顶点相距6个单位长度．∴|m+4-（-m-4）|=6，∴2m+8=±6，当2m+8=6时，m=-1，当2m+8=-6时，m=-7，∴m的值是-1或-7．故选D．填空题方程（x﹣5）（x+6）=x+6 的根是_____．【答案】x1=﹣6，x2=6【解析】先移项，再提取公因式（x+6），让两个因式分别为0即可得答案.（x﹣5）（x+6）=x+6，（x﹣5）（x+6）﹣（x+6）=0，（x+6）（x﹣5﹣1）=0，x+6=0，x﹣5﹣1=0，x1=﹣6，x2=6，故答案为：x1=﹣6，x2=6．填空题如图，四边形ABCD 内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC=_____°．【答案】80【解析】根据圆的内接四边形的性质可求出∠ABC的度数，在根据圆周角定理求出∠AOC的度数即可.∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC=140°，∴∠B=40°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=80°，故答案为：80填空题将抛物线，绕着点旋转后，所得到的新抛物线的解析式是________．【答案】y＝(x－3)2－1【解析】∵y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，∴抛物线C1的顶点坐标为（﹣1，1），∵点（﹣1，1）关于M（1，0）中心对称的点的坐标为（3，﹣1），∴抛物线C1绕着点M（1，0）旋转180°后，所得到的新抛物线C2的解析式为y=（x﹣3）2﹣1．故答案为：y=（x﹣3）2﹣1．解答题已知实数x、y满足x2+2x+y﹣1=0，则x+y的最大值为_____．【答案】【解析】先把x2+2x+y﹣1=0变形, 再代入x+y, 利用二次函数的性质求值.解:由x2+2x+y﹣1=0可得:,代入x+y得,令z=,可得：当x=-1时，y有最大值为，故答案为: .填空题如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于_________．【答案】【解析】分析：根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x．在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x，即可得到结论．详解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°．又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC．在△AEF与△CDF中，∵，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4．∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x．在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得：x=，则FD=6﹣x=．故答案为：．填空题已知⊙O 的直径为4，AB 是⊙O 的弦，∠AOB=120°，点P 在⊙O 上，若点P到直线AB 的距离为1，则∠PAB 的度数为_____．【答案】15°或30°或105°【解析】作OP1⊥AB 交⊙O 于P1 交AB 于H，过点O 作直线P2P3∥AB 交⊙O 于P2，P3．由垂径定理可得∠AOH=60°，进而可得∠OAH=30°，即可求出OH=1，进而可知P1，P2，P3 是满足条件的点，根据圆周角定理求出∠P1AB、∠P3AB、∠P2AB的度数即可.如图作OP1⊥AB 交⊙O 于P1 交AB 于H，过点O 作直线P2P3∥AB 交⊙O 于P2，P3．∵∠AOB=120°，OA=OB，OH⊥AB，∴∠AOH=∠AOB=60°，∠AHO=90°，∴∠OAH=30°，∵⊙O 的直径为4，∴OH=OA= 1，∴HP1=1，∴直线AB 与直线P2P3 之间的结论距离为1，∴P1，P2，P3 是满足条件的点，∴∠P1AB=∠BOP1=30°，∠P3AB=∠BOP3=15°，∵P2P3是⊙O的直径，∴∠P2AP3=90°，∴∠P2AB=∠P2AP3+∠P3AB=90°+15°=105°，故答案为：15°或30°或105°．解答题用适当的方法解下列方程：(1)3x²+x=3x+1；(2)(2y﹣5)²=(3y+1)²【答案】(1) x1=﹣，x2=1；(2) y1= ，y2=﹣6．【解析】（1）左边提取公因式x，再移项提取公因式（3x+1），让两个因式分别为0，即可得方程的解；（2）移项，利用平方差公式进行因式分解，让两个因式分别为0，即可得答案.（1）3x2+x=3x+1（3x+1）x=3x+1，则（3x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣，x2=1；（2）（2y﹣5）2=（3y+1）2（2y﹣5+3y+1）（2y﹣5﹣3y﹣1）=0，则（5y﹣4）（﹣y﹣6）=0，解得：y1= ，y2=﹣6．解答题已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）请求出抛物线的解析式；（2）当0＜x＜4时，请直接写出y的取值范围．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）y 的取值范围为﹣4≤y＜5．【解析】（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；（2）根据抛物线的解析式可求出对称轴及顶点坐标，根据函数的增减性即可确定0＜x ＜4 时y的取值范围.（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=x²+bx+c得：，解得：∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）y=（x﹣1）2﹣4，抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4），∴0【答案】2 米【解析】设人行通道的宽度为x 米，根据题意列方程求出x的值即可.设人行通道的宽度为x 米，则两块绿地可合成长为（21﹣3x）米、宽为（8﹣2x）米的矩形，根据题意得：（21﹣3x）（8﹣2x）=60，整理得：x2﹣11x+18=0，解得：x1=2，x2=9．∵当x=9 时，21﹣3x=﹣6，8﹣2x=﹣10，不合题意，舍去，∴x=2．答：人行通道的宽度为2 米．解答题若一次函数y＝（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y＝ax2﹣ax有最大值还是最小值，并求出其最值．【答案】二次函数有最大值，最大值为﹣a．【解析】由一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限可得-1＜a ＜0，可知二次函数有最大值，把y=ax²﹣ax变形为顶点式即可得二次函数的最大值.∵一次函数y=（a+1）x+a 的图象过第一、三、四象限，∴a+1＞0 且a＜0，∴﹣1＜a＜0，∵y=ax2﹣ax=a（x2﹣x）=a（x2﹣x+﹣）=a（x﹣）2﹣a，∵a＜0，∴二次函数有最大值，最大值为a．解答题如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，且已知∠ADC=120°；请仅用无刻度直尺作出一个30°的圆周角．要求：(1)保留作图痕迹，写出作法，写明答案；(2)证明你的作法的正确性．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】（1）作直线OA 交⊙O 于E，连接AC，EC，∠EAC 即为所求；（2）根据圆内接四边形的性质可求出∠AEC=60°，根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠EAC=30°.（1）作直线OA 交⊙O 于E，连接AC，EC，∠EAC 即为所求；（2）∵AE 是直径，∴∠ACE=90°，∵四边形AECD内接于圆，∴∠ADC+∠AEC=180°，∵∠ADC=120°，∴∠AEC=60°，∴∠EAC=90°﹣60°=30°．