高中数学(人教A版)教材《双曲线》导学课件1

l
什么？
如图，双曲线的焦距为2( > 0)，焦点1 ，2 的坐标分
别是(0， − )，(0, )，，的意义同上，这时双曲线的
2
方程是 2

2
− 2

的标准方程.
= 1( > 0， > 0)，这个方程也是双曲线
新知探索
辨析1.判断正误.
2
(1)在双曲线标准方程 2

2
(2)方程
l
动点满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
新知探索
我们发现，在|| < |1 2 | < || + ||的条件下，点在线段外运动时，
l
当点靠近定点1 时，|2 | − |1 | = ||；当点靠近定点2 时，|1 | −
|2 | = ||.总之，点与两个定点1 ，2 距离的差的绝对值||是一个常数
）.
D.−1 < < 2或 > 2
练习
方法技巧：
2
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为

< 0时，方程表示双曲线.
> 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线；
< 0，
< 0，
若
则方程表示焦点在轴上的双曲线.
> 0，
2
+

= 1，则当
练习
2
变2.若曲线
运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
练习
2
变1.已知双曲线：
9
2
−
16
= 1的左、右焦点分别为1 ，2 ，为双曲线的右支上一
点，且|2 | = |1 2 |，则∆1 2 的面积等于__________.

（1）范围
“形”的角度：观察双曲线
x2
a2
y2
b2
1(a 0, b 0).
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
的范围是 ∈ .
（1）范围
“数”的角度：x2ຫໍສະໝຸດ a2y2b2
x2
a2
x2
a2
1
x
y2
1 2
b
a或x
1,
a.
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
0)
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
图形
焦点
F1 ( c, 0), F2 (c, 0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
0)
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
范围
x
a, x
渐近线
0, b
a, y R
x2
b2
y
1( a
a, y
0, b
a, x R
关于对称轴和坐标原点对称
的范围是 ∈ .
（2）对称性
y
x2 y 2
2 1
2
a
b
“形”的角度：
双曲线既关于坐标轴对称，
又关于原点对称．
o
x
（2）对称性
x2 y 2
2 1
2
a
b
y
（ x, y）
“数”的角度：
( x) 2 ( y ) 2
2 1

2 =5
2

则有 25 4
,解得 2
,双曲线的标准方程为 5 －y2＝1.
− 2 = 1
=1
2
法二∵焦点在x轴上，c＝
25
2
y2
6，∴设所求双曲线方程为 λ －6−λ＝1(其中0<λ<6)．
4
∴ λ －6−λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
2
∴所求双曲线的标准方程是 5 －y2＝1.
P到焦点F2的距离．
【错解一】
a=4，由|PF1|－|PF2|＝8，即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.
【错解二】
a=4，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，
所以|PF2|＝1或17.
【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解
将P、Q两点坐标代入可得
y2
225
9
−
=1
162
2
25
256
−
=1
2
92
2
2 =9

,解得 2
,
= 16
y2
2
（三）典型例题
1.求双曲线的标准方程
例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程．
15
16
(1)经过点P(3， 4 )，Q(－ 3 ，5)．
2 y2
法二：设双曲线方程为 ＋ ＝1(mn<0)．
焦点
两个定点叫做双曲线的焦点
焦距
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
集合
语言
P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}

94
1.
a 3 ，b 2， c 9 4 5 . 4
2
4
2
∴ 离心率 e 5 . 3
《双曲线》教学分析人教版1-精品课 件ppt( 实用版)
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变式1
求以椭圆
x2 13
y2 3
1的焦点为焦点，以直线
y
1 2
x为
渐近线的双曲线方程。
所求双曲线的渐近线为 x y 0 21
4 （2）焦点在 y 轴，焦距是 16， e 4 ;
3 （3）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点；
85
（4）一个焦点是 F1（-6，0）的等轴双曲线.
解：(1) 2a 8, c 5 , a4
a 4, c 5, b2 c2 a2 9. 故所求标准方程为：x2 y2 1.
例3 求与双曲线
x2 y2 1 共渐近线且过点 (2
16 9
3， 3)
的双曲线方程及离心率．
解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为 x2 y2 0
16 9
∵ 点 (2 3， 3)在双曲线上，
12 9 1
16 9 4 故所求双曲线方程为：x2 y2
16 9
1 4
即
y2 x2
2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）
思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等
双曲线是否具有类似的性质呢?
图象
方程 性质
A1 F1
y B1
O
B2
M
A2
F2 x
范围
| x | a，| y | b
B1 A1 A2
B2

