辽宁沈阳东北育才双语学校2018-2019学年度第一学期初三分流数学二模(育才本部)试卷(扫描版 无答案)

2021-2022学年辽宁省沈阳市沈北新区东北育才双语学校九年级分流考第二次数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 下列数：0．3，227，0，π2，0.1010010001…，−1.414中，有理数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 下列图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A. B.C.D.3. 国家主席习近平提出“金山银山，不如绿水青山”，国家环保部大力治理环境污染，空气质量明显好转，将惠及13.75亿中国人，这个数字用科学记数法表示为( )A. 13.75×106B. 13.75×105C. 1.375×108D. 1.375×1094. 若二次函数y =ax 2−2ax +c 的图象经过点A(0,−1)，B(−2,y 1)，C(3,y 2)，D(√2,y 3)，且与x 轴没有交点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 3>y 2>y 1B. y 1>y 3>y 2C. y 2>y 1>y 3D. y 1>y 2>y 35. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是( )A. 12πcm 2B. 15πcm 2C. 24πcm 2D. 30πcm 26. 如图，点P(3,4)，⊙P 半径为2，A(2.5,0)，B(5,0)，点M 是⊙P上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最大值是( )A. 32 B. 52 C. 72 D. 927.如图，在菱形ABCD中，已知AB=6，∠ABC=60°，∠EAF=60°，点E在CB的延长线上，∠BAE=15°，点F在DC的延长线上，则点F到BC的距离为()A. 2√3−2B. 3−√3C. 3−√32D. 92−3√328.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，CD⊥AB于点D.点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是()A. B.C. D.9.如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AE=3，⊙O的直径为15，则AC长为()A. 10B. 13C. 12D. 1110.如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=3EM；⑤AM=32MF；⑥tan∠AFD=43.其中正确结论的是()A. ①③④B. ②④⑤C. ①③④⑤D. ①③⑤⑥二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11. 计算：√27+(13)−2−3tan60°+(π−√2)0=______． 12. 为使√2x−31−2x有意义，x 的取值范围是______．13. 在一个口袋中装有五个分别标有数字−2，−1，0，1，2的小球，它们除数字不同外，其余完全相同，搅匀后从中随机摸出一个小球，把该小球上的数字作为a 的值，恰好使得一次函数y =(a +1)x 的图象经过一、三象限，且使得关于x 的方程x 2+2x +a =0有实数解的概率为______ ．14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形AOBC 和正方形DEFO 的顶点B ，D 在x 轴上，顶点A ，F 在y 轴上，反比例函数y =kx (x >0)的图象经过点C ，若△ABE 的面积为8，则k 的值为______．15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =14(x −3)2−1的顶点为A ，直线l 过点P(0,m)且平行于x 轴，与抛物线交于点B 和点C.若AB =AC ，∠BAC =90°，则m =______．16. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =4√2，点E是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A′EF ，连接A′C ，A′D 则当△A′DC 是以A′D 为腰的等腰三角形时，FD 的长是______．17. 如图，函数y ={−x(x −4)(0≤x <2)−2x +8(2≤x <4)的图象记为C 1，它与x 轴交于点O 和点A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3…如此进行下去，若点P(103,m)在图象上，那么m 的值是______．18.如图，二次函数y=415x2−815x−4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则35PC+PD的最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.先化简，后求值：(xx−2−4x2−2x)÷x+2x2−x，其中x满足x2−x−2=0．四、解答题（本大题共7小题，共60.0分）20.如图，点B是∠MAN的边AM上的定点，点C是边AN上的动点，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，且点A的对应点D恰好落在边AN上，连结CE.当BC=AC时．(1)求证：四边形ABEC是平行四边形；(2)若AB=15，AD=18，求AC的长．21.“新冠肺炎”疫情初期，一家药店购进A，B两种型号防护口罩共8万个，其中B型口罩数量不超过A型口罩数量的1.5倍，第一周就销售A型口罩0.4万个，B型口罩0.5万个，第三周的销量占30%．(1)购进A型口罩至少多少万个？(2)从销售记录看，第二周两种口罩销售增长率相同，第三周A型口罩销售增长率不变，B型口罩销售增长率是第二周的2倍.求第二周销售的增长率．(3)为满足顾客需求，这家药店准备用6000元再购进一批C，D两种型号口罩，进价分别为2元/个，6元/个，售价分别为3元/个，8元/个.由销售经验，C型不少于D型数量的2倍，不超过D型数量的3倍.为使利润最大，药店应如何进货？并求出最大利润．22.为了提高大家的卫生意识，某校举行了卫生健康知识竞赛，现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，共分成四组：A：60≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100)，下面给出部分信息：八年级学生的竞赛成绩在C组中的数据为：83，84，89．九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，76，100，81，100，82，86，95，90，100，86，84，93，87．八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数方差八87a9899.6九8786b84.6(1)直接写出上述表中a，b的值；(2)该校八、九年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人？(3)如果想从八年级B组的五名同学(分别记为a，b，c，d，e)中随机抽取两位进行现场采访，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中b和e的概率．23.如图，已知△ABC，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，连接OE．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)若BC=8√5，tanC=1，求OE的长．224.如图1，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A在x轴上，顶点C在正比例函数y=√3x上，顶点B的坐标为(m,n)，且m、n满足√m−4=−(n−√3)2．(1)求点B、C的坐标；(2)在y轴上存在一点D，使得以O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，求D点的坐标；(3)如图2，∠AOC的角平分线与BC相交于点E，在OE上有一点F，连接CF，动点P从点C出发，以1个单位每秒的速度匀速运动到点F，再以2个单位每秒的速度匀速运动到点O，且到点O之后停止运动，求点P走完全程所需的最少时间，及此时EF的长．25.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=17，BD=30，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE，点F是直线BD上一动点(点F不与点B重合)，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．(1)如图2，当点F在线段BO上，且M、F、C三点在同一条直线上时，求证：AF平分∠MFD．(2)若△AFM的一边与直线BD垂直时，则△AFM的周长为______．(3)连接EM，若△AEM的面积为84，请求出AF的长．26.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2−2x+c与x轴交于点A(1,0)，点B(−3,0)，与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当S1S2=23时，求点P的坐标；(3)已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB=∠NBC时，①求满足条件的所有点H的坐标；②当点H在线段AB上时，平面内点M，且HM=1，直接写出12AM+CM的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：0．3是有理数，227是有理数，0是有理数，π2是无理数，0.1010010001…是无理数，−1.414是有理数． 所以有理数有4个， 故选：D ．直接利用无理数、有理数的定义分别分析得出答案． 此题主要考查了实数，正确掌握相关定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C ．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3.【答案】D【解析】解：13.75亿这个数字用科学记数法表示为1.375×109． 故选：D ．根据科学记数法的表示形式解答． 此题考查科学记数法的表示方法．4.【答案】A【解析】解：∵二次函数y=ax2−2ax+c的图象经过点A(0,−1)，∴c=−1．∴y=ax2−2ax−1．∴该抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a=1．∵该抛物线与x轴没有交点，∴Δ=4a2+4a<0，解得：−1<a<0．∴抛物线y=ax2−2ax−1开口方向向下．∵该抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x>1时，y随x的增大而减小．由于x=−2与x=4时的函数值相同，∵4>3>√2，∴y3>y2>y1．故选：A．利用待定系数法求得c值，利用二次函数的性质求得抛物线的对称轴，利用抛物线与x轴没有交点可以求得a的取值范围，利用二次函数值的增减性即可得出结论．本题主要考查了待定系数法，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性点的x=−2与x=4时的函数值相同，再利用二次函数值的增减性解答是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：由三视图可知，原几何体为圆锥，∵l=√(62)2+42=5(cm)，∴S侧=12⋅2πr⋅l=12×2π×62×5=15π(cm2).故选：B．由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥，根据图中给定数据求出母线l的长度，再套用侧面积公式即可得出结论．本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算以及勾股定理，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：如图，作射线OP，交⊙P于M1、M2，连接OM，由勾股定理得：OP=√32+42=5，∵OA=AB，CM=CB，∴AC=12OM，∴当OM最大时，AC最大，∴当M运动到M2时，OM最大，此时AC的最大值=12OM2=12(OP+PM2)=12×(5+2)=72，故选：C．作射线OP，交⊙P于M1、M2，连接OM，因为OA=AB，CM=CB，所以AC=12OM，所以当OM最大时，AC最大，M运动到M2时，OM最大，由此即可解决问题．本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型．7.【答案】D【解析】解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，{∠BAE=∠CAF BA=AC∠B=∠ACF，∴△BAE≌△CAF(ASA)，∴BE=CF，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=6，∴BG=12AB=3，AG=√3BG=3√3，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=3√3∴EB=EG−BG=3√3−3，∴CF=3√3−3，在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°−∠BCD=60°，CF=3√3−3，∴FH=CF⋅sin60°=(3√3−3)⋅√32=92−3√32．∴点F到BC的距离为92−3√32，故选：D．过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据全等三角形的性质得到BE=CF，根据直角三角形的性质得到BG=12AB=3，AG=√3BG=3√3，根据等腰直角三角形的性质得到AG=GE=3√3解直角三角形即可得到结论．本题考查菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．8.【答案】A【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，∴AB=4，∠A=45°，∵CD⊥AB于点D，∴AD=BD=2，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形CEPF是矩形，∴CE=PF，PE=CF，∵点P运动的路程为x，∴AP=x，则AE=PE=x⋅sin45°=√22x，∴CE=AC−AE=2√2−√22x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0<x<2时，y=PE⋅CE=√22x(2√2−√22x)=−12x2+2x=−12(x−2)2+2，∴当0<x<2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x<4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE=PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD=2，PD=x−2，∴CP=4−x，y=12(4−x)2=12(x−4)2．∴当2≤x<4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．故选：A．根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2，可得AB=4，根据CD⊥AB于点D.可得AD=BD=2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．9.【答案】C【解析】解：连接OF，∵DE⊥AB，AB过圆心O，∴DE =EF ，AD⏜=AF ⏜， ∵D 为弧AC 的中点，∴AD⏜=DC ⏜， ∴AC⏜=DAF ⏜， ∴AC =DF ，∵⊙O 的直径为15，∴OF =OA =152，∵AE =3，∴OE =OA −AE =92，在Rt △OEF 中，由勾股定理得：EF =√OF 2−OE 2=√(152)2−(92)2=6， ∴DE =EF =6，∴AC =DF =DE +EF =6+6=12，故选：C ．根据垂径定理求出DE =EF ，AD⏜=AF ⏜，求出AC ⏜=DF ⏜，求出AC =DF ，求出EF 的长，再求出DF 长，即可求出答案．本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解此题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目．10.【答案】D【解析】解：在正方形ABCD 中，AB =BC =AD ，∠ABC =∠BAD =90°，∵E 、F 分别为边AB ，BC 的中点，∴AE =BF =12BC ， 在△ABF 和△DAE 中，{AE =BF ∠ABC =∠BAD AB =AD，∴△ABF≌△DAE(SAS)，∴∠BAF =∠ADE ，∵∠BAF +∠DAF =∠BAD =90°，∴∠ADE +∠DAF =∠BAD =90°，∴∠AMD =180°−(∠ADE +∠DAF)=180°−90°=90°，∴∠AME=180°−∠AMD=180°−90°=90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；∵∠BAD=90°，AM⊥DE，∴△AED∽△MAD∽△MEA，∴AMEM =MDAM=ADAE=2，∴AM=2EM，MD=2AM，∴MD=2AM=4EM，故④错误；设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，在Rt△ABF中，AF=√AB2+BF2=√5a，∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，∴△AME∽△ABF，∴AMAB =AEAF，∴AM2a =√5a，解得AM=2√55a，∴MF=AF−AM=√5a−2√55a=3√55a，∴AM=23MF，故⑤正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则MNBF =ANAB=AMAF，∴MNa =AN2a=2√55aa，解得MN=25a，AN=45a，∴NB=AB−AN=2a−45a=65a，根据勾股定理，BM=√BN2+MN2=2√105a，过点M作GH//AB，过点O作OK⊥GH于K，则OK=a−25a=35a，MK=65a−a=15a，在Rt△MKO中，MO=√MK2+OK2=√105a，根据正方形的性质，BO=2a×√22=√2a，∵BM2+MO2=(2√105a)2+(√105a)2=2a2，BO2=(√2a)2=2a2，∴BM2+MO2=BO2，∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；∵AM=2√55a，∴MD=2AM4√55a，∴MF=3√55a，∵∠AME=∠FMD=90°，∴tan∠AFD=MDMF =43，故⑥正确；综上所述，正确的结论有①③⑤⑥共4个．故选：D．根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得AMEM=MD AM =ADAE=2，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=23MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH//AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确；根据MD=2AM4√55a，MF=3√55a，∠AME=∠FMD=90°，利用锐角三角函数即可求出tan∠AFD=43.进而判断⑥正确．本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．11.