解答题（本小题满分8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为()，正六边形的边长为()cm（其中)，求这两段铁丝的总长【答案】解：由已知得．正五边形周长为，正六边形周长为．因为正五边形和正六边形的周长相等．所以整理得，，配方得．解得，（舍去）故正五边形的周长为又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.答：这两段铁丝的总长为420cm．【解析】试题根据正五边形和正六边形的周长相等，列一元二次方程求x 的值，得出正六边形的边长，再根据所求边长即可求两段铁丝的总长．试题解析：由已知得，正五边形周长为5（x2+17）cm，正六边形周长为6（x2+2x）cm，∵正五边形和正六边形的周长相等，∴5（x2+17）=6（x2+2x），整理得x2+12x-85=0，配方得（x+6）2=121，解得x1=5，x2=-17（舍去），故正五边形的周长为(cm).又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.答：这两段铁丝的总长为420cm.考点: 一元二次方程的应用.填空题如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则CD的长为__．【答案】2【解析】根据圆周角定理得到∠BOC的值，再根据三角函数求出CE的长，最后由垂径定理得到CD＝2CE,求得CD的长.根据圆周角定理，∵∠A=15°，∴∠BOC＝30°，∴CE＝OC sin ∠BOC＝2×＝1，∵⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∴CD＝2CE ＝2.解答题已知关于的一元二次方程求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（1）；方程的另一个根为；【解析】（1）先把方程（x-3）（x-2）=m2，变形为x2-5x+6-m2=0，得出△=25-4（6-m2）=1+4m2>0，即可得出答案；（2）把1代入原方程，得出m，再把原方程变形为x2-6x+4=0，设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系求出方程的另一个根即可．∵关于的一元二次方程，∴，∴，∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；若方程的一个根是，则，，，原方程变形为，设方程的另一个根为，则，，则方程的另一个根为．解答题如图1，已知抛物线L1：y=﹣x2+2x+3 与x 轴交于A，B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C，在L1 上任取一点P，过点P 作直线l⊥x 轴，垂足为D，将L1 沿直线l 翻折得到抛物线L2，交x 轴于点M，N（点M 在点N 的左侧）．(1)当L1 与L2 重合时，求点P 的坐标；(2)当点P 与点B 重合时，求此时L2 的解析式；并直接写出L1 与L2 中，y 均随x 的增大而减小时的x 的取值范围；(3)连接PM，PB，设点P（m，n），当n=m 时，求△PMB 的面积．【答案】(1) P（1，4）;(2) y=﹣x2+10x﹣21；x≥5 ;(3) 或3.【解析】（1）当点P 为抛物线L1 的顶点时，抛物线L1 与L2 重合，把y=﹣x2+2x+3变形为顶点式即可得P点坐标；（2）令y=0，可求出P点坐标，可知L1 与L2的对称轴，进而可得L2的顶点坐标，即可求出L2的解析式；根据图像可得L1 与L2 中，y 均随x 的增大而减小时的x 的取值范围；（3）把P（m，）代入L1解析式可求出m的值，根据三角形面积公式求出S△PNB的值即可.（1）由抛物线对称性，当点P 为抛物线L1 的顶点时，抛物线L1 与L2 重合∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4∴点P（1，4）；（2）在抛物线L1 中，令y=0，即﹣x2+2x+3=0解得x1=﹣1，x2=3当点P 与点B 重合时，此时P（3，0）∴抛物线L2 与抛物线L1 关于直线x=3 对称∴抛物线L2 的顶点为（5，4）∵由抛物线对称性可知，抛物线L1 和L2 开口方向和大小相同．∴抛物线L2 和的解析式为y=﹣（x﹣5）2+4=﹣x2+10x﹣21∴结合图象可知，当x≥5 时，抛物线L1 与抛物线L2 中，y 均随x 的增大而减小（3）当n=时，﹣m2+2m+3=，解得m1=﹣，m2=2，∴点P 坐标为（﹣，﹣）或（2，3）①如图1，当点P 坐标为（﹣，﹣）时，点 D 的坐标为坐标为（﹣，0）∴DB=3﹣（﹣）=∴MB=2BD=2×=9∴S△PMB==②如图2，当点P 坐标为（2，3）时，点D 的坐标为坐标为（2，0）∴DB=3﹣2=1∴MB=2BD=2∴S△PMB==3综上所述：当点P（m，n），n=时，△PMB 的面积为或3.解答题（8分）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．【答案】（1）见解析；（2）48°；（3）∠A=90°﹣．【解析】试题（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，即2∠A+α+β=180°，再解方程即可．试题解析：解：（1）∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC；（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°；（3）连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣．解答题如图1，在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点D、E 分别在边AB、AC 上，AD=AE，连接DC，点M、P、N 分别为DE、DC、BC 的中点,(1)观察猜想：如图1 中，△PMN 是三角形；(2)探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2 的位置，连接MN，BD，CE．判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请求△PMN 面积的取值范围．【答案】(1)等腰直角三角形；(2)见解析；(3)≤S△PMN≤.【解析】（1）由AB=AC，AD=AE可得BD=CE，由点M、P、N 分别为DE、DC、BC的中点可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45°，进而可求出∠MPN=90°，即可证明△PMN是等腰直角三角形；（2）根据SAS可证明△ABD≌△ACE即可证明BD=CE，∠ABD=∠ACE，由点M、P、N 分别为DE、DC、BC的中点可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，进而可证明∠PMN=90°，即可证明△PMN是等腰直角三角形；（3）由△PMN是等腰直角三角形可得S△PMN=BD2，根据三角形的三边关系即可得出△PMN 面积的取值范围．（1）∵AB=AC，AD=AE∴BD=CE∵点M、P、N 分别为DE、DC、BC 的中点∴MP=EC，NP=BD，MP∥AC，NP∥AB∴MP=NP∴△PMN 是等腰三角形∵∠A=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∵MP∥AC，NP∥AB∴∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45°∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=45°+∠ACB﹣∠ACB=90°﹣∠ACD∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+90°﹣∠ACD=90°∴△PMN 是等腰直角三角形（2）∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD=∠CAE∵AB=AC，AD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE，∠ABD=∠ACE∵点M、P、N 分别为DE、DC、BC 的中点∴MP=EC，NP=BD，MP∥EC，NP∥DB∴MP=NP∴△PMN 是等腰三角形∵∠A=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∵MP∥AC，NP∥AB∴∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACB﹣∠ACD=∠DBC+45°﹣∠ACD∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠DBC+45°﹣∠ACD+∠ACD+∠AC E=∠DBC+45°+∠ABD=∠ABC+45°=90°∴△PMN 是等腰直角三角形（3）∵△PMN 是等腰直角三角形∴S△PMN=PN2=×（BD）2=BD2．∵将△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，∴当点D 在AB 上时，BD 最短，此时BD=AB﹣AD=6当点D 在BA 的延长线上时，BD 最长，此时BD=AB+AD=14∴≤S△PMN≤.。
