毕业论文开题报告 向量在立体几何中的应用

向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be plex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect bination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving bee programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录ⅠⅠ1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用 2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ.知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=.例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行 1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ,∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为和，则有b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>， 则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l .例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l . 证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量,,,.因为m 与n 相交，所以向量,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使y x += 将上式两边与向量l 作数量积，得 n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥， 所以0=⋅，所以⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为和，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2) D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F （2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F =设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos=055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M ∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0)设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→,则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC 取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n )2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈是面α的法向量，则有〈=cos sin β例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90︒，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a BD GE ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点O （A 1z()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解 ()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==5BD =所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离29131055d ⎛⎫=-=⎪⎝⎭3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。

浅谈向量在立体几何中的应用作者：陆俊玲来源：《科技风》2020年第18期摘要：众所周知，立体几何在高中数学中有着举足轻重的地位，它对于学生逻辑思维和空间想象能力的培养和提高有着重要意义。

利用空间向量可以解决所有的空间角与距离问题，并用代数的立式的形式对几何问题进行深入研究，并弥补了学生空间想象力的不足。

文中简要地论述了高中立体几何教学中的困惑，并探讨了向量在高中立体几何中的重要作用，最后结合实例，感受向量在解题中的优势所在，旨在提升我国高中立体几何的教学水平。

关键词：向量;立体几何;应用和传统的几何法相比，向量法的运用能够让学生在解答立体几何问题时变得更加快速、便捷，具有直觀、计算简单、以及不容易出错的特点。

除此之外，向量作为高中数学中的重要组成部分，它能够采用数形结合以及坐标运算的方式快速解答各类几何问题，而且无需增加辅助线，让学生的答题过程变得更加轻松、高效。

一、向量在立体几何中的重要作用向量能够把不同直线或者线段之间的几何关系运用直观的方式表现出来。

由于向量的内容较为单一而且学习难度大，所以学生在进行向量学习的过程中要具有“数形结合”的思维意识，运用代数的方式来对几何图形进行描述。

（一）提高学生的运算水平作为常用的代数对象，向量能够被运用到多种的运算模式中并且容易掌握，在提高学生解题效率和运算速度的过程中，还可以将原本复杂多变、解题难度大的几何问题用代数运算的方式进行直观地展示。

（二）具有重要的思维价值向量既可以代数运算，又能够被运用到与度量相关的几何类问题，因此具有数形结合的特点。

通过对向量的学习和运用，可以显著提高学生数学的学习兴趣，转变传统固态化的数学思维模式，提高自身的数学思维水平和空间理解能力。

二、向量法的解题方式与步骤（一）向量法的解题方式运用向量法解决立体几何问题主要有两种方式：即运用向量进行直接代数计算和利用向量坐标计算。

在通常情况下是以坐标计算为主，因为这种计算方式所需要的计算技巧较少并且学生更容易理解和运用。

体坐标系意识打 下 基 础，防 止 学 生 在 授 课 过 程 中 难 以 理 解 立体坐标系．
2． 课上 在课上，首先是进行成果展示环节，让学生各自展示自 己如何在一个立 体 图 形 上 画 最 短 的 线，之 后 询 问 如 同样适用． 同理还可以
由平面上两条线之间的距离是作一条同时垂直于两条直线 的线引出空间中距离的计算公式． 对一些较难的问题可以
教学方法
JIAOXUE FANGFA
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向量在立体几何当中的应用
◎元凌燕 （ 福建省南平市邵武第四中学，福建 南平 354000）
【摘要】“向量”最早出现在欧洲 19 世纪 20 年代，由两 个数学家提出． 起初它是用于表示复数的形式，在时代的发 展中人们提出了 维 度 的 概 念，人 们 将 向 量 与 维 度 概 念 相 结 合，进而提出了三维、四维乃至 n 维的概念． 其中向量在物 理学中也有很大的应用，物理学中的矢量指的便是向量，用 来代表有大小有方向的量． 向量在学生的学习中占有很大 的比重，在社会生活中其具有很大的利用价值． 本文主要介 绍高中学 习 中 关 于 向 量 的 概 念 以 及 在 立 体 几 何 方 面 的 应用．
一、向量学习的重要性 （ 一） 向量使用广泛 1． 生活中的向量概念使用 随着科技的不断发展，知识改变生活的概念越加凸显， 在生活中处处都 可 以 看 到 向 量 的 使 用，向 量 使 人 们 的 生 活 质量有了很大的提升． 如，在进行铁道、桥梁建设时，要想建 设两边同时开工 而 又 不 出 现 偏 差 时 就 需 要 使 用 向 量 ，保 证 在最后的连接过程中不会出现问题． 2． 软件中处处有向量 在这个信息时代，人们使用着各型各色的软件，在软件 的研发与设计过程中无处不体现着向量的使用． 如，微信、 qq 中精美的图片在任何手机上放出都不会出现模糊，这就 是由于照片是使 用 向 量 进 行 设 计 的，换 言 之 照 片 在 传 输 过 程中是通过传输向量式而非传输像素点位置． 在建设工程 中 cad、sordwork 等建筑软件在进行绘图时也全都使用着向 量的原理，通过向量可以绘制出完美的直线． 现在人们的生 活 中 处 处 都 有 着 向 量 的 使 用 ，向 量 已 经 在潜移默化中改变着人们的生活． 学习向量的概念与运用 方式对人们有着极大的好处． 高中生作为祖国的未来，承担 着祖国未来发展的重责，学习向量则是他们获得知识提高， 为祖国发展奉献的最佳途径． （ 二） 向量在解决问题方面有独特优势 向量在解决空 间 类 问 题 有 很 大 的 优 势，本 文 主 要 介 绍 其中的一类，使用向量求直线与平面之间所成的角． 例 1 如图所示，从一个四方体 上割掉一个角，取这个角，以 AC 边作 为 x 轴，AS 边作为 z 轴，建立直角坐标 系，由图可知 AC，AB 边 均 垂 直 于 AS 边，底边三角形 ABC 为 等 边 三 角 形， SA = 3，AB = 2． 试 求 直 线 AB 与 平 面 SBC 之间所成的角的正弦值大小． 解 根据题意可以建立空间直角 坐标系． ∵ AS = 3，底边三角形 ABC 为边长为 2 的等边三角形，

