河南师范大学2013年硕士研究生入学考试616高等数学考研真题

2013年考研数学一真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．已知c xxx k x =-→arctan lim0，则下列正确的是 （A ）21,2-==c k （B ）21,2==c k（C ）31,3-==c k （D ）31,3==c k【分析】这是0型未定式，使用洛必达则即可．或者熟记常见无穷小的马克劳林公式则可快速解答．【详解1】c kx x kx x x x x x k x k x kx ==+=--→-→→12012200lim 1lim arctan lim ，所以k ，c k 121==-，即31,3==c k ．【详解2】 因为)(31arctan 33x o x x x +-=，显然331arctan x x x =-，当然有31,3==c k ．应该选（Ｄ） 2．曲面0)cos(2=+++x yz xy x 在点)1,1,0(-的切平面方程为（A ）2-=+-z y x （B ）0=++z y x （C ）32-=+-z y x （D ）0=--z y x【分析】此题考查的是空间曲面在点),,(000z y x M 处的法向量及切平面的方程．其中法向量为()),,(000|,,z y x z y x F F F =．【详解】设x yz xy x z y x F +++=)cos(),,(2，则在点点)1,1,0(-处())1,1,1(|,,000,,(-==z y x z y x F F F ，从而切平面方程为0)1()1()0(=++---z y x ，即2-=+-z y x ．应该选（Ａ）３．设21)(-=x x f ，),2,1(d sin )(210 ==⎰n x x n x f b n π，令∑∞==1sin )(n n x n b x S π，则=⎪⎭⎫⎝⎛-49S（Ａ）43 （Ｂ）41 （Ｃ）41- （Ｄ）43【分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性． 【详解】由条件可知，∑∞=1sin n n x n b π为21)(-=x x f 的正弦级数，所以应先把函数进行奇延拓，由收敛定理可知∑∞==1sin )(n nx n b x S π也是周期为２的奇函数，故41414141)49(-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-f S S S ，应选（Ｃ）．４．设1:221=+y x L ，2:222=+y x L ，22:223=+y x L ，22:224=+y x L 为四条逆时针方向的平面曲线，记)4,3,2,1(32633=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰i dy x x dx y y I i L i ，则{}=4321,,,max I I I I （Ａ）1I （Ｂ）2I （Ｃ）3I （Ｄ）4I 【分析】此题考查的是梅林公式和二重积分的计算． 【详解】由格林公式，⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=i i i D i D L i dxdy y x D S dxdy y x dy x x dx y y I 2)(21326222233． .8343)(43)2(403202222222222R dr r d dxdy y x dxdy y x R R y x R y x πθπ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+ 所以πππ85831=-=I ，248322πππ=⋅-=I ； 在椭圆D ：12222≤+by a x 上，二重积分最好使用广义极坐标计算：πθθθθθθθπππ4)2(cos 4)2(sin 2cos 4sin 21cos )2(222022220222210222222201222222b a ab d ba ab b a ab abrdrr b r a d dxdy y x b y ax +=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+故ππ82523-=I ，πππ222224=-=I ． 显然π224=I 最大．故应选（Ｄ）． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设函数)(x f y =由方程)1(y x e x y -=-确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→11lim n f n n ．【详解】当0=x 时，1)0(==f y ，利用隐函数求导法则知1)0('=f ．1)0('1)0(1lim 11lim ==-⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ． 10．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则该方程的通解为 ．【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．11．设⎩⎨⎧+==t t t y t x cos sin sin t 为参数，则==422|πt dx y d ．【详解】t dx dy tdt t dy tdt dx ===,cos ,cos ，t t dxy d sec cos 122==， 所以2|422==πt dx yd ．12．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ． 【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 三、解答题15．（本题满分10分） 计算⎰10)(dx xx f ，其中⎰+=x dt t t x f 1)1ln()(． 【分析】被积函数中含有变上限积分，所以应该用分部积分法．【详解】π282ln 414|)1ln(4)1ln(4)1ln(2|)(2)(2)(1010110101010-+-=+++-=+-=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx xxx x x d x dx x x x x f x x d x f dx xx f16．（本题满分10分）设数列{}n a 满足条件：)2(0)1(,1,3110≥=--==-n a n n a a a n n ，)(x S 是幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数． （1）证明：0)()(=-''x S x S ； （2）求)(x S 的表达式．【详解】（1）证明：由幂级数和函数的分析性质可知，;)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a x a x S∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=-∞=∞=++=+==+==1110111100)1()1()'()'()('n n n n nn n n n n nn n nn x a n a x a n xna x a a x a x S ；∑∑∑∞=+∞=-+∞=+++=+=++=''02111111)2)(1()1()')1(()('n n n n n n n nn x a n n xa n n x a n a x S ，由条件可得n n a a n n =+++2)2)(1(， 所以)()2)(1()('02x S x a x a n n x S n nn n nn ==++=''∑∑∞=∞=+， 也就有0)()(=-''x S x S ．（2）解：由于,)(100∑∑∞=∞=+==n n n n nn x a a xa x S 所以3)0(0==a S∑∞=+++=111)1()('n n n x a n a x S ，所以1)0('1==a S ，解微分方程1)0(',3)0(,0)()(===-''S S x S x S ， 可得x x e e x S 2)(+=-． 17．（本题满分10分）求函数yx e x y y x f +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3),(3的极值．18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： （1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ． 【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ， 令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ， 由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）设直线L 过,)0,0,1(A )1,1,0(B 两点，过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，曲面∑与平面2,0==z z 所围成的立体为Ω．（1）求曲面∑的方程；（2）求立体Ω的质心坐标． 【详解】（1）直线L 的对称式方程为1111zy x ==--， 设),,(z y x M 为曲面∑上的任意一点，并且其对应于直线L 上的点为),,(0000z y x M ， 由于过L 绕Z 轴旋转一周得到曲面∑，所以有如下式子成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--+=+=11110002202200z y x y x y x z z ，整理可得，122222+-=+z z y x ，这就是曲面∑的方程． （2）设Ω的质心坐标为()z y x ,,，由对称性，显然0,0==y x ，57310314)122()22(2220231222012220222222==+-+-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-≤++-≤+ΩΩππππdz z z dz z z z dxdy zdzdxdy dzdvzdv z z z y x z z y x ， 所以Ω的质心坐标为()⎪⎭⎫ ⎝⎛=57,0,0,,z y x ．2013年考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设2)(),(sin 1cos παα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价无穷小 （D ）与x 等价无穷小 【详解】显然当0→x 时)(~21~)(sin ,21~)(sin 1cos 2x x x x x x x ααα--=-，故应该选（C ）． 2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n （ ）（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【分析】本题考查的隐函数的求导法则信函数在一点导数的定义．【详解】将0=x 代入方程得1)0(==f y ，在方程两边求导，得01')')(sin(=+-+-yy xy y xy ，代入1,0==y x ，知1)0(')0('==f y ．