江西初三初中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.要使在实数范围内有意义，则x应满足（）A．x>3B．x<3C．x≠3D．x≥32.两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm,两圆的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．内含3.下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A．B．且C．D．且5.“每逢佳节倍思亲”，中秋节是中华民族的传统节日，小菊妈妈买了5个蛋黄饼、6个豆沙饼、3个果脯饼，饼除内部馅料不同外其它均相同．小菊任意吃一个，吃到豆沙饼的概率是（）A．B．C．D．二、填空题1.计算：= ．2.方程的根是．3.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D处，且∠BDE＝80°，则∠B ＝度．4.在一个不透明的口袋中，装有5个红球和n个黄球，它们除颜色外其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，则口袋中球的总数为个．5.已知是一元二次方程的一个解，则的值是．6.如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，转动带上的物体A平移的距离为 cm（物体A不打滑）．7.用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子_ 枚．（用含n的代数式表示）8.如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，以A为圆心画圆，且使D点不会在⊙A外，点B不会在⊙A内，则⊙A半径r的可能整数值为．三、计算题1.计算：2.实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．四、解答题1.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90后的△A′B′C；1（2）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留）．2.宜春八中初一年级开展了“读书月活动”文学知识的竟赛，其中有2名男生和2名女生获得了并列第一名的成绩．现要从这4名学生中随机抽取参加宜春市举办的文学知识竞赛，请你用列树状图（或表格）的方法，求下列事件的概率：（1）随机抽取一名，恰好抽到1名男生．（2）抽取2名，恰好是1名女生和1名男生．3.含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（0°∠α<90°，如图1），再沿∠A 的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E（如图2）．（1）求证：△ACM≌△A′CN；（2）当∠α=30°时，猜测线段ME与线段MB′的数量关系，并说明理由．4.汽车产业的发展有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2009年盈利1500万元，到2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增产率相同．（1）该公司2010年盈利多少万元？（2）若该公司的盈利年增产率继续保持不变,预计2012年盈利多少万元？5.如图,⊙A经过原点O，并与两坐标轴分别相交于B、C两点,已知∠ODC=45°，点B的坐标为（0，4）．（1）求点C的坐标；（2）求阴影部分的面积S．6.要在一块长16m，宽12m的矩形荒地上建一个花园，要求花地的面积占荒地面积的一半，图23-①、图23-②分别是小明和小红设计的两种不同方案图．小明：我设计方案如图23-①，花园四周小路宽相同；小红：我设计方案如图23-②，圆与半圆的半径相同．请你分别求出小明设计图中的道路宽及小红设计图中的半径长．（π取近似数3）7.如图①、②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为半径的圆与轴于O，B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是轴上的一动点，连结CP．（1）求的度数；（2）如图①，当与⊙A相切时，求的长；（3）如图②，当点在直径上时，的延长线与⊙A相交于点，问为何值时，是等腰三角形？江西初三初中数学期中考试答案及解析一、选择题1.要使在实数范围内有意义，则x应满足（）A．x>3B．x<3C．x≠3D．x≥3【答案】D．【解析】要使在实数范围内有意义，必须使x-3≥0，即x≥3，故答案选D．【考点】二次根式有意义的条件．2.两圆的半径分别为3cm和4cm，圆心距为2cm,两圆的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．内含【答案】C．【解析】圆心距为2cm,小于两圆的半径和7cm，大于两圆的半径差1cm，根据圆和圆的位置关系可得，两圆的位置关系是相交，故答案选C．【考点】圆和圆的位置关系．3.下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】选项A，根据二次根式的化简可得，该选项正确；选项B，根据平方根的定义可得，该选项错误；选项C，根据二次根式的性质可得，该选项错误；选项D，根据二次根式的化简可得，该选项错误,故答案选A．【考点】二次根式的化简；平方根的定义；二次根式的性质．4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A．B．且C．D．且【答案】B．【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必须满足△＞0，且k≠0，即4+4k ＞0，且k≠0，解得且，故答案选B．【考点】一元二次方程根的判别式．5.“每逢佳节倍思亲”，中秋节是中华民族的传统节日，小菊妈妈买了5个蛋黄饼、6个豆沙饼、3个果脯饼，饼除内部馅料不同外其它均相同．小菊任意吃一个，吃到豆沙饼的概率是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由题意可知，小菊任意吃一个饼的结果共有14种，吃到豆沙饼的结果有6种，所以吃到豆沙饼的概率是，故答案选A．【考点】概率公式．二、填空题1.计算：= ．【答案】．【解析】先化简后再进行二次根式的除法运算，即．【考点】二次根式的化简；二次根式的除法运算．2.方程的根是．【答案】【解析】移项后提公因式（x+2），再利用因式分解法解方程即可得【考点】一元二次方程的解法．3.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE处，使点B落在BC的延长线上的D处，且∠BDE＝80°，则∠B ＝度．【答案】40°．【解析】由旋转的性质可得AB=AD,∠ABC=∠ADE,再根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ADC,所以∠ADE=∠ADC又因∠ADE+∠ADC=∠BDE＝80°，所以∠ABC=∠ADE=∠ADC=40°．