浅谈向量法在立体几何中的应用摘要：关键词：向量 空间角 空间距离 平行与垂直纵观近几年的高考立体几何题，绝大部分都可以利用几何法和向量法去求解。

在利用几何法求解时需要考生有较强的空间思维能力与逻辑推理能力，必须有较完整的“一作、二证、三计算”的步骤；而利用向量法来求解，仅需将空间问题转化成有关向量的运算问题来处理，即将几何问题转化为代数问题，简捷方便,有着它独有的优势 −− 不用作图而直接计算。

下面就利用向量法解决立体几何中角的问题、距离的问题和平行与垂直的问题谈谈自己的看法。

一、用向量法处理空间角问题一）用向量求两条异面直线所成的角求异面直线n m ,所成的角，我们只需要分别在直线n m ,上取定方向向量,,b a则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a,所成的角或其补角（如图1所示），即=><=,cos cos θ。

【例题】如图2，底面ABCD 为直角梯形，90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点。

求异面直线BD 与PA 所成角的大小解：如图3建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()0,2,0,2,0,0,0,1,2,0,0,0A P D B得()()2,2,0,0,1,2-==，设异面直线BD 与PA 所成角的大小为θ，则BCD PA图2，1010852,cos cos =⨯==><=θ1010arccos =∴θ，即异面直线BD 与PA 所成角的大小为1010arccos。

利用向量法求空间直线所成的角，可避免作辅助线及复杂严谨的论证等诸多麻烦。

题中通过><,cos 值，求出两向量的夹角可能是钝角或直角或锐角，因异面直线所成的角的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π，故加绝对值，便可直接求得所要求的角。

二）用向量求直线与平面所成的角如图4，求直线L 和平面α所成的角，只需在L上取定，是平面α的法向量，再求|||CP |cos n ⋅=θ，则2πβθ=-为所求的角.【例题】如图5，底面ABCD 为直角梯形， 90=∠ABC ，⊥PB 面ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点，求直线CP 与面ADP 所成角的大小； 解：如图6，建立空间直角坐标系xyz B -，则有()()()()2,0,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0P D C A ， 故()2,0,2-=()()2,1,2,2,2,0--=-= 设面ADP 的一个法向量为()z y x n ,,1=，则有⎩⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥02202200z y x z y 令1=y 得1=z ，21=x ，即⎪⎭⎫⎝⎛=1,1,211n ， 设直线CP 与B CD PA图5面ADP 所成角的大小为θ，故622381,cos sin 1=⨯==><=n CP θ，62arcsin=∴θ 即直线CP 与面ADP 所成角的大小为62arcsin。

