九年级上册数学辅导题

九年级上册数学配套练习册答案第一章：代数基础习题1：解：设未知数为\( x \)，根据题意可得方程 \( 2x + 5 = 13 \)。

解此方程得 \( x = 4 \)。

习题2：解：将\( y \)表示成\( x \)的函数，即 \( y = 3x - 2 \)。

当\( x = 1 \)时，\( y = 1 \)。

习题3：解：根据题意，可列出不等式组：\[ \begin{cases} x + y \geq 10 \\ x - y \leq 6 \end{cases} \] 解不等式组得 \( 2 \leq x \leq 8 \)。

第二章：几何图形习题1：解：已知三角形ABC，其中\( AB = 5 \)，\( AC = 7 \)，\( BC = 8 \)。

根据勾股定理的逆定理，\( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)，所以三角形ABC是直角三角形。

习题2：解：已知圆的半径为\( r = 10 \)，求圆的面积。

圆的面积公式为\( A = \pi r^2 \)，代入数值得 \( A = 100\pi \)。

习题3：解：已知平行四边形的对角线互相平分，设对角线交点为O，根据平行四边形的性质，\( OA = OB = OC = OD \)。

第三章：函数与方程习题1：解：给定函数\( y = 3x + 2 \)，求\( x = 1 \)时的函数值。

代入得\( y = 3 \times 1 + 2 = 5 \)。

习题2：解：已知二次方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，求根。

因式分解得\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。

习题3：解：根据一元一次不等式的性质，解不等式 \( 2x - 3 > 5 \)，得\( x > 4 \)。

结束语：本练习册答案仅供参考，希望同学们能够通过练习加深对数学知识的理解和应用。

初三上册数学辅导训练题
一、二次根式的有关概念
1. 二次根式: 形如的式子叫做二次根式,二次根式有意义的条件是被开放数≥0.
2. 最简二次根式: (1)被开方数中不含有 . (2)被开方数中不含有开得尽方的因数或因式.
例:二次根式中,是最简二次根式的有____________________ ________.
下列各式中是最简二次根式的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
3. 同类二次根式: 几个二次根式化成最简二次根式后,如果 ,那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
例:下面与是同类二次根式的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
下列根式中与是同类二次根式的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
二、二次根式的性质
1. 非负性：二次根式中被开方数≥0，且≥0.
2. ( ≥0).
3. .
三、二次根式的运算
1. 乘法公式: ( ≥0, ≥0).
2. 积的算术平方根: ( ≥0, ≥0).
3. 除法公式: ( ≥0, ﹥0).
4. 商的算术平方根: ( ≥0, ﹥0).
5. 二次根式的加减:二次根式加减时,先将二次根式化成 ,再将合并.
四、典例研习
【例1】 x取怎样的数时,下列二次根式有意义?
【变式探究】
1. 在实数范围内有意义,则的取值范围是 .
2.使式子无意义的的取值是 .
3.使式子有意义的x的取值范围是 .
4.能使式子有意义的的取值范围是 .
5.若 ,则的值为______________.
6. ,则的值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
【例2】若初三上册数学辅导训练题.。