【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．4.在一个不透明的口袋中，装有5个红球和n个黄球，它们除颜色外其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为，则口袋中球的总数为个．【答案】20．【解析】根据概率公式可得，解得n=15，所以口袋中球的总数为5+15=20个．【考点】概率公式．5.已知是一元二次方程的一个解，则的值是．【答案】-3．【解析】把代入方程的得4+2m+2=0，解得m=-3．【考点】一元二次方程的解．6.如图，当半径为30cm的转动轮转过120°角时，转动带上的物体A平移的距离为 cm（物体A不打滑）．【答案】．【解析】传送带上的物体A平移的距离为半径为30cm的转动轮转过120°角的所得扇形的弧长，根据弧长公式可得．【考点】弧长公式．7.用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子_ 枚．（用含n的代数式表示）【答案】3n+1．【解析】观察图形可得，第一个图形需棋子3+1=4；第二个图形需棋子3×2+1=7；第三个图形需棋子3×3+1=10；…，依此类推可得第n个图形需棋子3n+1枚．【考点】图形变化规律题．8.如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，以A为圆心画圆，且使D点不会在⊙A外，点B不会在⊙A内，则⊙A半径r的可能整数值为．【答案】7．【解析】根据矩形的性质可得，AB=CD=8，AD=BC=6，又因点D在⊙A内，点B在⊙A外，所以6＜r＜8，即可得⊙A半径r的整数值为7．【考点】矩形的性质；点和圆的位置关系．三、计算题1.计算：【答案】2-．【解析】先进行二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的乘法运算，再根据运算顺序依次计算即可．试题解析：原式=-1+3--=2-．【考点】二次根式的化简；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘法运算．2.实践与操作：如图1是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图2是以图1为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．（1）请你仿照图1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图3中重新设计一个不同的轴对称图形．（2）以你在图3中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图4中拼成一个中心对称图形．【答案】答案不唯一，符合题意的图形即可．【解析】（1）只要符合轴对称的条件即可；（2）只要符合中心对称图形的条件即可．试题解析：答案不唯一，例如，【考点】轴对称图形；中心对称图形．四、解答题1.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90后的△A′B′C；1（2）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留）．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）根据旋转中心为点C、旋转方向是顺时针、旋转角度为90°可找到各点的对应点，顺次连接即可．（2）点A旋转到点A′所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径，圆心角为90的扇形的弧长，利用弧长公式求出即可．试题解析：解：（1）如图所示：（2）∵AC==∴AA′==【考点】旋转作图；弧长公式；格点三角形．2.宜春八中初一年级开展了“读书月活动”文学知识的竟赛，其中有2名男生和2名女生获得了并列第一名的成绩．现要从这4名学生中随机抽取参加宜春市举办的文学知识竞赛，请你用列树状图（或表格）的方法，求下列事件的概率：（1）随机抽取一名，恰好抽到1名男生．（2）抽取2名，恰好是1名女生和1名男生．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）随机抽取一名学生的结果有4种，恰好抽到1名男生的结果有2种，根据概率公式即可得随机抽取一名，恰好抽到1名男生的概率．（2）用列树状图（或表格）表示出抽取2名学生的所有结果，再找出两名学生恰好是1名女生和1名男生的结果，根据概率公式即可得结果．试题解析：解：（1）P（恰好抽到男生）==；（2）P（恰好抽到一男一女）==【考点】用列树状图（或表格）的方法求概率．3.含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕直角顶点C沿逆时针方向旋转角α（0°∠α<90°，如图1），再沿∠A 的对边翻折得到△A′B′C，AB与B′C交于点M，A′B′与BC交于点N，A′B′与AB相交于点E（如图2）．（1）求证：△ACM≌△A′CN；（2）当∠α=30°时，猜测线段ME 与线段MB′的数量关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）MB′=2ME,理由见解析．【解析】要证△ACM ≌△A'CN ，根据已知，只需证∠ACM=∠A′CN ．再加上∠A=∠A′，AC=A′C ，利用ASA 即可证三角形全等．（2）根据题意可知，∠MCN=∠α=30°，则∠ACM=60°，那么∠AMC=∠EMB′=60°．即可证得∠B′EM=90°，在Rt △B′EM 中即可得线段ME 与线段MB′的数量关系．试题解析：解（1）由依题意，得A′C="AC," ∠ACB=∠A′CB′=90°∴∠ACM=∠A′CN, ∵∠A=∠A′，AC=A′C ， ∴△ACM ≌△A′CN ．（2）MB′="2ME"证明： ∵∠α=30°,∴∠ACM=60° ∵∠A=60° ∠B′=∠B=30°, ∴∠AMC=∠B′ME=60°,∴∠B′EM=90°, ∴MB′=2ME ．【考点】旋转翻折变换；全等三角形的判定；直角三角形的性质．4.汽车产业的发展有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2009年盈利1500万元，到2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增产率相同．（1）该公司2010年盈利多少万元？（2）若该公司的盈利年增产率继续保持不变,预计2012年盈利多少万元？【答案】（1）1800；（2）2592．【解析】（1）设该公司每年盈利的年平均增长率是x ，根据题目中的等量关系等量关系“2009年盈利×（1+年增长率）2=2011年盈利”建立方程，求出方程的解,然后根据增长率公式计算出结论即可；（2）根据增长率公式计算出结论即可．试题解析：解（1）设每年盈利的年增长率为，1500（1+）2=2160，∴1=20%，2= -2．2（不合题意舍去），1500（1+20%）=1800（万元）．（2） 2160（1+20%）=2592（万元）．【考点】一元二次方程的应用．5.如图,⊙A 经过原点O ，并与两坐标轴分别相交于B 、C 两点,已知∠ODC=45°，点B 的坐标为（0，4）．（1）求点C 的坐标；（2）求阴影部分的面积S ．【答案】（1）C （4，0）；（2）4-8．【解析】连接BC ，由∠BOC=90°可得BC 为直径，根据圆周角定理可知∠BOC=D=45°，故△BOC 为等腰直角三角形，OC=OB ，即可求点C 的坐标；（2）利用阴影部分面积等于半圆的面积减去直角三角形BOC 的面积即可得答案．试题解析：（1）连接BC,∵OB ⊥OC, ∴∠BOC=90°, ∴BC 是OA 的直径, ∵∠ODC=45°, ∴∠OBC=∠OCB=45°, ∴OB=OC, ∵B （0，4）, ∴C （4，0）．（2）∵BC===4,∴S ⊙A =（2）2=8, S △OBC =OB·OC=×4×4=8, ∴S 阴=S ⊙A - S △OBC =×8-8=4-8． 【考点】圆周角定理；勾股定理；求阴影部分面积的方法．6.