向量在立体几何中的几点应用向量在立体几何中的几点应用在数学中，向量是一个有大小和方向的量，它在几何中的应用非常广泛。

在立体几何中，向量也有着重要的应用，下面就来谈谈它的一些应用。

1.向量的叉积向量的叉积在立体几何中有着广泛的应用。

它定义了一个向量和一个法向量，这使得它适用于区分面积和体积，这是立体几何中很重要的概念。

在计算立体几何的体积时，有时需要利用向量的叉积。

例如，在计算一个四棱锥的体积时，可以用其底面上的两个向量构成一个平面向量，然后将这个平面向量与第五个顶点所在的向量做叉积，便可以得到该四棱锥的体积。

这个方法非常简单，而且不需要用到具体的高度或底面积这样的参数，因此，在计算体积时十分方便。

另一个例子是，在求解两条直线的交点时可以使用向量的叉积。

如果已知两个直线所在的平面，可以将它们所在的向量取叉积，便可以得到一个垂直于两条直线所在平面的向量，从而可以得到它们的交点。

这个方法也非常简单，而且不需要求解方程组，因此在计算交点时比较方便。

2.向量的点积向量的点积在立体几何中也有着很重要的应用。

它可以用来计算向量的夹角，从而在计算三角形的面积或四面体的体积等问题时十分方便。

例如，在计算三角形的面积时，可以用两个边向量之间的夹角及其对顶点到该边的距离来计算。

这就用到了向量的点积。

在计算四面体的体积时，我们可以用面积乘以高度来计算，而面积可以使用向量的叉积计算，高度可以用向量的点积计算。

这种方法比基本的平行六面体法更直观，更方便。

3.平面与直线的向量表示在立体几何中，我们经常需要对平面和直线进行求交、平移、旋转等处理。

而这些处理都可以使用向量的表示法来简化。

例如，在求解平面与直线的交点时，如果已知平面和直线的法向量，我们就可以用向量的点积求出它们之间的夹角，从而计算出交点。

这个方法比纯粹的代数方法更加便捷、直观。

再例如，在计算平面和直线的平移时，可以用向量的加减法来表示平移后的位置。

这种向量的表示法非常简单、直观，因此在计算中能够提高效率。

向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂，运用向量作行与数的转化，则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题：证明与计算，用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.装关键词：向量；立体几何；证明；计算；运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords：Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容，在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位，但从目前的使用情况来看，向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分，这一点在与几何（尤其是立体几何）的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合，形成知识交汇点.向量进入高中数学教材，为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中，几何占有很重要的地位，有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂，而运用向量作形与数的转化，则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点，往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过：“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策，必然能引导学生拓展思路，减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性，平面向量就具有较强的工具性作用，向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题，还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明（平行、垂直、共线、相切、角相等）与求值（距离、角、比值等）问题.不难看出向量法应用于平面几何中时，它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决，体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成的角，面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==，则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证：OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，k j i ,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x BD =，∵α⊥BD ，∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ，∴),0,0(z =∴k z BD =，又知O 、B 为两个不同的点，∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为n ，α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=，∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=.方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥.方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>，则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ， 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ， 因为0022m m PE BC ⋅=-+=， 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线g ，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积，得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅，因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅g l ，所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点（1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法.证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2)，E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ，由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE=A ，∴D 1F ⊥平面AED ，∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）.2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈m 是面α的法向量，则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90，侧棱AA 1＝2，D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；D D A 1C 1B 1z E解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.2.3.3求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”，即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模，可以推导出空间两点的距离公式，即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ，则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中，面SAC ⊥面ABC ，SA AC ⊥，BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==，求SB 的长. 分析 如图，本题可以用几何法求出SB ， 但需要证明若用向量法，注意到SA ，AC ，BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图，建立以A 为原点的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ，所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系，构造向量的空间距离模型，然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点，直线PA 垂直平面外的一点， 直线PA 垂直平面ABCD ，AB =3，BC =4，PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95，又10BP =，所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量，则有：点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=（向量PQ 在法向量m 的投影的长度）.方法思路：求出平面的任一法向量m （方程组可求），在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度，套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，找一向量与两异面直线都垂直的向量m ，则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A ''是矩形，。

浅谈向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中的应用
向量在立体几何中是一个重要而有效的应用。

在三维几何中，向量是一种抽象
的概念，表示两个点之间的方向与距离；它可以根据加减乘除等四则运算计算出来，从而解决复杂的几何问题。

首先，向量在立体几何中用于表示Google网页上平面上直线、弧和曲线等位
置和方向，可以将它们抽象为向量，然后依据向量的特征完成平面的几何操作。

其次，向量可以用于表示Google网页上立体几何的结构，包括垂足、中线、法向量等。

例如，在研究几何图形的投影及其关系时，可以借助向量表示平面和空间图形之间的关系，从而实现立体几何的计算。

此外，在三维几何中，向量可以用于表示几何图形的平移旋转及其变换。

可以
借助向量的加减乘除等四则运算，实现对三维几何图形的变换，比如旋转、缩放等，从而满足实际应用中的要求。

综上所述，向量在立体几何中的应用十分广泛，不仅在表示平面、立体几何结
构中具有重要作用，而且还可以应用于立体几何图形变换中，从而实现几何模型变形和变换，解决实际工程问题。

向量在立体几何中的应用
嘿呀，向量在立体几何中的应用那可真是太有趣啦！比如说，它可以用来求异面直线的夹角呀！就好像在一个复杂的三维世界里，向量就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开异面直线夹角的秘密之门。

你想想，两条异面直线好比两个调皮的小精灵在空间里乱跑，而向量就能把它们抓住，告诉我们它们之间的角度呢！
还可以用向量来证明直线和平面平行呢！这就如同给直线找到了一个安稳的家——平面，向量能帮我们确认它们之间是不是和谐相处。

“哇，原来这条直线真的和这个平面平行啊！”
向量也能计算二面角的大小哦！二面角就像是空间里的一个神秘口袋，向量就能精准地告诉我们这个口袋的大小。

“嘿，有了向量，这个二面角的大小可就藏不住啦！”
甚至可以用向量来解决距离问题呢！空间中两点的距离，就像是一段未知的旅程，而向量能带着我们快速精准地找到那段距离。

“哎呀，向量真的太厉害啦，一下子就找到两点间的距离啦！”总之啊，向量在立体几何中真的是神通广大，让我们能轻松应对各种复杂的几何问题，你难道不觉得这超酷的吗？。

浅谈向量在立体几何中的应用向量知识在高中教学当中，有着非常重要的地位和价值，它的工具性特点在数学的许多分支中都有体现，尤其是在解析几何中，向量的思想渗透的很广泛，而空间向量在解决几何上的优势是传统知识无法替代的。

用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题，淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程，使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法，对某些传统性较大，随机性较强的立体几何问题，引入向量工具之后，可提供一些通法.，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。