2)0('22)0()2(lim 212lim ==-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ，故应该选（A ）． ３．设⎩⎨⎧∈∈=]2,[,2),0[,sin )(πππx x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(则（ ）（Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点． （Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点． （Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导． （Ｄ）)(x F 在π=x 可导． 【详解】只要注意π=x 是函数)(x f 的跳跃间断点，则应该是⎰=x dt t f x F 0)()(连续点，但不可导．应选（Ｃ）．４．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-=+-e x xx e x x x f ,ln 11,)1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ⎰∞+收敛，则（ ）（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α 【详解】⎰⎰⎰∞++-∞++-=e e dx xx x dx dx x f 1111ln 1)1()(αα， 其中⎰⎰---=-10111)1(e e t dt x dxαα当且仅当11<-α时才收敛；而第二个反常积分x x dx xx x eαξαααln lim 11|ln 1ln 111+∞→∞+-∞++-=-=⎰，当且仅当0>a 才收敛． 从而仅当20<<α时，反常积分()dx x f ⎰∞+才收敛，故应选（Ｄ）．５．设函数()xy f x y z =，其中f 可微，则=∂∂+∂∂yz x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2xy f x- 【详解】)('2)(')(1)(')(22xy yf xy yf xy f xxy f x y xy f x y y x y z x z y x =++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂+∂∂．应该选（A ）． 6．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9． =⎪⎭⎫⎝⎛+-→xx x x 10)1ln(2lim ． 【详解】21)(21(lim)1ln(lim 101022202)1ln(1lim )1ln(2lim e eex x x x x x x o x x x xx x xx xx x x ===⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+-→→→→．10．设函数dt e x f x t ⎰--=11)(，则)(x f y =的反函数)(1y f x -=在0=y 处的导数==0|y dydx． 【详解】由反函数的求导法则可知11011|1|--==-==e dxdy dy dx x y ．11．设封闭曲线L 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-=663cos πθπθr t 为参数，则L 所围成的平面图形的面积为 ．【详解】12cos 313cos 2121202662662πθθθπππππ====⎰⎰⎰--dt t d d r A所以．答案为12π．12．曲线上⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 对应于1=t 处的法线方程为 ．【详解】当1=t 时，2ln 21,4==y x π，1|111|'1221=++===t t t t ty ，所以法线方程为 )4(12ln 21π--=-x y ，也就是042ln 21=--+πx y ．13．已知x x x x x xe y xe e y xe e y 2322231,,-=-=-=是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满足1)0(',0)0(==y y 方程的解为 ．【详解】显然x e y y 331=-和x e y y =-32是对应的二阶常系数线性齐次微分方程两个线性无关的解，由解的结构定理，该方程的通解为x x x xe e C e C y 2231-+=，其中21,C C 为任意常数．把初始条件代入可得1,121-==C C ，所以答案为x x x xe e e y 23--= 三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当0→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35320253a dx x dx y V a ax ===⎰⎰；πππ37340762)(2a dx x dx x xf V a ay ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ．17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰Ddxdy x 2． 【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx xx D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设奇函数)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，且1)1(=f ，证明： （1）存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ；（2）存在)1,1(-∈η，使得1)()(='+''ηηf f ． 【详解】证明：（1）由于)(x f 为奇函数，则0)0(=f ，由于)(x f 在[]1,1-上具有二阶导数，由拉格朗日定理，存在)1,0(∈ξ，使得101)0()1()('=--=f f f ξ．（2）由于)(x f 为奇函数，则)('x f 为偶函数，由（1）可知存在)1,0(∈ξ，使得()1'=ξf ，且()1'=-ξf ， 令)1)('()(-=x f e x x ϕ，由条件显然可知)(x ϕ在[]1,1-上可导，且0)()(==-ξϕξϕ， 由罗尔定理可知，存在)1,1(),(-⊂-∈ξξη，使得(),0'=ηϕ即1)()(='+''ηηf f ． 19．（本题满分10分）求曲线)0,0(133≥≥=+-y x y xy x 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法． 【详解】构造函数)1(),(3322-+-++=y xy x y x y x L λ令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-+=∂∂=-+=∂∂10)3(20)3(23322y xy x x y y y Ly x x x L λλ，得唯一驻点1,1==y x ，即)1,1(1M ． 考虑边界上的点，)0,1(),1,0(32M M ；距离函数22),(y x y x f +=在三点的取值分别为1)0,1(,1)1,0(,2)1,1(===f f f ，所以最长距离为2，最短距离为1．20．（本题满分11） 设函数xx x f 1ln )(+=⑴求)(x f 的最小值；⑵设数列{}n x 满足11ln 1<++n n x x ，证明极限n n x ∞→lim 存在，并求此极限．【详解】 （1）22111)('xx x x x f -=-=， 令0)('=x f ，得唯驻点1=x ，当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，函数单调递减；当),1(∞∈x 时，0)('>x f ，函数单调递增． 所以函数在1=x 处取得最小值1)1(=f ． （2）证明：由于11ln 1<++n n x x ，但11ln ≥+nn x x ，所以n n x x 111<+，故数列{}n x 单调递增． 又由于11ln ln 1<+≤+n n n x x x ，得到e x n <<0，数列{}n x 有界．由单调有界收敛定理可知极限n n x ∞→lim 存在．令a x n n =∞→lim ，则11ln 1ln lim 1≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→a a x x n n n ，由（1）的结论可知1lim ==∞→a x n n ．21．（本题满分11） 设曲线L 的方程为)1(ln 21412e x x x y ≤≤-=． （1）求L 的弧长．（2）设D 是由曲线L ，直线e x x ==,1及x 轴所围成的平面图形，求D 的形心的横坐标． 【详解】（1）曲线的弧微分为dx xx dx x x dx y dx )1(211411'12+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=， 所以弧长为41)1(2121+=+==⎰⎰e dx x x ds s e ．（2）设形心坐标为()y x ,，则)7(4)32(31271632324324ln 214101ln 21410122---=---===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--e e e e e e dy dx dy xdx dxdy xdxdyx x x x x eD D．2013年考研数学三真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ）（A ）)()(32x o x o x =⋅ （B ）)()()(32x o x o x o = （C ）)()()(222x o x o x o =+ （D ）)()()(22x o x o x o =+【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2332x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是)(2x o 故应该选（D ）． 2．函数xx x x x f xln )1(1)(+-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x ex xx xln ~11ln -=-，1ln ln limln )1(1lim)(lim 0==+-=→→→x x x x x x x x x f x xx x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点．21ln 2ln limln )1(1lim)(lim 011==+-=→→→xx xx xx x x x f x xx x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→xx x x xx x x x f x x x x ln )1(ln limln )1(1lim)(lim 111，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的可去间断点．