肥城六中9月高三月考卷数学

高三年级9月月考数学学科试题（理）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、 选择题（每小题5分，共60分）一、若集合31{|,01},{|,01}A y y x x B y y x x ==≤≤==<≤集合，则R A C B 等于A ．[0，1]B ．[)0,1C ．(1,)+∞D ．{1}二、已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的 A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、命题:R p x ∀∈，函数2()2cos 23f x x x =+≤，则 A ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+≤ B ．p 是假命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+> C ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+≤ D ．p 是真命题；:R p x ⌝∃∈，2()2cos 23f x x x =+>4、已知函数()2x y f =的概念域是[]1,1-，则函数()2log y f x =的概念域是A ．()0,+∞B ．(]0,1C ．[]1,2 D．4⎤⎦五、已知函数122(1)()log (1)(1)x x f x x x +⎧≤-⎪=⎨+>-⎪⎩，若()1f a =-，则a =A ．0B ．1C ．1-D ．12- 六、要取得函数()36y f x =+的图象，只需要把函数()3y f x =的图象 A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移6个单位D ．向右平移6个单位7x的图像大致形状是A B CD8．已知)()('x f x f 是的导函数，在区间[)0,+∞上'()0f x >，且偶函数)(x f 知足)31()12(f x f <-，则x 的取值范围是A ．)32,31(B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,31 C ．)32,21( D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,219. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数 2y x =图象下方的点组成的区域．向D 中随机投一点，则该 点落入E 中的概率为 A ．15 B ．14 C ．13 D ．1210、已知函数,1cos sin )(++=x x a x f )4(x f -π且),4(x f +=π则a 的值为A ．1B ．－1C ．22D ．2 11、已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，且1)2()4(=-=f f ，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如图所示. 则平面区域()0021a b f a b ⎧≥⎪≥⎨⎪+<⎩所围成的面积是 A ．2B ．4C ．5D ．812．已知函数1()lg ()2x f x x =-有两个零点21,x x ，则有A. 021<x xB. 121=x xC. 121>x x D . 1021<<x x第Ⅱ卷（非选择题目 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、若直线y kx =与曲线3232y x x x =-+相切，则k . 14、设函数()f x 是概念在R 上以3为周期的奇函数，若(1)1f >，23(2)1a f a -=+，则a 的取值范围是__________________________．1五、已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数，则m 的取值范围是 ．1六、若02πβα<<<且45513cos(),sin()αβαβ+=-=，那么2cos α的值是三、解答题（本题共6小题，共70分解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤） 17．（本题满分10分）已知条件p ：{}2|230,,x A x x x x R ∈=--≤∈条件q ：{}22|240,,x B x x mx m x R m R ∈=-+-≤∈∈（Ⅰ）若[]0,3A B =,求实数m 的值；（Ⅱ）若p 是q ⌝的充分条件，求实数m 的取值范围.18．（本题满分12分）已知()sin()cos ()32ππαπααπ--+=<<， 求下列各式的值： （Ⅰ）sin cos αα-；（Ⅱ）33sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.1九、（本题满分12分）如图，等腰梯形ABCD 的三边,,AB BC CD 别离与函数2122y x =-+，[]2,2x ∈-的图象切于点,,P Q R .求梯形ABCD 面积的最小值。

山东省肥城市第六高级中学2019-2020学年高三数学上学期第一次月考试题一 选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 在复平面内，复数12i z i -=-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若向量a =(2, 0)，b =(1, 1)，则下列结论中正确的是( )．(A) a b ⋅=1 (B) |a |=||b (C) (a b -)⊥b (D) a ∥b3．已知tan(π－α)＝－23，且α∈(－π，－π2)，则cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝( )A ．－15 B.15C ．－5D ．54．已知曲线C1：y ＝cosx ，C2：y ＝sin(2x ＋2π3)，则下面结论正确的是( )A ．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B ．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C ．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D ．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C25．将函数y ＝3cosx ＋sinx(x ∈R)的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π66．如图，函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤π2)的图像与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P(1，0)，∠PQR ＝π4，M(2，－2)为线段QR的中点，则A 的值为( )A ．2 3 B.733 C.833D ．4 3 7.在给出的下列命题中，是ggg假命题的是( )(A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈u u u r u u u r u u u r，则点A B C 、、必共线(B )若向量a b r r 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c r都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈r r r、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>u u u r u u u r u u u r |=|，且0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量a b c d r r r u r、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 8．已知2sin θ＝1＋cos θ，则tan θ＝( )A ．－43或0 B.43或0 C ．－43D.439.在等差数列{an}中，其前n 项和为Sn ，若a5，a7是方程x2＋10x －16＝0的两个根，那么S11的值为( ) A.44B.－44C.55D.－5510．若函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx(x ∈R)，又f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值是( )A.13B.32C.43D.2311.等差数列{an}中的a1，a4 033是函数f(x)＝13x3－4x2＋6x －1的极值点，则log2a2 017＝( ) A.2 B.3C.4D.512.如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=，2AD DB =u u u r u u u r,P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r，若ABC ∆的面积为AP u u u r的最小值为( )C. 3D.43二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α＝________．14．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.15.已知等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，则{an}的前n 项和Sn ＝________16．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB ＝________．三、解答题（本题共6个题，满分70分17．（本题满分12分）16．(2018·沧州一中月考)设f(x)＝4cos(ωx －π6)sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω>0. (1)求函数y ＝f(x)的值域；(2)若f(x)在区间[－3π2，π2]上为增函数，求ω的最大值．18．（本题满分12分在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C .(1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且1，an ，Sn 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足an ·bn ＝1＋2nan ，求数列{bn}的前n 项和Tn.20. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，设向量(,cos ),m a B =u r (,cos ),n b A =r 且//,m n m n ≠u r r u r r.(1)求证：2A B π+=；(2)若sin sin sin sin x A B A B ⋅=+，试确定实数x 的取值范围.21．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C)＝8sin2B 2.(1)求cosB ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b.22．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝sin(5π6－2x)－2sin(x －π4)cos(x ＋3π4)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ∈[π12，π3]，且F(x)＝－4λf(x)－cos(4x －π3)的最小值是－32，求实数λ的值．高三数学月考试卷答案一 选择题1.A2.C.3A4.D5.B6.C7.D8.B9.D10.D11.A12.B 二、13．2 14．1 15..n (n －2) 16． 34三、17．解析 (1)f(x)＝4(32cos ωx ＋12sin ωx)sin ωx ＋cos2ωx ＝23sin ωxcos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin2ωx ＋1，因为－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f(x)的值域为[1－3，1＋3]． (6)(2)因y ＝sinx 在每个闭区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上为增函数，故f(x)＝3sin2ωx＋1(ω>0)在每个闭区间[k πω－π4ω，k πω＋π4ω](k ∈Z )上为增函数．依题意知[－3π2，π2]⊆[k πω－π4ω，k πω＋π4ω]对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.………12分 18．解：(1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝234cos 2C －14sin 2C ，化简得sin A ＝32，故A ＝π3或2π3 (6)(2)由题知，若b ≥a ，则A ＝π3，又a ＝3， (12)19.解 (1)由已知1，a n ，S n 成等差数列得2a n ＝1＋S n ，①当n ＝1时，2a 1＝1＋S 1＝1＋a 1，∴a 1＝1， 当n ≥2时，2a n －1＝1＋S n －1，② ①－②得2a n －2a n －1＝a n ， ∴a n ＝2a n －1(n ≥2)，且a 1＝1.∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝a 1qn －1＝1·2n －1＝2n －1.. (6)(2)由a n ·b n ＝1＋2na n 得b n ＝1a n＋2n ，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1a 1＋2＋1a 2＋4＋…＋1a n＋2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＋(2＋4＋…＋2n )＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋（2＋2n ）·n 2＝n 2＋n ＋2－12n －1.……12分20. 解：（1）Q (,cos ),(,cos ),m a B n b A ==u v v 且//m n u v v，cos cos 0a A b B ∴-=………2分又2sin sin ==a b R A B sin cos sin cos A A B B ∴=, 即sin 2sin 2A B =又ABC ∆中02,22A B π<<22A B ∴=或22A B π+=即A B =或2A B π+=……5分若A B =，则a b =且cos cos A B =，m n =u r r， m n ≠u r rQ 2A B π∴+=………………………………………………6分（2）由sin sin sin sin x A B A B ⋅=+可得sin sin sin cos sin sin sin cos A B A Ax A B A A++==………………8分 设sin cos A A t +=，则)4t A π+，02A π<<Q 3444A πππ∴<+<1)4A π∴+10分212sin cos t A A ∴=+21sin cos 2t A A -∴⋅= 22211t x t t t==-- 1t t -Q在t ∈上单调增2221112t x t t t∴==≥=--∴实数x 的取值范围为()+∞(开区间)………………………………12分21．解析 (1)依题意，得sinB ＝8sin 2B 2＝8·1－cosB 2＝4(1－cosB)．∵sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴16(1－cosB)2＋cos 2B ＝1，∴(17cosB －15)(cosB －1)＝0，∴cosB ＝1517 (6)(2)由(1)可知sinB ＝817.∵S △ABC ＝2，∴12ac ·sinB ＝2，∴12ac ·817＝2，∴ac ＝172. ∵cosB ＝1517，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝1517，∴a 2＋c 2－b 2＝15，∴(a ＋c)2－2ac －b 2＝15，∴36－17－b 2＝15，∴b ＝2 (12)22．解析 (1)∵f(x)＝sin(5π6－2x)－2sin(x －π4)cos(x ＋3π4)＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sinx －cosx)(sinx ＋cosx)＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)......4 ∴T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f(x)的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )． (6)(2)F(x)＝－4λf(x)－cos(4x －π3)＝－4λsin(2x －π6)－[1－2sin 2(2x －π6)]＝2sin 2(2x －π6)－4λsin(2x －π6)－1＝2[sin(2x －π6)－λ]2－1－2λ2 (8)∵x ∈[π12，π3]，∴0≤2x －π6≤π2，∴0≤sin(2x －π6)≤1.①当λ<0时，当且仅当sin(2x －π6)＝0时，F(x)取得最小值－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin(2x －π6)＝λ时，F(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12，λ＝－12(舍去)；③当λ>1时，当且仅当sin(2x －π6)＝1时，F(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1相矛盾． 综上所述，实数λ的值为12 (12)。