向量法是将几何问题代数化，用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到以下问题 一.平行问题 1.证明两直线平行b a b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ.知),(),,(2211y x y x ==，则有b a y x y x //1221⇒=.例1 已知直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足，求证OA//BD.证明：如上图，以点O 为原点，以射线OA 为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O -，,,为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设),,(z y x =，∵α⊥BD ， ∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x ，0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x j BD ，∴),0,0(z BD =∴z =，又知O 、B 为两个不同的点， ∴OA BD //.方法思路：在两条直线上分别取不同的两点得到两向量，转化为证明两向量平行. 2.证明线面平行1、线∉a 面α，a B A ∈,，面α的法向量为，α//0AB ⇔⊥⇔=⋅.方法思路：求面的法向量，在直线找不同两点得一向量，证明这一向量与法向量垂直（即证明数量积为0），则可得线面平行. 2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），若αλλ//2211a e e ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ ,求证:PQ ∥平面BCE.证明：设λ=，∵AP = FQ, ∴λ=， ∴++= =FB BE AC λλ++-=AB BE BE BC AB λλλλ+-+-- =BE BC )1(λλ-+ ∴//PQ 平面BCE .方法思路：证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示（即在平面内存在一向量与方向相等），则可得面内一直线与面外的线平行，从而证明线面平行. 3.面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ，βαλ//⇔=n m . 方法思路：求平面的法向量，转化为证明两法向量平行，则两平面平行.2、不重合的两平面α与β，面α的法向量为，若βαβ//⇔⊥. 方法思路：求出其中一平面的法向量，再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0（即垂直），则可得两平面平行. 二．垂直问题 1.证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ，则有b a b a ⊥⇒=⋅0.例3 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB //CD ,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.证明：PE ⊥BC证明：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>， 则 )0,2,21(),0,,0(m E m D ，可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m ，因为0022m mPE BC ⋅=-+=，所以 PE BC ⊥. 2.证明线面垂直直线l 的方向向量为，平面α的方向向量为，则有αλ⊥⇒⋅=l .例4，如图，m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,，求证：α⊥l .证明：在α内作任一直线，分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交，所以向量,不平行.由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对（x,y ）,使x +=将上式两边与向量l 作数量积，得 n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅， 因为 0,0=⊥=⊥n l m l ，所以0=⋅，所以⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线，所以α⊥l .方法思路：找直线的方向向量（在两直线上取两点得一向量）及平面的法向量，只需证明两向量平行，则可证线面垂直.3.证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ，则有βα⊥⇔=⋅0n m .方法思路：找平面的法向量，只需证明两向量数量积为0，则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为，21,e e 是平面α的一组基底（不共线的向量），则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1，CD 的中点 （1）求证：AD ⊥D 1F ；(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题，当然也可用其它的证法. 证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB =2，则A (0,0,0), D (0,2,0), A 1(0,0,2) D 1(0,2,2)，E (2,0,1), F (1,2,0) (1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-∴1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F（2）AE =（2，0，1） 1D F =（1，0，-2），||5AE = ，|1|5D F =设AE 与D 1F 的夹角为θ，则θcos 055)2(10012|F D ||AE |11=-⨯+⨯+⨯=所以D 1F ⊥AE ， 由（1）知D 1F ⊥AD ，又AD ∩AE =A ，∴D 1F ⊥平面AED ， ∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路：找其中以平面的法向量，证明法向量与另一平面平行，即法向量可以用另一平面的一组基底（不共线的向量）线性表示. 三．处理角的问题 1．求异面直线所成的角a,b 是两异面直线，b D C a B A ∈∈,,,，a ，b 所成的角为θ，则有CD AB =〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD ,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz , ∵AB =BC =2BD ,设BD =1 则AB =BC =2,DC =3A (1,0,2),B (1,0,0),C (0,3,0),D (0,0,0)设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n)2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DC BC AB设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B ,515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路：找两异面直线的方向向量，转化为向量的夹角问题，套公式（但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补）. 2.求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β，若,,l B A ∈是面α的法向量，则有〈=cos sin β.例7如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90︒，侧棱AA 1＝2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用余弦值表示）；解析：如图所示，建立坐标系，坐标原点为C ，设a CA 2=，则)0,0,2(a A ，)0,2,0(a B ，)1,0,0(D ，)2,0,2(1a A ，)1,,(a a E ，)31,32,32(a a G ， ∵ ()2,,333a a GE =---，()0,2,1BD a =-，032322=-=⋅a ， ∴1=a ，()112,,333GE =---，()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量，且32,cos 1==〉〈A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路：找直线的方向向量与平面的法向量，转化为向量的夹角问题，再套公式（注意线面角与两向量所在直线夹角互余）.3.求二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、（都取向上的方向，如右图所示），则① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n ⋅=θ.方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、，则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小． 解 如图所示，建立空间直角坐标系xyz O -， 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）. ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=QD Q A ， 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ， 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =， 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ，∴66611,cos 21=⨯=>=<n n ， 二面角的平面角为锐角，∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若令11-=a ，则)2,1,1(2---=n ，∴66,cos 21->=<n n ，∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O （A 1z用向量法解决立体几何问题的方式有两种：一是直接用向量的代数式运算，二是用向量的坐标运算.一般来说，向量的坐标运算，思维量更少，运算技巧更低，更容易掌握，因此这也是我们常用的向量方法.若所给图形不容易建立空间直角坐标系，我们也可以用向量的代数式运算来解决问题，但其技巧性相对较高，对学生逻辑推理能力的要求也提高了.用向量坐标运算解题步骤：（1）建立空间直角坐标系.注意尽可能用已经存在的过同一个点的两两垂直的三线，如果没有三线，也尽量找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直，按右手系建立坐标系.注意所写点的坐标要与所建立的坐标系相一致.（2）写出需要用到的点的坐标.注意要仔细再仔细，此步若错，全题皆错.（3）写出所要用到的向量坐标.注意必须终点坐标减始点坐标.（4）通过计算解决具体问题.注意公式要记对，运算要仔细.总之，向量在立体几何中的应用为我们解决立体几何问题提供了新的解题思路和方法，打破了传统解法“一作、二证、三计算”的模式，突破了传统解法中“添置辅助线”的难点，将立体几何中“形”的问题转化为“数”的问题，开创了解决立体几何问题的新模式.。

谈谈向量在立体几何的应用摘要：本文论述应用向量的线形运算解决立体几何的一些问题的方法：空间平行或垂直关系，通过空间向量的共线关系或内积为零的运算来判断；空间成角通过空间方向向量或法向量成角来求得；空间的距离通过对应向量在法向量或方向向量的投影求取。