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册第2章《三角函数的应用综合性解答题》优生辅导专题提升训练（附答案）1．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行若干千米，到达E 处，测得灯塔C在北偏东45°方向上．（1）若BD＝30km，问E处距离港口A有多远？（2）若DE＝8km，问E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）2．如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C 的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D相距1000m，E在BD的中点处．（1）求景点B，E之间的距离；（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）3．如图，一次军事演习中，蓝方在﹣条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶2000米到达C后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同距离，刚好在D处成功拦截蓝方．（1）求点C到公路的距离；（2）求红蓝双方最初的距离．（结果保留根号）4．川西某高原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C，过点C 作CH⊥AB于H．（1）求牧民区C到B地的距离（结果用根式表示）；（2）一天，乙医疗队的医生要到牧民区C．若C、D两地距离是B、C两地距离的倍，求∠ADC的度数及B、D两地的距离（结果保留根号）．5．黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）6．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A、B两船相距100（）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C 在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）求出A与C间的距离AC；（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救故障船C，在去营救的途中触暗礁危险．（填“有”或“无”，不必说明理由，参考数据：）7．某公园有一座雕塑D，在北门B的正南方向，BD为100米，小树林A在北门的南偏西60°方向，荷花池C在北门B的东南方向，已知A，D，C三点在同一条直线上且BD⊥AC：（1）分别求线段AB、BC、AC的长（结果中保留根号，下同）；（2）若有一颗银杏树E恰好位于∠BAD的平分线与BD的交点，求BE的距离．8．如图，港口B在港口A的东北方向，上午9时，一艘轮船从港口A出发，以16海里/时的速度向正东方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正东方向航行．上午11时轮船到达C处，同时快艇到达D处，测得D处在C处的北偏东60°的方向上，且C、D两地相距80海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里/时，参考数据：，，）9．如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝70°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝km．（1）判断线段AB与AE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离．（sin70°≈，cos70°≈）10．综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α＝36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β＝72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）11．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．12．如图，我国南海巡逻艇在A处执行任务时，发现在A处的北偏东30°方向有一岛屿C，在A处的北偏东75°方向、相距60海里的B处有一不明船只正以15海里/时的速度向B 处西北方向的C岛航行，于是巡逻艇马上以20海里/时的速度开向C岛去拦截，问巡逻艇与不明船只谁先到达C岛？（参考数据：≈1.4，≈1.7）13．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B 的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C 在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）14．一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．15．如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A⇒D⇒C⇒B 到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC＝11km，∠A＝45°，∠B＝37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地可比原来少走多少路程（结果精确到0.1km．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）16．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：sinα＝，cosα＝，tanα＝，sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝2，≈1.732）17．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC＝CD＝20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）18．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．（1）求CD两点的距离；（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）19．如图，有A，B，C三个港口，都位于南北方向的海岸线上，P、Q是两个度银小岛，某游船从小岛P出发，向西航行到达港口A，再从港口A向北航行，到达港口B，在港口B 看到小岛P在南偏东60°处，游船由港口B出发40分钟后到达港口C，看到小岛P在南偏东30°处，这时游船的航向改为北偏东60°继续航行80分钟到达小岛Q．从港口A 到小岛Q，该游船航行的速度都有30海里/小时．（1）求港口C与小岛P之间的距离；（2）求P，Q两个小岛之间的距离．（≈2.646，结果精确到十分位）．20．如图，一艘货轮由港口A出发向正东方向行驶，在港口A处时，测得灯塔B在港口A 的南偏东30°方向，小岛C在港口A的南偏东60°方向，当这艘货轮行驶60海里到点D处时，小岛C恰好在点D处的正南方向，此时测得灯塔B在南偏西60°的方向，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）灯塔B与小岛C之间的距离．21．2016年1月6日，我国南沙永暑礁新建港口、机场完成试航试飞，将为岛礁物资运输、人员往来、通信导航、救援补给提供便捷支持，使航行和飞行更为安全可靠．如图所示，永暑礁新建港口在A处，位于港口A的正西方的有一小岛B，小岛C在小岛B的北偏东60°方向，小岛C在A的北偏西45°方向；小岛D在小岛B的北偏东38°方向且满足∠BCD＝37°，港口A和小岛C的距离是23km．（参考数据：sin38°≈，tan22°≈，tan37°≈）（1）求BC的距离．（2）求CD的距离．参考答案1．解：（1）作CF⊥AD于F，由题意得，∠D＝90°，∴FC∥BD，又AC＝CB，∴FC＝BD＝15，∵∠EFC＝90°，∠FEC＝45°，∴EF＝FC＝15，在Rt△AFC中，AF＝≈＝20，∴AE＝AF+FE＝35（km），答：BD＝30km，E处距离港口A约为35km；（2）设FC＝xkm，则EF＝FC＝x，AF≈＝x，由（1）得，AF＝FD，即x＝x+8，解得，x＝24，则x＝32，∴AE＝AF+FE＝32+24＝56，答：DE＝8km，E处距离港口A约为56km．2．解：（1）由题意得，∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，∵CD＝1000，∴BC＝＝1000，∴BD＝2BC＝2000，∵E在BD的中点处，∴BE＝BD＝1000（米）；（2）过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，EF＝AF＝BE•sin60°＝1000×＝500，在Rt△BEF中，BF＝BE•cos60°＝500，∴AB＝AF﹣BF＝500（﹣1）（米）．3．解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D 作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，（1）点C到公路的距离就是BE的长，在Rt△BCE中，∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，∴BE＝BC•cos60°＝2000×＝1000米．答：点C到公路的距离就是BE的长是1000米．（2）红蓝双方相距AB＝DF+CE．在Rt△BCE中，∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，∴CE＝BC•sin60°＝2000×＝1000米．在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，CD＝2000米，∠DCF＝45°，∴DF＝CD•sin45°＝2000×＝1000米，∴AB＝DF+CE＝（1000+500）米．答：红蓝双方最初相距（1000+1000）米．4．解：（1）设CH为x千米，由题意得，∠CBH＝30°，∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝x，在Rt△BCH中，tan30°＝＝，∴BH＝x，∵AH+HB＝AB＝40，∴x+x＝40，解得x＝20﹣20，∴CB＝2CH＝40﹣40．答：牧民区C到B地的距离为（40﹣40）千米；（2）∵C、D两地距离是B、C两地距离的倍，CH＝BC，∴sin∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝60°．在Rt△CHD中，DH＝CH•cot∠CDH＝CH，∵BH＝CH，CH＝20﹣20，∴BD＝BH﹣DH＝CH﹣CH＝（20﹣20）＝40﹣．答：BD之间的距离为40﹣千米．5．解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，则CH＝CD•cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD•sin∠DCH＝4×sin60°＝2，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝＝＝6，∴CG＝CH+HG＝2+6＝8，设AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝＝＝x，∵BG﹣BC＝CG，∴x﹣x＝8，解得：x≈11（m）；答：电线杆的高为11m．6．解：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x；在Rt△BCE中，BE＝CE＝x．则AE+BE＝x+x＝100（+1），解得：x＝100．AC＝2x＝200．答：A与C之间的距离AC为200海里．（2）过点D作DF⊥AC于点F，在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y+y＝200，解得：y＝100（﹣1），∴AD＝2y＝200（﹣1），∴DF＝AF＝×100（﹣1）≈127海里，∵127＞100，∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中无触暗礁危险．故答案为：无．7．解：（1）∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝60°，BD＝100米，∴AB＝＝200米，AD＝BD•tan60°＝100米．∵在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，BD＝100米，∴DC＝BD＝100米，BC＝BD＝100米，∴AC＝AD+DC＝（100+100）米；（2）作EF⊥AB于F，∵AE平分∠BAD，ED⊥AD于D，EF⊥AB于F，∴EF＝ED．在Rt△AEF与Rt△AED中，，∴△AEF≌△AED（HL），∴AF＝AD＝100米，∴BF＝AB﹣AF＝（200﹣100）米．∵在Rt△BEF中，∠EFB＝90°，∠BEF＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2BF＝（400﹣200）米．8．解：分别过点B、D作AC的垂线，交AC的延长线于点E、F，在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝90°﹣60°＝30°，则DF＝CD＝40海里，CF＝CD cos∠DCF＝40海里，故可得AF＝AC+CF＝16×2+40＝32+40海里，∵DF⊥AF，BE⊥AF，BE⊥BD，∴四边形BEFD是矩形．∴BE＝DF＝40海里，在Rt△BAE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝90°﹣45°＝45°，∴AE＝BE＝40海里，∴EF＝AF﹣AE＝32+40﹣40＝（40﹣8）海里，∴BD＝EF＝40﹣8（海里），故可求得快艇的速度＝（40﹣8）÷2＝20﹣4≈30.6（海里/小时）．答：快艇的速度约为30.6海里/时．9．解：（1）相等．∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝∠BEQ＝30°，∴EF＝BF，又∵∠AFP＝60°，∴∠BF A＝60°．在△AEF与△ABF中，∵，∴△AEF≌△ABF（SAS），∴AB＝AE；（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H．设AE＝xkm，则AH＝x sin70°km，HE＝x cos70°km，∴HF＝HE+EF＝x cos70°+4﹣5（km），Rt△AHF中，AH＝HF•tan60°，∴x sin70°＝（x cos70°+4﹣5）•tan60°，即：x＝（x+4﹣5）×，解得：x≈13，即AB＝AE＝13km．答：两个岛屿A与B之间的距离约为13km．10．解：过点F作FG∥EM交CD于G，则MG＝EF＝10米．∵∠FGN＝∠α＝36°．∴∠GFN＝∠β﹣∠FGN＝72°﹣36°＝36°．∴∠FGN＝∠GFN，∴FN＝GN＝50﹣10＝40（米）．在Rt△FNR中，FR＝FN×sinβ＝40×sin72°＝40×0.95≈38（米）．答：河宽FR约为38米．11．解：（1）如图，由题意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC＝∠EAC＝60°．∵∠FBD＝30°∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．（2分）又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，∴∠ADB＝15°．∴∠DAB＝∠ADB．∴△ABD为等腰三角形，∴BD＝AB＝2．即BD之间的距离为2km．（4分）（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，在Rt△DBO中，BD＝2，∠DBO＝60°，∴DO＝2×sin60°＝，BO＝2×cos60°＝1．（6分）在Rt△CBO中，∠CBO＝30°，CO＝BO tan30°＝，∴CD＝DO﹣CO＝（km）．即C，D之间的距离km．（8分）12．解：如图，过C作CH⊥AB于H，由题可得，∠DAB＝75°，∠DAC＝30°，∠CBF＝45°，∴∠BAC＝45°，∠BAE＝∠ABF＝15°，∴∠ABC＝60°，设BH＝x，则CH＝AH＝x，BC＝2x，∵AB＝60，∴x+x＝60，解得x＝30（﹣1），∴AH＝30（3﹣），∴Rt△ACH中，AC＝AH＝×30（3﹣）＝30（3﹣），Rt△BCH中，BC＝2BH＝60（﹣1），∴巡逻艇到达C岛的时间为30（3﹣）÷20≈2.7小时，不明船只到达C岛的时间为60（﹣1）÷15≈2.8小时，∴巡逻艇先到达C岛．13．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里，故cos30°＝＝＝，解得：AC＝40，答：点A到岛礁C的距离为40海里；（2）如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，则∠2＝15°，即A′B平分∠CBA，设AA′＝x，则A′E＝x，故CA′＝2A′N＝2×x＝x，∵x+x＝40，∴解得：x＝60﹣20（，答：此时“中国海监50”的航行距离为（60﹣20）海里．14．解：∵∠BAC＝53°﹣23°＝30°，∴∠C＝23°+22°＝45°．过点B作BD⊥AC，垂足为D，则CD＝BD．∵BC＝10海里，∴CD＝BC•cos45°＝10×≈7.0（海里），∴AD＝＝5÷＝5×＝5×≈5×1.4×1.7≈11.9（海里）．∴AC＝AD+CD＝11.9+7.0＝18.9≈19（海里）．答：小船到码头的距离约为19海里．15．解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G．∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC＝GB，GD＝BC＝11．∴两条路线路程之差为AD+DG﹣AG．在Rt△DGH中，DH＝DG•sin37°≈11×0.60＝6.60，GH＝DG•cos37°≈11×0.80≈8.80．在Rt△ADH中，AD＝DH≈1.41×6.60≈9.31．AH＝DH≈6.60．∴AD+DG﹣AG＝（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．16．解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β，AC＝100米，∴AM＝AC•sinβ＝100×＝200（米），答：无人机的飞行高度AM为200米；（2）根据题意可知：∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，如图，作BG⊥MC于点G交AC于点H，∵AB∥CM，∴∠BAH＝∠ACM＝β，∴BH＝AB•tanβ＝30×2＝60（米），∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米），∵AB∥CM，∴△HBA∽△HGC，∴AB：GC＝BH：HG，∴30：GC＝60：140，解得GC＝70（米），∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°，∴GD＝BG•tan∠GBD＝200×＝200（米），∴CD＝GD﹣GC＝（200﹣70）米，∴DE＝CD•tanα＝（200﹣70）×≈207.3（米）．答：标志物DE的高度为207.3米．17．解：由题意可知∠DCA＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：由题意可知∠DAC＝75°﹣30°＝45°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝60°BD＝BC＝CD＝20km，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAC＝15°，∴BE＝sin15°BD≈0.25×20≈5km，∴AB＝＝≈7km，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47km．答：从A地跑到D地的路程约为47km．18．解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，∵在Rt△CGB中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，∴CG＝BC＝×（30×）＝7.5海里，∵∠DAG＝90°，∴四边形ADFG是矩形，∴GF＝AD＝1.5海里，∴CF＝CG﹣GF＝7.5﹣1.5＝6海里，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∵∠DCF＝53°，∴COS∠DCF＝，∴CD＝＝＝10海里．答：CD两点的距离是10；（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE＝30t海里，DE＝1.5×2×t＝3t海里，∠EDC＝53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD＝∠CHE＝90°，∴sin∠EDH＝，∴EH＝ED sin53°＝3t×＝t，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD＝＝＝．答：sin∠ECD＝．19．解：（1）由题意得，BC＝30×＝20海里，∠ABP＝60°，∠ACP＝30°，∴∠BPC＝30°，∴BP＝BC＝20海里，∴AP＝BP•sin∠ABP＝20×＝10，∵∠ACP＝30°，∴PC＝2AP＝20海里，答：港口C与小岛P之间的距离为20海里；（2）∵在港口C看到小岛P在南偏东30°处，游船的航向改为北偏东60°，∴∠PCQ＝90°，又CQ＝30×＝40海里，由勾股定理得，PQ＝＝20≈52.9海里，答：P，Q两个小岛之间的距离约为52.9海里．20．解：（1）∵∠EAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，AC＝60÷Cos30°＝40海里，CD＝AC＝20海里．故港口A与小岛C之间的距离是40海里；（2）过B点作BE∥AD，交AE于E，CD于F，∵∠BAD＝60°，∴∠BDA＝30°，∴∠ABD＝90°，∴△ABD是直角三角形，∴AB＝30海里；在Rt△ABE中，AE＝15海里，BE＝15海里，∴BF＝60﹣15＝45海里，CF＝20﹣15＝5海里，在Rt△BCF中，BC＝＝10海里．即灯塔B与小岛C之间的距离是10海里．21．解：（1）作CE⊥AB于E，由题意得，∠CAE＝45°，∠CBE＝30°，∴AE＝CE＝AC•sin∠CAE＝23×＝23km，∴BC＝2CE＝46km，答：BC的距离为46km；（2）作DF⊥BC于F，设DF＝xkm，∴CF＝＝x，BF＝＝x，则x+x＝46，解得，x＝12，∴DF＝12，CF＝16，由勾股定理得，CD＝＝20km．答：CD的距离约为20km．。

