(精选3份合集)2020届广东广雅中学高考数学模拟试卷

【详解】
A、①点溶液中溶质为等物质的量浓度的CH3COONa和CH3COOH，混合溶液中存在物料守恒，根据物料守恒得c(CH3COO﹣)+c(CH3COOH)＝2c(Na+)，故A错误；
B、任何电解质溶液中都存在电荷守恒，根据电荷守恒得c(Na+)+c(H+)＝c(OH﹣)+c(CH3COO﹣)，所以滴定过程中①②③任一点都存在电荷守恒c(Na+)+c(H+)＝c(OH﹣)+c(CH3COO﹣)，故B正确；
B.图中交点时没有达到平衡状态，A的消耗速率大于A的生成速率，故B错误；
C. 12s时达到平衡状态，B、C转化量之比等于化学计量数之比，所以b∶c =(0.5mol/L-0.3mol/L )×2L∶0.8mol=1:2，故C正确；
D.由题意可知，3molA与1molB完全反应生成2molC时放出QkJ的热量，12s内，A的物质的量减少（0.8mol/L-0.2mol/L）×2L=1.2mol，则放出的热量为0.4QkJ，故D错误。
C．化学计量数之比b ∶c = 1∶2
D．12s内反应放出0.2QkJ热量
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
某温度下，在2L恒容密闭容器中投入一定量的A、B发生反应：3A(g)+bB(g) cC(g) ∆H=－QkJ·mol－1（Q＞0），12s时达到平衡，生成C的物质的量为0.8mol，
A．由图像可知A的浓度变化=0.8mol/L-0.5mol/L=0.3mol/L，反应速率 = = =0.15 mol·L－1·s－1，所求为0~2s的平均速率，不是2s时的速率，故A错误；
D.d点为加入20mLNaOH溶液，此时溶液的体积为原体积的2倍，故含氮微粒的总浓度为原来的1/2，即0.1000mol/L。根据物料守恒则有c(NH4+)+c(NH3·H2O)=0.100 0 mol·L-1，故D正确。

高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A={x|x-1＜2}，B={x|1＜2＜16}，则A∩B=（）A.（-∞，8）B.（-∞，3）C.（0，8）D.（0，3）2.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）3.A. B. C. D.双曲线9x-16y=1的焦点坐标为（）A.（±，0）B.（0，）C.（±5，0）D.（0，±5）4.若sin（）=，则c os2α=（）5.A. B. C. D.已知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当x∈[-2，1]时，f（x）=x-2x-4，则关于x的不等式f（x）＜-1的解集为（）A.（-∞，-1）B.（-∞，3）C.（-1，3）D.（-1，+∞）6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.3π4π6π8π7.执行如图的程序框图，依次输入x=17，x=19，x=20，x=21，1234 x=23，则输出的S值及其统计意义分别是（）5A.S=4，即5个数据的方差为4B. C. D.S=4，即5个数据的标准差为4S=20，即5个数据的方差为20S=20，即5个数据的标准差为20x2228. △ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知 cos C + cos A=1，则 cosB 的取值范围为（）A.（）B. [）C.（ ，1）D. [，1）9.已知 A ，B ，C 三点不共线，且点 O 满足 16 -12 -3 = ，则（）A.C.=12 +3=-12 +3B.D.=12 -3=-12 -310. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段 AB 分为两 线段 AC ，CB ，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一段 CB 的比例中项，即满足= =≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点.在△ABC 中，若点 P ，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点， △在ABC 内任取一点 M ， 则点 M 落 △在APQ 内的概率为（ ）A. B.-2C. D.11. 已知 F 为抛物线 C ：x =4y 的焦点，直线 y = x +1 与曲线 C 相交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，则 S =（ ）A. B. C. D.212. 函数 f （x ）=（kx-2）ln x ，g （x ）=2ln x -x ，若 f （x ）＜g （x ）在（1，+∞）上的解 集中恰有两个整数，则 k 的取值范围为（ ）A. [1-， -）B. （1-， - ]C.[ -，2-）D.（ -，2-]二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知函数 f （x ）=14. 设 x ，y 满足约束条件，则 f （f （2））=______．，则 z =2x +y 的最大值为______．15. 在三棱锥 P -ABC 中，AP ，AB ，AC 两两垂直，且 AP =AB=AC =的内切球的表面积为______．，则三棱锥 P -ABC16. 已知函数 f （x ）=sin （ωx + ）+ （ω＞0），点 P ，Q ，R 是直线 y =m （m ＞0）与函数 f （x ）的图象自左至右的某三个相邻交点，且 2|PQ |=|QR|= ，则 ω+m =______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 设数列{a n }的前 n 项和为 S ，S =1-a （n ∈N *）．（1）求数列{a }的通项公式；n2△OABn n n（2）设b=log a，求数列{}的前n项和T．n2n n18. 在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4，AC=2（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．，∠EAD=30°．19. 某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间/分等候人数y/人102311251226132914281531调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x，y），（x，y），……，（x，y），其回归直线=x+1122n n的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=．20. 已知点（1， ），（）都在椭圆 C ：（1）求椭圆 C 的方程；=1（a ＞b ＞0）上．（2）过点 M （0，1）的直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 P ，Q （异于顶点），记椭圆 与 y 轴的两个交点分别为 A ，A ，若直线 A P 与 A Q 交于点 S ，证明：点 S 恒在直1 2 1 2线 y =4 上．21. 已知函数 f （x ）=e -2ax （a ∈R ） （1）若曲线 y =f （x ）在 x =0 处的切线与直线 x +2y -2=0 垂直，求该切线方程；（2）当 a ＞0 时，证明 f （x ）≥-4a +4a22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ 为参数）已知点1Q （4，0），点 P 是曲线 C 上任意一点，点 M 为 PQ 的中点，以坐标原点为极点，lx 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求点 M 的轨迹 C 的极坐标方程；2（2）已知直线 l ：y =kx 与曲线 C 交于 A ，B 两点，若 =3 ，求 k 的值．223. 已知函数 f （x ）=|x +a |+2|x-1|（a ＞0）．（1）求 f （x ）的最小值；（2）若不等式 f （x ）-5＜0 的解集为（m ，n ），且 n-m = ，求 a 的值．x 2答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合 A ={x |x -1＜2}=（-∞，3），B ={x |1＜2 ＜16}=（0，4） ∴A ∩B =（0，3）．故选：D ．由 A 与 B ，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.【答案】B【解析】解：∵z =的虚部为 ． ∴z ==，故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】A【解析】解：双曲线 9x -16y =1 的标准方程为： ，可得 a = ，b = ，c == ，所以双曲线的焦点坐标为（± ，0）．故选：A ．直接利用双曲线的方程求解 a ，b ，c 得到焦点坐标即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题． 利用诱导公式求得 cos α 的值，再利用二倍角公式求得 cos2α 的值． 【解答】解：sin （）=-cos α= ，则 cos2α=2cos α-1=- ，故选：B ．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．根据 条件可得出 f （-1）=-1，根据 f （x ）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由 f （x ）＜-1 得出 f （x ）＜f （-1），从而得到 x ＞-1，即得出原不等式的解集． 【解答】解：∵x ∈[-2，1]时，f （x ）=x -2x -4； ∴f （-1）=-1；x2 2 2 2∵f （x ）在（-∞，+∞）上单调递减； ∴由 f （x ）＜-1 得，f （x ）＜f （-1）； ∴x ＞-1；∴不等式 f （x ）＜-1 的解集为（-1，+∞）． 故选：D ． 6.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个 半圆柱，底面的半径是 1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为 1，高是 2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A ．