故应该选（C ）．３．设k D 是圆域{}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记⎰⎰-=kD k dxdy x y I )(，则（ ）（A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知()ππππππθθθθθθθθ22122110222)1(|cos sin 31)sin (sin 31)cos (sin )(k k kk kk D k d dr r d dxdy x y I k ---+-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰所以ππ32,32,04231-====I I I I ，应该选（B ）． ４．设{}n a 为正项数列，则下列选择项正确的是（ ） （A ）若1+>n n a a ，则∑∞=--11)1(n n n a 收敛；（B ）若∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则1+>n n a a ；（C ）若∑∞=1n na收敛．则存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在；（D ）若存在常数1>P ，使n pn a n ∞→lim 存在，则∑∞=1n na收敛．【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D ）正确，故应选（Ｄ）．此小题的（A ）（B ）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A ），但少一条件0lim =∞→n n a ，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B ）也不正确，反例自己去构造．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设曲线)(x f y =和x x y -=2在点()0,1处有切线，则=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim n n nf n ． 【详解】由条件可知()1)1(',01==f f ．所以2)1('22222)1(221lim 2lim -=-=-+⋅+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→f nn n f n f n n nf n n 10．设函数()y x z z ,=是由方程()xy y z x=+确定，则=∂∂)2,1(|xz． 【详解】设()xy y z z y x F x-+=)(,,，则()1)(),,(,)ln()(,,-+=-++=x z x x y z x z y x F y y z y z z y x F ，当2,1==y x 时，0=z ，所以2ln 22|)2,1(-=∂∂xz． 11．=+⎰∞+x d x x12)1(ln ．【详解】2ln |1ln )1(1|1ln 11ln )1(ln 111112=+=+++-=+-=+∞+∞+∞+∞+∞+⎰⎰⎰x x dx x x x x x xd x d x x 12．微分方程041=+'-''y y y 的通解为 ． 【详解】方程的特征方程为041=+-λλr，两个特征根分别为2121==λλ，所以方程通解为221)(xe x C C y +=，其中21,C C 为任意常数．三、解答题15．（本题满分10分）当0→x 时，x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，求常数n a ,．【分析】主要是考查0→x 时常见函数的马克劳林展开式． 【详解】当0→x 时，)(211cos 22x o x x +-=，)(21)()2(2112cos 2222x o x x o x x +-=+-=，)(291)()3(2113cos 2222x o x x o x x +-=+-=，所以)(7))(291))((21))((211(13cos 2cos cos 122222222x o x x o x x o x x o x x x x +=+-+-+--=-，由于x x x 3cos 2cos cos 1-与nax 是等价无穷小，所以2,7==n a ．16．（本题满分10分） 设D 是由曲线3x y =，直线a x =)0(>a 及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x 轴和y 轴旋转一周所形成的立体的体积，若y x V V =10，求a 的值． 【详解】由微元法可知πππ35032253a dx x dx y V a a x ===⎰⎰；πππ370340762)(2a dx x dx x xf V a a y ===⎰⎰；由条件y x V V =10，知77=a ． 17．（本题满分10分）设平面区域D 是由曲线8,3,3=+==y x x y y x 所围成，求⎰⎰D dxdy x 2．【详解】341683622332222221=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-xx x x D D Ddy dx x dy dx x dxdy x dxdy x dxdy x ． 18．（本题满分10分）设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,100060QP -=（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该的边际利润．（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义． （3）使得利润最大的定价P ． 【详解】（1）设利润为y ，则6000100040)206000(2--=+-=Q Q Q PQ y ， 边际利润为.50040'Q y -= （2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．（3）令0'=y ，得.40100002000060,20000=-==P Q19．（本题满分10分）设函数()x f 在),0[+∞上可导，()00=f ，且2)(lim =+∞→x f x ，证明（1）存在0>a ，使得();1=a f（2）对（1）中的a ，存在),0(a ∈ξ，使得af 1)('=ξ． 【详解】证明（1）由于2)(lim =+∞→x f x ，所以存在0>X ，当X x >时，有25)(23<<x f ， 又由于()x f 在),0[+∞上连续，且()00=f ，由介值定理，存在0>a ，使得();1=a f （2）函数()x f 在],0[a 上可导，由拉格朗日中值定理， 存在),0(a ∈ξ，使得aa f a f f 1)0()()('=-=ξ．2014年考研数学一真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+= 2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ） （A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，从而010==≥)()()(F F x F ，即0≥-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）３．设)(x f 是连续函数，则=⎰⎰---y y dy y x f dy 11102),(（Ａ）⎰⎰⎰⎰---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(（Ｂ）⎰⎰⎰⎰----+010111012x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),((Ｃ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020dr r r f d dr r r f d（Ｄ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图． 【详解】积分区域如图所示如果换成直角坐标则应该是⎰⎰⎰⎰---+xx dy y x f dx dy y x f dx 10101012),(),(，（A ），（B ） 两个选择项都不正确；如果换成极坐标则为⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d ．应该选（D ）４．若函数{}⎰⎰-∈---=--ππππdx x b x a x dx x b x a x Rb a 2211)sin cos (min)sin cos (,，则=+x b x a s in c o s 11（Ａ）x sin 2 （Ｂ）x cos 2 （Ｃ）x sin π2 （Ｄ）x cos π2 【详解】注意3232πππ=⎰-dx x ，222πππππ==⎰⎰--dx x dx x sin cos ，0==⎰⎰--dx x x dx x x ππππsin cos cos ， πππ2=⎰-dx x x sin ，所以b b a dx x b x a x πππππ42322232-++=--⎰-)()sin cos ( 所以就相当于求函数b b a 422-+的极小值点，显然可知当20==b a ,时取得最小值，所以应该选（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为 ．【详解】曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的法向量为()),,(|,,),,(1121101--=-y x z z ，所以切平面方程为0110112=--+--+-))(())(()(z y x ，即012=---z y x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足31e y =)(的解为 ．【详解】方程的标准形式为x y x y dx dy ln =，这是一个齐次型方程，设xyu =，得到通解为1+=Cx xe y ，将初始条件31e y =)(代入可得特解为12+=x xey ．12．设L 是柱面122=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx ．【详解】由斯托克斯公式⎰⎰⎰∑∂∂∂∂∂∂=++RQ P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 可知π===+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑xyD Ldxdy dxdy dzdx dydz ydz zdx ．其中⎩⎨⎧≤+=+∑1022y x z y :取上侧，{}122≤+=y x y x D xy |),(． 三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程06223=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值． 【详解】解：在方程两边同时对x 求导一次，得到0223222=++++)(')(xy y y x xy y ， （１）即222232xxy y xyy dx dy ++--=, 令0=dx dy 及06223=+++y x xy y ，得到函数唯一驻点21-==y x ,． 