【答案】10【解析】解：原式=3√3+9−3√3+1=10．故答案为：10．直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12.【答案】x ≥32且x ≠12【解析】解：由题意可知：{2x −3≥01−2x ≠0， 解得：x ≥32且x ≠12，故答案是：x ≥32且x ≠12．根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出x 的范围．本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属于基础题型． 13.【答案】25【解析】解：∵在一个口袋中装有五个分别标有数字−2，−1，0，1，2的小球，它们除数字不同外，其余完全相同，∴共有5种等可能的结果，∵恰好使得一次函数y =(a +1)x 的图象经过一、三象限的有0，1，2；使得关于x 的方程x 2+2x +a =0有实数解的有−2，−1，0，1，∴恰好使得一次函数y =(a +1)x 的图象经过一、三象限，且使得关于x 的方程x 2+2x +a =0有实数解的有0，1，∴恰好使得一次函数y =(a +1)x 的图象经过一、三象限，且使得关于x 的方程x 2+2x +a =0有实数解的概率为：25．故答案为：25．由恰好使得一次函数y=(a+1)x的图象经过一、三象限的有0，1，2；使得关于x的方程x2+2x+a=0有实数解的有−2，−1，0，1，可得恰好使得一次函数y=(a+1)x的图象经过一、三象限，且使得关于x的方程x2+2x+a=0有实数解的有0，1，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了概率公式的应用以及一次函数的性质、一元二次方程根的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】16【解析】解：∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C，∴正方形ABOC的边长为√k，设正方形DOFE的边长为b，∵S梯形AEDO +S正方形AOBC=S△BED+S△ABE+S△ACB，∴12(b+√k)⋅b+k=12b(√k+b)+8+12k，化简得k=16，故答案为：16．根据反比例函数系数k的几何意义可得正方形ABOC的边长为√k，设正方形DOFE的边长为b，利用面积法得到12(b+√k)⋅b+k=12b(√k+b)+8+12k，进而可求得．本题考查了反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，根据面积法得到12(b+√k)⋅b+k=12b(√k+b)+8+12k是解决问题的关键．15.【答案】3【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数和方程的关系，等腰直角三角形的性质，根据根与系数的关系列出关于m的方程是解题的关键．作AD⊥BC于D，易证得BC=2AD=2(m+1)，设B(x1,m)，C(x2,m)，解方程14(x−3)2−1=m，根据根与系数的关系得出x1+x2=6，x1⋅x2=5−4m，即可得出(x1−x2)2+4x1x2= 36，即(2+2m)2+4(5−4m)=36，解关于m的方程求得即可．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AD=CD=BD，∴BC=2AD，(x−3)2−1的顶点为A，∵抛物线y=14∴A(3,−1)，∵点P(0,m)，∴AD=1+m，∴BC=2+2m，设B(x1,m)，C(x2,m)，x1>x2，∴x1−x2=2+2m，1(x−3)2−1=m整理得：x2−6x+5−4m=0，4∴x1+x2=6，x1⋅x2=5−4m，∴(x1−x2)2+4x1x2=36，∴(2+2m)2+4(5−4m)=36，解得m=3和m=−1(舍去)，故答案为3．16.【答案】4√2−2或3√2【解析】解：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4√2，四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=4√2，∠A=90°，∴DE=√AE2+AD2=6，∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，∴A′E=AE=2，∵A′D=DC=AB=4，∴DE=A′E+A′D=6，∴点E，A′，D三点共线，∵∠A=90°，∴∠FA′E=∠FA′D=90°，设AF=x，则A′F=x，FD=4√2−x，在Rt△FA′D中，42+x2=(4√2−x)2，解得：x=√2，∴FD=3√2；②当A′D=A′C时，如图2，∵A′D=A′C，∴点A′在线段CD的垂直平分线上，∴点A′在线段AB的垂直平分线上，∵点E是AB的中点，∴EA′是AB的垂直平分线，∴∠AEA′=90°，∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，∴四边形AEA′F是正方形，∴AF=AE=2，∴DF=4√2−2，故答案为：4√2−2或3√2．存在两种情况：当A′D=DC，连接ED，勾股定理求得ED的长，可判断E，A′，D三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当A′D=A′C，证明AEA′F是正方形，于是得到结论．本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．17.【答案】−3【解析】解：∵103=25×4+3，∴点P(103,m)在图象C26上，∴图象C26中的抛物线部分的解析式为y=(x−100)(x−104)(102≤x≤104)，当x=103时，m=3×(−1)=−3．故答案为：−3．利用103=25×4+3可判断点P(103,m)在图象C26上，利用抛物线的平移和交点式写出图象C26中的抛物线部分的解析式为y=(x−100)(x−104)(102≤x≤104)，然后计算自变量为103时对应的函数值即可得到m的值．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．18.【答案】165【解析】【试题解析】解：连接ACy=415x2−815x−4与x轴交点A(−3,0)、B(5,0)，点C(0,−4)，对称轴x=1，∴sin∠ACO=35，作点D关于y轴的对称点D′，作点A关于y轴的对称点A′，过点D′作D′E⊥CA′于点E，则D′E 为所求；由对称性可知，∠ACO=∠OCA′，∴sin∠OCA′=35，∴35PC=PE，再由D′P=DP，∴35PC+PD的最小值为D′E，∵A′(3,0)，D′(−1,0)，∴A′D′=4，CO=4，A′O=3，∴CA′=5，∴cos∠ED′A′=cos∠OCA′=D′E=4∴D′E=165；故答案为165；连接AC，作点D关于y轴的对称点D′，作点A关于y轴的对称点A′，过点D′作D′E⊥CA′于点E，则D′E为所求；由对称性可知A′(3,0)，D′(−1,0)，CO=4，A′O=3，CA′=5，由∠ED′A′的余弦值可得45=D′E4，即可求出D′E=165；本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，轴对称−最短路径问题，解直角三角形．19.【答案】解：原式=x2−4x(x−2)⋅x(x−1)x+2=(x+2)(x−2)x(x−2)⋅x(x−1)x+2=x−1，解方程x2−x−2=0，得x1=−1，x2=2，当x=2时，原分式无意义，所以当x=−1时，原式=−1−1=−2．【解析】先把括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式=x+1，然后利用因式分解法解x2−x−2=0，再利用分式有意义的条件把满足题意的x的值代入计算即可．本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．注意分式有意义的条件．20.【答案】(1)证明：∵BC=BA，∴∠A=∠ABC，∴∠BCD=∠A+∠ABC=2∠A，∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE，∴∠BDA=∠A，∠BCE=∠BEC，∴∠A=∠BCE，∵∠BCD=∠BCE+∠ECD，∴∠ECD=∠A=∠BEC，∴AB//CE，AC//BE，∴四边形ABEC是平行四边形；(2)解：如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，∵BD=BA，BH⊥AD，AD=9，∴AH=12在Rt△ABH中，由勾股定理得：BH=√AB2−AH2=√152−92=12，设AC=BC=x，则CH=x−9，在Rt△HCB中，由勾股定理得：(x−9)2+122=x2，，解得：x=252．即AC的长为252【解析】(1)证出∠ECD=∠A=∠BEC，得到AB//CE，AC//BE，即可得出结论；(2)过点B作BH⊥AD，由勾股定理得AH=12，设AC=BC=x，则CH=x−9，在Rt△HCB中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．本题主要考查了平行四边形的判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线的判定等知识，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程是解题的关键．21.【答案】解：(1)设购进A 型口罩x 万个，则购进B 型口罩(8−x)万个，由题意得：8−x ≤1.5x ，解得x ≥3.2(万个)，故购进A 型口罩至少3.2万个；(2)设第二周销售的增长率为a ，由题意得：0.5(1+2a)(1+a)+0.4(1+a)2=8×30%，解得a =0.5=50%(负值已舍去)；(3)设C 、D 型口罩进货分别为x 个、y 个，设销售利润为w 元，由题意得：{2x +6y =60002y ≤x ≤3y ，解得{1200≤x ≤1500500≤y ≤600， w =(3−2)x +(8−6)y =x +2y ，则4y ≤w ≤5y ，当w =5y 时，利润最大，即x =3y ，则x =1500(个)，y =500(个)最大利润为5y =2500(元)．【解析】(1)设购进A 型口罩x 万个，则购进B 型口罩(8−x)万个，由题意得：8−x ≤1.5x ，解得x ≥3.2(万个)；(2)设第二周销售的增长率为a ，由题意得：0.5(1+2a)(1+a)+0.4(1+a)2=8×30%，即可求解；(3)由题意得：{2x +6y =60002y ≤x ≤3y ，解得{1200≤x ≤1500500≤y ≤600，而w =(3−2)x +(8−6)y =2x +2y ，即可求解．本题考查了二次函数和一次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．22.【答案】解：(1)由条形统计图和七年级学生的竞赛成绩在C 组中的数据为：83，84，89，可得a =84，∵八年级抽取的学生竞赛成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，95，90，100，86，84，93，87，∴八年级抽取的学生竞赛成绩按从小到大排列是：68，76，77，81，82，84，86，86，87，90，93，95，100，100，100，∴b=100；(2)600×6+615+15=240(人)，答：参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有240人；(3)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有20种等可能出现的结果，其中恰好选中b和e的有2种结果，所以恰好选中b和e的概率为220=110．【解析】(1)根据题意和题目中的数据，可以得到a、b的值；(2)根据统计图中的数据，可以计算出参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人；(3)画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．本题考查条形统计图的意义和制作方法，列表法或树状图求随机事件的概率，掌握两个统计图中的数量关系是解决问题的关键．23.【答案】(1)证明：如图，连接OD．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∵AB=AC，OB=OD，∴∠B=∠C，∠B=∠ODB，∴∠C=∠ODB．∴OD//AC．∴∠ODE=∠DEC=90°，∴直线DE是⊙O的切线；(2)如图，连接AD．∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴BD=CD=12BC=4√5．在Rt△ABD中，AD=BD⋅tanB=BD⋅tanC=2√5，根据勾股定理，得AB=√BD2+AD2=10．∴OD=12AB=5，AC=AB=10，∵S△ADC=12AC⋅DE=12DC⋅AD，∴12×10×DE=12×4√5×2√5．解得DE=4，在Rt△ODE中，根据勾股定理，得OE=√OD2+DE2=√41．【解析】(1)连接OD.根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODB.OD//AC.所以得∠ODE=∠DEC=90°，进而可得结论；(2)连接AD.根据直径所对圆周角是直角得∠ADB=90°，再根据解直角三角形和勾股定理即可求出OE的长．本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．24.【答案】解：(1)∵√m−4=−(n−√3)2，∴√m−4+(n−√3)2=0，∴m−4=0，n−√3=0，∴m=4，n=√3，∴B(4,√3)，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA//BC，B与C纵坐标相同，在y=√3x中令y=√3得x=1，∴C(1,√3)；(2)设y轴上D坐标为(0,t)，而C(1,√3)，O(0,0)，∴OD=|t|，CD=√(1−0)2+(√3−t)2=√1+(√3−t)2，OC=2，以O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，分以下三种情况：①OD=CD时，|t|=√1+(√3−t)2，解得t=2√3，3∴D(0,2√3)，3②OD=OC时，|t|=2，解得t=2或−2，∴D(0,2)或(0,−2)，③CD=OC时，√1+(√3−t)2=2，解得t=2√3或t=0(舍去)，∴D(0,2√3)，)或(0,2)或(0,−2)综上所述，以O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，D的坐标为：(0,2√33或(0,2√3)；(3)过C作CG⊥OA于G，交OE于F′，过F作FH⊥OA于H，如图：∵C(1,√3)，∴OG=1，CG=√3，∵CG⊥OA，∴OC=√OG2+CG2=2，OC，∴OG=12∴∠OCG=30°，∠COG=60°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=30°，∵FH⊥OA，∴FH=12OF，动点P从点C出发，以1个单位每秒的速度匀速运动到点F，再以2个单位每秒的速度匀速运动到点O，且到点O之后停止运动，设P运动的时间为y秒，则y=CF1+12OF，∴y=CF+FH，点P走完全程所需的最少时间即是y的最小值，也就是CF+FH的最小值，而CF+FH取最小值，C、F、H需共线，即F与F′重合，H与G重合，y的最小值即为CG的长度，∴点P走完全程所需的最少时间为√3，此时△ECF′中，∠CEO=∠AOE=∠COE=30°，∠ECF′=∠CGO=90°，∴CE=OC=2，设CF′=x，则EF′=2x，由勾股定理有x2+22=(2x)2，解得：x=2√33，∴EF′=4√33．【解析】(1)由√m−4=−(n−√3)2可得m、n的值，即得B坐标，B、C纵坐标相同，将B纵坐标的值代入y=√3x可得C的横坐标；(2)设y轴上D坐标为(0,t)，表示出OC、OD和CD，分类列方程即可解得t，从而求得D坐标；(3)过C作CG⊥OA于G，交OE于F′，过F作FH⊥OA于H，首先证明FH=12OF，点P走完全程所需的最少时间也就是CF+FH的最小值，即为CG的长度，再在△ECF′中求EF′的长度即可．本题考查一次函数的综合应用，解题的关键是将求点P走完全程所需的最少时间转化为求CF+FH的最小值．25.【答案】24或48【解析】解：(1)如图2，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，由已知AF=AM，∠MAF=60°，∴△AFM为等边三角形，∴∠M=∠AFM=60°，∵点M，F，C三点在同一条直线上，∴∠AFC=120°，∴∠AFD=60°，AF平分∠MFD；(2)∵AB=17，BD=30，∴BO=15，AO=8，当MF垂直BD时，∠MFD=90°，∠AFD=30°，∴AOAF =12，∴AF=2AO=16，△AFM的周长=16×3=48，当AF垂直BD时，F与O重合，∴AF=AO=8，△AFM的周长=8×3=24，当AM垂直BD时，M与O重合，∴AM=AO=8，△AFM的周长=8×3=24，故答案为24或48；(3)如图，连接EM，∵△ABE 是等边三角形，∴AE =AB ，∠EAB =60°，由(2)知△AFM 为等边三角形，∴AM =AF ，∠MAF =60°，∴∠EAM =∠BAF ，在△AEM 和△ABF 中，{AE =AB ∠EAM =∠BAF AM =AF，∴△AEM≌△ABF(SAS)，∵△AEM 的面积为84，△ABF 的高为AO∴12BF ⋅AO =84，BF =21，F 可能在B 左边或者右边，∴FO =BF ±BO =21±15=36或6，当FO =36时，AF =√AO 2+FO 2=√362+82=4√85，当FO =6时，AF =√AO 2+FO 2=√62+82=10，∴AF 的长为10或4√85．(1)由四边形ABCD 是菱形，求出△AFM 为等边三角形，∠M =∠AFM =60°，再根据M ，F ，C 三点共线得到∠AFD =60°，可证明；(2)分三种情况讨论结合勾股定理即可；(3)连接EM ，证明△AEM≌△ABF ，根据△AEM 的面积为84求出BF 的长度，再分类讨论即可得到答案．本题主要考查四边形的综合题，解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．26.【答案】解：(1)把点A(1,0)，点B(−3,0)代入抛物线y =ax 2−2x +c 中，得：{a −2+c =09a +6+c =0， 解得：{a =−1c =3， ∴抛物线的表达式为：y =−x 2−2x +3；(2)如图1，过P 作PG ⊥y 轴于G ，过E 作EH ⊥y 轴于H ，当x =0时，y =3，∴C(0,3)，设BC 的解析式为：y =kx +b ，则{−3k +b =0b =3，解得{ k =1b =3， ∴BC 的解析式为：y =x +3，∵△PCE 的面积为S 1，△OCE 的面积为S 2，且S 1S 2=23， ∴PE OE =23，∵EH//PG ，∴△OEH∽△OPG ，∴EH PG =OH OG =OE PO =35，∴设E(3m,3m +3)，则P(5m,−25m 2−10m +3)，∴3m+3−25m 2−10m+3=35， ∴25m 2+15m +2=0，(5m +2)(5m +1)=0，m 1=−25，m 2=−15，当m =−25时，5m =−2，则P(−2,3)，当m =−15时，5m =−1，则P(−1,4)，综上，点P 的坐标是(−2,3)或(−1,4)；(3)①由对称得：N(−2,3)，∵∠HCB =∠NBC ，。

2018—2019学年度上学期第二次阶段测试高二数学科（理科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1、命题“存在R ，0”的否定是0x ∈02x ≤A.不存在R,0 B.存在R,00x ∈02x >0x ∈02x ≥C.对任意的,0 D.对任意的,0R x ∈002x ≤R x ∈002x >2、若，，则下列命题成立的个数为 a b a ->>>00<<d c ①；②；③；④。