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是 1， 高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为 1，高是 2，根据体积公 式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本 题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目． 7.【答案】A【解析】解：根据程序框图，输出的 S 是 x =17，x =19，x =20，x =21，x =23 这 5 个数1 2 3 4 5据的方差，∵ = （17+19+20+21+23）=20，∴由方差的公式 S = [（17-20） +（19-20） +（20-20） +（21-20） +（23-20） ]=4． 故选：A ．根据程序框图，输出的 S 是 x =17，x =19，x =20，x =21，x =23 这 5 个数据的方差，先1 2 3 4 5求这 5 个数的均值，然后代入方差公式计算即可．本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个 求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵ cos C + cos A =1，∴由余弦定理可得： •+ •=1，化简可得：b=ac ，由余弦定理可得；cos B=∴ ≤cos B ＜1，即：cos B ∈[=，1）．≥= ，故选：D ．由余弦定理化简已知等式可得 b =ac ，由余弦定理，基本不等式可求 c os B ≥ ，结合余弦 函数的性质即可得解．本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和 计算能力，属于基础题．222222 29.【答案】A【解析】解：由题意，可知：对于 A ：= =，整理上式，可得：16 -12 -3 = ，这与题干中条件相符合， 故选：A ．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答 案． 本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题． 10.【答案】B【解析】【分析】本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题． 先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ =，CP =，所以 PQ =BQ +CP -BC =（）a ，S：S=PQ ：BC =（-2）a ：a = -2，则 △在ABC 内任取一点 M ，则点 M 落 △在APQ 内的概率为 【解答】解：设 BC =a ，由点 P ，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，=，得解．所以 BQ=，CP =所以 PQ =BQ +CP -BC =（，）a ， ：S △S APQ△ABC=PQ ：BC =（ -2）a ：a = -2，由几何概型中的面积型可得：△在ABC 内任取一点 M ，则点 M 落 △在APQ 内的概率为=，故选 B ．11.【答案】C【解析】解：抛物线 C ：x =4y 的焦点（0，1），设 A （x ，y ），B （x ，y ），1 12 2由，整理得：x -2x -4=0，由韦达定理可知：x +x =2，y +y =31 2 1 2由抛物线的性质可知：|AB |=p+y +y =2+3=5，1 2点 O 到直线 y = x +1 的距离 d ，d = ．∴则△OAB 的面积 S ，S = •|AB |•d =．故选：C ．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，△APQ △ABC22利用韦达定理求得x+x，由抛物线的性质可知|AB|=p+y +y，利用点到直线的距离公式1212求得O到直线y=x+1的距离d，根据三角形的面积公式S=•|AB|•d，即可求得△则OAB的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．将不等式f（x）＜g（x）转化为kx＜4-，设h（x）=4-，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使（f x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x＞1时，ln x＞0，由f（x）＜g（x）得（kx-2）ln x＜2ln x-x，即kx-2＜2-，即kx＜4-，设h（x）=4-，则h'（x）=-=-，由h'（x）＞0得-（ln x-1）＞0得ln x＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h'（x）＜0得-（ln x-1）＜0得ln x＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x=e时，h（x）取得极大值h（e）=4-=4-e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→-∞，h（3）=4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线y=kx过A，B点时对应的斜率k==-A ，k==1-B，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x=2，和x=3，即直线y=kx的斜率k满足k≤k<k，B A即1-≤k< -，即实数k的取值范围是[1-故选：A．，-)，13.【答案】2【解析】解：f（2）=ln2，∴f（f（2））=f（ln2）=e ln2=2．故答案为：2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y-z=0过点A时，z=2x+y取得最大值为2×3+1=7．故答案为：7．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r=．∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【解析】解：函数 f （x ）=sin （ωx + ）+ （ω＞0），由 2|PQ |=|QR |= ，解得|PQ |= ， ∴T =|PQ |+|QR |=π，∴ω= =2，设 P （x ，m ），则 Q （ -x ，m ），R （T +x ，m ），0 0 0∴|PQ |= -2x 0，|QR |= +2x ， 0∴2（ -2x 0）= +2x ， 0解得 x = = ， 0∴m =sin （2× ）+ = + =1，∴ω+m =2+1=3．故答案为：3．根据题意求出函数 f （x ）的最小正周期 T ，得出 ω 的值，再求出 m 的值，即可求出 ω+m 的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a }的前 n 项和为 S ，S =1-a （n ∈N *）①．当 n =1 时，解得：，当 n ≥2 时，S =1-a ．②n -1 n -1①-②得：2a =a ，n n -1所以： （常数），故：数列{a }是以 为首项， 为公比的等比数列．n则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b =log a =-n ． n 2 n所以：b =-（n +1），n +1则：，故：=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应 用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：因为 AD =2，DC =4，AC =2 ，所以 AD+DC =AC ，n n n n2 2 2所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE=2，AD=2，AB=2，∠EAD=30°．可得E到底面ABCD的距离为：2sin60°=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F-BCH的体积，可得=4=．【解析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：间隔时间（x分钟）等候人数（y人）1226132914281531因为，，所以，，所以．当x=10时，当x=11时，，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由 1.4x +9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为 18 分钟．【解析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间． 本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得得 a=4，b =2，故椭圆 C 的方程为 + =1．，解证明：（2）易知直线 l的斜率存在且不为 0，设过 点 M （0，1）的直线 l 方程为 y =kx +1，（k ≠0），P （x ，y ），Q （x ，y ），1 12 2由，消 y 可得（k +2）x +2kx -3=0，∴x +x =- 1 2，x x =-1 2，∵A1 （0，2），A （0，-2）， 2∴直线 AP 的方程为 y = 1x +2=•x +2=（k -）x +2，则直线 A Q 的方程为 y=2x -2=（k + ）-2，由，消 x 可得=，整理可得y == = +4= +4=4，直线 A P 与 A Q 交于点 S ，则点 S 恒在直线 y =4 上12【解析】（1）由题意可得，解得 a =4，b =2 得椭圆方程，（2）先设出直线 l 整理可得 y =的方程，再分别求出直线 A P 的方程，直线 A Q 的方程，联立，消 x1 2，根据韦达定理化简整理可得直线 y =4本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求 解能力，属于中档题21.【答案】（1）解：f ′（x ）=e -2a ，又∵曲线 y =f （x ）在 x =0 处的切线与直线 x +2y -2=02 2 2 2 2 2x垂直，∴f ′（0）=2即 f ′（0）=1-2a =2，解得：a =- ，∴f （x ）=e +x ，则 f （0）=1． ∴切线方程为 y =2x +1；（2）证明：f ′（x ）=e -2a ，由 f ′（x ）=e -2a =0，解得 x =ln2a ． ∴当 x ∈（-∞，ln2a ）时，f ′（x ）＜0，当 x ∈（ln2a ，+∞）时，f ′（x ）＞0． ∴f （x ）在（-∞，ln2a ）上单调递减，在（ln2a ，+∞）上单调递增． ∴f （x ） =f （ln2a ）=e -2a ln2a =2a -2a ln2a ． min令 g （a ）=2a -2a ln2a +4a -4a =4a -2a -2a ln2a =2a (2a -1-la 2a )（a ＞0）． 