要在一块长16m ，宽12m 的矩形荒地上建一个花园，要求花地的面积占荒地面积的一半，图23-①、图23-②分别是小明和小红设计的两种不同方案图．小明：我设计方案如图23-①，花园四周小路宽相同；小红：我设计方案如图23-②，圆与半圆的半径相同．请你分别求出小明设计图中的道路宽及小红设计图中的半径长．（π取近似数3）【答案】（1）小明设计图中的道路宽为2m ；（2）小红设计图中的半径为4m ．【解析】（1）设图（1）中道路的宽为m,根据花地的面积占荒地面积的一半列出方程（16-2）（12-2）=×16×12，解方程即可；（2）设图（2）中的图的半径为Rm ，根据花地的面积占荒地面积的一半列出方程2R 2=×16×12，解方程即可．试题解析：（1）解：设图（1）中道路的宽为m,依题意得，（16-2）（12-2）=×16×12 2-14+24=01=2 2=12（不合题意舍去）答：小明设计图中的道路宽为2m ．设图（2）中的图的半径为Rm ，2R 2=×16×12∵=3 ∴R 2=16 ∴R 1=4 R 2=-4（不合题意，舍去）答：小红设计图中的半径为4m ．【考点】一元二次方程的应用．7.如图①、②，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），以点A 为圆心，4为半径的圆与轴于O ，B 两点，OC 为弦，∠AOC=60°，P 是轴上的一动点，连结CP ．（1）求的度数；（2）如图①，当与⊙A 相切时，求的长； （3）如图②，当点在直径上时，的延长线与⊙A 相交于点，问为何值时，是等腰三角形？【答案】（1）∠OAC=60°；（2）PO=4；（3）2或2+2．【解析】（1）由OA=AC,∠AOC=60°，△AOC 是个等边三角形，因此∠OAC=60°；（2）由PC 与圆A 相切，可得Rt △APC ．在Rt △APC 中，可求得∠P=30°，根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得PA 得长，然后由PO=PA-OA 得出OP 的值．（3）本题分两种情况：①当P 在A 点的左侧时（或P 在OA 上）时,OC=OQ,易证∠COA=∠POQ=60°，根据等腰三角形的三线合一的性质可得OP ⊥CQ 即可得OP=OA=2．②当P 点在AB 之间时，OQ=CQ ，作CM ⊥OB 于M ，易证∠COQ=∠OCG=75°，可得∠MCP=45°，MP=CM ，由勾股定理求得MP 的长，再由OP=OM+MP 即可求得OP 的长．试题解析：（1）∵AC=OA,∠AOC=60°,∴△AOC 是等边三角形, ∴∠OAC=60°．（2）∵CP 与OA 相切,∴∠PCA=90°,∴∠PAC=60°,∴∠P=30°,∴PA=2AC=8,∵AO=4,∴PO=4．（3）①当P在A点的左侧时（或P在OA上）时,∵OC=OQ,∴∠OQC=∠OCQ=∠OAC=30°,∴∠COQ=120°,∵∠COA=60°,∴∠POQ=60°,∴OP⊥CQ,∴OP=OA=2．②当P点在AB之间时，作CM⊥OB于M,如图，∵OQ="CQ" ∠Q=∠OAC=30°,∴∠COQ=∠OCQ=75°,∵∠COA=60°,∴∠OCM=30°, ∠MCP=45°,∴OM=OC=2．CM===2,∴MP=CM=2,∴OP=OM+MP=2+2．【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质；切线的性质；勾股定理．。
江西省2019初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)江西省2019初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)一、选择题.（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A． 3（x+1）2=2（x+1） B． C． ax2+bx+c=0 D． x2+2x=x2﹣12．（3分）方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A． x=2.5 B． x=3 C． x=2.5或x=3 D．非上述答案3．（3分）若函数y=a 是二次函数且图象开口向上，则a=（）A．﹣2 B． 4 C． 4或﹣2 D． 4或34．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A． x（x+1）=1035 B． x（x﹣1）=1035×2 C． x（x﹣1）=1035 D． 2x（x+1）=10355．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A． y1＜y2 B． y1=y2 C． y1＞y2 D．不能确定6．（3分）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（）A． B． C． D．二、填空题.（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．（3分）把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：，二次项为，一次项系数为，常数项为．8．（3分）方程x（x+1）=0的解是．9．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是．10．（3分）若|b﹣1|+ =0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是．11．（3分）抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的抛物线的解析式是．12．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则 + =．13．（3分）抛物线y=2x2﹣4x+3开口向；对称轴是，顶点坐标是．14．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是．三、（本大题共4小题，15小题12分，其余各小题6分，共30分）15．（12分）用适当的方法解下列一元二次方程（1）（2x﹣1）2=9 （2）（x+1）（x+2）=2x+4 （3）4x2﹣8x+1=0 （4）x2+3x﹣4=0（5）2x2﹣10x=3 （6）x2+4x=2．16．（6分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．（1）（x1﹣2）（x2﹣2）（2）x +x ．17．（6分）（2019?安徽）在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？18．（6分）已知二次函数y=2x2（1）将其向下平移2个单位得到的抛物线解析式为什么？（2）通过列表，描点，画出（1）中抛物线的图象．四、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）19．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？20．（6分）如图，抛物线y=ax2﹣5x+4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．（1）求点A和点B的坐标；（2）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（3）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．21．（6分）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=﹣2x与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m，c的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0 （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．23．（9分）阅读下列例题：解方程x2﹣|x|﹣2=0解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（舍去）．