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

【高三】高三数学上册9月月考试卷(含答案)[1]一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）1．已知集合 , ,则 ( B )A． B． C． D．2. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是（ C ）A． B． C． D．3. 给出两个命题:命题命题“存在”的否定是“任意”；命题：函数是奇函数. 则下列命题是真命题的是( C )A. B. C. D.4.若函数f(x)＝x2－ax－ a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( D )A．－1 B．1 C．－2 D． 25 已知函数是函数的导函数，则的图象大致是( A )A． B． C． D．6．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是 ( B )A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]7．7. 已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( B )A．(0，2) B．(－∞，1] C．(－∞，1) D．(0，2]8．若f(x)＝ax，x＞1，4－a2x＋2，x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( C )A．(1，＋∞) B．(4，8) C．[4，8) D．(1，8)9. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当时，不等式成立，若a＝30.2f(30.2)，b＝(logπ2) f(logπ2)， c＝ f ，则，，间的大小关系 ( A )A． B． C．D．10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f( )＋f( )≤2f(2)，则a的取值范围是( D)A．(－∞，4] B. (0，4] C. D．11．(文)已知是奇函数，则（ A ）A..14 B． 12 C． 10 D．-811. (理)若函数的大小关系是 (C )A． B．C． D．不确定12．已知函数y＝f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x)．当x∈(2，3)时，f(x)＝log2(x－1)．给出以下4个结论：其中所有正确结论的为（ A ）①函数y＝f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称；②函数y＝|f(x)|是以2为周期的周期函数；③函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增；④当x∈(－1，0)时，f(x)＝－log2(1－x)．A．①②④ B．②③ C．①④ D．①②③④二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分,共20分）13.已知实数满足则的最大值__-4_______14. 已知，则函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .15. 若函数 ( )满足且时， ,函数 ,则函数在区间内零点的个数有__12_个.16. 存在区间（），使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：① ；② ；③ ；④其中存在“ 稳定区间”的函数有②__③_ .（把所有正确的序号都填上）三、解答题(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分)17.（本小题满分12分）设向量，，其中，，函数的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为 .（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）在中，角A，B，C的对边分别别是，若，且，求边长．解：解：（I）因为， -----------------------------1分由题意， -----------------------------3分将点代入，得，所以，又因为 -------------------5分即函数的表达式为． --- ------------------6分（II）由，即又 ------------------------8分由，知，所以 -----------------10分由余弦定理知所以 ----------------------------------- -----------------12分18.（文）（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：评估的平均得分全市的总体交通状况等级不合格合格优秀（Ⅰ）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（Ⅱ）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.【解析】：（Ⅰ）6条道路的平均得分为 .-----------------3分∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分（Ⅱ）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过”. -----7分从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件． -----------------9分事件包括，，，，，，共个基本事件，∴ ．答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为 .------12分18.（理）（本小题满分l 2分）在2021年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响．(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ＝1)＝C14C22C36＝15 ，P(ξ＝2)＝C24C12C36＝35，P(ξ＝3)＝C34C02C36＝15，∴考生甲正确完成题数的分布列为ξ 1 2 3P 153515Eξ＝1×15＋2×35＋3×15＝2. ………………………………………..4分又η～B(3，23)，其分布列为P(η＝k)＝Ck3•(23)k•(13)3－k，k＝0，1，2，3；∴Eη＝np＝3×23＝2. ………………………………………6分(II)∵Dξ＝(2－1)2×15＋(2－2)2×35＋(2－3)2×15＝25，Dη＝npq＝3×23×13＝23，∴Dξ∵P(ξ≥2)＝35＋15＝0.8，P(η≥2)＝1227＋827≈0.74，∴P(ξ≥2)>P(η≥2)．………………10分从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．………………12分19（理）在四棱锥中，平面，是的中点，, , .（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值．解：（Ⅰ）取的中点 ,连接 ,,则∥ .因为所以.………………………………1分因为平面，平面所以又所以⊥平面……………………………………………………………3分因为平面 ,所以⊥ ；又∥ ，所以；又因为 , ；所以⊥平面……………………………………………………………5分因为平面，所以…………………… ……6分（注：也可建系用向量证明）（Ⅱ）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .则 , , ， , ,， .………………………………………………8分设平面的法向量为，则所以令 .所以. ……………………9分由（Ⅰ）知⊥平面 , 平面 ,所以⊥ .同理⊥ .所以平面所以平面的一个法向量. …………………10分所以，……………………11分由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．……………………12分19.(文)在四棱锥中，平面，是的中点， ,， .（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：．证明：（Ⅰ）取的中点 ,连接 , .则有∥ .因为平面，平面所以∥平面．……………………2分由题意知 ,所以∥ .同理∥平面．…………………4分又因为平面 , 平面 ,所以平面∥平面．因为平面所以∥平面．……………………………………………………………6分（Ⅱ）取的中点 ,连接 , ,则∥ .因为 ,所以.………………………………… ……7分因为平面，平面，所以又所以⊥平面……………………………………………………………9分因为平面所以⊥又∥ ，所以又因为 ,所以⊥平面……………………………………………………………11分因为平面所以………………………………………………………………12分20. (本小题满分12分) 已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A、B两点，且，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【解析】：(1)由题意知，∴ ，即，又，∴ ，故椭圆的方程为 4分(II)设，由得12分21．（文）已知函数，其中a∈R.(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；(2)当时，求函数的单调区间与极值．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. …4分(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a] ex令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2，…6分由a≠23知，－2a≠a－2.以下分两种情况讨论：①若a>23，则－2ax (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋f(x) 极大值极小值所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数．函数f(x)在x＝－2a处取得极大值为f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.函数f(x)在x＝a－2处取得极小值为f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. …9分②若a<23，则－2a>a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋f(x) 极大值极小值所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数．函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. …12分21. (理)已知函数（）．(1) 当时，证明：在上，；(2)求证：．解：(1) 根据题意知，f′(x)＝a1－x x (x>0)，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．所以a＝－1时，f( x)＝－ln x＋x－3，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1 )，即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0. …………6分(2) 由(1)得－ln x＋x－3＋2>0，即－ln x＋x－1> 0，所以ln x则有0∴ln 22•ln 33•ln 44•…•ln nn < 12•23•34•…•n－1n＝1n(n≥2，n∈N*)．…12分四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD.（Ⅰ ）求证：直线AB是⊙O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED＝12，⊙O的半径为3，求OA的长．解：(1)证明：连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥OB，又∵O C是圆的半径，∴AB是圆的切线．……4分(2)∵ED是直径，∴∠ECD＝90°，∴∠E＋∠EDC＝90°，又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，∴△BCD∽△BEC，∴BCBE＝BDBC⇒BC2＝BD•BE，又tan∠CED＝CDEC＝12，△BCD∽△BEC，BDBC＝CDEC＝12，设BD＝x，则BC＝2x，∵BC2＝BD•BE，∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2，∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5. ……10分23．（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线 (t为参数)， ( 为参数)．（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求．解：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆．曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以……………10分24.（本小题满分10分）选修4―5：不等式选讲已知函数，且的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证： .解：（Ⅰ）因为，所以等价于，…2分由有解，得，且其解集为．…4分又的解集为，故．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，…7分∴ ≥ =9．9分(或展开运用基本不等式)∴ (10)感谢您的阅读，祝您生活愉快。

试卷类型：A肥城市2023-2024学年9月阶段测试高 三 数 学 试 题本试卷共22题，满分150分，共6页．考试用时120分钟．注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}0,1,2,3,4,5U =, 集合{}{}1,2,4,2,A B x ==<∈N ,则()UBA =ðA. {}0,3,5B. {}0,1,3C. {}0,3D. {}3,5 2. 若()13i 2i z -=-，则z =A.11+i 22 B. 11i 22- C. 1i + D. 1i - 3. 已知向量12e ,e 是平面内的一组基底，若向量12+23=a e e 与122λ=-b e e 共线，则λ的值为A. 1B. 1-C. 43D. 43-4. 函数()f x =A. 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (],1-∞-C. 3+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭， D. 1+4⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，5. 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，则A ．2a b =B. 34a b =C. 222a b =D. 2234a b =6. 已知圆22:40A x y y +-=与圆22:20B x y x +-=相交于,O C 两点， 其中点O 是坐标原点，点,A B 分别是圆A 与圆B 的圆心，则cos OAC ∠= A. 45-B.45C. 35-D.357. 设数列{}n a 的前n 项和为n S , 设甲：{}n a 是等差数列；乙：对于所有的正整数n ，都有()21n n a a n S +=. 则A. 甲是乙的充要条件B. 甲是乙的充分条件但不是必要条件C.D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 锐角,αβ满足cos tan 1sin βαβ=-，则A. 22παβ+=B. 22παβ-=C. 324παβ+=D. 22παβ-=-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 一组样本数据由10个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据，则A. 两组样本数据的样本极差不同B. 两组样本数据的样本方差相同C. 两组样本数据的样本中位数相同D. 两组样本数据的样本平均数可能相同10. 在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值. 天体亮度越强，星等的数值越小, 星等的数值越大，天体的亮度就越暗. 两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为()1,2k E k =. 已知太阳的星等是 26.7-，天狼星的星等是 1.45-，南极星的星等是0.72-，则A ．天狼星的星等大约是南极星星等的2倍B ．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是10.1C ．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是10,110-D ．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是0,29210-11. 已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，满足()()2=2f x f x +-，当02x ≤≤时， ()2=f x x x -，则A ．()f x 的最小值是14-，最大值是2 B ．()f x 的周期为4C ．()20232f =D ．()202311012i f i ==∑12. 下列几何体中，可完全放入一个半径为2的球体内的是A. 棱长为2的正方体B. 底面半径为1，高为C.D. 底面边长为2，高为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 现有6名志愿者报名参加某项暑期公益活动，此项公益活动为期两天，每天从这6人中安排3人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式有 ▲ 种. 14. 将半径是5，圆心角是45π的扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的体积为 ▲ .15. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，在区间,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，直线 6x π=-和3x π=为函数()y f x =的图象的两条相邻对称轴，则5=12f π⎛⎫⎪⎝⎭▲ . 16. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F . 点M 为C 左支上的一点，过2F 作与x 轴垂直的直线l ，若M 到l 的距离d 满足232MF d =，则C 的离心率e 的取值范围为 ▲ .四、解答题：本题共6小题，共.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 已知0=135,2,A b c ==（1）求sin C 的值；（2）若D 是BC 上一点，AC AD ⊥, 求ABD ∆的面积.18. (12分)如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,//,AA ABCD AB CD AB AD ⊥⊥平面,24,3AB CD AD ===.（1）求证：111//CD ABB A 平面； （2）若1CD 与平面ABCD 所成角为060，求平面1ACD 与平面11BCC B 夹角 的余弦值.19.（12分）已知函数()ln ,mf x x m x=+∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0m >时，()21mf x m ≥-．20.（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，11112n n na a S +-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）令12n n b a =⋅⋅⋅+<21.（12分）甲、乙两个不透明的袋子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球. 从两个袋中各任取一个球交换，重复进行()*n n ∈N 次操作后，记甲袋中黑球个数为n X ，甲袋中恰有1个黑球的概率为n a ，恰有2个黑球的概率为n b .（1）求1X 的分布列； （2）求{}n a 的通项公式； （3）求n X 的数学期望()n E X ．22.（12分）在直角坐标系xOy 中， 动圆P 过定点10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭，且与定直线1:4l y =-相切， 记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知正方形ABCD 有三个顶点在W 上，求正方形ABCD 面积的最小值.高三数学参考答案及评分意见一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 180 14.3 3+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得24222=102a =++⨯，所以a =…………………………………3分 由正弦定理sin sin a c A C=，得 sin sin =10c AC a ==. ……………5分（2）因为AC AD ⊥,所以090CAD ∠=， 由sin C =,得 1tan 3C =. …………………………………………7分在ACD ∆Rt 中，tan =AD C AC ，得2tan 3AD AC C ==, …………………………8分 因为045BAD ∠=,所以1121sin 22323ABD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=⨯=. ……………………………………………………10分18.（12分）解：（1）证明：在四棱锥1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，11CD ABB A ⊄平面,11AB ABB A ⊂平面,11//CD ABB A ∴平面. ……………………………………2分 11111111//,,AA DD DD ABB A AA ABB A ⊄⊂平面平面,111//DD ABB A ∴平面. ……………………………………… 3分又11111,//DCDD D ABB A CDD C =∴平面平面,111111,CD CDD C CD ABB A ⊂∴平面//平面. ……………………………………5分（2）1,AA ABCD AB AD ⊥⊥平面,可得1,,AA AB AD 两两垂直，以1,,AD AB AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.1CD 与平面ABCD 所成角为1D CD ∠,0160D CD ∴∠=. 12,CD DD =∴=又24,3AB CD AD ===，()()()((110,0,0,0,4,0,3,2,0,,A B C B D ∴. …………………7分设平面1ACD 的法向量(),,x y z =m ，()(13,2,0,AC AD ==,10,0AC AD ∴⋅=⋅=m m ,所以320,30x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令z =2,3x y ==-,可得(2,3,=-m . ………………………………………………9分 设平面11BCC B 的法向量(),,x y z =n ，()()10,0,23,3,2,0BB BC ==-,所以0320x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，令2x =，得3,0y z ==,可得()2,3,0=n . ………………………………………………11分因为cos 52⋅==m n m,n m n ，所以平面1ACD 与平面11BCC B 夹角余弦值为52. …………………………12分19.（12分）解：（1）函数()f x 的定义域是()0+∞，，可得()221m x mf x x x x-'=-=.………………1分 当0m ≤时，可知()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，上单调递增； …………………2分 当0m >时，由()=0f x '得x m =，可得()0,x m ∈时有()0f x '<，()+x m ∈∞，时有()0f x '>，所以()f x 在()0,m 上单调递减，()f x 在()+m ∞，上单调递增. …………………………………………………………4分综上可得，当0m ≤时，()f x 在()0+∞，上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在()+m ∞，上单调递增. ………………5分 （2）证明：当0m >时，要证()21mf x m ≥-成立，只需证()211=2m f x m m-≥-成立， 只需证()min 12f x m≥-即可. ………………………………………………………6分因为0m >，由（1）知，()()min 1ln f x f m m ==+. 令()111ln 2ln 1g m m m m m⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭， ……………………………………8分 由()22111m g m m m m-'=-=，可得()0,1m ∈时有()0g m '<，()+m ∈∞1，时有 ()0g m '>，所以()g m 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增，可知()()min 10g m g ==，有()0g m ≥. ………………………………………11分 所以有11ln 2m m+≥-，从而当0m >时，()21mf x m ≥-成立. ………………12分 20.（12分）解：（1）由题意得：112n n n n S S a a +-=-， 所以11112n n n n n S a S a a +++--=-，即1112n n n n S S a a ++-=.………………………………………2分又11a =，所以111S a =， 所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列，所以12n n S n a +=，即12n n n S a +=， …………………………………………………3分 所以1122n n n S a +++=，两式相减得112122n n n n n a a a ++++=-，即1122n n n n a a ++=， 所以11111n n a a a n n +==⋅⋅⋅==+， …………………………………………………5分 因此{}n a 的通项公式为n a n =. …………………………………………………6分（2）由（1）可得：12n b n =()11221n n -+==…………7分====⨯2<，…………………………………………………10分+⋅⋅⋅+1⎤<++⋅⋅⋅+=<⎥⎦…………………………………………………12分21.（12分）解：（1）由题意可知，1X 的可能取值为0,1,2， ………………………………1分所以由概率乘法公式得：()11220339P X ==⨯=，()111225133339P X ==⨯+⨯=，()12122339P X ==⨯=.所以1X 的分布列为：……………………………………3分（2）由全概率公式可知：()()()()()111111|121|2n n n n n n n P X P X P X X P X P X X +++=====+=== ()()101|0n n n P X P X X ++=== …………………………………4分()()()11222211210333333n n n P X P X P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=+⨯=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()522120933n n n P X P X P X ==+=+=， 所以()15221933n n n n n a a b a b +=++--，即11293n n a a +=-+.………………………5分所以1313595n n a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ……………………………………………………………6分 又()11519a P X ===， 所以数列35n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以135a -为首项，以19-为公比的等比数列， 所以132121545959n n n a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即321559nn a ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭.……………7分 （3）由全概率公式得：()()()()()111212|122|2n n n n n n n P X P X P X X P X P X X +++=====+===()()102|0n n n P X P X X ++===()()()21111200333n n n P X P X P X ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=+⨯⨯=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12193n n n b a b +=+. …………………………………………………………………8分 又321559nn a ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，所以12321195593nn n b b +⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以1111111115593559n nn n b b ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⨯-=⨯-+⨯-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. …………………………9分 又()11229b P X ===， 所以111121105599545b ⎛⎫-+⨯-=-+= ⎪⎝⎭， ………………………………10分 所以1110559nn b ⎛⎫-+⨯-= ⎪⎝⎭，111559nn b ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，………………………………11分所以()()20121n n n n n n n E X a b a b a b =++⨯--=+=. …………………………12分 22.（12分）解：（1）设P 点坐标为(),x y ，则由题意得：1||4y +=2分整理得：2y x =.即W 的方程为2y x =. …………………………………………………………………3分 （2）如图，不妨设三个顶点中有两个在y 轴右侧（包括y 轴）， 且设A 、B 、C三点的坐标分别为()11,x y 、()22,x y 、()33,x y ，BC 的斜率为()0k k >，则有()3232y y k x x -=-，()12121y y x x k-=--. ………………………………………4分 又A 、B 、C 三点在抛物线W 上， 所以211y x =，222y x =，233y x =， 代人上面两式得：32x k x =-，121x x k=--. ………………………………………5分 由于||||AB BC =，=))2132x x x x -=-，()2132x x k x x -=-，…………………7分 所以()22122x k k x k +=-，()221220k k x k-=+≥， 所以31k ≥，1k ≥，且有()32122k x k k -=+. ………………………………………9分所以正方形边长为))3222x x k x-=- ()311k k k k ⎤-=-⎥+⎦()212k k k k +=≥=………………………………………11分当且仅当1k =时， 即B 点为原点时等号成立.所以正方形面积的最小值为2. ………………………………………12分。