培养学生应用能力。

主题词：向量应用内积共线夹角距离法向量投影方向《立体几何》研究的内容主要有：平行与垂直的判定，角与距离的计算，面积与体积的计算。

而面积与体积的计算主要是有关线段的长度和高的有关计算。

《立体几何》要解决的就是：平行与垂直的判定，角与距离的计算的实际问题。

这两类问题的解决，《立体几何》的方法比较繁杂，比较抽象；而用空间向量解决这两类问题时，比较直观，比较具体，也大大地减少立体几何构图的难度，也降低了思维的难度，把抽象的空间想象，全部转化为数的运算。

一、应用空间向量判断平行与垂直的问题直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行与垂直位置关系是进行立体几何问题研究的基石，是发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力的基础。

（一）、应用空间向量解决平行问题空间平行关系有“直线平行与直线”、“直线平行与平面”、“平面平行与平面”三种，这三种关系的判断，在几何中，要通过它们之间互相转化。

而在向量中，只要表示出相对的向量，用向量的内积关系或共线关系的计算判断；“线平行与线”的判断，找出两直线的方向向量，判断它们是否共线；“线平行与面”的判断，找出直线的方向向量和平面内的任意两向量，判断它们共面与否，或者找出平面的法向量，判断直线方向向量与法向量是否垂直即可。

这样，可以减少空间直线、平面之间的关系转化。

例1、已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别为对角线AC和BF上的动点，且AM=FN。

求证：MN∥平面BEC。

分析：考虑到几何图形较易建立坐标且欲证MN∥平面BEC，即需证MN与平面BEC共面。

故只需证MN能用平面的基底线性表示出，或需证MN与平面BEC的法向量垂直。

楚,这样的好处在于能够让学生把问题简 化 的 同 时 还 能 实 现 高效率的学习,让学 生 擅 于 将 数 形 进 行 有 机 结 合,使 其 数 形 结合的思维逐渐形成,最终把晦涩难懂的 立 体 几 何 问 题 转 变 成 代 数 问 题 ,最 终 降 低 其 难 度 .
不过,值得注意的是,向量法也具 有 一 定 的 局 限 性,在 立 体几何的问题中仍旧存在着向量法所不 适 用 的 问 题,而 我 们 能做到的就是找出 最 适 合 的 方 法,简 单 来 讲,就 是 我 们 不 应 拘泥于某一种特定的解题方法,而是应该 擅 于 将 向 量 与 其 他 解题方法进行有机地结合去解决问 题. 比 如,向 量 法 局 限 性 在于其计算量较大,因 此,这 就 对 学 生 计 算 的 速 度 以 及 准 确 性提出了要求,并且这对计算能力不佳的 学 生 无 疑 是 一 个 挑 战,一旦在计算过程中出现错误就将直接 导 致 最 后 结 果 的 错 误.不仅如此,向量法有时在解决有一 定 难 度 的 问 题 时 具 有 一定的技巧性,而这就对学生的基础知识 的 扎 实 程 度 以 及 对 问题的理解能力提出了较高的要求. 三 、如 何 用 向 量 法 解 决 立 体 几 何 问 题
○ 数学教学与研究
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浅析向量在立体几何中的应用作者：潘龙康来源：《青年时代》2016年第27期摘要：我们从中学开始就接触和学习了与向量有关的一些内容，它是作为现代数学的一个标志进入到我们的教学进程中的。

向量给我们学习几何问题提供了一种程序性和代数化的方法，将复杂以及抽象化的几何问题转化为较简单、易理解的代数问题，是我们研究和分析几何问题的强有力的工具。

有利于我们在高中学习数学时更便利，更容易接受，因为在高中的数学学习中几何占据了很重要的地位，是我们学习高中数学不可或缺的一部分。

因为刚刚接触空间几何是很难一步到位，做到融汇贯通的，这就需要我们运用向量作为转换的工具，简化解题程序。

充分的利用向量来解决几何问题中常见的证明和计算这两大类问题，使得解题的步骤变得更加具有程序化和可推理化。

关键词：向量;立体几何;运用一、向量在几何问题中的作用自从在高中的数学教材中增添了向量这一模块后，复数在高中教材中的内容和作用被向量逐渐代替和取代。

这就充分证明了向量的重要性和其广大的发展前景。

而且通过近几年的学生的成绩和学习效果来看，向量的课堂引入所起到的作用远远高于复数的作用，因为复数只能在在平面上应用以解决平面上的问题，没有办法解决空间几何的问题。

而向量有平面向量和空间向量之分，不仅有利于解决平面上的问题，而且对空间几何的帮助也是非常大的。

其给学习空间几何的初学者提供了更易理解的渠道和方法，是促进高中几何代数化的强有力的媒介。

现在数学教材的编制都引入了向量模块，用向量法去解决几何问题具有步骤简化、思路清楚的好处。

这也表明了转变方式恰当的情况下往往会产生出乎意料的结果。

用向量代替复数在数学教程中就是一种正确的方式转化，更容易提高学生的学习兴趣，减轻学生的学习压力。

向量法有平面向量和空间向量之分，一方面，平面向量不仅可以解决不等式、测量、以及三角等问题，还可以解决很多常见的证明问题，例如：平行、垂直、共线、相切等问题;还可以解决一部分的求值问题，例如：比值、距离等问题。