第一章 一元二次方程测试1 一元二次方程的有关概念及直接开平方法学习要求1．掌握一元二次方程的有关概念，并应用概念解决相关问题．2．掌握一元二次方程的基本解法——直接开平方法．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x 2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．3．若(k ＋4)x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______．4．把(x ＋3)(2x ＋5)－x (3x －1)=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______．5．若－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______．6．方程y 2－12=0的根是______．二、选择题7．下列方程中，一元二次方程的个数为( )．(1)2x 2－3=0(2)x 2＋y 2=5(3)(4)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在方程：3x 2－5x =0，7x 2－6xy ＋y 2=0，=0， 3x 2－3x =3x 2－1中必是一元二次方程的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．x 2－16=0的根是( )．A ．只有4B ．只有－4C ．±4D ．±8x x m －m+-222)(542=-x 2122=+x x ,5312+=+x x 322,052222--=+++xx x x ax10．3x 2＋27=0的根是()．A ．x 1=3，x 2=－3B ．x =3C ．无实数根D ．以上均不正确三、解答题(用直接开平方法解一元二次方程)11．2y 2=8．12．2(x ＋3)2－4=0．13．14．(2x ＋1)2=(x －1)2．综合、运用、诊断一、填空题15．把方程化为一元二次方程的一般形式(二次项系数为正)是__________，一次项系数是______．16．把关于x 的一元二次方程(2－n )x 2－n (3－x )＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______．17．若方程2kx 2＋x －k =0有一个根是－1，则k 的值为______．二、选择题18．下列方程：(x ＋1)(x －2)=3，x 2＋y ＋4=0，(x －1)2－x (x ＋1)=x ，其中是一元二次方程的有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个.25)1(412=+x x x x +=-2232,01=+xx ,5)3(21,42122=+=-+x x x19．形如ax 2＋bx ＋c =0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是()．A ．a 是任意实数B ．与b ，c 的值有关C ．与a 的值有关D ．与a 的符号有关20．如果是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a的解是( )．A ．B ．±1C ．±2D ．21．关于x 的一元二次方程(x －k )2＋k =0，当k ＞0时的解为()．A ．B ．C ．D ．无实数解三、解答题(用直接开平方法解下列方程)22．(3x －2)(3x ＋2)=8．23．(5－2x )2=9(x ＋3)2．24．25．(x －m )2=n ．(n 为正数)拓广、探究、思考26．若关于x 的方程(k ＋1)x 2－(k －2)x －5＋k =0只有唯一的一个解，则k =______，此方程的解为______．27．如果(m －2)x |m ｜＋mx －1=0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为()．21=x 5±2±kk +kk -kk -±.063)4(22=--xA．2或－2B．2C．－2D．以上都不正确28．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1=0有一个根是0，求m的值．29．三角形的三边长分别是整数值2cm，5cm，k cm，且k满足一元二次方程2k2－9k－5=0，求此三角形的周长．测试2 配方法与公式法解一元二次方程学习要求掌握配方法的概念，并能熟练运用配方法与公式法解一元二次方程．课堂学习检测一、填空题1．_________=(x －__________)2．2．＋_________=(x －_________)2．3．_________=(x －_________)2．4．＋_________=(x －_________)2．5．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的根是______．6．一元二次方程(2x ＋1)2－(x －4)(2x －1)=3x 中的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．二、选择题7．用配方法解方程应该先变形为( )．A ．B ．C ．D ．8．用配方法解方程x 2＋2x =8的解为( )．A ．x 1=4，x 2=－2B ．x 1=－10，x 2=8C ．x 1=10，x 2=－8D ．x 1=－4，x 2=29．用公式法解一元二次方程，正确的应是( )．A ．B ．C ．D ．10．方程mx 2－4x ＋1=0(m ＜0)的根是()．A ．B ．C ．D ．+-x x 82x x 232-+-px x 2x a b x -201322=--x x 9831(2=-x 9831(2-=-x 910)31(2=-x 032(2=-x x x 2412=-252±-=x 252±=x 251±=x 231±=x 41m m-±42mm-±422mmm -±42三、解答题(用配方法解一元二次方程)11．x 2－2x －1=0．12．y 2－6y ＋6=0．四、解答题(用公式法解一元二次方程)13．x 2＋4x －3=0．14．五、解方程(自选方法解一元二次方程)15．x 2＋4x ＝－3．16．5x 2＋4x =1．综合、运用、诊断一、填空题17．将方程化为标准形式是______________________，其中a =______，b =______，c =______．18．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m =______，另一根是.03232=--x x x x x 32332-=++______．二、选择题19．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为()．A ．－2B ．－4C ．－6D ．2或620．4x 2＋49y 2配成完全平方式应加上()．A ．14xy B ．－14xy C ．±28xyD ．021．关于x 的一元二次方程的两根应为()．A ．B ．，C ．D ．三、解答题(用配方法解一元二次方程)22．3x 2－4x =2．23．x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．四、解答题(用公式法解一元二次方程)24．2x －1=－2x 2．25．ax a x 32222=+22a±-a 2a 22422a ±a2±xx 32132=+拓广、探究、思考27．解关于x的方程：x2＋mx＋2=mx2＋3x．(其中m≠1)28．用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－4x＋5的值总大于0，再求出当x 取何值时，代数式x2－4x＋5的值最小?最小值是多少?测试3 一元二次方程根的判别式学习要求掌握一元二次方程根的判别式的有关概念，并能灵活地应用有关概念解决实际问题．课堂学习检测一、填空题1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式为∆=b 2－4ac ，(1)当b 2－4ac ______0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当b 2－4ac ______0时，方程有两个相等的实数根；(3)当b 2－4ac ______0时，方程没有实数根．2．若关于x 的方程x 2－2x －m =0有两个相等的实数根，则m =______．3．若关于x 的方程x 2－2x －k ＋1=0有两个实数根，则k ______．4．若方程(x －m )2=m ＋m 2的根的判别式的值为0，则m =______．二、选择题5．方程x 2－3x =4根的判别式的值是( )．A ．－7B ．25C ．±5D ．56．一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0有两个实数根，则根的判别式的值应是( )．A ．正数B ．负数C ．非负数D ．零7．下列方程中有两个相等实数根的是( )．A ．7x 2－x －1=0B ．9x 2=4(3x －1)C ．x 2＋7x ＋15=0D ．8．方程有( )．A ．有两个不等实根B ．有两个相等的有理根C ．无实根D ．有两个相等的无理根2322=--x x 03322=++x x三、解答题9．k 为何值时，方程kx 2－6x ＋9=0有：(1)不等的两实根；(2)相等的两实根；(3)没有实根．10．若方程(a －1)x 2＋2(a ＋1)x ＋a ＋5=0有两个实根，求正整数a 的值．11．求证：不论m 取任何实数，方程都有两个不相等的实根．02)1(2=++-mx m x综合、运用、诊断一、选择题12．方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)根的判别式是()．A ．B ．C ．b 2－4acD ．abc13．若关于x 的方程(x ＋1)2=1－k 没有实根，则k 的取值范围是()．A ．k ＜1B ．k ＜－1C ．k ≥1D ．k ＞114．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1=0有两个相等的实根，则k 的值为()．A ．－4B ．3C ．－4或3D ．或15．若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2mx ＋m ＋3=0有两个不等的实根，则m的取值范围是( )．A ．B ．且m ≠1C ．且m ≠1D ．16．如果关于x 的二次方程a (1＋x 2)＋2bx =c (1－x 2)有两个相等的实根，那么以正数a ，b ，c 为边长的三角形是( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．任意三角形二、解答题17．已知方程mx 2＋mx ＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．242ac b b -±-ac b 42-2132-23<m 23<m 23≤m 23>m18．求证：不论k取任何值，方程(k2＋1)x2－2kx＋(k2＋4)=0都没有实根．19．如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2＋6=0没有实数根，求a的最小整数值．20．已知方程x2＋2x－m＋1=0没有实根，求证：方程x2＋mx=1－2m一定有两个不相等的实根．拓广、探究、思考21．若a，b，c，d都是实数，且ab=2(c＋d)，求证：关于x的方程x2＋ax＋c=0，x2＋bx＋d=0中至少有一个方程有实数根．测试4 因式分解法解一元二次方程学习要求掌握一元二次方程的重要解法——因式分解法．课堂学习检测一、填空题(填出下列一元二次方程的根)1．x (x －3)=0．______2．(2x －7)(x ＋2)=0．______3．3x 2=2x ．______4．x 2＋6x ＋9=0．______5．______6．______7．(x －1)2－2(x －1)=0．______．8．(x －1)2－2(x －1)=－1．______二、选择题9．方程(x －a )(x ＋b )=0的两根是( )．A ．x 1=a ，x 2=bB ．x 1=a ，x 2=－bC ．x 1=－a ，x 2=bD ．x 1=－a ，x 2=－b 10．下列解方程的过程，正确的是()．A ．x 2=x ．两边同除以x ，得x =1．B ．x 2＋4=0．直接开平方法，可得x =±2．C ．(x －2)(x ＋1)=3×2．∵x －2=3，x ＋1=2， ∴x 1=5， x 2=1．D ．(2－3x )＋(3x －2)2=0．整理得3(3x －2)(x －1)=0，三、解答题(用因式分解法解下列方程，*题用十字相乘法因式分解解方程)11．3x (x －2)=2(x －2)．12．.03222=-x x .)21()21(2x x -=+.1,3221==∴x x .32x x =*13．x 2－3x －28=0．14．x 2－bx －2b 2=0．*15．(2x －1)2－2(2x －1)=3．*16．2x 2－x －15=0．四、解答题17．x 取什么值时，代数式x 2＋8x －12的值等于2x 2＋x 的值．综合、运用、诊断一、写出下列一元二次方程的根18．．______________________．19．(x －2)2=(2x ＋5)2．______________________．二、选择题0222=-x x20．方程x (x －2)=2(2－x )的根为()．A ．－2B ．2C ．±2D ．2，221．方程(x －1)2=1－x 的根为()．A ．0B ．－1和0C ．1D ．1和022．方程的较小的根为()．A ．B ．C ．D ．三、用因式分解法解下列关于x 的方程23．24．4(x ＋3)2－(x －2)2=0．25．26．abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)四、解答题27．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m 2＋2)x ＋2m =0．(1)求证：当m 取非零实数时，此方程有两个实数根；(2)若此方程有两个整数根，求m 的值．043)(21()43(2=--+-x x x 43-218543.2152x x =-.04222=-+-b a ax x测试5 一元二次方程解法综合训练学习要求会用适当的方法解一元二次方程，培养分析问题和解决问题的能力．课堂学习检测一、填空题(写出下列一元二次方程的根)1．3(x －1)2－1=0．__________________2．(2x ＋1)2－2(2x ＋1)=3．__________________3．3x 2－5x ＋2=0．__________________4．x 2－4x －6=0．__________________二、选择题5．方程x 2－4x ＋4=0的根是( )．A ．x =2B ．x 1=x 2=2C ．x =4D ．x 1=x 2=46．的根是( )．A ．x =3B ．x =±3C ．x =±9D ．7．的根是( )．A ．B ．C ．x 1=0，D ．8．(x －1)2=x －1的根是( )．A ．x =2B ．x =0或x =1C ．x =1D ．x =1或x =2三、用适当方法解下列方程9．6x 2－x －2=0．10．(x ＋3)(x －3)=3．5.27.0512=+x 3±=x 072=-x x 77=x 77,021==x x 72=x 7=x11．x2－2mx＋m2－n2=0．12．2a2x2－5ax＋2=0．(a≠0)四、解下列方程(先将你选择的最佳解法写在括号中)13．5x2=x．(最佳方法：______) 14．x2－2x=224．(最佳方法：______) 15．6x2－2x－3=0．(最佳方法：______) 16．6－2x2=0．(最佳方法：______) 17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______) 18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)综合、运用、诊断一、填空题20．若分式的值是0，则x =______．21．关于x 的方程x 2＋2ax ＋a 2－b 2=0的根是____________．二、选择题22．方程3x 2=0和方程5x 2=6x 的根()．A ．都是x =0B ．有一个相同，x =0C ．都不相同D ．以上都不正确23．关于x 的方程abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0(ab ≠0)的根是()．A ．B ．C ．D ．以上都不正确三、解下列方程24．(x ＋1)2＋(x ＋2)2=(x ＋3)2．25．(y －5)(y ＋3)＋(y －2)(y ＋4)=26．26．27．kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．四、解答题28．已知：x 2＋3xy －4y 2=0(y ≠0)，求的值．1872+--x x x ba x ab x 2,221==ba x a bx ==21,0,2221=+=x abb a x .02322=+-x x yx yx +-29．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)拓广、探究、思考30．若方程3x 2＋bx ＋c =0的解为x 1=1，x 2=－3，则整式3x 2＋bx ＋c 可分解因式为__________________．31．在实数范围内把x 2－2x －1分解因式为____________________．32．已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)中的两根为请你计算x 1＋x 2=____________，x 1·x 2=____________．并由此结论解决下面的问题：(1)方程2x 2＋3x －5=0的两根之和为______，两根之积为______．(2)方程2x 2＋mx ＋n =0的两根之和为4，两根之积为－3，则m =______，n =______．(3)若方程x 2－4x ＋3k =0的一个根为2，则另一根为______，k 为______．(4)已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －2=0的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值：①②③｜x 1－x 2｜；④⑤(x 1－2)(x 2－2)．,24,221aacb b x x -±-=;1121x x +;2221x x +;221221x x x x +测试6 实际问题与一元二次方程学习要求会灵活地应用一元二次方程处理各类实际问题．课堂学习检测一、填空题1．实际问题中常见的基本等量关系。