在（１）式两边同时对x 求导一次，得到（022*******=+++++++y y x xy y y x xy y yy ")(')''(把0121=-==)(',,y y x 代入，得到0941>=)("y ，所以函数)(x f y =在1=x 处取得极小值2-=y ． 17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u x cos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z x x xcos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； xx x e y e f e u f yz x z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知 u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为：u ue C eC u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C e C u f u u 412221-+=-)(． 将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分）设曲面)(:122≤+=∑z y x z 的上侧，计算曲面积分：dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑【详解】设⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧，记由1∑∑,所围立体为Ω，则高斯公式可得 123322222221120(1)(1)(1)(3(1)3(1)1)(33766)(337)(37)4rx dydz y dzdx z dxdy x y dxdydzx y x y dxdydz x y dxdydzd rdr r dz πθπ∑+∑ΩΩΩ-+-+-=--+-+=-++--=-++=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰在⎩⎨⎧≤+=∑11221y x z :取下侧上，0111111133=-=-+-+-⎰⎰⎰⎰∑∑dxdy dxdy z dzdx y dydz x )()()()(， 所以dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑=π4111133-=-+-+-⎰⎰∑+∑dxdy z dzdx y dydz x )()()( 19．（本题满分10分） 设数列{}{}n n b a ,满足2020ππ<<<<n n b a ,，n n n b a a cos cos =-且级数∑∞=1n nb收敛．（1） 证明0=∞→n n a lim ；证明级数∑∞=1n nnb a 收敛． 【详解】（1）证明：由n n n b a a cos cos =-，及2020ππ<<<<n n b a ,可得20π<-=<n n n b a a cos cos ，所以20π<<<n n b a ，由于级数∑∞=1n nb收敛，所以级数∑∞=1n na也收敛，由收敛的必要条件可得0=∞→n n a lim ．（2）证明：由于2020ππ<<<<n n b a ,，所以2222nn n n n n n n a b a b b a b a -≤-+≤+sin ,sin2sinsin cos cos 22n n n n n n nn nn a b b aa ab b b b +--==222222222n n n nn n n n n n n a b b a b a b b b b b +--≤=<=由于级数∑∞=1n n b 收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数∑∞=1n nnb a 收敛． 2014年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210 2．下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin+= 3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21（Ｄ）316．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂yx u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ． 三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 17．（本题满分10分） 设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （2） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．2014年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0≠=∞→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【详解】因为0≠=∞→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，εε+≤<-a a a n ，取2a =ε，则知2a a n >，所以选择（A ）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim且01==-∞→∞→xx y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设32dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++=，显然31010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设某商品的需求函数为p Q 240-=（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为 ． 【详解】2240p p pQ p R -==)(，边际收益p p R 440-=)('．10．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为 ． 【详解】22112101ln +=+=⎰⎰⎰⎰--yydx dy dx dy S 11．设412=⎰ax dx xe ，则=a ． 【详解】411241244120202+-=-==⎰)(|)(a e x e dx xe a ax ax ．所以.21=a12．二次积分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰dx e xe dy y y x 11022． 【详解】)()(12111010101010100110101102222222222-==+-=--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dy ye dy e edy y e dy x ex d dx e dy dy x e dx dx e x e dy y y y dxx xy x x y y x y y x三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D Ddr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足xx e y e z yz x z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂由条件x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分） 求幂级数∑∞=++031n nxn n ))((的收敛域、和函数．【详解】 由于11=+∞→nn n a a lim，所以得到收敛半径1=R ．当1±=x 时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()11,-． 令和函数)(x S =∑∞=++031n nxn n ))((，则3211121112131111234)('"'")())(()()(x xx x x x x x x n x n n x n n x S n n n n n nn nn n--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++=∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=∞=19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （3） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；。

河南省2013年普通高等学校选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试高等数学一、单项选择题(每小题2分，共60分)1．函数y 的定义域是（ ）A ．[]0,2B ．(1,)+∞C ．(1,2]D ．[]1,2【答案】C【解析】为使函数有意义，须有11110x x -≤-≤⎧⎨->⎩，即12x <≤，故函数的定义域为(1,2]，应选C ．2．设1()1f x x=-，那么[]{}()f f f x =（ ）A ．1xB ．11x - C ．211x- D ．x【答案】D 【解析】由1()1f x x =-得[]11()111x f f x x x-==---，[]{}1()11f f f x x x x ==-+，故选D ．3．函数()y x =-∞<<+∞是（ ）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数【答案】B【解析】()()f x f x -====-，即()y f x =为奇函数，故选B ．4．设sin 2()xf x x=，则0x =是()f x 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．无穷间断点【答案】B【解析】00sin 2lim ()lim2x x xf x x→→==，故0x =是()f x 的可去间断点，选B ．5． 当0x →）A ．xB ．2xC ．2xD ．22x【答案】A【解析】b ax ，则0lim 1b x x x x ax→→→===，则1a =，1b =，故选A ．6． 已知(0)f a '=，(0)g b '=，且(0)(0)f g =，则0()()limx f x g x x→--=（ ）A ．a b -B ．2a b +C ．a b +D ．b a -【答案】C 【解析】00()()()(0)()(0)limlim (0)(0)00x x f x g x f x f g x g f g a b x x x →→-----⎡⎤''=+=+=+⎢⎥---⎣⎦，故选C ．7．曲线cos (0,0)sin x a t a b y b t=⎧>>⎨=⎩，则4t π=对应点处的法线斜率为（ ） A ．baB ．a b C ．b a -D ．