2021-2022年高三9月月考数学试题 含答案一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1、设S={1，2，3}，M={1，2}，N={1，3}，那么（）∩（）等于（ ）A 、B 、{1，3}C 、{1}D 、{2，3}①命题“”是真命题 ②命题“”是假命题③命题“”是真命题 ④命题“”是假命题其中正确的是（ ）A 、②④B 、②③C 、③④D 、①②③3、下列特称命题中真命题的个数是（ ）① ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③是无理数是无理数｝，│｛2x x x x ∈∃ A 、0 B 、1 C 、2 D 、3则在映射下B 中的元素（1，1）对应的A 中元素为（ ）。

A.（1，3） B.（1，1） C . D. 5、不等式的解集为( ) A. B. C. D.6、 函数21(0)x y a a a -=+>≠且1的图象必经过点（ ）A 、(0,1)B 、(1,1)C 、(2,0)D 、(2,2)的值是（ ）。

A.3B. -3C.-1D. 1 8、已知方程的解为，则下列说法正确的是（ ） A ． B. C. D. 9、已知的图像关于（ ）对称。

A.y 轴B. x 轴C. 原点D.直线y=x 10、三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）。

A. B. C. D..11、如果函数在区间上是单调减函数，那么实数的取 值范围是（ ）。

A . B. C . D .12、若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）二、填空题（本大题共4小题.每小题5分,共20分） 13、函数y=的定义域是。

14、若是奇函数，则实数15、 设2 2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若，则_________16、已知幂函数的图象经过点(3,)，那么这个幂函数的解析式为 三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知函数，且。

高三9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≤3}，则∁R A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．(2，3)C ．(2，3]D ．(－∞，1]∪[2，3]2.（5分）2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z －2i ＝11－i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为( )A.132B.262C.102 D.523.（5分）3．已知x 、y 取值如下表：x 0 1 4 5 6 8 y1.3m5.66.17.49.3 从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋1.45，则m ＝( ) A ．1.5 B ．1.55 C ．1.8 D ．3.54.（5分）4已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，－π2<α<π2，则sin 2α的值等于( )A.1225 B ．－1225 C ．－2425 D .24255.（5分） 5．已知互不重合的直线a ，b ，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是( )A ．若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若α⊥β，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥bC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β 6.（5分）6．“a ≤－2”是“函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.（5分）7．已知O 为△ABC 内一点，且AO →＝12(OB →＋OC →)，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.14B.13C.12D.238.（5分）8．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－2，则①中应填( )A ．n <98?B ．n <99?C ．n <100?D ．n <101?9.（5分）9．已知点F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则该双曲线的离心率为( )A.2B.52 C ．2 D.5 10.（5分）10．若实数x 、y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y的最大值为( ) A ．2－2 B ．2＋2 C ．4－22 D ．4＋22 11.（5分）11．曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A.4－ln 25 B.4＋ln 25 C.4－ln 25D.4＋ln 2512.（5分）12．已知三棱锥P ­ABC 的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．3π B.3π2 C.4π3 D.5π6 二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，若S 3＝a 2＋4a 1，T 5＝243，则a 1的值为____________．14.（5分）14．已知点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，抛物线y 2＝8x 上任意一点P 到直线l ：x ＝－2的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于________． 15.（5分）15．“克拉茨猜想”又称“3n ＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为________． 16.（5分）16．已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若关于x 的方程f (x )＝|log a |x ||(a >0，a ≠1)在[－2，3]上有5个根，则a 的取值范围是________．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，cos 2A －cos 2B ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，且m ∥n .(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且A ＝π4，外接圆半径R ＝2，求△ABC 的周长． 18.（12分）18.(本小题满分12分)甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)；②双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场．已知甲俱乐部派出队员A 1、A 2、A 3，其中A 3只参加第三场比赛，另外两名队员A 1、A 2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员B 1、B 2、B 3，其中B 1参加第一场与第五场比赛，B 2参加第二场与第四场比赛，B 3只参加第三场比赛．根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表：(1)12得取胜的概率最大？(2)若A 1参加第一场与第四场比赛，A 2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．19.（12分）19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面四边形ABCD 内接于圆O ，AC 是圆O 的一条直径，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AC ＝2，E 是PC 的中点，∠DAC ＝∠AOB .(1)求证：BE ∥平面P AD ；(2)若二面角P ­CD ­A 的正切值为2，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 20.（12分）20．(本小题满分12分)已知圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN →＝λOA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．21．21.（12分）(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 26＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 2也为抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点，过点F 2的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点． (1)若点P (8，0)满足|P A |＝|PB |，求直线l 的方程；(2)T 为直线x ＝－3上任意一点，过点F 1作TF 1的垂线交椭圆C 1于M ，N 两点，求|TF 1||MN |的最小值．22.（12分）已知函数f (x )＝ax －12x 2－b ln(x ＋1)(a >0)，g (x )＝e x －x －1，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线．(1)若x ＝0为函数f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用a 表示)； (2)若∀x ≥0，g (x )≥f (x )＋12x 2，求a 的取值范围．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．解析：选D.由集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}＝{x |1＜x ＜2}，则∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，又B ＝{x |x ≤3}，所以∁R A ∩B ＝(－∞，1]∪[2，3]．2.（5分）2．解析：选B.由z －2i ＝11－i ，得z ＝2i ＋11－i ＝2i ＋1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋52i ，所以复数z 在复平面内的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，到原点的距离为14＋254＝262.故选B.3.（5分）3．解析：选 C.由题意知x －＝0＋1＋4＋5＋6＋86＝4，y －＝1.3＋m ＋5.6＋6.1＋7.4＋9.36＝29.7＋m6，将⎝⎛⎭⎪⎫4，29.7＋m 6代入y ^＝0.95x ＋1.45中，得29.7＋m 6＝0.95×4＋1.45，解得m ＝1.8. 4.（5分）4．解析：选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，所以sin α＝－35，又－π2<α<π2，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425，5.（5分）5．解析：选D. A 中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线a ，b 平行，故正确．B 中，满足条件的直线a ，b 垂直，故正确．C 中，由面面垂直的性质可得，交线a 与α垂直，故正确．D 中，直线a 与β可能平行，也可能在β内，故不正确．综上D 不正确．答案D. 6.（5分）解析：选A.结合图象可知函数f (x )＝|x －a |在[a ，＋∞)上单调递增，易知当a ≤－2时，函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.7.（5分）7．解析：选B.设线段BC 的中点为M ，则OB →＋OC →＝2OM →，因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14(AB →＋1t AD →)＝14AB →＋14t AD →，由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.故选B.8.（5分）8．解析：选B.由题意知，该程序框图的功能是计算S ＝lg 12＋lg 23＋…＋lgnn ＋1＝－lg(n ＋1)，当n ＝98时，S ＝－lg 99>－2；当n ＝99时，S ＝－lg 100＝－2，跳出循环，故①中应填n <99?故选B.9.（5分）解析：选D.如图所示，点P 与点F 2关于直线y ＝ba x 对称，所以|OP |＝|OF 2|＝|OF 1|＝c ，所以PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝ba ，又|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝2b ，|PF 1|＝2a ，又因为点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，故e ＝ca＝ 5.10.（5分）10．解析：选C. x x ＋y ＋2yx ＋2y ＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x ≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号． 11.（5分）11．解析：选D.因为直线2x －y ＋3＝0的斜率为2，所以令y ′＝1x ＝2，解得x ＝12，把x ＝12代入曲线方程得y ＝－ln 2，即曲线在点⎝⎛⎭⎫12，－ln 2处的切线斜率为2，⎝⎛⎭⎫12，－ln 2到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|1＋ln 2＋3|22＋（－1）2＝4＋ln 25，故曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是4＋ln 25.12.（5分）12．解析：选B.如图所示，Rt △P AC ，Rt △P AB 为等腰直角三角形，且AP ＝AB ＝AC ＝ 3.以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt △P AC 的PC ，AC 分别交于点M ，N ，得cos ∠APN ＝32，所以∠APN ＝π6，所以∠NPM ＝π12，所以MN ︵＝π12×2＝π6，同理GH ︵＝π6，HN ︵＝π2×1＝π2，又GM ︵是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆的周长的16，所以GM ︵＝2π×26＝2π3， 所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于π6＋π6＋π2＋2π3＝9π6＝3π2.故选B.二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）解析：由已知，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋4a 1，则a 3＝3a 1，所以q 2＝3.又T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝243，所以a 3＝a 1q 2＝3，a 1＝1.故答案为1.14.（5分）解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，故直线l ：x ＝－2为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，d ＝|PF |.圆C 的方程可变形为(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1，4)，半径r ＝2.如图所示，d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |.显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线，且点P 在点F ，Q 之间时取等号)．而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当Q 处在Q ′的位置，P 处在P ′的位置时，|FQ |取得最小值，且最小值为|CF |－r ＝（－1－2）2＋（4－0）2－2＝ 5－2＝3.答案：315.（5分）15．解析：如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64.所以正整数m 的值为10或64.故答案为1,8,10或64.16.（5分）解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)得函数f (x )的最小正周期T ＝2，根据函数的奇偶性、周期性画出函数f (x )在[－2，3]上的图象，然后再画函数g (x )＝|log a |x ||的图象，如图所示，使它们有5个交点即可，当a >1时，只要保证log a 3≤1即可，解得a ≥3，当0<a <1时，只要保证－log a 3≤1即可，即log a 3≥－1，解得0<a ≤13， 综上a ∈⎝⎛⎦⎤0，13∪[)3，＋∞.三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．解：(1)由m ∥n ，得cos 2A －cos 2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，即2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2A －14sin 2A ，化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3.(2) 易知B ＝π3，则由A ＝π4，得C ＝π－(A ＋B )＝5π12.由正弦定理a sin A ＝bsin B ＝csin C ＝2R ， 得a ＝4sin π4＝22，b ＝4sin π3＝23，c ＝4sin 5π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝4×⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋12×22＝6＋2， 所以△ABC 的周长为6＋23＋3 2.18.（12分）18.解：(1)设A 1、A 2分别参加第一场、第二场，则P 1＝56×23×23＝1027，设A 2、A 1分别参加第一场、第二场，则P 2＝34×23×23＝13，所以P 1>P 2， 所以甲俱乐部安排A 1参加第一场，A 2参加第二场，则甲俱乐部以3∶0取胜的概率最大．(2)比赛场数X 的所有可能取值为3、4、5， P (X ＝3)＝56×23×23＋16×13×13＝718，P (X ＝4)＝56C 12×23×13×23＋16×⎝⎛⎭⎫233＋16C 12×13×23×13＋56×⎝⎛⎭⎫133＝1954，P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝727， 所以X 的分布列为X 3 4 5 P7181954727所以E (X )＝3×718＋4×1954＋5×727＝20954.19.（12分）19．解：(1)证明：因为∠DAC ＝∠AOB ，所以AD ∥OB .因为E 为PC 的中点，O 为圆心，连接OE ，所以OE ∥P A ，又OB ∩OE ＝O ，P A ∩AD ＝A ，所以平面P AD ∥平面EOB ， 因为BE ⊂平面EOB ，所以BE ∥平面P AD .(2)因为四边形ABCD 内接于圆O 且AC 为直径，所以AD ⊥CD ，又P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD ，所以∠PDA 是二面角P ­CD ­A 的平面角，因为tan ∠PDA ＝2，P A ＝2，所以AD ＝1， 如图，以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系D ­xyz .P A ＝AC ＝2，AD ＝1，延长BO 交CD 于点F ，因为BO ∥AD ，所以BF ⊥CD ，又因为BF ＝BO ＋OF ，所以BF ＝1＋12＝32，又CD ＝3，所以DF ＝32，所以P (1，0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0， C (0，3，0)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，因为⎩⎪⎨⎪⎧n ·CP →＝0，n ·DC →＝0.所以⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（1，－3，2）＝0，（x ，y ，z ）·（0，3，0）＝0，即⎩⎨⎧x －3y ＋2z ＝0，3y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0.所以n ＝(－2，0，1)是平面PCD 的一个法向量，又PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，－2，所以|cos 〈PB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·n |PB →||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋0－25×5＝35， 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为35.20.（12分）20．解：(1)因为F 1，E ，A 三点共线，所以F 1A 为圆E 的直径，所以AF 2⊥F 1F 2.由x 2＋⎝⎛⎭⎫0－122＝94，得x ＝±2，所以c ＝2，|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1，2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，所以a ＝2.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题知，点A 的坐标为(2，1)，因为MN →＝λOA →(λ≠0)，所以直线的斜率为22， 故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m x 24＋y22＝1得，x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，所以－2<m <2.又|MN |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12－3m 2，点A 到直线l的距离d ＝6|m |3， 所以S △AMN ＝12 |MN |·d ＝1212－3m 2×63 |m |＝22（4－m 2）m 2≤22×4－m 2＋m 22＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时等号成立，此时直线l 的方程为y ＝22x ± 2. 21.（12分）21．解：(1)由抛物线C 2：y 2＝8x 得F 2(2，0)，当直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝2时，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k （x －2）得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k .设AB 的中点为G ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k2，4k ，因为|P A |＝|PB |，所以PG ⊥l ，k PG ·k ＝－1，所以4k －02k 2＋4k 2－8·k ＝－1， 解得k ＝±2，则y ＝±2(x －2)，所以直线l 的方程为y ＝±2(x －2)或x ＝2.(2)因为F 2(2，0)，所以F 1(－2，0)，b 2＝6－4＝2，所以椭圆C 1：x 26＋y 22＝1.设点T 的坐标为(－3，m )，则直线TF 1的斜率kTF 1＝m －0－3＋2＝－m ，当m ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝1m ， 直线MN 的方程是x ＝my －2，当m ＝0时，直线MN 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式，所以直线MN 的方程是x ＝my －2.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1x ＝my －2，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，所以y 3＋y 4＝4m m 2＋3，y 3y 4＝－2m 2＋3 .|TF 1|＝m 2＋1，|MN |＝（x 3－x 4）2＋（y 3－y 4）2 ＝（m 2＋1）[（y 3＋y 4）2－4y 3y 4]＝24（m 2＋1）m 2＋3 .所以|TF 1||MN |＝124×（m 2＋3）2m 2＋1＝124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥33，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF 1||MN |取得最小值33.22.（12分）22.解：(1)由题意知，f (x )的定义域为x ∈(－1，＋∞)，且f ′(x )＝a －x －b x ＋1，g ′(x )＝e x －1， 因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线，故f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝b ，所以f (x )＝ax －12 x 2－a ln(x ＋1)，f ′(x )＝a －x －a x ＋1＝－x 2＋（a －1）x x ＋1＝－x [x －（a －1）]x ＋1， 当a ＝1时，f ′(x )≤0，函数f (x )在定义域上是减函数，故不满足题意；当a ≠1时，因为x ＝0为函数f (x )的极大值点，故由y ＝－x 2＋(a －1)x 的图象可知a －1<0，由f ′(x )<0得x ∈(－1，a －1)∪(0，＋∞)，由f ′(x )>0得x ∈(a －1，0)，所以函数f (x )的单调递增区间为(a －1，0)，单调递减区间为(－1，a －1)，(0，＋∞)．(2)因为g ′(x )＝e x －1，且当－1<x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，故当x ＝0时，g (x )取得最小值0，所以g (x )≥0，即e x ≥x ＋1，从而x ≥ln(x ＋1)．设F (x )＝g (x )－f (x )－12x 2＝e x ＋a ln(x＋1)－(a ＋1)x －1，则F ′(x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)， ①当a ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋a x ＋1－(a ＋1)＝x ＋1＋1x ＋1－2≥0，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而F (x )≥F (0)＝0，即e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )≥f (x )＋12x 2.②当0<a <1时，由①知e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )＝e x －x －1≥x －ln(x ＋1)≥a [x －ln(x ＋1)]，故F (x )≥0，即g (x )≥f (x )＋12x 2.③当a >1时，令h (x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)，则h ′(x )＝e x －a （x ＋1）2. 显然h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝1－a <0，h ′(a －1)＝e a －1－1>0，所以h ′(x )在(0，a －1)上存在唯一零点x 0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0，x 0)上单调递减，从而h (x )<h (0)＝0，即F ′(x )<0，所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )<F (0)＝0，即g (x )<f (x )＋12x 2，不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(0，1]．。