要证 g （a ）≥0，即证 2a -1-ln2a ≥0，令 h （a ）=2a -1-ln2a ，则 h ′（a ）=2- =，当 a ∈（0， ）时，h ′（a ）＜0，当 a ∈（ ，+∞）时，h ′（a ）＞0，∴h （a ）≥h （ ）=0，即 2a -1-ln2a ≥0．∴f （x ）≥-4a +4a ．【解析】（1）求出函数的导数，计算 f ′（0），得到关于 a 的方程，求得 a ，得到函 数解析式，求得 f （0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明 f （x ）≥-4a +4a 转化为证 f （x ）的最小值大于等于-4a +4a ，即证 a -1-ln2a ≥0， 令 h （a ）=a -1-ln2a ，求其最小值大于等于 0 即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中 档题．22. 【答案】解：（1）消去 θ 得曲线C 的普通方程为：x +y =4， 1设 M （x ，y ）则 P （2x -4，2y ）在曲线 C 上，所以（2x -4） +（2y ） =4， 1即（x -2） +y =1，即 x +y -4x +3=0， C 轨迹的极坐标方程为： 2 ρ -4ρcosθ+3=0．（2）当 k ＞0 时，如图：取 AB 的中 点 M ，连 CM ，CA ，在直角三角形 CMA 中，CM =CA - （ AB ） =1- AB ，①在直角三角形 CMO 中，CM =OC -OM =4-（ AB ） =4- AB ，②由①②得 AB = ，∴OM = ，CM =，k = = =．当 k ＜0 时，同理可得 k =-．x x x ln2a 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2综上得k=±．【解析】（1）消去θ得曲线C的普通方程为：x+y=4；设出M的坐标后利用中点公1式得到P的坐标后代入C德轨迹C的直角坐标方程，再化成极坐标方程；12（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM，OM后可得斜率．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23. =【答案】解：（1）f（x），∴x=1时，f（x）的最小值为a+1．（2）如图所示：当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）-5＜0的解集为（a-3，-），∴- -a+3=-=，∴a=3符合，当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集为（- -1，-），∴-++1=≠．综上可得a=3．【解析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．22。

2020年广东省高考数学一模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A，B均为全集U={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A={1,2,3,4}，则满足A∩∁U B={1,2}的集合B可以是()A. {1,2,3,4}B. {1,2,7}C. {3,4,5,6}D. {1,2,3}2.复数z=4+3i3−4i(i为虚数单位)的虚部为()A. −1B. 2C. 5D. 13.已知向量a⃗=(12,−1)向量b⃗ 满足2a⃗+b⃗ =(−1,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=()A. −3B. 3C. 1D. 24.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，若四边形AF2BF1是正方形且面积为4，则椭圆C的方程为()A. x24+y22=1 B. x22+y2=1 C. x23+y22=1 D. x24+y23=15.如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t(0<t≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则y=f(t)的大致图象为()A.B.C.D.6.若sin(π+α)=√23，则sin(2α−π2)的值为()A. −19B. −59C. 19D. 597.甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率为()A. 14B. 13C. 16D. 1368.某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为()A. 1920003cm3 B. 1600003cm3 C. 160003cm3 D. 640003cm39.执行如图的程序框图，若输出A的值为70169，则输入i的值为()A. 4B. 5C. 6D. 710.已知O是坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为()A. √5+12B. √5−12C. √5−1D. √5+111.在△ABC中，已知A=60°，D是边BC上一点，且BD=2DC，AD=2，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 32√3 C. 2√3 D. 52√312.已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，f(1)=0，且当x∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx>0，则不等式f(x)<0的解集为()A. (−1,0)∪(1,π2) B. (−1,0)∪(0,1)C. (−π2,−1)∪(1,π2) D. (−π2,−1)∪(0,1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)=mx2lnx，若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+2020=0平行，则m=______．14. 若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z =2x +y 的最大值为______．15. 如图，已知三棱锥P −ABC 满足PA =PB =PC =AB =2，AC ⊥BC ，则该三棱锥外接球的体积为______．16. 函数f(x)=sinπx +acosπx 满足f(x)=f(13−x)，x ∈[0,32]，方程f(x)−m =0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知{a n }为单调递增的等差数列，设其前n 项和为S n ，S 5=−20，且a 3，a 5+1，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值及取得最小值时n 的值．18. 某城市2018年抽样100户居民的月均用电量(单位：千瓦时)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组，得到如表频率分布表： 分组频数频率[160,180) n 1 0.04 [180,200) 19 f 1 [200,220) n 2 0.22 [220,240) 25 0.25 [240,260) 15 0.15 [260,280) 10 f 2 [280,300]50.05(1)求表中n 1，n 2，f 1，f 2的值，并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m ； (2)该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升，以当年居民月均用电量的中位数u(单位：千瓦时)作为统计数据，如图是部分数据的折线图．由折线图看出，可用线性回归模型拟合u 与年份t 的关系．①为简化运算，对以上数据进行预处理，令x =t −2014，y =u −195，请你在答题卡上完成数据预处理表；②建立u 关于t 的线性回归方程，预测2020年该市居民月均用电量的中位数． 附：回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．19. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C 的中点，且AB =1，AA 1=2． (1)证明：CD//平面A 1EB ； (2)求点A 1到平面BDE 的距离．20.动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1，x2是方程x2+2mx−4=0的两根．(1)若线段AB是动圆C的直径，求动圆C的方程；(2)证明：当动圆C过点M(0,1)时，动圆C在y轴上截得弦长为定值．21.已知函数f(x)=e x+(m−e)x−mx2．(1)当m=0时，求函数f(x)的极值；(2)当m<0时，证明：在(0,1)上f(x)存在唯一零点．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1.若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q的轨迹为C2．(1)求C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．|x+3|−2(k∈R)．23.已知函数f(x)=|x−k|+12(1)当k=1时，解不等式f(x)≤1；(2)若f(x)≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A，B均为全集U={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A={1,2,3,4}，要满足A∩∁U B={1,2}；则1，2∉B，故符合条件的选项为C．故选：C．根据题意得出1，2∉B，即可判断结论．本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z=4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i25=i，∴复数z=4+3i3−4i的虚部是1，故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：向量a⃗=(12,−1)，向量b⃗ 满足2a⃗+b⃗ =(−1,m)，设b⃗ =(x,y)，则(1+x,−2+y)=(−1,m)，∴1+x=−1，且−2+y=m，求得x=−2，m=y−2．