a b-【答案】B【解析】cos cot sin dy dy b t b dt t dx dx a t a dt===--，故4t π=对应点处的法线斜率为a b，应选B ．8．设()()f x g x '=，则2(sin )df x =（ ） A ．2()sin g x xdx B ．()sin 2g x xdxC ．(sin 2)g x dxD ．2(sin )sin 2g x xdx【答案】D【解析】222(sin )(sin )(sin )2sin cos df x f x dx f x x xdx ''⎡⎤==⋅⎣⎦，又()()f x g x '=，故2(sin )df x = 2(sin )sin 2g x xdx ，应选D ．9．设函数()f x 具有任意阶导数，且[]2()()f x f x '=，则()()n f x =（ ）A ．[]1!()n n f x +B ．[]1()n n f x +C ．[]1(1)()n n f x ++D ．[]1(1)!()n n f x ++【答案】A【解析】[]2()()f x f x '=，[]3()2()()2()f x f x f x f x '''==， [][]24()23()()23()f x f x f x f x ''''=⋅=⋅，()()n f x =[]1!()n n f x +，故选A ．10．由方程x y xy e +=确定的隐函数()x y 的导数dxdy=（ ）A ．(1)(1)x y y x --B ．(1)(1)y x x y --C ．(1)(1)y x x y +-D ．(1)(1)x y y x +-【答案】A【解析】方程两边对y 求导，其中x 看作y 的函数，(1)x y x y x e x +''+=+，所以dx x dy'== (1)(1)x y x y e x x y y e y x ++--=--，故选A ．11．若()0(0)f x x a ''><<，且(0)0f =，则下面成立的是（ ） A ．()0f x '> B ．()f x '在[]0,a 上单调增加C ．()0f x >D ．()f x 在[]0,a 上单调增加【答案】B【解析】()0f x ''>只能说明()f x '是[]0,a 上的增函数，而A 、C 、D 中的结论无法得到．12．点(0,1)是曲线32y x bx c =++的拐点，则（ ） A ．0b =，1c = B ．1b =-，0c =C ．1b =，1c =D ．1b =-，1c =【答案】A【解析】232y x bx '=+，62y x b ''=+，当0x =时，20y b ''==，则0b =，又曲线过点(0,1)， 即1c =，故选A ．13．曲线2216x y x x +=+--的垂直渐近线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】A 【解析】222116(2)(3)x x y x x x x ++=+=+--+-，显然2x =-为可去间断点，3lim x y →=∞，故3x =为曲线的垂直渐近线，故应选A ．14．函数()x x f x e e -=-的一个原函数是（ ） A ．()x x F x e e -=- B ．()x x F x e e -=+C ．()x x F x e e -=-D ．()x x F x e e -=--【答案】B【解析】()()x x x x f x dx e e dx e e C --=-=++⎰⎰，结合选项可知B 正确．15．若()f x '连续，则下列等式正确的是（ ） A ．()()df x f x =⎰ B ．()()d f x dx f x =⎰C ．()()f x dx f x '=⎰D ．22()()d f x dx f x dx =⎰【答案】D【解析】()()df x f x C =+⎰，A 错；()()d f x dx f x dx =⎰，B 错；()()f x dx f x C '=+⎰，C 错；22()()d f x dx f x dx =⎰，D 正确．16．2sin x xdx ππ-=⎰ （ ）A ．πB ．π-C ．1D ．0【答案】D【解析】2sin y x x =为[],ππ-上的奇函数，故2sin 0x xdx ππ-=⎰，应选D ．17．设221()x x f t dt xe ++=⎰，则()f x '=（ ）A ．x xeB ．(1)x x e -C ．(2)x x e +D ．2x xe +【答案】A【解析】方程两边对x 求导，得22(2)x x f x e xe +++=+，所以()(2)x x f x e x e =+-，()f x '=x xe ，故选A ．18．下列广义积分收敛的是（ ）A ．1dxx+∞⎰B ．1+∞⎰C ．21dx x+∞⎰D ．31ln xdxx+∞⎰【答案】C【解析】11ln dxx x+∞+∞==+∞⎰，发散；1+∞==+∞⎰，发散；12111dx x x+∞+∞=-=⎰，收敛；334111ln 1ln ln ln 4xdx xd x x x +∞+∞+∞===+∞⎰⎰，发散，故选C ．19．微分方程22()()0y y y y '''++=的阶数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】微分方程的阶数为方程中最高阶导数的阶数，故选B ．20．微分方程220dy xy dx -=满足条件(1)1y =-的特解是（ ）A ．21y x =B ．21y x =-C ．2y x =D ．2y x =-【答案】B【解析】对微分方程分类变量，得22dy xdx y =，两边积分，得21x C y-=+，代入(1)1y =-，得0C =，故方程的特解为21y x =-，应选B ．21．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ）A ．,,443πππB ．,,643πππC ．,,334πππD ．,,432πππ【答案】C【解析】向量的方向角须满足222cos cos cos 1αβγ++=，计算可知只有C 满足．22．直线124:231x y z L -+-==-与平面:2340x y z π-+-=的位置关系是（ ） A ．L 在π上 B ．L 与π垂直相交C ．L 与π平行D ．L 与π相交，但不垂直【答案】B【解析】由于直线的方向向量与平面的法向量平行，故L 与π垂直相交，应选B ．23．下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是（ ） A ．22273x z y +=B ．22144x y z -=-C ．22214169x y z =--D ．2220x y x +-=【答案】D【解析】D 中，曲面在xOy 平面上的投影为圆，故D 为柱面，其他均不是，应选D ． 24．00x y →→=（ ）A ．0B ．1C ．14-D ．不存在【答案】C【解析】0014x x x y y y →→→→→→==-=-．25．设22(,23)z f x y x y =-+，则zy∂=∂（ ）A ．1223yf f ''+B ．1223yf f ''-+C ．1222xf f ''+D ．1222xf f ''-【答案】B 【解析】1212(2)323zf y f yf f y∂''''=⋅-+⋅=-+∂，故选B ．26．设222002(,)(,)x I dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰，则交换积分次序后，I 可以化为（ ） A．2(,)dy f x y dx ⎰B．222(,)x dy f x y dx ⎰⎰C．22(,)x f x y dx ⎰⎰D．202(,)dy f x y dx ⎰⎰【答案】A【解析】画出积分区域如图，交换积分次序得I=2(,)dy f x y dx ⎰，故选A ．27．积分1221dx x ydy =⎰⎰（ ）A ．2B ．13C ．12D ．0【答案】C【解析】121223110311222dx x ydy x dx x ===⎰⎰⎰．28．设是抛物线2x y =上从(0,0)O 到(1,1)A 的一段弧，则曲线积分22Lxydx x dy +=⎰（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1【答案】D【解析】112244512(22)551Lxydx x dy y y y y dy y dy y +=⋅⋅+===⎰⎰⎰．29．幂级数1(1)n n n x ∞=+∑的收敛区间为（ ）A ．(0,1)B ．(,)-∞+∞C ．(1,1)-D ．(1,0)-【答案】C 【解析】12lim lim 11n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+，故收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-．30．下列级数收敛的是（ ）A ．11(1)1nn n ∞=-+∑B ．11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑C ．11sin n n ∞=∑D ．1!nn n n ∞=∑【答案】A【解析】A 为交错级数，且1lim 01n n →∞=+，11n +单调递减，故收敛；1ln 1lim 11n n n→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，1sinlim 11n n n→∞=，而11n n ∞=∑发散，故B 、C 均发散；11(1)!1lim lim lim (1)!n n n n n n n na n n n e a n n n ρ++→∞→∞→∞++⎛⎫==⋅== ⎪+⎝⎭， 1ρ>，发散，故选A ．二、填空题(每小题2分，共20分)31．函数()f x 在点0x 有定义是极限0lim ()x x f x →存在的________条件．【答案】既不充分也不必要【解析】()f x 在点0x 有定义表明()f x 定义域中包含0x ，0lim ()x x f x →存在等价于lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=，二者没有什么本质的联系．32． 已知23lim 1pxx e x -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则p =________．【答案】23【解析】(3)33233lim 1lim 1xpxp p x x e e x x -⋅---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故23p =．33．函数,0()cos 2,0ax e a x f x a x x x ⎧-≤=⎨+>⎩是连续函数，则a =________．【答案】12【解析】0lim ()lim()1ax x x f x e a a --→→=-=-，00lim ()lim(cos2)x x f x a x x a ++→→=+=，由()f x 的连续性，知1a a -=，即12a =．34．设函数421f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x '=________．【答案】32x -【解析】421f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21()f x x =，32()f x x '=-．35．不定积分2cos 2sin xdx x x+=+⎰________．