山东省肥城市第六高级中学2024年高三第二学期月考试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、如图甲所示，一线圈匝数为100匝，横截面积为0.01m 2，磁场与线圈轴线成30°角向右穿过线圈。

若在2s 时间内磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，则该段时间内线圈两端a 和b 之间的电势差U ab 为（ ）A ．3-VB ．2VC ．3VD ．从0均匀变化到2V2、一静止的铀核放出一个α粒子衰变成钍核，衰变方程为238234492902U Th+He →.下列说法正确的是（ ）A ．衰变后钍核的动能等于α粒子的动能B ．衰变后钍核的动量大小等于α粒子的动量大小C ．铀核的半衰期等于其放出一个α粒子所经历的时间D ．衰变后α粒子与钍核的质量之和等于衰变前铀核的质量3、在光滑水平地面上放有一个表面光滑的静止的圆弧形小车，另有一质量与小车相等可视为质点的铁块，以速度v 从小车的右端向左滑上小车，如图所示，铁块上滑至圆弧面的某一高度后返回，不计空气阻力，则铁块返回到小车的右端以后，相对于地面，将做的运动是（ ）A．又以速度v沿小车向左滑动B．以与v大小相等的速度从小车右端平抛出去C．以比v小的速度从车右端平抛出去D．自由落体运动4、将一个小木块和一个小钢珠分别以不同的速度，竖直向上抛出，若小木块受到的空气阻力大小跟速度大小成正比，=（其中k为常数），小钢珠的阻力忽略不计，关于两物体运动的v t-图象正确的是（取向上为正方向）（）即f kvA．B．C．D．5、如图所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN为两电荷连线的中垂线，a、b、c三点所在直线平行于两电荷的连线，且a与c关于MN对称，b点位于MN上，d点位于两电荷的连线上。

安徽省高三上学期数学9月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）．A .B .C .D .2. （2分）已知，那么等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知菱形的边长为，，沿对角线将菱形折起，使得二面角的余弦值为，则该四面体外接球的体积为（）A .B .C .D .4. （2分）若函数,函数,则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共11题；共11分)5. （1分）(2017·南京模拟) 已知A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=________．6. （1分） (2019高三上·天津月考) 设复数满足，则 ________．7. （1分） (2017高三上·济宁开学考) 设p：x＜﹣3或x＞1，q：x＜﹣2或x＞1，则￢p是￢q的________条件．8. （1分）(2019·肇庆模拟) 已知，则 ________．9. （1分） (2019高二上·怀仁月考) 若x、y满足约束条件，则的最大值为________.10. （1分）(2020·许昌模拟) 在我市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为________．11. （1分）(2020·西安模拟) 如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为________.12. （1分）(2018·北京) 已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.13. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 数列的通项公式，若前项的和为10，则项数为________．14. （1分） (2019高一下·温州期中) 在中，，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积为________.15. （1分） (2019高三上·浙江月考) 设函数，若方程在区间内有个不同的实数解，则实数的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共61分)16. （1分）(2017·柳州模拟) 已知，则在的展开式中，所有项的系数和为________．17. （10分） (2015高三上·滨州期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E 为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）已知AP=AB=1，AD= ，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．18. （10分） (2018高一上·辽宁月考) 已知函数，若函数的定义域为A，当时，求的值域．19. （15分） (2019高一上·定远月考) f(x)是定义在R上的奇函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.（1）求证：f(x)为奇函数；（2）求证：f(x)是R上的减函数；（3）求f(x)在[－2，4]上的最值.20. （10分） (2018高二下·中山月考) 已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，且，又椭圆过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线 , 的斜率分别为 , ，若 , , 三点共线，求的值．21. （15分） (2018高一上·海安月考) 设为实数，设函数，设．（1）求的取值范围，并把表示为的函数；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若存在使得成立，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共11题；共11分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共61分) 16-1、17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、21-3、第11 页共11 页。