所以 2 mm 1 0 ，解得 m 2 或 m 1， 即实数 m 的取值范围是,2 1, .
总结一下
1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程
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2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程
如图，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是
F1(0, c) ， F2 (0,c) ，a，b 的意义同上，这时
双曲线的方程是
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
，这个
方程也是双曲线的标准方程.
y
M
F2
x O
F1
双曲线标准方程
图形
y M x
F1 O F2
y M F2
3.2.1 双曲线及其标准方程
人教A版（2019）选择性必修一
学习目标
01 经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程 02 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程
03 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想
学习重点
双曲线的定义、标准方程
学习难点
双曲线标准方程的推导
新课导入
我们知道，平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P {M || MF1 | | MF2 || 2a ， 0 2a | F1F2 |} .
因为 | MF1 | (x c)2 y2 ，| MF2 | (x c)2 y2 ， 所以 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a .①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) ，
x2 b2
1a

结论 2
平面内的动点 M 与平面
F1，F2 为双曲线的
内的两个定点 F1，F2 M 点的轨迹 焦点；
||MF1|－|MF2||＝2a
为双曲线 |F1F2|为双曲线的源自2a＜|F1F2|焦距
[提醒] (1)当 2a＝|F1F2|时，P 点的轨迹是两条射线； (2)当 2a＞|F1F2|时，P 点不存在．
6．焦点三角形的面积：P 为双曲线上的点，F1，F2 为双曲线
的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2 的面积为
b2 θ.
tan2
[提速度] 1．经过点 A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为
________．
解析：设双曲线的方程为 x2－y2＝λ，把点 A(5，－3)代入，得 λ＝16，故所求方程为1x62－1y62 ＝1.
a，b，c 的关系
c2＝a2＋b2 (c＞a＞0，c＞b＞0)
[提醒] (1)在双曲线的标准方程中，看 x2 项与 y2 项的系数的 正负，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2 项的系数为正， 则焦点在 y 轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”；
(2)e 是表示双曲线开口大小的一个量，e 越大开口越大．
重点二 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
图形
标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
范围 x≥a 或 x≤－a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴．对称中心：原点
2.2 双曲线
[备考领航]
课程标准解读
关联考点

2．双曲线1x02 －y22＝1 的焦距为(
A．3 2
B．4 2
) C．3 3
D．4 3
D [c2＝10＋2＝12，所以 c＝2 3，从而焦距为 4 3.]
3．平面内有两个定点 F1(－5,0)和 F2(5,0)，动点 P 满足|PF1|－|PF2|
＝6，则动点 P 的轨迹方程是( )
A．1x62 －y92＝1(x≤－4) B．x92－1y62 ＝1(x≤－3)
[跟进训练] 1．根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)以椭圆x82＋y52＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点； (2)焦距为 2 6，经过点(－5,2)，且焦点在 x 轴上； (3)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点 A(－5,6)．
[解] (1)依题意，得双曲线的焦点在 x 轴上，且 a＝ 3，c＝2 2， 所以 b2＝c2－a2＝5.
(2)结合焦点三角形中余弦定理和双曲线的定义，以及三角形面 积公式解题．
(1)D [在△ABC 中，sin A＝|B2RC|，sin B＝|A2RC|，sin C＝|A2RB|＝21R0
(其中 R 为△ABC 外接圆的半径)．
|BC|－|AC|
∴sin
A－sin sin C
B＝
2R 10
＝|BC|－ 10|AC|.
(2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20.
①
∵双曲线经过点(3 2，2)，∴1a82－b42＝1.
②
由①②得 a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3 2，2)，∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， 解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.