若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =x2−y=−1−y=0，故y=−1，∴m=y−2=−3，故选：A．由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得m的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由AF2BF1是正方形可得b=c，再由AF2BF1的面积为4可得12⋅2c⋅2b=4，即bc=2，又a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=2，所以椭圆的方程为：x24+y22=1；故选：A．由四边形AF2BF1是正方形且面积为4可得b，c的值，再由a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的面积．本题考查椭圆的性质，及正方形的面积与对角线的关系，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：当0<x<1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD，不合适，当1≤x≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A，故选：B．根据面积的变换趋势与t的关系进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t的关系是解决本题的关键．难度不大．6.【答案】B【解析】解：∵sin(π+α)=√23，∴可得sinα=−√23，∴sin(2α−π2)=−cos2α=2sin2α−1=2×(−√23)2−1=−59．故选：B．由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：甲、乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读，基本事件总数n=C42=6，则甲、乙两人选的2本恰好相同的概率p=16．故选：C．基本事件总数n=C42=6，由此能求出甲、乙两人选的2本恰好相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是基础题．8.【答案】B【解析】解：如图，正方体AC1的棱长为40cm，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm3．又正方体的体积为V=40×40×40=64000cm3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm3，故选：B．由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解．本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．9.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得A=12，k=1满足条件1≤i，执行循环体，A=25，k=2满足条件2≤i，执行循环体，A=512，k=3满足条件3≤i，执行循环体，A=1229，k=4满足条件4≤i，执行循环体，A=2970，k=5满足条件5≤i，执行循环体，A=70169，k=6由题意，此时不满足条件6≤i，退出循环，输出A的值为70169，可得输入i的值为5．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】A【解析】解：由题意可知：|AF|=b2a，双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与x轴垂直，且交双曲线C于A，B两点，若△ABO是等腰直角三角形，可得c=b2a =c2−a2a，e=e2−1，e>1解得e=√5+12．故选：A．由双曲线的性质，结合通径以及半焦距，可得a，c的方程，运用离心率公式计算即可得到．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用双曲线的定义是解题的关键．11.【答案】B【解析】解：因为在△ABC 中，已知A =60°，D 是边BC 上一点，且BD =2DC ，AD =2， ；∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=19AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2×13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +49AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2； 即：4=19c 2+49bc ⋅cos60°+49b 2⇒36=c 2+2bc +4b 2≥2√c 2⋅4b 2+2bc =6bc ； ∴bc ≤6，(当且仅当2b =c 时等号成立)； ∵S △ABC =12bcsinA ≤12×6×√32=3√32． 即△ABC 面积的最大值为：3√32． 故选：B ．先根据向量的三角形法则得到AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；对其两边平方，求出bc 的取值范围即可求得结论．本题考查△ABC 的面积的求法以及向量知识的综合应用，涉及到基本不等式，属于中档题目．12.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法，等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=f(x)sinx ，g′(x)=[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx ，当x ∈(0,π2)时，根据f(x)+f′(x)tanx >0，可得函数g(x)单调递增．又g(1)=0，判断g(x)在(0,π2)上的正负情况，根据f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，可得g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数．进而得出不等式f(x)<0的解集． 【解答】解：令g(x)=f(x)sinx ，g′(x)=f(x)cosx +f′(x)sinx =[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx ，当x ∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx >0，∴g′(x)>0，即函数g(x)单调递增． 又g(1)=0，∴x ∈(0,1)时，g(x)=f(x)sinx <0，又sinx >0，所以f(x)<0． x ∈(1,π2)时，g(x)=f(x)sinx >0，又sinx >0，所以f(x)>0． x =0时，f(0)=0，舍去． ∵f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数， ∴g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数． 则g(x)在(−π2,0)上单调递减，且g(−1)=0，故x ∈(−π2,−1)时，g(x)=f(x)sinx >0，又sinx <0，所以f(x)<0． x ∈(−1,0)时，g(x)=f(x)sinx <0，又sinx <0，所以f(x)>0． ∴不等式f(x)<0的解集为(−π2,−1)∪(0,1)． 故选：D ．13.【答案】−13【解析】解：f′(x)=m(2xlnx +x)，又曲线y =f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex +y +2020=0平行， ∴f′(e)=3em =−e ，解得m =−13． 故答案为：−13．求出f(x)的导数，然后根据切线与直线ex +y +2020=0平行，得f′(e)=−e ，列出关于m 的方程，解出m 的值．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14.【答案】7【解析】解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分 由{x =2x −y =−1，得A(2,3)目标函数z=2x+y可看做斜率为−2的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=2×2+3=7．故答案为：7．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题．15.【答案】3227√3π【解析】解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA=PB=PC=AB=2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP=OA=R，在△OAD中，R2=r2+(PD−R)2，即R2=1+(√3−R)2，解得：R=2√3=2√33，所以外接球的体积V=4π3R3=32√327π，故答案为：32√327π.因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA=PB=PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中由勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．16.【答案】√3≤m<2或−2<m≤−1【解析】解：函数f(x)=sinπx+acosπx满足f(x)=f(13−x)，则函数的对称轴为x=16，当x=16时，函数f(x)取得最值，即±√1+a 2=sin π6+acos π6，整理得a 2−2√3a +3=0，解得a =√3， 所以f(x)=sinπx +√3cosπx =2sin(πx +π3). 由于x ∈[0,32]，所以π3≤πx +π3≤3π2+π3=11π6，根据函数的图象，当√3≤m <2或−2<m ≤−1时，函数的f(x)的图象与y =m 有两个交点，即方程f(x)−m =0恰有两个不等的实根， 故答案为：√3≤m <2或−2<m ≤−1．首先利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的图象求出函数f(x)的图象和函数y =m 的交点，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的应用，函数的零点和函数的图象的交点的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．