＝ Ｃ ＝ ２ Ｄ， 是 Ａ Ｂ Ｍ
Ｙ
间想 象能力 ，ｔ ｎ 一点 向平 面作 垂线 ， 根本 不能 ｌ￣过 ： 他 想 象垂 足 可能 在 哪里 ， 如果 遇 到 需 要 添 加 一些 较 复
杂的辅 助线 才 能 解 决 问题 ， 就 只能 放 弃 了。 当然 那 大部 分学 生还 是逻 辑推 理能 力较 差加上 对 基本 概念
Ｅ Ａ的 中点 。
求 证 ： 平 面
ＤＡ Ｅ 上平 面 Ｅ Ａ Ｃ
理 解不 够 ， 致 解题 思 路 混乱 ， 时 过 于 嗦 ， 不 导 有 说
到位 ； 时又 觉得 推理 过程 “ 有 缺胳 膊少 腿” 该写 的理 ， 由没写 。因此 每 到立 体 几 何 内容 的 教 学 时 ， 教 师 让 感 觉 最头 疼 的就 是 批 作业 。特 别 刚 开 始 时 ， 大部 分
内容 的教学 时 ， 教师 往往 会感 到 比较头 疼 ， 而部 分学
生 则感 到 十分 困难 ， 至对立 体几何 产 生畏 惧 心理 。 甚
造 成 这种 现象 的原 因是 多方 面的 。有 些学 生缺 乏空
角 形 ，Ｅ Ｃ上 平 面 Ａ Ｃ．Ｄ ｆ Ｅ。 Ｃ Ｂ Ｂ Ｅ Ｃ
史 雪梅
汉 源县职 业 高级 中学 四川省 汉 源县 ６ ５０ ２ ３０
向量 进入 中学 课 堂教 学是 数学课 程 改革 的一 项
二、 向量在 立体 几何 中应 用 的教学 实践
重大 举措 。运 用 向量解 决传 统 的数学 问题 可 以帮 助 学生 更好 地 建立代 数 与几何 的关 系 ， 使数 学 的语 言 、
化， 易操 作 。
一
面垂 直 ， 即证 ｖ ； ∥ｎ
、
传 统立 体几 何教 学 中的 困惑