高三9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.（5分）2．已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝A ．x R ∃∈，210x x -+≤B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．x R ∃∈，210x x -+>D ．x R ∀∈，210x x -+≥3.（5分）3．已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.（5分）4．已知命题p ：“[1,]x e ∀∈，ln a x >”，命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=””若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(1,4]B ．(0,1]C ．[1,1]-D ．(4,)+∞5.（5分）5．已知a =，0.216b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，375log 2c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>6.（5分）6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232xf x x xf e '=++，则()2f '的值等于 A ．2-B ．222e -C ．22e -D ．222e --7.（5分）7．已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y2f x 的定义域为（ ） A ．[32，＋∞)B ．[32，2)C ．(32，＋∞)D ．[12，2)8.（5分）8．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．509.（5分）9．已知函数()f x 在定义域(0,)+∞上是单调函数，若对任意(0,)x ∈+∞，都有1[()]2f f x x -=，则1()7f 的值是.A ．5B ．6C ．7D ．810.（5分）10．函数()()2ln 11x f x x +=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．11.（5分）11．定义在R 上的函数1()()23x mf x -=-为偶函数，21(log )2a f =，131(())2b f =，()c f m =，则A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c <<12.（5分）12．已知函数x y a =（1a >）与log a y x =（1a >）的图象有且仅有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1e 1e a << B ．1e a <<C ．1e e e a <<D ．e a >二、填空题二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<的否定为______.14.（5分）14．设函数112,1,(),1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为____．15.（5分）15．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时11()()2x f x -=，则（1）2是函数()f x 的周期；（2）函数()f x 在()1,2上是减函数，在()2,3上是增函数； （3）函数()f x 的最大值是1，最小值是0； （4）当(3,4)x ∈时，31()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.其中所有错误命题的序号是________.16.（5分）16．已知关于x 的不等式3ln 1x ex a x x--≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为_________．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．已知()2:253,:220p x q x a x a -≤-++≤（1）若q 是真命题，求对应x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.18.（12分）18.已知函数()()log (23),log (23)(0a a f x x g x x a =+=->且1)a ≠,（1）求函数()()f x g x +的定义域；（2）判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由．19.（12分）19．已知函数()212()log 65f x x x =---.（1）讨论()f x 的单调性；（2）求()f x 的最值，并求取得最值时x 的值.20.（12分）20．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）当2a =时，求曲线y =()f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程； （Ⅰ）求函数()f x 的极值.21.（12分）21．已知函数()()212log 1f x x =+，()26g x x ax =-+.（1）若关于x 的不等式()0g x <的解集为{}|23x x <<，当1x >时，求()1g x x -的最小值； （2）若对任意的1[1,)x ∈+∞、2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．22.（12分）22．已知函数()cos x f x e a x -=-，其中a R ∈，e 为自然对数的底数.（1）若()0f x ≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =，()0,x π∈时， Ⅰ证明：函数()f x 恰有一个零点；Ⅰ设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，证明：1012x x π--<.参考数据：ln 20.6931≈答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1．A【分析】利用并集的定义求解即可． 【详解】Ⅰ集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，Ⅰ{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题．2.（5分）3.（5分）3．B【分析】利用集合的包含关系判断即可得出结论. 【详解】{}1x x > {}2x x ≥，因此，则p 是q 的必要不充分条件，故选：B. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系判断充分不必要条件，属于基础题.4.（5分）4．A5.（5分）5．C【分析】利用指数函数单调性得到11651155⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，幂函数的单调性得到11551156⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而得到a ，b 的关系，再利用“1”与c 比较. 【详解】因为51110.26511115566a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>>== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10611155a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故1a b >>， 而3377235log log 17c =>=，所以c a b >>． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查指数式比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.6.（5分）7.（5分）7．B【分析】根据()f x 的定义域，结合被开方数是非负数，以及真数大于零，即可列出不等式求得结果. 【详解】要使函数y2f x 3261log (2)02x x ≤≤⎧⎪⎨->⎪⎩332021x x ⎧≤≤⎪⎨⎪<-<⎩Ⅰ32≤x <2. 故选：B. 【点睛】本题考查具体函数和抽象函数定义域的求解，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.8.（5分）9.（5分）9．D【详解】 试题分析：设，所以，那么，当时，，解得，所以，那么，故选D.考点：抽象函数10.（5分）10．B【分析】 函数()()22ln 11x f x x +=+是由函数()22ln x g x x =向左平移1个单位得到的，而()22ln xg x x =是偶函数，所以得()()22ln 11x f x x +=+的图像关于直线1x =-对称，再取值可判断出结果.【详解】解：因为()()22ln 11x f x x +=+是由()22ln xg x x =向左平移一个单位得到的， 因为()22ln ()(0)()xg x g x x x --==≠-， 所以函数()22ln xg x x=为偶函数，图像关于y 轴对称， 所以()f x 的图像关于1x =-对称，故可排除A ，D 选项； 又当2x <-或0x >时，2ln 10x +>，()210x +>， 所以()0f x >，故可排除C 选项 .故选：B . 【点睛】此题考查函数图像的识别，利用了平移、奇偶性，函数值的变化情况，属于基础题.11.（5分） 12.（5分）12．A【分析】将问题转化为()1xy a a =>的图象与y x =有两个公共点，即ln ln xa x=有两解，再构造新函数()ln xf x x=，根据()f x 的单调性和取值分析ln a 的取值即可得到结果. 【详解】因为函数()()1,log 1xa y a a y x a =>=>的图象关于直线y x =对称，所以两个图象的公共点在y x =上，所以()1xy a a =>的图象与y x =有两个公共点，即x x a =有两解，即ln ln x x a =有两解，即ln ln xa x=有两解， 令()ln x f x x =，所以()21ln xf x x -'=， 当()0,x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x 大致图象如下图所示：所以()10ln a f e e<<=，所以11e a e <<，故选：A. 【点睛】结论点睛：函数图象的交点个数、方程根的数目、函数的零点个数之间的关系： 已知()()()h x f x g x =-，则有()h x 的零点个数⇔方程()()f x g x =根的数目⇔函数()f x 与函数()g x 的图象的交点个数.二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．00,(0,1)∃∈x y ，002x y +【分析】直接利用全称命题的否定得解. 【详解】因为命题:p x ∀，(0,1)y ∈，2x y +<是全称命题， 所以它的否定为00,(0,1)∃∈x y ，002x y +. 故答案为：00,(0,1)∃∈x y ，002x y +. 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.14.（5分）14．(,9]-∞ 15.（5分）15．（3）【分析】（1）先化简得到(2)()f x f x +=说明2T =，判断（1）正确；（2）先判断函数()f x 在()1,0-上是减函数，再判断函数()f x 在()1,2上是减函数，在()2,3上是增函数，从而判断（2）正确；（3）先根据单调性直接求最小值min 1()2f x =，再判断（3）错误；（4）先求函数在()1,0-上的解析式1+1()()2x f x =，最后求出(3,4)上的解析式31()(4)()2x f x f x -=-=，再判断（4）正确.【详解】解：（1）因为对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=，所以2T =，所以（1）正确；（2）因为当[0,1]x ∈时11()()2x f x -=，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以函数()f x 在()1,0-上是减函数，又因为2T =，所以函数()f x 在()1,2上是减函数，在()2,3上是增函数，所以（2）正确；（3）由（2）可知函数()f x 在()1,0-上是减函数，在()0,1上是增函数，所以10min 11()(0)()22f x f -===，所以（3）错误；（4）因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[0,1]x ∈时11()()2x f x -=，所以当()1,0x ∈-时，1+1()()2x f x =，因为(3,4)x ∈，所以140x -<-<，所以31()(4)()2x f x f x -=-=，所以（4）正确. 故答案为：（3） 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、周期性与最值，是中档题.16.（5分）16．(],3-∞-【分析】先将不等式3ln 1xe x a x x --≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立,转化为3ln 1ln x x e x a x ---任意(1,)x ∈+∞恒成立，设()3ln 1ln x xe xf x x---=，求出()f x 在()1,+∞内的最小值,即可求出a 的取值范围. 【详解】解：由题可知，不等式3ln 1xe x a x x--≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立，即33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x -----------===， 又因为(1,)x ∈+∞，ln 0x >，3ln 1ln x x e x ax ---∴对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 设()3ln 1ln x x e x f x x ---=，其中()1,x ∈+∞，由不等式1x e x ≥+，可得：3ln 3ln 1x x e x x -≥-+，则()3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x f x x x ----+--=≥=-，当3ln 0x x -=时等号成立， 又因为3ln 0x x -=在()1,+∞内有解，()min 3f x ∴=-，则()min 3a f x ≤=-，即：3a ≤-， 所以实数a 的取值范围：(],3-∞-. 故答案为：(],3-∞-. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（1）答案见解析；（2）[1,4].【分析】（1）由q 是真命题，利用含参二次不等式分类讨论进行求解； （2）由p 是q 的必要不充分条件，得利用集合的思想分类讨论. 【详解】（1）化简得到:(2)()0--≤q x x a ，讨论2,2,2a a a >=<三种情况 当2a >时，2x a ≤≤； 当2a =时，2x =； 当2a <时，2a x ≤≤.（2）:|25|3-≤p x 即|25|3-≤x ，解得14x ≤≤，p 是q 的必要不充分条件，当2a >时，:2q x a ≤≤，故满足4a ≤，即24a <≤； 当2a =时，:2q x =，满足条件；当2a <时，:2q a x ≤≤，故满足1a ≥，即21a >≥. 综上所述：[1,4]∈a .18.（12分）18．（1）22(,)33-； （2）见解析.【分析】（1）根据对数函数的真数大于0即可（2）首先判断定义域，再计算()h x -与()h x 的关系. 【详解】（1）由()()log (23),log (23)a a f x x g x x =+=-，所以令()()()()log (23)log 23a a h x f x g x x x =+=++-因此函数()h x 需满足：2302223033x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩，所以函数定义域为: 22(,)33- （2）由（1）得函数定义域为22(,)33-，因为()()()()log (23)log 23()a a h x f x g x x x h x -=-+-=-++=,所以函数为偶函数.19.（12分）19．（1）(]5,3--上单调递减，[)3,1--上单调递增；（2）当3x =-时，最小值为2-，无最大值.【分析】（1）首先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断函数的单调性；（2） 首先确定定义域内内层函数的最值，再求函数()f x 的最值.【详解】（1）由题意可得：2065x x --->，即2650x x ++<，解得：51x -<<-；即函数()f x 的定义域为(5,1)--；令265t x x -=--，则其为开口向下的二次函数，且对称轴为3x =-，当(5,3]x ∈--时，函数265t x x -=--单调递增，[3,1)x ∈--时，函数265t x x -=--单调递减； 又12log y t=为减函数； 所以，()212()log 65f x x x =---在(5,3]x ∈--上单调递减，在[3,1)x ∈--上单调递增； （2）由（1）得：()226534t x x x =---=-++，()5,1x ∈-- 当3x =-时，max 4t =，(]0,4∈t ，[)12log 2,y t ∴=∈-+∞，()212()log 65f x x x ∴=---无最大值，当3x =-时，()212()log 65f x x x =---有最小值12(3)log (9185)2f -=-+-=-，综上所述，当3x =-时，最小值为2-，无最大值.【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性和最值，重点考查基本方法和公式，属于基础题型，本题的易错点是求复合函数的单调性时，忽略函数的定义域.20.（12分）20．(1) x ＋y －2＝0；(2) 当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a 无极大【详解】解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x. (1)当a ＝2时，f(x)＝x －2ln x ，f′(x)＝1－2x(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f′(x)＝1－a x ＝x a x-，x>0知： Ⅰ当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；Ⅰ当a>0时，由f′(x)＝0，解得x ＝a ，又当xⅠ(0，a)时，f′(x)<0；当xⅠ(a ，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f(a)＝a －aln a ，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x ＝a 处取得极小值a －aln a ，无极大值．21.（12分）22.（12分）22．（1）4a π-≤；（2）Ⅰ证明见解析；Ⅰ证明见解析.【分析】（1）先由题意，得到cos x e a x -≤在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，令()cos x e g x x -=，对其求导，用导数的方法求出最值，即可得出结果；（2）由1a =得()cos x f x e x -=-，求导得到()sin x f x e x -'=-+，Ⅰ分2x π≤<π，02x π<<两种情况，根据导数的方法分别研究零点，即可得出结果；Ⅰ由0x 为()f x 的极值点，得00sin x e x -=；推出00ln 0x x +>，令()ln m x x x =+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据导数的方法判断其单调性，得出()m x 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，设为2x ，得到0212x x >>，进而可得出结论成立. 【详解】 （1）若()0f x ≥在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，即cos x e a x -≤在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，令()cos xe g x x -=，则()22sin sin 4cos c c s os o x x x x e e x g x x x xπ---⎛⎫- ⎪⎝⎭+-'==. 当04x π<≤时，()0g x '≤；当42x ππ<<时，()0g x '>.即()g x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故()44g x g ππ-⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，即()4min g x π-=，所以4a π-≤. （2）当1a =时，()cos x f x e x -=-，()sin x f x e x -'=-+， Ⅰ（i ）当2x π≤<π时，()cos 0x f x e x -=->，即()f x 在,2上没有零点.（ii ）当02x π<<时，令()()h x f x ='，则()cos 0x h x e x -'=+>，所以()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()010f '=-<，2102f e ππ-⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， 所以()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一实根0x ，故()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.又因为()00f =，()()000f x f <=，202f e ππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点1x . 综上，函数()f x 在()0,π上恰有一个零点；Ⅰ因为0x 为()f x 的极值点，所以()0'0f x =，即00sin x e x -=.因为sin y x x =-的导函数为cos 10y x '=-<在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以sin y x x =-在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，因此sin 0y x x =-<恒成立， 即sin x x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立，所以00sin x x <，00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以有00x e x -<，即有00ln 0x x +>成立.令()ln m x x x =+，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()110m x x '=+>，所以()m x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，11ln 2022m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110m =>，()m x 在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，设为2x .而()000ln 0m x x x =+>，所以()()020m x m x >=，故0212x x >>. 由Ⅰ012x x π<<，所以01122x x π<<<， 故1012x x π--<. 【点睛】 本题考查导数的应用、零点、不等式、极值等综合应用能力，考查转化与化归、推理论证与运算求解能力，难度较大.。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，则$f(1)$的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 22. 在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_1 + a_4 = 10$，$a_2 + a_3 = 12$，则该数列的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知圆$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的圆心为$(2,3)$，则该圆的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知向量$\vec{a} = (1,2)$，$\vec{b} = (2,1)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1 = 2$，公比$q = 3$，则$a_5$的值为（）A. 18B. 24C. 27D. 306. 已知函数$y = \frac{x}{x-1}$，其反函数为（）A. $y = \frac{x-1}{x}$B. $y = \frac{x}{x+1}$C. $y = \frac{x-1}{x-1}$D. $y = \frac{x}{x-1} + 1$7. 若复数$z = a + bi$（$a$，$b$为实数）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则$z$在复平面上的轨迹为（）A. 线段$[1, -1]$B. 直线$y = 0$C. 圆$x^2 + y^2 = 1$D. 圆$x^2 + y^2 = 4$8. 已知函数$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$，则$f(-1)$的值为（）A. 0B. 1C. $\sqrt{2}$D. $\sqrt{3}$9. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_3 = 18$，$S_6 = 54$，则该数列的公差为（）A. 3B. 6C. 9D. 1210. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f'(0)$的值为（）A. 0B. $\frac{1}{2}$C. $-\frac{1}{2}$D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则$f(2)$的值为______。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -2B. 0C. 1D. -3答案：B解析：绝对值表示一个数到0的距离，显然0的绝对值最小。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(2)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：A解析：将x=2代入函数f(x)，得f(2) = 2^2 - 42 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1，故选A。