17.【答案】解：(1){a n }为单调递增的等差数列，设公差为d ，d >0，由S 5=−20，可得5a 1+10d =−20，即a 1+2d =−4，①由a 3，a 5+1，a 9成等比数列，可得a 3a 9=(a 5+1)2，即(a 1+2d)(a 1+8d)=(a 1+4d +1)2，化为2a 1d =2a 1+1+8d ，② 由①②解得d =12，a 1=−5， 则a n =−5+12(n −1)=12(n −11)； (2)S n =12n(−5+n−112)=14(n 2−21n)=14[(n −212)2−4414]，由于n 为正整数，可得n =10或11时，S n 取得最小值−552．【解析】(1)设等差数列的公差为d ，d >0，由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；(2)由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，注意n 为正整数，可得所求最值． 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比中项的性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)n 1=100×0.04=4；n 2=100×0.22=22；f 1=19100=0.19；f 2=10100=0.1．设样本频率分布表的中位数为a ，则0.04+0.19+0.22+0.25×120×(a −20)=0.5，解得a =224，由样本估计总体，可估计2018年该市居民月均用电量的中位数m 为224千瓦时． (2)①数据预处理如下表：②由①可知，x −=0,y −=−21−11+0+19+295=3.2，∴b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2=(−4)×(−21)+(−2)×(−11)+2×19+4×29(−4)2+(−2)2+22+42=26040=6.5，a ̂=y −−b ̂x −=3.2−6.5×0=3.2，∴y 关于x 的线性回归方程为y ̂=6.5x +3.2，∵x =t −2014，y =u −195，∴u −195=6.5(t −2014)+3.2， 故u 关于t 的线性回归方程为u =6.5t −12892.8，当t =2020时，u =6.5×2020−12892.8=237.2(千瓦时)． 故预测2020年该市居民月均用电量的中位数为237.2千瓦时．【解析】(1)根据频数、频率和样本容量的关系可分别求出n 1，n 2，f 1，f 2的值；设样本的中位数为a ，根据中位数的性质可列出关于a 的方程，解之即可得解；(2)①根据折线图中的数据和x =t −2014，y =u −195，算出每组数据对应的x 和y 值即可；②由①中的数据，可求出x −,y −，再根据a ̂,b ̂的参考公式，求出这两个系数后可得y 关于x 的线性回归方程，再把t 和u 代入化简即可得u 关于t 的线性回归方程；令t =2020，算出u 的值就是所求．本题考查对频数、频率分布表的认识、线性回归方程的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：取A 1B 的中点F ，连接EF ，DF ，∵D ，F 分别是AB ，A 1B 的中点，∴DF//A 1A ，DF =12A 1A ， ∵A 1A//C 1C ，A 1A =C 1C ，E 是C 1C 的中点，∴DF//EC ，DF =EC ，可得四边形CDEF 为平行四边形，则CD//EF ． ∵CD ⊄平面A 1EB ，EF ⊂平面A 1EB ， ∴CD//平面A 1EB ；(2)解：∵△ABC 是正三角形，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ， ∵ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱，∴A 1A ⊥平面ABC ，则A 1A ⊥CD ． ∵A 1A ∩AB =A ，∴CD ⊥平面A 1ABB 1， 又由(1)知，CD//EF ，∴EF ⊥平面A 1ABB 1，∵AB =1，AA 1=2，∴CD =√32，则S △A 1BD =12×2×12=12．∴V E−A 1BD =13S △A 1BD ⋅EF =13×12×√32=√312．在Rt △CDE 中，DE =√CD 2+CE 2=√72． ∵AB ⊥CD ，AB ⊥CE ，CD ∩CE =C ， ∴AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ． ∴S △BDE =12×12×√72=√78． 设点A 1到平面BDE 的距离为d ，由V A 1−BDE =V E−A 1BD ，得13S △BDE ⋅d =√312，即13×√78=√312，则d =2√217．【解析】(1)取A 1B 的中点F ，连接EF ，DF ，由三角形中位线定理可得DF//A 1A ，DF =12A 1A ，再由已知得到DF//EC ，DF =EC ，得四边形CDEF 为平行四边形，则CD//EF.由直线与平面平行的判定可得CD//平面A 1EB ；(2)证明CD ⊥平面A 1ABB 1，又由(1)知，CD//EF ，得到EF ⊥平面A 1ABB 1，再证明AB ⊥平面CDE ，得AB ⊥DE ，则BD ⊥DE ，分别求出平面BDE 与平面A 1BD 的体积，然后利用等体积法求点A1到平面BDE的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20.【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2+2mx−4=0的两根，∴x1+x2=−2m，x1x2=−4．∵动圆C与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且线段AB是动圆C的直径，∴动圆C的圆心C的坐标为(−m,0)，半径为|AB|2=|x2−x1|2=√(x1+x2)2−4x1x22=√m2+4．∴动圆C的方程为(x+m)2+y2=m2+4；(2)证明：设动圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵动圆C与y轴交于M(0,1)，N(0,y1)，令y=0则x2+Dx+F=0，由题意可知D=2m，F=−4，又动圆C过点M(0,1)，∴1+E−4=0，解得E=3．令x=0，则y2+3y−4=0，解得y=1或y=−4，∴y1=−4.∴动圆C在y轴上截得弦长为|y1−1|=5．故动圆C在y轴上截得弦长为定值．【解析】(1)由韦达定理可得到x1+x2=−2m，x1x2=−4，从而求得圆心与半径，进而求得动圆C的方程；(2)先设出动圆C的方程，再由题设条件解决D、E、F的值，进而求出动圆C在y轴上截得弦长．本题主要考查圆的方程及被坐标轴截得的弦长的问题，属于基础题．21.【答案】解：(1)当m=0时，f(x)=e x−ex，f′(x)=e x−e，又f′(x)是增函数，且f′(1)=0，∴当x>1时，f′(x)>0，当x<1时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=0，无极大值；(2)证明：f′(x)=e x−2mx+m−e，令g(x)=f′(x)=e x−2mx+m−e，则g′(x)=e x−2m，当m<0时，则g′(x)>0，故g(x)=f′(x)在(0,1)上单调递增，又g(0)=f′(0)=1+m−e<0，g(1)=f′(1)=−m>0，∴存在x0∈(0,1)，使得g(x0)=f′(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，当x ∈(x 0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 又∵f(0)=1，f(1)=0， ∴f(x)在(0,1)上存在唯一零点．【解析】(1)将m =0带入，求导得f′(x)=e x −e ，再求出函数f(x)的单调性，进而求得极值；(2)求导得f′(x)=e x −2mx +m −e ，令g(x)=f′(x)，对函数g(x)求导后，可知g(x)=f′(x)在(0,1)上单调递增，而g(0)<0，g(1)>0，进而函数f(x)在(0,1)上的单调性，再运用零点存在性定理可得证．本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1．若P 为曲线C 1上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q 的轨迹为C 2．设P(ρ1,θ)，Q(ρ,θ)，则：ρ1cosθ−2ρ1sinθ=1，即ρ1=1cosθ−2sinθ， 由于|OP|⋅|OQ|=2，所以ρ=2cosθ−4sinθ，整理得ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+(y +2)2=5(原点除外)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1转换为直角坐标方程为：x −2y −1=0． 曲线C 2的圆心为(1,−2)，半径为√5， 所以圆心到直线C 1的距离d =√1+(−2)2=√5．所以|MN|=2√(√5)2−(√5)2=√5．由于点O 到C 1的距离d 2=√12+(−2)2=√5 所以S △OMN =12×|MN|×d 2=12√5√5=35．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当k =1时，不等式f(x)≤1即为|x −1|+12|x +3|≤3，等价为{x ≥1x −1+12x +32≤3或{−3<x <11−x +12x +32≤3或{x ≤−31−x −12x −32≤3，解得1≤x ≤53或−1≤x <1或x ∈⌀， 则原不等式的解集为[−1,53]；(2)f(x)≥x 对于任意的实数x 恒成立，即为|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立． 当x ≤−2时，|x −k|+12|x +3|≥0≥x +2恒成立； 当x >−2时，|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立等价为|x −k|+x+32≥x +2，即|x −k|≥x+12恒成立，当−2<x ≤−1时，|x −k|≥x+12恒成立；当x >−1时，|x −k|≥x+12恒成立等价为x −k ≥x+12或x −k ≤−x+12恒成立．即x ≥2k +1或x ≤23(k −12)恒成立， 则2k +1≤−1解得k ≤−1， 所以k 的取值范围是(−∞,−1]．