浙教版初中数学九年级上册专题50题含答案一、单选题是圆心角的是()1．下图中ACBA．B．C．D．【答案】B【分析】根据圆心角的定义判断即可.【详解】顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.如图，∠AOB的顶点O是圆O的圆心，OA、OB交圆O于A、B两点，则∠AOB是圆心角.故选B.【点睛】本题考查圆心角的定义,关键在于熟记定义.2．通常温度降到0∠以下，纯净的水结冰．这个事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定性事件【答案】A【分析】根据随机事件的定义即可得出答案．【详解】解：∠通常温度降到0∠以下，纯净的水会结冰，∠这个事件是必然事件．故选：A．【点睛】本题考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，若AB＝4，BC＝6，CE＝1，则CF的长为（）B．1.5C D．1A【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．4．已知（0，y1），y 2），（3，y 3）是抛物线y ＝ax 2﹣4ax +1（a 是常数，且a ＜0）上的点，则（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 3＞y 2＞y 1 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＞y 1＞y 35．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA CA ⊥交DB 的延长线于点E ，过点B 作BH AC ⊥于点H ，若3AB =，4BC =，则ACAE的值为（ ）A ．712B ．512C ．1 D6．平移抛物线y=（x+3）（x-1）后得到抛物线y=（x+1）（x-3），则（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位【答案】B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y=（x+3）（x-1）=（x+1）2-4，顶点坐标是（-1，-4）．y=（x+1）（x-3）=（x-1）2-4，顶点坐标是（1，-4）．所以将抛物线y=（x+3）（x-1）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+1）（x-3），故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，熟练掌握平移的规律是解题关键．7．随机投掷标有1至6点的骰子一次，落地后，骰子朝上一面的点数为奇数的概率是（）A．16B．13C．12D．238．如图，AB为∠O的直径，C，D为∠O上两点，若∠CAB＝30°，则∠D等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】B【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠D＝∠B，然后利用互余计算出∠B即可．【详解】解：∠AB为∠O的直径，∠∠ACB＝90°，∠∠CAB＝30°，∠∠B＝90°﹣∠CAB＝60°，∠∠D＝∠B＝60°．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9．如图，在∠ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，下列说法：∠∠AED＝90°；∠∠A与∠ADE互为余角；∠BC＝BE；∠∠CDE与∠B互为补角，其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据∠C=90°，可知∠A与∠B互余，根据∠B=∠ADE，再结合公共角∠A，可证~△△，则有∠AED=∠C=90°，∠B=∠ADE，在四边形BCDE中有ACB AED∠B+∠ADE=180°=∠C+∠DEB，即可求解．【详解】∠∠C=90°，∠∠A与∠B互余，∠∠B=∠ADE，∠A=∠A，∠ACB AED△△，~∠∠AED=∠C=90°，∠B=∠ADE，即①正确，∠∠ADE与∠A互余，∠BED=90°，即②正确，∠∠B=∠ADE，∠∠B+∠CDE=180°，即④正确，根据已有的条件无法判断BC=BE，故③错误，则说法正确的个数为3个， 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，余角、补角的概念等知识，根据已有的角相等条件证得ACB AED ~△△是解答本题的关键．10．如图，点A 、C 、B 在∠O 上，已知∠AOB =∠ACB =α，则α的值为（ ）A ．135°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】D【分析】根据圆周角定理得出优弧所对的圆心角为2α，利用周角为360度求解即可 【详解】解：∠∠ACB =α ∠优弧所对的圆心角为2α ∠2α+α=360° ∠α=120°． 故选D ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，结合图形，熟练运用圆周角定理是解题关键． 11．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，5cm AB =，4cm AC =，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿A C →向点C 运动，同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿A B C →→向点C 运动，直到它们都到达点C 为止．线段PQ 的长度为y （cm ），点P 的运动时间为t （s ），则y 与t 的函数图象是（ ）A ．B ．C．D．12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数a b cyx-+=在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A13．如图，直径为10的∠A经过点C和点O，点B是y轴右侧∠A优弧上一点，∠OBC=30°，则点A的坐标为（）A．）B．52）C．（5，52）D．，52）【答案】B【分析】首先设∠O与x轴的交点为D，连接CD，由圆周角定理可得CD是直径，且CD=10，∠ODC=∠OBC=30°，继而求得OC与OD的长，然后可求得答案．【详解】解：如图，14．如图，点(2,A ，()1,0N ，60AON ∠=，点M 为平面直角坐标系内一点，且MO MA =，则MN 的最小值为( )A ．1B ．32C ．3D ．2故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质，涉及到中垂线、线段平行性质等知识点，综合性较强，难度适中．15．在Rt∠ABC中，∠C = 90°，AC = 20 cm，BC = 21 cm，则它的外心与顶点C的距离等于（）.A．13 cm B．13.5 cm C．14 cm D．14.5 cm【答案】D【分析】此题应根据勾股定理先求出斜边AB的长度为29，要理解外心是这个三角形外接圆的圆心，在直角三角形中，它的外心就是斜边的中点，顶点C与外心的距离即为斜边的中线．【详解】先根据题意画图，知道AB为三角形的斜边求得AB2=AC2+BC2=202+212=841=292，要理解外心是这个三角形外接圆的圆心，要求得该直角三角形的外接圆的圆心，则为AB边的一半，求得AB的一半为14.5，应该选择答案为D.【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的外接圆和圆心，解题的关键是要理解外心是这个三角形外接圆的圆心.16．一个密码锁有五位数字组成，每一位数字都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9之中的一个，小明只记得其中的三个数字，则他一次就能打开锁的概率为（）A．15B．12C．120D．110017．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出以下结论： ∠0a b c ++<；∠<0a b c -+；∠ 20b a +<；∠0abc >．其中正确结论的序号是（ ）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠∠（4）当x ＝1时，可以确定y ＝a +b +c 的值；当x ＝﹣1时，可以确定y ＝a ﹣b +c 的值． 18．抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1）C ．（2，-1）D ．（-2，-1）【答案】B【详解】试题分析：根据抛物线的解析式直接可确定它的顶点坐标为（-2，1）．故答案选B ． 考点：抛物线的顶点坐标．19．已知二次函数y ＝(x ＋m －6)(m －x )＋3，点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )( 1x ＜2x )是其图象上两点（ ）A ．若1x ＋2x ＜6，则1y ＞2yB ．若1x ＋2x ＞6，则1y ＞2yC ．若1x ＋2x ＞－6，则1y ＞2yD ．若1x ＋2x ＜－6，则1y ＞2y【答案】B【分析】化简二次函数，计算1y -2y ，作差比较，判断即可． 【详解】∠y ＝(x ＋m －6)(m －x )＋3， ∠y ＝22663x x m m -++-+，∠1y -2y =22221122(663)(663)x x m m x x m m -++-+--++-+=22211266x x x x -+- =212121()()6()x x x x x x -+-- =（2x -1x ）（1x ＋2x -6）， ∠1y ＞2y ，1x ＜2x ， ∠1x ＋2x -6＞0， 即1x ＋2x ＞6， 故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的增减性，熟练运用作差法解题是解题的关键． 20．如图，长为定值的弦CD 在以AB 为直径的O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），点E 是CD 的中点，过点C 作CF AB ⊥于F ，若3CD =，8AB =，则EF 的最大值是（ ）A．92B．4C．83D．6二、填空题21．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1_____y2．（填“＞”“＜”或“＝”）22．如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度a=10m），设AB的长为xm，所围的花圃面积为ym2，则y的最大值是__________．23．小明上学途中要经过一个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒，绿灯亮25秒，小明到达路口恰好遇到绿灯的概率是______．24．抛物线222=-与x正半轴的交点坐标为__________．y x x【答案】（1，0）【分析】令y=0，解方程2x2﹣2x＝0，求出抛物线与x轴的交点坐标,，然后取正半轴上的点即可．【详解】当y＝0时，2x2﹣2x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，∠抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（1，0），∠抛物线与x轴正半轴的交点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标与一元二次方程解的关系，二次函数与x轴的交点横坐标是ax2+bx+c=0时方程的解，纵坐标是y=0．25．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝_____cm．∠c1＝4，c2＝﹣4（舍去），∠线段c＝4cm．故答案为：4【点睛】本题考查了比例中项的概念：当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数．26．如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于O，若AO DOCO BO=，8AO=，12CO=，15BC=，则AD=______．27．图1是一款由若干条吊链等间距悬挂而成的挂帘，吊链顶端悬挂在水平横梁上，自然下垂时底部呈圆弧形，其中最长吊链为95cm，最短吊链为45cm，挂满后呈轴对称分布．图2是其示意图，其中最长两条吊链AC与BD之间的距离AB为114cm．∠若吊链数量为奇数，则圆弧半径为______cm．∠若吊链数量为偶数，记对称轴右侧最短挂链的底端为点F，当C，F，B三点在同一条直线上时，吊链的数量为______．，设O吊链数量为奇数，=AC BD∴=FM EM设O的半径为在Rt OCM△÷=1146∴共有20故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．28R（R为半径），则此弓形的面积为_________．90，2AOBS=，扇形AOB 90π360R此弓形的面积为：90，2AOBS=，扇形AOB 270π360R此弓形的面积为：4429．如图，在Rt∠ABC中，∠C 为直角,AC=6，BC=8，现在Rt∠ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放______个在直角∠ABC中，AB==10．1 21 2∠CD==4.8．∠GH 4.82BC 4.8-=，则，解得：DE=356整数部分是：7．则最下边一排是7个正方形．则，解得：GH=，整数部分是5，则第二排是5个正方形；30．已知ABC内接于,O AB AC=，圆心O到BC的距离为2cm，圆的半径为6cm，则腰长AB=_____．31．AB是O的直径，C是O上一点，E是ABC的内心，OE EBAE=ABE的面积为交O 于点F 是O 的直径，可得，证明FEA 是等腰直角三角形，可得2EF ==，根据垂径定理，进而可得ABE 的面积．【详解】解：如下图，延长BE 交O 于点F ，AB 是O 的直径，90AFB C ∴∠=∠=CAB CBA ∴∠+∠E 是ABC 的内心，12EAB CAB ∴∠=∠EAB EBA ∴∠+∠45FEA ∴∠=︒，FEA ∴是等腰直角三角形，2AE AF ∴=22AE =AF EF ∴=OE EB ⊥EF BE ∴=ABE ∴的面积为：故答案为：2．【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的内心，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形，三角形的外角，解题的关键是作出辅助性构建直角三角形．32．如图，正方形ABCD 边长为1，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 中点，BP 与半圆交于点Q ，连接DQ.给出如下结论：DQ 1=①；PQ 3BQ 2=②；PDQ 1S 8=③；ADQ 2DQP.④∠∠=其中正确的结论是______.(填写序号)【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，综合性比较强，在几何证明中，常用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用． 33．∠ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若BC=2，则∠A 的度数为_____． 【答案】60°或120°．【详解】试题分析：本题可直接由外接圆半径公式求得．解：由外接圆公式：2R=== 且已知R=2，BC=2所以sin∠A== 因为∠A 为三角形内角，所以∠A 的度数为60°或120°．考点：三角形的外接圆与外心．34．如图∠，1234,,,O O O O 为四个等圆的圆心，,,,A B C D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是___；如图∠，12345,,,,O O O O O 为五个等圆的圆心，,,,,A B C D E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 __．（答案不唯一）【答案】 作图见解析，1O 和3O （答案不唯一） 作图见解析，13O O 与24O O 的交点O 和5O （答案不唯一） 【分析】利用中心对称图形进行分析，对于图∠，过13,O O 的直线即可满足题意；对于图∠过13O O 和24O O 的交点O 和5O 的直线即可满足题意．【详解】解：图∠既是轴对称图形，也是中心对称图形，则只需过它的对称中心任意画一条直线即可，如图所示：如过13,O O 的一条直线（答案不唯一），故答案为：1O 和3O ；图∠它不是中心对称图形，图∠中，直线过图形的对称中心即可；一个圆时，只要过圆心即可，则画一条过13O O 和24O O 的交点O 和5O 的直线即可，如图所示：故答案为：13O O 与24O O 的交点O 和5O ．【点睛】本题考查利用对称性质作图，借助图形，准确分析图形的对称特征是解决问题的关键．35．如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以点B 、C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P ，则图中阴影部分的面积为__________．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．36．抛物线形拱门的示意图如图所示，底部宽AB为6米，最高点O距地面5米.现有一辆集装箱车，宽为2.8米，高为4米，此车______（填能或不能）通过拱门.37．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：∠<0abc ；∠0a b c ++>；∠0a b c -+>；∠20a b -=；∠80a c +<，其中正确结论的序号为____________．【详解】解：抛物线开口向下，对称轴抛物线的对称轴为2b x a=-2b a ∴=-2a b ∴+=2a b +=3a c ∴+=50a <，80a c∴+<，故∠正确．故答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键在于能结合图象灵活运用二次函数的性质进行求解判断．38．若5m＝3n，则+m nm＝_____．39．如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰∠BAE，其中BE＝BA，过点E作EF∠AB于点F，点P是∠BEF的内心，连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为____．【详解】解：EF AB⊥90EBF=︒点Rt ONC中，'=-CP OC OPCP的最小值为故答案为：10【点睛】本题主要考查了最短路径问题，涉及到正方形的性质、三角形的内心、三角40．如图，在ABCD中，E是BC边上的中点，AP CD⊥于点P，将ABE沿AE翻折，点B的对称点B'落在AP上，延长EB'恰好经过点D，若4AB=，则折痕AE的长为________．AEB ∆'是由AE BB ∴⊥EB EC =CB B ∴∠'//CB AE ∴'四边形AB CD ∴=AP CD ⊥AP AB ∴⊥BAP ∴∠由翻折的性质可知，PAE ∴∠=APD ∠=PAD ∴∆∽∴PD PB PD='2(4)m ∴-4m ∴=BJ JB ='12JE CB ∴=2AJ=2∴=AE AJ故答案为：三、解答题41．某校教务处为了解九年级学生“居家学习”的学习能力，随机抽取该年级部分学生，对他们的学习能力进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中学习能力指数级别“1”级，代表学习能力很强；“2”级，代表学习能力较强；“3”级，代表学习能力一般；“4“级，代表学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题．（1）本次抽查的学生人数人，并将条形统计图补充完整；（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为级，中位数为级．（3）已知学习能力很强的学生中只有1名女生，现从中随机抽取两人写有关“居家学习”的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是一男一女的概率．；42．如图所示，O为四边形ABCD上一点，以O为位似中心，将四边形ABCD放大为原来的2倍.【答案】见解析.【分析】根据位似的定义，结合位似变换的方法，可以连接AO并延长到A′，使A′O=2AO，可知A′是A的对应点；用同样的方法确定B，C，D的对应点，顺次连接对应点，可以得到四边形A′B′C′D′；在O 的另一侧，连接OA 并延长到A″，使OA″=2AO ，用同样的方法确定其它三个点的对应点，顺次连接对应点，即可得到四边形A″B″C″D″. 【详解】连接AO 并延长到A′，使A′O=2AO ，A′是A 的对应点；用同样的方法确定B ，C ，D 的对应点，顺次连接对应点，可以得到四边形A′B′C′D′； 在O 的另一侧，连接OA 并延长到A″，使OA″=2AO ，用同样的方法确定其它三个点的对应点，顺次连接对应点，即可得到四边形A″B″C″D″.如图所示，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″为所要求作的四边形.【点睛】本题考查位似变换作图，可以根据位似比，结合定义和性质画出图形. 43．某超市销售一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：(1)求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；(2)为保证某天获得1600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y 与x 之间的函数表达式为2180y x =-+．(2)该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克．(3)当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．【分析】（1）设y 与x 之间的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，再在表中任选两组数据代入计算出k 和b 的值即可．（2）依题意列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可．（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】（1）设y 与x 之间的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，将表中数据（55，70）、（60，60）代入，得：55706060k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：2180k b =-⎧⎨=⎩． ∠y 与x 之间的函数表达式为2180y x =-+．（2）由题意得：(30)(21801600x x --+=）， 解得1250,70x x ==．答：该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克．（3）设当天的销售利润为w 元，则：(30)(2180)w x x =--+222405400x x =-+-，22(60)1800x =--+，∠20-<，∠当60x =时，1800w =最大值．答：当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题目中的数量关系．44．如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)．（1）求事件“转动一次，得到的数恰好是1-”发生的概率；（2）写出此情境下一个不可能发生的事件；（3）用树状图或列表法，求事件“转动两次，第一次得到的数与第二次得到的数绝对值相等”发生的概率．45．如图，AB 是∠O 的一条弦，OD∠AB ，垂足为点C ，交∠O 于点D ，点E 在∠O 上．(1)若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数；(2)若3,6OC OA ==，求tan DEB ∠的值．46．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小米先从盒子中随机取出一个小球，记下数字为x，且不放回盒子，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小米、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=4x的图象上的概率．47．在四边形ABCD 中，ADC ACB ∠=∠，AC 为对角线，AD CB DC AC ⋅=⋅．(1)如图1，求证：AC 平分DAB ∠；(2)如图1，求8AC =，12AB =，求AD 的长；(3)如图2，若90ADC ACB ∠=∠=︒，E 为AB 的中点，连接CE 、DE ，DE 与AC 交于点F ，6CB =，5CE =，求DF EF 的值．48．已知：在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF BD⊥，交BC于点F，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG．(1)【猜想论证】猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明．(2)【拓展探究】将图1中BEF△绕B点逆时针旋转45°得到图2，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．质，矩形的判定定理和性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，全等三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．49．河西王府井销售一种T 恤衫，每件进价为40 元，经过市场调查，一周的销售量y 件与销售单价x 元/件满足某种函数关系：（1）请根据所学的知识，选择合适的函数模型，求出y 与x 的之间的函数关系式；（2）设一周的销售利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式，并确定当销售单价为多少时一周的销售利润最大，并求出最大利润；（3）商场决定将一周销售T 恤衫的利润全部捐给某村用于精准扶贫的水网改造项目，在商场购进该T 恤衫的资金不超过6000 元情况下，请求出该商场最大捐款数额是多少元？【答案】(1) y=−5x+600；(2)当销售单价为80元时一周的销售利润最大，最大利润为答：当销售单价为80元时一周的销售利润最大，最大利润为8000元；(3)∠商场购进该T 恤衫的资金不超过6000元，∠y∠6000÷40，即−5x+600∠150，解得：x∠90，∠w=−5(x−80)2+8000中，当x>80时w 随x 的增大而减小，∠当x=90时，w 取得最大值，最大值为7500，答：该商场最大捐款数额是7500元.【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数关系式.50．探究：如图∠，直线123l l l ，点C 在2l 上，以点C 为直角顶点作90ACB ∠=，角的两边分别交1l 于3l 于点A 、B ，连结AB .过点C 作1CD l ⊥于点D ，延长DC 交3l 于点E .求证：ACD CBE ∆∆∽.应用：如图∠，在图1的基础上，设AB 与2l 的交点为F ，若AC BC =，1l 与2l 之间的距离为2，2l 与3l 之间的距离为1，求AF 的长度.90，再由同角的余角相等可得，如此即可证明两个三角形相似；ACD CBE ≅∆13l ，CD ⊥90ADC CEB ∠=∠.90ACD DAC ∠+∠.90ACB ∠=，90ACD ECB ∠+∠.90，90，10AC =123l l ，23AF DC AB DE ==2103AF =. 【点睛】本题考查了相似和全等的关系以及平行线分线段成比例，运用平行线分线段。