bc ad >0<+cbd a d b c a ->-)()(c d b c d a ->-A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3、已知等差数列的前项和为，若，则=（ ） }{n a n n S 1462=+a a 7S A ．13 B ．35 C ．49D ．634、在空间直角坐标系中点关于平面对称点的坐标是（ ） )6,5,1(P xoy Q A ．（1，﹣5，6） B ．（1，5，﹣6） C ．（﹣1，﹣5，6） D ．（﹣1，5，﹣6）5、已知左、右焦点分别为的双曲线上一点，且，21F F 、1366422=-y x P 171=PF 则（ ） A ．1或33B ．1C ．33D ．1或11=2PF 6、若，则的最小值为（ ） 1,0,0++=>>b a ab b a b a 2+A ．B ．C ．D ．7323+3-23313+7、椭圆的一个焦点是，那么实数的值为（ ） 2255x ky +=(0,2)k A.B.C.D.25-251-18、有如下3个命题；①双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值；)0,0(12222>>=-b a by a x P ②双曲线的离心率分别是，则是定值；)0,0(1122222222>>=-=-b a ay b x b y a x 与21e e 、22212221e e e e +③过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，)0(22>=p py x B A 、则直线过定点；其中正确的命题有（ ）ABA ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9、两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于 （ ） }{n a }{n b n ,327++=n n T S n n 157202b b a a ++ A.B. C. D. 4983714792414910、已知正方体，过顶点作平面，使得直线和与平面所1111D C B A ABCD -1A αAC 1BC α成的角都为，这样的平面可以有（ ） ︒50αA ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11、边长为的正方形，将沿对角线折起，使为正三角形，则直线1ABCD ABC ∆AC ABD ∆和平面所成的角的大小为（ ）BD ABC A ．B ．C ．D ．︒90︒60︒45︒3012、已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于F )0(1:2222>>=+b a by a x E l E 两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）Q P 、QF PF 2=︒=∠120PFQ E A ．B ．C ．D ．33213122二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13、等比数列中，前项和，则等于 ．}{n a n x S nn +=3x 14、直线经过抛物线的焦点，且抛物线交于两点，若，则直l x y 42=F B A 、FB AF 4=线的斜率为 ．l 15、在平行六面体中，已知，1111D C B A ABCD -︒=∠=∠=∠6011AD A AB A BAD5,3,41===AA AB AD 16、已知实数若满足，则的最小值是 ． y x 、20=+>>y x y x 且yx y x -++134三、解答题:本大题共6小题，共70分.17、(本小题满分10分)已知命题：方程的曲线是焦点在轴上的双曲线；p 11222=-+-m y m x y 命题：方程无实根．若或为真，￢为真，求实数的取q 01)2(442=+-+x m x p q q m值范围．18、(本小题满分12分)（1）已知，且， ），（、、∞+∈0c b a 1=++c b a 求证：； 8)11)(11)(11(≥---cb a （2）解关于的不等式：． x )0(222<-≥-a ax x ax19、(本小题满分12分) 设正项等比数列的首项，前项和为，． }{n a 211=a n n S 0)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求的通项； }{n a （Ⅱ）求的前项和． }{n n S n n T20、(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为，为坐标原点，)0(2:2>=p px y C )0,1(F O 是抛物线上异于的两点．（ I ）求抛物线的方程； B A 、C O C （Ⅱ）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点． OB OA 、21-AB21、(本小题满分12分)如图1，在直角中，，ABC ∆32,34,90==︒=∠AB AC ABC 分别为中点，连接并延长交于点，将沿折起，使E D 、BD AC 、AE BCF ABD ∆BD 平面如图2所示．（1）求证：； BCD ABD 平面平面⊥CD AE ⊥（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．AEF ADC22．(本小题满分12分)已知椭圆，倾斜角为的直线与椭圆相)0(1:2222>>=+b a by a x E ︒45交于两点，且线段的中点为．过椭圆内一点的两条直线分N M 、MN )31,1(-E 21,1(P 别与椭圆交于点，且满足，其中为实数．当直线D B C A 、和、PD BP PC AP λλ==,λ平行于轴时，对应的．（Ⅰ）求椭圆的方程； AP x 51=λE （Ⅱ）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．λAB k2018—2019学年度上学期第二次阶段测试高二数学科（理科）答案一、选择题1、D2、C3、C．4、B．5、C．6、D．7、D8、A9、D 10、C 11、C 12、A二、填空题13、　-1　．14、　±4/3　．15、 ．16、 ．三、解答题17、(本小题满分10分)解：若方程+=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，则满足，即，得m＞2，即p：m＞2，若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则判别式△=16（m﹣2）2﹣16＜0，即（m﹣2）2＜1，得﹣1＜m﹣2＜1，即1＜m＜3，即q：1＜m＜3，若￢q为真，则q为假，同时若p或q为真，则p为真命题，即，得m≥3，即实数m的取值范围是[3，+∞）．18、解：（1）====．∵a，b，c∈（0，+∞），∴．∴．∴（当且仅当时，等号成立）．（2）原不等式可化为ax2+（a﹣2）x﹣2≥0，化简为（x+1）（ax﹣2）≥0．∵a＜0，∴．1°当﹣2＜a＜0时，；2°当a=﹣2时，x=﹣1；3°当a＜﹣2时，．综上所述，当﹣2＜a＜0时，解集为；当a=﹣2时，解集为{x|x=﹣1}；当a＜﹣2时，解集为．19、(本小题满分12分)解：（Ⅰ）若q=1时，210•30a1﹣（210+1）20a1+10a1=0．a1=0与已知矛盾，∴q≠1，则由210•S30﹣（210+1）S20+S10=0可得，即210⋅（S30﹣S20）=S20﹣S10，∴，∵q≠1，∴S20﹣S10≠0，∴210⋅q10=1，即，∴q=，又∵a n＞0，∴q＞0且q≠1∴q=，∴．（Ⅱ）∵．∴，即，∴{nS n}的前n项和T n=（1+2+…+n）﹣（）=﹣（），，两式相减得==，∴T n=．19、(本小题满分12分)解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），所以=1，所以p=2．所以抛物线C的方程为y2=4x．…（4分）（Ⅱ）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设 A（，t），B（，﹣t），因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，所以=﹣，化简得t2=32．所以A（8，t），B（8，﹣t），此时直线AB的方程为x=8．…（7分）②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+b，A（x A，y A），B（x B，y B），联立得化简得ky2﹣4y+4b=0．…（8分）根据根与系数的关系得y A y B=，因为直线OA，OB的斜率之积为﹣，所以•=﹣，即x A x B+2y A y B=0．即+2y A y B=0，解得y A y B=0（舍去）或y A y B=﹣32．所以y A y B==﹣32，即b=﹣8k，所以y=kx﹣8k，即y=k（x﹣8）．综上所述，直线AB过x轴上一定点（8，0）．…（12分）21、(本小题满分12分)如图1，在直角△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，AB=2，D，E分别为AC，BD中点，连接AE并延长交BC于点F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD 如图2所示．（1）求证：AE⊥CD；（2）求平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：由条件可知AB=AD，E为BD的中点，所以AE⊥BD，又面ABD⊥面BDC，面ABD∩面BCD=BD，且AE⊂面ABD，所以AE⊥面BCD，又因为CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD．（2）以E为坐标原点O，EF，ED，EA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在直角三角形ABF中，可得BF=2tan30°=2，可得EF=2cos60°=1，可得E（0，0，0），A（0，0，3），D（0，，0），C（3，2，0），B（0，﹣，0），由BE⊥平面AEF，可得平面AEF的法向量为=（0，﹣，0），=（0，，﹣3），=（3，2，﹣3），设平面ADC的法向量为=（x，y，z），由，令y=，可取=（﹣1，，1），可得cos＜，＞===﹣，则平面AEF与平面ADC所成锐二面角的余弦值为．22．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）设M（m1，n1）、N（m2，n2），则，两式相减，故a2=3b2…（2分）当直线AP平行于x轴时，设|AC|=2d，∵，，则，解得，故点A（或C）的坐标为．代入椭圆方程，得…4分a2=3，b2=1，所以方程为…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）由于，可得A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），…①同理可得…②…（8分）由①②得：…③将点A、B的坐标代入椭圆方程得，两式相减得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，于是3（y1+y2）k AB=﹣（x1+x2）…④同理可得：3（y3+y4）k CD=﹣（x3+x4），…（10分）于是3（y3+y4）k AB=﹣（x3+x4）（∵AB∥CD，∴k AB=k CD）所以3λ（y3+y4）k AB=﹣λ（x3+x4）…⑤由④⑤两式相加得到：3[y1+y2+λ（y3+y4）]k AB=﹣[（x1+x2）+λ（x3+x4）] 把③代入上式得3（1+λ）k AB=﹣2（1+λ），解得：，当λ变化时，k AB为定值，．…（12分）。

2024年沈阳市初中学业水平考试模拟测试数学试卷（本试卷共23小题满分120分 考试时长120分钟）第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如图，比数轴上的点A 表示的数大1的数是（ ）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的加法计算，根据题意可得点A 表示的数是，再根据有理数加法计算法则求解即可．【详解】解：由数轴可知，点A 表示的数是，∴比数轴上的点A 表示的数大1的数是，故选：B ．2. 如图是一个由6个相同的小立方块组成的几何体，它的主视图是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了小正方体堆砌成的几何体的三视图，根据主视图是从正面看看到的图形进行求解即可．【详解】解：从正面看，看到他图形分为上下两层，共4列，从左数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第三列有一个小正方形，即看到的图形如下：1-1-1-110-+=，故选：D ．3. 下列四个图形中，对称轴最多的图形是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．【详解】解：A 选项图形有4条对称轴，B 选项图形有3条对称轴，C 选项图形有3条对称轴，D 选项图形有两条对称轴，故选：A ．4. 下列运算中，正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，积的乘方，完全平方公式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A 、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；B 、，原式计算错误，不符合题意；C 、，原式计算正确，符合题意；D 、，原式计算错误，不符合题意；故选：C ．5. 下列命题正确的是（ ）A. 平行四边形的对角线相等B.对角线相等的四边形是平行四边形3232a a a-=()222a b a b +=+3222a b a ab ÷=()224a b a b =33a 2a ()2222a b a ab b +=++3222a b a ab ÷=()2242a b a b =C. 平行四边形的对角互补D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】D【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定与性质定理直接判断即可【详解】解：A.矩形平行四边形的对角线相等，而平行四边形的对角线互相平分，故选项A 说法错误；B. 对角线相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，故选项B 说法错误；C. 平行四边形的对角相等，故选项C 说法错误；D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选：D6. 化简的结果是（ ）A. 0B. 1C. aD. 【答案】B【解析】【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可．【详解】解：，故选：B ．【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．7. 若关于x 的方程有两个相等的实数根，则c 的值是（ ）A. 36B. C. 9 D. 【答案】C【解析】【分析】根据判别式的意义得到，然后解关于c 的一次方程即可．【详解】解：∵方程有两个相等的实数根∴解得故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键11a a a -+2a -11111a a a a a a a--++===260x x c ++=36-9-2640c ∆=-=260x x c ++=26410c ∆=-⨯⨯=9c =20(0)ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买兔，人出九，盈六；人出七．不足十四．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买兔，如果每人出九钱，那么多了六钱；如果每人出七钱，那么少了十四钱，问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买兔，根据题意，可列一元一次方程为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设有x 个人共同出钱买兔，根据买兔需要的总钱数不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设有x 个人共同出钱买兔，根据题意得：9x -6=7x +14．故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．9. 如图，C 岛在A 岛的北偏东方向，C 岛在B 岛的北偏西方向，则的度数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了方位角的计算，平行线的性质，过点C 作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出结果即可．【详解】解：过点C 作，如图所示：0∆>Δ0=Δ0<x 96714x x +=-96714x x -=+96714x x -=-96714x x +=+50︒35︒ACB ∠90︒85︒80︒75︒CF AD ∥AD CF BE ∥∥CF AD ∥根据题意得：，，∵，∴，∴，，∴，故选：B ．10. 如图，在中，，，点D 在边上，，连接，在上截取，使，分别以点E ，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线，交边于点H ，则的长为（ ）A. 2B. C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的尺规作图，平行线的性质与判定，先证明是等边三角形推出，由作图方法可知，平分，则，证明，进而证明，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．【详解】解：∵，，∴是等边三角形，∴，∴，50DAC ∠=︒35CBE ∠=︒AD BE ∥AD CF BE ∥∥50ACF DAC ∠=∠=︒35BCF CBE ∠=∠=︒ACB ACF BCF ∠=∠+∠=︒+︒=︒503585ABC 60BAC ∠=︒5AB =AB 2AD AC ==CD DC DB ，DE DF ，DE DF =12EF DG BC DH 6523ACD 120BDC ∠=︒DH BDC ∠60BDH A ==︒∠∠DH AC BDH BAC ∽60BAC ∠=︒2AD AC ==ACD 60ADC ∠=︒120BDC ∠=︒由作图方法可知，平分，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，故选：B ．第二部分 非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11. 不等式组的解集为______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，即可确定不等式组的解集，掌握求不等式组解集的口诀是解题的关键．【详解】解：由不等式组可得，不等式组的解集为，故答案为：．12. 将点沿轴向右平移个单位，平移后的点恰好在反比例函数的图象上，则常数的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了点的平移，反比例函数图象上点的坐标特征，根据平移的性质求出平移后点的坐标，再把平移后点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求解，掌握平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：将点沿轴向右平移个单位，得到的点的坐标为，∵平移后的点恰好在反比例函数的图象上，DH BDC ∠1602BDH BDC ==︒∠∠BDH A =∠∠DH AC BDH BAC ∽DH BD AC AB =5225DH -=65DH =12x x >-⎧⎨>⎩2x >2x<2x >2x >()1,3A -x 2()0k y k x =≠k 3()1,3A -x 2()1,3()0k y k x=≠∴，∴，故答案为：．13. 如图，某一时刻停车场内有序号为的三个空车位顺次排成一排，现有甲、乙两车需要随机停放到其中一个车位，则甲、乙两车停放在不相邻的位置的概率是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键．【详解】解：画树状图如下：由树状图可得，共有种等结果，其中甲、乙两车停放在不相邻的位置的有种结果，∴甲、乙两车停放在不相邻的位置的概率是，故答案为：．