【解析】(1)由题意可得|x −1|+12|x +3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立．讨论x ≤−2恒成立，x >−2时，可得|x −k|≥x+12恒成立，讨论−2<x ≤−1，x >−1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2024年广雅中学高三数学考前模拟试卷（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的．1．若集合{}2,1,4,8A =-，{},B xy x A y A =∈∈，则B 中元素的最小值为（）A ．16-B ．8-C ．2-D ．322．已知tan =3θ，则πcos cos 22π4θθθ⎛⎫+ ⎪⎝-⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭=（）A ．65B ．35-C ．65-D ．353．已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC OA AB =+= ，，则向量AB 在向量BC 上的投影向量为（）A ．14BCB ．34BCC ．14BC-D ．34BC-4．已知数列{}n a 的各项均为正数，{}n b 满足21n n n a b b +=，112n n n a a b +++=，则下列结论正确的是（）A ．{}n b 是等差数列B ．{}n b 是等比数列C．是等差数列D．是等比数列5．过点(),P a b 作圆221x y +=的切线PA ，A 为切点，1PA =，则2+a b 的最大值是（）ABCD6．在正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =1AA 的长为2，则此正三棱台的体积为（）A ．212B ．74C ．214D ．727．已知函数e 2xy =的图象与函数ln(2)y x =的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（）A．22B．24C．ln 2)2+D)1ln 2-8．已知点A ，B ，C 都在双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>上，且点A ，B 关于原点对称，90CAB ∠=︒.过A 作垂直于x 轴的直线分别交Γ，BC 于点M ，N .若3AN AM =，则双曲线Γ的离心率是（）ABC ．2D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的是（）A ．已知随机事件A ，B 满足3()5P B =，2()5P AB =，则2()3|P A B =B ．已知随机变量~(3,4)N ξ，若21ξη=+，则()1D η=C ．若样本数据131x +，231x +，…，1031x +的平均数为10，则数据12345678910,,,,,,,,,x x x x x x x x x x 的平均数为3D ．随机变量X 服从二项分布()4,B p ，若方差()34D X =，则()3164P X ==10．已知复数12,z z ，则下列命题正确的是（）A ．若12=z z ，则12=±z z B ．若21z z =，则2121z z z =C ．若1z 是非零复数，且2112z z z =，则12z z =D ．若1z 是非零复数，则1110z z +≠11．已知数列{}n a 满足：212n n n a a a λ+=++*()N n ∈，其中R λ∈，下列说法正确的有（）A ．当152,4a λ==时，1n a n ≥+B ．当1,4λ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，数列{}n a 是递增数列C ．当2λ=-时，若数列{}n a 是递增数列，则()()1,31,a ∞∞∈--⋃+D ．当13,0a λ==时，1211112223na a a +++<+++ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在()23101(1)(1)(1)x x x x ++++++++ 的展开式中，含3x 项的系数为．（用数字作答）13．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .F ，交C 于点A ，交准线l 于点B （A ，B 在x 轴的两侧），若|16|AB =，则抛物线C 的方程为.14．如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在锐角ABC 中，角、、A B C 所对边的边长分别为a b c 、、，且2sin 0b A =.(1)求角B ；(2)求sin sin A C +的取值范围.16．如图，在圆锥DO 中，D 为圆锥顶点，AB 为圆锥底面的直径，O 为底面圆的圆心，C 为底面圆周上一点，四边形OAED 为矩形．(1)求证：平面BCD ⊥平面ACE ；(2)若AE =2AC =，BC =ADE 和平面CDE 夹角的余弦值.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点(-．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设过点()4,0P -且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．问：在x 轴上是否存在定点Q ，使直线QA 的斜率1k 与QB 的斜率2k 的积为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由．18．某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （m>2且*m N ∈）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．19．设函数()e cos xf x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.(1)求a 的值；(2)求证：方程()2f x =仅有一个实根；(3)对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围.1．A【分析】根据题意，由集合的概念，代入计算即可得到结果.【详解】由题意可得，()min 2816xy =-⨯=-，所以B 中元素的最小值为16-.故选：A 2．A【分析】利用诱导公式与和角公式化简所求式得2sin cos sin θθθ+，构造分母22sin cos θθ+，分子分母同除以2cos θ，化弦为切，代入即得.【详解】由πcos cos 2sin cos 22πsin cos 4θθθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭=-⎛⎫ ⎪⎝⎭-sin (cos sin )(cos sin )sin cos θθθθθθθ-+-=-222222sin cos sin tan tan 6sin cos sin sin cos tan 15θθθθθθθθθθθ++=+===++.故选：A.3．C【分析】根据条件作图可得为ABO 等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为2AO AB AC =+，所以ABC 外接圆圆心O 为BC 的中点，即BC为外接圆的直径，如图，又AB AO = ，所以ABO 为等边三角形，则60ABC ∠=，故cos 60AB BC =，所以向量AB在向量BC 上的投影向量为：2222·cos120·cos 60··1·4AB BC BC BC BC AB BC BC BC BC BC BC BC︒-︒===-．故选：C ．4．C【分析】分析可知数列{}n b=法判断可得出结论．【详解】因为数列{}n a 各项为正数，{}n b 满足21n n n a b b =＋，112n n n a a b +++=，故对任意的*N n ∈，1102n n n a a b +++=>，则210n n n a b b +=>，所以数列{}n b 12n b +==由等差中项法可知，数列是等差数列．故选：C.5．D【分析】根据题意可得222a b +=，三角换元令a θ=，b θ=，[)0,2πθ∈，利用三角恒变换求出最大值.【详解】根据题意，设圆221x y +=的圆心为O ，则222112PO PA OA =+=+=，222a b ∴+=，令a θ=，b θ，[)0,2πθ∈，则()2a b θθθϕ+=++，其中1tan 2ϕ=，所以2+a b .故选：D.6．C【分析】先计算出三棱台的上下底面的面积，再根据底面边长与侧棱长求解三棱台的高，进而计算出三棱台的体积．【详解】正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =11A B =所以ABC 的面积为12111A B C △的面积为12⨯设O ，1O 分别是ABC ，111A B C △的中心，设D ，1D 分别是BC ，11B C 的中点，A ∴，O ，D 三点共线，1A ，1O ，1D 三点共线，π3sin322AD AB =⨯⨯=，1111πsin 332A D A B =⨯=，1132OD AD ∴==，1111113O D A D ==，12DD ===，过D 作11DE A D ⊥，垂足为E ，则1//DE OO，DE === ∴∴三棱台的体积为121(344V =+=．故选：C ．7．D【分析】首先得到函数e 2xy =的图象与函数ln(2)y x =的图象关于直线y x =对称，则问题转化为点P 到直线y x =距离最小值的2倍，求出过点P 的切线恰与y x =平行时切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得.【详解】设(),P a b 为函数e 2x y =图象上任意一点，则e2a b =，(),P a b 关于直线y x =的对称点为(),Q b a ，又ln(2)ln e a y b a ===，即点(),Q b a 在函数ln(2)y x =的图象上，所以函数e 2xy =的图象与函数ln(2)y x =的图象关于直线y x =对称，所以这P ，Q 两点之间距离的最小值等于点P 到直线y x =距离最小值的2倍，由e 2x y =，则e 2xy '=，函数e 2x y =在点00(,)P x y 处的切线斜率为0e 2x k =，令0e12x k ==，解得0ln 2x =，01y =，所以点P 到直线y x =距离的最小值为)1ln 22d -==，所以这P ，Q两点之间距离的最小值为)21ln 2d =-.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是得到两函数关于y x =对称，再将问题转化为曲线上的点到直线的距离的最小值.8．