（北师版）九年级上册数学相似形能力提升专项辅导一．解答题（共10小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，AC、BD相交于点E，AB＝6cm，CD＝12cm，求EF．2．如图，在△ABC中，AB＝8cm，AC＝16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC相似？试说明理由．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．求证：△DEH∽△BCA．4．如图，点E是正方形ABCD边BC上的一点（不与点，重合），点F在CD边的延长线上，连接EF交AC，AD于点G，H．（1）请写出2对相似三角形（不添加任何辅助线）；（2）当DF＝BE时，求证：AF2＝AG•AC．5．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．发现：如图1，点D在BC边上，CD：BD＝1：2，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，易得的值为．解决问题：如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC＝1：2．求的值：应用：若CD＝2，AC＝6，则BP＝．6．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由；（3）BD2＝AD•DF吗？请说明理由．7．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设P A ＝x．（1）求证：△PF A∽△ABE；（2）当P也是AD边中点时，求AF的值；（3）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；（4）当点F与点E重合时，设PF交CD于点G，试判断∠GAE与∠BAE的大小关系并说明理由．8．小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝12米，当她与镜子的距离CE＝2米时，她刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B．已知她的眼睛距地面的高度DC＝1.5米．请你帮助小玲计算出教学楼的高度AB是多少米（根据光的反射定律：反射角等于入射角．）9．在2m高的矮墙旁有一根灯柱，在阳光的照射下，灯柱的影子一部分落在地面上，一部分落在矮墙上，还有一部分落在矮墙的背面．小亮测得灯柱的影子落矮墙前地面上的长为1.8m，落在矮墙上的长为2m，落在矮墙后的长为3.2m．他又测得矮墙的影长为2.5m．根据这些数据，他计算出了灯柱的高度．你知道他是怎么计算出来的吗？请你写出计算过程．10．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；（3）若每一个方格的面积为1，则△A2B2C2的面积为．二．填空题（共24小题）11．如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2．当AB＝时，△ABC 与△ACD相似．第11题图第12题图12．如图，已知l1∥l2∥l3，CH＝1.2cm，DH＝2.4cm，AB＝3cm，那么AG＝cm．13．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，已知网高0.8米，球拍击球时到网的水平距离为3.5米，则球拍击球的高度h为．第13题图第14题图14．如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…，M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n V n M n的面积为S n，则S n＝．（用含n的式子表示）15．已知＝＝，且3y＝2z+6，则x+y+z＝．16．已知△ABC与△DEF相似且周长的比为3：4，则它们的面积之比是．17．某数学兴趣小组为测量学校旗杆的高度，测得1.5米的标杆影子长为1米，同一时刻旗杆的影长是6米，则旗杆的高度为米．18．利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E．若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝16米，则建筑物的高AB为米．第18题图第19题图19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC，BC上，有两个顶点在斜边AB上，则△ABC的面积为．20．在比例尺为1：1000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是2.6cm，则甲、乙两地的实际距离为千米．21．若（abc≠0），则＝．22．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，AD＝4cm，BD＝2cm，AC＝4.5cm，则CE 的长为．23．已知3x＝5y，则＝．24．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛cm的地方．第24题图第25题图25．如图，在△ABC中，∠B＝90°，D、E分别是边AB、AC的中点，DE＝4，BC＝8，则△ADE与△ABC 的周长的比是．26．如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.5米，测得AB＝2米，BC＝8米，且点A、E、D在一条直线上，则楼高CD是米．27．如图，在平行四边形ABCD，E为AD的中点，△DEF的面积为1，则△BCF的面积为．28．一个多边形图案在一个有放大功能的复印机上复印出来，它的一条边由原来的1cm变成了2cm，那么它的面积会由原来的6cm2变为．29．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB ＝3：5，那么CF：CB等于．第29题图第30题图30．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA ＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比＝．31．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2016＝．第31题图第32题图32．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是．33．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且BE＝2AE，AF＝3DF，连结EF、AC，交于点G，则的值为．34．如图，l1∥l2∥l3，AM＝2，MB＝3，CD＝4.5，则ND＝，CN＝．相似形选择题专项训练1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，且AD：BD＝9：4，则AC：BC的值为（）A．9：4B．9：2C．3：4D．3：22．如图，能使△ACD∽△BCA的条件是（）A．B．AC2＝CD•CB C．D．CD2＝AD•BD3．小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心等边三角形、菱形、矩形、正方形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）A．B．C．D．4．如果mn＝ab（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D．5．下列各组线段，能成比例的是（）A．3，6，9，18B．2，5，6，8C．1，2，3，4D．3，6，7，96．若ac＝bd，则下列各式一定成立的是（）A．B．C．D．7．如图，已知D、E、F分别为等腰△ABC边BC、CA、AB上的点，如果AB＝AC，∠FDE＝∠B，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝1，那么AF的长为（）A．3.5B．4C．4.5D．58．已知4x＝5y，则y：x的值为（）A．1：5B．5：1C．4：5D．5：49．下列结论不正确的是（）A．所有的矩形都相似B．所有的正方形都相似C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似10．若a：b：c＝1：2：3，则的值为（）A．B．1C．D．11．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（）A．∠AEF＝∠DEC B．F A：CD＝AE：EC C．F A：AB＝EF：EC D．AB＝DC12．下列每一组中两个图形相似的是（）A．两个等腰三角形，每个三角形都有一个内角为30°B．邻边的比都等于2的两个平行四边形C．底角为45°的两个等腰梯形D．有一个角是120°的两个等腰三角形13．若＝，则的值为（）A．B．C．3：5D．214．下列说法正确的个数有（）个①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81．A．1B．2C．3D．415．已知＝2，则的值是（）A．B．﹣C．3D．﹣316．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A．B．C．D．17．如果用线段a、b、c，求作线段x，使a：b＝c：x，那么下列作图正确的是（）A．B．C．D．18．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（）A．2B．4C．3D．519．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B，点P是边AC上一点（不与A、C重合），过P点的一条直线与△ABC的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有（）条．A．1B．2C．3D．420．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已如OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的周长比为（）A．1：3B．1：4C．1：5D．l：921．下面四组线段中，不能成比例的是（）A．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B．a＝1，b＝，c＝，d＝C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D．a＝2，b＝2，c＝，d＝22．已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（﹣2，3），（﹣1，0），把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到△A'B'C'．下列说法正确的是（）A．△A'B'C'与△ABC是相似图形B．△A'B'C'与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）C．△A'B'C'与△ABC不是位似图形D．△A'B'C'与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）23．如图，在△ABC中，看DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长是（）A．10cm B．11cm C．12cm D．15cm24．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：4B．1：3C．1：2D．1：1625．如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与图1中△ABC相似的三角形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个26．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝27．某一时刻甲、乙两木杆的影子长分别是2米和3米，已知乙杆的高度是1.5米，则甲杆的高度是（）A．1B．2C．3D．428．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1和S2，比较S1与S2的大小（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定29．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为4和6，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A．8B．6C．4D．230．如图，在△ABC中，DEFG是正方形，D、E在BC边上，G、F分别在AB、AC边上，BC＝a，边上的高为h，则正方形DEFG的边长为（）A．B．C．D．31．如图，已知∠CAD＝∠B，若CD＝4，CB＝9，则AC等于（）A．3B．4C．5D．632．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的周长比为（）A．3B．9C．D．233．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别交AD、AB及CB的延长线于点E、M、F，且AE：FB＝1：2，则AH：AC的值为（）A．B．C．D．34．小兵身高1.4m，他的影长是2.1m，若此时学校旗杆的影长是12m，那么旗杆的高度（）A．4.5m B．6m C．7.2m D．8m35．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（）A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝D．＝36．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF ＝2，∠FEG＝60°，EG交AC于点H，关于下列结论，正确序号的选项是（）①△BEF∽△CHE，②AG＝1，③EH＝，④S△BEF＝3S△AGHA．①②B．①②③C．①②④D．①③④37．如图，点P是平行四边形ABCD边上的点，AP＝AB，射线CP交DA的延长线于点E，则S△APE：S等于（）平行四边形ABCDA．1：5B．1：8C．1：12D．1：1338．一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是（）A．200：1B．2000：1C．1：2000D．1：20039．如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A．B．C．D．40．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，∠B＝∠DAC，AC＝8，BC＝16，那么CD（）A．4B．6C．8D．10参考答案与试题解析相似形能力提升专项辅导一．解答题（共10小题）1．EF＝4cm．2．经过或2秒钟，△APQ与△ABC相似．4．（1）∴△DHF∽△CEF，△AHG∽△CEG；5．发现：；解决问题：6．7．（2）AF＝；（3）解：分两种情况：∴满足条件的x的值为2或5；（4）∠GAE＝∠BAE；8．教学大楼的高度AB是9米．9．灯柱的高度为4m．10．（3）14．二．填空题（共24小题）11．3或3．12．1．13．1.5米14．．15．54．16．9：16．17．9．18．13.519．16．20．26．21．．22．1.5 23．．24．8 25．1：2．26．7.5．27．4．28．24cm2．29．5：8．30．1：4．31．．32．．33．．34．2.7，1.8．相似形选择题专项训练1．D．2．B．3．C．4．C．5．A．6．B．7．A．8．C．9．A．10．B．11．B．12．D．13．A．14．B．15．B．16．C．17．B．18．B．19．D．20．A．21．C．22．B．23．A．24．A．25．D．26．D．27．A．28．B．29．C．30．A．31．D．32．A．33．B．34．D．35．C．36．B．37．C．38．A．39．A．40．A．。