浅谈向量在立体几何中的应用
立体几何学研究的是几何元素的三维构成，其中的向量起着至关重要的作用。

向量可以用来表示方向及大小。

它们能够描述立体几何中的各种元素，如点、线、面及体积等。

因此，向量在立体几何中的应用是非常广泛的。

首先，向量可以用来描述平面和专面上的点、线、面等立体几何元素。

对于点，可以使用一个标量来描述它在空间中的位置。

对于线来说，可以使用一个向量来描述它的方向及长度。

对于面来说，可以使用一个二维向量来描述面的法向量及面积。

此外，向量也可以用来描述立体几何中的平移、旋转、折叠等变换。

比如，使用倾斜向量来描述物体的平移和旋转。

这样，可以用数学表达式来快速描述空间变换，从而实现坐标变换。

此外，在立体几何学中，还有一种重要的概念叫做“定义域”，它是指一个几何物体定义出来之后，用来描述物体细节的特殊几何元素。

而向量可以用来描述这种特殊几何元素的位置及大小，一般情况下，这些特殊几何元素是由一组向量来表示的。

最后，向量在描述立体几何中的各个元素的功能上，可以说是十分重要的。

向量可以用来表示空间中物体的位置，物体的变换，定义域中的特殊几何元素等。

向量可以给出许多关于空间变换和特殊几何元素的定义，从而使立体几何学更加完善，为现代科学发展做出了重大贡献。

总之，向量在立体几何中是十分重要的一环，它可以用来描述各
种立体几何元素，并可以用来描述空间变换及定义域中的特殊元素。

向量既可以作为立体几何中的重要数学工具，也可以是科学研究的有力帮手。

由此可见，在立体几何中，向量是十分重要的。

直线所成角的范围［ Ｏ ， ÷］ ； 线面角可通过线的方源自向向量和面的法向量夹角 二
由于立体几何 中的垂直 问题 图形 比较 复杂 ， 加上学生 的空闯感 比较 薄弱， 因此学 生很难解决 。把 立体 几何 中的问题转 化 为向量 ， 其 优越性 非常明显。中学的立体几何 主要研究 点、 线、 面之间 的关 系 ， 围绕它 们之 间的考 点无非是距离 和夹角 。多数距 离以异面直线呈现 ， 而夹角则 以异 面直线所成角、 二面角形式 出现 ， 解决 这一 问题传 统方法要 求较 高。异 面直线 距离通 常要能做出公 垂线 ， 二面角则要能做 出二 面角 的平 面角才 解等 ， 所以使问题的解 决更简 单 ， 有效 。 能求解 ， 但是找公垂线 ， 角的时候困难较大 。因此 ， 在立体 几何学 习之前 立体几何 中的线线、 线面、 面面垂 直， 都可 以转化为 空间两个 向量的 引入 了向量学习。利用向量解决 立体几 何问题 不需确 确实 实找 出角或 垂直问题解决。 线段 ， 利用向量方法解决立体几何问题有两种方法 ： 一， 利用空 闻向量基 三、 “ 线线垂直” 化为“向量垂直” 本定理 ； 二， 利用空间直角坐标系。 华罗庚关于“ 数形结合 ” 有一句名言 ： “ 数缺形 时少直观， 形 离数 时难 立体几何 中空间向量基本定理解法 入微 。 ” 向量是基本的数 学概念 之一 ， 是沟通代 数与 几何 的工具 之一 ， 体 因为空间位置关系最终都反映于距离和夹 角 ， 因此完全 可以通过对 现了数形结合 的思想 。因此 ， 充分掌握 、 运用好 向量 知识 ． 可 以提高学生 向量 的运算来说明它们之 间的关 系。由空 间向量 的基本 定理我 们知道 的数形结合能力 ， 培养学生发 现问题 的能力 ， 帮助学 生理清 数形结 合呈 若有三个不共面的空 间向量 ， 则它们 形成 一组基 ， 空间 中任何一 个向 量 现的内在关 系 把无形 的解题思路形象化 ， 有利 于学生顺利地 高效 率地 都可 以由它们线性表 出。于是 当我们要求某 两条直线之 间的位置关 系 ， 解决数学 问题 。利用 向量方法研究立体几何 问题 ， 能避免传统 几何方法 可以将 它们用 已知 的三个不 共面 向量表 示出来 ， 再进行 数量积 运算 ， 从 中繁琐 的推理 及论证 ， 有效提高学生解决立体几何向题的能力。 而确定 它们之 间的关 系。当要求点与面 的距离或者是二 面角时 ， 显然 不 考试 过程 中向量方 法解决 立体几 何问 题失分原 因与 防范措施 。１ ， 再是线线之 间的关 系 ， 我们可 以通过 引入法 向量从而把点 面距离和二 面 坐标轴选取错误 ， 点的坐标 计算错 误或 建立坐标 系不 规范 ， 应 注意 三坐 角转化为线线 关系的问题 ， 继 而用数量积来解决它们 。 标轴两两互相垂直 ， 建 系时应 明确坐标 原点和 坐标轴 ； ２ ， 将 向量 的夹角 具体做法如下题所示 ： ２ ０ １ ０年 高考题 ： 直 三棱柱 中 Ａ Ｂ Ｃ—Ａ１ Ｂ Ｉ Ｃ １ ， 转化成空间角时 ， 失 分 的根本 原因是 混淆 了空 间角 与 向量 所成 角 的概 Ａ Ｃ：Ｂ Ｃ， ＡＡ １＝Ａ Ｂ， Ｄ为 Ｂ Ｂ Ｉ的中点 ， Ｅ为 ＡＢ １上的一点 ， Ａ Ｅ＝３ Ｅ Ｂ １ ， 证 念， 要避免失分 ， 首先 要理解 空间角与向量所成角是 两个不同概念 ， 其次 明： Ｄ Ｅ为异面直线 Ａ Ｂ １与 ＣＤ的公垂线 ； 要理清 向量的夹角与空间角 的关系 ， 注意各种 角 的范围 ， 应 根据各 种角 分析： 题 目没有具体 给出线 段的长 度 ， 它们 之间 比例关 系需要 进一 的概念和 图形特征进行转化 ， 不能盲 目套用。 步求解 ， 考虑到 Ａ Ｃ＝Ｂ Ｃ这个条 件 ， 可知 三角 形 Ａ Ｂ Ｃ为等腰 三角 形 ， 取 立体几何是高考必考题 目， 用 向薰 方法 解决立 体几何 问题 ， 避免 ＿ 『 Ａ Ｂ中点 ， 连接 ｃ Ｆ 得到 ｃ Ｆ 垂直 Ａ Ｂ ， 另外 从 １ ＝ Ａ Ｂ并且 是直 三棱 柱 ， 可 直接证 明和计算找出角和线 段 的困难。但做 题时要 灵活选 用 以上两种 知侧面是正方形 ， 这样可 以把它们之间 比例关系求 出。 方法， 能建立 空间坐标系的利用第二种方法要更 简单 ， 若不能建 系 ， 则利 综上所述 。 Ｄ Ｅ为异面直线 Ａ Ｂ １与 Ｃ Ｄ的公垂线。 用空间向量基本定理选取基底然后运算。 二、 立体 几 何 直 角 坐 标 系解 法 空间向量是用代数 的方式来表达立体几何 的重要方法 ， 在实际 的一 』 空间向 量 的坐标表示及运算是空间向量基本定理的“ 量化” 应用 ， 在涉及 作过程 当中发现 ， 大多数高三学生都不能够理 解好立体几何 与空间 向量 长方体 ， 正 方体 ， 直棱柱等几何体时， 通过建立空间直角坐标系， 实行向量的坐 的关系 ， 更 不用说熟练 的运用 。本文结合个人 在实践工作过程 当 中的经 标运算解决， ｌ 舸 问题方便易行 ， 行之有效 ， 具体步骤可归纳为： １ ． 建立空问直 验总结 ， 就高三数学立体几何与空 间向量 的运用展开探讨 。灵活运用 学 角坐标系； ２ ． 求相关点坐标 ； ３ ． 表示 向量坐标 ； ４ ． 向量的坐标运算 。通过空 问 导式的教学方 法 ， 帮助学生打下扎实牢 固的数学基础 。正确 把握好基 本 向量的坐标运算可解决立体几何中的平行和垂直等位置关系和计算成角和 元素“ 点” 的认识传 导过程 ， 最后 注重将所 学 内容与 现实生 活联 系在 一 距离等问题 ， 在证明直线和平面平行、 两平面互相垂直、 计算直线和平面所成 起。然而由于个人所 学知识 以及 阅历 的局 限性 ， 并未 能够做 到 面面俱 角、 二面角以及求点到平面的距离时， 要注意平面法向量的求法 和使用。向 带， 希望能够凭借本文弓 Ｉ 起广大学 者的广泛关 注。 量方法解决立体 『 ｌ 舸问题 主要有三类题型 ： 题型一 ， 利用向量 证明平 行与垂 直。要证 明线面 平行 ， 只需证 明线 （ 作者单位： 贵州省遵义 市第一 高级 中学 ５ ６ ３ ０ ０ ０） 的方 向向量与面的法向量垂直 ； 要证 明线面垂 直 ， 只需证 明线 的方向 向