当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣2．∴x1=2，x2 =﹣2是原方程的根．请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．六、（本大题共12分）24．（12分）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中；（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？江西省2019初三年级数学上学期期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析一、选择题.（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A． 3（x+1）2=2（x+1） B． C． ax2+bx+c=0 D． x2+2x=x2﹣1考点：一元二次方程的定义．分析：一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．（4）二次项系数不为0．解答：解：A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x﹣4=0，是一元二次方程，故正确；B、方程不是整式方程，故错误；C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；D、是一元一次方程，故错误．故选：A．点评：判断一个方程是否是一元二次方程：首先要看是否是整式方程；然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容．2．（3分）方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A． x=2.5 B． x=3 C． x=2.5或x=3 D．非上述答案考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：因式分解．分析：此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解．解答：解：移项得：2x（x﹣3）﹣5（x﹣3）=0，∴（x﹣3）（2x﹣5）=0，解得x﹣3=0或2x﹣5=0，∴x1=3，x2=2.5．故选C．点评：本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．3．（3分）若函数y=a 是二次函数且图象开口向上，则a=（）A．﹣2 B． 4 C． 4或﹣2 D． 4或3考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义得到a2﹣2a﹣6=2，由抛物线的开口方向得到a＞0，由此可以求得a的值．解答：解：∵函数y=a 是二次函数且图象开口向上，∴a2﹣2a﹣6=2，且a＞0，解得 a=4．故选：B．点评：本题考查了二次函数的定义．二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．4．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A ． x（x+1）=1035 B． x（x﹣1）=1035×2 C． x（x﹣1）=1035 D． 2x（x+1）=1035考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：其他问题．分析：如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．解答：解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（ x﹣1）=1035．故选C．点评：本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．5．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A． y1＜y2 B． y1=y2 C． y1＞y2 D．不能确定考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：压轴题．分析：利用二次函数的性质即可解答．解答：解：从题中给出的图象可以看出，对称轴为直线x=﹣3，a＜0，又点A、B位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2．故选C．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，学会比较图象上点的坐标的大小．6．（3分）一次函数 y=ax+b与二次函数y=ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（）A． B． C． D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．专题：数形结合．分析：对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．解答：解：A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；B、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；C、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．故选A．点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．二、填空题.（本大题共8小题，每小题3分，共24分）7．（3分）把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：x2﹣6x+5=0，二次项为x2，一次项系数为﹣6，常数项为5．考点：一元二次方程的一般形式．分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解答：解：把一元二次方程（x﹣3）2=4化为一般形式为：x2﹣6x+5=0，二次项为x2，一次项系数为﹣6，常数项为5．点评：去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．8．（3分）方程x（x+1）=0的解是0或﹣1．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：本方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，所以直接得方程x（x+1）=0的根是0，﹣1．解答：解：x（x+1）=0x=0或x+1=0x1=0，x2=﹣1故本题的答案是x1=0，x2=﹣1点评：因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．9．（3分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则该方程的另一个根是﹣6．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．分析：根据根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1?x2= ，此题选择两根和即可求得．解答：解：∵2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，∴2+x1=﹣4，∴x1=﹣6，∴该方程的另一个根是﹣6．点评：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．10．（3分）若|b﹣1|+ =0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0．考点：根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．专题：计算题．分析：首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围．