【最新整理，下载后即可编辑】一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案2、一元二次方程2650x x+-=的左边配成完全平方后所得方程为（）A. 2(3)14x+= B. 2(3)14x-= C. 2(3)4x+= D. 2(3)4x-=3、抛物线142-+-=xxy的顶点坐标是（）A．（-2，3）B．（2，3）C．（2，-3）D．（-2，-3）4、下列一元二次方程两实数根和为-4的是（）A.x2+2x-4=0B.x2-4x+4=0C.x2+4x+10=0D.x2+4x-5=05、抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2 6、有1个人得了H1N1流感,经过两轮传染共有121人患流感,则第三轮传染后共有( )人患流感.A．1000 B．1210 C．1331 D．14407、在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为（）A．（3，4）B．（﹣4，3）C．（﹣3，4）D．（4，﹣3）8、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0 C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大A．B．C．D．9、把一副三角板如图甲放置，其中90ACB DEC∠=∠=，45A ∠=，30D∠=，斜边6AB=，7DC=，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15得到△11D CE（如图乙），此时AB与1CD交于点O，则线段1AD的长度为（）A.32 B. 5 C. 4D.3110、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A 、22 B. 3 C 、2D、1+2二、填空题11、若x1=－1是关于x的方程x2+mx－5=0的一个根，则此方程的另一个根x2= . m=12、如图，把Rt⊿ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt⊿AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′= 度. 13、已知实数m，n满足m－n2=1，则代数式m2+2n2+4m－1的最小值等于________________14、如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程15、点A的坐标为（43，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转150º到点B，那么点B的坐标为C/B/CBA16、如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，若第n 个图形需要黑色棋子的个数是440个，则n 的值为 三、解答题16、已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值. 解方程：(4)8+12x x x +=17、已知关于x 的一元二次方程0822=--k x x （k 为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且11221=-x x ，试求方程的两个实数根和k 的值．18、已知关于x 的一元二次方程2()643x m x m -+=-有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x 1与x 2，求代数式221212x x x x ⋅--的最大值.19、某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含︒60角的直角三角板ABC 与AFE 按如图 （1）所示位置放置放置，现将AEF t △R 绕A 点按逆时针方向旋转角()︒<<︒900αα，如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.（1）求证：ANAM=；（2）当旋转角︒=30α时，四边形ABPE是什么样的特殊四边形？并说明理由.20、如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是（0，3），点B在第一象限，点P是x点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.当点P运动到点（3,0）时，求此时DP的长及点D的坐标。