3. 下列不等式中，正确的是（）A. 3x + 2 > 2x + 5B. 3x + 2 < 2x + 5C. 3x + 2 = 2x + 5D. 无法确定答案：A解析：移项得x > 3，所以A选项正确。

4. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则第10项an的值为（）A. 27B. 29C. 31D. 33答案：C解析：an = a1 + (n - 1)d，代入得an = 2 + (10 - 1)3 = 2 + 27 = 29，故选C。

5. 函数y = log2(x + 1)的图像与直线y = x相交于点（）A. (1, 1)B. (0, 1)C. (-1, 0)D. (-2, 0)答案：A解析：令log2(x + 1) = x，得x + 1 = 2^x，代入选项验证，只有A选项满足条件。

6. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：A解析：设z = a + bi，代入得|a + bi - 1| = |a + bi + 1|，化简得|a - 1 +bi| = |a + 1 + bi|，即(a - 1)^2 + b^2 = (a + 1)^2 + b^2，解得a = 0，故选A。

7. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x - 4C. 3x^2 - 6x + 3D. 3x^2 - 6x - 3答案：A解析：对f(x)求导得f'(x) = 3x^2 - 6x + 4，故选A。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 4，f(3) = 6，则a +b + c的值为：A. 3B. 4C. 5D. 62. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部为：A. 0B. 1C. -1D. 23. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，公差d = 2，则第10项an的值为：A. 19B. 21C. 23D. 254. 若平面α过点P(1, 2, 3)且垂直于直线l：x - y + z = 0，则平面α的一个法向量是：A. (1, 2, 3)B. (1, 1, 1)C. (1, -1, 1)D. (1, 1, -1)5. 已知函数y = log2(x + 1)，其图像的对称轴为：A. x = -1B. x = 0C. x = 1D. x = 26. 在三角形ABC中，AB = AC，角B的度数为60°，则角C的度数为：A. 60°B. 120°C. 180°D. 300°7. 下列不等式中正确的是：A. |x| > xB. |x| ≥ xC. |x| < xD. |x| ≤ x8. 若向量a = (1, 2, 3)，向量b = (3, 4, 5)，则向量a与向量b的点积为：A. 10B. 11C. 12D. 139. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 1在区间[0, 1]上单调递增，则f'(x) > 0的解集为：A. (0, 1)B. (-∞, 0) ∪ (1, +∞)C. (-∞, +∞)D. (0, +∞)10. 已知等比数列{an}的首项a1 = 2，公比q = 3，则第5项an的值为：A. 162B. 243C. 729D. 1296二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2019-2020学年山东省泰安市肥城市高三（上）第一次统考数学试卷（9月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ={x|x 2−4x <0}，N ={x|2x−1<4}，则M ∩N =( ) A.(1, 3) B.(0, 3) C.(0, 4) D.⌀ 【答案】 B【考点】指、对数不等式的解法 一元二次不等式的解法 交集及其运算 【解析】可以求出集合M ，N ，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：∵ M ={x|0<x <4}，N ={x|x <3}， ∴ M ∩N =(0, 3)， 故选B .2. 设z 1＝x +yi(x, y ∈R)，z 2＝3−4i （i 为虚数单位），且|z 1+z 2|＝5，则（ ） A.(x +3)2+(y −4)2＝5 B.(x +3)2+(y −4)2＝25 C.(x −3)2+(y +4)2＝5 D.(x −3)2+(y +4)2＝25 【答案】 B【考点】 复数的模 【解析】由复数代数形式的加减运算求得z 1+z 2，再由复数模的计算公式求解． 【解答】由z 1＝x +yi(x, y ∈R)，z 2＝3−4i ，得z 1+z 2＝(x +yi)+(3−4i)＝(x +3)+(y −4)i ， 又|z 1+z 2|＝5，∴ √(x +3)2+(y −4)2=5， 即(x +3)2+(y −4)2＝25．3. 已知函数f(x)={sin(πx +π6),x ≤02x+1,x0.，则f(−2)+f(1)＝（ ）A.6+√32B.6−√32C.72D.52【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．【解答】∵f(−2)=sin(−2π+π6)=sinπ6=12，f(1)＝21+1＝3，∴f(−2)+f(1)=12+3=72，故选：C．4. 某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（）A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【考点】众数、中位数、平均数频率分布折线图、密度曲线【解析】月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少；月跑步平均里程高峰期大致在9、10月；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳．【解答】由2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制的折线图，知：在A中，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数，故A错误；在B中，月跑步平均里程2月、7月、8月和11月减少，故B错误；在C中，月跑步平均里程高峰期大致在9、10月，故C错误；在D中，1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确．5. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF→=()A.12AB →+12AD →B.−12AB →−12AD →C.−12AB →+12AD →D.12AB →−12AD →【答案】 D【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【解析】由题意点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，求出 EC →，CF →，然后求出向量 EF →即得． 【解答】解：因为点E 是CD 的中点，所以 EC →=12AB →，点F 是BC 的中点，所以 CF →=12CB →=−12AD →，所以 EF →=EC →+CF →=12AB →−12AD →.故选D .6. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，且tanα=23．若角α的终边上有一点P ，其纵坐标为−4，有下列三个结论：①点P 的横坐标是6；②cosα=3√1313；③sin2α>0．则上述结论中，正确的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3【答案】 B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】由三角函数定义，根据逻辑连词真假判断的基本概念，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案． 【解答】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边上有一点P ，其纵坐标为−4，即设为p(x, −4)，且tanα=23>0．所以角α是第三象限的角， 下列三个结论：①角α的终边上有一点P ，其纵坐标为−4，即p(x, −4)，tanα=23=yx =−4x ．解得x ＝−6，所以点P 的横坐标是6，①错误；②p(x, −4)，且tanα=23>0．所以角α是第三象限的角，由1+tan 2α=1cos α，cosα=−3√1313；②错误；象限的角，sinα>0．所以sin2α＝2sinα⋅cosα>0，所以③正确；则上述结论中，正确的个数为1个，7. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18∘．若m2+n=4，则m√n2cos227∘−1=（）A.8B.4C.2D.1【答案】C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】本题考查三角恒等变换．【解答】解：由题意得n=4−m2=4−4sin218∘=4cos218∘，则m√n2cos227∘−1=2sin18∘√4cos218∘cos54∘=2sin18∘×2cos18∘cos54∘=2sin36∘sin36∘=2．故选C．8. 已知函数f(x)=(x2+a2x+1)e x，则“a=√2”是“函数f(x)在x=−1处取得极小值”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】利用导数研究函数的极值必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出原函数的导函数，分析函数f(x)在x＝−1处取得极小值时的a的范围，再由充分必要条件的判定得答案．【解答】解：f′(x)=[x2+(a2+2)x+a2+1]e x，令f′(x)=0，解得x=−1或−a2−1.当a=0时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增；当a≠0时，−a2−1<−1，故当x<−a2−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当−a2−1<x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增．故f(x)在x=−1处取得极小值．综上，函数f(x)在x=−1处取得极小值⇔a≠0.∴ “a=√2”是“函数f(x)在x=−1处取得极小值”的充分不必要条件．9. 若一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是√2，√3，√6，则这个长方体外接球的体积为（ ） A.2√23πB.√32π C.√6π D.4√3π 【答案】 C【考点】球的体积和表面积 【解析】由题意设三个边的长分别是a ，b ，c ，则有ab =√2，bc =√3，ca =√6，由此求出a ，b ，c 的值，由公式求出对角线的长，再利用对角线长即为它的外接球的直径求出半径后得到体积即可． 【解答】可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a ，b ，c ， 可得ab =√2，bc =√3，ca =√6， 解得{a =√2b =1c =√3，故长方体的对角线长是√1+2+3=√6．∵ 对角线长即为它的外接球的直径求出半径， ∴ 它的外接球的半径为：√62，它的外接球的体积为V =43π×R 3=43×π×(√62)3=√6π．10. 已知双曲线C 1:x 28−y 24=1，双曲线C 2的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线C 1相同，则双曲线C 2的离心率为（ ）A.√2B.√5−1C.2√3−1D.√3【答案】 D【考点】双曲线的离心率 【解析】求出双曲线的方程，转化求解双曲线的离心率即可． 【解答】 双曲线C 1:x 28−y 24=1，双曲线C 2的焦点在y 轴上，它的渐近线与双曲线C 1相同，设双曲线C 2的方程为 y 22−x 24=λ(λ>0)，则双曲线C 2的离心率为 √4λ+2λ2λ=√3．11. 十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是（ ） A.3B.3C.1D.9A【考点】相互独立事件的概率乘法公式 相互独立事件 【解析】基本事件总数n =A 123=1320，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数m ＝1×2×9+1×3×9＝45，由此能求出这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率． 【解答】现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物， 甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，基本事件总数n =A 123=1320，这三位同学抽取的礼物都喜欢包含的基本事件个数m ＝1×2×9+1×3×9＝45， ∴ 这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是p =m n=451320=388．12. 若关于x 的不等式xlnx −kx +2k +1>0在(2, +∞)内恒成立，则满足条件的k 的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】 A【考点】函数恒成立问题 【解析】关于x 的不等式xlnx −kx +2k +1>0在(2, +∞)内恒成立，即函数y ＝xlnx(x >2)的图象恒在直线y ＝k(x −2)−1的上方，求出当直线y ＝k(x −2)−1与函数y ＝xlnx(x >2)相切时，对应的k 值解最大值． 【解答】解：关于x 的不等式xlnx −kx +2k +1>0在(2, +∞)内恒成立， 即关于x 的不等式xlnx >k(x −2)−1在(2, +∞)内恒成立，即函数y =xlnx(x >2)的图象恒在直线y =k(x −2)−1的上方． 当直线y =k(x −2)−1与函数y =xlnx(x >2)相切时， 设切点为(x 0, y 0)，则{y 0=x 0lnx 0(x 0>2),y 0=k(x 0−2)−1,lnx 0+1=k,由①②得，x 0lnx 0=k(x 0−2)−1，把③代入得x 0(k −1)=k(x 0−2)−1， 化简得x 0=2k +1④．由x 0>2得，k >12． 由③④得，ln(2k +1)−k +1=0, 记f(k)=ln(2k +1)−k +1,k >12， f ′(k)=22k+1−1=1−2k2k+1<0， 所以f(k)在(12,+∞)上单调递减，所以存在唯一零点k 0，因为f(2)=ln5−1=ln5−lne >0,f(3)=ln7−2=ln7−lne 2<0，故整数k的最大值为2.故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．函数f(x)＝2cos2x−2sinxcosx+1的最小正周期是________，最大值是________．【答案】π,2+√2【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变相成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和最值．【解答】函数f(x)＝2cos2x−2sinxcosx+1＝cos2x+1−sin2x+1=√2cos(2x+π4)+2，所以函数的最小正周期为T=2π2=π．当2x+π4=2kπ(k∈Z)，整理得x=kπ−π8(k∈Z)时，函数的最大值为2+√2．(2x2−1x)5的展开式中x4的系数为________．（用数字作答）【答案】80【考点】二项式定理及相关概念【解析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中x4的系数．【解答】∵(2x2−1x)5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x10−3r，令10−3r＝4，求得r＝2，故展开式中x4的系数为C52⋅23＝80，“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1＝0.9；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5．现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，且这n个人研究项目M的结果相互独立．设这个n人团队解决项目M的概率为P2，若P2≥P1，则n的最小值是________．【答案】4【考点】相互独立事件的概率乘法公式相互独立事件【解析】1−(12)n ，所以1−(12)n ≥0.9，解不等式即可．【解答】依题意，这n 个人组成的团队不能解决项目M 的概率为P =(1−12)n =(12)n ， 所以P 2＝1−P ＝1−(12)n ， 所以1−(12)n ≥0.9，即110≥(12)n ，解得n ≥4，已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ．若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且|AF||BF|−|AF|=1，则抛物线C 的标准方程为________． 【答案】 y 2＝2x 【考点】 抛物线的性质 【解析】根据题意画出图形，结合图形，利用抛物线的定义和性质，根据直角三角形的边角关系求出p 的值，即可写出抛物线的标准方程． 【解答】如图所示，设∠AFO =α(0<α<π2)，过点B 作BB ′⊥l 与点B ′，由抛物线的定义知，|BF|＝|BB ′|，|FC|＝p ，∠ABB ′＝∠AFO ＝α；在Rt △ABB ′中，cosα=|BB ′||AB|=|BF||AB|，|BF|＝|AB|cosα，从而|AF|＝|BF|+|AB|＝|AB|(1+cosα)； 又|AF||BF|−|AF|=1，所以|AB|(1+cosα)|AB|cosα−|AF|=1，即1+cosαcosα−|AF|=1，所以|AF|=1cosα；在Rt △AFC 中，cosα=|CF||AF|=p|AF|，p ＝|AF|cosα， 1所以抛物线C的标准方程为y2＝2x．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB+1＝bsinA+2cosC．（1）求角C的大小；（2）若a＝2，a2+b2＝2c2，求△ABC的面积．【答案】∵asinA =bsinB，∴asinB＝bsinA，∴2cosC＝1，即cosC=12．又0<C<π，∴C=π3．由余弦定理得：c2＝a2+b2−ab，∴4+b2＝2(4+b2−2b)，解得b＝2．∴S△ABC=12absinC=12×2×2×sinπ3=√3．【考点】正弦定理【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得cosC=12，结合范围0<C<π，可求C的值．（2）由已知利用余弦定理得b的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【解答】∵asinA =bsinB，∴asinB＝bsinA，∴2cosC＝1，即cosC=12．又0<C<π，∴C=π3．由余弦定理得：c2＝a2+b2−ab，∴4+b2＝2(4+b2−2b)，解得b＝2．∴S△ABC=12absinC=12×2×2×sinπ3=√3．已知等比数列{a n}的公比q>0，其前n项和为S n，且S5＝62，a4，a5的等差中项为3a3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1(log2a n)(log2a n+2)，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．因为a4+a5＝6a3，所以a1q3+a1q4=6a1q2，即q2+q−6＝0．解得q＝2或q＝−3（舍去）．所以S5=a1(1−25)1−2=31a1=62，a1＝2，所以a n=2⋅2n−1=2n．因为b n=1(log2a n)(log2a n+2)=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，所以T n＝b1+b2+...+b n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−2−1n)+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=12(32−2n+3n2+3n+2)=34−2n+32n2+6n+4．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）通过a4，a5的等差中项为3a3．