【答案】ln 2sin x x C ++ 【解析】2cos 1(2sin )ln 2sin 2sin 2sin x dx d x x x x C x x x x+=+=++++⎰⎰．36．向量{}1,0,1=a 与向量{}1,1,0=-b 的夹角是________． 【答案】23π【解析】1cos ,2⋅==-a b a b a b ，故2,3π=a b ．37．微分方程0y y x '+-=的通解是________． 【答案】1x y x Ce -=+-【解析】由一阶线性微分方程的通解公式得微分方程的通解为()()1dx dxx xxx x x y e xe dx C exe dx C exe e C x Ce ----⎛⎫⎰⎰=+=+=-+=+- ⎪⎝⎭⎰⎰，其中C 为任意常数．38．设方程220x y z xyz ++-=所确定的隐函数为(,)z z x y =，则01x y zx==∂=∂________．【答案】5-【解析】方程两边对x 求偏导，得120z z y z x x x ∂∂⎛⎫+-+= ⎪∂∂⎝⎭，012x y z ===-，代入得015x y zx==∂=-∂．39．曲面22z x y =+在点(1,2,5)处的切平面方程是________． 【答案】245x y z +-=【解析】令22(,,)F x y z x y z =+-，2x F x =，2y F y =，1z F =-，故点(1,2,5)处的切平面法向量为(2,4,1)-，所以切平面的方程为2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即245x y z +-=．40．将1()f x x =展开成(4)x -的幂级数是________． 【答案】10(1)(4)4nn n n x ∞+=--∑，(0,8)x ∈【解析】01(1)1n n n x x ∞==-+∑，100111114(1)()(1)(4)444444414nn n n n n n x f x x x x x ∞∞+==--⎛⎫===⋅=-=- ⎪-+-⎝⎭+∑∑，(0,8)x ∈．三、计算题(每小题5分，共50分) 41．011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦． 【答案】12-【解析】2000001111ln(1)ln(1)111lim lim lim lim lim ln(1)ln(1)22(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→-⎡⎤+-+--+-=====-⎢⎥+++⎣⎦．42．已知函数()x x y =由方程arctan yx=dx dy ．【答案】x y x y-+ 【解析】方程arctan yx =y 求导，得22211x yx y x x''-⋅=+()x y x y x '-=+，即dx x yx dy x y -'==+．43．求不定积分⎰．【答案】x C 【解析】t ，则2x t =，2dx tdt =，2222221arctan arctan arctan 111t tdt t t dt t t dt t t ⎛⎫==-=-- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰2arctan arctan t t t t C x C =-++=．44．设21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，求31(2)f x dx -⎰．【答案】13e +【解析】3311221111(2)(2)(2)()(1)t x t f x dx f x d x f t dt t dt e dt =----=--−−−→=++⎰⎰⎰⎰⎰30111133tt t e e -⎛⎫=++=+⎪⎝⎭．45．求微分方程23x y y y e '''+-=的通解． 【答案】121232x xx y C e C ee -=++，其中12,C C 为任意常数 【解析】对应齐次方程的特征方程为2210r r +-=，特征根为11r =-，212r =，所以原方程对应齐次方程的通解为1212x xy C e C e -=+，12,C C 为任意常数， 设*x y Ae =为方程的特解，代入方程解得32A =， 故原方程的通解为121232x xx y C e C ee -=++，其中12,C C 为任意常数．46．设2sin 2xy u x y e =++，求全微分du ． 【答案】(2)(2cos2)xy xy x ye dx y xe dy +++ 【解析】2xy ux ye x∂=+∂，2cos2xy u y xe y ∂=+∂，故 (2)(2cos2)xy xy u udu dx dy x ye dx y xe dy x y∂∂=+=+++∂∂．47．一平面过点(1,0,1)-且平行于向量{}2,1,1=-a 和{}1,1,2=-b ，求此平面的方程． 【答案】534x y z --=【解析】所求平面的一个法向量为21153(1,5,3)112=-=--=---i j kn i j k ，又平面过点(1,0,1)-，所以所求平面的方程为(1)53(1)0x y z ---+=，即534x y z --=．48． 计算x yDe dxdy ⎰⎰，其中D 是由1y =，y x =，2y =，0x =所围成的闭区域．【答案】3(1)2e - 【解析】积分区域{}(,)12,0D x y y x y =≤≤≤≤，故222211113(1)(1)(1)22x x yyyDe e dxdy dy e dx y e dy e y -==-=-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰．49．计算积分2222(210)(215)Lx xy y dx x xy y dy +-++--+⎰，其中L 为曲线cos y x =上从点,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭到点,02B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的一段弧． 【答案】31012ππ--【解析】22(,)210P x y x xy y =+-+，22(,)215Q x y x xy y =--+，22P Qx y y x∂∂=-=∂∂，所以所求积分与路径无关，可以沿直线0y =积分，故32222222(210)(215)(10)1012Lxxy y dx x xy y dy x dx ππππ-+-++--+=+=--⎰⎰．50．求幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑的收敛域．【答案】[1,3)-【解析】112(1)1limlim 2(2)2n n n n n na n a n ++→∞→∞+==+，所以幂级数的收敛半径为2， 从而12x -<，即收敛区间为(1,3)-，当1x =-时，原级数为0(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当3x =时，原级数为011n n ∞=+∑，故原幂级数的收敛域为[1,3)-．四、应用题(每小题6分，共12分)51．某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入为多少？【答案】当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元． 【解析】设租金定为x 元时对应的收入为y 元，则200050(200)100x y x -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，即27214000100x y x =-+-，2000x ≥，令72050x y '=-+=，得唯一驻点3600x =，且1050y ''=-<，结合实际问题，知当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元．52．曲线3(0)y x x =≥，直线2x y +=以及y 轴围成一平面图形D ，试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积． 【答案】1415π 【解析】平面图形如图阴影部分所示，所求的体积 512221323101314(2)(2)5315x V dy y dy y y πππππ=⋅+-=+-=⎰⎰．五、证明题(8分)53．设()f x 在区间[]0,1上连续，且()1f x <，证明：方程02()1xx f t dt -=⎰在区间(0,1)内有且仅有一个实根．【解析】令0()2()1xF x x f t dt =--⎰，则()F x 为[]0,1上连续函数，且(0)10F =-<，10(1)1()F f t dt =-⎰，又()1f x <，则1()1f t dt <⎰，从而(1)0F >，由零点定理知，()F x 在(0,1)内至少有一个零点，又()2()0F x f x '=->，()F x 在(0,1)上单调增加， 故方程02()1xx f t dt -=⎰在区间(0,1)内有且仅有一个实根．。

河南省专升本考试高等数学真题2013年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.______（分数：2.00）A.[0，2]B.(1，+∞)C.(1，2] √D.[1，2]解析：[解析] 1＜x≤2，故函数的定义域为(1，2] 2.设，那么f{f[f(x)]}=______A．B．C．D．x（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] D.3.______（分数：2.00）A.偶函数B.奇函数√C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：[解析] 令，则即y=f(x)为奇函数.4.x=0是f(x)的______（分数：2.00）A.连续点B.可去间断点√C.跳跃间断点D.无穷间断点解析：[解析] x=0是f(x)的可去间断点.5.当x→0______（分数：2.00）A..x √B.2xC..x2D.2x2解析：[解析] 由选项可设与等价的无穷小量为ax b，则则a=1，b=1，故选A.6.已知f"(0)=a，g"(0)=b，且f(0)=b，且f(0)=g(0)，则（分数：2.00）A.a-bB.2a+bC.a+b √D.b-a解析：[解析 C.7.曲线(a＞0，b＞0)，则对应点处的法线斜率为______ A．B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] ，故对应点处的法线斜率为 B.8.设f"(x)=g(x)，则df(sin 2 x)=______（分数：2.00）A.2g(x)sinxdxB.g(x)sin2xdxC.g(sin2x)dxD.g(sin2x)sin2xdx √解析：[解析] df(sin 2 x)=[f(sin 2 x)]"dx=f"(sin 2x)·2sinxcosxdx，因为f"(x)=g(x)，故df(sin 2 x)=g(sin 2 x)sin2xdx，故选D.9.设函数f(x)具有任意阶导数，且f"(x)=[f(x)] 2，则f (n) (x)=______（分数：2.00）A.n![f(x)]n+1 √B.n[f(x)]n+1C.(n+1)[f(x)]n+1D.