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》单元综合优生辅导练习题（附答案）一．选择题（共11小题，满分44分）1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形2．如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（）A．34B．89C．74D．1093．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC，其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E（2，3），则点F 的坐标为（）A．（﹣1，5）B．（﹣2，3）C．（5，﹣1）D．（﹣3，2）5．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．66．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（1，3）7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5B．C．D．29．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A．B．C．D．10．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝70°，点E是AC的中点．则∠EBD的度数为（）A．20°B．35°C．40°D．55°11．如图，点E为矩形ABCD的边BC上的点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①DE平分∠AEC；②△ADE为等腰三角形；③AF＝AB；④AE＝BE+EF．其中正确的结论有多少个（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题，满分20分）12．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．14．如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6．点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是个．15．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝°．16．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作EF⊥AD，垂足为点F．若AF＝3，EC＝5，则正方形ABCD的面积为．三．解答题（共8小题，满分56分）17．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．18．如图，▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF，若AB＝4，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求AD的长．19．在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC中点，连接BE，BF，DE，DF．（1）如图1，求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）如图2，若AC＝2BD，求证：四边形DEBF是矩形．20．如图，在Rt△ABC中，CA⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若CF＝4，∠F AC＝30°，求AB的长．21．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是菱形；（2）若AB＝1，则当∠ABC+∠DCB＝90°时，求四边形EGFH的面积．22．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．23．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．24．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．参考答案一．选择题（共11小题，满分44分）1．解：如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是不一定是平行四边形，如等腰梯形，故选项A不符合题意；如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是矩形，如等腰梯形中的对角线可能相等且垂直，故选项B不符合题意；如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是菱形，如直角梯形，故选项C不符合题意；如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形，故选项D符合题意；故选：D．2．证明：如图，过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，∵四边形ABCD是正方形，l1∥l2∥l3∥l4，∴AB＝CD，∠ABE+∠HBC＝90°，∵CH⊥l2，∴∠BCH+∠HBC＝90°，∴∠BCH＝∠ABE，同理可得，∠BCH＝∠CDG，∴∠ABE＝∠CDG，∵∠AEB＝∠CGD＝90°，在△ABE和△CDG中，，∴△ABE≌△CDG（AAS），∴AE＝CG，即h1＝h3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∵∠AEB＝∠DF A＝∠BHC＝∠CGD＝90°，∠ABE＝∠F AD＝∠BCH＝∠CDG，∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且两直角边长分别为h1、h1+h2，∴四边形EFGH是边长为h2的正方形，∴正方形ABCD的面积S＝4××h1（h1+h2）+h22＝2h12+2h1h2+h22＝（h1+h2）2+h12，∵h1＝5，h2＝2，∴S＝（h1+h2）2+h12＝49+25＝74．故选：C．3．解：过P作PG⊥AB于点G，如图，∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴GP＝EP，在△GPB中，∠GBP＝45°，∴∠GPB＝45°，∴GB＝GP，同理，得PE＝BE，∵AB＝BC＝GF，∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，∴AG＝PF，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴AP＝EF，∴结论①正确；∵△AGP≌△FPE，∴∠PFE＝∠GAP∴∠PFE＝∠BAP，∴结论③正确；②延长AP到EF上于一点H，∴∠P AG＝∠PFH，∵∠APG＝∠FPH，∴∠PHF＝∠PGA＝90°，即AP⊥EF；∴结论②正确；∵GF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，又∵∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，∴PD＝EC，∴结论④正确；故选：D．4．解：过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，∵点E（2，3），∴OH＝2，EH＝3，∵四边形OEFG是正方形，∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，在△OGM与△EOH中，，∴△OGM≌△EOH（ASA），∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故选：A．5．解：设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x，∵BE：EC＝2：1，BC＝9，∴CE＝BC＝3，∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2，即（9﹣x）2＝32+x2，解得：x＝4，即CH＝4．故选：B．6．解：连接AB交OC于点D，∵四边形OACB是菱形，∴AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3，∴点B的坐标是（3，﹣1）．故选：B．7．解：连接BF，∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE＝＝5，由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH＝＝，则BF＝，∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，∴CF＝＝．故选：D．8．解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴AC＝，CF＝3，∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，由勾股定理得，AF＝＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝．故选：B．9．解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故选：A．10．解：连接DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，∵∠BAD＝70°，∴∠DEB＝2∠BAD＝140°，∵DE＝BE＝AC，∴∠EBD＝∠EDB＝＝20°，故选：A．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，∵DF＝AB，∴DF＝CD，∵DF⊥AE，∴∠DF A＝∠DFE＝90°，在Rt△DEF和Rt△DEC中，，∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），∴∠FED＝∠CED，∴DE平分∠AEC；故①正确；∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，在△ABE和△DF A中，，∴△ABE≌△DF A（AAS），∴AE＝AD，∴△ADE为等腰三角形；故②正确；∵△ABE≌△DF A，∴不存在AF＝AB，故③错误；∵△ABE≌△DF A，∴BE＝F A，∴AE＝AF+EF＝BE+EF．故④正确．故正确的结论有①②④，三个．故选：C．二．填空题（共5小题，满分20分）12．解：连接CP，如图所示：∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，由三角形面积公式得：×4×3＝×5×CP，∴CP＝2.4，即EF＝2.4，故答案为：2.4．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故答案为：3．14．解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝6，∴EC＝4，FC＝2＝AE，∵点M与点F关于BC对称，∴CF＝CM＝2，∠ACB＝∠BCM＝45°，∴∠ACM＝90°，∴EM＝，则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为2＜5，在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF＝4+2＝6，∴点P在CH上时，2＜PE+PF≤6，在点H左侧，当点P与点B重合时，∵FN⊥BC，∠ABC＝90°，∴FN∥AB，∴，∵AB＝BC＝，∴FN＝AB＝，CN＝，∴BN＝BC﹣CN＝2，BF＝，∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴BE＝BF＝，∴PE+PF＝2，∴点P在BH上时，2＜PE+PF＜2，∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF＝5，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF＝5．即共有8个点P满足PE+PF＝5，故答案为8．15．解：∵MN是AC的垂直平分线，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠D＝90°，∴∠DCA＝∠EAC＝90°﹣70°＝20°，∴∠DCE＝∠DCA+∠ECA＝20°+20°＝40°，故答案为：40．16．解：连接AE，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝EC＝5，∵EF⊥AD，若AF＝3，∴EF＝＝4，∴DF＝4，AD＝4+3＝7，∴正方形ABCD的面积为49，故答案为：49．三．解答题（共8小题，满分56分）17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，BC∥AD，又∵BE＝DF，∴BC﹣BE＝AD﹣DF，即EC＝AF，∴EC＝AF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形；（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝60°，AB＝4，∴BE＝2，AE＝，∵四边形AECF是矩形，∴FC⊥BC，FC＝AE＝．∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABC＝30°，在Rt△BCF中，∠FCB＝90°，∠FBC＝30°，FC＝，∴BC＝6，∴AD＝BC＝6．19．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，又∵E，F分别是OA、OC的中点，∴OE＝OA，OF＝OC，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）∵OA＝OC，OE＝OA＝AC，OF＝OC＝，AC＝2BD，∴EF＝BD，又∵四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是矩形．20．（1）证明：在△ABC中，点D是AC的中点，∴AD＝DC，∵AF∥BC，∴∠F AD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，在△AFD和△CED中，，∴△AFD≌△CED（AAS），∴AF＝EC，∵AF∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，∴AE＝CF＝4，AE∥CF，∠ECF＝∠F AE＝2∠F AC＝60°，∴∠AEB＝∠ECF＝60°，∵AF∥BC，∴∠ACB＝∠F AC＝30°，∵CA⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ACB＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝4．21．（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，∴FG＝CD，HE＝CD，FH＝AB，GE＝AB．∵AB＝CD，∴FG＝FH＝HE＝EG．∴四边形EGFH是菱形．（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，∴GF∥DC，HF∥AB．∴∠GFB＝∠DCB，∠HFC＝∠ABC．∴∠HFC+∠GFB＝∠ABC+∠DCB＝90°．∴∠GFH＝90°．∴菱形EGFH是正方形．∵AB＝1，∴EG＝AB＝．∴正方形EGFH的面积＝（）2＝．22．证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，即：∠BCG＝∠DCE，在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴BG＝DE，（2）∵△BCG≌△DCE，∴∠GBC＝∠EDC，∵∠GBC+∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，∴∠DOG+∠EDC＝90°，∴BG⊥DE．23．①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵正方形ABCD∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，②解：CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，∴CE+CG＝4 是定值．24．（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△F AE和△GAF中，，∴△F AE≌△F AG（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝．。