14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则这个二次函数图象与x 轴另一个交点的坐标是__________．31k =3k =3123，，13622163=132y ax bx c =++()30-，=1x -【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及对称性，因为与x 轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，则，解出，即可作答．【详解】解：依题意，设这个二次函数图象与x 轴另一个交点的横坐标为，∵二次函数的图象与x 轴的一个交点坐标是，对称轴为直线，∴，解饿，则这个二次函数图象与x 轴另一个交点的坐标是，故答案为：，15. 如图，在菱形中，，，点为直线上方一点，且，分别作点关于直线和直线的对称点，，连接，当与菱形的边平行时，的面积为_________．【答案】或()10，()30-，=1x -()2312x +--=2x 2x 2y ax bx c =++()30-，=1x -()2312x +--=21x =()10，()10，ABCD 1AB =+60ABC ∠=︒1P BC 115PBC ∠=︒1P AB AD 2P 3P 23PP 23P P ABCD 123PP P3+【解析】【分析】本题主要考查菱形的性质，垂直平分线的判定与性质，三角形中位线性质定理等知识，分和两种情况，在时先证明点F 与点A 重合，求出的长，再由中位线定理求出的长，再根据三角形面积公式求解即可；同理可求出时的结论．【详解】解：①当时，∵∴如图，设与交于点E ，交于点F ，则有连接又由对称性可知，垂直平分，垂直平分，∴为的中位线，，又点F 在直线上，也在直线上，∴与点重合，设∴为等腰直角三角形，∴又，∴23P P AB ∥23P P AD ∥23PP AB ∥,BE AE 23P P 23P P AD ∥23P P AB ∥,AB CD ∥23,P P AB CD ∥∥12PP AB 13PPAD 23,P P AE ∥,EF AB 12PP AD 13PPEF 123PP P 23EF P P ∴∥AB AD F A ,BE x =1145,EBP ABC PBC ∠=∠-∠=︒1BEP △1,EP BE x ==180********BAD ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒111209030,EAP BAD P AD ∠=∠-∠=︒-︒=︒在中，∴∴∴∵，∴在中，，∴②当时，如图，设与交于点M ，交于点N ，连接同理可得为的中位线，∴，又，∴点 在直线上，重合，则垂直平分于点A ，又∴是等腰直角三角形，∴，1Rt EAP 1,AE ==)11,AB BE AE x =+==+1,x =12122,PP EP==23P P AB ∥3211231190,30,P P P AEP P P P EAP ∠=∠=︒∠=∠=︒321Rt P P P 2321P P P ==123122312P P P S PP P P =⨯= 23P P AD BC ∥∥12PP AB 13PP AD ,MN MN 123PP P 23MN P P ∥23AN P P ∥M AN ,M A BA 12PP 1145,ABP ABC PBC ∠=∠-∠=︒1BAP 11211,22AP AB PP AP ==+==+1130,DAP BAD BAP ∠=∠-∠=︒又垂直平分，∴在中，∴∴；综上，的面积为故答案为：．三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16. 计算（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（）利用有理数的运算法则计算即可求解；（）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项即可求解；本题考查了有理数的混合运算，整数的混合运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的关键．【小问1详解】解：原式，，；小问2详解】解：原式．17. 某汽车租赁公司决定采购型和型两款新能源汽车．已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价【23,P P AD ∥AD 13PP 2313,P P PP ⊥321130,P P P DAP ∠=∠=︒321Rt P P P 32130,P P P ∠=︒131211,2PP PP ==+23133P P ==)(12313231113322P P P S PP P P =⨯=++=+ 123PP P 3+3+231139⎛⎫--⨯- ⎪⎝⎭()()()2122x x x +++-225x +1211279⎛⎫=--⨯- ⎪⎝⎭()13=---13=-+2=22214x x x =+++-25x =+A B A B的倍，若用万元购进型汽车的数量比用万元购进型汽车的数量少辆，求每辆型汽车和每辆型汽车的进价分别为多少万元．【答案】每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元，根据题意，列出方程解答即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【详解】解：设每辆型汽车的进价为万元，则每辆型汽车的进价为万元，依题意得，，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元．18. 从“冬日雪暖阳”到“春天花正开”，沈阳魅力更加迷人.相关数据显示，五一小长假期间，南方“小土豆”到沈阳旅游的人数大幅增加．乐乐一家计划暑假来沈阳游玩，为了更好的了解沈阳的景点，乐乐对网友进行了线上调查，想根据调查的数据制定自己一家人的沈阳游玩计划，调查的过程及不完整的统计结果如下表.调查目的了解网友最喜爱的沈阳景点调查方式抽样调查调查对象部分网友调查内容你最喜爱的沈阳景点（每名网友只能从下列五个选项中选择一个景点）A .沈阳故宫B .张学良旧居C .沈阳世博园D .中街步行街E .工业博物馆调查结果请回答下列问题：（1）本次线上调查共有多少名网友参与?（2）根据上表的调查结果，若有9000名网友参与调查，请你估计最喜爱“沈阳故宫”的人数；1.2240A 240B 4A B A 12B 10B x A 1.2x B x A 1.2x 24024041.2x x-=10x =10x =1.2=1.210=12x ⨯A 12B 10（3）若返程当天还有景点F ，景点G ，景点H 可以去游玩，各景点建议游玩时间和景点间路程用时情况见下图．乐乐一家人打算上午到达第一个景点开始游玩，下午坐飞机回家，需要最晚在下午到达机场，如果按图中景点建议游玩时间选择两个景点游玩，请你帮助乐乐设计一个游玩路线．先游玩__________，再游玩__________，然后16：40前到达机场．【答案】（1）本次线上调查共有1000名网友参与（2）估计最喜爱“沈阳故宫”的人数为3600人（3）G ；F （或G ，H ）【解析】【分析】本题主要考查条形统计图，扇形统计图以及用样本估计总体：（1）用B 的人数除以所占百分比即可得出被调查的人数；（2）用样本估计总体即可；（3）根据参观时间加路程用时不大于7时40分进行设计游玩路线即可．【小问1详解】解：（名）答：本次线上调查共有1000名网友参与【小问2详解】解：（名）答：估计最喜爱“沈阳故宫”的人数为3600人；【小问3详解】解：因为上午到达第一个景点开始游玩，下午坐飞机回家，需要最晚在下午到达机场，共需用时7时40分，方案一：从景点G 开始，再至景点F ，最后到达机场需用时：时7时40分，故设计的路线为先游玩G ，再游玩F ，方案二：从景点G 开始，再至景点H ，最后至到达机场需用时：时7时40分，900：1830：1640：30030%=1000÷100010005%1501003009000=36001000-⨯---⨯900：1830：1640：3+1.5+2+1=7.5<3+1+2.5+1=7.5<故设计的路线为先游玩G ，再游玩H ，故答案为：G ；F （或G ，H ）19. 某超市的消费卡做促销活动．消费卡售价y （元）与面值x （元）之间满足一次函数关系，其图象经过原点和点A ，如图所示，小张购买了该超市的一张面值是1000元的消费卡．使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品．（1）求小张购买这张消费卡实际花费的钱数为多少元；（2）小张使用这张消费卡在该超市购买了某种大米20公斤，超市规定这种大米使用消费卡购买，每公斤在原价的基础上还可以优惠元．设小张购买的大米原价为m 元/公斤，小张购买的20公斤大米实际花费的钱数为w 元，求w 与m 的函数关系式．【答案】（1）小张购买这张消费卡实际花费的钱数为850元；（2）【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：（1）设，把代入中，利用待定系数法求出对应的解析式，进而求出当时，y 的值即可得到答案；（2）先求出大米实际的单价，再乘以20即可得到答案．【小问1详解】解：设，把代入中得：，解得，∴，当时，，答：小张购买这张消费卡实际花费的钱数为850元；0.417 6.8w m =-y kx b =+()()00500425，，，y kx b =+1000x =y kx b =+()()00500425，，，y kx b =+5004250k b b +=⎧⎨=⎩0.850k b =⎧⎨=⎩0.85y x =1000x =850y =【小问2详解】解：由题意得，．20. 某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与地面垂直的两栋楼与的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案：如图，无人机悬停在，两楼之间上方的点O 处，此时测出到楼顶部点A 处的俯角为，，测出到楼顶部点C 处的俯角为，已知两栋楼之间的距离（点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内）．（1）求点O 到楼的距离的长；（2）求两栋楼与的高度之差.（结果精确到），，，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定：（1）根据直角三角形性质求得；（2）过C 作于H ，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．【小问1详解】解：∵，∴，∴，答：点O 到楼的距离的长为；小问2详解】解：过C 作于H ，则四边形是矩形，∴，的【()200.40.8517 6.8w m m =-⨯=-CD AB AB CD AB 60︒40m OA =CD 53︒30m BD =AB OE CD AB 1m 1.73≈sin 530.80︒≈cos530.60︒≈tan 53 1.33︒≈20m 21.3m114020m 22OE OA ==⨯=CH OE ⊥30m EH BD ==906040m AEO AOE OA ∠=︒∠=︒=，，30OAE ∠=︒114020m 22OE OA ==⨯=AB OE 20m CH OE ⊥EBDH 30m EH BD ==在中，∵，∴，在中，，∴两栋楼与的高度之差为．21. 如图，与相切于点B ，交于点F ，延长交于点C ，连接，点D 为上一点，且，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等：（1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论；（2）设的半径为r ，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可．Rt OCH ()9053302010m CHO COH OH EH OE ∠=︒∠=︒=-=-=，，()tan5310 1.3313.3m CH OH =⋅︒=⨯≈Rt OEA ()sin 604034.6m AE AO =⋅︒==≈CD AB ()34.613.321.3m -=AB O AO O AO O BC O»»DFBF =AD AD O 6AB =8AC =O 74OD OB ，90∠=︒ABO »»DFBF =AOD AOB ∠=∠()SAS AOD AOB ≌90ADO ABO ∠=∠=︒O 8OB r OA AC OC r ==-=-，Rt ABO △【小问1详解】证明：如图所示，连接，∵与相切于点B ，∴ ，∵，∴，又∵，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；【小问2详解】解：设的半径为r ，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴的半径为．22. 【问题初探】（）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，求证：；OD OB ，AB O 90∠=︒ABO »»DFBF =AOD AOB ∠=∠OD OB OA OA ==，()SAS AOD AOB ≌90ADO ABO ∠=∠=︒OD O AD O O 8OB r OA AC OC r ==-=-，Rt ABO △222OA OB AB =+()22286r r -=+74r =O 7411ABC AB BC =90ABC ∠=︒D BC AD AB ADE V DE AD =90ADE ∠=︒CE 135DCE ∠=︒小创同学从与均为等腰直角三角形这个条件出发给出如下解题思路：通过证明，将转化为；小新同学从结论的角度出发给出另一种解题思路：如图，在线段上截取，连接，通过证明，将转化为；请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．【类比分析】（）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答．如图，在中，，点是边上一点，连接，在右侧作，使，，连接，过点作交于点，探究与的数量关系；（）如图，在（）的条件下，当时，若，，求的长．【答案】（）证明见解析；（）；（）．【解析】【分析】（）选择小创同学解题思路：由等腰直角三角形的性质可得，，，，进而得到，，得到，即可求证；选择小新同学的解题思路：在线段上截取，连接，可得，又根据等腰直角三的①ABC ADE V ABD ACE ∽DCE ∠ABD ACB ∠+∠②2AB BP BD =DP APD DCE ≌DCE ∠APD ∠213ABC AB BC =D BC AD AB ADE V DE AD =()90ADE ABC αα∠=∠=>︒CE C CF AB ∥AE F ECF ∠α342120α=︒AB BC ==CF =CD 123902ECF α∠=-︒3CD =145BAC BCA ∠=∠=︒AC =45DAE DEA ∠=∠=︒AE =BAC DAE ∠=∠AB AD AC AE ==ABD ACE ∽90ACE ABD ∠=∠=︒AB BP BD =DP AP DC =角形的性质可得，进而得，，由得，得到，即可证明，得到；（）同理（）小新同学的解题思路解答即可求解；（）延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在在线段上截取，连接，过点作于，则，，由得，，，解直角三角形得，，由可得，得到，由得到，得，，设，则，，由得，得，由（）知，可证，得到，解直角三角形求出，得到，即可求解．【详解】解：（）选择小创同学的解题思路：∵，，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，45BPD BDP ∠=∠=︒45PAD ADP ∠+∠=︒135APD ∠=︒90ADE ∠=︒180459045ADP CDE ∠+∠=︒-︒-︒=︒PAD CDE ∠=∠()SAS APD DCE ≌135APD DCE ∠=∠=︒213AE BC 、G A AM CB ⊥M E EN CG ⊥N AB BP BD =DP P PH BM ⊥H EN AM ∥90ENC AMB PHB ∠=∠=∠=︒120α=︒60ABM ∠=︒312090902ECF ∠=⨯︒-︒=︒30PDB ∠=︒92AM =BM =CF AB ∥30ECN ∠=︒30PDH ECN ∠=∠=︒FCG ABG ∽△△CF CG AB BG =CG =MG =CN a =tan 30EN CN =︒=NG a =ENG AMG ∽EN NG AM MG =a =CN =95EN ==2DP CE =()AAS DHP CNE ≌95PH EN ==sin 60PH BP ==︒AP AB BP =-=1AB BC =90ABC ∠=︒45BAC BCA ∠=∠=︒AC =DE AD =90ADE ∠=︒45DAE DEA ∠=∠=︒AE =BAC DAE ∠=∠AB AD AC AE ==BAD CAE ∠=∠ABD ACE ∽90ACE ABD ∠=∠=︒∴；选择小新同学的解题思路：如图，在线段上截取，连接，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即；（）如图，在线段上截取，连接，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，4590135DCE ∠=︒+︒=︒2AB BP BD =DP AB BC =BP BD =AP DC =90ABC ∠=︒45BPD BDP ∠=∠=︒45PAD ADP ∠+∠=︒135APD ∠=︒90ADE ∠=︒180459045ADP CDE ∠+∠=︒-︒-︒=︒PAD CDE ∠=∠AD DE =()SAS APD DCE ≌135APD DCE ∠=∠=︒135DCE ∠=︒23AB BP BD =DP AB BC =BP BD =AP DC =ABC α∠=18019022BPD BDP αα︒-∠=∠==︒-1902PAD ADP α∠+∠=︒-1902APD α∠=︒+ADE α∠=∴，∴，又∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，即；（）如图，延长，相交于点，过点作的延长线于点，过点作于，在线段上截取，连接，过点作于，则，，∵，∴，，，∴，，∵，∴，11180909022ADP CDE ααα⎛⎫∠+∠=︒-︒--=︒- ⎪⎝⎭PAD CDE ∠=∠AD DE =()SAS APD DCE ≌1902APD DCE α∠=∠=︒+1902DCE α∠=︒+CF AB ∥180ABC DCF ∠+∠=︒180DCF α∠=︒-()13901809022ECF DCE DCF ααα∠=∠-∠=︒+-︒-=-︒3902ECF α∠=-︒34AE BC 、G A AM CB ⊥M E EN CG ⊥N AB BP BD =DP P PH BM ⊥H EN AM ∥90ENC AMB PHB ∠=∠=∠=︒120α=︒60ABM ∠=︒312090902ECF ∠=⨯︒-︒=︒30PDB ∠=︒9sin 602AM AB =︒==1cos 602BM AB =︒==CF AB ∥18012060BCF ∠=︒-︒=︒∴，∴，∵，∴，∴，，解得，∴设，则，，∵，∴，∴，，解得∴，又由（）知，∴，∴，∴，180906030ECN ∠=︒-︒-︒=︒30PDH ECN ∠=∠=︒CF AB ∥FCG ABG ∽△△CF CGAB BG ==CG =MG BM BC CG =++=++=CN a =tan 30EN CN =︒=NG a =EN AM ∥ENG AMG ∽EN NGAM MG=92=a =CN =95EN ==2APD DCE ≌DP CE =()AAS DHP CNE ≌95PH EN ==∴，∴又由（）知，，∴．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质和内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．23. 【问题情境】如图，正方形，点是边上一动点，点由点运动到点，动点在边上，且，连接，以为一边，在正方形内部作等边，连接，设的长为，的面积为．【初步感知】（）经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图所示的图象，其顶点坐标是，请根据图象信息，求关于的函数表达式；【延伸探究】（）当的周长为时，求线段的长度；（）当是以为底的等腰三角形时，小智同学根据学习函数的经验，想尝试结合函数相关知识求线段的长度．