(n+1)![f(x)]n+1解析：[解析] 因为f"(x)=[f(x)] 2，所以f"(x)=2f(x)f"(x)=2[f(x)]3，f""(x)=2×3[f(x)]2·f"(x)=2×3[f(x)]4，f(4)=2×3×4[f(x)]3·f"(x)=4![f(x)]5，…f(n)(x)=n![f(x)]n+1，故选A.10.由方程xy=x x+y确定的隐函数x(y)的导数______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 方程两边对y求导，其中x看作y的函数，x"y+x=e x+y·(x"+1)，所以 A.11.若f"(x)＞0(0＜x＜a)，且f(0)=0，则下面成立的是______（分数：2.00）A.f"(x)＞0B.f"(x)在[0，a]上单调增加√C.f(x)＞0D.f(x)在[0，a]上单调增加解析：[解析] f"(x)＞0只能说明f"(x)是[0，a]上的增函数，而A、C、D中结论无法得到.12.点(0，1)是曲线y=x 3 +bx 2 +c的拐点，则______（分数：2.00）A.b=0，c=1 √B.b=-1，c=0C.b=1，c=1D.b=-1，c=1解析：[解析] y"=3x 2 +2bx，y"=6x+2b，当x=0时，y"=2b=0，则b=0，又曲线过点(0，1)，即c=1，本题选A．13.______（分数：2.00）A.1条√B.2条C.3条D.4条解析：[解析] ，显然x=-2x=3为曲线的垂直渐近线，本题选A．14.函数f(x)=e x -e -x的一个原函数是______（分数：2.00）A.F(x)=ex-e-xB.F(x)=ex+e-x √C.F(x)=e-x-exD.F(x)=-ex-e-x解析：[解析] ∫f(x)dx=∫(e x -e -x)dx=∫e x dx+∫e -x d(-x)=e x +e -x +C，结合选项可知B正确．15.若f"(x)连续，则下列等式正确的是______（分数：2.00）A.∫df(x)B.d∫f(x)dx=f(x)C.∫f"(x)=f(x)D.d∫f(x2)dx=f(x2)dx√解析：[解析] ∫df(x)=f(x)+C，A错，d∫(x)dx=f(x)dx，B错，∫f"(x)dx=f(x)+C，C错，D正确．（分数：2.00）A..πB.-πC.1D.0 √解析：[解析] 由于y=x 2 sinx为[-π，π]上的奇函数，故17.f"(x)=______（分数：2.00）A.xex √B.(x-1)exC.(x+2)exD.xex+2解析：[解析] 方程两边对x求导，得f(2+x)=e 2+x+xe 2+x，所以f(x)=e x+(x-2)e x，f"(x)=e x+e x+(x-2)e x =xe x．18.下列广义积分收敛的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 发散，发散，收敛，C．19.微分方程(y")2+(y")2y+y=0的阶数是______（分数：2.00）A.1B.2 √C.3D.4解析：[解析] 微分方程的阶数为方程中最高阶导数的阶数，故选B．20.微分方程dy-2xy 2 dx=0满足条件y(1)=-1的特解是______A．B．C．y=x 2D．y=-x 2（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 对微分方程分离变量，得，两边积分，得，代入y(1)=-1，得C=0，故方程的．21.下列各组角中，可以作为向量的方向角的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 向量的方向角须满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，由此可知只有C满足．22.π：2x-3y+z-4=0的位置关系是______（分数：2.00）A.L在π上B.L与π垂直相交√C.L与π平行D.L与π相交，但不垂直解析：[解析] 由于直线的方向向量与平面的法向量平行，故L与π垂直相交．23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是______A．B．C．D．x 2 +y 2 -2x=0（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] D中，曲面在xOy平面上的投影为圆，故D为柱面，其他均不是．24. ______A．0B．1C．D．不存在（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析25.设z=f(x 2 -y 2，2x+3y)，则______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析B．26.设，则交换积分次序后，I可以化为______ A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 画出积分区域如图，交换积分次序，得27.积分______A．2B．C．D．0（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析28.设L是抛物线x=y 2上从O(0，0)到A(1，1)的一段弧，则曲线积分∫ L 2xydx+x 2 dy=______（分数：2.00）A.0B.2C.4D.1 √解析：[解析29.______（分数：2.00）A.(0，1)B.(-∞，+∞)C.(-1，1) √D.(-1，0)解析：[解析，故收敛半径R=1，收敛区间为(-1，1).30.下列级数收敛的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] A为交错级数，且，单调递减，故收敛，，而发散，故B、C均发散，D，故发散．二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数f(x)在点x 0有定义是极限 1条件.（分数：2.00）解析：既不充分也不必要 [解析] f(x)在x 0有定义表明f(x)定义域中包含x 0，存在等价于者没有什么本质联系．32.已知p= 1.（分数：2.00）解析：[解析] ，故33.函数a= 1.（分数：2.00）解析：[解析] ，由f(x)的连续性，知1-a=a34.设函数f"(x)= 1.（分数：2.00）解析：[解析35.不定积分（分数：2.00）解析：ln|2x+sinx|+C[解析36.向量a={1，0，1)与向量b={-1，1，0)的夹角是 1.（分数：2.00）解析：[解析37.微分方程y"+y-x=0的通解是 1.（分数：2.00）解析：y=x+Ce -x -1 [解析] 由一阶线性微分方程的通解公式得微分方程的通解为y=e -∫dx(∫xe ∫dx +C)=e -x(∫xe x dx+C)=e -x (xe x -e x +C)=x+Ce -x -1．38.设方程x+2y+x-2xyz=0所确定的隐函数为z=z(x，y)，则（分数：2.00）解析：-5[解析] 方程两边对x求偏导，得，39.曲面x=x 2 +y 2在点(1，2，5)处的切平面方程是 1.（分数：2.00）解析：2x+4y-z=5 [解析] 令F(x，y，z)=x 2 +y 2 -z，F x =2x，F y =2y，F z =-1，故点(1，2，5)处的切平面法向量为{F x | x=1，F y | y=2，F z |z=5}={2，4，-1}，所以切平面方程为2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0，即2x+4y-z=5．40.将(x-4)的幂级数是 1.（分数：2.00）解析：[解析] ，因为，所以三、计算题(总题数：10，分数：50.00)（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()42.已知函数x=x(y)由方程所确定，求（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：方程两边对y求导，得即，即．43.求不定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令，则x=t 2，dt=2tdt，将代入得．44.设求（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()45.求微分方程2y"+y"-y=3e x的通解.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对应齐次方程的特征方程为2λ2 +λ-1=0，特征根为λ1 =-1，，所以原方程对应齐次方程的通解为，C 1，C 2为任意常数，又1不是对应齐次方程的特征根，设y*=Ae x为方程特解，代入方程得2Ae x +Ae x -Ae x =3e x，即，故原方程的通解为，其中C 1，C 2为任意常数．46.设u=x 2 +sin2y+e xy，求全微分du.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：．所以=(2x+ye xy )dx+(2cos2y+xe xy )dy.47.一平面过点(1，0，-1)且平行于向量a={2，1，-1}和b={1，-1，2)，求此平面的方程.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设c={m，n，p)为所求平面的一个法向量，则，即c={1，-5，-3)，所以所求平面的方程为(x-1)-5y-3(z+1)=0，即x-5y-3z=4．48.计算D是由y=1，y=x，y=2，x=0所围成的闭区域.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：积分区域如图所示，49.计算积分∫ L (x 2 +2xy-y 2 +10)dx+(x 2 -2xy-y 2 +15)dy，其中L为曲线y=cosx上从点到点的一段弧.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由于，所以所求积分与路径无关，所以可以沿直线y=0积分，50.求幂级数.（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为，所以幂级数的收敛半径为2，令|x-1|＜2，得收敛区间为(-1,3)，当x=-1时，原级数为收敛，当x=3时，原级数为发散，故原幂级数的收敛域为[-1，3).四、应用题(总题数：2，分数：12.00)51.某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设租金定为x元时对应的收入为y元，则，即，令，得唯一驻点x=3600，结合实际际问题，知当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元．52.曲线y=x 3(x≥0)，直线x+y=2以及y轴围成一平面图形D，试求平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：平面图形如图阴影部分所示，所求体积五、证明题(总题数：1，分数：8.00)53.设f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：方程(0，1)内有且仅有一个实根. （分数：8.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[证明] 令，则F(x)为[0，1]上连续函数，且F(0)=-1＜0，，由于f(t)＜1，则，故F(1)＞0，由零点存在定理，F(x)在(0，1)内有实根，又F"(x)=2-f(x)＞1＞0，F(x)在(0，1)上单调增加，因此方程在(0，1)内有且仅有一个实根．。