指导教师意见：
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二、拟采用的技术线路、研究方法及步骤： 本论文主要是通过实际调查与理论研究，收集整理各种材料和研究成果，以理论和实际相结 合的方式对论题进行研究。 主要步骤： 1、通过调查报告及走访相关问题进行调查。 2、查阅相关内容，归纳整理长期以来的所思所想。 3、写好提纲。 4、丰富提纲内容，把内容加以完善。 5、初步形成论文并交指导老师。 6、翻译相关内容。 7、按毕业论文要求写好内容。
向量进入中学数学教材是近几十年来国内外数学改革的一个主要特征向量引入立体几何是数学课程改革的重点之一它是一个具有几何和代数双重身份的概念具有特别广泛的教育价值
合肥师范学院本科毕业论文（设计）开题报告
学号 题目 1407210018 姓名 张赛 指导教师 许和乾
向量在几何教学中的作用研究
一、课题内容： （研究现状、目标、意义等，空白不足可增加页面） 总综述：向量是中学数学领域的一个重要内容，向量氛围平面向量浩然空间向量。运 用向量解题是中学数学解题教学的一个难点。 平面向量是高中新教材的重要内容， 它 既反映了显示世界的数量关系， 有体现了几何图形的一个位置关系， 从而将数和形有 机地结合起来；向量知识融数、形于一体，未我们解数学问题提供了更为广阔的思维 空间，某些数学问题通过联想，转化为向量问题，往往能获得更快捷，清晰，简单的 解答。我们不能仅仅局限于教会学生熟悉向量的概念、性质及运算，更应该重视向量 的多面性和灵活性。 本文首先对向量的有关知识进行系统的归纳整理， 然后着重探讨 向量法在代数、三角、平面几何、平面解析几何和立体几何解题中的应用。 （一）主要的研究内容： 选题研究的方法： （1）利用大学课本相关的专业知识体系来定义向量在中学几何中应用； （2）利用相关的例题解的出向量在中学几何中应用的作用与研究意义； 主要内容： （1）向量在代数中的简单应用； （2）向量在三角形中的简单应用； （3）向量在解析几何应用的影响； （二）研究意义： 解决数学问题时，某些数学问题通过联想，转化为向量问题，往往能获得更快捷，清 晰，简单的解答。向量是一种有效的工具，在众多数学问题中有十分广泛的应用。因 此，我们该有意识地运用向量分析问题，借助向量的知识来解决问题。 （三）研究现状： 向量进入中学数学教材， 是近几十年来国内外数学改革的一个主要特征， 向量引入立 体几何是数学课程改革的重点之一， 它是一个具有几何和代数双重身份的概念， 具有 特别广泛的教育价值。它来解决部分立体几何问题，可以大大的降低难度，激发学生 的学习兴趣，有利于学生在学习中获得成功的体验。 内容： （1） “利用向量解决直线与直线、直线与平面、平面与平面”的位置关系问题 （2）利用“向量解决空间距离”问题 （3）利用向量解决“空间角”问题

浅谈空间向量在立体几何中的应用引言：在高中数学中，向量既有代数的抽象也有几何的直观，其中的“数”与“行”完美结合的特点使得我们可以运用向量解决立体几何中某些复杂的问题。

正因为有向量的知識，解决立体几何一类的问题的时候就可以弥补部分同学在空间想象能力不足的缺陷，这在一定程度上降低了立体几何的做题难度。

一、向量在立体几何中的作用空间向量是高中数学教材中后来添加的新内容，它的功效就在于能够取代之前在传统教材中的地位，从目前的效果可以看出，它的作用是多方面的，主要涉及到垂直问题，角度问题，以及法向量之间的计算应用问题等。

1.空间向量的作用（1）证明垂直，面对线面垂直以及面面垂直的问题的时候，在算出法向量的基础上，通过证明直线平行于法向量即可得出结论；还有想要证明面面垂直的结论，证明出两平面的法向量是垂直的，即可得出最终的结论。

（2）计算角度，求二面角的精髓就在于转换两个法向量之间的角度来计算；立体几何中的平行问题是通过向量的基本定理进行验证的。

2.平面法向量（1）法向量，指的是与已知平面垂直的向量值，这个是可以根据坐标位置的确定有多个的，就我们使用的经验来讲一般是选择最为方便的那个来操作的。

（2）法向量的计算，根据一般情况建立适当的平面直角坐标轴，假设所知平面的法向量为m（a，b，c），在所在平面内找到两个相交的直线S，T，同时运用法向量来定义他们。

因为法向量垂直于所在平面，所以必定也垂直S，T，利用垂直向量点乘为零列出方程组。

由于有三个未知数a，b，c，通常是假设其中一个是较特殊的值，再求出另外两个的值。

二、向量在立体几何中的实际运用空间向量作为新鲜血液，解决几何问题时更具优势，解题者思维能清晰明了。

这样的方法不仅节省时间还能够简单地解决问题。

1.立体几何的证明和计算问题主要分成二大板块：位置问题和度量问题。

位置问题就是线线，线面之间的关系等；度量关系就是线线之间，线面之间的角度问题。

（1）证明问题1）假设在一个空间里有任意的一点O点，以及和O点不共线的E，F，G三点，假如：（其中x+y+z=1），则四点M，E，F，G共面。