根据点在上的不同位置，通过画图软件画出相应的图形，并测量线段的长度（同一单位），得到下表的几组对应的近似值：将线段的长度作为自变量，和的长度分别为，，发现，都是的函数，在平面直sin 60PH BP ===︒AP AB BP =-==2AP DC =CD =1ABCD E AB E A B F AD DF AE =EF EF ABCD EFG GB AE x AEF △S 1S x 2()2,2S x 2EFG AE 3BEG BE ①AE E AB EG BG ，AEL 1.5 1.61.7 1.8 1.9L 4EG 4.00L2.92 2.882.86 2.842.83L 4.00BG2.07L2.772.822.872.912.96L4.00AE x EG BG 1y 2y 1y 2y x角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，请结合表格和图象信息，当是以为底的等腰三角形时，直接写出线段的长度；（结果精确到）因为的方法得到的是线段长度的近似值，所以小慧同学还想求出线段长度的准确值，请你帮助小慧同学求出线段长度的准确值．【答案】（）；（）或；（）；．【解析】【分析】（）用顶点式假设函数的解析式，利用待定系数法解答即可求解；（）由图可知正方形的边长为，得，再利用等边三角形的性质得，根据勾股定理得，即，解方程即可求解；（）由图可知，有两个交点，可排除当时，；又根据图象知之间两图象还有一个交点，由表可知，当时，，，据此即可由求解；以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得，，，，过交的延长线于点，作轴于点，由等边三角形的性质可得，进而得为的中点，利用三角函数得，再证明，得到，，即得，得到，利用中点坐标公式得，得到，又可得，根据在xOy 3BEG BE AE0.1②①AEAE AE 12122S x x =-+2133①1.7②412244AF x =-EF FG EG ===222AE AF EF +=()22410x x +-=3①312y y 、4x =4BG EG ==12x <<1.7x = 2.86EG = 2.87BG =BG EG =②B BC x AB y ()0,0B ()0,4A ()0,4E x -()4,4F x -ENEF ⊥FG N NM y ⊥M30GEN GNE ∠=∠=︒G FN EN =AEF MNE ∽AF AE EF EM MN EN ===MN ==)4EM x ==-)()14BM EM BE x =-=-)()),14Nx --G ⎝⎭(()2221232BG x x =+-+-()2222224EG EF AE AF x x ==+=+-构建方程，解方程即可求解．【详解】解：（）设，∵抛物线经过，∴，解得，∴；（）∵，由图可知正方形的边长为，∴，∵的周长为，为等边三角形，∴，∵，∴，∴，解得，，∴的长为或；（）由图可知，有两个交点，当时，，但不存在，故此种情况不符，舍去；在之间两图象还有一个交点，由表可知，当时，，，∴时，的长度为；以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，22BGEG =1()222S a x =-+()0,0()20022a =-+12a =-()221122222S x x x =--+=-+2AE DF x ==244AF x =-EFG EFG EF FG EG ===90BAD ∠=︒222AE AF EF +=()22410x x +-=11x =23x =AE 133①312y y 、4x =4BG EG ==BEG 12x << 1.7x = 2.86EG = 2.87BG =BG EG =AE 1.7②B BC x AB y则，，，，过交的延长线于点，作轴于点，则，∵，∴，∴，∴为的中点，∵∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，，∴，∴，∵为的中点，∴，()0,0B ()0,4A ()0,4E x -()4,4F x-EN EF ⊥FG N NM y ⊥M 90FEN ∠=︒60EFGFEG ∠=∠=︒30GENGNE ∠=∠=︒EG GN FG ==G FN tan 30EF EN =︒=EN=121390∠+∠=∠+∠=︒23∠∠=90EAF EMN ∠=∠=︒AEF MNE∽AF AE EF EM MN EN ===MN ==)4EM x ==-)())()4414BM EM BE x x x =-=---=--)()),14Nx ---G FN G ⎝⎭即，∴，∵，又∵，∴，整理得，∴，∴（不合，舍去），，∴【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形三角形，勾股定理，坐标与图形，正确作出辅助线及看懂函数图象是解题的关键．G ⎝⎭(()222221232BG x x =+=+-+-⎣⎦⎣⎦()2222224EG EF AE AF x x ==+=+-22BG EG =(()()222212324x x x x -++-=+-())440x --=40x -=40-+=14x =24x =4AE =。

2019年辽宁省沈阳市大东区中考数学二模试卷注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题1．8的立方根是（）A．4 B．2 C．±2 D．﹣22．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，点A（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣5，﹣3）B．（5，3）C．（﹣5，3）D．（5，﹣3）4．下列计算结果正确的是（）A．a4•a2=a8B．（a5）2=a7C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（ab）2=a2b25．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5 B．6 C．12 D．166．平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是（）A．75° B．70° C．65° D．60°7．不等式的解集是（）A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集8．为了解某市参加中考的45000名学生的身高情况，抽查了其中1500名学生的身高进行统计分析．下面叙述正确的是（）A．45000名学生是总体B．1500名学生的身高是总体的一个样本C．每名学生是总体的一个个体D．以上调查是全面调查9．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．10．体积V（dm3）一定的长方体，则它的底面积y（dm2）与高x（m）之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题11．因式分解：x3﹣4x= ．12．若二次根式有意义，则x的取值范围是．13．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是边形．14．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为米．15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是．三、（6分、8分、8分）17．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．18．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：△BDE≌△CDF．19．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成如图两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如表：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲 a 7 7 c乙 7 b 8 4.2（1）写出表格中a，b，c的值：a= ，b= ，c= ；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？四、（8分、8分）20．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣5、1、5，它们除了数字不同外，其他都完全相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率为；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为a的值．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出点a，b所有可能值，并求出坐标点（a，b）在第三象限的概率．21．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点C为x轴上一个动点，若S△ABC=10，求点C的坐标．五、22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；（2）若CE=2，DE=2，求AD的长．（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．六、23．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x （千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端点A）．（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式：．（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？七、24．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）证明：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．八、25．如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒个单位的速度在直线BC上移动（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N 四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．8的立方根是（）A．4 B．2 C．±2 D．﹣2【考点】24：立方根．【分析】依据立方根的定义求解即可．【解答】解：∵23=8，∴8的立方根是2．故选：B．2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．3．在平面直角坐标系中，点A（5，﹣3）关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣5，﹣3）B．（5，3）C．（﹣5，3）D．（5，﹣3）【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点A（5，﹣3）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣5，3）．故选：C．4．下列计算结果正确的是（）A．a4•a2=a8B．（a5）2=a7C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．（ab）2=a2b2【考点】47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．【分析】运用同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式运算即可．【解答】解：A．a4•a2=a6，故A错误；B．（a5）2=a10，故B错误；C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C错误；D．（ab）2=a2b2，故D正确，故选D．5．已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5 B．6 C．12 D．16【考点】K6：三角形三边关系．【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．【解答】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是4和10，∴10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．故选C．6．平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是（）A．75° B．70° C．65° D．60°【考点】L5：平行四边形的性质；KK：等边三角形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，∠B=45°，根据平行四边形的邻角互补，可求得∠DAB的度数，又由△EAF是等边三角形，即可求得∠EAF的度数，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=180°﹣45°=135°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF=60°，∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAF=75°．故选A．7．不等式的解集是（）A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≥2，解②得：x≥3．则不等式组的解集是：x≥3．故选A．8．为了解某市参加中考的45000名学生的身高情况，抽查了其中1500名学生的身高进行统计分析．下面叙述正确的是（）A．45000名学生是总体B．1500名学生的身高是总体的一个样本C．每名学生是总体的一个个体D．以上调查是全面调查【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量；V2：全面调查与抽样调查．【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：A、45000名学生的身高是总体，故A不符合题意；B、1500名学生的身高是一个样本，故B符合题意；C、每名学生的身高是个体，故C不符合题意；D、是抽样调查，故D不符合题意；故选：B．9．炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】关键描述语为：“两队同时开工且恰好同时完工”，找出等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间，根据所用时间相同列出分式方程即可．【解答】解：设乙队每天安装x台，则甲队每天安装x+2台，由题意得，甲队用的时间为：，乙队用的时间为：，则方程为： =．故选D．10．体积V（dm3）一定的长方体，则它的底面积y（dm2）与高x（m）之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】GA：反比例函数的应用．【分析】由题意y=，（x＞0），v是定值，所以y是x的反比例函数，由此即可解决问题．【解答】解：由题意y=，（x＞0），v是定值，∴y是x的反比例函数，图象在第一象限，故选D．二、填空题11．因式分解：x3﹣4x= x（x+2）（x﹣2）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：x3﹣4x=x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．12．若二次根式有意义，则x的取值范围是x≤．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可．【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣2x≥0，解得：x≤．故答案是：x≤．13．若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是十二边形．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）=360°×5，解得n=12．故答案为：十二．14．如图，一人乘雪橇沿坡比1：的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为36 米．【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】因为其坡比为1：，则坡角为30度，然后运用正弦函数解答．【解答】解：因为坡度比为1：，即tanα=，∴α=30°．则其下降的高度=72×sin30°=36（米）．15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是（4，2）或（﹣4，﹣2）．【考点】SD：作图﹣位似变换．【分析】直接利用位似图形的性质得出符合题意的图形进而得出答案．【解答】解：如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是：（4，2）或（﹣4，﹣2）．故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是+1 ．【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；KM：等边三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，最终得到答案BM=BO+OM=1+．【解答】解：如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；∵∠ABC=90°，AB=BC=，∴AC=2=CM=2，∵AB=BC，CM=AM，∴BM垂直平分AC，∴BO=AC=1，OM=CM•sin60°=，∴BM=BO+OM=1+，故答案为：1+．三、（6分、8分、8分）17．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=a+1，当a=﹣1时，原式=．18．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：△BDE≌△CDF．【考点】KB：全等三角形的判定；KF：角平分线的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，利用中点的定义得到BD=CD，进而利用AAS证明△BDE≌△CDF．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△BED和△CFD中，∵，∴△BDE≌△CDF．19．甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成如图两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如表：平均成绩/环中位数/环众数/环方差甲 a 7 7 c乙 7 b 8 4.2（1）写出表格中a，b，c的值：a= 7 ，b= 7.5 ，c= 1.2 ；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩，若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【考点】VC：条形统计图；VA：统计表；VB：扇形统计图；W4：中位数；W5：众数；W7：方差．【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据甲的平均数利用方差的公式计算即可；（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．【解答】解：（1）甲的平均成绩a==7（环），∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击成绩的中位数b==7.5（环），其方差c=×[（5﹣7）2+2（6﹣7）2+4（7﹣7）2+2×（8﹣7）2+（9﹣7）2]=1.2（环）；故答案为：7，7.5，1.2；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．