B【分析】设()()0000,,,A x y B x y --，由3AN AM = 且AM x ⊥轴得()00,5N x y -，注意到22CB CA b k k a⋅=，也就是221BN ABb k k a ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，而002BNy k x =-，00AB y k x =，即222b a =，由此结合离心率公式即可求解.【详解】不妨设()()0000,,,A x y B x y --，由3AN AM =且AM x ⊥轴，所以()00,M x y -，所以()()()0000,30,20,6N N x x y y y y --=-=-，从而00,5N N x x y y ==-，即()00,5N x y -，设点(),C x y ，且它在双曲线上，()()222222222022000222220000CB CAb b x a x a y y y y y y b a a k k x x x x x x x x a---+--⋅=⋅===+---，即221BN ABb k k a ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，其中()00000052BN y y y k x x x ---==---，00AB y k x =，从而222b a =，2213b e a=+=故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是得到221BN AB b k k a⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，002BN y k x =-，00AB y k x =，由此即可顺利得解.9．BC【分析】由条件概率的公式可得A 错误；由正态分布的方差公式和方差的性质可得B 正确；由平均数的计算公式可得C 正确；由二项分布的性质可判断D 错误.【详解】A ：由条件概率的公式可得()()()2|3P AB P A B P B ==，所以21()133|P A B =-=，故A 错误；B ：因为随机变量~(3,4)N ξ，所以()4D ξ=，又21ξη=+，所以1122ηξ=-，所以()21()12D D ηξ⎛⎫=⨯⎪⎝⎭= ，故B 正确；C ：因为样本数据131x +，231x +，…，1031x +的平均数为10，所以()12101210310313131101010x x x x x x ++++++++++== ，化简可得121030x x x +++= ，所以12345678910,,,,,,,,,x x x x x x x x x x 的平均数为12103031010x x x +++== ，故C 正确；D ：由题意可得()3414p p -=，解得14p =或34，则()31413271C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭或()3143131C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故D 错误；故选：BC.10．BC【分析】对于A 项，可以举反例说明；对于B 项，可以设1i z a b =+，则2i z a b =-，代入等式两边验证即可判定；对于C 项，可将题设条件等价转化，分析即得；对于D 项，可通过举反例1i z =对结论进行否定.【详解】对于A 项，若11i z =+，2z =，显然满足12=z z ，但12=±z z ，故A 项错误；对于B 项，设()1i ,R z a b a b =+∈，则2i z a b =-，2212(i)(i)=z z a b a b a b =+-+，故2212||z z a b =+而2221||z a b =+，故B 项正确；对于C 项，由2112z z z =可得：2112112()0z z z z z z =--=，因1z 是非零复数，故120z z -=，即12z z =，故C 项正确；对于D 项，当1i z =时，1z 是非零复数，但1111i i i 0iz z ==-++=，故D 项错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据221511042n n n n n a a a a a +⎛⎫-=++=++> ⎪⎝⎭可得11n n a a +>+，即可迭代求解A ，根据14λ=，112a =-时，可得{}n a 为常数列，即可判断B ；根据二次函数的单调性，证出当2λ=-时10n n a a +->，从而判断出数列{}n a 的单调性，10n n a a -->建立关于1a 的一元二次不等式，解出首项1a 的取值范围，判断出C 项的正误；当0λ=，13a =时，根据递推关系证出123(2)n n a a ++≥+，从而可得1232n n a a ++≥+，由此推导出*131(N )253n n n a ≤⨯∈+，进而利用等比数列的求和公式证出12111322210na a a ++⋯+≤+++，从而判断出D项的正误．【详解】对于A ，当54λ=时，2215111042n n n n n a a a a a +⎛⎫-=++=++≥> ⎪⎝⎭，又12a =，故11n n a a +>+，所以1211211n n n a a a a n n -->+>+>>+-+ =，故A 项正确．对于B ，因为22111()24n n n n n a a a a a λλ+-=++=++-且1,4λ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，所以10n n a a +-≥，当14λ=，112a =-时，22211111,,()2220n n n n n a a a a a a a ++⇒⇒-=+==-==-，此时数列{}n a 是常数列，故B 项错误；对于C,由于数列{}n a 是递增数列,当2n ≥时，故10n n a a -->，2211111(22)(22)()(2)0n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-----=+--+-=-++>，故120n n a a -++>，所以2121020a a a a ->⎧⎨++>⎩，即()()211121112202220a a a a a a ⎧+-->⎪⎨+-++>⎪⎩，解得11a >或13a <-，故C 项正确；对于D,当0λ=时，2212(1)1n nn n a a a a +=+=+-，结合13a =，可知2214111a a =-=>，232133a a =->，⋯，结合111()(2)n n n n n n a a a a a a +---=-++，可知{}n a 是递增数列，13n a a ≥=，则12(2)3(2)n n n n a a a a ++=+≥+，即1232n n a a ++≥+，所以1121212223(2)222n n n n n a a a n a a a ----+++⨯⨯⨯≥≥+++ ，即11523(2)3(2)3n n n a a n -+≥+=⨯≥，所以131(2)253n nn a ≤⨯≥+，当1n =时，1111312553a =≤⨯+，所以*131(N )253n n n a ≤⨯∈+，可得2111(1)1311133133()125333510313nn n i i a =-≤+++=⨯<<+-∑ ，故D 项正确；故选：ACD ．【点睛】方法点睛：递推关系式转化的常见形式（1）转化为()()211n n n n a a a a +++---=常数，则数列{}1n n a a +-是等差数列．（2）转化为111n na a +-=常数，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．（3）转化为111n n a c a c +-=++常数，则数列1n a c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列．（4=常数，则数列是等差数列．（5）转化为221n n a a +-=常数，则数列{}2n a 是等差数列．（6）转化为1log log b n b n a a +-=常数，则数列{}log b n a 是等差数列．12．330【分析】写出含有3x 项的系数，再利用二项式系数的性质化简可得结果.【详解】展开式中含有3x 项的系数为33333333434567891011C C C C C C C C C 330+++++++==，故答案为：330.13．28y x=【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得到直线l 的方程，从而求出B 点坐标，再联立直线与抛物线方程，求出A 点坐标，再由距离公式得到方程，解得即可.【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，依题意直线l的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，令2p x =-可得y =，即,2p B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，消去y 得2322p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得16x p =或32x p =，又A ，B 在x 轴的两侧，所以32A x p =，则A y =，所以32A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以16AB ==，解得4p =或4p =-（舍去），所以抛物线C 的方程为28y x =.故答案为：28y x=14．2【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，显然90AEB ∠= ，由点O 为线段,AB CD 的中点，得两个半圆步道及直道,CE DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称，则11,22AC x BC x =-=+，又CE AB ⊥，则Rt ACE ∽Rt ECB V ，有2CE AC BC =⋅，即有DF CE ==()ππf x x x ==，102x <<，求导得()πf x '=，由()0f x '=，得x =当2π02π4x <<+时，()0f x '>，函数()f x 递增，当2π122π4x <<+时，()0f x '<，函数()f x 递减，因此当2π2π4x =+时，222max 22πππ4()14()22π42π4f x +=-+=++，所以步道的最大长度为2π42+百米.故答案为：2π42+15．(1)π3(2)3(3]2.