解答：解：∵|b﹣1|+ =0，∴b﹣1=0， =0，解得，b=1，a=4；又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，即16﹣4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0；故答案为：k≤4且k≠0．点评：本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．11．（3分）抛物线y=﹣2x2向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的抛物线的解析式是y=﹣2x2﹣4x+5．考点：二次函数图象与几何变换．专题：几何变换．分析：先得到抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（﹣1，7），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．解答：解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向上平移7个单位得到的对应点的坐标为（﹣1，7），所以平移后的抛物线的解析式为y=﹣2（x+1）2+7=﹣2x2﹣4x+5．故答案为y=﹣2x2﹣4x+5．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则 + = ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=2，再把原式通分得，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=2，所以原式= = ．故答案为．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．13．（3分）抛物线y=2x2﹣4x+3开口向上；对称轴是x=1，顶点坐标是（1，1）．考点：二次函数的性质．分析：根据二次项系数确定开口方向，利用配方法转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．解答：解：∵y=2x2﹣4x+3，而2＞0，∴开口方向向上，∵y=2x2﹣4x+3=2（x2﹣2x+1）﹣2+3=2（x﹣1）2+1，∴对称轴是x=1，顶点坐标是（1，1）．故答案为：上，x=1，（1，1）．点评：此题主要考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x ﹣h）2+k的对称轴是直线x=h，顶点坐标为（h，k）；此题还考查了配方法求顶点式．14．（3分）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为B（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜﹣1或x＞3．考点：二次函数与不等式（组）．分析：由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（﹣1，0），又y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．解答：解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）而对称轴x=1∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）当y=ax2+bx+c＞0时，图象在x轴上方此时x＜﹣1或x＞3故答案为：x＜﹣1或x＞3．点评：解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．三、（本大题共4小题，15小题12分，其余各小题6分，共30分）15．（12分）用适当的方法解下列一元二次方程（1）（2x﹣1）2=9 （2）（x+1）（x+2）=2x+4 （3）4x2﹣8x+1=0 （4）x2+3x﹣4=0（5）2x2﹣10x=3 （6）x2+4x=2．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．分析：（1）利用直接开平方法解方程；（2）先移项得到（x+1）（x+2）﹣2（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程；（3）利用配方法解方程；（4）利用因式分解法解方程；（5）先化为一般式，然后利用公式法解方程；（6）利用配方法解方程．解答：解：（1）2x﹣1=±3，所以x1=2，x2=﹣1；（2）（x+1）（x+2）﹣2（x+ 2）=0，（x+2）（x+1﹣2）=0，所以x1=﹣2，x2=1；（3）4x2﹣8x+4=3，4（x﹣1）2=3，2（x﹣1）=± ，所以x1=1+ ，x2=1﹣；（4）（x+4）（x﹣1）=0，所以x1=﹣4，x2=1；（5）2x2﹣10x﹣3=0，△=（﹣10）2﹣4×2×（﹣3）=124x= =所以x1= ，x2= ；（6）x2+4x+4=6，（x+2）2=6，x+2=±所以x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣．点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了直接开平方法、配方法、公式法解一元二次方程．16．（6分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．（1）（x1﹣2）（x2﹣2）（2）x +x ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2，x1x2=﹣．（1）把代数式变形得到原式=x1x2﹣2（x1+x2）+4，然后利用整体代入的方法计算；（2）利用完全平方公式把原式变形为（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2，x1x2=﹣（1）原式=x1x2﹣2（x1+x2）+4=﹣﹣2×（﹣2）+4= ；（2）原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣2）2﹣2×（﹣）=7．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx +c=0（a≠0）的两根时，x1+x2= ，x1x2= ．17．（6分）在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面积为570m2，问道路应为多宽？考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题；压轴题．分析：本题中，试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．解答：解：设道路为x米宽，由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=570，整理得：x2﹣36x+35=0，解得：x=1，x=35，经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去．答：道路为1m宽．点评：对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．18．（6分）已知二次函数y=2x2（1）将其向下平移2个单位得到的抛物线解析式为什么？（2）通过列表，描点，画出（1）中抛物线的图象．考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的图象．专题：几何变换．分析：（1）抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向下平移2个单位得（0，﹣2），然后根据顶点式写出抛物线解析式；（2）利用描点法画二次函数图象．解答：解：（1）二次函数y=2x2向下平移2个单位得到的抛物线解析式为y=2x2﹣2；（2）列表：X … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …Y … 6 0 ﹣2 0 6 …描点，连线，如图．点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．