四、（8分、8分）20．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣5、1、5，它们除了数字不同外，其他都完全相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率为；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为a的值．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，请用树状图或表格列出点a，b所有可能值，并求出坐标点（a，b）在第三象限的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；D1：点的坐标；X4：概率公式．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再根据第三象限点的坐标特征找出点（a，b）在第三象限的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字1的小球的概率=；故答案为；（2）画树状图：共有9种等可能的结果数，其中坐标点（a，b）在第三象限的结果数为1，所以坐标点（a，b）在第三象限的概率=．21．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点C为x轴上一个动点，若S△ABC=10，求点C的坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把点A的坐标代入y=，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入y=，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；（2）如图，直线AB与x轴的交点为E，设点C的坐标为（m，0），连接AC，BC，则点P的坐标为（14，0）．CE=|m ﹣14|．根据S△ACB=S△ACE﹣S△BCE=10，列出方程，求出m的值，从而得出点E的坐标；【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y=，得m=12，则y=．把点B（n，1）代入y=，得n=12，则点B的坐标为（12，1）．由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得，解得，则所求一次函数的表达式为y=﹣x+7．（2）如图，直线AB与x轴的交点为E，设点C的坐标为（m，0），连接AC，BC，则点P的坐标为（14，0）．∴CE=|m﹣14|．∵S△ACB=S△ACE﹣S△BCE=10，∴×|m﹣14|×（6﹣1）=10．∴|m﹣14|=4．∴m1=18，m2=10．∴点E的坐标为（18，0）或（10，0）．五、22．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：∠BDC=∠A；（2）若CE=2，DE=2，求AD的长．（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．【考点】MC：切线的性质；MN：弧长的计算．【分析】（1）连接OD，由CD是⊙O切线，得到∠ODC=90°，根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，等量代换得到∠BDC=∠ADO，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A，即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠DCE=∠BDC，根据相似三角形的性质得到=，解方程即可得到结论；（3）利用三角函数求得∠DCE的度数，根据△AEC∽△CED，求得∠A的度数，则∠DIB即可求得，然后在直角△ABD中求得BD，从而求得半径，然后利用弧长公式求解．【解答】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°，∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∵∠BDC=∠A，∴∠A=∠DCE，∵∠E=∠E，∴△AEC∽△CED，∴=，∴EC2=DE•AE，∴（2）2=2（2+AD），∴AD=4．（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE===，∴∠DCE=30°，又∵△AEC∽△CED，∴∠A=∠DCE=30°，∴∠DOB=2∠A=60°，BD=AD•tanA=4×=，∴△OBD是等边三角形，则OD=BD=，则弧BD的长是=．六、23．某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x （千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示（不包括端点A）．（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式：y=﹣0.02x+8 ．（2）蔬菜的种植成本为2元/千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）利用待定系数法求出当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式即可；（2）根据当0＜x≤100时，当100＜x≤200时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可；（3）根据（2）中所求得出，﹣0.02（x﹣150）2+450=418求出即可．【解答】解；（1）设当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式为：y=ax+b，，解得：∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣0.02x+8；故答案为：y=﹣0.02x+8；（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，当0＜x≤100时，W=（6﹣2）x=4x，当x=100时，W有最大值400元，当100＜x≤200时，W=（y﹣2）x=（﹣0.02x+6）x=﹣0.02（x﹣150）2+450，∴当x=150时，W有最大值为450元，综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元；（3）∵400＜418＜450，∴根据（2）可得，﹣0.02（x﹣150）2+450=418解得：x1=110，x 2=190，答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润．七、24．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）证明：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理．【分析】（1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=5．【解答】（1）证明：如图1所示，∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE，∵∠AFE=∠A，∴∠AMD=∠A，∴DM=DA；（2）证明：如图2所示，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；（3）解：如图3所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴=，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴=，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=5．八、25．如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标；（3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒个单位的速度在直线BC上移动（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N 四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）用待定系数法求出求出抛物线解析式，再配成顶点式，求出顶点坐标；（2）方法一：先求出∠DBE=45°，再构造出等腰直角三角形，由两腰相等建立方程求出点E的坐标；方法二：先判断出∠BCD=90°，进而得出△OBE∽△CBD，即可求出OE即可得出结论；（3）分两种情况讨论计算①CE为平行四边形的边，用MN=CE建立方程求出点M坐标，从而求出时间t，②利用平行四边形的对角线互相平分，借助中点坐标建立方程组求出点M坐标即可．【解答】解：（1）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点的抛物线，∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），∵点C（0，3）在抛物线上，∴3=﹣3a，∴a=﹣1∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），（2）方法一：∵tan （α﹣β）=1，∴α﹣β=45°，∵∠DBO=α，∠EBO=β，∴∠DBE=45°，如图1，过点E作EF⊥BD于F，∵B（3，0），D（1，4），∴直线BD解析式为y=﹣2x+6①，设点E（0，b），∵EF⊥BD，∴直线EF解析式为y=x+b②，联立①②解方程组得，x=，y=（2b+3），∴F（，（2b+3）），∴EF2=[（6﹣B）]2+[（2b+3）﹣b]2=（6﹣b）2，FB2=[﹣3]2+[（2b+3）]2=[（2b+3）]2，∵EF=FB，∴EF2=FB2，∴（6﹣b）2=[（2b+3）]2，∴b=﹣9（舍）或b=1，∴E（0，1），方法二、∵tan （α﹣β）=1，∴α﹣β=45°，∵∠DBO=α，∠EBO=β，∴∠DBE=45°，∵C（0，3），B（3，0），∴OB=OC，∴∠OBC=45°，∴∠CBD=∠OBE，∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），∴OB=3，BC2=18，CD2=2，BD2=20，∴BC2+CD2=BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠BCD=90°=∠BOE，∵∠CBD=∠OBE，∴△OBE∽△CBD，∴，∴，∴E（0，1），（3）能，理由：∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC解析式为y=﹣x+3，设点M（m，﹣m+3），∵E、C、M、N四个点为顶点的四边形为平行四边形，∴分CE为边和CE为对角线进行计算，①如图2，当CE是平行四边形的边时，MN∥CE，MN=CE，过M作MN∥CE交抛物线于N，∵点N在抛物线上，∴N（m，﹣m2+2m+3），∴MN=|﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）|=|m2﹣3m|，∵C（0，3），E（0，1），∴CE=2，∵MN=CE，∴|m2﹣3m|=2，∴m=或m=1或m=2，∴M（，）或（，）或（1，2）或（2，1）；∵C（0，3）当M（，）时，CM=，∴t==，当M（，）时，同理：t=，当M（1，2）时，CM=，∴t=，当M（2，1）时，CM=2，∴t=2=2，②当CE是平行四边形的对角线时，MN与CE互相平分，∵C（0，3），E（0，1），∴线段CE的中点坐标为（0，2），∵M（m，﹣m+3），∴CM==|m|，∴t=|m|=|m|∵点N在抛物线y=﹣x2+2x+3上，设点N（n，﹣n2+2n+3），利用中点坐标得，， =2，∴或，∴M（﹣，）或（﹣，），当M（﹣，）时，∴t=当M（﹣，）时，∴t=；即：满足条件的t的值为或或1或2．点M共有6个．中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应．．位置．．上） 1．计算4 + 6÷（﹣2）的结果是 （▲）A ．－5B ．－1C ．1D ．52．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m ，该数值用科学记数法表示为 （▲）A ．1.05×10﹣5B ．0.105×10﹣4C ．1.05×105D ．105×10﹣73．计算a 5·(－1a)2的结果是 （▲）A ．－a 3B ．a 3C ．a 7D ．a 104．无理数10介于整数 （▲）A ．4与5之间B ．3与4之间C ．2与3之间D ．1与2之间5．二次函数y=x 2+2x ﹣m 2+1的图像与直线y=1的公共点个数是 （▲）A ．0B ．1C ．2D ．1或26.在如图直角坐标系内，四边形AOBC 是边长为2的菱形，E 为边OB 的中点，连结AE 与对角线OC 交于点D ，且∠BCO=∠EAO ，则点D 坐标为 （▲）. A ．（33，23） B ．（1，21）C ．（23，33） D ．（1，33）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置．．上） 7．﹣2的绝对值是 ▲ ，﹣2的相反数是 ▲ ．8．若式子1+1x+2在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ．9．分解因式3a 2－3的结果是 ▲ ． 10．计算8－13×6的结果是 ▲ ． 11．直线y=12x 与双曲线y=kx在第一象限的交点为（a ，1），则k= ▲ ． 12．已知方程x 2－mx －3m ＝0的两根是x 1、x 2，若x 1＋x 2＝1，则 x 1x 2＝ ▲ ．13．如图，若正方形EFGH 由正方形ABCD 绕图中某点顺时针旋转90°得到，则旋转中心应该是 ▲ 点.14．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=2，AB=22，以点A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 相切于点E ，交AB 于点F ，则⌒DF 的长为 ▲ ．15．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，OD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，则∠BAD= ▲ °． 16.如图，一个八边形的八个内角都是135°，连续六条边长依次为6，3，6，4，4，3（如图所示），则这个八边形的周长为 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题6分） 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x+4y ＝－2，3x －2y ＝8．．18.（本题7分）先化简，再求值： 1+x 1－x ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 1－x ，其中3=x ．19．（8分）为了传承优秀传统文化，市里组织了一次“汉字听写”大赛，我区有1200名初三学生参加区级初赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表： 成绩（分） 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 人数 123367581591112864成绩分组 频数 频率 35≤x ＜38 3 0.03 38≤x ＜41 a 0.12 41≤x ＜44 20 0.20 44≤x ＜47 35 0.35 47≤x ≤50 30 b请根据所提供的信息解答下列问题：成绩频数分布表（1）样本的中位数是▲分；（2）若按成绩分组情况绘制成扇形统计图，则表示47≤x≤50这组的扇形圆心角为▲°；（3）请补全频数分布直方图；（4）请根据抽样统计结果，估计我区初赛中成绩不低于41分的学生有多少人？20．（7分）如图，在□ABCD中，点E是边CD的中点，连接BE并延长，交AD延长线于点F，连接BD、CF. （1）求证：△CEB≌△DEF；（2）若AB=BF，试判断四边形BCFD的形状，并证明．21．（本题8分）有甲、乙两把不同的锁和A、B、C三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．（1）随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是▲；（2）随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率.22.（本题8分）某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品.经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件.根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍.（1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出▲件；（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？23．（8分）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），操控无人机的时间为x（分），y与x之间的函数图像如图所示.（1）无人机的速度为▲米/分；（2）求线段BC所表示的y与x之间函数表达式；（3）无人机在50米上空持续飞行时间为▲分．24.（本题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以边BC为直径作⊙O，交AB于D，DE是⊙O。