求出数列的公比，然后求解数列{a n}的通项公式；（2）化简b n=1(log2a n)(log2a n+2)，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】因为a4+a5＝6a3，所以a1q3+a1q4=6a1q2，即q2+q−6＝0．解得q＝2或q＝−3（舍去）．所以S5=a1(1−25)1−2=31a1=62，a1＝2，所以a n=2⋅2n−1=2n．因为b n=1(log2a n)(log2a n+2)=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，所以T n＝b1+b2+...+b n=1[(1−1)+(1−1)+(1−1)+⋯+(1−1)+(1−1)+(1−1)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=12(32−2n+3n2+3n+2)=34−2n+32n2+6n+4．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABCD是边长为3的菱形．（1）求证：CD // EF（2）若EF⊥DE，∠BAD＝60∘，∠DAE＝30∘，AE＝2√3，CF＝2，求二面角F−BC−A的余弦值．∵ ABCD 是菱形，∴ CD // AB ，又∵ CD 平面ABEF ，AB ⊂平面ABFE ， ∴ CD // 平面ABFE ，又∵ CD ⊂平面CDEF ，平面CDEF ∩平面ABFE ＝EF ， ∴ CD // EF ．在△ADE 中，根据余弦定理，DE 2＝DA 2+AE 2−2AD ⋅AE ⋅cos∠DAE ， ∵ AD ＝3，AE ＝2√3，∠DAE ＝90∘，∴ DE ⊥AD ， ∵ EF ⊥DE ，AB // CD ，∴ DC ⊥DE ， ∵ AD ∩DC ＝D ，∴ DE ⊥平面ABCD ， 设AB 中点为G ，连结DG ，DB ， ∵ ABCD 是菱形，∠BAD ＝60∘，∴ △ABD 是等边三角形，∴ DG ⊥AB ，∴ DG ⊥CD ， 作FH ⊥CD 于点H ，则HF ＝DE =√3，在Rt △FHC 中，CH =√CF 2−HF 2=1，∴ DH ＝CD −CH ＝2，如图，以D 为坐标原点，DG 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(3√32, 32,0)，C(0, 3, 0)，F(0, 2, √3)， BC →=(−3√32, 32, 0)，CF →=(0, −1, √3)，设平面BCF 的一个法向量m →=(x, y, z)，则{CB →⋅m →=−3√32x +32y =0CF →⋅m →=−y +√3z =0 ，取x ＝1，得m →=(1, √3,1)， ∵ DE →=(0, 0, √3)，∴ 可取平面ABCr 一个法向量为n →=(0, 0, 1)， ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√55， 由图知二面角F −BC −A 的平面角是锐角， ∴ 二面角F −BC −A 的余弦值是√55．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出CD // AB ，从而CD // 平面ABFE ，由此能证明CD // EF ．（2）根据余弦定理和勾股定理得DE ⊥AD ，由EF ⊥DE ，AB // CD ，得DC ⊥DE ，从而DE ⊥平面ABCD ，设AB 中点为G ，连结DG ，DB ，则DG ⊥AB ，DG ⊥CD ，作FH ⊥CD 于点H ，则HF ＝DE =√3，以D 为坐标原点，DG 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F −BC −A 的余弦值．【解答】∵ ABCD 是菱形，∴ CD // AB ，又∵ CD 平面ABEF ，AB ⊂平面ABFE ， ∴ CD // 平面ABFE ，又∵ CD ⊂平面CDEF ，平面CDEF ∩平面ABFE ＝EF ， ∴ CD // EF ．在△ADE 中，根据余弦定理，DE 2＝DA 2+AE 2−2AD ⋅AE ⋅cos∠DAE ， ∵ AD ＝3，AE ＝2√3，∠DAE ＝90∘，∴ DE ⊥AD ， ∵ EF ⊥DE ，AB // CD ，∴ DC ⊥DE ， ∵ AD ∩DC ＝D ，∴ DE ⊥平面ABCD ， 设AB 中点为G ，连结DG ，DB ， ∵ ABCD 是菱形，∠BAD ＝60∘，∴ △ABD 是等边三角形，∴ DG ⊥AB ，∴ DG ⊥CD ， 作FH ⊥CD 于点H ，则HF ＝DE =√3，在Rt △FHC 中，CH =√CF 2−HF 2=1，∴ DH ＝CD −CH ＝2，如图，以D 为坐标原点，DG 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(3√32, 32,0)，C(0, 3, 0)，F(0, 2, √3)， BC →=(−3√32, 32, 0)，CF →=(0, −1, √3)，设平面BCF 的一个法向量m →=(x, y, z)，则{CB →⋅m →=−3√32x +32y =0CF →⋅m →=−y +√3z =0 ，取x ＝1，得m →=(1, √3,1)， ∵ DE →=(0, 0, √3)，∴ 可取平面ABCr 一个法向量为n →=(0, 0, 1)， ∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=√55， 由图知二面角F −BC −A 的平面角是锐角， ∴ 二面角F −BC −A 的余弦值是√55．已知定点A(−3, 0)、B(3, 0)，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为−19，记动点M 的轨迹为曲线C ． (Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)过点T(1, 0)的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点S(s, 0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由． 【答案】（1）设动点M(x, y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)， ∵ k MA k MB =−19，即yx+3⋅yx−3=−19． 化简得：x 29+y 2=1，由已知x ≠±3，故曲线C 的方程为x 29+y 2=1(x ≠±3)．（2）由已知直线l 过点T(1, 0)，设l 的方程为x ＝my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9 ， 消去x 得 (m 2+9)y 2+2my −8＝0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则{y 1+y 2=−2mm 2+9y 1y 2=−8m 2+9， 直线SP 与SQ 斜率分别为k SP =y 1x 1−s =y 1my 1+1−s ，k SQ =y 2x 2−s =y2my 2+1−s ，k SP k SQ =y 1y 2(my 1+1−s)(my 2+1−s)=y 1y 2m 2y 1y 2+m(1−s)(y 1+y 2)+(1−s)2=−8(s 2−9)m 2+9(1−s)2．当s ＝3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−29；当s ＝−3时，k SP k SQ =−89(1−s)2=−118． 所以存在定点S(±3, 0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．【考点】 轨迹方程直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】(Ⅰ)设动点M(x, y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)，利用k MA k MB =−19，求出曲线C 的方程．(Ⅱ)由已知直线l 过点T(1, 0)，设l 的方程为x ＝my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9 ，消去x 得 (m 2+9)y 2+2my −8＝0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)利用韦达定理求解直线的斜率，然后求解指向性方程，推出结果． 【解答】（1）设动点M(x, y)，则k MA =yx+3,k MB =yx−3(x ≠±3)， ∵ k MA k MB =−19，即yx+3⋅yx−3=−19． 化简得：x 29+y 2=1，由已知x ≠±3，故曲线C 的方程为x 29+y 2=1(x ≠±3)．（2）由已知直线l 过点T(1, 0)，设l 的方程为x ＝my +1，则联立方程组{x =my +1x 2+9y 2=9 ， 消去x 得 (m 2+9)y 2+2my −8＝0，设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，则{y 1+y 2=−2mm 2+9y 1y 2=−8m 2+9， 直线SP 与SQ 斜率分别为k SP =y 1x 1−s =y 1my 1+1−s ，k SQ =y 2x 2−s =y2my 2+1−s ，k SP k SQ=y1y2(my1+1−s)(my2+1−s)=y1y2m y1y2+m(1−s)(y1+y2)+(1−s)=−8(s−9)m+9(1−s)．当s＝3时，k SP k SQ=−89(1−s)2=−29；当s＝−3时，k SP k SQ=−89(1−s)2=−118．所以存在定点S(±3, 0)，使得直线SP与SQ斜率之积为定值．已知函数f(x)=ae x−xe x−1，其中a>0．(Ⅰ)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)有唯一零点，求a的值．【答案】（I）当a＝2时，f(x)=2e x−xe x −1，∴f′(x)=2e x−1−xe x．∴f′(0)＝2−1＝1，又f(0)＝2−1＝1，∴曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y−1＝x，即x−y+1＝0；（2）解法一：问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令g(x)=1e x (xe x+1)，则g′(x)=1−2x−e xe2x．令ℎ(x)＝1−2x−e x，则ℎ′(x)＝−2−e x<0，∴ℎ(x)在(−∞, +∞)上单调递减．又ℎ(0)＝0，∴当x∈(−∞, 0)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(−∞, 0)上单调递增；当x∈(0, +∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递减．∴g(x)的极大值为g(0)＝1，∴当x∈(−∞, 0]时，g(x)∈(−∞, 1]；当x∈(0, +∞)时，g(x)∈(0, 1)．又a>0，∴当方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，a＝1．综上，当函数f(x)有唯一零点时，a的值为1．解法二：问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令e x＝t(t>0)，则x＝lnt．问题等价于关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解时，求a的值．令g(t)=1t (lntt+1)=lnt+tt2，则g′(t)=1−t−21ntt3．令ℎ(t)＝1−t−2lnt(t>0)，则ℎ(t)=−1−2t =−t+2t<0(t>0)．∴ℎ(t)在(0, +∞)单调递减，而ℎ(1)＝0，∴当t∈(0, 1)时，ℎ(t)>0，当t∈(1, +∞)时，ℎ(t)<0．∴当t∈(0, 1)时，g′(t)>0，当t∈(1, +∞)时，g′(t)<0．从而g(t)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减．注意到：g(1)＝1，当t>1时，g(t)>0，当t→0时，g(t)→−∞，∴g(t)的唯一极大值为g(1)＝1．结合g(t)的图象知，a＝1或a<0时，关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解，而a>0，所以a＝1．【考点】函数零点的判定定理利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（I）求得a＝2时f(x)的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；(Ⅱ)解法一、问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令g(x)=1e x (xe x+1)，求得g(x)的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得a的值；解法二、问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令e x＝t(t>0)，则x＝lnt，问题等价于关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解时，求a的值．令g(t)=1t (lntt+1)=lnt+tt2，求得g(t)的导数和单调性，极值和最值，结合图象可得a的值．【解答】（I）当a＝2时，f(x)=2e x−xe x −1，∴f′(x)=2e x−1−xe x．∴f′(0)＝2−1＝1，又f(0)＝2−1＝1，∴曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y−1＝x，即x−y+1＝0；（2）解法一：问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令g(x)=1e x (xe x+1)，则g′(x)=1−2x−e xe2x．令ℎ(x)＝1−2x−e x，则ℎ′(x)＝−2−e x<0，∴ℎ(x)在(−∞, +∞)上单调递减．又ℎ(0)＝0，∴当x∈(−∞, 0)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(−∞, 0)上单调递增；当x∈(0, +∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递减．∴g(x)的极大值为g(0)＝1，∴当x∈(−∞, 0]时，g(x)∈(−∞, 1]；当x∈(0, +∞)时，g(x)∈(0, 1)．又a>0，∴当方程a=1e (xe+1)有唯一的解时，a＝1．综上，当函数f(x)有唯一零点时，a的值为1．解法二：问题等价于关于x的方程a=1e (xe+1)有唯一的解时，求a的值．令e x＝t(t>0)，则x＝lnt．问题等价于关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解时，求a的值．令g(t)=1t (lntt+1)=lnt+tt2，则g′(t)=1−t−21ntt3．令ℎ(t)＝1−t−2lnt(t>0)，则ℎ(t)=−1−2t =−t+2t<0(t>0)．∴ℎ(t)在(0, +∞)单调递减，而ℎ(1)＝0，∴当t∈(0, 1)时，ℎ(t)>0，当t∈(1, +∞)时，ℎ(t)<0．∴当t∈(0, 1)时，g′(t)>0，当t∈(1, +∞)时，g′(t)<0．从而g(t)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减．注意到：g(1)＝1，当t>1时，g(t)>0，当t→0时，g(t)→−∞，∴g(t)的唯一极大值为g(1)＝1．结合g(t)的图象知，a＝1或a<0时，关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解，而a>0，所以a＝1．某居民区有一个银行网点（以下简称“网点”），网点开设了若干个服务窗口，每个窗口可以办理的业务都相同，每工作日开始办理业务的时间是8点30分，8点30分之前为等待时段，假设每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率都相等，且每位储户是否在该时段到网点相互独立，根据历史数据，统计了各工作日在等待时段到网点等待办理业务的储户人数，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值；（2）假设网点共有1000名储户，将频率视作概率，若不考虑新增储户的情况，解决以下问题：①试求每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率；②储户都是按照进入网点的先后顺序，在等候人数最少的服务窗口排队办理业务．记“每工作日上午8点30分时网点每个服务窗口的排队人数（包括正在办理业务的储户）都不超过3为事件A，要使事件A的概率不小于0.75则网点至少需开设多少个服务窗口？参考数据：∑⋅i=06C1000i 0.01i×0.991000−i=0.1289;∑⋅i=79C1000i0.01i×0.991000−i=0.3284；∑⋅i=1012C1000i 0.01i×0.991000−i=0.3352;∑⋅i=1315C1000i0.01i×0.991000−i=0.1596；【答案】根据频率分布直方图，各组的频率依次为：0.04，0.24，0.48，0.16，0.08，∴所求的平均值为：0.04×2+0.24×6+0.48×10+0.16×14+0.08×18＝10，∴估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值为10．①设在等待时段到网点等待办理业务的储户人数为X，每位储户到网点办理业务的概率为p，则X∼B(1000, p)，∴X的数学期望E(X)＝1000p，将频率视作概率，根据（1）的结论，得1000p＝10，解得p＝0.01，∴每位储户在等待时段到网点办理业务的概率为0.01．②由①知，X∼B(1000, 0.1)，则P(X＝k)=C1000k×0.01k×0.991000−k，设网点共开设了m个服务窗口，则事件A即“每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数不超过3m”，其概率为P(A)=∑×i=03m C1000i 0.01i×0.991000−i，∴满足∑3mi=1×C1000i×0.01i×0.991000−i=0.1289+0.3284＝0.4573<0.75，∑12i=0×C1000i×0.01i×0.991000−i=0.4573+0.3352＝0.7925>0.75，∴3m＝12，解得m＝4，∴根据要求，网点至少需开设4个服务窗口．【考点】频率分布直方图【解析】（1）根据频率分布直方图，能估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值．（2）①设在等待时段到网点等待办理业务的储户人数为X，每位储户到网点办理业务的概率为p，则X∼B(1000, p)，由此能求出每位储户在等待时段到网点办理业务的概率．②由X∼B(1000, 0.1)，设网点共开设了m个服务窗口，则事件A即“每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数不超过3m”，其概率为P(A)=∑×i=03m C1000i0.01i×0.991000−i，满足∑3m i=1×C1000i×0.01i×0.991000−i=0.4573<0.75，由此推导出根据要求，网点到少需开设4个服务窗口．【解答】根据频率分布直方图，各组的频率依次为：0.04，0.24，0.48，0.16，0.08，∴所求的平均值为：0.04×2+0.24×6+0.48×10+0.16×14+0.08×18＝10，∴估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值为10．①设在等待时段到网点等待办理业务的储户人数为X，每位储户到网点办理业务的概率为p，则X∼B(1000, p)，∴X的数学期望E(X)＝1000p，将频率视作概率，根据（1）的结论，得1000p＝10，解得p＝0.01，∴每位储户在等待时段到网点办理业务的概率为0.01．②由①知，X∼B(1000, 0.1)，则P(X＝k)=C1000k×0.01k×0.991000−k，设网点共开设了m个服务窗口，则事件A即“每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数不超过3m”，其概率为P(A)=∑×i=03m C1000i 0.01i×0.991000−i，∴满足∑3mi=1×C1000i×0.01i×0.991000−i=0.1289+0.3284＝0.4573<0.75，∑12i=0×C1000i×0.01i×0.991000−i=0.4573+0.3352＝0.7925>0.75，∴3m＝12，解得m＝4，∴根据要求，网点至少需开设4个服务窗口．。