四、（本大题共3小题，每小题6分，共18分）19．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利﹣降价数．设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．解答：解：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元．根据题意得（45﹣x）=2100，解得x1=10，x2=30．因尽快减少库存，故x=30．答：每件衬衫应降价30元．点评：需要注意的是：（1）盈利下降，销售量就提高，每件盈利减，销售量就加；（2）在盈利相同的情况下，尽快减少库存，就是要多卖，降价越多，卖的也越多，所以取降价多的那一种．20．（6分）如图，抛物线y=ax2﹣5x+4a与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．（1）求点A和点B的坐标；（2）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（3）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．考点：二次函数综合题．专题：代数综合题；开放型．分析：（1）把点C的坐标代入抛物线解析式求出a的值，从而得到抛物线解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到A、B的坐标；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，即可写出顶点P 的坐标；（3）根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，根据点的平移，把顶点平移为第二象限的点即可．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2﹣5x+4a过点C（5，4），∴25a﹣5×5+4a=4，解得a=1，∴抛物线解析式为y=x2﹣5x+4，令y=0，则x2﹣5x+4=0，解得x1=1，x2=4，所以，点A（1，0），B（4，0）；（2）由（1）可知，a=1，又∵y=x2﹣5x+4=（x﹣）2﹣，∴顶点P（，﹣）；（3）要使平移后抛物线的顶点落在第二象限，可以先向左平移3个单位，再向上平移3个单位，平移后的抛物线解析式为y=（x﹣ +3）2﹣ +3=（x+ ）2+ =x2+x+ + =x2+x+1，即y=x2+x+1（答案不唯一）．点评：本题二次函数的综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点的求解，抛物线顶点坐标的求解，以及抛物线的平移，简单综合题，难度不大，把点C的坐标代入抛物线解析式求出a的值是解题的关键．21．（6分）已知，在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=﹣2x与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m，c的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．考点：二次函数的性质．分析：（1）将点A的坐标（﹣1，m）代入正比例函数的解析式求出m的值，再将求出的点A的坐标代入二次函数的解析式就可以求出c的值；（2）将求出的二次函数的解析式的一般式化为顶点式就直接求出抛物线的对称轴和顶点坐标．解答：解：（1）∵点A（﹣1，m）在函数y=﹣2x的图象上，∴m=﹣2×（﹣1）=2，∴点A坐标为（﹣1，2），∵点A在二次函数图象上，∴﹣1﹣2+c=2，解得c=5；（2）∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+5，∴y=﹣x2+2x+5=﹣（x﹣1）2+6，∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，6）．点评：本题是一道二次函数和正比例函数的综合试题，考查了利用函数的解析式求点的坐标的值以及二次函数的图象性质，运用了正比例函数和二次函数的有关知识．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．（9分）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0 （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．考点：根的判别式；等腰三角形的性质．分析：（1）根据一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根，所以只需证明△≥0即可．（2）利用求根公式计算出方程的两根x1=3k﹣1，x2=2，则可设b=2k﹣1，c=2，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可．解答：（1）证明：△=[﹣（3k+1）]2﹣4×1×（2k2+2k），=k2﹣2k+1，=（k﹣1）2，∵无论k取什么实数值，（k﹣1）2≥0，∴△≥0，所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0，因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）=0，解得：x1=2k，x2=k+1，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，当a、b为腰，则a=b=6，而a+b＞c，a﹣b＜c，所以三角形的周长为：6+6+4=16；当b、c为腰，则k+1=2k，解得k=1，∴b=c=2，因为6，2，2不构成三角形，∴所以这种情况不成立；当a、c为腰 k+1=6 则k=5，∴b=10，∴三角形的周长为：6+6+10=22．综上，三角形的周长为16或22．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．23．（9分）阅读下列例题：解方程x2﹣|x|﹣2=0解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（舍去）．当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣2．∴x1=2，x2=﹣2是原方程的根．请参照例题解方程：x2﹣|x﹣1|﹣1=0．考点：解一元二次方程-因式分解法；绝对值．专题：阅读型．分析：参照例题，应分情况讨论，主要是|x﹣1|，随着x 取值的变化而变化，它将有两种情况，考虑问题要周全．解答：解：（1）设x﹣1≥0原方程变为x2﹣x+1﹣1=0，x2﹣x=0，x1=0（舍去），x2=1．（2）设x﹣1＜0，原方程变为x2+x﹣1﹣1=0，x2+x﹣2=0，解得x1=1（舍去），x2=﹣2．∴原方程解为x1=1，x2=﹣2．点评：解本题时，应把绝对值去掉，对x﹣1正负性分类讨论，x﹣1≥0或x﹣1＜0．六、（本大题共12分）24．（12分）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4 m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m．（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中；（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？考点：二次函数的应用．分析：已知最高点坐标（4，4），用顶点式设二次函数解析式更方便求解析式，运用求出的解析式就可以解决题目的问题了．解答：解：（1）根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：A（0，）B（4，4）C（7，3）设二次函数解析式为y=a（x﹣h）2+k代入A、B点坐标，得y=﹣（x﹣4）2+4 ①将C点坐标代入①式得左边=右边即C点在抛物线上∴一定能投中；（2）将x=1代入①得y=3∵3.1＞3∴盖帽能获得成功．点评：本题考查了二次函数解析式的求法，及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．。