东北育才学校高三年级第二次模拟考试数学试卷〔理科〕命题人：魏春新校对人：刘利总分：150分时间：120分钟第一卷一、选择题：〔本大题共12小题，每题 5分，共60分〕1.实数a 、b 满足a b0 ，集合M {x|b xab}，N{x|ab xa}，那么集2合{x|bxab}可表示为NNC.C R MND.MC R N2.命题p ：x[0, )，(log 32)x1，那么A ．p 是假命题， p ：x 0 [0,),(log 32)x01B ．p 是假命题， p ：x [0, ),(log 32)x1C ．p 是真命题， p ： x 0[0, ),(log 32)x01D ．p 是真命题， p ： x [0, ),(log 32)x1假设一系列函数解析式相同，值域相同，但定义域不同称这些函数为“同族函数〞那么函数解析式为 y x 2，值域为{1,4}的“同族函数〞共有A.7个B.8个C.9个D.4个4.以下函数中既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是A.f(x)sinxB.f(x)x11 (3 x 3 x) D. 2 xC.f(x)f(x)ln.22 x函数，在同一标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的选项是. 查找线路：在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的 线路发生了一个故障.这是一条10km 长的线路，要把故障可能发生的范围缩小到 50m~100m 左右〔即某相 邻两根电线杆附近〕，为确保能够检查出故障，维修线路的工人师傅至少需要检查的次数__________A.5B.7C.9D.107.ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c (b ≠1),且C 、sinB都是方程A sinAlog b xlog b (4x4)的根,那么ABCA.是直角三角形但不是等腰三角形B.是等腰三角形但不是直角三角形C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形,也不是直角三角形8.对于任意的xR,不等式sin 2xmsinxm 2 3 0恒成立，那么m 的取值范围是m3 B.0m1 C.0m3D.m3A.m或0m322π,sin2π),29.a =(cosOAa b , OBab ，假设OAB 是以O 为直角顶点33的等腰直角三角形，那么OAB 的面积等于A.1B.2C. 1D.32210. 锐角三角形ABC 中，假设A2B ，那么以下表达正确的选项是①sin3Bsin2C3B C ③Ba( 2, 3]②tantan1 4 ④226bA.①②B.②③C.③④D.②③④11．定义在(,)上的函数 f(x)是奇函数， f(2 x)f(x)，f(2) 3， f(1) 1，数列{a n }满足a 11，当n 1时，a n2an1，那么f(2021a 2)f(2021 a 3)值为A. 32xB.-2C.2D.412.设方程lgx 的两个根为 x 1,x 2，那么A.x 1x 2B. x 1x 21C. x 1x 21D. 0x 1x 21第二卷二、填空题〔本大题共4小题，每题 5分，共20分.答案填写在答题纸相应位置上〕13.tan3000cos(4050)的值为_________.sin750014.假设ABC 内接于以O 为圆心，以 1为半径的圆，且3OA4OB5OC 0，那么 该ABC 的面积为_________.15. 假设不等式xy k 2xy ，对任意正实数 x 、y 均成立，那么实数k 的取值 范围__________.16. 某工程车从公司取出17 根水泥电线杆拉到1 千米外的公路旁由近及远依次栽立.每隔千米栽1 根，汽车从公司出发至完成任务后返回到公司所行驶的路程称为汽车行驶的总路程，记为y .由于汽车载重量有限， 每趟最多只能载3 根水泥杆，为使总路程y 尽可能小，汽车除第x 趟〔x 为不大于6的正整数〕载2根外，其余 5趟均载3根，那么y 与x 之间的函数关系为_________.三、解答题〔本大题有 6小题，共 70分. 解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤〕17.(本小题总分值10分)假设m3sin x,0，n cosx, sinx ， 0，在函数f x m m n t 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为 ，且当x 0, 时， 4 3 x 的最大值为1.〔Ⅰ〕求函数 f x 的解析式；〔Ⅱ〕该函数的图象可由 y=sinx 〔x ∈R 〕的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？(本小题总分值12分)如图.是单位圆O 上的动点，且分别在第一,二象限.C 是圆与x 轴正半轴的交点，为正三角形.假设A 点的坐标为.记． 〔Ⅰ〕假设点的坐标为,求的值；〔Ⅱ〕求|BC|2的取值范围.yA19.(本小题总分值 12分)对于三次函数 f(x)ax 3bx 2 cxd(a0).BC定义〔1〕设f(x)是函数y f(x)的导数 y f (x)的导数，假设方程Oxf(x)0有实数解x 0，那么称点 x 0,f(x 0)为函数yf(x)的“拐点〞；定义〔2〕设x 0为常数，假设定义在R 上的函数y f(x)对于定义域内的一切实数x ，都有f(x 0 x) f(x 0x)2f(x 0)成立，那么函数y f(x)图象关于点 x 0,f(x 0)对称.己知f(x)x 3 3x 22x2，请答复以下问题：〔Ⅰ〕求函数f(x)的“拐点〞A 的坐标；检验函数 f(x)的图象是否关于“拐点〞 A 对称；〔Ⅱ〕对于任意的三次函数写出一个有关“拐点〞的结论〔不必证明〕 ，并写出一个三次函数G(x)，使得它的“拐点〞横坐标为 1〔不要过程〕.20.(本小题总分值 12分)商场现有某商品1320件，每件本钱110元，如果每件售价 200元，每天可销售 40件.“十一〞期间，商场决定降价促销，根据市场信息，单价每降低 3元，每天可多销售 2件.〔Ⅰ〕每件售价多少元，商场销售这一商品每天的利润最大？〔Ⅱ〕如果商场决定在这个节日期间 15天内售完，在不亏本的前提下，每件售价多少元，商场销售这一商品每天的销售额最大？21. (本小题总分值 12分)函数f(x)e x ax(aR).〔Ⅰ〕当x(0,1)时，讨论函数f(x)的单调性；1 11 1〔Ⅱ〕当a1n 1(nN).e 时，求证：e 23n 1n22. (本小题总分值12分)函数f(x) sinxxcosx.〔Ⅰ〕证明：函数f(x)sinx xcosx 在区间(0,2)内有且只有一个零点x 0，且x 03 )；(,2〔Ⅱ〕函数f(x)在区(0,2 )内的零点x 0，明：于任意的正数x ，不等式cosx 0sinx 恒成立.x1东北育才学校高三年级第二次模拟考试 数学试卷〔理科〕答案与评分参考 一、：每小５分，分６０分1．D 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B 7．A 8．B 9．A 10．B 12．D二、填空：每小 5分，分 20分13．23 6 14．515.6 16.yx22(1x6且xN)k2三、解答：分 70分〔分10分〕解：〔Ⅰ〕f x mmnt3sin x,0 3sin xcos x, sin xt3sin x 3sin x cos xt 3sin 2 x3sinxcosx t31 cos2x3sin2 x t 1sin2 3 x32 2 3xcos2t2223sin 2xt3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分32∵fx 的象称中心到称的最小距离，∴f x的周期24，得1.424∴fx3sin2x3t3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分2又x0,，3 ≤2x≤，∴sin 2x3 , 3，∴fxt,t3.∵33 332 2fxmax1 ，∴t 3 1，t2，∴fx3sin2x3 1.⋯⋯⋯6分2〔Ⅱ〕将函数y=sinx 依次行如下：〔i 〕把函数y=sinx 的象向右平移个位，得到函数y sin(x)的象；33〔ii 〕把得到的象上各点横坐短到原来的1倍〔坐不〕，得到函数2y sin(2x )的象；3〔iii 〕把得到的象上各点坐大到原来的3倍〔横坐不〕 ，得到函数y3sin(2x)的象；31个位度，得到函数1〔iv 〕把得到的象向下平移y3sin(2x) 的象；23 2上得到函数y3sin(2x1)32的象. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分18．〔分12分〕〔Ⅰ〕解：因A 点的坐3,4 ，根据三角函数定可知，5 5,sin 4，得 cos35，⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分25所以sin 2sin2＝sin 2 2sin cos20.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分cos 2cos23cos 2 1〔Ⅱ〕因三角形AOB 正三角形，所以AOB 600，所以cos COB =cos(COA600)=cos(60)⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分所以|BC|2|OC|2|OB|22|OC||OB|cosBOC =22cos().⋯⋯8分553,,cos) cos , 623 6cos(26323 cos() 0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分232|BC|232 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分〔分12分〕〔Ⅰ〕依意，得： f(x) 3x 2 6x 2，f(x) 6x 6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分由f(x) 0 ，即6x6 0.∴x1，又f(1)2，∴f(x)x 3 3x 2 2x 2的“拐点〞坐是 (1,2).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分f(1 x)f(1 x)=(1 x)33(1x)2 2(1 x) 2(1x)3 3(1 x)2 2(1x)2=2 6x 266x 2 4 4 4=2f(1)，由定(2)知：fxx33x22x2关于点(1,2)称.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分〔Ⅱ〕一般地，三次函数f x ax3bx2cx d(a0)的“拐点〞是b,f(b )，3a3a它就是f(x)的称中心.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数⋯⋯⋯〕都可以分.G(x)a(x1)3b(x1)3(a0)或写出一个具体的函数,如G(x)x33x23x4或G(x)x33x2x.⋯⋯⋯⋯12分20.〔分12分〕〔Ⅰ〕解:每件售价x元，每天售利y1元，依意得：y(x110)[402(200x)]13⋯⋯⋯⋯4分2[(x185)25625]3当x185，y1有最大3750元.⋯⋯⋯⋯6分〔Ⅱ〕每件售价x元，每天售利y2元，依意得：y2x[402(200x)]3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分2[(x130)216900]3x110,其中15[402(200x)]1320. 3解得：110x128.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因y2在区[110,128]内增，所以x128，y2有最大11264元.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21．〔分12分〕〔Ⅰ〕解：f'(x) e x a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分x(0,1),e x(1,e).当a e，f'(x)0，f(x)在x(0,1)上是减函数.当a1，f'(x)0，f(x)在x(0,1)上是增函数.当1ae，假设x(0,lna)，f'(x)0，f(x)在x(0,lna)上是减函数.假设x(lna,1)，f'(x)0，f(x)在x(lna,1)上是增函数.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分上：当a e，f(x)在x(0,1)上是减函数.当a1，f(x)在x(0,1)上是增函数.当1a e，f(x)在x(0,lna)上是减函数，f(x)在x(lna,1)上是增函数.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分〔Ⅱ〕明：f'(x)e x ex(1,)，f'(x)0；x(,1)，f'(x)0，当x1，f(x)有最小f(1)，即e x ex0.e x1x.e x x1(当且当x0取等号).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分e1213e2214e331ne n1n11n1e nn11111n1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分累乘：e23n1n22．〔分12分〕〔Ⅰ〕明：f(x)sinx xcosx,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分f'(x)cosx(cosx xsinx)xsinx.当x(0,)，f'(x)0，f(x)在x(0,)上是增函数；当x(,2)，f'(x)0，f(x)在x(,2)上是减函数.而f(0)0,f(),f(310,)2,3).故函数f(x)在区(0,2)内有且只有一个零点x0，且x0(6分2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔Ⅱ〕明：令g(x) x sinxg'(x) 1 cosx0g(x)增当x0，g(x)g(0)0x sinx即sinx1恒成立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分x令h(x)sinx xcosx0h'(x)cosx cosx0当x化，h'(x),h(x)化如下：x2k2x0(2k2x0,2k x0)2k x0(2k x0,2k4x0)2k4x0 h'(x)00+0最小h(x)h(x)h(2k x0)sinx0(2k x0)cosx02kcosx0x0,2k0.x03,cosx002h(x)0即sinxxcosx0sinxcosx0 0sinx x上：cosx01.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分x精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有。

辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟考试（期中）数学（理）试题答题时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，{}|(3)0A x x x =+<，{}|1B x x =<-，则图中阴影部分表示的集合为A.{}13-<<-x x B.{}03<<-x xC.{}|10x x -≤<D.{}3-<x x2.已知为虚数单位，若ii x ---1)2(为纯虚数，则实数x 的值为A.1B.2C.1-D.2-3.已知命题p ：“R x ∈∃0，02020>-+x x ”，命题q ：“2b ac =是a ，b ，c 成等比数列的充要条件”.则下列命题中为真命题的是A.p q ∧B.()p q ⌝∧C.()p q ∧⌝D.()()p q ⌝∧⌝ 4.已知角θ的终边过点(4,3)P k k -（0k <），则2sin cos θθ+的值是 A.25 B.25- C.25或25- D.随着k 的取值不同，其值不同 5.已知函数()cos()4f x x πω=+（0ω>）的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象 A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度C.向左平移8π个单位长度 D.向右平移8π个单位长度 6.在等差数列{}n a 中，若468101290a a a a a ++++=，则101413a a -的值为 A.12B.14C.16D.187.已知a ，b 是非零向量，且向量a ，b 的夹角为3π，若向量||||a b p a b =+，则||p =A.23 8.已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为A. B. C. D.9.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）和圆O :222b y x =+，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B . 若椭圆上存在点P ，使得0PA PB ⋅=，则椭圆离心率e 的取值范 围是A.)1,21[B.]22,0( C.]22,21[ D.)1,22[ 10.已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 A.无论k ，21,P P 如何，总是无解 B.无论k ，21,P P 如何，总有唯一解 C.存在k ，21,P P ，使之恰有两解 D.存在k ，21,P P ，使之有无穷多解11.已知函数42412sin 4()22x x x f x x +++=+，则122016()()()201720172017f f f +++= A.4032 B.2016 C.4034 D.2017 12.定义在R 上的可导函数()f x 满足(1)1f =，且2()1f x '>，当3[,]22x ππ∈-时，不等式23(2cos )2sin 22xf x >-的解集为 A.4(,)33ππ B.4(,)33ππ- C.(,)33ππ- D.(0,)3π 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x y ，满足33010x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最小值是 .14.设,x y R ∈，向量(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-且a c ⊥r r ，//b c r r，则x y += .15.用[]x 表示不大于实数x 的最大整数，则方程2(lg )[lg ]20x x --=的实根个数是 .16.在ABC ∆中，点(1,1)A ，点(3,3)B ，点C 在x 轴上，当cos ACB ∠取得最小值时，点C 的坐标为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且cos cos )4cos cos B B C C B C --=.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若sin sin B p C =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．18.(本小题满分12分）（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；1(n n n +++⨯+19.(本小题满分12分）如图，已知等边ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，M 为EF 的中点，N 为BC 边上一点，且14CN BC =，将AEF ∆沿EF 折到A EF '∆的位置，使平面A EF '⊥平面EFCB . （Ⅰ）求证：平面A MN '⊥平面A BF '； （Ⅱ）求二面角E A FB '--的余弦值.20.(本小题满分12分）成等差数列，记(,)x y 对应点的曲线是C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)M ，点(3,2)N ，点(,)P m n （3m ≠），过点M 任作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，BN ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若1232k k k +=，求m ，n 满足的关系式.21.(本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，()()1m x n g x x +=+（0m >）．（Ⅰ）若()y f x =与()y g x =的图象在1x =有相同的切线，求m 的值； （Ⅱ）若函数()()y f x g x =-在定义域内不单调，求m n -的取值范围； （Ⅲ）若对任意0x >，恒有|()||()|f x g x ≥成立，求m 的最大值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1212x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24(sin cos )40ρρθθ-++=. （Ⅰ）写出直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()|||10|f x x x =++.（Ⅰ）求()15f x x ≤+的解集M ；（Ⅱ）当,a b M ∈时，求证5|||25|a b ab +≤+.辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟考试（期中）数学（理）试题答案CBCBD ADADB AC13.9214.0 15.3 16.0)17.解：（1）由题意得3sin sin cos cos cos sin 4cos cos B C B C B C B C B C +-=1tan >,26232C C p ππ∴<<⇒∴<<. 18.解：(Ⅰ)设a n =a 1q n -1,依题意, 解得a 1=1,q = 1 3所以a n =( 1 3)n -1(Ⅱ)b n =n ＋11×2+n ＋12×3++n ＋1n (n ＋1)=(n +1)[11×2+12×3+ …+1n (n ＋1)]=(n +1)=n则 S n =1+2×3+3×32+…+n ×3n -1, 3S n = 3+2×32+3×33+…+n ×3n,两式相减,得 -2S n =1+3+32+…+3n -1-n ×3n=13313nn n --⋅- 故S n =(21)314n n -⋅+19.