2021年9月安徽六校教育研究会2022届高三上学期9月第一次素质测试数学（文）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分）.1．设集合A＝{x∈N|x2﹣8x+12＜0},B＝{x|log2（x﹣1）＜2},则A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3,4} D．{3,4,5}解：因为集合A＝{x∈N|x2﹣8x+12＜0}＝{x|2＜x＜6,x∈N}＝{3,4,5},又B＝{x|log2（x﹣1）＜2}＝{x|1＜x＜5},所以A∩B＝{3,4}．故选：C．2．复数,则|z|＝（）A．B．4 C．D．解：∵＝,∴．故选：B．3．已知函数f（x）＝2|x|（3x﹣3﹣x）,对m,n∈R,则“m+n＞0”是“f（m）+f（n）＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由题意易得f（x）的定义域为R．因为f（﹣x）＝2|﹣x|（3﹣x﹣3x）＝﹣f（x）,所以f（x）是奇函数,不妨假设x＞0,则f（x）＝2x（3x﹣3﹣x）,因为3x在（0,+∞）上递增,﹣3﹣x在（0,+∞）上递增,所以f（x）在（0,+∞）上递增,又因为f（x）是奇函数,所以f（x）在R上单调递增．由m+n＞0,得m＞﹣n,所以f（m）＞f（﹣n）,即f（m）＞﹣f（n）,所以f（m）+f（n）＞0,反之亦成立．所以“对任意实数m,n,m+n＞0”是“f（m）+f（n）＞0”的充要条件．故选：C．4．下列说法正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D．一个三棱锥四个面可以都为直角三角形解：对于A：经过不共线的三点确定一个平面,故A错误；对于B：由多个三角形构成的多面体不一定是三棱锥,故B错误；对于C：各侧面都是正方形的棱柱,底面为菱形的四棱柱不是正棱柱,故C错误；对于D：一个三棱锥四个面可以都为直角三角形,如图所示：故选：D．5．下列函数图象中,不可能是函数f（x）＝xα•cos x（α∈Z,|α|≤2）的图象的是（）A．B．C．D．解：∵α∈Z,|α|≤2,∴α的可能取值为﹣2,﹣1,0,1,2,（1）当α＝﹣2,0,2时,函数f（x）为偶函数,可能与选项B对应；（2）当α＝﹣1,1时,函数f（x）为奇函数,可能与选项A、C和D对应；若α＝1,则f（x）＝x•cos x,定义域为R,可能与选项A对应,若α＝﹣1,则f（x）＝•cos x,定义域为{x|x≠0},对应着选项C和D, 而当0＜x＜时,f（x）＞0,与选项C不符．故选：C．6．函数的对称中心坐标是（）A．B．C．D．解：函数中,令2x﹣＝,k∈Z,解得2x＝+,k∈Z,即x＝+,k∈Z；所以函数y＝2tan（2x﹣）图象的对称中心坐标是：（+,0）,k∈Z．故选：D．7．命题p：数,,能成为等差数列的项（可以不是相邻项）,命题q：数2,5,7能成为等比数列的项（可以不是相邻项）,则命题p、q的真假情况是（）A．p真、q真B．p真、q假C．p假、q真D．p假、q假解：数,,能成为等差数列的项（可以不是相邻项）,假设可以,得﹣＝md,﹣＝nd,m,n∈N*,d为公差,消d得21n＝4m,取n＝4k,m＝21k,k∈N*即可,故可以构成等差数列,故命题p：数,,能成为等差数列的项（可以不是相邻项）,是真命题,数2,5,7能成为等比数列的项（可以不是相邻项）,假设可以,得＝q m,＝qn,m,n∈N*, 消q得5m+n＝2n7m,m,n∈N*,左边为奇数,右边为偶数,∴不可能．∴命题q：数2,5,7能成为等比数列的项（可以不是相邻项）,是假命题．故选：B．8．已知抛物线y2＝2px（p＞0）,A和B分别为抛物线上的两个动点,若∠AOB＝（O为坐标原点）,弦AB恒过定点（4,0）,则抛物线方程为（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x解：设l：x＝my+4,代入y2＝2px,得y2﹣2pmx﹣8p＝0,设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,则y1+y2＝2pm,y1y2＝﹣8p,则x1x2＝＝16．∵∠AOB＝（O为坐标原点）,∴x1x2+y1y2＝0,即16﹣8p＝0,解得p＝2．∴抛物线的方程为y2＝4x；故选：B．9．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”,该方法对研究两个整数间关系十分优越,将该方法用算法流程图表示如图,若输入a＝27,b＝12,i＝0,则输出的结果为（）A．a＝15,i＝2 B．a＝9,i＝4 C．a＝3,i＝5 D．a＝3,i＝6解：模拟执行程序框图,输入a＝27,b＝12,i＝0,i＝0+1＝1,a＞b,a＝27﹣12＝15,i＝1+1＝2,a＞b,a＝15﹣12＝3,i＝2+1＝3,a＜b,b＝12﹣3＝9,i＝3+1＝4,a＜b,b＝9﹣3＝6,i＝4+1＝5,a＜b,b＝6﹣3＝3,i＝5+1＝6,a＝b＝3,输出a＝3,i＝6,故选：D．10．已知a,b为实数且a＞b＞0,则下列所给4个不等式中一定成立的序号是（）①；②2022a﹣2021＞2022b﹣2021；③；④．A．②④B．①③C．②③④D．①②③④解：对于①,当a＝1时,无意义,故①错误,对于②,∵a＞b,∴a﹣1＞b﹣1,又∵y＝2022x在R上为增函数,∴2022a﹣1＞2022a﹣1,故②正确,对于③,∵a＞b＞0,∴＝＝,故③正确,对于④,∵a＞b＞0,∴＝,又∵,∴,故④正确,故正确的序号为②③④．故选：C．11．已知F1、F2是双曲线Ω：的左、右焦点,曲线Γ：x2+y2＝a2+b2与曲线Ω在二、四象限的交点分别是P,Q,四边形PF1QF2的周长L和面积S满足,则双曲线Ω的离心率是（）A．2 B．C．D．解：由直径所对的圆周角为直角,可得四边形PF1QF2为矩形,设|PF1|＝m,|PF2|＝n,由双曲线的定义可得n﹣m＝2a,①又n2+m2＝4（a2+b2）,②②﹣①2,可得2mn＝4b2,由,可得2（m+n）＝4•,所以m2+n2+2mn＝12mn,即有4a2+4b2＝20b2,即为4a2＝16b2,即a＝2b,所以e＝＝＝＝．故选：C．12．已知定义域为R的函数f（x）＝f（﹣x）﹣2sin x,又当x≥0时,f'（x）≥1,则关于x的不等式f（x）≥f（﹣x）+sin（x+）的解集为（）A．B．C．D．解：因为f（x）＝f（﹣x）﹣2sin x,所以f（x）+sin x＝f（﹣x）﹣sin x,即f（x）+sin x＝f（﹣x）+sin（﹣x）,令g（x）＝f（x）+sin x,所以g（x）＝g（﹣x）,故函数g（x）为偶函数,因为当x≥0时,f'（x）≥1,所以g'（x）＝f'（x）+cos x≥0,则函数g（x）在[0,+∞）上单调递增,因为不等式f（x）≥f（﹣x）+sin（x+）,即f（x）≥f（﹣x）﹣,所以f（x）+sin x≥f（﹣x）+（）即f（x）+sin x≥f（﹣x）+sin（﹣x）,故g（x）≥g（﹣x）,则|x|≥|﹣x|,解得x≥,所以不等式f（x）≥f（﹣x）+sin（x+）的解集为．故选：A．二、填空题：本大题共4小题,每题5分,满分20分。