【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果；（2）根据ABC 为锐角三角形求出ππ(,)62A ∈，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-，根据正弦函数性质可得结果.【详解】（1）2sin 30b A a = ，2sin sin 3sin 0A B A ∴=，又 π0,,sin 02A A ⎛⎫∈∴≠ ⎪⎝⎭，3πsin 0,2B B ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，∴π3B =.（2）由（1）可知，π3B =，且ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，A ∴ππ(,)62∈，则2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-33sin 22A A =π3sin()6A =+，因为ππ2π363A <+<，sin sin A C ∴+3(3]2∈.16．(1)证明见解析(2)105【分析】（1）依题意可得BC AC ⊥，⊥AE 平面ABC ，从而得到AE BC ⊥，即可证明BC ⊥平面ACE ，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，通过求解法向量的夹角余弦值来求解平面ADE 和平面CDE 夹角的余弦值；【详解】（1）∵AB 为圆锥底面的直径，C 为底面圆周上一点，∴BC AC ⊥．∵四边形OAED 为矩形，OD ⊥平面ABC ，∴//AE OD ，⊥AE 平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，∴AE BC ⊥，又∵AE AC A = ，AE ⊂平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴BC ⊥平面ACE ．又BC ⊂平面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ACE ．（2）以C 为坐标原点，AC ，BC 所在直线分别为x ，y 轴，过点C 且与OD 平行的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()2,0,0A -，(1,D -，(E -，(AE =，()1,ED =，(CE =- ．设平面ADE 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1100AE n ED n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100x ==⎪⎩，令11y =，得1x =)1n = ．设平面CDE 的法向量为()2222,,n x y z = ，则2200CE n ED n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222200x x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令21y =，得2x =，2z =2n =，所以121212cos ,n n n n n n ⋅=== ，所以平面ADE 和平面CDE17．(1)22186x y +=；(2)存在，且该定点为()Q ±【分析】（1）结合离心率的定义，将(-代入椭圆方程计算即可得；（2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理表示交点横坐标的关系后，结合斜率公式表示出斜率之积后可得203240x -=时，12k k ，计算即可得解.【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，所以12c a =，即2a c =，所以b =，所以椭圆C 的方程为2222143x y c c +=，因为椭圆C过点(-，所以2243143c c +=，解得22c =，故2248a c ==，2236b c ==，所以椭圆C 的标准方程为22186x y +=；（2）假设存在定点()0,0Q x ．设()11,A x y ，()22,B x y ，易知直线l 的斜率显然存在，且不为0，设其方程为()4y k x =+，联立椭圆方程与直线方程，得()221864x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理，得()2222343264240k x k x k +++-=，所以21223234k x x k +=-+，2122642434k x x k -=+，由()()()2222Δ3243464240k k k =-+->，解得234k <，且0k ≠，所以()()()()2121212121221020102012120041644k x x x x k x k x y y k k x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+++++⎣⎦=⋅=⋅=-----++222222222222220000022642412816343424642432643243243434k k k k k k k k k k x k x x x x k k ⎡⎤--+⎢⎥++⎣⎦==-+++-+⋅+++2200022432464324x x x k =-+++，则当203240x -=时，12k k为定值，此时0x =±所以存在定点()Q ±，使直线QA 的斜率1k 与QB 的斜率2k的积为定值．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.18．(1)310(2)（i ）2432m p m m =++；（ii ）3m =时，()max 216625g p =．【分析】（1）由古典概型结合组合数公式即可求得答案；（2）（i ）由古典概型结合对立事件的概率公式即可求得答案；（ii ）由n 次独立重复试验的概率公式结合导数知识即可求解.【详解】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3:5:2，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：310310⨯=，510510⨯=，210210⨯=，故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率2273410C C 3C 10P ==．（2）（i ）从2m +人中任选2人，有22C m +种选法，其中购票类型相同的有222C C m +种选法，则询问的某组被标为B 的概率22222222C C 2411C 3232m m m m m p m m m m ++-+=-=-++++．（ii ）由题意，5组中恰有3组被标为B 的概率332323455()C (1)10(12)10(2)g p p p p p p p p p =-=-+=-+，所以2342()10(385)10(1)(53)g p p p p p p p '=-+=--，01p <<，所以当30,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，函数()g p 单调递增，当3,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，函数()g p 单调递减，所以当35p =时，()g p 取得最大值，且最大值为3235333216C 1555625g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由243325m p m m ==++，>2m 且*m N ∈，得3m =．当3m =时，5组中恰有3组被标为B 的概率最大，且()g p 的最大值为216625．19．(1)1a =；(2)证明见解析；(3)01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2x F x x k x =+--，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解.【详解】（1）解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.（2）证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +-=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+-，则()e sin x g x x '=-，令()()e sin x h x g x x =-'=，则()e cos x h x x '=-，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =->-=-≥'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10x g x x =>'->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+-<+-=-+≤所以，当0x <时，()0g x <，即此时无零点综上可得，()e cos 2x g x x =+-仅有一个零点，得证.（3）当()0,x ∞∈+时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +-->恒成立，令()e cos sin 2x F x x k x =+--，则()e sin cos x F x x k x =-'-，由（Ⅱ）可知，()0,x ∞∈+时e sin 1x x ->，所以()e sin cos 1cos x F x x k x k x '=-->-，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x -≤≤，所以cos k k x k -≤≤，即11cos 1k k x k -≤-≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'--≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2x F x x k x =+--在()0,x ∞∈+时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +-->，（2）当1k >时，由()e sin cos x F x x k x =-'-可知()010F k ='-<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当()00,x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +-->恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.。