九年级数学辅导练习题一、实数与代数式1. 计算下列各式的值：(1) (3)^2 + 4 × (2)(2) 5 ÷ (2 √3)^2(3) |2x 5|，其中x = 12. 化简下列各代数式：(1) (a^3)^2 ÷ a^5(2) (3x 2y)(2x + 3y) (4x 3y)(3x 2y)(3) (m + n)^2 (m n)^2二、方程与不等式1. 解下列方程：(1) 2x 5 = 3(x + 1)(2) |3x 7| = 2(3) x^2 5x + 6 = 02. 解下列不等式组：(1)\[\begin{cases}2x 3 > 5 \\x + 4 < 2x + 1\end{cases}\](2)\[\begin{cases}3x 2y ≤ 6 \\x + y > 2\end{cases}\]三、函数及其图像(1) 当x = 3时，求y的值(2) 当y = 7时，求x的值2. 下列各函数中，哪个是正比例函数？(1) y = 3x^2 + 2(2) y = 5x(3) y = 2x + 1四、几何图形与几何计算1. 下列哪个图形是平行四边形？(1) 对边平行且相等的四边形(2) 对角线互相垂直的四边形(3) 四个角都是直角的四边形2. 计算下列图形的面积：(1) 底为6cm，高为4cm的三角形(2) 边长为8cm的正方形(3) 半径为5cm的圆五、概率与统计(1) 抽到红桃的概率(2) 抽到黑桃A的概率2. 下列哪个统计图能更好地表示一组数据的分布情况？(1) 条形图(2) 折线图(3) 饼图六、平面直角坐标系1. 在平面直角坐标系中，指出下列各点的位置：(1) A(3, 2)(2) B(4, 1)(3) C(0, 5)2. 写出下列各点关于x轴、y轴的对称点坐标：(1) 点D(2, 3)(2) 点E(5, 4)七、三角形与四边形1. 判断下列各命题是否正确：(1) 有一组对边平行的四边形是平行四边形。

九年级上册数学专题复习(九个专题)专题一 解一元二次方程1、直接开方解法方程（1）2(6)30x -+= （2） 21(3)22x -=2、用配方法解方程（1）2210x x +-= （2） 2430x x -+=3、用公式法解方程（1）03722=+-x x （2） 210x x --=4、用因式分解法解方程（1）3(2)24x x x -=- （2）22(24)(5)x x -=+5、用十字相乘法解方程（1）2900x x --= （2）22100x x +-=专题二 化简求值1、先化简，再求值：x2＋y2－2xy x －y÷(x y －yx )，其中x ＝2＋1，y ＝2-1.2、先化简：先化简：12164--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x ，再任选一个你喜欢的数x 代入求值.专题三 根与系数的关系1、已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根1x ，2x . （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值.2、已知关于x 的一元二次方程26250x x a -++=有两个不相等的实数根1x ，2x . （1）求a 的取值范围；（2）若221212x x x x +-≤30，且a 为整数，求a 的值.3、已知关于x 的方程0)1()12(2=-+--m m x m x ，（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且满足11)(21221-⋅=-x x x x ，求实数m 的值.专题四 统计与概率1、现有A 、B 、C 三个不透明的盒子，A 盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B 盒中装有红球、黄球各1个，C 盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同．现分别从A 、B 、C 三个盒子中任意摸出一个球．（1）从A 盒中摸出红球的概率为_________；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．2、现有A 、B 两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A 袋装有2个白球，1个红球；B 袋装有2个红球，1个白球．（1）将A 袋摇匀，然后从A 袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率； （2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A ，B 两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．3、2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A.“解密世园会”、B.“爱我家，爱园艺”、C.“园艺小清新之旅”和D.“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．（1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．专题五圆知识点一：证切线，求半径1、如图所示，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为 .2、如图所示，AB 是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是 .3、如图所示，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E.（1）求证：AC平分∠DAB;（2）若AE=2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由.4、如图所示，△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE=12∠BAC.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=3BD，CE=2，求⊙O的半径．5、如图所示，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过圆心O作OG∥BD,交过点A所作⊙O的切线于点G，连结GD并延长与AB的延长线交于点E．（1）求证：GD是⊙O的切线；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．知识点二求不规则图形的阴影面积1、如图所示，AC是半圆O的一条弦，以弦AC为折线将弧AC折叠后过圆心O，⊙O的半径为2，则圆中阴影部分的面积为．EDBOAC2、如图所示,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝23,BC ＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为___________.3、如图所示,∠AOB ＝90°,∠B ＝30°,以点O 为圆心,OA 为半径作弧交AB 于点A,点C,交OB 于点D,若OA ＝3,则阴影部分的面积为________.4、如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 平分∠BAE 交⊙O 于点C ，AE ⊥EC 于点E ．（1）试判断CE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若D 为AC 的中点，⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．专题六 二次函数实际应用1、一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg ，销售单价不低于120元/kg ．且不高于180元/kg ，经销一段时间后得到如下数据：销售单价x （元/kg ） 120 130 ... 180 每天销量y （kg ） 100 95 (70)设y 与x 的关系是我们所学过的某一种函数关系．（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围； （2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？2、传统的端午节即将来临，我县某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：⎩⎨⎧≤≤+≤≤=）（）（20680206034x x x x y ，请解答以下问题：(1)李明第几天生产的粽子数量为280只？(2)如图所示，设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画，求p 与x 之间的函数关系式；(3)若李明第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)3、如图所示，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，求围成的最大面积．专题七反比例函数的相关计算1、如图4，一次函数y=-x+3的图像与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图像交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为6，求点P的坐标．2、已知反比例函数y=5mx（m为常数，且m≠5）．（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若其图象与一次函数y=-x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．3、如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数kyx（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D,OB=4,AD=3,则k值为（）A.4B.3C.2D.1专题八 三角形全等与旋转的综合应用1、如图1所示，已知△ABC ≌△EBD ，∠ACB =∠EDB =90°，点D 在AB 上，连接CD 并延长交AE 于点F ．（1）猜想：线段AF 与EF 的数量关系为______；（2）探究：若将图1所示的△EBD 绕点B 顺时针方向旋转，当∠CBE 小于180°时，得到图2所示，连接CD 并延长交AE 于点F ，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展：图1中所示，过点E 作EG ⊥CB ，垂足为点G ．当∠ABC 的大小发生变化，其它条件不变时，若∠EBG =∠BAE ，BC =6，直接写出AB 的长．F EDC BAFDEBC A（图1） （图2）专题九 二次函数的综合应用1、已知抛物线22y ax ax c =-+过点A (-1，0)和C (0，3)，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图1所示，E 为线段BC 上方的抛物线上一点，EF ⊥BC ，垂足为F ，EM ⊥x 轴，垂足为M ，交BC 于点G ．当BG=CF 时，求△EFG 的面积；（3）如图2所示，AC 与BD 的延长线交于点H ，在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，使∠OPB =∠AHB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．xyCH D BA O yx M D CG FBA O E（图1） （图2）2.（满分3+4+5=12分）如图所示，抛物线y=ax 2+bx-3与轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），A(-1，0)，B(3，0)，直线L 与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为. （1）求抛物线的函数解析式； （2）是线段AC 上的一个动点，过点作y 轴的平行线交抛物线于点，求线段PE 长度的最大值；（3）点是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点，使，，，这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由.。