河南科技大学2013年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 636 考试科目名称： 数学分析一（10分）、求极限tan sin 0lim x xx +→利用0x →时，1x e x - ，211cos 2x x -，ln(1)x x + ，以及L ’Hospital 法则，有tan sin tan sin sin 00limlim x xx x xx x e ++-→→=……………………………………4分sin 30002tan sin tan sin lim lim 2lim 1ln(1)2x x x x x x x xe x x x +++→→→--=⋅=+…………………6分 2000sin sec 1sec tan 2lim lim 2lim 2x x x x x x xx x x+++→→→-=⋅= ……………………8分 00tan lim sec lim 1x x xx x++→→=⋅=．………………………………………10分 二（10分）、设0b a >>，求积分10ln b ax x dx x-⎰． 因为ln b ab yax x x dy x-=⎰，而函数y x 在区域[0,1][,]a b ⨯上连续，…………………………………4分所以111000ln b ab b y y a a x x dx x dydx x dxdy x-==⎰⎰⎰⎰⎰ …………………………………………………8分11ln 11ba bdy y a+==++⎰．………………………………………………………10分 三（10分）、设函数),(y x z z =具有二阶连续偏导数，并满足方程x y z yz y 2222=∂∂+∂∂．证明：在变换xu y =，v x =，w xz y =-之下之下，上述方程可变为022=∂∂uw ．y wz x x=+，21111(z w u w v w y x x u y v y x y u∂∂∂∂∂∂=++=-∂∂∂∂∂∂，……………………………………4分 2222232234211212(z w w w u w x wy y x y u y u y u y y u y u∂∂∂∂∂∂∂∂=-=-=+∂∂∂∂∂∂∂∂，………………8分代入x y z yz y 2222=∂∂+∂∂并整理得022=∂∂uw．…………………………………………10分 四（10分）、设函数()f x 在(0,)+∞上满足方程2()()f x f x =．证明：若()f x 在1x =连续，则()f x 在(0,)+∞上恒为常数．在方程2()()f x f x =中取2y x =，可得12()()f y f y =．于是，对任意(0,),x n N +∈+∞∈，有2111222()()()()nf x f x f x f x ==== ．………………………………4分而12lim 1nn x →∞=，………………………………………………6分()f x 在1x =连续，根据Heine 定理，可得121()lim ()lim ()(1)nn x f x f x f x f →∞→===，所以()(1)f x f ≡．…………………………………………………………………………………10分五（10分）、设D 1=所围成的区域，求⎰⎰．作变换4444cos ,sin x r y r θθ==，则区域D 变为:01,02D r πθ'≤≤≤≤，……………………2分且343473343434cos 4sin (,)16cos sin (,)4cos sin 4sin cos r r x y r r r r θθθθθθθθθ∂==∂-．…………………………6分 于是173333820416sin cos sin cos 1627DD r r drd d r dr πθθθθθθ'=⋅==⎰⎰⎰⎰．………10分六（12分）、求曲线积分[ln(y xy x dy ++⎰，其中Γ沿曲线sin y x =，由(,0)A π到(0,0)O ．设D 是由曲线Γ和线段OA 所围的平面区域，根据Green 公式222[l n ()]{[[]}Dy xy x dy y xy x dxdyxy∂∂++=+-∂∂⎰⎰2Dy dxdy =⎰⎰ ………………………………………6分sin 20xdx y dy π=⎰⎰49=．……………………………………………10分 而22[l n )]2y xy x dy xdx ππ++==⎰，于是224[l n )]92y xy x dy πΓ++=-．…………………………12分 七（12分）、设函数)(x f 在(0,)+∞上二次可导，()f x ''在(0,)+∞上有界，且lim ()0x f x →+∞=．证明：lim ()0x f x →+∞'=．0ε∀>，由lim ()0x f x →+∞=知，0,A x A ∃>∀>，有|()|f x ε<．又()f x ''在(0,)+∞上有界，即存在0M >，对0x ∀>有|()|f x M ''≤．……………………………………………………………………4分由Talor 中值定理，对,0x A h ∀>∀>有21()()()(),(,)2f x h f x f x h f h x x h ξξ'''+=++∈+， 从而()()1()()2f x h f x f x f h h ξ+-'''=+，()()12|()||||()|22f x h f x Mf x f h h h h ξε+-'''≤+≤+，…………………………8分取h =|()|f x '≤lim ()0x f x →∞'=．………………………………………………12分八（14分）、给定方程1n x x +=（n 为正整数）．证明：(1) 方程存在惟一正解n x ；(2) lim 1n n x →∞=．(1) 令()1n f x x x =+-，由(0)10f =-<，(1)10f =>，根据连续函数的零点定理，f 在(0,1)上至少存在一个零点．…………………………………………………………………………………3分注意到任意0x >有，1()10n f x nx -'=+>，于是f 在(0,)+∞上严格单调递增，从而在(0,)+∞上的零点最多只能有一个．所以f存在惟一正零点，从而方程存在惟一正解nx．………………6分(2) 注意到11n⎛⎛⎛ ⎪-=<⎪⎝⎝⎝⎭．………………………………………8分而0n=，于是当n<，从而(110nf⎛=-<⎝．………………………………………12分所以当n充分大时，11nx<<，从而lim1nnx→∞=．……………………………………………14分九（16分）、给定函数()f x x．证明：(1) ()f x'在(1,)+∞上有界；(2) ()f x在(1,)+∞上一致连续．(1) ()2ln)f x x'=+，由lim()0xf x→+∞'=,11lim()2xf x→+'=, ………………………………………4分以及()f x'在(1,)+∞上的连续性可知()f x'在(1,)+∞上有界，即存在0L>，对任意(1,)x∈+∞有()f x L'≤．………………………………………………………8分(2) 根据微分中值定理，对12,(1,)x x∀∈+∞，(1,)ξ∃∈+∞，使2121()()()()f x f x f x xξ'-=-从而212121|()()||()|||||f x f x f x x L x xξ'-=-≤-．…………………………12分于是，0,Lεεδ∀>∃=，对1212,(1,):||x x x xδ∀∈+∞-<有2121|()()|||f x f x L x x LLεε-≤-<⋅=．所以函数()f x x=在(1,)+∞上一致连续．…………………………………………………16分十（16分）、设函数333sin()1nx nxf xn x=+，[0,)x∈+∞，1,2,n= ．证明：(1) 函数列{()}nf x在[0,)+∞上一致收敛；(2) 0)(lim=⎰+∞∞→dxxfnn．(1) 333sin ()lim ()lim 0,[0,)1n n n x nxf x f x x n x →∞→∞===∈+∞+．…………………………………………2分33333sin |()|,[0,)11n x nx xf x x n x n x =≤∈+∞++．令33()1n xg x n x =+，由3333212()0(1)n n x g x n x -'==+得x =()n g x3n ，从而[0,)[0,)sup ()()sup ()3n n x x f x f x g x n∈+∞∈+∞-≤=．由0n →∞=知()n f x 在[0,)+∞上一致收敛到()0f x =．……………………………………………8分 0ε∀>，取2A ε=，则211|()||()|2n n AAAf x dx f x dx dx x A ε+∞+∞+∞≤≤==⎰⎰⎰．………………………………11分 由()n f x 在[0,)+∞上一致收敛到0得，0lim ()0An n f x dx →∞=⎰，于是存在N N +∈，n N ∀>有0|()|2An f x dx ε<⎰，……………………………………………………14分从而|()||()||()|22A n n n Af x dx f x dx f x dx εεε+∞+∞≤+<+=⎰⎰⎰，所以0)(lim 0=⎰+∞∞→dx x f n n ．………………………………………16分十一（14分）、求极限21lim tan nn k →∞=∑． 注意到2240tan 2lim 13x x x x →-=< ，…………………………………4分 于是存在0δ>，对任意的(0,)x δ∈，成立2240tan x x x <-<． …………………………………6分所以当n 充分大时，222211111111110tantan ()nn n n nk k k k k n k n k n k nn =====⎛⎫<=-<<= ⎪+++⎝⎭∑∑∑∑∑， 从而2111lim tanlim nnn n k k n k →∞→∞===+∑∑．…………………………………10分 而10111111lim lim ln 211nn n n k k dx k n k n x n→∞→∞=====+++∑∑⎰．于是21lim tan ln 2nn k →∞==∑．……………………………………14分 十二（16分）、设正项级数1n n a ∞=∑发散，1nn k k S a ==∑．证明：函数项级数1n S x n n a e ∞-=∑在(0,)x ∈+∞上收敛但非一致收敛．1222221122211()11()2n S x n n n n n n n n n n n n a a S S a e x S x S S x S S S x S x -----=≤⋅≤⋅=-+++ ，……………………4分 由级数1n n a ∞=∑发散知lim 0n n S →∞=，于是级数211211(n n n xS S ∞=--∑收敛，从而对(0,)x ∀∈+∞，级数1n S x n n a e ∞-=∑收敛．……………………………………………………………………………………………………8分由级数1n n a ∞=∑发散知，00,,N N n N ε+∃>∀∈∃>，使p N +∃∈01pn kk aε+=≥∑，…………………………………………12分取1n px S +=，则110111n p n kn pn pS S pppS S n kn kn kk k k ae ae eae ε++++----+++===≥=≥∑∑∑，于是函数项级数1n S x n n a e ∞-=∑在(0,)+∞不一致收敛．……………………………………………16分。