确位置.
例5 已知点A(－5，0),B(5，0),直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ,求点M的轨迹方程.
例1 若方程
表示的曲线是双曲线，求k的取值范围.
(2)若a＝0，即|MF1|－|MF2|＝0，则点M的轨迹是什么？
靠近点F2的一支单曲线.
当AB＜0时，表示双曲线.
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
2,3)的双曲
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
线的标准方程. 这是双曲线的一个重要应用.
以F1，F2为端点的两条射线 当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线； 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线； 当A＞0，B＞0，A≠B时，表示椭圆； 中，参数a，b，c的几何意义如何？ 在什么条件下，方程Ax2－By2＝1表示双曲线？ 在求轨迹方程时，若动点具有椭圆或双曲线的几何特征，一般先指出轨迹图形，再求出相关数据，然后写出轨迹方程，但要注意变量的范围，并在结论中注明.
双曲线
的焦点坐标是什么？
当A、B变化时，方程Ax2＋By2＝1可以表示哪些类型的曲线？
中，参数a，b，c的几何意义如何？
答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准
确位置.
当A＝0，B＞0，或A＞0，B＝0时，表示两条平行直线；
因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近B处的双曲线一支上.
例1 若方程
表示的曲线是双曲线，求k的取值范围.
2
在求轨迹方程时，若动点具有椭圆或双曲线的几何特征，一般先指出轨迹图形，再求出相关数据，然后写出轨迹方程，但要注意变量的范围，并在结论中注明.

2.数学思想：类比思想和数形结合思想.
(1)双曲线和椭圆的类比； (2)焦点不同位置的两类双曲线的类比。
人教A版（2019）高中数学《双曲线》 导学课 件1（ 公开课 课件）
人教A版（2019）高中数学《双曲线》 导学课 件1（ 公开课 课件）
知识 再现
类比 研究
探究 论证
图形
y
B2
F1 A1O
A2 F2
人教A版（2019）高中数学《双曲线》 导学课 件1（ 公开课 课件）
知识 再现
类比 研究
探究 论证
例题 解析
巩固 练习
课堂 小结
1.双曲线的几何性质（范围，对称性，顶点，离心率，渐近线）
(1)由双曲线的标准方程得出双曲线的几何性质；
(2)由几何性质求双曲线的标准方程，要注意先确定焦点所在的 位置。
B1
例题 解析
x
巩固 练习
y
课堂 小结
F2
A2B2O A1源自B1xF1
方程
顶点 范围
x2 a2
y2 b2
1a＞0，b＞0
A1 a,0, A2a,0
x a或x a, y R
y2 a2
x2 b2
1a＞0，b＞0
A10,a, A20, a
y a或y a, x R
对称性 离心率
关于x 轴、 y轴、原点对称
e c 0＜e＜1
a
巩固 练习
课堂 小结
双曲线
x2 a2
y2 b2
1 a
0,b
0
y
F1 A1 O A2 F2 x
知识 再现
曲线 性质
标准方程
图形
范围 对称性
顶点 离心率

y
A
6．通径
∙F
1
O
F2 x
B
通径 =



+

例3 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐
标、离心率、渐近线方程.
双曲线标准方程
焦点位置


−


= （ > ， > ）


−
焦点在x轴上


= （ > ， > ）
双曲线的实轴： = ；
双曲线的虚轴： = ；
双曲线的焦距： = .
A2
O
为实半轴长；
为虚半轴长；
为半焦距.
x
y=-b

− =



( > , > )
4．渐近线
x2 y 2
活动：利用信息技术画出双曲线 1 和两条直
9
4
x y
对称中心叫做双曲线的中心.
y
3．顶点
B2
y=b
观察双曲线，你觉得有哪些比较特殊的点？
F1
双曲线与x轴的交点： 令 = 0， = ±
F2
A1
双曲线与y轴的交点：令 = 0， 得 2 = − 2 ，
方程无实数根，则双曲线与y轴无交点.
B1
双曲线的两个顶点坐标为 (−, )， (, )
行线 = ± ，四条直线围成一个矩形 (如图)．
y
B
2


b
两条直线： = ± ( ± = )


F1
a F2
A2 x
A1 O


叫做双曲线 − = ( > , > )的渐近线.