（Ⅱ）设等边ABC ∆的边长为4，取BC 中点G ，连接MG ，由题设知MG EF ⊥，由（Ⅰ）知'A M ⊥平面EFCB ，又MG ⊂平面EFCB ，所以'A M MG ⊥，如图建立空间直角坐标系M xyz -，则(1,0,0)F -，A，B，)FA =，FB =.…………………………………………（8分）设平面'A BF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0,0,FA n FB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,30,x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则(3,3,1)n =-.…………………………………………（10分） 平面'A EF 的一个法向量为(0,1,0)p =，所以313cos ,||||p n n p p n == 显然二面角'E AF B --是锐角. 所以二面角'E A F B --……………………………………………………………（12分） 20.解：（1）=所以点(),P x y 对应的曲线方程C 是椭圆a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩得 ．故=1b椭圆C 方程为x 23＋y 2＝1(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 23＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝±63. 不妨设A （1,63），B （1,－63）， 因为k 1＋k 2＝2－632＋2＋632＝2，且k 1＋k 2＝2k 3，所以k 3＝1，所以m ，n 满足的关系式为n －2m －3＝1，即m －n －1＝0. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 将y ＝k (x －1)代入x 23＋y 2＝1，整理得(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－33k 2＋1.又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， 所以k 1＋k 2＝2－y 13－x 1＋2－y 23－x 2＝（2－y 1）（3－x 2）＋（2－y 2）（3－x 1）（3－x 1）（3－x 2）＝[2－k （x 1－1）]（3－x 2）＋[2－k （x 2－1）]（3－x 1）x 1x 2－3（x 1＋x 2）＋9＝2kx 1x 2－（4k ＋2）（x 1＋x 2）＋6k ＋12x 1x 2－3（x 1＋x 2）＋9＝2k ×3k 2－33k 2＋1－（4k ＋2）×6k23k 2＋1＋6k ＋123k 2－33k 2＋1－3×6k 23k 2＋1＋9＝2（12k 2＋6）12k 2＋6＝2， 所以2k 3＝2，所以k 3＝n －2m －3＝1， 所以m ，n 满足的关系式为m －n －1＝0. 综上所述，m ，n 满足的关系式为m －n －1＝0.21.解： （1）m=2 （2） m-n>3 (3)2请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.解：（Ⅰ）将1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t，化为普通方程20x y +-=再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入20x y +-=，得cos sin 2ρθρθ+=……………………………5分（Ⅱ）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程2cos sin 24(sin cos )40ρθρθρρθθ+=⎧⎨-++=⎩ 因为0,02ρθπ≥≤<，所以可解得1120ρθ=⎧⎨=⎩或2222ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，因此l 与C 交点的极坐标分别为(2,0)，(2,)2π．………………………………………10分23.解：（Ⅱ）当,a b M ∈，即55a -≤≤，55b -≤≤时，要证5|||25|a b ab +≤+，即证2225()(25)a b ab +≤+.…………………………………………………（6分） ∵22222225()(25)25(2)(50625)a b ab a ab b a b ab +-+=++-++2222222525625(25)(25)0a b a b a b =+--=--≤…………………………………（9分）∴2225()(25)a b ab +≤+，即5|||25|a b ab +≤+.…………………………………………………（10分）。

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校 高二上学期第二次月考数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．命题“存在x 0∈R ，2x 0 ≤0”的否定是A ．不存在x 0∈R ,2x 0＞0 B ．存在x 0∈R ,2x 0≥0 C ．对任意的x ∈R ,2x ≤0 D ．对任意的x ∈R ,2x ＞02．若a >0>b >−a ，c <d <0，则下列命题成立的个数为①ad >bc ；②ad+bc <0；③a −c >b −d ；④a(d −c)>b(d −c)。

A ．1B ．2C ．3D ．43．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 6=14，则S 7= A ．13 B ．35 C ．49 D ．634．在空间直角坐标系中点P(1,5,6)关于平面xoy 对称点Q 的坐标是 A ．（1，﹣5，6） B ．（1，5，﹣6） C ．（﹣1，﹣5，6） D ．（﹣1，5，﹣6）5．已知左、右焦点分别为F 1、F 2的双曲线x 264−y 236=1上一点P ，且|PF 1|=17，则|PF 2|= A ．1或33 B ．1 C ．33 D ．1或116．若a >0,b >0，ab =a +b +1，则a +2b 的最小值为 A ．3√2+3 B ．3√2−3 C ．3+√13 D ．7 7．椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为 A ．−25 B ．25 C ．−1 D ．1 8．有如下3个命题；①双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值； ②双曲线x 2a 2−y 2b 2=1与x 2b 2−y 2a 2=1(a >0,b >0)的离心率分别是e 1、e 2，则e 12+e 22e 12e 22是定值；③过抛物线x 2=2py(p >0)的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A 、B ，则直线AB 过定点；其中正确的命题有A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 9．两个等差数列{a n }和{b n },其前n 项和分别为,且S n T n=7n+2n+3则a 2+a20b 7+b15等于 A ．94 B ．378 C ．7914 D ．1492410．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，过顶点A 1作平面α，使得直线AC 和BC 1与平面α所成的角都为30°，这样的平面α可以有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．边长为1的正方形ABCD ，将ΔABC 沿对角线AC 折起，使ΔABD 为正三角形，则直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°12．已知F 是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P 、Q 两点，若|PF |=2|QF |，且∠PFQ =120°，则椭圆E 的离心率为A ．√33 B ．12 C ．13 D ．√22二、解答题 13．命题p ：方程x 22−m+y 2m−1=1表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，命题q ：方程4x 2+4(m −2)x +1=0无实根，若p ∨q 为真，¬q 为真，求实数m 的取值范围．14．（1）已知a 、b 、c ∈（0，+∞），且a +b +c =1，求证：(1a−1)(1b−1)(1c−1)≥8；（2）解关于x 的不等式：ax 2−2≥2x −ax(a <0)．15．设正项等比数列{a n }的首项a 1=12，前n 项和为S n ，210S 30−(210+1)S 20+S 10=0．（Ⅰ）求{a n }的通项； （Ⅱ）求{n S n }的前n 项和T n ．16．已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F(1,0)，O 为坐标原点，A 、B 是抛物线C 上异于O 的两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线OA 、OB 的斜率之积为-12，求证：直线AB 过定点．班级 姓名 准考证号 考场号 座位号17．如图1，在直角ΔABC 中，∠ABC =90∘,AC =4√3,AB =2√3，D,E 分别为AC,BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ΔABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示．（Ⅰ）求证：AE ⊥CD ；（Ⅱ）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值．18．已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，倾斜角为45°的直线与椭圆相交于M 、N 两点，且线段MN 的中点为(−1,13)．过椭圆E 内一点P(1,12)的两条直线分别与椭圆交于点A 、C 和B 、D ，且满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =λPC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λPD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，其中λ为实数．当直线AP 平行于x 轴时，对应的λ=15．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）当λ变化时，k AB 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．三、填空题19．等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n +x ，则x 等于__．20．直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且抛物线交于A 、B 两点，若AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =4FB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则直线l 的斜率为__． 21．在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知∠BAD =∠A 1AB =∠A 1AD =60°，AD =4,AB =3,AA 1=5，|AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=__．22．已知实数若x 、y 满足x >y >0且x +y =2，则4x+3y +1x−y 的最小值是__．2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校 高二上学期第二次月考数学（理）试题数学 答 案参考答案 1．C 【解析】试题分析：由题意得，根据全称命题与存在性命题的互为否定关系，可知命题“存在x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是“对任意的x ∈R ，2x >0”，故选C.考点：全称命题与存在性命题的关系. 2．C 【解析】 【分析】由已知中a ＞0＞b ＞﹣a ，c ＜d ＜0，根据不等式的性质逐一分析四个答案中不等式是否成立，即可得到答案．【详解】若a ＞0＞b ＞﹣a ，c ＜d ＜0，则： （1）ad ＜0，bc ＞0，不成立； （2）a d +bc ＜0，成立；（3）∵a ＞b ，-c ＞-d ∴a ﹣c ＞b ﹣d ，成立；（4）∵a ＞b ，d ﹣c ＞0∴a （d ﹣c ）＞b （d ﹣c ），成立； 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是不等关系与不等式，其中熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键． 3．C 【解析】 【分析】由等差数列性质得：S 7=72（a 1+a 7）=72（a 2+a 6），由此能求出结果． 【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2+a 6=14，∴S 7=72（a 1+a 7）=72（a 2+a 6）=72×14=49． 故选：C ． 【点睛】(1)本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2) 等差数列{a n }中，如果m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ,注意这个性质的灵活运用.4．B 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，点P （a ，b ，c ）关于平面xOy 对称点Q 的坐标是（a ，b ，﹣c ）． 【详解】在空间直角坐标系中，点P （1，5，6）关于平面xOy 对称点Q 的坐标是（1，5，﹣6）． 故选：B ． 【点睛】题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．C 【解析】 【分析】由双曲线的定义列出方程即可求出|PF 2|． 【详解】左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线x 264−y 236=1上一点P ，a=8，b=6，c=10，c ﹣a=2， 满足|PF 1|=17，则||PF 1|﹣|PF 2||=16， 若|PF 1|=17，则|PF 2|=33或1（舍去）， 故选：C ． 【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，双曲线的定义的应用，是中档题． 6．D 【解析】【分析】利用等式，表示出a ，进而根据基本不等式及其性质解得最小值。

辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三上学期第二次模拟考试数学试题（理）一、选择题1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（）A. B. C. D.3. 已知，，，则、、的大小关系是（）A. B. C. D.4. 设，是实数，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 函数的一条对称轴方程为，则（）A. 1B.C. 2D. 36. 现有个命题.函数有个零点.若则中至少有个为负数.那么,这个命题中,真命题的个数是（）A. B. C. D.7. 对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：,仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则m的值为( )A. 43B. 44C. 45D. 468. 已知内角，，的对边分别是，，，若，，，则的面积为（）A. B. C. D.9. 设是定义在上的偶函数，且时，，若在区间内关于的方程有四个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.10. 如图圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播．若D是DFE弧与轴的交点，设，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形的面积为（图中阴影部分），则函数的图象大致是（）A. B.C. D.11. 已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（）A. 10个B. 8个C. 6个D. 4个12. 对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.13. 函数的值域为____________.14. 若正实数满足，则的最小值_____.15. 已知函数，若存在实数，对任意，都有，则的最大值是________.16. 设是一个非空集合，是定义在上的一个运算.如果同时满足下述四个条件：（1）对于，都有；（2）对于，都有；（3）对于，使得；（4）对于，使得（注：“”同（iii）中的“”）.则称关于运算构成一个群.现给出下列集合和运算：①是整数集合，为加法；②是奇数集合，为乘法；③是平面向量集合，为数量积运算；④是非零复数集合，为乘法. 其中关于运算构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）.三、解答题17. 已知集合是函数的定义域，集合是不等式的解集，，.（1）若，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.18. 已知函数，.（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角中，内角，，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积.19. 已知等差数列前项和为，，数列的前项和为，，.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足, ，求的值.20. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．21. 已知椭圆和直线：，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线过点且与椭圆相交两点，试判断是否存在直线，使以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.22. 已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，设，若正实数，，满足，求证：【参考答案】一、选择题1. 【答案】C【解析】由题得，集合，所以. 集合中元素的个数为3.故选C.2. 【答案】C【解析】由题意可得，从而则故答案选3. 【答案】D【解析】，，，，，即故答案选4. 【答案】B【解析】若，则同号，不等式等价为，即，必要性成立若满足，但不成立，则充分性不成立，故选5. 【答案】B【解析】试题分析：的对称轴是化简得6. 【答案】D【解析】画出与的图像，如图显然有两个交点，所以正确；，当，成立，所以正确；若则中至少有个为负数.7. 【答案】C【解析】根据题意，从到，正好用去从开始的连续奇数共：个，得是从开始的第个奇数，当时，从到，用去从开始的连续奇数共个；故选8. 【答案】B【解析】试题分析：考点：正余弦定理解三角形9. 【答案】D【解析】由，得又是定义在上的偶函数，，即则函数是以为周期的函数，结合题意画出函数在上的图象与函数的图象，结合图象分析可知，要使与的图象有四个不同的交点，则解得即的取值范围是故答案选10. 【答案】A【解析】由图形知，声波扫过平行四边形所留下阴影面积的变化是先增加的越来越快，再逐渐变慢，到增加量为，在中间圆弧过后，到这一段上，由平行四边形的性质知道，此一段时间内，阴影部分增加的速度不变，由此变化规律知只有最符合这一变化规律。